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6 de junho de 2002

Notas de Aula de Física
12. ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR .................................................... 2
ROLAMENTO....................................................................................................................... 2
O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação......................... 2
O rolamento visto como uma rotação pura ................................................................... 3
A energia cinética.......................................................................................................... 3
TORQUE ............................................................................................................................ 3
MOMENTO ANGULAR ........................................................................................................... 4
MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS ............................................................. 5
MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO ........................................................................... 6
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR ............................................................................... 7
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8
01 .................................................................................................................................. 8
02 .................................................................................................................................. 8
07 .................................................................................................................................. 9
11 .................................................................................................................................. 9
13 ................................................................................................................................ 10
27 ................................................................................................................................ 11
32 ................................................................................................................................ 11
44 ................................................................................................................................ 12
45 ................................................................................................................................ 13
46 ................................................................................................................................ 14
49 ................................................................................................................................ 15
Prof. Romero Tavares da Silva

12. Rolamento, torque e momento angular
Rolamento
Considere um aro de raio R , rolando sem deslizar em uma superfície plana
horizontal. Quando essa roda girar de um
ângulo θ , o ponto de contato do aro com a
superfície horizontal se deslocou uma distância s , tal que;

R

s=Rθ

s

O centro de massa do aro também
deslocou-se da mesma distância. Portanto,
a velocidade de deslocamento do centro de
massa do aro tem a forma:
v CM =

ds
dθ
=R
dt
dt

⇒

v CM = R w

De maneira equivalente podemos
encontrar a forma da aceleração do centro
de massa do aro:
aCM =

dv CM
dw
=R
dt
dt

⇒

s

aCM = R α

O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação
! !
v = v CM

! !
v = v CM
! !
v = v CM

!
!
v = −v CM

!
!
v = 2 v CM
! !
v = v CM

! !
v = v CM

Movimento
puramente
rotacional , todos os
pontos da roda movemse
com
a
mesma
velocidade angular.

Movimento
puramente
translacional , todos os
pontos da roda movem-se
para a direita com a mesma
velocidade.

Cap 12

romero@fisica.ufpb.br

O movimento de rolamento da roda é uma
combinação dos dois movimentos anteriormente
descritos.

2
Prof. Romero Tavares da Silva
O rolamento visto como uma rotação pura
O rolamento pode ser entendido
como uma rotação pura se observarmos
que a cada instante o corpo está girando
em torno de um eixo instantâneo, que passa
pelo ponto de contato entre esse corpo e a
superfície que o suporta. Esse eixo é perpendicular à direção do movimento.
A velocidade do centro da roda é
vCM = w R
e a velocidade do topo da roda é
Eixo instantâneo de rotação
vTopo = w (2R) = 2 vCM
A energia cinética
Um corpo que rola sem deslizar pode ser visto a cada instante como girando em
torno de um eixo instantâneo que passa pelo ponto de contato desse corpo com a superfície que o suporta, e esse eixo é perpendicular à direção do movimento. do corpo. Desse
modo, a sua energia cinética tem a forma:
1
K = Iw2
2
onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo mencionado. Observa-se
esse movimento como consistindo apenas de rotação.
Mas se levarmos em conta o teorema dos eixos paralelos:
I = ICM + M R2
a energia terá a forma:
K =

1
1
2
I CM w 2 + M v CM
2
2

Desse modo, observa-se esse movimento como consistindo de uma composição
rotação + translação .
Torque
!
A figura abaixo mostra uma partícula localizada pelo vetor posição r , sob a ação
!
de uma força F . O torque exercido por essa força sobre a partícula é definido como:

! ! !
τ = r ×F

Cap 12

romero@fisica.ufpb.br

3
Prof. Romero Tavares da Silva
Convenção para simbolizar um vetor
saindo perpendicular à folha.
Convenção para simbolizar um vetor
entrando perpendicular à folha.

z

y

! ! !
τ = r ×F
y
!
F

θ

!
r

F⊥
F||

!
F

!
r

θ
x
x

Momento angular
O momento angular de uma partícula de !
massa m localizada pelo vetor po!
sição r , que tem momento linear p é
definido como:
! ! !
L =r ×p

! ! !
L =r ×p

Existe uma conexão entre o momento angular de uma partícula e o torque
associado à força resultante que atua sobre
ela. Vamos considerar a variação do momento angular no tempo:

!
!
!
dL dr ! ! dp
=
×p+r ×
dt
dt
dt

Cap 12

y

!
r

!
p

!
dL d ! !
(r × p )
=
dt dt

Mas

z

θ

!
! !
 dr ! ! !
 dt × p = v × p = mv × v = 0

 !
 dp !
= F = Força resul tan te

 dt
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4
Prof. Romero Tavares da Silva
logo:

"
dL ! !
= r ×F
dt

⇒

!
dL !
=τ
dt

Rotação
! ! !
L =r ×p
! ! !
τ = r ×F
!
! dL
τ =
dt

Translação
Equivalência
→

!
p
!
F

→

!
! dp
F=
dt

→

Momento angular de um sistema de partículas
Quando estamos considerando um sistema de N partículas, o momento angular
total é dado por:
! ! !
!
N !
L = L1 + L2 + # + LN = ∑ Li
i =1

De modo equivalente à análise do caso de apenas uma partícula, vamos calcular a
variação do momento angular total com o tempo:
!
!
dL d  N !  N dL i
=  ∑ Li  = ∑
dt dt  i =1  i =1 dt
!
!
!
! ! ! !
dL i
dr i ! ! dp i
d ! !
(r i × p i ) = × p i + r i × = mv i × v i + r i × Fi
=
dt
dt
dt
dt
Mas

ou seja

!
!
!
!
dp i
= Fi = Fi INT + Fi EXT
dt
!
! !
! !
dL i
!
!
= r i × Fi INT + r i × Fi EXT = τ iINT + τ iEXT
dt
!
dL N ! INT N ! EXT
= ∑τ i + ∑τ i
i =1
i =1
dt

logo

!
dL ! INT ! EXT
=τ
+τ
dt

Vamos mostrar que o torque interno é nulo. As forças internas surgem aos pares
como interação entre os pares de partículas, ou seja:
!
N !
Fi INT = ∑ f ij
j =1

