Este documento discute a importância da modelagem matemática como um instrumento facilitador na aprendizagem da geometria. Apresenta a problemática do ensino tradicional da geometria de forma desconectada da realidade dos alunos e propõe que a modelagem matemática, utilizando materiais do cotidiano, pode motivar os alunos e tornar a aprendizagem mais significativa. Descreve uma oficina pedagógica realizada com alunos para investigar os benefícios dessa abordagem.

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA- UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII
A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO UM INSTRUMENTO DE MOTIVAÇÃO
FACILITADOR DA APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA.
ANALDINO DE SOUZA BARROS
SENHOR DO BONFIM
2011

2. ANALDINO DE SOUZA BARROS
A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO UM INSTRUMENTO DE MOTIVAÇÃO
FACILITADOR DA APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA.
Monografia apresentada ao
Departamento de Educação,
Campus VII, Colegiado de
Matemática, como parte dos
requisitos para obtenção do grau
de Licenciado.
Orientadora: Alayde Ferreira dos
Santos
SENHOR DO BONFIM

3. 3
2011

4. ANALDINO DE SOUZA BARROS
A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO UM INSTRUMENTO DE MOTIVAÇÃO
FACILITADOR DA APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA.
Monografia apresentada ao
Departamento de Educação,
Campus VII, Colegiado de
Matemática, como parte dos
requisitos para obtenção do grau
de Licenciado.
CONCEITO____________
BANCA EXAMINADORA
___________________________________
Prof.
Avaliador (a)
____________________________________
Prof.
Avaliador (a)
_____________________________________
Profa. Alayde Ferreira dos Santos
Orientadora

5. Dedico este estudo monográfico a DEUS e à minha
família. Sem DEUS, eu não teria chegado até aqui
e sem o apoio de minha família, eu teria desistido
de galgar mais este degrau.

6. AGRADECIMENTOS
Por todos os momentos vividos, por todos os problemas resolvidos, por todo o
apoio recebido agradeço a:
Aos meus familiares – vocês são os meus maiores incentivadores;
Aos professores que me conduziram em busca do Saber;
À minha orientadora Alayde Ferreira dos Santos, sem a qual esta monografia não
teria sido elaborada;
À Universidade do Estado da Bahia – UNEB, pelo curso oferecido;
A DEUS, pelo dom da vida, pelo dom da sabedoria.

7. Os conhecimentos básicos de cálculo,
geometria e estruturas algébricas seriam
meros ‘jogos’ destinados a desenvolver
habilidades intelectuais […] ou deveriam
ser instrumentos aplicáveis aos usos
cotidianos?
BASSANENEZI, R. C. (2006, p.15).

8. LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Triangulação: artifício para medir a área de um terreno irregular.... 18
Figura 2. As pirâmides do Egito e sua forma geométrica............................... 18
Figura 3. Formas geométricas da cidade de Brasília..................................... 20
Figura 4. Faixa com borboleta........................................................................ 27
Figura 5. Rosácea.do interior da igreja de Kloster, na Alemanha……………. 28
Figura 6. Mosaico........................................................................................... 29
Figura 7. Vista parcial do Colégio Estadual Senhor do Bonfim, em Cansanção,
Bahia.................................................................................................................. 32
Figura 8. Construção de figura geométrica durante a oficina pedagógica......... 35
Figura 9. Figura geométrica construída com papelão durante a aula de Geometria
na oficina pedagógica..................................................................................................... 36
Figura 10. Alunos construindo figuras geométricas com bolas de isopor e
palitos................................................................................................................... 37
Figura 11. Aluna medindo o tonel, durante a oficina pedagógica....................... 38
Figura 12. O posicionamento dos alunos sobre as causas do nível de
conhecimento sobre geometria ser insuficiente.................................................. 45
Figura 13. Quanto à utilização, pelos professores, de recursos do dia-a-dia dos
alunos.................................................................................................................. 46
Figura 14. A facilitação da aprendizagem através da metodologia utilizada pelos
professores, segundo os alunos entrevistados................................................... 47

9. RESUMO
A modelagem matemática é uma estratégia tão eficiente e interessante que
ao ser usada no ensino da Geometria, transforma o processo de ensino-
aprendizagem, tornando altamente motivador. Ela é uma metodologia muito eficiente
na aprendizagem da matemática e também da Geometria. A presente monografia se
insere no estudo da Geometria por meio da modelagem matemática. Nesse
contexto, foi feito um estudo de natureza qualitativa, desenvolvido no Colégio
Estadual Senhor do Bonfim, localizado na cidade de Cansanção, Bahia, objetivando-
se investigar a importância da modelagem matemática como um instrumento na
aprendizagem significativa da geometria, como também verificar se o uso de
materiais do cotidiano do aluno facilita a aprendizagem. Foram consultados autores
como: D’Ambrosio (1990), Pavanelo (1993), Schimtz et al. (1994), Machado (1997),
Silveira (1998), Barbosa (2002), Bassanezi (2004), Fiorentini & Lorenzato (2006),
dentre outros. A amostra contou com 12 alunos do 3º ano A e 3º ano B do Ensino
Médio, os quais participaram de uma oficina pedagógica, como também
responderam a um questionário, no mês de dezembro de 2010. Percebeu-se que a
Geometria, quando ensinada através da modelagem matemática, usando materiais
do cotidiano do aluno, amplia a sua visão e o torna apto para participar nos espaços
sociais do meio em que ele vive. Verificou-se que os alunos, a partir do manuseio de
objetos concretos durante a Oficina Pedagógica, sentiram mais facilidade em
aprender a Geometria, realizaram abstrações e generalizações sobre os conceitos
geométricos. Aprenderam ainda a relacionar os conhecimentos construídos com o
ambiente a sua volta, assimilando os conteúdos geométricos de forma prazerosa.
PALAVRAS-CHAVE: Geometria. Modelagem matemática. Materiais do cotidiano.

10. ABSTRACT
Mathematical modeling is a strategy so powerful and interesting than to be used in
teaching geometry, transform the teaching-learning process, making it highly
motivating. She is a very efficient methodology in the learning of mathematics and
geometry as well. This monograph is part of geometry by means of mathematical
modeling. In this context, was made a qualitative study, developed in the State
College Senhor do Bonfim, located in the city of Cansanção, Bahia, aiming to
investigate the role of mathematical modeling as a tool in the meaningful learning of
geometry, but also verify that the use of everyday materials to facilitate student
learning. We consulted the authors as: D'Ambrosio (1990), Pavanelo (1993), Schmitz
et al. (1994), Machado (1997), Silveira (1998), Barbosa (2002), Bassanezi (2004),
Fiorentini & Lorenzato (2006), among others. The sample included 12 students from
3rd grade A and B 3rd year of high school, who attended an educational workshop,
but also answered a questionnaire in December 2010. It was noticed that the
geometry, when taught through mathematical modeling, using everyday materials to
students, widen their vision and prepares them to participate in social spaces of the
medium in which he lives. It was found that students from the handling of concrete
objects during Pedagogical Workshop, felt it easier to learn geometry, made
abstractions and generalizations about geometric concepts. Yet learned to relate the
knowledge built with the environment around them, assigning the geometric content
in a pleasant way.
KEY-WORDS: Geometry. Mathematical modeling. Everyday materials.

11. SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO…………………………………………………………………… 10
CAPÍTULO I – PROBLEMATIZAÇÃO…………………………………………… 12
CAPÍTULO II - MODELAGEM MATEMÁTICA: UM INSTRUMENTO PARA O
ENSINO DA GEOMETRIA………………………………………………………… 16
2.1 Historicizando sobre a geometria………………………………………........ 16
2.1.1 A importância da aprendizagem da geometria……………………………. 20
2.2 Modelagem Matemática………………………………………………………… 22
2.3 utilizando a Modelagem Matemática no ensino da geometria……………... 26
CAPÍTULO III – METODOLOGIA…………………………………………………. 30
CAPÍTULO IV – ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS................................. 34
4.1 Desenvolvimento da Oficina Pedagógica.................................................... 34
4.1.1 Atividades práticas na oficina pedagógica.......................................... 37
4.1.2 Análise das atividades práticas................................................................ 40
4.2 Dados obtidos na aplicação do questionário.............................................. 41
4.2.1O posicionamento dos alunos antes da realização da Oficina Pedagógica 42
4.2.2 O posicionamento dos alunos depois da realização da Oficina
Pedagógica........................................................................................................... 47
CONSIDERAÇÕES FINAIS…………………………………………………………. 52
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………………………………………….. 54
ANEXOS............................................................................................................. 59
ANEXO A - Questionário aplicado aos alunos da 3ª série do ensino médio
do Colégio Estadual Senhor do Bonfim, em Cansanção-Ba............................... 60
ANEXO B- Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE)...................... 63
INTRODUÇÃO

12. 10
A cidadania é exercida através do domínio dos valores culturais e sociais de
cada sociedade. Exercer a cidadania significa dominar a língua escrita e falada,
dominar os princípios da matemática, dominar os conhecimentos como um todo,
para que o indivíduo tenha a percepção do mundo em que vive. A sociedade atual,
mais do que nunca, impõe ao indivíduo que ele tenha conhecimento profundo em
todas as áreas e, especificamente, com relação aos conhecimentos matemáticos, as
exigências são imensas uma vez que ela está presente praticamente em todas as
situações do cotidiano.
A matemática está presente em todas as sociedades, cercando o homem de
números, de cálculos, lucros e perdas, juros e taxas, enfim, ela faz parte da vida
humana. Ela é uma atividade social porque o homem precisa dela para realizar
quase todas as suas atividades e para isso, deve dominar os saberes matemáticos.
Inserida na Matemática está a Geometria, tão importante quanto a primeira, porque
o homem viver cercado de formas como losangos, quadrados, retângulos, círculos e
precisa saber realizar cálculos referentes à área de terrenos, ao volume de água
contida em tanques, ao comprimento de terrenos, etc.
Nesse contexto, foi realizado este estudo monográfico, que aborda o ensino-
aprendizagem da Geometria em uma determinada escola pública da cidade de
Cansanção, Bahia.
O capítulo primeiro, faz uma reflexão sobre a problemática, o que justificou a
realização do presente trabalho, o que despertou a curiosidade em realizá-lo e os
objetivos visados. No segundo abordou-se as falas dos autores sobre a temática em
questão, como D’Ambrosio (1990), Pavanelo (1993), Schimtz et al. (1994), Machado
(1997), Silveira (1998), Barbosa (2002), Bassanezi (2004), Fiorentini & Lorenzato
(2006), dentre outros, onde se falou sobre o ensino-aprendizagem em matemática e
sobre o ensino da Geometria.
O terceiro capítulo relaciona os procedimentos utilizados durante a pesquisa,
ou seja, o local do estudo, os sujeitos participantes, os instrumentos e a coleta dos

13. 11
dados. O quarto capítulo apresenta os resultados dos dados da pesquisa e os
analisa, fazendo uma comparação com os dizeres dos autores consultados no
decorrer da Fundamentação Teórica. Finalizando, fez-se considerações sobre tudo o
que foi visto e apurado, sobre os resultados que se obteve no desenrolar do
presente trabalho.

