Resistência dos Materiais II - Unidade 02

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Resistência dos Materiais II - Unidade 02

  1. 1. Unidade 02 – Flexão Composta Resistência dos Materiais II Elson Toledo Flávia Bastos Leonardo Goliatt Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora versão 13.05 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 1 / 26
  2. 2. Flexão Composta Programa 1 Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 26
  3. 3. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Programa 1 Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 26
  4. 4. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Encontramos diversas situações em Engenharia onde as peças estão solicitadas simultamente pela ação de momentos fletores e esforços normais A esse tipo de solicitação denominamos flexão composta Ocorrências usuais: Pilares de canto Ganchos Sapatas com cargas excêntricas Vigas protendidas Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 26
  5. 5. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 3 / 26
  6. 6. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Fundações submetidas a cargas excêntricas Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 26
  7. 7. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Vigas protendidas Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 5 / 26
  8. 8. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Vigas protendidas Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 5 / 26
  9. 9. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Projeto de componentes mecânicos1 1Springer handbook of mechanical engineering, edited by K.-H. Grote and E.K. Antonsson, Springer- Verlag, 2009; pg 349-351 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 6 / 26
  10. 10. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Projeto de componentes mecânicos1 1Springer handbook of mechanical engineering, edited by K.-H. Grote and E.K. Antonsson, Springer- Verlag, 2009; pg 349-351 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 6 / 26
  11. 11. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 7 / 26
  12. 12. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Programa 1 Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 26
  13. 13. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitação Carga aplicada fora do centroide Provoca momentos fletores decorrentes de sua excentricidade α y z P α y z zc yc Mz = Pyc My = Pzc Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 26
  14. 14. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitação Carga aplicada fora do centroide Provoca momentos fletores decorrentes de sua excentricidade P y z C(zc, yc) zc yc y z zc yc α ES s s M Mz MyM Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 26
  15. 15. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Considere y e z eixos principais de inércia Redução da força P em C(zc, yc) ao centroide da seção resulta em uma força e um momento N = P My = −Nzc Mz = Nyc P é aplicada na direção do eixo da peça P é positivo se provoca tração na seção As tensões atuantes são determinadas por su- perposição de efeitos σx = σN x + σ My x + σMz x y z zc yc α s s Mz MyM Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 26
  16. 16. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta As tensões atuantes são determinadas por su- perposição de efeitos σx = σN x + σ My x + σMz x onde σN x = N A σ My x = − My Iy z σMz x = Mz Iz y o que resulta em σx = N A − My Iy z + Mz Iz y y z zc yc α s s Mz MyM Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 26
  17. 17. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Considerando que N = P My = −Nzc Mz = Nyc e substituindo em σx = N A − My Iy z + Mz Iz y temos que σx = N A + Nzc Iy z + Nyc Iz y y z zc yc α s s Mz MyM Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 26
  18. 18. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Com os eixos principais de inércia σx = N A + Mz Iz y − My Iy z = N A + Nyc Iz y + −Nzc Iy z Definindo o raio de giração tal que Ii = ρ2 i A, podemos reescrever σx = N A  1 + yc ρ2 z y + zc ρ2 y z   Essa é a equação de um plano que não passa pela origem (centroide da seção) Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 10 / 26
  19. 19. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta z y C x yc zc My = Pzc Mz = Pyc P σx = N A  1 + yc ρ2 z y + zc ρ2 y z   Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 11 / 26
  20. 20. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Com o eixo na linha neutra, onde LNC é a posição da LN na flexão composta σx = N A + Mn In u s s M ES LNO f f P LNC σN x = N A σMn x = Mn In u σx = N A + Mn In u Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 26
  21. 21. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta E se os sistema de eixos não coincidir com os eixos principais de inércia, σx = N A +   MzIy + MyIyz IzIy + I2 yz   y −   MyIz − MzIyz IzIy − I2 yz   z ou σx = N A + (MzIy + MyIyz)y − (MyIz + MzIyz)z IzIy − I2 yz Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 13 / 26
  22. 22. Flexão Composta Determinação da linha neutra Programa 1 Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 14 / 26
  23. 23. Flexão Composta Determinação da linha neutra Flexão Composta Determinação da linha neutra Por definição, a linha neutra (LN) é o lugar geométrico onde σx = 0 Usando os eixos principais de inércia, e fazendo σx = N A  1 + yc ρ2 z y + zc ρ2 y z   = 0 temos 1 + yc ρ2 z y + zc ρ2 y z = 0 Esta é uma equação de uma reta que não passa pela origem z y C x yc zc My = Pzc Mz = Pyc P Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 14 / 26