Cap 12

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5
Prof. Romero Tavares da Silva
Mas

!
!
N !
N !
N !
N !
N N !
!
τ INT = ∑ τ iINT = ∑ r i × Fi = ∑ r i ×  ∑ f ij  = ∑ ∑ r i × f ij


i =1
i =1
i =1
 j =1  i =1 j =1

ou seja:

(

! ! ! !
!
τ INT = ∑ r i × f ij + r j × f ji
i〈 j

)

!
!
Mas usando-se a terceira Lei de Newton, temos que f ij = − f ji , logo

[

!
! !
!
τ INT = ∑ (r i − r j )× f ij
i〈 j

]

!
− r i ) é um vetor contido na reta que une as partículas i e j , e essa reta tam!
bém contém a força f ij . Portanto o produto vetorial é nulo pois os dois vetores são paralelos, e finalmente podemos concluir que
onde

!

(r

i

!
τ INT = 0
Desse modo, concluímos que

!
dL ! EXT
=τ
dt

e essa equação tem a sua equivalente no movimento de translação:
!
!
dP
= F EXT
dt
Momento angular de um corpo rígido
Para calcular o momento angular de um corpo rígido que está girando em torno de um eixo ( neste
caso eixo z ) com velocidade angular
w , vamos dividi-lo em pequenos volumes ∆Vi cada um com uma massa
!
∆mi , que tem momento linear p i e
estão localizados pelo vetor posição
!
r i . O momento angular desta pequena
massa é:

z
r⊥

∆mi

θ

!
pi

!
ri

!
! !
Li = r i × p i

y

Observe-se que o ângulo entre os ve!
!
tores r i e p i é 900 . Desse modo:
Li = ri pi = ri vi ∆mi
Cap 12

x
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6
Prof. Romero Tavares da Silva
Para calcular a componente z do momento angular, temos que:
Liz = Li senθ = (ri senθ) vi ∆mi = ri ⊥ vi ∆mi = ri ⊥ (w ri ⊥)∆mi
ou seja:

Liz = w ∆mi r2i⊥
2
L z = ∑ Liz = w ∑ ∆m i r i⊥
i

i

Mas
2
I = Lim0 ∑ ∆m i r i⊥ = ∫ r ⊥2 dm
∆m →
i
i

onde ri⊥ é a componente do vetor posição da massa ∆mi perpendicular ao eixo de rotação, ou seja é a distância da massa ∆mi ao eixo de rotação, e portanto temos a nossa
definição original de momento de inércia. Desse modo:
L=Iw
onde omitimos o índice z do momento angular pois iremos tratar apenas de situações
onde o momento angular de um corpo rígido será paralelo ao eixo de rotação (analisaremos apenas situações onde o momento de inércia é uma grandeza escalar).
Estaremos interessados em situações onde
!
!
L = Iw
e ainda:

!
! dL
τ =
dt

!
!
⇒ τ = Iα

Conservação do momento angular

Quando consideramos um sistema de partículas, a variação do momento angular
total é igual ao torque externo.
!
dL ! EXT
=τ
dt
Se esse sistema estiver isolado, ou seja se o torque externo for nulo, o momento
angular total será uma constante.
!
dL
=0
dt

⇒

!
L = cons tan te

Esse resultado é o equivalente da conservação do momento linear total, e tem um
significado e importância similar.
Cap 12

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7
Prof. Romero Tavares da Silva
Solução de alguns problemas
Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
01 Um tubo de paredes finas rola pelo chão. Qual é a razão entre as suas energias cinéticas translacional e rotacional, em torno de um eixo paralelo ao seu comprimento
e que passa pelo seu centro de massa?
z

Inicialmente vamos calcular o momento
de inércia do tubo mencionado, supondo
que ele tenha raio R e comprimento L .
dm = σ dS = σ [(Rdθ )L ] = σ LRdθ
2π

L

2π

0

y

0

I = ∫ r 2 dm = ∫ R 2 (σ LRdθ ) = σ R 3 L ∫ dθ

x

M
M
σ =
=
A 2πRL
 M  3
2
I =
 R L (2π ) ∴ I = MR
 2πRL 

1
2
Mv CM
2
KT
M (wR )
2
=
=
=1
1
KR
(MR 2 )w 2
2
Iw
2
Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
02 Um aro com um raio de 3m e uma massa de 140kg rola sobre um piso horizontal
de modo que o seu centro de massa possui uma velocidade de 0,150m/s . Qual é o
trabalho que deve ser feito sobre o aro para fazê-lo parar?
ICM = M R2
K =

1
1
2
I CM w 2 + Mv CM
2
2

R = 3m
M = 140kg
vCM = 0,15m/s

Considerando que vCM = w R , temos que:
K =

1
2
(MR 2 )w 2 + 1 M (w R )2 = Mv CM = 3,15J
2
2
W = ∆K = KF - KI = - KI = - 3,15J

Cap 12

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8
Prof. Romero Tavares da Silva
Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
07 Uma esfera sólida de peso igual a P = 35,58N sobe rolando um plano inclinado, cujo
ângulo de inclinação é igual a θ = 300 . Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade linear de v0 = 4,88m/s .
a) Qual é a energia cinética da esfera na base do plano inclinado?
K =

1
1
2
I CM w 2 + Mv CM
2
2

d

Como vCM = w R
K =

h

I
1

2
1 + CM 2 Mv CM
2
MR 

θ

Para a esfera temos que I CM =

2
MR 2 , logo a energia cinética terá a forma:
5

7
7 P 2
2
Mv CM =
v CM =60,52J
10
10 g
b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano?
K=

EI = EF

⇒

h = d senθ

2
7v CM
7
2
Mv CM = Mgh ∴ h =
= 1,70m
10
10g

⇒

d=

7v CM
h
=3,4m
=
sen θ 10g senθ

c) A resposta do item b depende do peso da esfera?
Como vimos na dedução anterior, a resposta não depende do peso.
Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
11 Uma esfera homogênea, inicialmente em repouso, rola sem deslizar, partindo da extremidade superior do trilho mostrado a seguir, saindo pela extremidade da direita. Se
H = 60m , h = 20m e o extremo direito do trilho é horizontal, determine a distância L
horizontal do ponto A até o ponto que a esfera toca o chão.
I CM =

