Matemática básica apostila

Professor Ivan Zecchin 1
SUMÁRIO
1ª PARTE:.................................................................................................................................................
Números Inteiros...................................................................................................................................
Múltiplos................................................................................................................................................
Divisores...............................................................................................................................................
MMC e MDC.........................................................................................................................................
03
03
07
07
08
2ª PARTE: ................................................................................................................................................
Números Racionais e Reais.................................................................................................................
Operações com frações, decimais e radicais.......................................................................................
09
09
09
3ª PARTE:.................................................................................................................................................
Razões, Proporções e Regra de três....................................................................................................
16
16
4ª PARTE:.................................................................................................................................................
Porcentagem e taxas............................................................................................................................
31
31
5ª PARTE:.................................................................................................................................................
Sequências............................................................................................................................................
40
40

CONTEÚDO – 8 ENTRADAS
Números Inteiros
Múltiplos
Divisores
MMC e MDC
Números Racionais e Reais
Operações com frações e decimais.
Razões, Proporções e Regra de três.
Porcentagem e taxas.
Sequências
1ª PARTE:
Números Inteiros
Múltiplos
Divisores
MMC e MDC
NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS;
PROBLEMAS DE CONTAGEM
Naturais
Chama-se conjunto dos naturais o conjunto
formado pelos números 0, 1, 2, 3, …
É indicado por N.
Em N são definidas duas operações: adição e
multiplicação.
Outros conjuntos que serão apresentados são
ampliações dos naturais e foram surgindo devido
às “dificuldades” de se trabalhar em N.
Inteiros
Chama-se conjunto dos números inteiros o
conjunto formado pelos números ... -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3,
É indicado por Z
Reforçando o que foi comentado nos naturais,
notem que o conjunto dos números inteiros veio
sanar a dificuldade que tínhamos em relação à
subtração em N.
Os números inteiros podem ser apresentados
graficamente através de uma rua, estabelecendo-
se um sentido positivo, um ponto de origem O,
que representa o inteiro zero, e adotando-se um
segmento unitário cuja extremidade representará
o número 1.
Para cada inteiro positivo, marcamos um
segmento no sentido positivo, cuja extremidade
representará o inteiro mencionado, da mesma
forma para os negativos, no sentido contrário.
Observem que não é possível definir nos
conjuntos anteriores a operação de divisão, dando
significado à expressão , onde p e q são
inteiros e q ≠ 0.
O conjunto dos racionais vem superar esta
dificuldade.
Chama-se, então, números racionais a todo
número do tipo , onde p, q ЄZ e q ≠0.
Então:
Q = {x | x = , p, q Є Z e q ≠ 0}
q
p
q
p
q
p
CURSO EXTENSIVO DE MATEMÁTICA
MAIO/JUNHO-2012

4 Professor Ivan Zecchin
Onde Q é o conjunto dos números racionais.
Concluímos que:
a) Todo inteiro é racional (racional com
denominador unitário).
b) Um número decimal exato é racional.
Exemplos:
c) Toda dízima periódica (número decimal não
exato, mas periódico) é racional.
Exemplos:
REAIS
Existem certos números que não se “encaixam” no
conjunto anterior (Racionais).
Exemplos:
Não são decimais exatos, não são periódicos,
portanto, não são racionais; são irracionais.
O conjunto de todos os tipos de números definidos
até agora, racionais ou irracionais, representa o
conjunto dos números reais (R).
Notações:
Importante:
N C Z C Q C R
onde:
N = conjunto dos naturais
Z = conjunto dos inteiros
Q = conjunto dos racionais
R = conjunto dos reais
INTERVALOS
Introdução
Vimos anteriormente que é possível representar
graficamente os números inteiros (pontos de uma
reta). O mesmo ocorre com os números racionais
e irracionais.
No entanto, esses conjuntos (racionais, irracionais
e inteiros), isoladamente, não preenchem
completamente a reta. Quando, no entanto,
colocamos sobre a reta a união desses três
conjuntos, a reta fica totalmente tomada por esses
pontos; esta reta, que representa R, é chamada
de reta real.
Intervalos
São subconjuntos dos números reais,
determinados por desigualdades.
Na reta real, os números compreendidos entre 4 e
7, incluindo 4 e 7, constituem o intervalo fechado
[4, 7], ou seja, [4, 7] = {x ЄR | 4 ≤x≤ 7).
Na reta real teríamos:
7182,2
...141592,3
...7320508,13
=
=
=
e
π
}0{* −= RR
}0|{ ≥∈=+ xRxR
}0|{
*
>∈=+ xRxR
}0|{ ≤∈=− xRxR
}0|{
*
>∈=− xRxR
20
1
05,0;
100
37
37,0;
2
1
5,0 ===
99
23
...232323,0;
3
1
...333,0 ==

Professor Ivan Zecchin
Se retirarmos 4 e 7 (extremos) do intervalo,
teremos o intervalo aberto [4,7], ou seja,
[4, 7] = {x
Na reta:
No caso de encontrarmos [4, 7], seria
direita e aberto à esquerda
gráfica:
Outras situações importantes:
[- ∞
por:
[3,
Módulo de um Número Inteiro
É à distância ou afastamento desse número até o
zero, na reta
O módulo de + 8 é 8 e indica
O módulo de
Números Inteiros Opostos ou Simétricos
É o número que possui o mesmo módulo, mas
sinal diferente.
O oposto de 6 é
| 6 | = |
O oposto de
|-
[4, 7] = {x ЄR | 4 < x < 7).
Na reta:
gráfica:
∞, 2]= {x ЄR | x < 2}, que podemos representar
por:
[3, ∞[ = {x ЄR | x >3}
zero, na reta inteira, se representa por | |
O módulo de
sinal diferente.
O oposto de 6 é
| 6 | = |- 6| = 6
O oposto de –
9| = | 9 | = 9
ЄR | 4 < x < 7).
ЄR | x < 2}, que podemos representar
ЄR | x >3}
NÚMEROS INTEIROS
inteira, se representa por | |
O módulo de - 3 é 3 e indica
sinal diferente.
O oposto de 6 é – 6, ou seja
6| = 6
– 9 é 9, ou seja,
9| = | 9 | = 9
direita e aberto à esquerda e teria a representação
R | x < 2}, que podemos representar
NÚMEROS INTEIROS
O módulo de + 8 é 8 e indica-se por |+ 8| = 8
3 é 3 e indica-se por |
6, ou seja,
9 é 9, ou seja,
No caso de encontrarmos [4, 7], seria fechado à
teria a representação
se por |+ 8| = 8
se por |- 3| = 3
fechado à
teria a representação
Comparação de Números Inteiros
Comparação de números no conjunto dos
Números Inteiros (Z) pode ser representado por
uma reta:
Ao compararmos dois números inteiros, o maior
será semp
+ 7 > + 3
+ 5 > 0
-
Adição de Números Inteiros
Adição de Três ou mais Números Inteiros
Consideremos os seguintes casos:
1º) Asdrobaldo tinha R$ 800,00 de saldo bancário.
Se durante o dia ele deu um c
e fez um depósito de R$ 200,00, qual será o seu
saldo no final do dia?
2º) (+ 4) + (
Somar as quantidades positivas
Somar as quantidades negativas
Somar os resultados obtidos
uma reta:
será sempre o que estiver mais a direita na reta.
+ 7 > + 3
+ 5 > 0
- 2 > - 6
2º) (+ 4) + (- 3) + (
(+ 4) + (+ 8) = + 12
(- 3) + (-
(+ 12) + (
re o que estiver mais a direita na reta.
3) + (- 5) + (+ 8)
(+ 4) + (+ 8) = + 12
5) = - 8
(+ 12) + (- 8) = + 4
Se durante o dia ele deu um cheque de R$ 500,00
5) + (+ 8)
heque de R$ 500,00
5
heque de R$ 500,00