14. 12
CAPÍTULO I
PROBLEMATIZAÇÃO
Com toda a evolução da tecnologia e das ciências de um modo geral, o
ensino de matemática ainda é ministrado da mesma forma que ensinaram aos
nossos pais e avós, onde acontecia a exposição de conteúdos a partir de exemplos
resolvidos do livro didático, e finalizava com uma lista enorme de exercícios
idênticos, o que conduzia o aluno a decorar e repetir modelos já prontos de forma
mecânica. Durante décadas, esse paradigma de ensino que desvirtua e desassocia
a prática pedagógica do professor, do contexto de realidade do aluno, é que tem
transformado a Matemática em uma disciplina considerada difícil e sem significado
para a vida do aluno.
O mais preocupante é que esse processo de aprendizagem tem se estendido
também ao campo da Geometria, uma vez que ela apresenta uma complexidade
maior, se partir do pressuposto das dificuldades de visualização e abstração de seus
elementos e formas. Imagine-se, por exemplo, a complexidade que deve ser para os
alunos do ensino básico, identificarem e compreenderem os diferentes sólidos
geométricos e todos os seus elementos de composição, a partir de um desenho mal
feito na lousa pelo professor, exposição oral, ou até mesmo as ilustrações e
atividades compostas no livro didático. Para minimizar esse problema, a modelagem
matemática se apresenta como um instrumento facilitador na aprendizagem da
geometria, porque ela alia o tema a ser estudado, com a realidade dos alunos,
aproveitando as atividades do cotidiano.
O uso da modelagem matemática motiva o aluno, facilitando a aprendizagem
porque o conteúdo matemático deixa de ser abstrato e passa a ser concreto. Além
disso, desenvolve o raciocínio lógico e dedutivo, contribuindo para o
desenvolvimento do aluno, tornando-o um agente transformador de sua realidade.
O conhecimento geométrico virtual, abstrato e imaginário, atrelado à uma
prática pedagógica do professor, que parece abordar a geometria de forma
desconectada do cotidiano do aluno, tem resultado no componente de menos
importância dentro do universo matemático, causando desinteresse e desmotivação

15. 13
nos alunos. Ao ser privilegiado o ensino da matemática, em detrimento do ensino da
geometria, que parece ser abordado em segundo plano e de forma tradicional,
através de metodologias desinteressantes. Como consequência disso, os elementos
fundamentais da Geometria se tornam praticamente desconhecidos para os alunos.
No cotidiano de minha sala de aula, tenho observado que os alunos vêm de
séries anteriores com grandes dificuldades na aprendizagem dos conteúdos de
Geometria. Diante desse fato, surgiu o interesse em realizar um estudo sobre a
aprendizagem da geometria através da modelagem matemática, com o intuito
investigar como a modelagem matemática pode facilitar a aprendizagem da
geometria, estimulando uma aprendizagem significativa.
São inúmeros os fatores que me levaram a pesquisar e escrever esse
trabalho, desde a minha formação no ensino básico, passando por dez anos de
experiência como professor no ensino fundamental e médio, aluno de graduação até
as experiências vividas nos estágios.
Durante a minha formação no ensino básico tive pouco contato com a
Geometria, e essa por sua vez, era apresentada pelo professor de forma artificial,
abstrata e expositiva na lousa e reproduzida por nós, alunos, no caderno. Isso fez
com que eu saísse do ensino médio com um conhecimento acerca dos elementos
básicos da Geometria muito aquém do necessário para o acompanhamento e
compreensão dos conteúdos geométricos propostos para essa etapa da educação
básica, e esse gargalo na educação estende-se aos dias atuais. Ao concluir o ensino
médio em Magistério, fui convidado a lecionar aulas de matemática no ensino
fundamental e médio da rede pública e particular de ensino, com uma formação
deficiente em Geometria, acabei reproduzindo o mesmo processo metodológico de
outrora.
Ao entrar no curso de Licenciatura em Matemática, descobri a importância da
Geometria para humanidade e sua presença constante no dia-a-dia das pessoas,
através dos componentes curriculares Geometria Plana, Espacial, Descritiva e
Desenho Geométrico, ministrados pela Professora Miriam Brito. Mas, foi durante o
curso com os componentes pedagógicos orientados pela Professora Alayde Ferreira

16. 14
que eu estive em contato com a Modelagem Matemática, onde comecei a pesquisar
e visualizar uma aplicabilidade direta na Geometria e uma ferramenta indispensável
na prática pedagógica do professor de qualquer área do conhecimento,
principalmente de Matemática. Mas, foi durante os estágios, mediante a realização
de mini-cursos, a utilização de uma metodologia diferente inovadora e a excelência
dos resultados obtidos que mim motivaram a desenvolver esse trabalho.
A aversão, sentida pelos alunos, aos conteúdos geométricos pode estar
ligada à forma como essas aulas são ministradas, geralmente por meio de um
enfoque oral e expositivo, metodologias tradicionais que privilegiam sempre a
explanação oral e a reprodução de exercícios do livro didático. E, uma possível
explicação para tal problema pode estar na ausência de uma prática pedagógica
mais interessante, que lance mão de estratégias mais criativas, como o uso de
objetos manipuláveis, em detrimento de sólidos geométricos desenhados na lousa.
Estes, dificultam a compreensão por não estarem relacionados à vivência, enquanto
aqueles são de imediata abstração, por fazerem parte da realidade do aluno. Em
síntese, romper com estilos tradicionais já cristalizados e adotar os princípios da
modelagem matemática, é uma medida que pode resolver parte desse problema.
A questão norteadora deste estudo foi: até que ponto a Modelagem
Matemática pode contribuir na aprendizagem significativa da geometria plana e
espacial, dos alunos do 3º ano A e 3º ano B do Ensino Médio do Colégio Estadual
Senhor do Bonfim, situado na cidade de Cansanção, BA. Objetivou-se de forma
geral, investigar a importância da modelagem matemática como um instrumento na
aprendizagem significativa da geometria. Especificamente, objetivou-se:
a) analisar como a modelagem matemática pode facilitar a aprendizagem de
geometria;
b) verificar se o uso de materiais do cotidiano do aluno, facilita a aprendizagem.
A relevância social deste estudo se insere no sentido de que, a dificuldade na
aprendizagem da geometria pode ocasionar um atraso na formação do educando,
contribuindo para um alto índice de evasão escolar, e consequentes altos
percentuais de analfabetismo no país. A relevância científica está no fato de que a
modelagem matemática na aprendizagem da geometria, pode instrumentalizar o

17. 15
cidadão para atuar e transformar a sociedade em que vive, identificando
competências e valores que contribuem para o seu desenvolvimento intelectual,
estimulando a criatividade, a intuição, a capacidade de análise e de crítica para
interpretar fatos e fenômenos

18. 16
CAPÍTULO II
MODELAGEM MATEMÁTICA: UM INSTRUMENTO PARA O ENSINO DA
GEOMETRIA
Sempre existiu uma grande preocupação com a formação dos jovens, por
parte dos pais e professores. Uma educação de qualidade é a meta de todos os
envolvidos no sistema educacional e para isso, estudos diversos vêm sendo
desenvolvidos com o objetivo de encontrar metodologias facilitadoras do ensino.
Especificamente no ensino da geometria, essa preocupação aumenta porque uma
grande parte do alunado afirma não gostar de aprender geometria, que ela é muito
difícil, que ela é “chata” (grifo nosso), que é desinteressante.
Os autores consultados, que fundamentam este capítulo, foram selecionados
de acordo com a temática que abordam em seus escritos. Por exemplo: Barbosa,
Caldeira e Araújo falam sobre a modelagem matemática na educação matemática
brasileira, Bassanezi e Biembengut salientam sobre a modelagem matemática como
uma estratégia inovadora no ensino da matemática; Costa, Bermejo e Moraes
analisam o ensino da geometria espacial no Ensino Médio, D’Ambrósio defende a
Etnomatemática como uma nova arte de explicar e conhecer, Machado fala sobre a
matemática e a realidade do homem, Pavanelo alerta sobre o abandono do ensino
da Geometria no Brasil, Lopes e Nasser abordam a Geometria na era da imagem e
do movimento, Nasser enfatiza o desenvolvimento do raciocínio no ensino-
aprendizagem da Geometria.
2.1 Historicizando sobre a geometria
A parte da matemática que estuda o espaço e as figuras que nele existem
chama-se Geometria. O seu estudo permite construir pontos, retas, diversos planos,
ângulos e o centro de gravidade dos objetos. Ela faz parte da humanidade desde os
tempos mais remotos.
Geometria é uma palavra derivada do grego geometrein, significando medição
da terra: geo (terra) e metrein (medição). Há cerca de 5.000 anos atrás, ela se

19. 17
referia a uma ciência cujo objetivo era medir as áreas dos terrenos. Posteriormente,
a geometria passou a fazer parte da matemática, estudando figuras como esferas,
cubos e retângulos. A sua origem está intimamente relacionada a determinadas
práticas do cotidiano, tais como calculo de áreas, superfícies e volumes (SCHIMTZ,
1994 apud MENDES, 2007).
A história sobre o conhecimento geométrico, é possivelmente tão
antigo quanto a origem do homem em nosso planeta, pois o ser
humano desde a sua infância até a sua fase adulta, de certa forma,
jã passa a utilizar alguns conceitos geométricos, quando ele observa
e utiliza o espaço em que vive (SCHIMTZ, 1994 apud MENDES,
2007, p. 12).
Ela vem sendo estudada desde tempos antigos, nas civilizações egípcia e
babilônica, por volta do século XX a.C. Braz (2009) relata que no Egito, o rio Nilo na
época das chuvas, inundava os terrenos e destruía as marcas de delimitação das
terras gerando conflitos entre os proprietários e com o governo. Sem marcos
fronteriços, os proprietários não tinham noção dos limites de suas terras, invadiam
as possessões dos vinhos e não pagavam os impostos devidos. Diante desse fato,
os faraós passaram a nomear agrimensores para que eles restabelecessem as
fronteiras entre as propriedades, determinando as áres de lotes de terreno,
dividindo-o em retângulos e triângulos (BRAZ, 2009). Nascia então, a geometria.
O cálculo da extensão dos campos, realizado pelos agrimensores,
provavelmente era feito por meio de simples golpe de vista. Quando iam calcular
extensões irregulares de terra, eles apelavam para um artifício chamado de
triangulação (Figura 1), ou seja, traçavam linhas a partir de um determinado ponto,
dividindo o terreno em porções triangulares, cujas áreas dos triângulos, quando
somadas, resultavam na área total do terreno (SMOLE, DINIZ, CÂNDIDO, 2003).
Outras civilizações antigas como a hindu e a Chinesa, possuíam
conhecimentos geométricos. A geometria era uma ciência empírica, com regras
práticas através das quais se obtinha resultados aproximados, e os conhecimentos
geométricos foram utilizados para construir as pirâmides e os templos. “As
construções das pirâmides e templos pelas civilizações egípcia e Babilônica são o

20. 18
Figura 1. Triangulação: artifício para medir a área de um terreno irregular.
Fonte: http://www.somatematica.com.br/, 1998.
testemunho mais antigo de um conhecimento sistemático da Geometria”
(PAVANELO, 1993, p. 16).
As pirâmides (Figura 2) foram construídas durante o Império antigo (3200 a.C.
-2300 a.C.) pelos faraós Quéops, Quéfren e Miquerinos, e são consideradas uma
das sete maravilhas do mundo, visto que na sua construção foram usados cerca de
dois milhões de blocos de pedra e, conforme salienta Mendes (2007), cada bloco
pesava em média 2.5 toneladas e eram ajustados entre si. Nas pirâmides, os “tetos
[…] foram construídos em blocos de 54 toneladas; o erro relativo da base quadrada
é de 1/14000 e o erro relativo dos ângulos dos vértices da base não excede
1/27000” (MENDES, 2007, p. 18).
Figura 2. As pirâmides do Egito e sua forma geométrica.
Fonte: www.vidailuminada.com.br. 2008.