2
MR 2
5

1
1
2
I CM w 2 + Mv CM
2
2
I
1

2
K = 1 + CM 2 Mv CM
2
MR 
K =

Cap 12

H
h
A
L
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K =

EI = EF

⇒

Mg (H − h ) =

7
2
Mv CM
10

7
2
Mv CM
10

∴ v CM =

10g (H − h )
7


2h
gt 2
⇒ t=
 h=
2
g




2h
L = v CM t ⇒ L = v CM
g


ou seja:
L=

20h (H − h )
= 47,80m
7

Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
13 Uma bolinha de gude sólida de massa m e raio r rola sem deslizar sobre um trilho
mostrado a seguir, tendo partido do repouso em algum ponto do trecho retilíneo do
trilho.
a) Qual é a altura mínima h , medida à partir da base do trilho, de onde devemos
soltar a bolinha para que ela não perca o contato com o trilho no ponto mais alto
da curva? O raio da curva é R e considere que R >> r .
A condição para que a bolinha não perca contato é que a normal seja nula na
parte mais alta, ou seja que o peso seja
a única força radial, e desse modo teremos:
v2
2
P = mg = m CM ⇒ v CM = R g
R

h
R
Q

Mas como o sistema é conservativo, a
energia mecânica será conservada:
EI = EF

⇒

UI = UF + K F

ou seja
mgH = mg (2R ) +

7
7
27
2
m v CM = mg (2R ) +
m(Rg ) =
mgR ∴ H = 2,7R
10
10
10

b) Se a bolinha for solta de uma altura igual a 6R acima da base do trilho, qual
será a componente horizontal da força que atua sobre ela no ponto Q ?
Usando a conservação da energia mecânica entre os dois pontos, temos que:
7
50
2
2
E 0 = E Q ⇒ mg (6R ) = mgR +
mv Q ∴ v Q =
Rg
10
7
Cap 12

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10
Prof. Romero Tavares da Silva
A força horizontal no ponto Q é a própria força radial nesse ponto, logo:
FR = m

2
vQ

R

=

m  50
50

mg
 Rg  ∴ FR =
R 7
7


Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
27 Dois objetos estão se movendo como mostra a figura a seguir. Qual é o seu momento angular em torno do ponto O ?
m1 = 6,5kg
v1 = 2,2m/s
r1 = 1,5m

m2 = 3,1kg
v2 = 3,6m/s
r2 = 2,8m

!
!
 p1 = m1v 1 = iˆm1v 1
!

r1 = ˆ r1
j

!
! !
 L1 = r1 × p1 =

!
! !
L = r × p =
2
2
 2

!
!
p 2 = m 2v 2 = ˆ m 2v 2
j
!

r 2 = iˆ r 2


(jˆ × iˆ)m r v
1

(iˆ × ˆj )m

2

1

1

ˆ
= − k m 1 r1 v 1

1

!
v1
!
v2

r1

m2
O

r2

ˆ
r2 v 2 = + k m2 r2 v 2

! ! !
L = L1 + L2
!
ˆ
L = k (m 2 v 2 r 2 − m1v 1r1 )
!
ˆ
L = k 9,798 kg. m 2 / s

y
m1

!
v1
!
v2

r1

m2
O

x
r2

Capítulo 12 - Halliday e Resnick - Edição antiga
32 Mostre que um cilindro deslizará sobre um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação
é θ , quando o coeficiente de atrito estático entre o plano e o cilindro for menor que
(tanθ)/3 .
 N − mg cos θ = 0


mg senθ − F = ma
a

Quando estamos interessado em calcular
Cap 12

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!
N
!
Fa

!
P

θ
11
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o torque em relação a um eixo que coincide com a reta de contato entre o cilindro e o
plano, devamos notar que apenas a força de atrito produz um torque em relação a
esse eixo. À medida que aumenta a inclinação vai aumentando a força de atrito estático necessária para evitar o deslizamento. Ni limite, antes do deslizamento, temos
que Fa = (Fa)M = µE N .A maior aceleração que o cilindro poderá ter sem deslizar é
definida pela condição:
ICM α < Fa R
A condição de deslizamento é:

Fa R < ICM α

Usando a segundo lei de Newton poderemos calcular a aceleração angular α :
m g senθ - µE m g cosθ = ma = m α R

α=

g
(senθ − µ E cos θ )
R

Logo:

(µ

E

g

mg cos θ )R < I CM  (sen θ − µ E cos θ )
R


µE cosθ ( mR2 + ICM ) < ICM senθ

I CM
µE < 
 mR 2 + I
CM



 tan θ



Considerando que o momento de inércia do cilindro é mR2/2 , teremos:
1
µ E < tanθ
3
Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
44 Três partículas, cada uma de massa m , são presas umas às outras e a um eixo de
rotação por três cordões sem massa, cada um de comprimento L , como mostra a
figura a seguir. O conjunto gira em torno do eixo de rotação em O com velocidade
angular w , de tal forma que as partículas permanecem em linha reta.
Quais são, em termos de m , L e w e relam
w
m
tivamente ao ponto O
a) O momento de Inércia do conjunto?
m
I = m L2 + m (2L)2 + m (3L)2 = 14 m L2

O

b) O momento angular da partícula do meio?
Se definirmos o eixo z como sendo perpendicular à folha de papel e saindo dela, o
momento angular das três partículas estarão no sentido positivo do eixo z .
Cap 12

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12
Prof. Romero Tavares da Silva
L 2 = I 2 w = 4 m L2 w
c) O momento angular total das três partículas?
L = I w = 14 m L2 w

Capítulo 12 - Halliday e Resnick - Edição antiga
45 Um cilindro de comprimento L e raio r tem peso P . Dois cordões são enrolados
em volta do cilindro, cada qual próximo da extremidade, e suas pontas presas a ganchos fixos no teto. O cilindro é mantido horizontalmente com os dois cordões exatamente na vertical e, em seguida, é abandonado.
a) Determine a aceleração linear do cilindro durante a queda.
F1 = F2 = F
Como a força peso não produz torque
em relação ao eixo de rotação, temos
que:
Iα
τ = 2Fr = Iα ⇒ F =
2r
Mas
a=αr
logo
Ia
F= 2
2r