6
Calcular:
a) 132 + 34
b) 3
c) 234
d)
Propriedades da Adição
um número inteiro;
em Z.
Subtração de Números Inteiros
Subtrai
ordem, significa adicionar “a” ao oposto de “b”.
(+ 6)
(+
Adição Algébrica
Toda expressão numérica que contém adição e
subtração representa uma adição algébrica.
– 6 + 45
+ 6 + (
– 4
Calcular: (Adição/Subtração)
Resolva primeiro o que está dentro dos
parênteses( ( ) )depois colchetes ( [ ] ), depois
chaves( { } ).
a) 34 + [
b) 4
Calcular:
a) 132 + 34 –
b) 3 – 56 + 75
c) 234 – 78 + 67
d) – 31 – 67 –
A adição de dois números inteiros é sempre
um número inteiro;
A adição de dois números inteiros é cumulativa;
A adição de três números inteiros é associativa;
O número 0 (zero) é elemento neutro da adição
em Z.
Subtrair dois números inteiros “a” e “b” nessa
(+ 6) – (+ 5) = (+ 6) + (
(+ 4) – (- 2) = (+ 4) + (+ 2) = + 6
Adição Algébrica
6 + 45 – 67 + 34 = + 6
+ 6 + (– 6 + 5) = + 6
4 – (– 2 + 6
chaves( { } ).
a) 34 + [– 4 + (
b) 4 – {5 – [– 4 + (+ 4
78 + 5
56 + 75
78 + 67 – 45
56 + 45
um número inteiro;
r dois números inteiros “a” e “b” nessa
(+ 5) = (+ 6) + (-
2) = (+ 4) + (+ 2) = + 6
Adição Algébrica
67 + 34 = + 6
6 + 5) = + 6 – 6 + 5 = + 5
2 + 6 – 4) = – 4 + 2
4 + (– 5 + 4) – 2]
4 + (+ 4 – 5)] + 8}
5) = + 1
2) = (+ 4) + (+ 2) = + 6
6 + 5 = + 5
4 + 2 – 6 + 4 =
2]
5)] + 8}
6 + 4 = – 4
c) (5 + 5)
d) (
e) (5 + 4
a. 27 b. 2 c. 13 d.
Multiplicação de Números Inteiros
Sinais iguais, o produto é positivo
(+ 3) . (+ 4) = + 12
(
Sinais diferentes, o produto é negativo
(–
(+ 5) . (
Multiplicação com mais de dois fatores
(+ 6) . (+ 2) . (
(–
Propriedades da Mu
sempre um número inteiro;
cumulativa;
associativa;
multiplicaçã
Calcular: (Multiplicação de inteiros)
a) (
b) (+ 7) . (
c) 12 . (
d)
a. 64 b.
c) (5 + 5) – (4
d) (– 4 + 3) + (4
e) (5 + 4 – 3)
a. 27 b. 2 c. 13 d.
(+ 3) . (+ 4) = + 12
(– 5) . (– 6) = + 30
– 2) . (+ 8) à
(+ 5) . (– 4) =
(+ 6) . (+ 2) . (
– 2) . (+ 3) . (
Propriedades da Mu
A multiplicação de dois números inteiros é
cumulativa;
A multiplicação de três números inteiros é
associativa;
O número “+ 1” é elemento neutro da
multiplicação de números inteiros.
a) (– 4) . (– 2) . (+ 8)
b) (+ 7) . (– 2) . (+ 4)
c) 12 . (– 4) . (+ 2)
d) – 54 . (– 2) . (+ 12)
a. 64 b. -56 c.
(4 – 6) + (– 3 + 4)
4 + 3) + (4 – 8) – (–
3) – (– 9 – 23 + 16)
a. 27 b. 2 c. 13 d. -3 e. 16
(+ 3) . (+ 4) = + 12
6) = + 30
2) . (+ 8) à – (+ 2) . (+ 8) =
4) = – 20
(+ 6) . (+ 2) . (– 3) = – 36
2) . (+ 3) . (– 4) = + 24
Propriedades da Multiplicação
o de números inteiros.
2) . (+ 8)
2) . (+ 4)
4) . (+ 2)
2) . (+ 12)
56 c. -96 d. 1296
3 + 4)
– 5 + 6 – 3)
23 + 16) – 6
3 e. 16
(+ 2) . (+ 8) = – (+ 16) =
36
4) = + 24
ltiplicação
o de números inteiros.
96 d. 1296
(+ 16) = – 16

Expressões Numéricas
Calcular:
a) 4 . (– 2) + 5 . (+ 3) – (– 7)
b) 14 – 2 . (– 6) + (– 4) . (+ 6)
c) Dada a expressão 4a – 3b, determine o seu
valor para a = – 2 e b = – 4.
d) Sendo x = – 6, qual é o valor numérico da
expressão 2x + 50?
e) Determine o valor numérico da expressão
2x – 2xy – 6y, quando x = 8 e y = – 3.
a. 14 b. 2 c. 4 d. 38 e. 82
Divisão de Números Inteiros
Sinais iguais , o quociente é positivo
(+ 4) : (+ 2) = + 2
(– 10) : (– 2) = + 5
Sinais diferentes, o quociente é negativo.
(– 12) : (+ 2) = – (+ 12) . (+ 2) = – (+ 6) = – 6
(+ 16) : (– 4) = – 4
Expressões Numéricas Simples
Calcular:
a) 16 – (– 14) : 2
b) 100 – (+ 48) : 4
c) (– 32) : 4 + 6
a. 23 b. 88 c. -2
MÚLTIPLOS E DIVISORES
1.1. Múltiplos
Sejam a, b e c números inteiros. Então:
Se a = b . c
↓
a é múltiplo de b
a é múltiplo de c
1.2. Divisor (em Z)
Se a = b . c então
b é divisor de a
c é divisor de a
1.3. Decomposição de um número
Utilizamos o dispositivo prático da seguinte forma:
60 = 22
. 3 . 5 (forma fatorada)
1.4. Divisores de um número
1. em IN
Os divisores (IN) de 60 são:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60
Em Z, os divisores de 60 são:
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -10, -12, -15, -20, -30 e -60,
mais os divisores Naturais.
1.5. Números Primos
Em IN para que um número seja primo só pode
apresentar como divisores a unidade e ele próprio
(2 divisores).
Portanto, são primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
1. Reconhecimento de um número primo.
31 é primo?

Observe que todas as divisões não apresentam
restos nulos e na última, o quociente ficou menor
(pode ser igual) que o divisor, portanto, 31 é
primo.
Outro exemplo: 33 é primo?
Como a 2ª divisão apresenta resto nulo, 33 não é
primo.
1.6. Máximo Divisor Comum (MDC)
O MDC de dois ou mais números é o produto dos
fatores primos comuns, elevando-se cada um dos
fatores ao menor expoente.
1.7. Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Tomamos como MMC de dois ou mais números o
produto dos fatores comuns e não comuns com o
maior dentre seus expoentes.
Obs.:
Propriedade:
1) Dados os números 60 e 45, temos que o seu
MDC e MMC, serão:
MDC (45, 60) = 3 . 5 = 15
MMC (45, 60) = 32
. 22
. 5 = 180
Observe a validade da propriedade acima
15 . 180 = 60 . 45
Questões Resolvidas:
1) A editora do livro COMO SER APROVADO NO
CONCURSO PÚBLICO recebeu os seguintes
pedidos, de três livrarias:
Livrarias Número de exemplares
A 1800
B 2250
C 3150
A editora deseja remeter os três pedidos, em n
pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor
possível. O valor de n é:
a) 14
b) 12
c) 15
d) 18
e) 16
RESOL.: O número de livros em cada pacote deve
ser o mesmo, então deverá ser um DIVISOR de
1800, 2250 e 3150.
Como ele deseja o menor número possível de
pacotes, então o nº de livros por pacote deverá ser
o MAIOR possível.
Juntando as duas idéias acima, temos que o nº e
livros por pacote deve ser o MAIOR DIVISOR
COMUM das 3 quantidades.
MDC (1800, 2250, 3150) = 450
Logo, irão 450 livros por pacote.
Mas, ele pede o nº de pacotes, daí...
livraria A.................1800/450 = 4
livraria B.................2250/450 = 5
livraria C.................3150/450 = 7
TOTAL de pacotes .......................................... 16