  24. 24. Flexão Composta Determinação da linha neutra Flexão Composta Determinação da linha neutra Para determinar as ordenadas y0 e z0, podemos usar a equação 1 + yc ρ2 z y + zc ρ2 y z = 0 e escrever a forma segmentária y y0 + z z0 = 1 Após algum algebrismo, z = 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0 = − ρ2 z yc y = 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0 = − ρ2 y zc y z n0 n0 s s ES n n LN y0 z0 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 14 / 26
  25. 25. Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Programa 1 Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
  26. 26. Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Podemos determinar o paralelismo da LN na flexão composta com a LN da flexão oblíqua Seja β1 a inclinação com relação ao eixo z da LN na flexão pura Seja β a inclinação da LN na flexão composta Vamos mostrar que β = β1 Na flexão oblíqua temos que tan α tan β1 = − Iz Iy y z n0 n0 s s ES n n LN C Mz My α β1 β zc yc Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
  27. 27. Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Na flexão composta observamos que tan α = yc zc e que a equação da LN é 1 + zcz ρ2 y + ycy ρ2 z = 0 o que permite escever y = −ρ2 z yc  1 + zcz ρ2 y   = a + bz onde b é a inclinação da LN com relação ao eixo z y z n0 n0 s s ES n n LN C Mz My α β1 β zc yc Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
  28. 28. Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta O valor de b pode ser calculado como b = tan β = dy dx = −ρ2 z zc ρ2 yyc Substituindo ρ2 z A = Iz, ρ2 y A = Iy e tan α = yc zc tan β = − Iz Iy yc zc = − Iz Iy 1 tan α Resultando em tan α tan β = − Iz Iy y z n0 n0 s s ES n n LN C Mz My α β1 β zc yc Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
  29. 29. Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Comparando os dois resultados tan α tan β1 = − Iz Iy , tan α tan β = − Iz Iy Tem-se imediatamente que tan β1 = tan β ⇒ β = β1 Conclusão: Estando a secão sujeita aos mes- mos momentos fletores, as LN’s na flexão oblíqua e composta têm a mesma inclinação y z n0 n0 s s ES n n LN C Mz My α β1 β zc yc Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
  30. 30. Flexão Composta Núcleo central de inércia Programa 1 Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 16 / 26
  31. 31. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia Quando se varia o centro de aplicação da carga, a posição da linha neutra varia O diagrama de tensões pode ser: Bi-triangular: tensões de tração e compressão no campo da seção Trapezoidal: tensão de um único sinal em toda a tensão (a LN não corta a seção); Triangular: a tensão nula se reduz a um único ponto 2 2Vitor Dias da Silva, Mechanics and Strength of Materials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006, XVI, 529 p. Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 16 / 26
  32. 32. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia Definição: O núcleo central de inércia é o lu- gar geométrico da seção transver- sal, tal que, se nele for aplicada uma carga de compressão P, toda a seção está comprimida. Alternativa- mente, região da seção transversal onde aplicada uma força nor- mal, sua linha neutra não corta a seção LN 1 LN 2 LN 3 y z 1 2 3 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 17 / 26
  33. 33. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia Conseqüência: a seção só terá tensões de um mesmo sinal (compressão ou tra- ção) de acordo com o sinal da força Importância: materiais com baixa resistência a tração. Exemplos: murros de ar- rimo, chaminés e pilares LN 1 LN 2 LN 3 y z 1 2 3 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 17 / 26
  34. 34. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia Processo espontâneo de determinação do N.C.a partir de um número finito de tangentes à seção da peça: Considerando-as cada uma como uma linha neutra, podemos determinar os centros de solicitação das cargas correspondentes, que seria o contorno deste núcleo. LN 1 LN 2 LN 3 y z 1 2 3 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 18 / 26
  35. 35. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia Vamos considerar a seção ao lado, submetida a flexão composta dada or uma carga de compressão aplicada em C, que provoca um momento M e é a excentricidade da carga n0n0 é e LN na flexão pura nn é e LN na flexão pura θ é o ângulo entre a LN na flexão e o eixo de solicitação y z n0 n0 s s ES n n LN y0 z0 C M u θ yc zc e s0 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
  36. 36. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia A tensão normal se escreve σx = N A + Mn In u com Mn = M sin θ, M = Ne de onde vem M = Ne sin θ A equação da LN (σx = 0) fica σx = N A + Ne sin θ In u = 0 y z n0 n0 s s ES n n LN y0 z0 C M u θ yc zc e s0 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
  37. 37. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia Considerando que u = s0 sin θ vem N A + Ne sin2 θs0 ρ2 nA = 0 o que resulta em 1 + e sin2 θs0 ρ2 n = 0 Chegamos finalmente em es0 = −ρ2 n sin2θ ⇒ es0 = −r2 n y z n0 n0 s s ES n n LN y0 z0 C M u θ yc zc e s0 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
  38. 38. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia A equação es0 = −r2 n relaciona a distância (ao centroide) do ponto de aplicação da carga com a distância (ao centroide) do ponto onde a LN corta o ES A constante rn = −ρ2 n sin2θ depende a inércia da seção e da posição do centro de solicitação y z n0 n0 s s ES n n LN y0 z0 C M u θ yc zc e s0 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
