Unidade 04 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

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1 - Esforços em Barras Curvas
1.1 - Equações de Equilíbrio
1.2 - Tensões Normais em Barras Curvas

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Unidade 04 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

  1. 1. Unidade 04 Tensões Normais em Barras Curvas Fundamentos de Mecânica das Estruturas Leonardo Goliatt Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora versão 13.04 Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 1 / 29
  2. 2. Esforços em Barras Curvas Programa 1 Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Tensões Normais em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 2 / 29
  3. 3. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Programa 1 Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Tensões Normais em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 2 / 29
  4. 4. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Vamos começar o estudo com uma barra curva coplanar com seção constante. py (s) Mz Vz z My pz (s) Ns Vy s R y z y Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) x Unidade 04 versão 13.04 2 / 29
  5. 5. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio R é o raio de curvatura de um ponto qualquer Dois sistemas de coordenadas ortogonais: ( x, y , z) e ( s, y, z) ( x, y , z) localizado em alguma seção conveniente ( s, y, z) é um sistema curvilíneo onde s mede o comprimento de arco ao longo do eixo geométrico y é uma coordenada radial que aponta para o centro de curvatura z é normal ao plano da barra py (s) Mz Vz z My pz (s) Ns Vy s R y z y Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) x Unidade 04 versão 13.04 3 / 29
  6. 6. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio py ( s) e pz ( s) são forças externas por unidade de comprimento Assumimos que a torção de cada seção é desprezível (a resultante passa pelo centro de cisalhamento) Tensões resultantes: N s , Vy , Vz , My , Mz Forças positivas agem nas direções de crescimento de s, y e z Momentos positivos produzem tração nos quadrantes positivos y e z da seção. Assumimos que σ s , τ sy e τ sz são funções conhecidas de s py (s) Mz Vz z My pz (s) Ns Vy s R y z y Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) x Unidade 04 versão 13.04 3 / 29
  7. 7. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Barra curva coplanar py (s) Mz Vz z My pz (s) Ns Vy s R y z y Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) x Unidade 04 versão 13.04 4 / 29
  8. 8. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Vamos considerar um ponto P localizado no eixo da barra, a uma distância s do plano xy Vamos analisar a porção da barra entre os pontos P e P , localizado em s + ∆s P P z τsz s σs τsy y Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 5 / 29
  9. 9. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio A vista lateral (e) e superior (d) são mostradas abaixo Os esforços recebem incrementos ∆N s , ∆Vy , ∆Vz , ∆My , ∆Mz Os incrementos ∆py , ∆pz e ∆R são desprezados à medida que ∆s → 0 py 2R sin ∆ψ 2 Vy ∆s Vz + ∆Vz My cos ∆ψ 2 Mz P P ∆ψ 2 Ns + ∆Ns Ns P P Mz + ∆Mz Vy + ∆y R (My + ∆My ) cos ∆ψ 2 Vz ∆ψ pz Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 6 / 29
  10. 10. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Equilíbrio no plano xy ∆ψ é o ângulo entre as seções e P e P py Vy ∆s Mz P P ∆ψ 2 Ns + ∆Ns Ns Mz + ∆Mz Vy + ∆y R ∆ψ Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 7 / 29
  11. 11. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio py Vy ∆s Mz P P ∆ψ 2 Ns + ∆Ns Ns Mz + ∆Mz Vy + ∆y R ∆ψ Vy cos ∆ψ − (Vy + ∆Vy ) cos ∆ψ − py ∆s − N s sin ∆ψ − ( N s + ∆N s ) sin ∆ψ 2 2 2 2 ( N s + ∆N s − N s ) cos ∆ψ + (Vy + ∆Vy − Vy ) sin ∆ψ 2 2 Mz + ∆Mz − Mz + py ∆sR sin ∆ψ − Vy cos ∆ψ 2R sin ∆ψ + N s sin ∆ψ 2R sin ∆ψ 2 2 2 2 2 Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 = 0 = 0 = 0 versão 13.04 8 / 29
  12. 12. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Denotando ∆ψ = ∆s/R e somando as forças verticais Vy cos ∆ψ ∆ψ ∆ψ ∆ψ − (Vy + ∆Vy ) cos − py ∆s − N s sin − ( N s + ∆N s ) sin =0 2 2 2 2 À medida que ∆s → 0, temos que cos ∆ψ → 1 e sin ∆ψ → ∆ψ/2 = ∆s/2R 2 2 Dividindo a equação por ∆s ∂Vy Ns = −py − ∂s R Similarmente, somando as forças horizontais ( N s + ∆N s − N s ) cos e no limite Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) ∆ψ ∆ψ + (Vy + ∆Vy − Vy ) sin =0 2 2 Vy ∂N s = ∂s R Unidade 04 versão 13.04 9 / 29
  13. 13. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Somando os momentos em torno de P Mz + ∆Mz − Mz + py ∆sR sin ∆ψ − Vy cos ∆ψ 2R sin ∆ψ + 2 2 2 + N s sin ∆ψ 2R sin ∆ψ 2 2 = 0 Dividindo a equação por ∆s e tomando o limite ∆s → 0 ∂Mz = Vy ∂s Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 10 / 29