2) Considere todos os múltiplos comuns de 18 e
24. O menor desses múltiplos que supera 500 é:
a) 504
b) 518
c) 572
d) 524
Resolução:
O menor múltiplo comum de 18 e 24
[ mmc(18,24)] é:
18, 24 | 2
9 12 | 2
9 6 | 2
9 3 | 3
3 1 | 3
1 1.................MMC = 2.2.2.3.3 = 72
Os próximos múltiplos comuns serão obtidos
somando-se 72
Múltiplos comuns de 18 e 24:
72....144...216....288....360....432....504......
O menor deles, acima de 500 é o 504.
2ª PARTE:
Números Racionais e Reais
Operações com frações, decimais e radicais.
NÚMEROS RACIONAIS
Adição e Subtração Algébrica de Números
Fracionários:
- Somente podemos somar ou subtrair frações de
MESMO DENOMINADOR
- Caso não tenham mesmo denominador devemos
escrevê-las com denominadores iguais;
-- Acha-se o MMC
-- Divide-se o MMC pelo denominador e multiplica-
se pelo numerador, de cada fração.
Ex: 3/8 + 1/12 = ?
O MMC de 8 e 12 é 24.
24 : 8 = 3.....3 x 3 = 9 ( novo numerador da 1ª
fração )
24 : 12 = 2....2 x 1 = 2 ( novo numerador da 2ª
fração )
Fica, então......9/24 + 2/24 = 11/24 ( Resposta )
Calcular:
a)
b)
c)
d) 0,27 – 1,46
e) + + 1,19
f)
g)
4
7
6
4
+−
4,0
5
2
+−
3
8
7 +−
46,127,0 −
4
2
5
3
1,0 −−
5
1
4
3
6
4
−+−
2
1
6
5
14
+−

Multiplicação de Números Fracionários
- Numerador vezes numerador e denominador
vezes denominador, simplificando antes, sempre
que possível, qualquer numerador com qualquer
denominador, pelo mesmo número.
Ex: 3/8 x 12/5 = ?
- observe que 8 e 12 são divisíveis por 4, ficando 2
e 3, respectivamente.
Fica, então......3/2 x 3/5 = 9/10 ( Resposta )
a)
b)
c)
d) (+ 2,5) . (– 4,7)
e)
f)
g)
Divisão de Números Fracionários
- Conserva-se a 1ª fração e Multiplica-se pelo
inverso da 2ª fração.
- Procede-se, a seguir, como no tópico anterior.
Ex.......5/12 : 1/3 = ?
5/12 x 3/1 = 5/4 x 1/1 = 5/4
a)
b) (– 8,25) : (– 3,5)
c)
d)
e)
Simplificação de Frações
Simplificar uma fração é dividir seus termos por
um mesmo número e obter termos menores que
os iniciais.
Adição e Subtração de números DECIMAIS.
- Coloca-se vírgula debaixo de vírgula e iguale o
número de casas acrescentando-se zeros e
opera-se “normalmente”.
Ex........31,256 + 4, 48 = ?
31, 256
+
04, 480
----------------------
35, 736
Calcular;
a) 2, 3 + 13, 21
b) 4, 58 – 12, 2
c) 500,008 – 19,0006
d) 0, 234 + 80,3 – 100
Respostas:
a) 15,51 b) – 7,62 c) 481,0074 d) – 19,466
2
1
4:
8
4
=





−




+
6
4
:
4
3
2
8
4
6
−





++
4
2
:)5,2(





−




+
6
4
:
4
3




+



−− 18
4.
6
2
).8(




−−



+ 2
3)6.(5
4




−



+−+



− 4
3.
7
8)1,3.(2
3
)4,0.(3
6
+



+





−




−
5
3
.
2
8





−




+
7
8
.
4
3

Multiplicação de Decimais
- Faz-se a multiplicação como se existissem as
vírgulas.
- O resultado terá tantas casas decimais quantas
forem as casas decimais dos números.
Ex....... 2,32 x 12,9 = ?
(observe que há um total de 3 casas decimais)
232 x 129 = 29928
Coloca-se a vírgula, com as 3 casas
decimais.......29,928
Calcular:
a) 12,5 x 32,8
b) 0,345 x 86,3
c) 35,35 x 45,4
d) 6,999 x 1,56
Respostas:
a) 410 b) 29,7735 c) 1604,89 d) 10,91844
Divisão de Decimais
- Iguala-se o nº de casas decimais dos dois
números, acrescentando-se zeros onde houver
menos casas e.....vamos a exemplos !
13483,29 / 3,1836
Divisão de decimais:
1ª passo: iguale o número de casas decimais
(casas à direita da vírgula) colocando zeros do
lado que tiver menos casas.
13483,2900 / 3,1836
2ª passo: Elimine as vírgulas
134.832.900 / 31.836
3ª passo: Faça a conta "normalmente"
134.832 dá para dividir por 31.836......dá
4........sobra 7488
134.832.900 / 31.836
7488 4
Abaixe o próximo número (9)
134.832.900 / 31.836
74889 4
Continue a divisão..........dá 2 e sobra..11217
134.832.900 / 31.836
74889 42
11217
Abaixe a próxima casa ( 0 )
134.832.900 / 31.836
74889 42
112170
Continue.......dá 3 e sobra...16662
134.832.900 / 31.836
74889 423
112170
16662
134.832.900 / 31.836
74889 4235
112170
166620
Continue.....dá 5 e sobra...7740
134.832.900 / 31.836
74889 4235
112170
166620
7740

Como não há próxima casa para baixar,
acrescente um zero no resto e coloque vírgula no
quociente.
134.832.900 / 31.836
74889 4235,
112170
166620
74400
Continue.....dá 2 e sobra...10728
134.832.900 / 31.836
74889 4235, 2
112170
166620
74400
10728
Continue, acrescente 0 no resto (depois de
colocada a vírgula, acrescenta-se UM zero em
cada resto. Se não for suficiente, acrescente um
segundo zero, mas a partir desse, coloca-se zero
no quociente também ). Dá 3 e sobra 11772...
134.832.900 / 31.836
74889 4235, 23
112170
166620
74400
107280
11772
Etc..etc...etc......até o resto dar zero ou......
perceber que o resultado será uma DÍZIMA
OUTRA “CONTA”
Divisão
1916300 / 2625
1º passo: iguale o n[úmero de casas decimais
(casas à direita da vírgula) colocando "zeros" do
lado que tiver menos casas.
191,6300 / 0,2625
2º passo: Elimine as vírgulas.
1916300 / 2625
3º passo: faça a conta normalmente..
19163 é suficiente para dividir por 2625........dá 7 e
sobra 788
1916300 / 2625
788 7
1916300 / 2625
7880 7
7880 por 2625.......dá 3 e sobra...5
1916300 / 2625
7880 73
5
Atenção agora!!
abaixe a próxima casa ( 0 ) e faça a conta
normalmente, Se não der para dividir ( e não dá,
pois fica 50 por 2625) acrescente zero no
resultado e abaixe a próxima casa.
1916300 / 2625
7880 730
50
Como não há próxima casa para baixar,
acrescente zero ao resto e coloque vírgula
1916300 / 2625
7880 730,
500
Como ainda não dá para dividir, acrescente outro
zero ao resto, mas lembre-se; à partir do segundo
zero colocado no resto, coloca-se zero no
resultado também !

1916300 / 2625
7880 730,0
5000
5000 por 2625 dá 1 e sobra 2375
1916300 / 2625
7880 730,01...
5000
2375
E por aí vai...
Calcular:
a) 6,25 / 0,2
b) 0,444 / 12,3
c) 21,8 / 2,5
d) 3,0309 / 1,5
e) 2400,024 / 8
Respostas:
a) 31,25
b) 0,03097..
c) 8,72
d) 2,0206
e) 300,003
TESTES
1. Dividir um número por 0,0125 equivale a
multiplicá-lo por:
a) 1/125
b) 1/8
c) 8
d) 12,5
e) 80
2. A expressão a seguir é igual a:
a) 28
/5
b) 29
/5
c) 28
d) 29
3. Sejam X e y dois números reais não nulos e
distintos entre si. Das alternativas a seguir, a única
necessariamente verdadeira é:
a) x < y
b)x < x + y
c)y < xy
d) x2
≠ y2
e)x2
- 2xy + y2
> 0
4. A soma de três números naturais consecutivos
é um número:
a) par
b) ímpar
c) primo
d) quadrado perfeito
e) múltiplo de 3
3
3028
10
22 +