!
F1

!
F2

w
!
P

Considerando as forças que atuam no
cilindro, da segunda lei de Newton temos que: ! !
!
!
P + F1 + F2 = Ma
ou seja:
P - 2 F = Ma
 Ia 
Mg − 2 2  = Ma
 2r 
I 

g = a 1 +

Mr 2 


!
F
w
!
P

g

a=
1+

I
Mr 2

Mr 2
Considerando que o momento de inércia do cilindro tem a forma I =
,
2
Cap 12

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13
Prof. Romero Tavares da Silva
encontramos que
a=

2g
3

b) Determine a tensão em cada cordão enquanto eles estão se desenrolando.
Mostramos anteriormente que:
F=

Ia
2r 2

logo
F=

Mr 2 1 2g
2 2r 2 3

⇒

F=

Mg
6

Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
46 As rodas A e B da figura a seguir estão conectadas por uma correia que não desliza. O raio da roda B é três vezes maior que o raio da correia A .
a) Qual seria a razão entre os momentos de inércia IA / IB se ambas tivessem o
mesmo momento angular?
rB = 3 rA
B
Como as duas rodas estão conectadas,
as velocidades das suas bordas serão
iguais, ou seja:

A

vA = vB
ou seja:
w A r A = w B rB

⇒

w A rB
=
= 3 ∴ w A = 3wB
w B rA
LA = IA wA
LB = IB wB

Como LA = LB
I Aw A = I B w B

⇒

IA wB
=
IB w A

∴

IA 1
=
IB 3

b) Qual seria a razão entre os momentos de inércia IA / IB se ambas tivessem a
mesma energia cinética de rotação?
Como KA = KB
1
1
2
2
I Aw A = I Bw B
2
2

Cap 12

⇒

IA  wB 

=
IB  w A 



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2

∴

IA 1
=
IB 9

14
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Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
49 Um jogador de boliche principiante joga uma bola de massa M e raio R = 11cm na
pista, com velocidade inicial v0 = 8,5m/s . A bola é arremessada de tal maneira que
desliza uma certa distância antes de começar a rolar. Ela não está girando quando
atinge a pista sendo o seu movimento puramente translacional. O coeficiente de atrito
cinético entre ela e a pista é 0,21 .
a) Por quanto tempo a bola desliza?
M
R = 11cm = 0,11m

!
v0
!
v0
!
v0

v0 = 8,5m/s
µC = 0,21

Podemos visualizar o movimento da
bola como uma composição de movimentos: rotação + translação , e desse
modo decompor as velocidades:

!
v SUP
!
v CM
!
v INF

!
v1

!
2v 1

!
d
!
v SUP
!
v CM
!
v INF

! !
!
v = v TRAN + v ROT
Cada parte da roda vai ter uma composição de velocidades peculiar, as partes
superior e inferior são os extremos de
diversidade:

!
v TRAN
!
v TRAN
!
v TRAN

=

!
v ROT

+

!
v ROT

!
N

vS = vTRAN + vROT
!
Fa

vI = vTRAN - vROT

Quando a bola atinge a pista a veloci!
P
dade de rotação é nula, e ela só tem
velocidade de translação v0 . À medida
!
que a bola começa deslizar, ela tamd
bém inicia a rotação, adquirindo velocidade angular até alcançar o valor w1
quando não mais desliza, tendo um movimento de rolamento sem deslizamento.
Os dois tipos de movimento (rotação + translação) obedecem às equações:
(v TRAN )0 = v 0 




 (v

 TRAN )1 = v 1 

(v ROT )0 = 0 





(v ) = w R = v 
1
1
 ROT 1
Cap 12

⇒

⇒

 v 1 = v 0 − aTRAN t


v 2 = v 2 − 2a d
0
TRAN
 1

 w 1 = w 0 + αt


w 2 = w 2 − 2αθ
0
 1

romero@fisica.ufpb.br

⇒

v 1 = w 1R = Rαt

⇒

v 12 = 2(Rα )(Rθ ) ∴ v 12 = 2a ROT L

∴ v 1 = a ROT t

15
Prof. Romero Tavares da Silva
Ao contrário do rolamento com deslizamento, neste caso as velocidades de
translação e rotação não estão conectadas diretamente. Isso só vai acontecer
quando cessar o deslizamento, e nesse ponto v1 = w1 R .
Para o movimento de translação, temos a segunda lei de Newton:
!
! !
!
Fa + P + N = Ma
Mas

 N −P = 0 




F = Ma

TRAN 
 a

⇒

Fa = µC N = µC M g

∴

aTRAN = µC g

Para o movimento de rotação temos:

τ = Fa R = I CM α

Fa = µ C Mg =

⇒

I CM
I 
I 
α =  CM (αR ) =  CM a ROT
2
2
R
R 
R 

R2
a ROT = µ C g 
I
 CM






Considerando o que já foi mostrado, temos que:
v 1 = Rαt = a ROT t 




v =v −a t 
TRAN
0
 1


⇒

t=

v − v1
v1
= 0
a ROT
aTRAN


a ROT
∴ v1 = 
a
 TRAN + a ROT


v0



ou seja:
t=

v0
=
aTRAN + a ROT

Considerando que para a esfera I CM =
t=

v0

MR 2
µ C g 1 +

I CM







2
MR 2 encontramos que:
5

2v 0
= 1,18s
7µ C g

b) A que velocidade está se movendo quando começa a rolar?

 MR 2
v 1 = Rα t = a ROT t =  µ C g 
 I

 CM



5
 t = µ C g = 6,07m/s

2



c) Qual a distância que ela desliza na pista?