21. 19
Os povos mesopotâmicos costumavam escrever nas tábulas de argila, e
nestas, arqueólogos descobriram anotações geométricas. Conforme Eves (2004
apud MENDES, 2007, p. 15):
O conhecimento geométrico encontrado nestas tábulas de argila
chama a atenção por seu grau de conhecimento da Geometria plana
(área) e espacial (volume) […], eles já demonstravam bastante
familiaridades com as regras gerais para os cálculos de áreas de
figuras geométricas planas, tais como: retângulo, triângulo, retângulo
e isósceles, trapézio retangular, círculo com π equivalente a três
unidades de medida. Demonstravam também familiaridade com o
volume de alguns sólidos, a exemplo do paralelepípedo retangular,
prisma reto de base trapezoidal e cilindro reto.
Por volta do ano 500 a.C. vários sábios gregos se dedicaram ao estudo da
geometria e assim, ela foi estabelecida, como teoria dedutiva, começando por Tales
de Mileto e sendo reforçada posteriormente pelos pitagóricos. Tales de Mileto usou
as figuras geométricas para a determinação das distâncias sobre a superfície
terrestre (MENDES, 2007).
Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica
comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à
astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos
lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides,
Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho
de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os
"Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a
Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por
importação do Egito (DICIONÁRIO ENCICLOPÉDICO CONHECER -
ABRIL CULTURAL, s.d.).
A obra “Os Elementos” de Euclides, refere-se a uma genial compilação de
todo conhecimento geométrico, destacando também alguns aspectos aritméticos e
algébricos elementares. Ela serviu de base para as novas geometrias (MILLES,
1999 apud MENDES, 2007).
O mais célebre dos geômetras foi Euclides de Alexandria, que escreveu o
tratado “Elementos”, composto por 13 livros, no qual ele dá a definição de pontos,
linhas, planos. Entretanto, nesse compêndio, Euclides não dá a definição de
comprimento, distância ou declive, usados atualmente nas aulas de Geometria.

22. 20
Coube a René Descartes (matemático francês) inovar a geometria, através da
descoberta da relação entre as figuras geométricas e certos cálculos numéricos.
Desta forma, foi possível resolver facilmente, através do cálculo, problemas que
eram muito difíceis à luz da geometria.
2.1.1 A importância da aprendizagem da geometria
A Geometria permite a ligação entre as diversas áreas da Matemática, como
também desenvolve o raciocínio matemático, porque facilita aos alunos a
aprendizagem da resolução de problemas. Estabelece as relações entre os objetos,
proporcionando a percepção do mundo físico e facilitando a sua interpretação
através da resolução dos problemas cotidianos. Ela se faz presente em vários
espaços da sociedade atual, como na arquitetura, produção industrial, topografia,
design, artes plásticas, dentre outros.
O homem vive em uma sociedade repleta de formas geométricas tais como:
retas, planos, pontos, retângulos e quadrados, formas estas que são utilizadas nas
criações e construções humanas. A arquitetura moderna apresenta-se de uma
maneira arrojada, assim como os design de produtos industriais nas artes e nos
objetos. Como exemplo das formas geométricas aplicadas na arquitetura, cumpre
ressaltar as construções de Brasília (Figura 3), que desafiam as formas da
geometria clássica.
Figura 3. Formas geométricas da cidade de Brasília.
Fonte: NOÉ, M., 2010. Disponível em http://www.educador.brasilescola.com/estrategias-
ensino/importancia-ensino-geometria.htm

23. 21
No seu cotidiano, o homem se comunica matematicamente (mesmo sem o
perceber), faz uso de representações geométricas nas situações-problemas que se
apresentam em sua vida. Para que consiga resolver a contento essas situações-
problema, é necessário saber argumentar usando seu raciocínio lógico.
Como argumenta D’Ambrósio (1990, p. 9): "Não encontraremos no cotidiano
de todos os povos e de todas as culturas, atividades que não envolvam alguma
forma de Matemática. […]. Mas não necessariamente a Matemática que está nos
currículos...".
A importância de aprender os conceitos geométricos, reside no fato de que
eles promovem mudanças qualitativas na aprendizagem da Matemática,
possibilitando a preparação das competências: resolver problemas e desafios da
vida cotidiana. ”... e no mundo de hoje, a Geometria está presente em vários
campos de atuação do homem, ajudando-o a resolver os mais simples problemas
do seu dia-a-dia, até os mais ambiciosos projetos” (CENP,1995, p. 64).
Conhecer a geometria é muito importante porque é através das suas formas
geométricas que se calcula as distâncias e as medições e se aprecia as formas da
arte e da natureza. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) ressaltam que no
campo geométrico deve-se “enfatizar a exploração do espaço e das representações
e as articulações entre geometria plana e espacial” (BRASIL, 1998, p. 60).
A importância da geometria é tão grande que deveria ser uma disciplina
constante no currículo escolar e não apenas uma das áreas da Matemática, como
salienta Mendes (2007, p. 34): “a Geometria deveria ser incluída na LDB 9.394/96
como disciplina curricular e não ser apresentada […] apenas como ‘tópicos’
geométricos”.
No Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) é proposto que os temas
geométricos sejam trabalhados de forma que estimulem a curiosidade do aluno,
para despertar no educando a capacidade de reconhecer os objetos no espaço,
capacitando-o para se orientar no ambiente em que vive (MENDES, 2007). Nesse

24. 22
contexto, as atividades durante as aulas de geometria devem ser centradas em uma
perspectiva que estimule os desenhos, utilizando-se construções de objetos
geométricos como maquetes, planificações, dobraduras e recortes.
A geometria desenvolve o raciocínio visual, torna a leitura interpretativa do
mundo mais completa, ampliando a comunicação das idéias e facilitando a
compreensão da Matemática e habilitando o aluno a resolver as diferentes situações
que forem geometrizadas. Ela permite o desenvolvimento da capacidade de
abstração, da capacidade de estimar e comparar, de reconhecer as propriedades
das formas geométricas (BRASIL, 2006).
O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o
desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do
quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas,
estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades
de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de
medida. Também é um estudo em que os alunos podem ter uma
oportunidade especial, com certeza não a única, de apreciar a faceta
da Matemática que trata de teoremas e argumentações dedutivas.
(BRASIL, 2006 apud COSTA; BERMEJO; MORAES, 2009, p. 3).
Por fazer parte da vida do homem desde os tempos mais remotos, a
geometria possui uma importância inquestionável nas sociedades humanas. O seu
ensino nas escolas deve ser marcado por métodos que valorizem e estimulem um
aprendizado agradável e proveitoso, despertando o interesse dos alunos. Nesse
contexto, o uso da modelagem matemática parece ser uma das ferramentas mais
adequadas à aprendizagem da geometria.
2.2 Modelagem Matemática
Em todos os setores da vida humana, a assimilação dos conhecimentos se
fará melhor se houver uma ligação entre o concreto e o abstrato, entre a prática e a
teoria. Especificamente, na Educação, o estabelecimento de vínculos entre os
conceitos cotidianos e os conceitos sistematizados, contribui para uma
aprendizagem melhor em qualquer disciplina.

25. 23
Em relação à Educação Matemática, a vinculação entre as situações-
problema do cotidiano do aprendiz e os conceitos sistematizados, é uma forma
inteligente de compreender os fenômenos do mundo real. E é nesse contexto que se
insere a Modelagem Matemática (MM), porque ela une a teoria à prática, motivando
o aprendiz a entender a realidade em que vive e a procurar transformá-la.
A modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas
da realidade em problemas matemáticos e resolve-los interpretando
suas soluções na linguagem do mundo real. […] A modelagem
pressupõe multidisciplinaridade. E, nesse sentido, vai ao encontro
das novas tendências que apontam para a remoção de fronteiras
entre as diversas áreas de pesquisa (BASSANEZI, 2004 apud
BARBOSA, CALDEIRA e ARAÚJO, 2007, p. 56)
O objetivo da Modelagem Matemática é a interpretação e compreensão dos
fenômenos do cotidiano, pois como afirmam Silveira e Ribas (1998), ela tem o poder
de descrever estes fenômenos, analisá-los e interpretá-los com o propósito de gerar
discussões reflexivas sobre tais fenômenos que cercam o cotidiano.
Trabalhar com a ela em sala de aula, salienta Barbosa (2003), traz muitos
benefícios para a aprendizagem dos alunos, podendo ser citados: a motivação, a
facilitação da aprendizagem (o abstrato se torna concreto),o desenvolvimento do
raciocínio lógico e dedutivo, a interatividade da matemática com as demais
disciplinas e, por último, a matemática deixa de ser complicada e passa a ser
respeitada diante do papel sócio-cultural que representa.
No Ensino Fundamental e Médio, parece que a modelagem é eficaz quando é
utilizada como uma ferramenta alternativa para o ensino de Matemática, partindo
dos conceitos gerais para a compreensão da realidade onde o aluno vive. A sua
eficiência pode ser verificada através do entusiasmo que os alunos sentem em
aprender matemática, como também através da avaliação, que mede o que eles
realmente aprenderam.
É necessário desenvolver nos alunos, habilidades para empregar
com utilidade os instrumentos de seu meio e da sua cultura. […] é
importante considerar e utilizar os conhecimentos adquiridos fora da
escola, como é fundamental dar condições a fim de que os alunos se
relacionem com a diversidade de informações. Assim para que possa
vivenciar uma educação crítica, formadora de cidadania e de opinião,

26. 24
a escola não pode dissociar os currículos da realidade (BARBOSA;
CALDEIRA; ARAÚJO, 2007, p. 100).
A aprendizagem significativa da matemática parece que somente será
concretizada quando se buscar a transformação das práticas escolares a partir das
experiências vivenciadas pelos alunos, aproximando a teoria com a prática. Um
ensino baseado na reprodução do que é visto na sala de aula, não estabelece
nenhuma conexão com a realidade em que o aluno vive e por isso, não desperta o
seu interesse.
O aluno precisa ser preparado para ser um cidadão crítico e cheio de
competências, capaz de analisar e argumentar criticamente a realidade cultural,
social e política em que vive. Ele deve ser preparado para pesquisar, discutir e
questionar e, para que isto aconteça, é imprescindível que vivencie os fatos,
refletindo sobre eles (BARBOSA, CALDEIRA. ARAÚJO, 2007).
Almeida e Brito (2003) afirmam que a Modelagem Matemática desenvolve o
pensamento crítico e reflexivo no estudante. Barbosa (2003) apud Barbosa, Caldeira
e Araújo (2007, p.103)) também defende o uso da Modelagem Matemática
afirmando que ela é “um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são
convidados a problematizar e investigar, por meio da matemática, situações com
referência na realidade”
Apesar de Burak (2004 apud BARBOSA; CALDEIRA; ARAÚJO, 2007, p 103)
achar que a Modelagem Matemática é “uma alternativa metodológica para o ensino
da Matemática”, ela não deve ser usada como uma única metodologia de ensino,
devendo ser associada a jogos, brincadeiras, à história da matemática, resolução de
problemas, com o intuito de se obter o melhor resultado possível no ensino da
matemática.
Como uma estratégia de aprendizagem, a modelagem oferece muitas
contribuições que vão muito além da interação da matemática com a realidade,
ressaltam Almeida e Brito (2003). Trata-se da abordagem de um problema não
matemático por meio da matemática, cuja resolução lança mão de hipóteses e
aproximações simplificadoras em termos matemáticos.