5. A jornada do soldado Saldanha é de 12 horas
de trabalho por 24 horas de folga e a de seu
sobrinho, Sardinha, que é motorista de transporte
coletivo, é de 9 horas de trabalho por 18 horas de
folga. Se, em certo dia, os dois iniciarem suas
jornadas de trabalho em um mesmo momento,
então essa coincidência voltaria a ocorrer em:
a) 96 horas
b) 108 horas
c) 132 horas
d) 144 horas
e) 156 horas
6. Duas peças de madeira de 4m e 6m serão
cortadas em pedaços iguais de maior
comprimento possível, sem haver sobras. Quantos
pedaços serão, assim obtidos:
a) 8
b) 5
c) 4
d) 9
7. Considerando os conjuntos A = {1, 3, 5, 15} e
B = {2, 6, 10, 30}, é FALSO afirmar que:
a) Para todo a, b Є A, o mmc (a, b) Є A.
b) Qualquer que seja y ЄB, temos que y = 2x,
para algum x Є A.
c) Os números 5 e 15 são primos entre si.
d) A = {x ЄN | x é divisor de 15}
8. Se um retângulo de lados 12 cm e 30 cm for
dividido em quadrados iguais de maior lado
possível, serão obtidos quantos quadrados?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 20
9. Se em duas ruas paralelas forem instalados
postes, do início ao fim de cada uma (que medem
112 m e 154 m, respectivamente), separados pela
mesma distância entre si, de modo que esta
distância seja máxima, então serão colocados, ao
todo quantos postes?
a) 17
b) 18
c) 19
d) 20
e) 21
10. Paulo e seu amigo José jogam sinuca em um
dia em que os dois estão de folga em seus
trabalhos. Combinaram, então, que jogariam
novamente na próxima folga dos dois. Se Paulo
tem folga a cada 15 dias e José a cada 12, então
quantos dias depois jogarão sinuca juntos,
novamente?
a) 45
b) 50
c) 60
d) 75
e) 90

11. (FCC) Para participar de um programa de
treinamento, todos os funcionários de uma
empresa serão divididos em grupos, obedecendo
ao seguinte critério:
- Todos os grupos deverão ter o mesmo numero
de componentes.
- Em cada grupo, os componentes deverão ser do
mesmo sexo.
Se nessa empresa trabalham 132 homens e 108
mulheres, a menor quantidade de grupos que
poderão ser formados é:
a) 15
b) 18
c) 20
d) 24
e) 26
12. Para participar de um programa de
treinamento, todos os funcionários de uma
empresa serão divididos em grupos, obedecendo
ao seguinte critério:
- Todos os grupos deverão ter o mesmo número
de componentes.
- Em cada grupo, os componentes deverão ser do
mesmo sexo.
Se nessa empresa trabalham 132 homens e 108
mulheres, a menor quantidade de grupos que
poderão ser formados é:
a) 15
b) 18
c) 26
d) 24
e) 20
13. Dispondo de 3 bobinas de papel de,
respectivamente, 135m, 225m e 360m, todos com
12cm de largura, deseja-se obter folhas de 12cm
de largura e de comprimento máximo. Assim
sendo, o comprimento de cada folha e o número
de folhas que podem ser obtidas, nas condições
citadas, serão:
a) 15
b) 17
c) 19
d) 21
e) 23
14. Em um corredor há 30 armários numerados de
1 a 30, inicialmente todos fechados. Suponha que
30 pessoas, numeradas de 1 a 30 passem
sucessivamente por esse corredor, comportando-
se da seguinte maneira: a pessoa de número K
reverte o estado de todos os armários cujos
números são múltiplos de K. Por exemplo; a de
número 3, reverte o estado dos armários de
números 3, 6, 9, 12.......30, abrindo os que
encontra fechados e fechando os que encontra
abertos. Nessas condições, após todas as
pessoas passarem uma única vez pelo corredor, o
número de armários que estarão abertos, é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

16
3ª PARTE:
O quociente entre dois números quaisquer, não
necessariamente inteiros, chama
razão entre duas grandezas é uma generalização
do conceito de fração. Sendo a e b as duas
grandezas anotamos a razão de a para b como
a:b. a é chamado também de antecedente e b de
conseqüente.
Razão
quociente de a por b, isto é:
Exemplos:
1)
2)
2,5. (ou
A soma de dois números é 28 e a
é 75%. Qual o maior?
X/Y = 75/100
X+Y = 28
Isolando x na primeira.....x = 3Y/4
Substituindo na segunda......3Y/4 + Y = 28
3Y + 4Y = 112
7Y = 112
Y = 112/7.................Y = 16
Substituindo Y por 16 em X
Resposta: o maior é 16.
3ª PARTE:
randezas anotamos a razão de a para b como
conseqüente.
Razão do número a para o número b (b
ou a: b
Exemplos:
1) A razão de 8 para 2 é
A razão de 50 para 20 é
2,5. (ou )
X/Y = 75/100
X+Y = 28
3Y + 4Y = 112
7Y = 112
Y = 112/7.................Y = 16
b
a
2
5
RAZÕES
do número a para o número b (b
ou a: b
Questão Resolvida
X/Y = 75/100 (que simplificados....3/4)
3Y + 4Y = 112
Y = 112/7.................Y = 16
RAZÕES
necessariamente inteiros, chama-se razão. A
do número a para o número b (b
A razão de 8 para 2 é , que é igual a 4.
A razão de 50 para 20 é , que é igual a
Questão Resolvida
A soma de dois números é 28 e a razão entre eles
(que simplificados....3/4)
Y = 112/7.................Y = 16
Substituindo Y por 16 em X+Y=28............X = 12
2
8
se razão. A
do número a para o número b (b ≠ 0) é o
, que é igual a 4.
, que é igual a
razão entre eles
(que simplificados....3/4)
+Y=28............X = 12
se razão. A
0) é o
, que é igual a
razão entre eles
Duas razões são inversas entre si quando uma é
igual ao inverso multiplicativo da outra.
Note que:
Então
Exemplo:
As razõ
Note que:
inverso multiplicativo da outra.
Obs.:
O produto de duas razões inversas é, sempre,
igual a 1.
Uma igualdade entre duas razões é dita
“proporção”
exprimem mesmo quociente, então dizemos que
essas razões formam uma proporção.
Lemos:
3 está para 4, assim como, 9 está para 12.
Genericamente:
Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero,
formam nessa ordem uma
somente se,
a razão
Essa proporção é indicada por:
b
a
Note que:
se a e b são números reais não
Então são razões inversas;
Exemplo:
As razões
Note que:
Obs.:
igual a 1.
“proporção” observe:
A razão de 3 para 4 e a razão de 9 para 12
Lemos:
Genericamente:
somente se,
a razão é igual à razão
a
b
e
b
a
1=⋅
a
b
b
a
4
8
e
4
8
b
a
d
c
b
a
=
RAZÕES INVERSAS
são razões inversas;
são chamadas inversas entre si.
,isto é,uma das razões é igual ao
PROPORÇÕES
observe:
zão de 3 para 4 e a razão de 9 para 12
Genericamente:
é igual à razão
8
4
e
8
4
1
=
RAZÕES INVERSAS
são razões inversas;
PROPORÇÕES
formam nessa ordem uma proporção se, e
é igual à razão .
d
c
RAZÕES INVERSAS
se a e b são números reais não-nulos,
proporção se, e
proporção se, e

onde a e d são chamadas extremos e b e c são
chamados meios.
Exemplo:
A razão de 15 para 45 é , que é igual a ;
A razão entre 10 e 30 é , que é igual a .
Logo, .
Portanto, os números 15, 45, 10 e 30 formam,
nessa ordem, uma proporção.
Propriedade Fundamental das Proporções
Exemplo:
formam uma proporção, pois 10 . 3 =
15 . 2
Propriedade das Proporções Múltiplas
Somando-se ou subtraindo-se os numeradores de
uma proporção, em qualquer ordem, e fazendo o
mesmo com os respectivos denominadores, a
proporção se manterá:
Exemplo:
Se , obteremos uma nova razão
fazendo ou ou ainda
que guarda evidente proporção com as razões
anteriores.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Em uma sala há 30 mulheres e 40 homens.
Qual a razão entre o nº de mulheres e o nº de
pessoas, na sala?
Solução:
Resposta: (três para sete)
2. Qual o valor de “x” abaixo?
Resolução pelo raciocínio:
Se 6 é a 5ª parte de 30, então x é a 5ª parte de 5,
logo x = 1.
Resolução algébrica:
Pela propriedade fundamental, temos:
30 . x = 5 . 6
X =
x = 1
Resposta: 1
3. As idades de Pedro e Luís formam, nessa
ordem, uma razão, igual a .
A soma de suas idades é 48 anos. Qual a idade
dessas pessoas?
45
15
3
1
30
10
3
1
30
10
45
15
=
3
2
15
10
e
10
4
5
2
=
105
42
+
+
105
42
10
4
5
2
+
+
==
15
6
10
4
5
2
==
7
3
70
30
4030
30
==
+
=
pessoas
mulheres
7
3
30
6
5
=
x
30
30
7
5