Cap 12

romero@fisica.ufpb.br

16
Prof. Romero Tavares da Silva
2
2
v 0 − v 12 v 0 − v 12
= 8,60m
⇒
=
2aTRAN
2µ C g
d) Quantas revoluções fez antes de começar a rolar?
2
v 12 = v 0 − 2aTRAN d

2
w 12 = w 0 + 2αθ

⇒

d=

(w R )

2

1

v 12
1
L=
= a ROT t 2 = N (2πR ) ⇒
2a ROT
2
N=

Cap 12

= 2(αR )(Rθ ) ∴ v 12 = 2a ROT L
 MR 2
1 a ROT t 2
1
N=
=
µC g
 I
2πR 2
4πR
 CM

 2
t



5 µ C gt 2
= 5,18rev
8πR

romero@fisica.ufpb.br

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12. rolamento torque e momento angular

  • 1. Versão preliminar 6 de junho de 2002 Notas de Aula de Física 12. ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR .................................................... 2 ROLAMENTO....................................................................................................................... 2 O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação......................... 2 O rolamento visto como uma rotação pura ................................................................... 3 A energia cinética.......................................................................................................... 3 TORQUE ............................................................................................................................ 3 MOMENTO ANGULAR ........................................................................................................... 4 MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS ............................................................. 5 MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO ........................................................................... 6 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR ............................................................................... 7 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8 01 .................................................................................................................................. 8 02 .................................................................................................................................. 8 07 .................................................................................................................................. 9 11 .................................................................................................................................. 9 13 ................................................................................................................................ 10 27 ................................................................................................................................ 11 32 ................................................................................................................................ 11 44 ................................................................................................................................ 12 45 ................................................................................................................................ 13 46 ................................................................................................................................ 14 49 ................................................................................................................................ 15
  • 2. Prof. Romero Tavares da Silva 12. Rolamento, torque e momento angular Rolamento Considere um aro de raio R , rolando sem deslizar em uma superfície plana horizontal. Quando essa roda girar de um ângulo θ , o ponto de contato do aro com a superfície horizontal se deslocou uma distância s , tal que; R s=Rθ s O centro de massa do aro também deslocou-se da mesma distância. Portanto, a velocidade de deslocamento do centro de massa do aro tem a forma: v CM = ds dθ =R dt dt ⇒ v CM = R w De maneira equivalente podemos encontrar a forma da aceleração do centro de massa do aro: aCM = dv CM dw =R dt dt ⇒ s aCM = R α O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação ! ! v = v CM ! ! v = v CM ! ! v = v CM ! ! v = −v CM ! ! v = 2 v CM ! ! v = v CM ! ! v = v CM Movimento puramente rotacional , todos os pontos da roda movemse com a mesma velocidade angular. Movimento puramente translacional , todos os pontos da roda movem-se para a direita com a mesma velocidade. Cap 12 romero@fisica.ufpb.br O movimento de rolamento da roda é uma combinação dos dois movimentos anteriormente descritos. 2
  • 3. Prof. Romero Tavares da Silva O rolamento visto como uma rotação pura O rolamento pode ser entendido como uma rotação pura se observarmos que a cada instante o corpo está girando em torno de um eixo instantâneo, que passa pelo ponto de contato entre esse corpo e a superfície que o suporta. Esse eixo é perpendicular à direção do movimento. A velocidade do centro da roda é vCM = w R e a velocidade do topo da roda é Eixo instantâneo de rotação vTopo = w (2R) = 2 vCM A energia cinética Um corpo que rola sem deslizar pode ser visto a cada instante como girando em torno de um eixo instantâneo que passa pelo ponto de contato desse corpo com a superfície que o suporta, e esse eixo é perpendicular à direção do movimento. do corpo. Desse modo, a sua energia cinética tem a forma: 1 K = Iw2 2 onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo mencionado. Observa-se esse movimento como consistindo apenas de rotação. Mas se levarmos em conta o teorema dos eixos paralelos: I = ICM + M R2 a energia terá a forma: K = 1 1 2 I CM w 2 + M v CM 2 2 Desse modo, observa-se esse movimento como consistindo de uma composição rotação + translação . Torque ! A figura abaixo mostra uma partícula localizada pelo vetor posição r , sob a ação ! de uma força F . O torque exercido por essa força sobre a partícula é definido como: ! ! ! τ = r ×F Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 3
