Mecânica dos Sólidos - Unidade 02

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Cinemática I
Descrição do Movimento
Derivada Material
Aceleração de uma Partícula
Cinemática do Corpo Rígido
Gradiente de Deslocamentos
Deformaões Infinitesimais
Interpretação Geométrica


Cinemática II
Deformacções Principais
Dilatação Específica
Tensor de Rotação Infinitesimal
Taxa de Deformação
Tensor Spin
Conservação da Massa
Condições de Compatibilidade


Cinemática III
Gradiente de Deformação
Decomposição do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformação Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformaçõa Euleriano
Resumo
Mudança de Area

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Mecânica dos Sólidos - Unidade 02

  1. 1. Mecˆanica dos S´olidos I – MAC-005 Unidade 02 Luis Paulo S. Barra Leonardo Goliatt Departamento de Mecˆanica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora v. 14.10 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 1 / 56
  2. 2. Livro Texto Livro texto: I Introduction to Continuum Mechanics I W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 2 / 56
  3. 3. Programa 1 Cinem´atica I 2 Cinem´atica II 3 Cinem´atica III Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 3 / 56
  4. 4. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
  5. 5. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
  6. 6. Descric¸ ˜ao do Movimento Equac¸ ˜oes Cinem´aticas do Movimento O vetor posic¸ ˜ao de uma part´ıcula em um tempo t pode ser escrito como: x = x(X; t) com x(X; t0) = X Fixando X tem-se a trajet´oria da part´ıcula. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
  7. 7. Descric¸ ˜ao do Movimento Equac¸ ˜oes Cinem´aticas do Movimento O vetor posic¸ ˜ao de uma part´ıcula em um tempo t pode ser escrito como: x = x(X; t) com x(X; t0) = X Fixando X tem-se a trajet´oria da part´ıcula. Em componentes se escreve: x1 = x1(X1; X2; X3; t) x2 = x2(X1; X2; X3; t) x3 = x3(X1; X2; X3; t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
  8. 8. Descric¸ ˜ao Material e Descric¸ ˜ao Espacial Quando um cont´ınuo est´a em movimento, sua temperatura , sua velocidade v, e seu tensor de tens˜oes T (ser´a definido nas pr´oximas sec¸ ˜oes), podem mudar com o tempo. Descric¸ ˜ao Material (ou Lagrangeana) Seguindo as part´ıculas: = ˆ (X1; X2; X3; t) v = ˆv(X1; X2; X3; t) T = ˆT(X1; X2; X3; t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 5 / 56
  9. 9. Descric¸ ˜ao Material e Descric¸ ˜ao Espacial Quando um cont´ınuo est´a em movimento, sua temperatura , sua velocidade v, e seu tensor de tens˜oes T (ser´a definido nas pr´oximas sec¸ ˜oes), podem mudar com o tempo. Descric¸ ˜ao Material (ou Lagrangeana) Seguindo as part´ıculas: = ˆ (X1; X2; X3; t) v = ˆv(X1; X2; X3; t) T = ˆT(X1; X2; X3; t) Descric¸ ˜ao Espacial (ou Euleriana) Observando mudanc¸as em locais (pontos no espac¸o) fixos: = ˜ (x1; x2; x3; t) v = ˜v(x1; x2; x3; t) T = ˜T(x1; x2; x3; t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 5 / 56
  10. 10. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 6 / 56
  11. 11. Derivada Material Definic¸ ˜ao Taxa de variac¸ ˜ao no tempo de uma quantidade em uma part´ıcula fixa: D=Dt. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 6 / 56
  12. 12. Derivada Material Definic¸ ˜ao Taxa de variac¸ ˜ao no tempo de uma quantidade em uma part´ıcula fixa: D=Dt. Descric¸ ˜ao Material = ˆ (X1; X2; X3; t) Logo: D Dt = @ˆ @t ! Xi fixos. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 6 / 56
  13. 13. Derivada Material Descric¸ ˜ao Espacial = ˜ (x1; x2; x3; t) Logo: D Dt = @˜ @x1 @x1 @t + @˜ @x2 @x2 @t + @˜ @x3 @x3 @t + @˜ @t Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
  14. 14. Derivada Material Descric¸ ˜ao Espacial = ˜ (x1; x2; x3; t) Logo: D Dt = @˜ @x1 @x1 @t + @˜ @x2 @x2 @t + @˜ @x3 @x3 @t + @˜ @t = v1 @˜ @x1 + v2 @˜ @x2 + v3 @˜ @x3 + @˜ @t Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
  15. 15. Derivada Material Descric¸ ˜ao Espacial = ˜ (x1; x2; x3; t) Logo: D Dt = @˜ @x1 @x1 @t + @˜ @x2 @x2 @t + @˜ @x3 @x3 @t + @˜ @t = v1 @˜ @x1 + v2 @˜ @x2 + v3 @˜ @x3 + @˜ @t Em notac¸ ˜ao direta D Dt = @ @t + v r Ficando impl´ıcito que = ˜ (x1; x2; x3; t). Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
  16. 16. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
  17. 17. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Definic¸ ˜ao a = @v @t ! Xi fixos Dv Dt Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
  18. 18. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Definic¸ ˜ao a = @v @t ! Xi fixos Dv Dt Portanto: Dv Dt = D(viei) Dt = Dvi Dt ei Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
  19. 19. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Definic¸ ˜ao a = @v @t ! Xi fixos Dv Dt Portanto: Dv Dt = D(viei) Dt = Dvi Dt ei Logo: ai = Dvi Dt = @vi @t + vj @vi @xj Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
  20. 20. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Definic¸ ˜ao a = @v @t ! Xi fixos Dv Dt Portanto: Dv Dt = D(viei) Dt = Dvi Dt ei Logo: ai = Dvi Dt = @vi @t + vj @vi @xj E finalmente: a = @v @t + (rv)v Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
  21. 21. Campo de Deslocamentos Definic¸ ˜ao u = x(X; t)

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