Resolução pelo raciocínio:
Na razão dada, 5 e 7 representam as idades.
Como sua soma é 12 e a soma real é 48, temos
que o “real” é 4 vezes maior que a soma dos n°s
dados, então as idades “reais” serão 4 x 5 e 4 x 7
respectivamente.
Assim:
idade de Pedro: 4 x 5 = 20 anos
idade de Luis: 4 x 7 = 28 anos
Resolução algébrica:
P: idade de Pedro
P + L = 48 (I) e (II)
L: idade de Luis
Observe que (II) pode ser escrito :
aplicando-se a propriedades das proporções
múltiplas
Temos
, então:
e dai P = 20 e L = 28
Resposta: Pedro tem 20 anos e Luis 28
Obs: O problema poderia ser resolvido como um
“sistema de Equações”
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Meu filho é 21 anos mais novo que eu. A razão
entre nossas idades dele e a minha, se tenho hoje
63 anos?
2. Qual os valores de x e y, abaixo:
a)
b)
c) e x + y = 18
d) e x + y =
3. Quatro n°s
são proporcionais a 2, 5, 6 e 8
respectivamente. A soma do maior com o menor é
50. Qual o menor desses n°s
?
4. Um pai distribui R$ 150,00 entre seu três filhos
de maneira proporcional às suas idades, que são
8,10 e 12 anos. Quanto recebe o caçula?
5. Numa indústria química, uma certa solução
contém ao todo 350g de 3 substâncias em
quantidades diretamente proporcionais ao
números 2, 5 e 7. Quantos gramas de cada
substância contém a solução?
6. Três municípios paulistas receberam, do
Ministério da Saúde, um lote de medicamentos
contendo um milhão de unidades, que deve ser
repartido proporcionalmente ao número de
habitantes de cada um desses municípios: 50 mil,
70 mil e 80 mil. Achar a quantidade de
medicamentos que cada município recebeu.
7
5
=
L
P
75
LP
=
4
12
48
7575
==
+
+
==
LPLP
4
5
=
P
4
7
=
L
21
12
5
=
x
8
3
4
5 +
=
x
4
5
=
y
x
93
2 yx
=
2
1

DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
Para se dividir um certo valor em partes
proporcionais (ou em partes DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS) basta escrever a proporção,
como fizemos até agora.
Exemplo:
Dividir o nº 180 em três partes diretamente
proporcionais a 2, 3 e 5.
Partes: a, b e c
a + b + c = 180
(Prop.múltiplas)
então:
Resposta: as partes são 36, 54 e 90.
Assim:
DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
Consideremos, agora, o inverso dos números
dados. No restante, mantém-se o que foi visto.
Exemplo:
Dividir o nº 370 em partes inversamente
proporcionais a 8, 10 e 12.
Partes: a, b e c, então
a + b + c = 370
370 . 1200
então:
Resposta: as partes são: 150, 120 e 100,
respectivamente.
Obs.:
Veja que nas divisões diretas, “ao maior cabe a
maior parte”, e nas inversas, ocorre o contrário!
REGRA DE SOCIEDADE
Temos agora, apenas, uma aplicação prática das
divisões proporcionais. Não há, portanto,
diferenças nas resoluções dos problemas, mas
somente um contexto diferente.
Exemplo:
Em uma sociedade há os capitais de R$
12.000,00 e R$ 18.000,00, investidos por dois
sócios A e B. Havendo, ao final de um período,
lucro de R$ 6.000,00, que parte cabe a cada um?
18
10
180
532532
==
++
++
===
cbacba
3618
2
=→= a
a
5418
3
=→= b
b
1200
37
120
.370
120
37
370
12
1
10
1
8
1
12
1
10
1
8
1
=⇒
⇒=
++
++
===
cbacba
150a1200.
8
1
1200
8
1
=→=→= a
a
1201200.
10
1
1200
10
1
=→=→= bb
b
1001200.
12
1
1200
12
1
=→=→= ac
c

Resolução:
O lucro é proporcional ao capital investido (assim
como prejuízo!)
assim:
então:
Resposta:
A cada um coube R$ 2.400,00 e R$ 3.600,00
respectivamente.
CONSIDERAÇÃO:
Todas as proporções têm um “Coeficiente de
Proporcionalidade” (CP), que é o número que
simplificou o numerador e o denominador da
fração.
Para descobrir o CP, basta dividir a informação
dada sobre os números originais (a soma deles, a
diferença entre eles, etc) pela respectiva
informação extraída dos números aos quais a
divisão será proporcional. Para se obter os valores
originais, multiplica-se o CP pelos números aos
quais a divisão é. No exemplo anterior, teríamos;
A soma dos lucros é 6000
Como os lucros foram somados, somamos os
valores aos quais a divisão é proporcional, 12000
e 18000, obtendo 30000. O CP será, então,
6000/30000 = 1/5.
Os lucros serão:
1ºsócio......1/5 x 12000 = 2400
2º sócio.....1/5 x 18000 = 3600
Se a divisão for INVERSA, procede-se da mesma
forma, invertendo antes os números dados.
DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA
Quando a divisão é feita levando-se em
consideração mais de uma sequência de valores.
Nesses casos devemos converter para uma só
sequência e fazer de maneira DIRETAMENTE
Proporcional a ela.
Procedimento; mantenha os números aos quais a
divisão é Direta e inverta os números aos quais a
divisão é Inversa, multiplicando-os a seguir,
respectivamente.
Por exemplo, se uma divisão de R$ 500,00 é feita
de forma D.P. aos nº 6 e 15 e I.P. a 3 e 5,
mantemos 6 e 15 e invertemos 3 e 5 (ficando 1/3 e
1/5).
Agora, multiplicamos respectivamente, ou seja, o
1º com o 1º e o 2º com o 2º.
Ficando:
6 x 1/3 = 2
15 x 1/5 = 3
Pronto!
A divisão será feita de maneira D.P. aos números
2 e 3.
CP = 500/ (2+3) = 500/5 = 100
Caberá à 1ª pessoa........100 x 2 = R$ 200
Caberá à 2ª pessoa........100 x 3 = R$ 300
5
1
30000
6000
300001800012000
==
+
==
BABA
2400
5
1
.1200
5
1
12000
=→=→= AA
A
3600
5
1
.1800
5
1
18000
=→=→= BB
B

Questão Resolvida
No departamento de expedições de uma
empresa, 3 funcionários resolvem dividir a
confecção de "X" pacotes, de maneira
proporcional ao número de filhos de cada um e, ao
mesmo tempo, inversamente proporcional aos
seus salários, que são R$ 1500,00, R$ 1800,00 e
R$ 2400,00, respectivamente. A Paulo, o primeiro
deles, que tem 5 filhos, coube a confecção de 60
pacotes.
Sabendo-se que Pedro, o 2º, tem 4 filhos e Miguel
tem 6 filhos. "X", é, então, um valor entre...
“X” será dividido em partes: (Paulo, Pedro e
Miguel)
D.P. a .........5...4.....6 (mantenha, pois é DP)
E
I.P. a.........1500....1800.....2400.... (inverta, pois é
IP)
.................1/1500...1/1800....1/2400
Multiplique respectivamente;
Nº de Paulo.......5 x 1/1500 = 5/1500 = 1/300
Nº de Pedro......4 x 1/1800 = 4/1800 = 1/450
Nº de Miguel....6 x 1/2400 = 6/2400 = 1/400
Não podemos achar o CP da forma tradicional,
pois não conhecemos o valor (nº total de pacotes)
a ser distribuído (X), mas sabemos que cada
número acima será multiplicado pelo CP para dar
a quantidade que caberá a cada um. Ocorre que
sabemos a quantidade que cabe a Paulo......60
pacotes.
Daí:
1/300 x CP = 60...........CP = 300 x 60.......CP =
1800
Conhecendo o CP podemos achar as outras
quantidades, multiplicando os nºs
de cada um por
ele.
Pedro: 1/450 x 1800 = 40 pacotes
Miguel: 1/400 x 1800 = 45 pacotes
“X” é o total de pacotes, portanto a soma das 3
quantidades;
X = 60 + 40 + 45
X = 145 pacotes
Obs: para agilizar os cálculos, os números 1500,
1800 e 2400 poderiam ter sido simplificados (por
um mesmo nº). Daria na mesma, afinal...........o
assunto é “Proporções”.
EXERCÍCIOS - TESTES
1. A sociedade criada por Pedro, Paulo e Padilha
não durou muito. Padilha permaneceu na
sociedade por 15 meses e Paulo, 21. Pedro, único
sócio que nunca deixara a sociedade, extinguiu a
empresa 28 meses após a sua criação, por causa
do prejuízo acumulado de R$ 32.000,00. Sabendo
que esse prejuízo foi dividido entre os sócios
proporcionalmente ao tempo de permanência de
cada sócio na sociedade, assinale a opção
correta.
a) Pedro arcou com 50% do prejuízo.
b) Paulo arcou com 30% do prejuízo.
c) Padilha arcou com 20% de prejuízo.
d) A soma dos prejuízos de Paulo e de Padilha
corresponde a mais de 50% do prejuízo total.
e) A diferença entre os prejuízos de Pedro e de
Padilha corresponde a menos de 20% do prejuízo
total.