27. 25
[…] A modelagem – que pode ser tomada tanto como um método
científico de pesquisa quanto como uma estratégia de ensino-
aprendizagem – tem se mostrado muito eficaz. No setor educacional,
a aprendizagem realizada por meio da modelagem facilita a
combinação dos aspectos lúdicos da matemática com seu potencial
de aplicações (BASSANEZI, 2006, p. 16).
Para Machado (1997) a Modelagem Matemática é o processo que abrange a
realidade a a matemática mediante estratégias de ação, proporcionando ao aprendiz
a análise global da realidade em que ele vive. Desta forma, a Matemática se origina
a partir da realidade e a ela retoma, pois o conhecimento matemático é formado a
partir do real.
Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são
convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática,
situações oriundas de outras áreas do conhecimento. Se tomarmos a
modelagem de um ponto de vista sócio-crítico, a indagação
ultrapassa a formulação ou compreensão de um problema,
integrando os conhecimentos de matemática, de modelagem e
reflexivo (BARBOSA, 2002, p. 06)
De acordo com Bassanezi (2006, p. 24) modelagem matemática é um
“processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos.
É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de
tendências”.
Bassanezi (2006) afirma ainda que a Modelagem Matemática pode ser usado
tanto como método científico como estratégia de ensino-aprendizagem. Quando é
utilizada como instrumento de pesquisa, ela pode estimular novas idéias e técnicas
experimentais, dar informações em diferentes aspectos dos inicialmente previstos,
servir como recurso para melhor entendimento da realidade e para preencher
lacunas onde existem falta de dados experimentais.
Como estratégia de ensino, a Modelagem matemática desenvolve a
capacidade e atitudes dos estudantes, tornando-os explorativos, criativos e
habilidosos na resolução de problemas; prepara o estudante para a vida real como
cidadão atuante na sociedade e, prepara o estudante para utilizar a matemática

28. 26
como ferramenta para resolver problemas em diferentes situação e áreas
(BASSANEZI, 2006).
No ensino da Geometria, a Modelagem Matemática também possui grande
importância uma vez que incentiva a aprendizagem ao produzir conhecimentos
geométricos a partir dos saberes e dos interesses dos alunos. A Modelagem
Matemática no ensino da Geometria é uma abordagem metodológica que produz
significados.
2.3 Utilizando a Modelagem matemática no ensino da geometria
“A modelagem é tão antiga quanto a própria Matemática, surgindo de
aplicações na rotina diária dos povos antigos”, afirmam Biembengut e Hein (2005, p.
9). O interesse em aprender geometria, desenvolve-se com mais facilidade quando é
movido por interesses e estímulos vindos do mundo real. Nesse contexto, a
modelagem se apresenta como um instrumento despertador do interesse
geométrico.
Ensinar matemática de forma contextualizada, voltada para a realidade e
convivência dos alunos, é a grande preocupação da área educacional atualmente.
Essa preocupação se estende ao ensino da geometria, onde a modelagem é
bastante eficiente.
No ensino da geometria devem ser desenvolvidas atividades em que a
modelagem matemática trabalhe os conceitos geométricos, tendo como suporte, por
exemplo, o manuseamento de embalagens de produtos diversos e a construção de
maquetes e plantas baixas.
Manuseando embalagens, os alunos poderão compreender melhor a
relação entre duas retas, entre reta e plano e entre planos (paralelos,
perpendiculares, concorrentes); ângulo e ângulo poliédrico,
propriedades dos polígonos (triângulos, quadriláteros, etc.) e da
circunferência e do círculo e dos sólidos geométricos
(BIEMBENGUT; HEIN, 2005, p. 35).

29. 27
Durante as aulas de geometria, o professor pode usar balanças para medir o
peso de determinado produto, e assim, o aluno pode verificar a massa e o peso
deste produto. O professor pode ainda, solicitar a construção de maquetes e plantas
baixas de uma construção, porque através delas, podem ser ensinados diversos
conceitos geométricos.A elaboração de maquetes proporciona a introdução de área
e volume dos sólidos geométricos como prisma, pirâmide, esfera, cilindro e cone.
Na introdução das medidas lineares, o professor pode solicitar aos alunos a
construção de uma “tabela constando os objetos ao redor e, em seguida, que
encontrem as medidas usando como unidade ou instrumento alguma parte do
próprio corpo (polegar, palmo, passos, braça)” (BIEMBENGUT e HEIN, 2005, p. 54).
Ao medirem os objetos, os alunos verificam que eles não possuem uma
medida inteira e se perguntam como podem medir os pedaços. É nesse momento
que pode ser apresentado o conceito e as operações com números racionais na
forma decimal (BIEMBENGUT e HEIN, 2005).
A construção de ornamentos como faixas, rosetas e mosaicos pelos alunos,
desenvolve a criatividade e permite conhecer a isometria ou simetria e a geometria
plana. Como ressaltam Biembengut e Hein (2005, p. 72): A gramática dos
ornamentos “estabelece uma classificação dos grupos de isometria, enfatizando as
propriedades matemáticas de translação, rotação, reflexão e translação refletida ou
glissoreflexão”.
A faixa (Figura 4) é um ornamento ilimitado, composta entre duas retas
paralelas, tendo a translação como a simetria fundamental da sua composição
(BIERMBENGUT e HEIN, 2005).
Figura 4. Faixa com borboleta.
Fonte: OLIVEIRA, 2000.

30. 28
A roseta (Figura 5) é um desenho dentro de um círculo, sendo a rotação a
simetria fundamental na sua composição (SOARES, ALMEIDA, AZEREDO, 2008). A
rotação, de acordo com Biembemgut e Hein (2005, p. 71),: é um “giro” da figura em
torno de um ponto fixo O (ponto que pode ou não pertencer à figura), isto é, para
todo ponto P do plano, P` é obtido sobre uma circunferência de centro O e raio OP
deslocado de um ângulo. A rosácea é um elemento arquitetônico ornamental, muito
usados nas catedrais durante o período gótico. Diversas formas geométricas formam
a rosácea, tais como ângulos, triângulos e círculos, dentre outros.
Figura 5. Rosácea.do interior da igreja de Kloster, na Alemanha.
Fonte: MOURA, V. (2010)..
O mosaico (Figura 6) é a translação em duas direções e para compô-lo são
necessárias redes que são: quadrados, retângulos, triângulos, losangos e
paralelogramos (SOARES, ALMEIDA e AZEREDO, 2008). A modelagem
matemática se faz presente na confecção de um mosaico. O mosaico é uma das
mais bonitas aplicações práticas da geometria, facilitando a compreensão de mutios
conceitos geométricos quando trabalhado na sala de aula, e estimula os alunos a
aprenderem a geometria.
Quando os alunos constroem figuras geométricas, eles aprendem, não
apenas a identificar e conceituar essas figuras, mas aprendem a sua aplicação
prática e a importância que elas têm na sua vida. Através dos arranjos geométricos
constantes no mosaico, os alunos aprendem a identificar as formas geométricas

31. 29
Figura 6. Mosaico
Fonte: SOARES, E. R. S. (2008).
encontradas na natureza, como os polígonos da casca do abacaxi e os hexágonos
dos favos de mel. Além disso, ao construirem faixas, rosáceas e mosaicos, os
alunos estão estudando a geometria de forma prazerosa e interessante, e a
Modelagem Matemática contribui para que isto aconteça, pois esta é uma das
formas de trabalhar a geometria através da modelagem. É necessário buscar
estratégias alternativas de ensino aprendizagem que facilitem a sua compreensão e
utilização (BASSANEZI, 2004).
O movimento em defesa da Modelagem Matemática como uma nova
metodologia no ensino de geometria, vem crescendo nas últimas décadas, em
virtude de que ela está na raiz do processo criativo e perpassa o caminho da
investigação científica (BIEMBENGUT, 2004).
A Modelagem Matemática é uma alternativa viável e eficiente no ensino da
Geometria, ao permitir um maior entendimento dos conteúdos geométricos a partir
de situações reais do cotidiano do aluno.

32. 30
CAPÍTULO III
METODOLOGIA
Observando-se as dificuldades no ensino de Geometria e a sua relevância,
procedeu-se a realização de um estudo com alunos do Ensino Médio da rede
pública de ensino, para verificar como os alunos a percebem.
O tipo de pesquisa utilizada neste estudo foi a qualitativa, porque de acordo
com Lüdke e André (1986) ela descreve o sistema de significados culturais de um
determinado grupo. ”A pesquisa qualitativa não se restringe à adoção de uma teoria,
de um paradigma ou método, mas permite, ao contrário, adotar uma multiplicidade
de procedimentos, técnicas e pressupostos” (PATTON, 2002, p. 12).
Para Goldenberg (1999) a pesquisa qualitativa objetiva compreender os
fenômenos estudados (ações dos indivíduos, grupos ou organizações em seu
ambiente social) e os interpreta de acordo com a perspectiva dos sujeitos do estudo,
não se preocupando com representatividade numérica. Ela possui características
próprias, que conforme Neves (1996) e Thiollent, (1997. p. 18) são:
- obedece a um plano pré-estabelecido, utilizando a teoria para desenvolver as
hipóteses e as variáveis da pesquisa;
- emprega, geralmente, para a análise dos dados, instrumental estatístico;
- confirma as hipóteses da pesquisa ou descobertas por dedução, ou seja, realiza
predições específicas de princípios, observações ou experiências;
- utiliza dados que representam uma população específica (amostra), a partir da qual
os resultados são generalizados, e
- usa, como instrumento para coleta de dados, questionários estruturados,
elaborados com questões fechadas, testes e checklists, aplicados a partir de
entrevistas individuais, apoiadas por um questionário convencional (impresso) ou
eletrônico.
Os instrumentos utilizados foram o questionário e a realização de oficinas
pedagógicas. Questionário é uma estratégia investigativa composta por diversas

33. 31
questões escritas, possibilitando a organização dos resultados por categoria, afirma
Oliveira (1995). Ele é importante para coletar dados nas pesquisas científicas.
A oficina pedagógica é um dispositivo que favorece a articulação entre
diversos tipos de saberes (o saber popular e o saber científico transmitido pela
escola), facilitando o sucesso do ensino-aprendizagem. Ela contribui para a
formação criativa e coletiva do conhecimento do aluno, como também para
determinadas aprendizagens do professor. É uma metodologia de trabalho em
grupo, na qual ocorre a construção coletiva do saber e intercâmbio de experiências.
De acordo com Anastasiou e Alves (2003. p. 96):
As oficinas são reuniões de um número pequeno de pessoas com
interesses comuns que têm o objetivo de estudar e trabalhar com o
conhecimento ou aprofundar um tema sob orientação de um
especialista. [...] uma estratégia do fazer pedagógico, em que o
espaço de construção e reconstrução do conhecimento são as
principais ênfases. É lugar de pensar, descobrir, reinventar, criar e
recriar, favorecido pela forma horizontal, na qual a relação humana
se dá.
Para a realização deste estudo escolheu-se como local um colégio da rede
pública de ensino, situado na cidade de Cansanção, no Estado da Bahia. A cidade
de Cansanção fica localizada na região nordeste do Estado da Bahia, situada a uma
distância de aproximadamente 350km de salvador e a 110km do município de
Senhor do Bonfim, cidade sede do campus VII da Universidade do Estado da Bahia
– UNEB. Com uma área total de 1317km2, densidade demográfica de 24,2 hab/km2
altitude 400m, o município possui 100 escolas municipais, 3 estaduais e 2
particulares. Destas, o Colégio Estadual Senhor do Bonfim foi a escolhida.
O Colégio Estadual Senhor do Bonfim (Figura 7), conhecido também como
Colégio Modelo, está localizado na Avenida João Durval, s/n, no centro da cidade,
apresentando uma ótima estrutura física com uma área de aproximadamente 2,5 mil
metros quadrados. Dispõe de seis salas de aulas bem arejadas com sala de TV e
vídeo, biblioteca, oito banheiros, almoxarifado, cantina, guarita, quadra poliesportiva,
sala exclusiva para planejamento de aulas, laboratório de química, laboratório de
informática ligada a rede mundial de computadores com provedor exclusivo, uma

34. 32
sala para secretária, sala para diretoria e professores. Além disso, dispõe de uma
área externa espaçosa com estacionamento pavimentado e um jardim. O
funcionamento do colégio ocorre durante os três períodos e oferece uma merenda
de boa qualidade para os alunos. O corpo administrativo é representado pelo diretor,
dois vices-diretores, uma secretária, 2 auxiliares de secretaria, 5 faxineiras, 2
vigilantes e 24 docentes. O número de alunos matriculados no corrente ano é de
aproximadamente 750, sendo todos no Ensino Médio. De acordo com a direção, o
Colégio apresenta um Projeto Político Pedagógico consolidado. Possui aparelhos
de TV, pendrives, ventiladores, ar condicionado e uma banda de fanfarra.
Figura 7. Vista parcial do Colégio Estadual Senhor do Bonfim, em Cansanção, Bahia.
Fonte: Analdino Barros (2011).
O público alvo deste estudo foram os alunos da 3ª série, turmas A e B, do
Ensino Médio, do turno matutino, do Colégio Estadual Senhor do Bonfim, em
Cansanção-BA. Essa escolha se deu pelo fato de que cerca de 40% dos alunos são
oriundos da zona rural e se pensou em utilizar a modelagem matemática na forma
de armazenamento de alguns produtos (feijão, milho, farinha), para que esses
alunos vejam como a geometria faz parte do dia-a-dia. Esses produtos que são
colhidos pelos alunos e suas famílias são, em geral, armazenados em tonéis

35. 33
cilíndricos de zinco, guardados dentro da própria residência. Portanto, essa atividade
constitui ferramenta importante para o desenvolvimento deste trabalho.
Desta forma, este estudo procurou explorar todos os elementos envolvendo a
Matemática, tanto do ponto de vista geométrico como aritmético, demonstrando aos
alunos a importância financeira e ambiental, da substituição dos tonéis de zinco
pelas garrafas PETI no armazenamento do feijão.
A coleta dos dados ocorreu no período de 3 a 13 de dezembro de 2010,
durante o qual foi aplicado um questionário aos alunos participantes da Oficina
Pedagógica.