  14. 14. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Chegamos finalmente em: ∂Vy ∂s ∂N s ∂s = Vy R ∂Mz ∂s Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) = −py − = Vy Unidade 04 Ns R versão 13.04 11 / 29
  15. 15. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio As mesmas considerações podem ser feitas no plano xz, 2R sin ∆ψ 2 Vz + ∆Vz My cos ∆ψ 2 P P (My + ∆My ) cos ∆ψ 2 Vz pz chegando-se em = −pz ∂My ∂s Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) ∂Vz ∂s = Unidade 04 Vz versão 13.04 12 / 29
  16. 16. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Relações entre os esforços: ∂Vy ∂s ∂N s ∂s = Vy R ∂Mz ∂s = Vy ∂Vz ∂s = −pz ∂My ∂s Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) = −py − = Vz Unidade 04 Ns R versão 13.04 13 / 29
  17. 17. Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Se o eixo da barra pode ser parametrizada por uma curva f (t ) = ( x(t ), y(t )) então podemos determinar o raio de curvatura em cada ponto com R(t ) = onde k (t ) = 1 k (t ) x (t )y (t ) − y (t ) x (t ) 3 ( x (t )2 + y (t )2 ) 2 Se a curva pode ser representada explicitamente como y = f ( x), então k= Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) y 3 (1 + y 2 ) 2 Unidade 04 versão 13.04 14 / 29
  18. 18. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Programa 1 Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Tensões Normais em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 15 / 29
  19. 19. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Quando as distribuições de tensões são integradas na seção ransversal, temos σ s dA, Vy = τ sy dA, Vz = τ sz dA, (τ sz y − τ sy z)dA, My = σ s zdA, Mz = σ s ydA Ns = Ms = Vamos nos concentrar em avaliar σ s Sabemos que σ s é estaticamente equivalente a N s , My e Mz P P z τsz s σs τsy Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) y Unidade 04 versão 13.04 15 / 29
  20. 20. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas De acordo com as equações Ns = σ s dA, My = σ s zdA, Mz = σ s ydA a distribuição de tensões normais σ s depende de N s , My e Mz Porém, não podemos avaliar as integrais acima sem conhecer σ s como função de de y e z Com as equações da estática exauridas, temos que nos voltar para considerações de deformação como informação adicional O que nos leva a conclusão que o simples problema de flexão de uma barra é estaticamente indeterminado Para evitar complicações desnecessárias, vamos introduzir a hipótese de Navier Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 16 / 29
  21. 21. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Hipótese de Navier Seções planas normais ao eixo geométrico da barra antes da deformação permanecem planas e normais a esse eixo após a deformação a a Essa hipótese foi originalmente usada por James Bernoulli (1654–1705), embora Louis Navier (1785–1836) a tenha usado para desenvolver a primeira teoria completa sobre tensões em vigas. A teoria para barras com pequenas curvaturas foi primeiramente introduzidas em 1858 por E. Winkler (1935–1888) e é por vezes chamada de Teoria de barras curvas de Winkler z y Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 u(s, y, z) versão 13.04 17 / 29
  22. 22. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Se tal condição prevalece, temos que o deslocamento na direção normal ao eixo geométrico, para um dado valor de s pode ser escrito u = α + βy + γz onde α = α( s), β = β( s) e γ = γ( s) z são funções de s, e podem ser consideradas constantes ao logo da seção. z y u(s, y, z) Vamos agora examinar a geometria de um elemento posicionado entre as seções em s e s + ∆s Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 18 / 29
  23. 23. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Seja ∆s o incremento no comprimento de arco. Fibras a uma distância y têm um comprimento ∆sy . Da geometria y ∆s ∆sy ∆ψ = e no limite ∆ψ Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) R ∆sy ∆s R ∆s = ⇒ = R R−y ∆sy R−y ds 1 = y dsy 1− R A deformação longitudinal de uma fibra qualquer fica ∂u ∂ = (α + βy + γz) s= ∂sy ∂sy Unidade 04 versão 13.04 19 / 29
  24. 24. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas y ∆s ∆sy s ∂s ∂s ∂s +b y+c z ∂sy ∂sy ∂sy ∂s (a + by + cz) ∂sy = a = onde a= Substituindo ∆ψ Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) R ds dsy s Unidade 04 dα , ds = = b= dβ , ds a= dγ ds 1 y 1− R 1 y (a + by + cz) 1− R versão 13.04 19 / 29