  39. 39. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia Ao lado vemos a variação da LN com a posição do centro de solicitação O sinal negativo em es0 = −r2 n deve ser interpretado entendo-se que o centro de solicitação e o ponto de passagem da LN estão sempre em lados opostos do ES dividido pelo baricentro (antipolaridade) Temos que e1s1 = −r2 n e2s2 = −r2 n ... ek sk = −r2 n y z n n1 s s ES s1 s2 s3 e3 e2 e1 n2 n2 n3 n3 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 20 / 26
  40. 40. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia Para obterms o NCI de uma seção qualquer, considere 1 + yc ρ2 z y + zc ρ2 y z = 0 Dado C(yc, zc)m podemos obter a LN a partir dos pontos onde esta corta os eixos coordenados z = 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0 = − ρ2 z yc y = 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0 = − ρ2 y zc y z n n1 s s ES s1 s2 s3 e3 e2 e1 n2 n2 n3 n3 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 21 / 26
  41. 41. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia O processo pode ser realizado de forma “inversa”: 1 Arbitra-se uma LN tangente à seção 2 Determina-se y0 e z0 3 Obtêm-se as coordenada de yc e zc yc = − ρ2 z y0 zc = − ρ2 y z0 4 Repetem-se as operações anteriores até que se obtenha um conjunto satisfatórios de pontos para o NCI y z n n1 s s ES s1 s2 s3 e3 e2 e1 n2 n2 n3 n3 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 21 / 26
  42. 42. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia Análise de uma seção retangular (flexão reta) Vamos determinar a posição do centro de soli- citação (zc, yc) ao longo do eixo y ⇒ zc = 0 O centro de solicitação tem coordenadas (0, yc) Para satisfazer a cndição do NCI, a LN deve passar por uma das arestas do retângulo (d = ±h 2 ) σx(d) ≤ 0 ⇒ σx(± h 2 ) ≤ 0 Dai temos (para o caso ao lado) σx = N A 1 + yc ρ2 z h 2 ≤ 0 ⇒ 1 + yc ρ2 z h 2 ≤ 0 y z (0, yc < 0) LN h b d Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 22 / 26
  43. 43. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia Da condição do NCI, σx = N A 1 + yc ρ2 z h 2 ≤ 0 ⇒ 1 + yc ρ2 z h 2 ≤ 0 o que resulta em yc ≤ − 2ρ2 z h = 2Iz Ah = 2 bh3 12 1 bh 1 h E então temos yc ≥ −h 6 ⇒ yc ≤ h 6 De modo análogo, temos zc ≤ b 6 y z (0, yc < 0) LN h b d Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 22 / 26
  44. 44. Flexão Composta Núcleo central de inércia Flexão Composta Núcleo central de inércia Outros exemplos de NCI 3 3Vitor Dias da Silva, Mechanics and Strength of Materials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006, XVI, 529 p. Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 23 / 26
  45. 45. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade Programa 1 Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 26
  46. 46. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade Sejam C(yc, zc) centro de solicitação de um carregamento e nn a LN originada pela aplicação de uma carga em C Sejam também C (yc, zc) um ponto qualquer de nn e n n uma reta passante por C Temos então a LN associada a C nn ⇒ 1 + yc ρ2 z y + zc ρ2 y z = 0 y z n n LN yc zc C (yc, zc) n n LN’ C(yc, zc) Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 26
  47. 47. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade Podemos mostrar que se C ∈ nn ⇒ C ∈ n n onde n n é a LN associada a uma carga cm centro de solicitação C Temos então C ∈ nn ⇒ 1 + ycyc ρ2 z + zczc ρ2 y = 0 Por outro lado, a equação de n n é 1 + ycyc ρ2 z + zczc ρ2 y = 0 y z n n LN yc zc C (yc, zc) n n LN’ C(yc, zc) Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 26
  48. 48. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade Então, a partir de 1 + ycyc ρ2 z + zczc ρ2 y = 0 concluímos que Se C ∈ n n então z = zc, y = yc o que prova a propriedade y z n n LN yc zc C (yc, zc) n n LN’ C(yc, zc) Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 26
  49. 49. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade A partir de 1 + ycyc ρ2 z + zczc ρ2 y = 0 podemos constatar que quando o C → C as LN associadas a estes centros de solicitação giram em torno de C y z n n LN yc zc C (yc, zc) n n LN’ C(yc, zc) C (yc , zc ) n n LN” Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 25 / 26
  50. 50. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade Essa propriedade pode ser usada de forma inversa: Dadas duas LN (LN1, LN2) tangentes a uma seção, que passam por um mesmo ponto, podemos determinar todos os centros de soli- citação que passam por uma reta que contem os centros de solicitação associados (C1, C2) y z n n LN yc zc C (yc, zc) n n LN’ C(yc, zc) C (yc , zc ) n n LN” Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 25 / 26
  51. 51. Flexão Composta Exemplos Programa 1 Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência Distribuição de tensões normais na flexão composta Determinação da linha neutra Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta Núcleo central de inércia Propriedade Fundamental da Antipolaridade Exemplos Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 26 / 26
  52. 52. Flexão Composta Exemplos Flexão Composta Exemplos Determinar o maior valor que a força de tração T, aplicada no ponto C da seção ao lado, pode atingir. Determine também o diagrama de tensões final para a carga calculada. Dados: | ¯σc| = | ¯σt| = 150 N/cm2 . zc = 0.8 cm; yc = 2.0 cm; C 20 60 y z Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 26 / 26

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