36. 34
CAPÍTULO IV
ANÃLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS
A modelagem matemática no ensino da Geometria une o conteúdo ensinado
à realidade do aluno, aproveitando as vivências extra-classe do aluno com o
conteúdo que o professor está ensinando. Nesse contexto foi realizado o presente
estudo cujos dados foram coletados através de um questionário aplicado a 12
alunos, e através do desenvolvimento de uma oficina pedagógica em três etapas,
com uma carga horária de 5 horas cada uma.
Os 12 alunos participantes, pertencentes ao Ensino Médio, 3ª séries A e B,
foram escolhidos através do seguinte critério: de início lhes foi apresentada a
proposta e objetivos da oficina, em seguida, perguntou-se às duas turmas quem
gostaria de participar deste estudo e, apenas 12 deles prontificaram-se a participar.
Os demais disseram que a proposta era interessante e gostariam muito de
participar, porém, justificaram com as seguintes alegações: como está no final do
ano letivo alguns ônibus já pararam, muitas avaliações para estudar, organização da
formatura.
4.1 Desenvolvimento da Oficina Pedagógica
A primeira etapa da oficina pedagógica ocorreu em 03 de dezembro de 2010
e abordou a Geometria Plana. Inicialmente, falou-se sobre a importância da
geometria para a humanidade e sua presença constante no cotidiano. Em seguida,
foi feita uma apresentação em slides (power point) mostrando-se as principais
figuras geométricas planas e seus elementos. Continuando, dividiu-se a turma de
alunos em 6 duplas, os quais foram orientados a construírem figuras geométricas
como: quadrado, retângulo, triângulo, losango, paralelogramo, trapézio e círculo,
usando papelão.
A partir dessas figuras, explorou-se os principais elementos, como:
dimensões, propriedades, ângulos, perímetro e área, mostrando-se as fórmulas que
calculam a área de cada figura e como uma é conseqüência da outra. Para

37. 35
encerrar, pediu-se que os alunos usassem uma régua para calcular a área e o
perímetro de cada figura geométrica que eles tinham construído.
Nessas atividades, foi usada como estratégia de ensino a Modelagem
Matemática, usando-se os materiais comumente disponíveis nas vivências dos
alunos, ou seja, foram usados papelão, bolas de isopor, palitos, dentre outros. Os
alunos mostraram-se bem atentos e interessados, o que denunciou uma aula
motivadora, não maçante. Percebeu-se que a aprendizagem foi significativa,
fazendo com que os alunos passassem a gostar da Geometria.
Na segunda etapa da oficina pedagógica, realizada em 07 de dezembro de
2010, abordou-se os sólidos geométricos. Para iniciar, fez-se uma apresentação de
slides contendo os principais sólidos geométricos presentes na natureza, e nos
grandes projetos arquitetônicos antigos e contemporâneos. Logo a seguir, foi feita
uma apresentação dos principais sólidos geométricos usando objetos do cotidiano
do aluno, como: caixa de papelão, caixa de creme dental, lata de óleo, garrafas peti,
latas de refrigerantes, bola de isopor, etc. Dividiu-se então a turma de alunos em
quatro grupos com três alunos cada um e se solicitou a eles que construíssem
sólidos geométricos, da seguinte forma:
Grupo 1: Construir dois cubos, um de papelão e o outro usando bolinha de isopor e
palitos.
Grupo 2: Construir duas pirâmides (Figuras 8 e 9), uma de base quadrada usando
bolinhas de isopor e palitos e outra de base quadrada usando papelão.
Figura 8. Construção de figura geométrica durante a oficina pedagógica.
Fonte: Analdino Barros (2010).

38. 36
Figura 9. Figura geométrica construída com papelão durante a aula de Geometria na oficina
pedagógica.
Fonte: Analdino Barros (2010).
Grupo 3: Construir dois paralelepípedos (blocos retangulares) um usando papelão e
o outro usando bolinhas de isopor e palitos.
Grupo 4: Construir um cilindro usando papel sanfonado.
Tomou-se então esses sólidos construídos pelos alunos e se explorou os
principais elementos, as fórmulas e propriedades, como: vértice, aresta, face,
relação de Euler, área da base, área lateral, área total e volume. No quinto e último
momento foi dividida a turma em 3 grupos de 4 alunos, sendo que, cada grupo
deveria ter no mínimo um aluno da zona rural, sendo orientados a coletar os
seguintes dados que seriam debatidos na próxima etapa da Oficina:
a) Identificar uma família na zona rural que faça armazenamento de feijão em
um tonel de zinco em forma de cilindro.
b) Medir as dimensões (diâmetro, raio e altura) do tonel.
c) Quantos Kg de feijão cabe o tonel
d) O preço do metro quadrado do zinco.
e) Quantos kg de feijão cabe em uma garrafa peti de dois litros.
Na terceira etapa da Oficina Pedagógica, que foi realizada em 13 de
dezembro de 2010, aconteceu a conclusão dos assuntos abordados anteriormente,
fazendo-se os seguintes questionamentos aos alunos:

39. 37
a) Quantos metros quadrados de zinco tem o tonel?
b) Quanto gasta em reais para fazer um tonel como esse?
c) Qual é o volume (capacidade) desse tonel em litros de água?
d) Quantas garrafas peti de dois litros serão necessárias para armazenar todo o
feijão do tonel?
e) É viável substituir o tonel pelas garrafas peti? Por quê?
4.1.1 Atividades práticas na oficina pedagógica
Durante a oficina pedagógica, os alunos construíram uma pirâmide de base
triangular (Figura 10), usando bolinhas de isopor e palitos. Eles acharam muito
interessante e ficaram atentos a essa construção.
Figura 10. Alunos construindo figuras geométricas com bolas de isopor e palitos.
Fonte: Analdino Barros (2010).
Na última etapa da oficina pedagógica os grupos G1, G2 e G3 desenvolveram
as atividades práticas, com os dados orientados e pesquisados anteriormente. Aqui
não estão apresentadas as atividades desenvolvidas pelos grupos G2 e G3 uma vez
que os três grupos apresentaram trabalhos semelhantes divergindo apenas as
dimensões e, consequentemente, os resultados.

40. 38
O grupo G1 apresentou como elemento pesquisado um tonel na forma de
cilindro com as seguintes dimensões: raio 0,3m; altura 0,9m e circunferência 1,8m.
Segundo o grupo, o dono afirmou que neste tonel cabe 3 (três) sacos de feijão,
como uma saca tem 60kg, isso corresponde a 180kg de feijão. De acordo com o
grupo, o preço do metro quadrado do zinco em média custa R$ 8,00 (oito reais) e
em uma garrafa peti de dois litros cabe aproximadamente 1,85kg de feijão.
De mão desses dados e sobre a minha orientação o grupo respondeu os
questionamentos estabelecidos anteriormente usando fórmulas que envolvem o
cilindro. Os questionamentos foram:
a) Quantos metros quadrados de zinco tem o tonel?
Os alunos mediram o tonel (Figura 11) e fizeram o seguinte cálculo, usando
fórmula matemática:
Ab (áreas das bases) corresponde a
Ab = então Ab = 2 . 3,14 . 0,09 aproximadamente 0,6 metros quadrados.
Al (área lateral) corresponde a
Al = então Al = 2 x 3,14 x 0,3 x 0,9 aproximadamente 1,7 metros
quadrados.
At ( área total) corresponde a Ab + Al
At = 0,6 + 1,7 aproximadamente 2,3 metros quadrados.
O grupo chegou a conclusão que o tonel tem 2,3 metros quadrados de zinco.
Figura 11. Aluna medindo o tonel, durante a oficina pedagógica.

41. 39
Fonte: Analdino Barros (2010).
b) Quanto gasta em reais com zinco para fazer um tonel como esse?
Respostas dos alunos: 2,3 x 8 = 18,4 (dezoito reais e quarenta centavos)
aproximadamente.
c) Qual é o volume (capacidade) desse tonel em litros de água?
Respostas dos alunos: então V = 3,14 x 0,09 x 0,9 aproximadamente
0,254 metros cúbicos, fizeram 0,254 x 1000 e obtiveram 254 litros de água.
d) Quantas garrafas peti de dois litros serão necessárias para armazenar todo o
feijão do tonel?
Respostas dos alunos: 180 : 1,85 aproximadamente 97 garrafas.
e) É viável substituir o tonel pelas garrafas peti? Por quê?
Resposta dos alunos: Sim, pois além das garrafas peti serem de graça está
ajudando na prevenção do meio ambiente.
Durante a realização da oficina pedagógica os alunos teciam comentários
sobre a nova forma de aprender Matemática e Geometria, achando que desta forma
é bem mais interessante. Foi apresentado a cada aluno um Termo de
Consentimento com o qual todos concordaram. Vejamos o que alguns alunos
comentaram durante a realização das atividades:
As aulas deveriam ser sempre assim, brincadeiras. Estou
lembrando do tempo de criança, quando cortava papelão com
tesoura para fazer casinha de brinquedo (ALUNO A).
Estudar assim é muito bom, não precisa nem comprar caderno,
lápis, borracha e caneta, porque quase não escrevi, mas
aprendi muito mais (ALUNO B).
Na casa do meu avô tem um tonel e eu nem sabia o que ele
tinha haver com a Matemática (ALUNO C).
Eu sempre quis saber como calcular, quantos litros de água
cabe na caixa de um banheiro, de uma cisterna ou numa

42. 40
piscina. Porque as pessoas que trabalham na dengue fazem
isso para colocar o remédio que mata os mosquitos (ALUNO D)
As aulas assim ficam mais fáceis de aprender o assunto.
Estudar Matemática assim é menos chato (ALUNO E).
Eu nunca tinha visto aula deste jeito (ALUNO F).
Alguns desses assuntos eu já estudei, mas não assim dessa
maneira e também não lembro mais de nada, assim é mais real
(ALUNO G).
Tanta coisa que tem haver com a Matemática e eu não sabia
(ALUNO H).
Percebe-se neste momento a importância da Modelagem Matemática como
uma ferramenta interessante no ensino/aprendizagem, importância esta que é
corroborada por Fiorentini (1995) ao afirmar que os conhecimentos geométricos
devem ser construídos a partir dos saberes e dos interesses dos alunos. A prática
pedagógica cotidiana deve se alimentar não somente de teorias científicas, mas
também de grandes eixos culturais, de pesquisas, de experiências de sala de aula e
das comunicações cotidianas (FIORENTINI (1995).
4.1.2 Análise das atividades práticas
Durante a realização de todas as atividades práticas observei situações não
comuns em uma sala de aula, como: maior participação dos alunos através de
perguntas acerca do tema abordado, dedicação, concentração e envolvimento nas
tarefas desenvolvidas. Dessa forma, ratificando as minhas expectativas em relação
ao uso de objetos concretos e palpáveis do cotidiano do aluno como uma estratégia
motivacional, não só no conteúdo de Geometria, mas em todos os conteúdos que
envolvem a Matemática.
Houve uma entrega total dos alunos em todas as atividades, percebendo-se
que a realização das atividades parecia mais uma recreação do que uma aula
propriamente dita. Houve até disputa entre os alunos de cada grupo, para manipular
os objetos e construir as figuras. Todos queriam construir figuras geométricas.