  • 4. Prof. Romero Tavares da Silva Convenção para simbolizar um vetor saindo perpendicular à folha. Convenção para simbolizar um vetor entrando perpendicular à folha. z y ! ! ! τ = r ×F y ! F θ ! r F⊥ F|| ! F ! r θ x x Momento angular O momento angular de uma partícula de ! massa m localizada pelo vetor po! sição r , que tem momento linear p é definido como: ! ! ! L =r ×p ! ! ! L =r ×p Existe uma conexão entre o momento angular de uma partícula e o torque associado à força resultante que atua sobre ela. Vamos considerar a variação do momento angular no tempo: ! ! ! dL dr ! ! dp = ×p+r × dt dt dt Cap 12 y ! r ! p ! dL d ! ! (r × p ) = dt dt Mas z θ ! ! !  dr ! ! !  dt × p = v × p = mv × v = 0   !  dp ! = F = Força resul tan te   dt romero@fisica.ufpb.br 4
  • 5. Prof. Romero Tavares da Silva logo: " dL ! ! = r ×F dt ⇒ ! dL ! =τ dt Rotação ! ! ! L =r ×p ! ! ! τ = r ×F ! ! dL τ = dt Translação Equivalência → ! p ! F → ! ! dp F= dt → Momento angular de um sistema de partículas Quando estamos considerando um sistema de N partículas, o momento angular total é dado por: ! ! ! ! N ! L = L1 + L2 + # + LN = ∑ Li i =1 De modo equivalente à análise do caso de apenas uma partícula, vamos calcular a variação do momento angular total com o tempo: ! ! dL d  N !  N dL i =  ∑ Li  = ∑ dt dt  i =1  i =1 dt ! ! ! ! ! ! ! dL i dr i ! ! dp i d ! ! (r i × p i ) = × p i + r i × = mv i × v i + r i × Fi = dt dt dt dt Mas ou seja ! ! ! ! dp i = Fi = Fi INT + Fi EXT dt ! ! ! ! ! dL i ! ! = r i × Fi INT + r i × Fi EXT = τ iINT + τ iEXT dt ! dL N ! INT N ! EXT = ∑τ i + ∑τ i i =1 i =1 dt logo ! dL ! INT ! EXT =τ +τ dt Vamos mostrar que o torque interno é nulo. As forças internas surgem aos pares como interação entre os pares de partículas, ou seja: ! N ! Fi INT = ∑ f ij j =1 Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 5
  • 6. Prof. Romero Tavares da Silva Mas ! ! N ! N ! N ! N ! N N ! ! τ INT = ∑ τ iINT = ∑ r i × Fi = ∑ r i ×  ∑ f ij  = ∑ ∑ r i × f ij   i =1 i =1 i =1  j =1  i =1 j =1 ou seja: ( ! ! ! ! ! τ INT = ∑ r i × f ij + r j × f ji i〈 j ) ! ! Mas usando-se a terceira Lei de Newton, temos que f ij = − f ji , logo [ ! ! ! ! τ INT = ∑ (r i − r j )× f ij i〈 j ] ! − r i ) é um vetor contido na reta que une as partículas i e j , e essa reta tam! bém contém a força f ij . Portanto o produto vetorial é nulo pois os dois vetores são paralelos, e finalmente podemos concluir que onde ! (r i ! τ INT = 0 Desse modo, concluímos que ! dL ! EXT =τ dt e essa equação tem a sua equivalente no movimento de translação: ! ! dP = F EXT dt Momento angular de um corpo rígido Para calcular o momento angular de um corpo rígido que está girando em torno de um eixo ( neste caso eixo z ) com velocidade angular w , vamos dividi-lo em pequenos volumes ∆Vi cada um com uma massa ! ∆mi , que tem momento linear p i e estão localizados pelo vetor posição ! r i . O momento angular desta pequena massa é: z r⊥ ∆mi θ ! pi ! ri ! ! ! Li = r i × p i y Observe-se que o ângulo entre os ve! ! tores r i e p i é 900 . Desse modo: Li = ri pi = ri vi ∆mi Cap 12 x romero@fisica.ufpb.br 6
  • 7. Prof. Romero Tavares da Silva Para calcular a componente z do momento angular, temos que: Liz = Li senθ = (ri senθ) vi ∆mi = ri ⊥ vi ∆mi = ri ⊥ (w ri ⊥)∆mi ou seja: Liz = w ∆mi r2i⊥ 2 L z = ∑ Liz = w ∑ ∆m i r i⊥ i i Mas 2 I = Lim0 ∑ ∆m i r i⊥ = ∫ r ⊥2 dm ∆m → i i onde ri⊥ é a componente do vetor posição da massa ∆mi perpendicular ao eixo de rotação, ou seja é a distância da massa ∆mi ao eixo de rotação, e portanto temos a nossa definição original de momento de inércia. Desse modo: L=Iw onde omitimos o índice z do momento angular pois iremos tratar apenas de situações onde o momento angular de um corpo rígido será paralelo ao eixo de rotação (analisaremos apenas situações onde o momento de inércia é uma grandeza escalar). Estaremos interessados em situações onde ! ! L = Iw e ainda: ! ! dL τ = dt ! ! ⇒ τ = Iα Conservação do momento angular Quando consideramos um sistema de partículas, a variação do momento angular total é igual ao torque externo. ! dL ! EXT =τ dt Se esse sistema estiver isolado, ou seja se o torque externo for nulo, o momento angular total será uma constante. ! dL =0 dt ⇒ ! L = cons tan te Esse resultado é o equivalente da conservação do momento linear total, e tem um significado e importância similar. Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 7
  • 8. Prof. Romero Tavares da Silva Solução de alguns problemas Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 01 Um tubo de paredes finas rola pelo chão. Qual é a razão entre as suas energias cinéticas translacional e rotacional, em torno de um eixo paralelo ao seu comprimento e que passa pelo seu centro de massa? z Inicialmente vamos calcular o momento de inércia do tubo mencionado, supondo que ele tenha raio R e comprimento L . dm = σ dS = σ [(Rdθ )L ] = σ LRdθ 2π L 2π 0 y 0 I = ∫ r 2 dm = ∫ R 2 (σ LRdθ ) = σ R 3 L ∫ dθ x M M σ = = A 2πRL  M  3 2 I =  R L (2π ) ∴ I = MR  2πRL  1 2 Mv CM 2 KT M (wR ) 2 = = =1 1 KR (MR 2 )w 2 2 Iw 2 Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 02 Um aro com um raio de 3m e uma massa de 140kg rola sobre um piso horizontal de modo que o seu centro de massa possui uma velocidade de 0,150m/s . Qual é o trabalho que deve ser feito sobre o aro para fazê-lo parar? ICM = M R2 K = 1 1 2 I CM w 2 + Mv CM 2 2 R = 3m M = 140kg vCM = 0,15m/s Considerando que vCM = w R , temos que: K = 1 2 (MR 2 )w 2 + 1 M (w R )2 = Mv CM = 3,15J 2 2 W = ∆K = KF - KI = - KI = - 3,15J Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 8