2. Dois negociantes constituíram uma sociedade
com um capital de R$ 800.000,00, com o que
lucraram R$ 150.000,00. Encerrando-se a
sociedade, o primeiro recebeu R$ 570.000,00
entre capital e lucro. Determine o capital do
segundo negociante. (em R$)
a) 60.000
b) 90.000
c) 320.000
d) 480.000
e) 500.000
3. Para estimular a assiduidade, uma professora
primária promete distribuir 600 figurinhas aos
alunos de suas três classes. A distribuição será
feita de modo inversamente proporcional ao
número de faltas de cada classe durante 1 mês.
Após esse tempo, as faltas foram: 8, 12 e 24.
Achar a quantidade de figurinhas que cada classe
recebeu:
a) 100, 200, 300
b) 100, 300, 200
c) 200, 300, 100
d) 300, 200, 100
e) 300, 100, 200
4. Os números 2a + b e a + b formam, entre si
uma razão de .
Pode-se afirmar que, se a e b não são nulos,
então:
a) a = b
b) a =
c) a =
d) a =
e) a = 4b
5. O proprietário de uma pequena empresa de
transporte resolveu distribuir R$ 6.000,00 entre
seus 3 motoristas, em partes inversamente
proporcionais à quantidade de multas de trânsito
que tiveram durante 1 ano. Quanto coube a cada
motorista, sabendo que 2 deles foram multados 2
vezes cada um e o outro, 5 vezes? (em R$)
a) 2.000, 2.000 e 2.000
b) 1.500, 1.500 e 3.000
c) 1.800, 1.800 e 2.400
d) 2.800, 2.800 e 400
e) 2.500, 2.500 e 1.000
GRANDEZAS PROPORCIONAIS,
DIRETA E INVERSAMENTE
Grandezas são os aspectos que variam no
decorrer de uma situação (nº de pessoas, preços,
idades, força, etc.), sendo que uma pode, ou não,
ter relação com outra. Se o aumento de grandeza
“A” implicar no aumento PROPORCIONAL de
grandeza “B” diremos que essas são entre si,
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, porém se
isso implicar no decrescimento PROPORCIONAL
de “B, então serão INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS.
Exemplos:
1) A quantidade de dinheiro e nº de bens que se
pode adquirir com ela.
mais dinheiro, mais bens (proporcionalmente)
- grandezas diretamente proporcionais -
5
6
2
b
3
b
4
b

2) Velocidade de um carro e o tempo gasto em
uma viagem.
mais velocidade, menos tempo
(proporcionalmente)
- grandezas inversamente proporcionais -
Obs.: Não basta o crescimento mútuo, é
necessário que haja proporcionalidade
Exemplo:
A idade de um pai e a idade do seu filho não são
grandezas diretamente proporcionais, pois apesar
de haver um crescimento das duas num mesmo
período, a proporção não se mantém
EXERCÍCIOS
1. Classificar em Direta (D) ou inversa (I) a
relação entre as grandezas.
a) ( ) nº de operários e quantidade de trabalho
feito
b) ( ) dificuldade para fazer o trabalho e o
tempo preciso para executá-lo
c) ( ) o nº de páginas de um livro e a
quantidade de linhas por página, do mesmo livro
d) ( ) o tamanho do lado de um quadrado e a
sua área
TESTES
1. É comum em nosso cotidiano surgirem
situações-problema que envolvem relações entre
grandezas. Por exemplo, ao se decidir a
quantidade de tempero que deve ser usada na
comida, a quantidade de pó necessária para o
café, a velocidade com que se deve caminhar ao
atravessar uma rua, etc,. está-se relacionando,
mentalmente, grandezas entre si, por meio de
uma proporção. Em relação às proporções, julgue
os itens abaixo.
a) A quantidade de tinta necessária para fazer
uma pintura depende diretamente da área da
região a ser pintada.
b) O número de pintores e o tempo que eles
gastam para pintar um prédio são grandezas
inversamente proporcionais.
c) A medida do lado de um triângulo eqüilátero e
seu perímetro são grandezas diretamente
proporcionais.
d) O número de ganhadores de um único prêmio
de uma loteria e a quantia recebida por cada
ganhador são grandezas inversamente
proporcionais.
e) A velocidade desenvolvida por um automóvel e
o tempo gasto para percorrer certa distância são
grandezas diretamente proporcionais.
2. Em uma viagem foi levada certa quantidade de
alimentos para um nº fixo de participantes.
Durante a viagem ocorrem imprevistos que
antecipam o fim da mesma. Em relação às
grandezas envolvidas no problema (alimentos x
participantes) e à situação em questão, podemos
dizer que:
a) são inversamente proporcionais e faltará
alimento
b) são inversamente proporcionais e sobrará
alimento
c) são diretamente proporcionais e sobrará
alimento
d) são diretamente proporcionais e faltará
alimento
e) são diretamente proporcionais e não sobrará
alimento

TESTES -1 (“C” OU “E”)
Uma empresa resolve distribuir um prêmio, em
dinheiro, entre seus 4 vendedores, de forma
proporcional ao n°de produtos vendidos por cada
um. Considerando que os vendedores são x, y, z,
e w e que o número de produtos vendidos são,
respectivamente, 8, 10, 10 e 12. Julgue os itens.
1) “W” vendeu 50% a mais que “x” e, por isso,
recebe 50% a mais que “x”
2) Se “y” e “z” recebem juntos R$ 800,00 então a
quantia distribuída foi superior a R$ 1.800,00
3) Se “w” recebe R$ 300,00 a mais que “y” então
“z” recebe R$ 600,00 a mais que “x”.
4) Se “x” recebe R$ 1.000,00 então “y” recebe R$
1 250,00.
5) “x” recebe 20% a menos que “y” e “y” 20% a
mais que “x”
TESTES – 2 (Alternativas)
1. Na tabela abaixo têm-se as idades e os tempos
de serviço de três soldados na corporação, que
devem dividir entre si um certo número de fichas
cadastrais para verificação.
Nome dos soldados: Abel, Daniel, Manoel.
Idade, em anos: 20, 24, 30.
Tempo de serviço, em anos: 3, 4, 5.
Se o número de fichas for 504 e a divisão for feita
em partes diretamente proporcionais às suas
respectivas idades, mas inversamente
proporcionais aos seus respectivos tempos de
serviço na corporação, o número de fichas que
caberá a “
a) Daniel é 180.
b) Manoel é 176.
c) Daniel é 170.
d) Manoel é 160.
e) Daniel é 162.
2. Ao se dividir um certo valor entre três pessoas,
de forma proporcional às suas idades – 20, 30 e
45 anos, observa-se estar correto que, exceto:
a) O mais velho receberá mais de 45% da quantia
a ser distribuída.
b) Um deles receberá, exatamente, 50% a mais
que outro deles.
c) Um deles receberá, exatamente, 50% a menos
que outro deles.
d) O mais velho receberá menos que os outros
dois,juntos.
e) Se o mais novo receber R$ 1000,00, então o
mais velho receberá R$ 2250,00
3. Uma verba pública foi dividida em partes
proporcionais a 1, 2 e 3, para atender,
respectivamente, às despesas relativas a três
rubricas: A, B e C. Tendo sido efetuada uma
transferência, para a rubrica A, de 1/5 do valor
destinado à rubrica C, as partes da verba
destinadas às rubricas A, B e C tornaram-se
proporcionais, respectivamente, a:
a) 2, 3, 4
b) 3, 4, 5
c) 4, 5, 6
d) 5, 6, 7
e) 7, 8, 9