43. 41
Realmente, o uso da Modelagem Matemática é inquestionável no tocante a
despertar o interesse dos alunos e a contribuir para uma aprendizagem significativa.
Como salienta Bienbemgut (2005, p. 18) a Modelagem matemática “é a arte de
transformar situações do meio circundante em modelos matemáticos”
Como se vê na resposta do aluno, acima transcrita, ele não tinha noção de
que alguns objetos como o tonel, têm relação com a matemática (Geometria). Outro
ficou encantado com a forma de aprender Geometria diante da manipulação de
materiais do seu dia-a-dia. Os alunos se sentiram bastante estimulados e
demonstraram grande interesse pelas atividades e pela aprendizagem da
Geometria. Esse fato é enfatizado por Santos (1997) porque ele diz que a motivação
é a peça chave do processo de aprendizagem e que o aluno precisa de estímulo
para aprender melhor. A aprendizagem da Geometria pode ser bem mais prazerosa
se forem utilizadas atividades lúdicas (SANTOS, 1997).
Ao concluir esse trabalho pude perceber uma grande quantidade de assuntos
que podem está sendo explorados pelo professor durante suas aulas, não só os
aspectos geométricos, mas também os aritméticos, as operações fundamentais,
transformações de unidades, medidas, etc.
4.2 Dados obtidos na aplicação do questionário
As questões do questionário foram divididas em duas etapas: a primeira
abordou o pensamento dos alunos antes da realização da Oficina Pedagógica e a
segunda etapa abordou o ponto de vista dos alunos depois da realização da Oficina
Pedagógica.
Do total da amostra de 12 alunos, 5 deles pertencem ao sexo masculino e 7
ao sexo feminino, sendo que todos freqüentam o turno matutino; 5 alunos se
encontram na faixa etária de 15 a 17 anos, 7 possuem idades entre 18 a 20 anos e
nenhum aluno possui idade acima de 20 anos. Essa identificação da população que
participou do estudo é essencial para que se verifique o pensamento de cada faixa
etária acerca da problemática estudada.

44. 42
4.2.1 O posicionamento dos alunos antes da realização da Oficina Pedagógica
Neste parte são discutidos os resultados obtidos durante a pesquisa de
campo realizada com os alunos do Colégio Estadual Senhor do Bonfim, da cidade
de Cansanção, Bahia. São coletadas informações antes e depois da aplicação da
oficina pedagógica, com o intuito de verificar o posicionamento dos alunos por serem
usadas estratégias diferentes de ensino em momentos distintos, ou seja, na sala de
aula e na oficina pedagógica. Antes da realização da oficina pedagógica, foram
aplicadas 4 questões para serem respondidas pelos alunos e se obteve os
resultados abaixo relacionados:
1ª questão: O seu nível de conhecimento sobre Geometria é satisfatório para a
série que você cursa?
Quando se perguntou aos alunos se o nível de conhecimento sobre geometria
estava de acordo com a série que eles cursavam, todos responderam que não.
Houve um consenso entre as respostas dos alunos, pois todos disseram que o
conhecimento que eles tinham da Geometria é insuficiente.
2ª questão: Se a sua resposta for não, diga por que você não aprendeu Geometria
Os alunos argumentaram que o conhecimento que eles têm da Geometria
ainda deixa muito a desejar e que esse fato era conseqüência de: pouca
capacitação dos professores, pouco tempo dedicado ao estudo da geometria e
metodologia inadequada utilizada pelos professores (Figura 12). O fato dos alunos
acharem que seus professores estavam pouco preparados para ensinar Geometria,
deve-se ao fato de que esses docentes, segundo os alunos, abordavam os
conteúdos geométricos de forma superficial, dando-lhes pouca relevância. Os alunos
justificaram suas respostas dizendo que:
A) Houve falta de capacitação dos professores (27%):
“Não. Porque não tive professor capacitado nesta área” (ALUNO A);

45. 43
“Os professores não se aprofundaram em relação ao assunto de geometria”
(ALUNO B);
Quanto à falta de preparo dos docentes, alegada pelos alunos entrevistados,
esta afirmação é corroborada por Bairral e Gimenez (2004, p.33), pois estes autores
ressaltam que: “Nos diferentes espaços de formação profissional que atuamos,
ainda temos percebido a insegurança e o medo de docentes em serviço ou futuros
professores, quando colocados frente a situações de ensino em geometria”.
Essa dificuldade que os professores parecem sentir com relação aos
conteúdos de Geometria, passa para os alunos. O que parece acontecer é que o
ensino da Geometria sempre fica por último, sendo alguns conteúdos “empurrados”
(grifo nosso) para o ano seguinte. Então, a visão do professor sobre a Geometria
interfere no que ele vai trabalhar em sala de aula, porque se tiver a visão de que a
Geometria é importante, isso não vai acontecer (GUIMARÃES, 2006).
Antigamente, essa disciplina limitava-se ao conhecimento das figuras e
cálculo de áreas e perímetros e, como salienta Castelnuovo (1989), essa abordagem
provocou efeitos nocivos sobre a formação dos professores, pois não tiveram uma
formação adequada em Geometria, que lhes desse segurança para atuarem em sala
de aula.
O despreparo de alguns docentes deveu-se ao fato de não terem tido
oportunidade de conhecer de forma clara os conteúdos do Plano de Curso. Por isso
sempre faziam as atividades constantes dos livros didáticos, embora soubessem
que precisavam conduzir seus alunos a buscar uma maior apropriação dos
conhecimentos geométricos.
B) O tempo destinado ao ensino de geometria foi insuficiente (46%):
“Porque foram ministradas poucas aulas de geometria” (ALUNO C);
“Porque tive poucas aulas de geometria” (ALUNO D);
“Porque estudei muito pouco sobre geometria” (ALUNO E).

46. 44
A maioria dos alunos disse que o tempo destinado ao ensino da geometria é
insuficiente. Esta afirmação contradiz o pensamento de Lopes e Nasser (1996),
quando eles assinalam que é importante trabalhar os conhecimentos geométricos
desde o início do Ensino Fundamental, e é uma necessidade desenvolver a
Geometria desde as séries iniciais, para que os alunos possam construir o seu
conhecimento naturalmente, associado às suas vivências as formas geométricas
presentes na natureza.
C) A metodologia usada foi a tradicional (27%):
“Porque para a pessoa provar que um triângulo tem 3 faces, pegando e cantando
seria bem mais prático” (ALUNO F);
“Não tive facilidade em compreender o assunto de geometria” (ALUNO G);
“A forma do professor ensinar era difícil” (ALUNO H).
Com relação à metodologia que os professores usam durante as aulas de
Geometria, a qual os alunos afirmaram ser tradicional, parece ser esta uma das
causas do pouco conhecimento que eles têm sobre a disciplina. Sobre isso,
Pavanello (1993) indica que o professor deve identificar e propor metodologias
voltadas para o ensino da geometria, que dinamizem a relação teoria/prática e que
tragam os quatro aspectos fundamentais da geometria: percepção, construção,
representação e concepção.
Deve-se ter muito cuidado com a metodologia usada no ensino de qualquer
disciplina e especificamente, neste caso, no ensino da Geometria, porque
dependendo da metodologia utilizada na sala de aula, terá ou não, um efeito positivo
na aprendizagem dos conteúdos geométricos estudados. Quando essa disciplina é
trabalhada através de construções planas e espaciais, realizada com uma
metodologia atraente e interessante, permite explorar, investigar e descobrir as
propriedades dessas construções, o que amplia a percepção e exploração do
espaço, permitindo que seja feita a interpretação do mundo em que vive o aluno.
Com as reformas que a Educação vem tendo, o ensino de Geometria no
Brasil vem sofrendo profundas modificações tentando, “tentando aproximar cada vez

47. 45
mais os conteúdos às situações do cotidiano do aluno, afinal vivemos num mundo
repleto de formas geométricas” (FAINGUELERNT, 1999, p. 12).
Do total de 12 alunos, uma pequena parte dos entrevistados, não justificaram
suas repostas.
Falta de capacitação
27% 27% dos professores
Tempo insuficiente
dedicado ao ensino
da geometria
Metodologia
inadequada
46%
Figura 12. O posicionamento dos alunos sobre as causas do nível de conhecimento sobre
geometria ser insuficiente.
Fonte: Pesquisa de campo (2010).
3ª questão: Os seus professores utilizavam nas aulas objetos do seu dia-a-dia para
ensinar os elementos de Geometria?
Quanto aos professores utilizarem objetos do dia-a-dia do aluno, durante o
ensino de geometria (Figura 13), foi respondido por 8 alunos (67%) que não eram
utilizados, enquanto que 3 alunos (25%) disseram que sim, que os professores
utilizavam esses recursos durante as aulas; 1 aluno (8%) não respondeu a esta
questão.
Com relação ao uso de objetos do cotidiano no ensino da geometria, segundo
a maioria dos alunos entrevistados, os professores não os utilizam. Essa atitude
contradiz a opinião de Silva e Martins (2000) pois eles acreditam que os materiais
manipuláveis são importantes no ensino da Geometria:
os materiais manipuláveis são fundamentais se pensarmos em
ajudar a criança na passagem do concreto para o abstrato, na

48. 46
medida em que eles apelam a vários sentidos e são usados pelas
crianças como uma espécie de suporte físico numa situação de
aprendizagem. [...] é relevante equipar as aulas com [...]com
materiais manipuláveis (cubos, geoplanos, tangrans, réguas, papel
ponteado, ábaco, e tantos outros) em adequação [...] com
determinado conceito matemático (SILVA e MARTINS, 2000, p. 4).
8%
25% Utilizam os recursos do
dia-a-dia do aluno
Não utilizavam recursos
do cotidiano do aluno
Não respóndeu
67%
Figura 13. Quanto à utilização, pelos professores, de recursos do dia-a-dia dos alunos.
Fonte: Pesquisa de campo, (2010).
4ª questão: A metodologia utilizada pelos seus professores facilitava a
aprendizagem dos conceitos geométricos?
Com relação à metodologia tradicional utilizada pelos professores, se ela
facilitava a aprendizagem de geometria (Figura 14), foi dito por 9 alunos (75%) que
não, enquanto apenas 2 alunos (17%) disseram que sim; um aluno (8%) não se
posicionou sobre esta questão.
Pires, Curi e Campos (2000) afirmam que dominar os conceitos geométricos é
muito importante porque é através deles que o aluno desenvolve um tipo especial de
pensamento que lhe permite compreender e representar o mundo em que vive. Para
aprender Geometria é preciso pensar geometricamente e desenvolver competências
como: experimentar, conjecturar, representar, estabelecer relações, comunicar,
argumentar e validar.
Uma metodologia interessante, realizada com técnicas que destaquem a
criatividade, estimula inclusive o professor e não somente o aluno, a desenvolverem
com maior prazer as atividades geométricas. Desta forma, é possível desenvolver

49. 47
mais motivação e estimular a criatividade em sala de aula, eliminando uma prática
educativa tradicional e desinteressante.
8% 17% A metodologia facilitava a
aprendizagem de
geometria
A metodologia não
facilitava a aprendizagem
Não respondeu
75%
Figura 14. A facilitação da aprendizagem através da metodologia utilizada pelos
professores, segundo os alunos entrevistados.
Fonte: Pesquisa de campo (2010).
4.2.2 O posicionamento dos alunos depois da realização da Oficina
Pedagógica
Nesta etapa, os alunos tiveram oportunidade de vivenciar um ensino de
Geometria diferente daquele que costumam ter na sala de aula, durante a Oficina
pedagógica. Vejamos o que eles responderam:
5ª questão: É importante o ensino de Geometria nas escolas?
Ao se perguntar se era importante o ensino de geometria nas escolas, todos
os alunos responderam afirmativamente. Ao afirmarem que o ensino da Geometria é
muito importante no currículo escolar, os alunos demonstraram ter uma visão
positiva. Essa visão dos alunos é compartilhada por Lorenzato (1995), pois este
autor diz que a Geometria tem função essencial na formação dos indivíduos,
possibilitando uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais
abrangente de idéias e uma visão mais equilibrada da Matemática.
6ª Questão: Se sua resposta for sim, por que sim: Se for não, por que não?
A maioria dos alunos justificou suas respostas afirmando que:

50. 48
A) A geometria é importante para a vida do homem:
“Porque além de conhecer os elementos da geometria, aprendemos a calcular
áreas” (ALUNO A);
“Porque precisamos para medir terrenos, caixas d’água, etc.” (ALUNO B);
“Pois a geometria é essencial para a nossa vida” (ALUNO C);
“Porque faz parte do nosso dia-a-dia” (ALUNO D).
B) Todos devem aprender Geometria:
”É muito importante porque aprende mais sobre geometria” (ALUNO E);
“Porque é um assunto que todos devem aprender” (ALUNO F);
“Porque precisamos da geometria” (ALUNO G);
“Porque o aluno deve ter conhecimento sobre as formas geométricas” (ALUNO H);
“Porque prepara o aluno para fazer outros cursos” (ALUNO I).
7ª questão: A utilização de objetos do seu dia-a-dia durante a oficina, facilitou a
compreensão dos conceitos básicos de Geometria?
Quando foi perguntado aos alunos se a utilização de objetos do cotidiano,
durante a oficina pedagógica realizada, teria facilitado a compreensão dos conceitos
geométricos, foi respondido por todos os alunos que sim.
Após a realização da oficina pedagógica, os alunos tiveram certeza de que o
uso de objetos do cotidiano no ensino da geometria, facilita e muito a compreensão
dos seus conteúdos, tornando-os mais compreensíveis, facilitando a sua
aprendizagem, tornando as aulas mais interessantes e motivadoras. Fiorentini e
Miorim (1990) compartilham da opinião dos alunos aos afirmarem que os materiais
manipuláveis possuem um caráter motivador estimulando a aprendizagem.
Vale ressaltar que apenas utilizar materiais concretos não é sinônimo de
aprendizagem significativa da Geometria. Além de manipular os materiais, é
imprescindível que seja feita uma reflexão nos processos e nos produtos, porque no

51. 49
ensino-aprendizagem da Geometria o mais importante é a atividade mental que
deve ser desenvolvida pelos alunos, aconselham Silva e Martins (2000).
8ª questão: A metodologia utilizada durante as oficinas, torna as aulas de geometria
mais interessantes e motivadoras para o aluno, do que a forma tradicional?
Quando se questionou se a metodologia utilizada durante a Oficina
pedagógica, tornou interessante e motivadora as aulas de Geometria, todos
responderam afirmativamente. Acontece que uma estratégia de ensino baseada nos
fatos da realidade do aluno, é interessante e motivadora e com relação à Geometria,
aprendê-la não é apenas adquirir regras, mas sim competências, permitindo o uso
adequado da mesma. É importante construir o significado dos conceitos para
somente depois traduzir esse conhecimento para uma linguagem simbólica.
A Geometria permite contextualizar os conteúdos, porque sua presença é
percebida e valorizada nos elementos da natureza e nas criações do homem,
afirmam Morelatti e Souza (2006).
Hernandez (1998) enfatiza que para a Geometria ser melhor entendida e
aprendida, é necessário escolher uma abordagem de ensino adaptada ao nível dos
alunos. Uma metodologia que permite a aprendizagem por meio da participação
ativa dos alunos, favorece a vivência de situações-problema, a reflexão sobre elas e
a tomada de decisão.
Ponte e Serrazina (s.d.) alertam para o fato de que novas estratégias no
ensino da Geometria, ampliam as representações para os alunos trabalharem os
conceitos geométricos. As novas estratégias de ensino devem ser construídas
levando-se em conta a realidade de cada aluno, a partir de atividades que
constituam desafios e sejam ao mesmo tempo significativas e capazes de incentivar
à descoberta e a criatividade, argumenta Anastacio (1990).
Machado Júnior (2005) enfatiza que a modelagem matemática melhora a
apreensão dos conceitos geométricos e estimula a criatividade. Ao se usar a
modelagem matemática no ensino-aprendizagem da Geometria, fazendo a ligação
da geometria escolar com a geometria da vida cotidiana do aluno, ocorrerá uma

52. 50
escolarização mais intensa, porque ela dá sentido e significado ao conteúdo
estudado.
9ª questão: Se sua resposta for sim, diga por que sim? Se sua resposta for não,
diga por que não?
Alguns alunos justificaram suas respostas da seguinte forma:
A) Facilita a aprendizagem e a aula fica menos cansativa:
“Porque no quadro fica mais difícil de entender e mais cansativo” (ALUNO A);
“Fica mais fácil compreender o assunto, fica mais compreensível para nós”
(ALUNO B);
“Porque vendo não ajuda muito, mas podendo tocar com as mãos, é melhor”
(ALUNO C);
“Sim, porque é mais interessante e mais fácil” (ALUNO D);
“Porque podemos observar os objetos de todos os lados, assim facilita o
aprendizado” (ALUNO E);
“Porque o aluno vai aprender mais e não vai tornar uma aula cansativa”
(ALUNO F).
Uma vez que a Geometria é uma disciplina que oferece ao aluno
possibilidades, frente a situações-problema, para desenvolver suas potencialidades,
deve ser ensinada de forma baseada na realidade do aluno, para que seja melhor
entendida. Desta forma, juntando as competências individuais aos materiais
manipulativos, livros didáticos, jogo e outros, estimula-se o desenvolvimento
cognitivo dos alunos. É nesse momento que entra a modelagem matemática,
facilitando a aprendizagem, como salienta Chaves (2005, p. 27):
As atividades de modelagem Matemática quando desenvolvidas em
sala, proporcionam a construção de conceitos com sentido, porque,
“partindo de problemas reais que conferem utilidade à matemática já
aprendida”, e, significado, “porque estarão relacionando a linguagem
simbólica própria da matemática com a linguagem textual de uma
situação real problematizada” (CHAVES, 2005 apud MACHADO
JÚNIOR, 2005, p. 16),

53. 51
Como ressalta Fonseca (2001) é importante buscar alternativas de ensino que
complementem os recursos tradicionais (quadro e giz), para que o aluno interaja
com os objetos existentes no ambiente, possibilitando-lhe o desenvolvimento de
sentidos, como a visão tridimensional e outros conhecimentos de forma
interdisciplinar. Nesse contexto, a Modelagem Matemática é uma ótima alternativa
porque relaciona a teoria com a realidade vivida pelos alunos, estabelecendo uma
ligação com o mundo real, despertando no aluno o prazer em aprender a Geometria.

54. 52
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O ensino da Geometria parece que tem se mostrado deficiente, embora haja
uma grande preocupação par parte dos educadores, em tentar melhorá-lo. Durante
a realização da oficina pedagógica, foi investigado se a modelagem matemática
proporcionava uma aprendizagem significativa da Geometria e se comprovou que
este fato é real, porque ao utilizarem materiais usados no seu cotidiano, os alunos
aprenderam com mais facilidade os conteúdos geométricos. Nesse contexto, os
objetivos iniciais foram atingidos.
Durante a realização da oficina pedagógica percebeu-se que os alunos se
mostraram receptivos às atividades propostas, pois relacionaram o conteúdo
geométrico com a realidade do seu cotidiano, o que comprova que a modelagem
matemática torna a aprendizagem mais interessante e produtiva. “Produzir
significados para conceitos geométricos subtende relacioná-los a outros contextos
internos ou externos à matemática” (DIAS, s.d., p. 189).
Percebeu-se um consenso entre todos os alunos de que o ensino da
Geometria ainda ocupa pouco espaço no currículo escolar, e que talvez em virtude
desse fato, o nível de conhecimento que eles possuem acerca dessa disciplina não
seja satisfatório. Outro fato que eles alegaram por não dominarem os conhecimentos
geométricos, foi o despreparo de seus professores, pois estes dedicam pouco tempo
ao ensino da Geometria, deixando-a sempre em segundo plano.
Tomou-se conhecimento de que a metodologia usada pelos professores,
ainda é a tradicional, tornando as aulas desinteressantes e maçantes,
desestimulando a aprendizagem da Geometria.
Os alunos têm noção da importância da Geometria para as suas vidas e
defendem a adoção, por parte dos professores, de uma metodologia mais moderna,

55. 53
baseada no uso de materiais concretos do seu cotidiano, o que contribui para
facilitar a compreensão e assimilação dos conteúdos geométricos.
Verificou-se que os alunos, a partir do manuseio de objetos concretos durante
a Oficina Pedagógica, sentiram mais facilidade em aprender a Geometria, realizaram
abstrações e generalizações sobre os conceitos geométricos. Aprenderam ainda a
relacionar os conhecimentos construídos com o ambiente a sua volta, assimilando
os conteúdos geométricos de forma prazerosa. O significado matemático é obtido
“através do estabelecimento de conexões entre a idéia matemática e outros
conhecimentos pessoais do indivíduo. Uma nova idéia é significativa na medida em
que cada indivíduo é capaz de a ligar com os conhecimentos que já tem” (PONTE et
al., 1997, p. 88).
Percebeu-se que a metodologia usada na Oficina Pedagógica permitiu
conhecer a utilidade dos conteúdos estudados em sala de aula, propiciando aos
alunos compreender as situações-problema do dia-a-dia. Além disso, permitiu que
os alunos trocassem informações entre si, ajudando-se mutuamente, realizando um
trabalho cooperativo.
Deixa-se aqui uma sugestão, para que os professores utilizem várias
metodologias de trabalho em sala de aula, procurando motivar seus alunos, pois a
falta de estímulo interfere na aprendizagem e, para que ela ocorra de forma
eficiente, é necessário esforçar-se para transformar suas aulas em momentos
significativos e marcantes.
Sugere-se ainda que novos estudos sejam realizados na escola objeto desta
pesquisa, com o intuito de informar aos professores que utilizem metodologias
interessantes e que a Geometria é muito importante na formação completa de seus
alunos.

56. 54
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALMEIDA, L. M. W. e BRITO, D. S. Modelagem Matemática na sala de aula:
algumas implicações para o ensino e aprendizagem da mat. Anais do XI CIAEM,
Blumenal, Rs, 2003.Disponivel em http://webcache.googleusercontent.com/search?
q=cache:Sy4m-DaZcSwJ:www.sbempaulista.org.br/epem/anais/Comunicacoes.
Acesso em 25 dez 2010.
ANASTÁCIO, M. Q. A. Considerações sobre a Modelagem Matemática e a
Educação Matemática. Rio Claro, 1990. Dissertação de Mestrado apresentada à
UNESP.
ANASTASIOU, L. G. C; ALVES, L. P. Processo de ensinagem na universidade:
pressupostos para as estratégias de trabalho em aula. Joinville: Univille, 2003, p. 96.
BAIRRAL, M. A.; GIMÉNEZ, J. Desenvolvimento profissional docente baseado na
WEB: perspectivas para a Educação Geométrica. Rio de Janeiro, Boletim GEPEM
n. 39, p. 25-36, set./2004.
BARBOSA, A. Modelagem matemática e a perspectiva sócio-crítica. Anais. São
Paulo: SBEM, 2003.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática e os futuros professores. In: REUNIÃO
ANUAL DA ANPED, 25, 2002, Caxambu. Anais. Caxambu: ANPED, 2002, p. 6.
BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D; ARAÚJO, J. L. Modelagem matemática na
educação matemática brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife:
SBEM, 2007, p. 56-100.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma
nova estratégia. 2. ed. São Paulo: Editora Contexto, 2004. IN: BARBOSA, J. C.;
CALDEIRA, A. D; ARAÚJO, J. L. Modelagem matemática na educação matemática
brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007, p. 56.
_______________Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova
estratégia. 3. ed. São Paulo: Contexto, 2006, p. 16-24.