  • 9. Prof. Romero Tavares da Silva Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 07 Uma esfera sólida de peso igual a P = 35,58N sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a θ = 300 . Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade linear de v0 = 4,88m/s . a) Qual é a energia cinética da esfera na base do plano inclinado? K = 1 1 2 I CM w 2 + Mv CM 2 2 d Como vCM = w R K = h I 1  2 1 + CM 2 Mv CM 2 MR  θ Para a esfera temos que I CM = 2 MR 2 , logo a energia cinética terá a forma: 5 7 7 P 2 2 Mv CM = v CM =60,52J 10 10 g b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano? K= EI = EF ⇒ h = d senθ 2 7v CM 7 2 Mv CM = Mgh ∴ h = = 1,70m 10 10g ⇒ d= 7v CM h =3,4m = sen θ 10g senθ c) A resposta do item b depende do peso da esfera? Como vimos na dedução anterior, a resposta não depende do peso. Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 11 Uma esfera homogênea, inicialmente em repouso, rola sem deslizar, partindo da extremidade superior do trilho mostrado a seguir, saindo pela extremidade da direita. Se H = 60m , h = 20m e o extremo direito do trilho é horizontal, determine a distância L horizontal do ponto A até o ponto que a esfera toca o chão. I CM = 2 MR 2 5 1 1 2 I CM w 2 + Mv CM 2 2 I 1  2 K = 1 + CM 2 Mv CM 2 MR  K = Cap 12 H h A L romero@fisica.ufpb.br 9
  • 10. Prof. Romero Tavares da Silva K = EI = EF ⇒ Mg (H − h ) = 7 2 Mv CM 10 7 2 Mv CM 10 ∴ v CM = 10g (H − h ) 7  2h gt 2 ⇒ t=  h= 2 g     2h L = v CM t ⇒ L = v CM g   ou seja: L= 20h (H − h ) = 47,80m 7 Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 13 Uma bolinha de gude sólida de massa m e raio r rola sem deslizar sobre um trilho mostrado a seguir, tendo partido do repouso em algum ponto do trecho retilíneo do trilho. a) Qual é a altura mínima h , medida à partir da base do trilho, de onde devemos soltar a bolinha para que ela não perca o contato com o trilho no ponto mais alto da curva? O raio da curva é R e considere que R >> r . A condição para que a bolinha não perca contato é que a normal seja nula na parte mais alta, ou seja que o peso seja a única força radial, e desse modo teremos: v2 2 P = mg = m CM ⇒ v CM = R g R h R Q Mas como o sistema é conservativo, a energia mecânica será conservada: EI = EF ⇒ UI = UF + K F ou seja mgH = mg (2R ) + 7 7 27 2 m v CM = mg (2R ) + m(Rg ) = mgR ∴ H = 2,7R 10 10 10 b) Se a bolinha for solta de uma altura igual a 6R acima da base do trilho, qual será a componente horizontal da força que atua sobre ela no ponto Q ? Usando a conservação da energia mecânica entre os dois pontos, temos que: 7 50 2 2 E 0 = E Q ⇒ mg (6R ) = mgR + mv Q ∴ v Q = Rg 10 7 Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 10
  • 11. Prof. Romero Tavares da Silva A força horizontal no ponto Q é a própria força radial nesse ponto, logo: FR = m 2 vQ R = m  50 50  mg  Rg  ∴ FR = R 7 7  Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 27 Dois objetos estão se movendo como mostra a figura a seguir. Qual é o seu momento angular em torno do ponto O ? m1 = 6,5kg v1 = 2,2m/s r1 = 1,5m m2 = 3,1kg v2 = 3,6m/s r2 = 2,8m ! !  p1 = m1v 1 = iˆm1v 1 !  r1 = ˆ r1 j  ! ! !  L1 = r1 × p1 =  ! ! ! L = r × p = 2 2  2 ! ! p 2 = m 2v 2 = ˆ m 2v 2 j !  r 2 = iˆ r 2  (jˆ × iˆ)m r v 1 (iˆ × ˆj )m 2 1 1 ˆ = − k m 1 r1 v 1 1 ! v1 ! v2 r1 m2 O r2 ˆ r2 v 2 = + k m2 r2 v 2 ! ! ! L = L1 + L2 ! ˆ L = k (m 2 v 2 r 2 − m1v 1r1 ) ! ˆ L = k 9,798 kg. m 2 / s y m1 ! v1 ! v2 r1 m2 O x r2 Capítulo 12 - Halliday e Resnick - Edição antiga 32 Mostre que um cilindro deslizará sobre um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é θ , quando o coeficiente de atrito estático entre o plano e o cilindro for menor que (tanθ)/3 .  N − mg cos θ = 0   mg senθ − F = ma a  Quando estamos interessado em calcular Cap 12 romero@fisica.ufpb.br ! N ! Fa ! P θ 11
  • 12. Prof. Romero Tavares da Silva o torque em relação a um eixo que coincide com a reta de contato entre o cilindro e o plano, devamos notar que apenas a força de atrito produz um torque em relação a esse eixo. À medida que aumenta a inclinação vai aumentando a força de atrito estático necessária para evitar o deslizamento. Ni limite, antes do deslizamento, temos que Fa = (Fa)M = µE N .A maior aceleração que o cilindro poderá ter sem deslizar é definida pela condição: ICM α < Fa R A condição de deslizamento é: Fa R < ICM α Usando a segundo lei de Newton poderemos calcular a aceleração angular α : m g senθ - µE m g cosθ = ma = m α R α= g (senθ − µ E cos θ ) R Logo: (µ E g  mg cos θ )R < I CM  (sen θ − µ E cos θ ) R  µE cosθ ( mR2 + ICM ) < ICM senθ  I CM µE <   mR 2 + I CM    tan θ   Considerando que o momento de inércia do cilindro é mR2/2 , teremos: 1 µ E < tanθ 3 Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 44 Três partículas, cada uma de massa m , são presas umas às outras e a um eixo de rotação por três cordões sem massa, cada um de comprimento L , como mostra a figura a seguir. O conjunto gira em torno do eixo de rotação em O com velocidade angular w , de tal forma que as partículas permanecem em linha reta. Quais são, em termos de m , L e w e relam w m tivamente ao ponto O a) O momento de Inércia do conjunto? m I = m L2 + m (2L)2 + m (3L)2 = 14 m L2 O b) O momento angular da partícula do meio? Se definirmos o eixo z como sendo perpendicular à folha de papel e saindo dela, o momento angular das três partículas estarão no sentido positivo do eixo z . Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 12