4.
pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento
de processos. Eles decidiram dividir os pedidos
entre si, em quantidades que são, ao m
tempo, diretamente proporcionais às suas
respectivas idades e inversamente proporcionais
aos seus respectivos tempos de serviço no TRT.
Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no
Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e lá
trabalha há 16 anos
mais jovem deverá emitir é:
a) 18
b) 24
c) 32
d) 36
e) 48
5.
três sócios
suas ações.
Sócio
Paulo Silva.......................
Maria Oliveira ..............................10.000
Carlos Braga................................
Os lucros da empresa em determinado ano, que
totalizaram
os três sócios
ações que cada um
Oliveira recebeu nessa divisão
a) R$ 17.500,00.
b) R$ 56.000,00.
c) R$ 112.000,00.
d) R$ 140.000,00.
e) R$ 175.000,00.
Dois analistas judiciários devem emitir
trabalha há 16 anos
a) 18
b) 24
c) 32
d) 36
e) 48
A tabela a seguir mostra as participações dos
três sócios de uma empresa na composição de
suas ações.
Sócio
Paulo Silva.......................
Maria Oliveira ..............................10.000
Carlos Braga................................
totalizaram R$ 560.000,00, foram divididos entre
os três sócios
ações que cada um
) R$ 17.500,00.
) R$ 56.000,00.
) R$ 112.000,00.
) R$ 140.000,00.
) R$ 175.000,00.
trabalha há 16 anos, o número de pareceres que o
de uma empresa na composição de
Paulo Silva.......................
Maria Oliveira ..............................10.000
Carlos Braga................................
R$ 560.000,00, foram divididos entre
os três sócios proporcionalmente à
ações que cada um possui. Assim, a sócia Maria
) R$ 17.500,00.
) R$ 56.000,00.
) R$ 112.000,00.
) R$ 140.000,00.
) R$ 175.000,00.
, o número de pareceres que o
Total de ações
Paulo Silva.................................. 15.000
Maria Oliveira ..............................10.000
Carlos Braga................................ 7.000
proporcionalmente à quantidade de
possui. Assim, a sócia Maria
entre si, em quantidades que são, ao mesmo
Total de ações
........... 15.000
Maria Oliveira ..............................10.000
7.000
quantidade de
esmo
quantidade de
6.
Regional do Trabalho
incumbidos de arquivar X processos. Sabe
que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3/5 de X
em 2 horas; trabalhando sozinha,
Matilde seria capaz de arquivar 1/4 de X em 5
horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria
para, s
a) 8.
b) 7.
c) 6.
d) 5.
e) 4.
GABARITO
Testes
1
. Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal
Regional do Trabalho
para, sozinho, arquivar
) 8.
) 7.
) 6.
) 5.
) 4.
GABARITO
Testes -2 (Alternativas)
1 – E 2- C
Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal
Regional do Trabalho −
ozinho, arquivar todos os X processos?
2 (Alternativas)
3- C 4
− Matilde e Julião
todos os X processos?
4 – E 5- E
Matilde e Julião − foram
todos os X processos?
6- E
25
foram
incumbidos de arquivar X processos. Sabe-se

REGRAS DE TRÊS SIMPLES
As regras de três se constituem em um conjunto
de procedimentos para a montagem correta da
proporção que resolverá o problema.
Regras:
1- escreva as grandezas envolvidas no problema;
2 - compare-as (Diretas ou Inversas?);
3 - coloque os dados e a variável na grandeza
procurada;
4 - escreva a proporção de acordo com a regra “2”
Exemplo:
10 homens fazem um serviço em 3 dias. Se
fossem somente 3 homens, fariam o mesmo
serviço, em: quanto tempo?
Resolução:
1 – escrever as grandezas:
Nº homens (h) nº de dias (d)
2 – comparando:
h ↑d ↓ (mais homens gastam menos dias)
3 – dados:
h ↑ d ↓
10 - 3
3 - x
4 – proporção – como são grandezas inversas,
invertemos uma das razões, então:
Resposta: 10 dias
obs.:
Se as grandezas fossem diretas, a proporção
seria escrita como está.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
* existem mais de 2 grandezas;
* cada grandeza é comparada com a grandeza
que possui a variável;
* a proporção é formada entre a razão da
variável e o produto das outras, considerando-se a
proporcionalidade;
* as demais regras anteriores se mantém.
Exemplo
1 – 15 operários trabalham 12 dias de 8 horas
para abrir 400 metros de uma vala. Quantos
metros abrirão 20 operários de competência
dobrada, se trabalhassem 10 dias de 5 horas?
1) escrevendo as grandezas e comparando-as,
teremos:
obs.:
Todas as grandezas são Dir. proporcionais à
grandeza “metros de vala”, pois o seu aumento
determina um aumento proporcional em cada uma
das outras. (compare, sempre, a grandeza da
variável a cada uma das outras, separadamente).
2) colocando os dados, teremos:
3) Proporção:
Resolvendo:
x = 555 metros, aproximadamente.
33
10 x
= 





=
x
ou
3
10
3
20
15
.
10
12
.
5
8
.
2
1400
=
x

Consideração
Na grandeza competência estabelecemos “1” para
o primeiro grupo e, consequentemente, 2 para o
segundo, pois a competência dobrou, mas
qualquer outro valor estaria correto, desde que no
segundo grupo colocássemos o DOBRO (isso é
proporção!)
Questões Resolvidas
1. Certa máquina gasta 20 segundos para cortar
uma folha de papelão de formato retangular em
6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos
essa mesma máquina gastaria para cortar em 10
pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em
ambas as folhas, todos os cortes devem ter o
mesmo comprimento?
a) 32
b) 33,3
c) 34
d) 35,5
e) 36
É uma regra de três... observando que o assunto é
o número de cortes e para se obter 6 pedaços,
serão feitos 5 cortes e para se obter 10pedações
ser]ao feitos 9 cortes na folha.
Tempo(seg.)............nº de CORTES
20.......................5
x.......................9
_____________________
Para cortar mais cortes .... levará mais tempo,
logo as grandezas são Diretamente proporcionais.
Daí, mantenha as frações como estão;
20/x = 5/9
5X = 180
x = 180/5
x = 36.segundos.......................................letra"E"
2. Trabalhando individualmente, o funcionário A é
capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o
funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5
horas. Nessas condições, se trabalharem juntos
na execução dessa tarefa, o esperado é que ela
seja cumprida em, aproximadamente:
a) 1h e 40min
b) 2hs, 2min, 2seg
c) 2hs, 20min
d) 2hs, 22min, 30seg
e) 2hs, 54min
Se faz em 8h.........faz 1/8 por hora
Se faz em 6h..........faz 1/6 por hora
Se faz em 5h..........faz 1/5 por hora
Trabalhando juntos, na mesma hora serão
feitos....1/8 + 1/6 + 1/5, ou seja 59/120 do
trabalho

Regra de três....
1h.................................................................59/120
x..........................................1 (o trabalho completo)
----------------------------------------------------------
1/x = 59/120
x = 120/59
fazendo a divisão teremos 2h completas e sobram
2 h que, convertidas para minutos, serão 120
minutos.
Dividindo 120 por 59 teremos 2 minutos completos
e sobram 2 minutos, que convertidos para
segundos serão 120 segundos. Dividindo por
59.....teremos 2 segundos.
Daí, 2h 2min 2seg (aproximadamente, pois a
conta não é exata) ........ letra "B"
3. (comentada) A guarnição de uma fortaleza é
formada de 1.600 homens que tem víveres para
60 dias. No fim de 15 dias, chega um reforço de
400 homens. Para Quantos dias deverão durar os
víveres restantes?
Comentários:
Regras de três.
Homens ↓ dias(duração vív.)↑
1600 45
2000 X
...............................................................
Se os víveres duram mais tempo ....... há menos
homens se alimentando.
Grandezas inversas, então mantenha a fração que
contém a variável e inverta a outra
45/x = 2000/1600
Simplificando
45/x = 5/4
5x = 4.45
5x = 180
X = 180/5
X = 36 dias (Resposta)
TESTES
1. Se 30 galinhas botam 30 dúzias de ovos em 30
dias, e se 20 galinhas comem 20 quilos de ração
em 20 dias, então qual é a quantidade de ração
necessária para se obter duas dúzias de ovos?
a) menos de 2 kg;
b) mais de 2kg e menos de 3,5kg;
c) mais de 3,5kg e menos de 5 kg;
d) mais de 5kg e menos de 7 kg;
e) mais de 7kg.