57. 55
BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 4. ed. São
Paulo: Contexto, 2005, p. 9-18-35-54-71-72.
BIEMBENGUT, M. S., Modelagem Matemática & Implicações no ensino e na
aprendizagem de matemática. 2. ed. Blumenau, Edfurb, 2004.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares
Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: introdução aos
Pârametros Curriculares Nacionais. Brasilia: MEC/SEF, 1998, p. 60.
BRASIL. Ministério da educação e cultura. Parâmetros curriculares nacionais:
Ensino médio. Volume 2: Ciência da natureza, matemática e tecnologia. Brasília:
MEC, 2006, p. 75, 76. Disponivel em <
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/CC/CC_49.pdf>
Acesso em 18 nov 2010.
BRAZ, F. M. História da geometria hiperbólica. 2009. 34 fls. Monografia
apresentada à Universidade Federal de Minas Gerais. Instituto de Ciências Exatas.
Departamento de Matemática. Monografia desenvolvida como requisito para a
aprovação no curso de Especialização em Matemática para Professores da
Universidade Federal de Minas Gerais.
BURAK, D. Modelagem matemática e a sala de aula. IN: Encontro Paranaense de
modelagem em educação matemática, 2004, Londrina. Anais. Londrina: UEL, 2004.
CASTELNUOVO, E. Panorama de la Enseñanza Matemática en el Tiempo y en el
Espacio. Educación Matemática, v.1, n.3, pp.24-29, 1989.
CENP - Coordenadoria de Estudos Pedagógicos – SEE. Experiências
Matemáticas, 5ª série, São Paulo: Imprensa Oficial do Estado, 1995. Disponível em
http://www.webartigos.com/articles/37903/1/. Acesso em 20 nov 2010.
COSTA, A. C.; BERMEJO, A. P. B.; MORAES, M. S. F. Análise do ensino de
geometria espacial; GT02 – Educação Matemática no Ensino Médio e Ensino
Superior. X Encontro Gaúcho de Educação Matemática. 02 a 05 de junho de
2009, Ijuí/RS.

58. 56
D’AMBRÓSIO, U. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer. São
Paulo: Ática, 1990, p. 9.
Disponível em http://www.webartigos.com/articles> Acesso em 18 nov 2010.
DIAS, M. G. A. Modelagem no ensino da Geometria. s.d. Artigo apresentado à
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB), Departamento de
Matemática. Disponível em
http://www.sbemba.com.br/anais_do_forum/Comu_cientificas/CC19.pdf. Acesso em
03 mar 2011.
FAINGUELERNT, E. K. Educação Matemática: Representação e Construção em
Geometria. Porto Alegre: Artes Médicas, 1999, p. 12.
FONSECA, M. C. F. R. et al. O ensino de geometria na escola fundamental: três
questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. Belo Horizonte, Autêntica,
2001.
FIORENTINI, D. Alguns modos de ver e conceber o ensino de matemática no Brasil.
Zetetiké, ano 3, n. 4, pp.1-37, Nov 1995. Disponível em
http://www.sbemba.com.br/anais_do_forum/Comu_cientificas/CC19.pdf. Acesso em
03 mar 2011.
FIORENTINI, D. e MIORIM, M. A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos
e jogos no Ensino da Matemática. Boletim da SBEM-SP. São Paulo, Ano 4, n. 7, jul-
ago de 1990. Disponível em: <http://
www.mat.ufmg.br/.../files/Umareflexao_sobre_o_uso_de_materiais_concretos_e_jog
os_no_ensino_da_Matematica. Acesso em: 17 nov 2010.
GUIMARÃES, R. R. Um estudo do pensamento geométrico de professores das
séries iniciais do ensino fundamental segundo o modelo de van hiele. 2006.
118FLS. monografia apresentada à Universidade Federal de Minas Gerais-
Departamento de Matemática- especialização em matemática para professores,
ênfase: Geometria. Belo Horizonte, 2006.
GOLDENBERG, M. A arte de pesquisar: como fazer pesquisa qualitativa em
Ciências Sociais. Rio de Janeiro: Record, 1999.
HERNÁNDEZ, F. Transgressão e mudança na Educação: os projetos de
trabalho.Trad. Jussara Haubert Rodrigues. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

59. 57
HISTÓRIA DA GEOMETRIA. Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural..
Disponível em http://www.somatematica.com.br/geometria.php. Acesso em 10 jan
2011.
LOPES, M. L. M. L.; NASSER, L. Geometria na era da imagem e do
movimento. Rio de Janeiro: Projeto Fundão IM/UFRJ, 1996.
LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? In: Educação Matemática em
Revista – SBEM 4, 1995, p. 3-13.
LUDKE, M. e ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em Educação: abordagens
qualitativas.São Paulo: Ed. Pedagógica e Universitária 1986.
MACHADO JÚNIOR, A. G. Modelagem matemática no ensino-aprendizagem e
resultados. 2005.142p. Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade
Federal do Pará. Disponível em
http://www.ufpa.br/npadc/gemm/documentos/docs/Doc_12.pdf. Acesso em 28 fev
2011.
MACHADO, N. J. Matemática e realidade. 4. ed. São Paulo: Cortez Editora, 1997.
MENDES, C. O. A geometria do ensino fundamental na Escola Educandário
Senhora Santana, em Cansanção/BA. 2007. 70 fls. Monografia apresentada à
Universidade do Estado da Bahia- Campus VII, para obtenção do título de licenciado
em Ciências com Habilitação em Matemática.
MORELATTI, M. R. M.; SOUZA, L. H. G. Aprendizagem de conceitos geométricos.
Educar, Curitiba, n. 28, p. 263-275, 2006.
NEVES, J. L. Pesquisa qualitativa: características, usos e possibilidades. Cadernos
de Pesquisas em Administração, v. 1, n.3, 2º sem., 1996.
OLIVEIRA, M. A. Pesquisas de clima interno nas empresas: o caso dos
desconfiômetros avariados. São Paulo: Nobel, 1995.
PATTON, M. Qualitative research and evaluation methods. Londres, Thousand
Oaks : Sage Publications, 2002.
PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino da Geometria no Brasil: causas e
conseqüências. Zetetiké, Ano 1, número 1, CEMPEM/F.E. UNICAMP, 1993, pp. 7-
17, março de 1993.

60. 58
PIRES, C. M. C; CURI, E.; CAMPOS, M. M. Espaço & forma: a construção de
noções geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do Ensino
Fundamental. São Paulo: PROEM, 2000.
PONTE, J. P. et al. Didática da matemática. Ensino secundário. Lisboa: Ministério
da Educação, 1997, p. 88. Disponível em
http://www.sbemba.com.br/anais_do_forum/Comu_cientificas/CC19.pdf. Acesso em
03 mar 2011.
PONTE, J. P.; SERRAZINA, M. de L. Didática da Matemática do 1ª ciclo. Lisboa:
Universidade Aberta, s/d.
SANTOS, S. M. P. O lúdico na formação do educador. 5. ed. Rio de Janeiro:
Vozes, 1997.
SCHIMTZ, C. C. et al. Geometria de 1ª a 4ª série: uma brincadeira. São Leopoldo:
Editora da Unisinos, 1994. IN: MENDES, C. O. A geometria do ensino fundamental
na Escola Educandário Senhora Santana, em Cansanção/BA. 2007. 70 fls.
Monografia apresentada à Universidade do Estado da Bahia- Campus VII, para
obtenção do título de licenciado em Ciências com Habilitação em Matemática.
SILVA, A.; MARTINS, S. Falar de Matemática hoje é .... Millenium – Revista do
ISPV: Instituto Superior Politécnico de Viseu, sem, n. 20, out de 2000. Disponível
em: http://www.ipv.pt/millenium/20_ect5.htm. acesso em: 23 jun 2010.
SILVEIRA, J. C. e RIBAS, J. L. D. Discussões sobre modelagem matemática e o
ensino-aprendizagem. Londrina/Paraná. Universidade Estadual de Londrina-
UEL,1998. Disponível em http://www.somatematica.com.br/artigos/a8/. Acesso em
08 jan 2011.
SMOLE, K.S.; DINIZ, M.I.; CÂNDIDO, P. Figuras e formas. São Paulo: ArtMed,
2003.
SOARES, E. R. S.; ALMEIDA, P. C.; AZEREDO, W. S. O estudo de isometrias:
visão artística e matemática. 2008. 149 fls. Monografia apresentada ao Centro
Federal de Educação Tecnológica de Campos, como requisito parcial para
conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática.

61. 59
THIOLLENT, M. Pesquisa-ação nas organizações. São Paulo: Atlas, 1997.
ANEXOS

62. 60
ANEXO A - QUESTIONÁRIO APLICADO AOS ALUNOS DA 3ª SÉRIE DO ENSINO
MÉDIO DO COLÉGIO ESTADUAL SENHOR DO BONFIM, EM CANSANÇÃO-BA.
Caros alunos,
As informações obtidas neste questionário
serão usadas apenas para este estudo.
I. PERFIL DO ALUNO
a) Sexo
[ ] Masculino [ ] Feminino
b) Idade
[ ] 15 a 17 anos [ ] 18 a 20 anos [ ] Acima de 20 anos
c) Turno em que estuda
[ ] Matutino [ ] Vespertino [ ] Noturno
II. A VISÃO DO ALUNO SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA ANTES DA
REALIZAÇÃO DA OFICINA PEDAGÓGICA

63. 61
1. O seu nível de conhecimento sobre Geometria é satisfatório para a série que
você cursa?
[ ] SIM [ ] NÃO
2. Se a sua resposta for não, diga por que você não aprendeu Geometria.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3. Os seus professores utilizavam nas aulas, objetos do seu dia-a-dia para
ensinar os elementos de geometria?
[ ] SIM [ ] NÃO
4. A metodologia utilizada pelos seus professores, facilitava a aprendizagem
dos conceitos geométricos?
[ SIM [ ] NÃO
III. A VISÃO DO ALUNO SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA APÓS A
REALIZAÇÃO DA OFICINA PEDAGÓGICA.
5. É importante o ensino de geometria nas escolas?
[ ] SIM [ ] NÃO
6. Se sua resposta for sim, por que sim? Se for não, por que não?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

64. 62
7. A utilização de objetos do seu dia-a-dia durante a oficina, facilitou a
compreensão dos conceitos básicos de geometria?
[ ] SIM [ ] NÃO
8. A metodologia utilizada durante a oficina, torna as aulas de geometria mais
interessantes e motivadoras para o aluno, do que a metodologia tradicional?
[ ] SIM [ ] NÃO
9. Se sua resposta for sim, diga por que sim? Se for não, diga por que não?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

65. 63
ANEXO B- TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO (TCLE)
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
Aluno,
Você está sendo convidado para participar da pesquisa sobre o ensino da
geometria através da modelagem matemática. Sua participação não é obrigatória. A
qualquer momento você pode desistir de participar e retirar seu consentimento. Sua
recusa não trará nenhum prejuízo em sua relação com o pesquisador ou com a
instituição.
Sua participação nesta pesquisa consistirá em responder a um questionário,
bem como participar de uma oficina pedagógica. As informações obtidas através
dessa pesquisa serão confidenciais e asseguramos o sigilo sobre sua participação.
Os dados serão divulgados apenas para este estudo, mas será garantida a sua não
identificação.
Você receberá uma cópia deste termo onde consta o telefone e o endereço
institucional do pesquisador principal, podendo tirar suas dúvidas sobre o projeto e
sua participação, agora ou a qualquer momento.
______________________________________
ANALDINO DE SOUZA BARROS
ALUNO DA UNEB

66. 64
Declaro que entendi os objetivos, riscos e benefícios de minha participação na
pesquisa e concordo em participar.
_________________________________________
. NOME DO ALUNO ENTREVISTADO

67. 65