  • 13. Prof. Romero Tavares da Silva L 2 = I 2 w = 4 m L2 w c) O momento angular total das três partículas? L = I w = 14 m L2 w Capítulo 12 - Halliday e Resnick - Edição antiga 45 Um cilindro de comprimento L e raio r tem peso P . Dois cordões são enrolados em volta do cilindro, cada qual próximo da extremidade, e suas pontas presas a ganchos fixos no teto. O cilindro é mantido horizontalmente com os dois cordões exatamente na vertical e, em seguida, é abandonado. a) Determine a aceleração linear do cilindro durante a queda. F1 = F2 = F Como a força peso não produz torque em relação ao eixo de rotação, temos que: Iα τ = 2Fr = Iα ⇒ F = 2r Mas a=αr logo Ia F= 2 2r ! F1 ! F2 w ! P Considerando as forças que atuam no cilindro, da segunda lei de Newton temos que: ! ! ! ! P + F1 + F2 = Ma ou seja: P - 2 F = Ma  Ia  Mg − 2 2  = Ma  2r  I   g = a 1 +  Mr 2   ! F w ! P g a= 1+ I Mr 2 Mr 2 Considerando que o momento de inércia do cilindro tem a forma I = , 2 Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 13
  • 14. Prof. Romero Tavares da Silva encontramos que a= 2g 3 b) Determine a tensão em cada cordão enquanto eles estão se desenrolando. Mostramos anteriormente que: F= Ia 2r 2 logo F= Mr 2 1 2g 2 2r 2 3 ⇒ F= Mg 6 Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 46 As rodas A e B da figura a seguir estão conectadas por uma correia que não desliza. O raio da roda B é três vezes maior que o raio da correia A . a) Qual seria a razão entre os momentos de inércia IA / IB se ambas tivessem o mesmo momento angular? rB = 3 rA B Como as duas rodas estão conectadas, as velocidades das suas bordas serão iguais, ou seja: A vA = vB ou seja: w A r A = w B rB ⇒ w A rB = = 3 ∴ w A = 3wB w B rA LA = IA wA LB = IB wB Como LA = LB I Aw A = I B w B ⇒ IA wB = IB w A ∴ IA 1 = IB 3 b) Qual seria a razão entre os momentos de inércia IA / IB se ambas tivessem a mesma energia cinética de rotação? Como KA = KB 1 1 2 2 I Aw A = I Bw B 2 2 Cap 12 ⇒ IA  wB   = IB  w A    romero@fisica.ufpb.br 2 ∴ IA 1 = IB 9 14
  • 15. Prof. Romero Tavares da Silva Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 49 Um jogador de boliche principiante joga uma bola de massa M e raio R = 11cm na pista, com velocidade inicial v0 = 8,5m/s . A bola é arremessada de tal maneira que desliza uma certa distância antes de começar a rolar. Ela não está girando quando atinge a pista sendo o seu movimento puramente translacional. O coeficiente de atrito cinético entre ela e a pista é 0,21 . a) Por quanto tempo a bola desliza? M R = 11cm = 0,11m ! v0 ! v0 ! v0 v0 = 8,5m/s µC = 0,21 Podemos visualizar o movimento da bola como uma composição de movimentos: rotação + translação , e desse modo decompor as velocidades: ! v SUP ! v CM ! v INF ! v1 ! 2v 1 ! d ! v SUP ! v CM ! v INF ! ! ! v = v TRAN + v ROT Cada parte da roda vai ter uma composição de velocidades peculiar, as partes superior e inferior são os extremos de diversidade: ! v TRAN ! v TRAN ! v TRAN = ! v ROT + ! v ROT ! N vS = vTRAN + vROT ! Fa vI = vTRAN - vROT Quando a bola atinge a pista a veloci! P dade de rotação é nula, e ela só tem velocidade de translação v0 . À medida ! que a bola começa deslizar, ela tamd bém inicia a rotação, adquirindo velocidade angular até alcançar o valor w1 quando não mais desliza, tendo um movimento de rolamento sem deslizamento. Os dois tipos de movimento (rotação + translação) obedecem às equações: (v TRAN )0 = v 0       (v   TRAN )1 = v 1  (v ROT )0 = 0       (v ) = w R = v  1 1  ROT 1 Cap 12 ⇒ ⇒  v 1 = v 0 − aTRAN t   v 2 = v 2 − 2a d 0 TRAN  1  w 1 = w 0 + αt   w 2 = w 2 − 2αθ 0  1 romero@fisica.ufpb.br ⇒ v 1 = w 1R = Rαt ⇒ v 12 = 2(Rα )(Rθ ) ∴ v 12 = 2a ROT L ∴ v 1 = a ROT t 15
  • 16. Prof. Romero Tavares da Silva Ao contrário do rolamento com deslizamento, neste caso as velocidades de translação e rotação não estão conectadas diretamente. Isso só vai acontecer quando cessar o deslizamento, e nesse ponto v1 = w1 R . Para o movimento de translação, temos a segunda lei de Newton: ! ! ! ! Fa + P + N = Ma Mas  N −P = 0      F = Ma  TRAN   a ⇒ Fa = µC N = µC M g ∴ aTRAN = µC g Para o movimento de rotação temos: τ = Fa R = I CM α Fa = µ C Mg = ⇒ I CM I  I  α =  CM (αR ) =  CM a ROT 2 2 R R  R  R2 a ROT = µ C g  I  CM     Considerando o que já foi mostrado, temos que: v 1 = Rαt = a ROT t      v =v −a t  TRAN 0  1  ⇒ t= v − v1 v1 = 0 a ROT aTRAN  a ROT ∴ v1 =  a  TRAN + a ROT  v0   ou seja: t= v0 = aTRAN + a ROT Considerando que para a esfera I CM = t= v0  MR 2 µ C g 1 +  I CM      2 MR 2 encontramos que: 5 2v 0 = 1,18s 7µ C g b) A que velocidade está se movendo quando começa a rolar?   MR 2 v 1 = Rα t = a ROT t =  µ C g   I   CM   5  t = µ C g = 6,07m/s  2   c) Qual a distância que ela desliza na pista? Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 16
  • 17. Prof. Romero Tavares da Silva 2 2 v 0 − v 12 v 0 − v 12 = 8,60m ⇒ = 2aTRAN 2µ C g d) Quantas revoluções fez antes de começar a rolar? 2 v 12 = v 0 − 2aTRAN d 2 w 12 = w 0 + 2αθ ⇒ d= (w R ) 2 1 v 12 1 L= = a ROT t 2 = N (2πR ) ⇒ 2a ROT 2 N= Cap 12 = 2(αR )(Rθ ) ∴ v 12 = 2a ROT L  MR 2 1 a ROT t 2 1 N= = µC g  I 2πR 2 4πR  CM  2 t   5 µ C gt 2 = 5,18rev 8πR romero@fisica.ufpb.br 17