  25. 25. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas O problema se reduz a determinar a, b e c. Usando as equações da estática, Ns = σ s dA = aE Mz = σ s ydA = aE My = σ s zdA = aE dA + bE 1 − y/R ydA + bE 1 − y/R zdA + bE 1 − y/R ydA + cE 1 − y/R y2 dA + cE 1 − y/R yzdA + cE 1 − y/R zdA 1 − y/R zydA 1 − y/R z2 dA 1 − y/R onde os coeficientes da integrais dependem unicamente da geometria da seção transversal Por simplicidade, fazemos Jy = z2 dA, 1 − y/R Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Jyz = yz dA, 1 − y/R Unidade 04 Jz = y2 dA 1 − y/R versão 13.04 20 / 29
  26. 26. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Após algumas manipulações simbólicas, podemos reescrever os termos 1 dA 1 − y/R z dA 1 − y/R y dA 1 − y/R = = = 1 1 1 y2 ydA + 2 dA = A + R 1 − y/R R R 1 1 zdA + yzdA = zdA + Jyz R R 1 1 ydA + y2 dA = ydA + Jz R R dA + ydA + 1 Jz R2 E, considerando a origem do sistema de coordenadas no centroide da seção, yda = yA = 0 zda = zA = 0 Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 21 / 29
  27. 27. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas E com isso, o sistema se reduz a Ns E Mz E Mz E = = = A+ Jyz Jz Jz a+ b+ c R R R Jz a + Jz b + Jyz c R Jyz a + Jyz b + Jy c R Resolvendo Ea Eb = Ec Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) = = N s Mz − A AR Mz Jy − My Jyz 2 Jyz Jy Jz − My Jz − Mz Jyz − Ns Mz + AR AR2 2 Jy Jz − Jyz Unidade 04 versão 13.04 22 / 29
  28. 28. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Finalmente, σs = Mz Jy − My Jyz My Jz − Mz Jyz N s Mz y z − + + 2 2 A AR 1 − y/R 1 − y/R Jy Jz − Jyz Jy Jz − Jyz Os dois primeiros termos representam a tensão normal uniforme na seção Mesmo em caso de flexão pura (N s = 0) a curvatura causa tensão normal desen−M volvida no centroide, com magnitude RAz Os termos restantes representam uma distribuição não uniforme deviso à curvatura inicial Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 23 / 29
  29. 29. Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas A linha neutra é o lugar geométrico da seção transversal onde σ s = 0 Usando essa condição na equação anterior   RN s − Mz  Mz Jy − My Jyz RN s − Mz      y + My Jz − Mz Jyz z = 0   + −    2 2 2A RA R Jy Jz − Jyz Jy Jz − Jyz A linha neutra passa pelo centroide somente se N s = Mz R No caso de flexão pura (N s = 0) somente se R é infinitamente grande, ou seja, a barra é reta Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 24 / 29
  30. 30. Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Programa 1 Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio Tensões Normais em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 25 / 29
  31. 31. Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Vamos considerar uma barra curva submetida à flexão pura Devido à curvatura de uma barra submetida a flexão pura, tensões radiais significantes podem se desenvolver na seção transversal 1 Considere o segmento de uma barra curva abaixo submetida à flexão pura 1 Efeitos de do cisalhamento nas tensões radiais serão estudadas na Unidade 5. Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 25 / 29
  32. 32. Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Isolando a porção A , a força desenvolvida nessa área é σ s dA F= A Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 26 / 29
  33. 33. Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Assumindo que N s é zero (flexão pura), e usando σs = Mz Jy − My Jyz My Jz − Mz Jyz N s Mz y z − + + 2 2 A AR Jy Jz − Jyz 1 − y/R Jy Jz − Jyz 1 − y/R temos que σ s dA = − F= A onde Qz = A Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mz Jy − My Jyz My Jz − Mz Jyz Mz A + Qz + Qy 2 2 RA Jy Jz − Jyz Jy Jz − Jyz y dA, 1 − y/R Unidade 04 Qy = A z dA 1 − y/R versão 13.04 27 / 29
  34. 34. Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Se σy é a tensão radial média e b é a dimensão indicada na figura, a força de magnitude σy (R − y)∆ψb, ∆ψ = ∆s/R deve ser desenvolvida ara balancear a componente vertical de F Somando as forças na direção vertical, temos 2F sin ∆ψ = σy b(R − y)∆ψ 2 Observando que sin ∆ψ → ∆ψ/2 = ∆s/2R, tomando o limite encontramos 2 σy = Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) F b(R − y) Unidade 04 versão 13.04 28 / 29
  35. 35. Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura) E por fim temos    Mz A My Jz − Mz Jyz  Mz Jy − My Jyz 1   −   σy = Qz + Qy      RA + 2 2 b(R − y) Jy Jz − Jyz Jy Jz − Jyz À medida que R cresce, σy descresce, e, portanto, é geralmente desprezado comparado com σ s Este não é o caso de ganchos,correntes e outras partes de máquinas e estruturas onde a razão h/R é relativamente grande Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 29 / 29

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