2. Uma granja possui 360 aves e cada uma
recebe, diariamente, a mesma quantidade de
ração. Nesse esquema, o estoque de ração
existente hoje na granja é suficiente para
alimentar as aves por, exatamente, 40 dias. Se
hoje forem adquiridas 120 novas aves e, ao
mesmo tempo, a quantidade diária de ração de
cada ave for reduzida em 20%, então o estoque
de ração da granja será suficiente para alimentar
as 480 aves por:
a) mais de 35 dias
b) mais de 30 e menos de 35 dias
c) mais de 25 e menos de 30 dias
d) mais de 20 e menos de 25 dias
e) menos de 20 dias
3. Uma pessoa, datilografando 60 toques por
minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza certo
trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando
50 toques por minuto e trabalhando 4 horas por
dia, realizará o mesmo trabalho em quantos dias?
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
4. Para chegar ao trabalho, José gasta 2h 30min
dirigindo à velocidade média de 75 km/h. Se
aumentar a velocidade para 90 km/h, o tempo
gasto, em minutos para José fazer o mesmo
percurso é:
a) 50
b) 75
c) 90
d) 125
e) 180
5. Um estudante observa que em 8 horas de
estudo contínuo ele resolve uma certa quantidade
de exercícios, mas se gastasse 1 min e meio a
menos na resolução de cada exercício, ele
resolveria todas em 5 horas. O número máximo de
exercícios resolvidos pelo estudante:
a) é divisor de 20
b) é múltiplo de 50
c) é primo
d) tem a forma fatorada 2 (elevado na 2) . 3 .5
(elevado na 2)
e) possui raiz quadrada inferior a 11
6. Segundo previsões da divisão de obras de um
município, serão necessários 120 operários para
construir 600 m de uma estrada em 30 dias de
trabalho. Sabendo-se que o município poderá
disponibilizar apenas 40 operários para a
realização da obra, os primeiros 300 m da estrada
estarão concluídos em
a) 45 dias.
b) 50 dias.
c) 55 dias.
d) 60 dias.
e) 65 dias

7. Uma obra será executada por 14 operários (de
mesma capacidade de trabalho) trabalhando
durante 11 dias com jornada de trabalho de 6
horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra
4 operários adoeceram e a obra deverá ser
concluída pelos operários restantes no prazo
estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a
jornada diária de trabalho dos operários restantes
nos dias que faltam para a conclusão da obra no
prazo previsto?
a) 8h 4min
b) 8h 40min
c) 8h 44min
d) 8h 24min
e) 8h 20min
8. (Questão comentada) Dois funcionários de uma
empresa − Jadilson e Geildo − foram incumbidos
de arquivar os 140 documentos de um lote e
dividiram o total de documentos entre si, na razão
inversa de suas respectivas idades: 24 e 32 anos.
Sabe-se que:
– ambos iniciaram a execução dessa tarefa
quando eram decorridos 17/48 do dia e
trabalharam ininterruptamente até terminá-la;
– durante a execução da tarefa a capacidade
operacional de Geildo foi 75% da de Jadilson.
Nessas condições, se Jadilson terminou de
arquivar a sua parte às 12 horas e 30 minutos,
Geildo terminou de arquivar a dele às
a) 13 horas e 50 minutos.
b) 13 horas e 15 minutos.
c) 13 horas.
d) 12 horas e 45 minutos.
e) 12 horas e 30 minutos.
Resolução:
Vejamos quantos documentos cabe a cada um.
Se a divisão é em partes inversamente
proporcionais, basta trocar os valores e fazer uma
divisão direta.
Jailson.......32
Geildo.......24
CP = 140/(32+24) = 140 / 56 = 2,5
Jailson.............2,5 x 32 = 80 documentos
Geildo............2,5 x 24 = 60 documentos
Regra de três..
Tempo documentos capacidade ↓
12,5* 80 100
X 60 75
......................................................................
12,5/x = 80/60 . 75/100
......resolvendo....
X = 12,5 horas, ou seja 12h e 30minutos .... letra
“E”
1-*OBS: como o tempo gasta por cada um deles é
contado a partir de um mesmo momento,
podemos já usar esse tempo nos cálculos
2-12, 5 horas = 12 horas e 30minutos

9. Uma pessoa resolve 30 questões de
Matemática em 4 horas. Outra pessoa resolveria o
mesmo n°em 5 horas. Trabalhando juntas, desde
o início da resolução dos problemas, elas
resolveriam as questões acima e mais 30 do
mesmo nível de dificuldade, em:
a) 4h26m40s
b) 4h18m20s
c) 3h45m30s
d) 3h20m50s
e) 2h40m40s
10. O motor de um navio consome 200 litros de
óleo em 5 horas quando faz 1500 rotações por
minuto. Exigindo-se mais do motor, 1800 rotações
por minuto, quantos litros de óleo ele consumirá
em 3 horas de viagem?
a) 125
b) 136
c) 140
d) 144
e) 150
GABARITO (TESTES)
1 – B 2 - A 3 – E 4 – D 5 - E
6 - A 7- D 8 - E 9 - A 10 -D
4ª PARTE:
Porcentagem e taxas.
PORCENTAGENS
Uma porcentagem é o resultado da aplicação de
uma taxa sobre certo valor, chamado principal.
Exemplo:
Quanto é 20% de 60?
Solução:
então teremos:
20%: taxa (na forma percentual)
60: principal
12: porcentagem
1) FORMA FRACIONÁRIA
Exemplo:
a)
b)
c)
2) FORMA PERCENTUAL
Quando substituímos o denominador 100 pelo
símbolo % (lê-se “por cento”) temos a taxa
percentual.
Então lembre-se: o símbolo % significa dividido
por 100.
3) FORMA UNITÁRIA (nº decimal)
1206.
001
20
=/
//
100
12
100
8
100
2

32
Exemplos:
a)
b)
c)
A conversão da taxa de uma forma para outra
deve ser imediata e não
problema, por isso o domínio dessa unidade é
muito importante, visto que é a base para um nº
enorme de questões em concursos.
Exemplos:
Converter a taxa 18,6% para a forma decimal ou
unitária.
SOLUÇÃO:
18,6% =
Observe que
vírgula, então:
Dividiu por 100 ?: A vírgula desloca
para esquerda.
VEJA:
a)
b)
c)
d)
Multiplicou por 100?: a vírgula desloca
casas para a direita.
Exemplos:
0,56 =
0,06 =
0,008 =
CONVERSÕES DA TAXA
deve ser imediata e não
Exemplos:
unitária.
SOLUÇÃO:
18,6% =
Observe que
vírgula, então:
para esquerda.
VEJA:
a) = 0,78
9,1% = 0,091%
124% = 1,24
0,8% = 0,008
100
56
100
6
100
0
100
78
= 56%
= 6%
= 0,8%
CONVERSÕES DA TAXA
deve ser imediata e não pode se constituir em um
= 0,186
a questão se resume a deslocar a
vírgula, então:
para esquerda.
9,1% = 0,091%
124% = 1,24
0,8% = 0,008
100
100
6
100
8,0
CONVERSÕES DA TAXA
pode se constituir em um
Dividiu por 100 ?: A vírgula desloca-se duas casas
CONVERSÕES DA TAXA
se duas casas
Multiplicou por 100?: a vírgula desloca-se duas
se duas casas
se duas
VEJA:
a)
b)
c)
d)
Aplicações da Taxa
Quando se aplica uma taxa sobre um certo valor,
MULTIPLICA
decimal ou fracionária.
Ex: 28% de 600
0,28 . 600 =m 150
Ou
28/100 . 600 = 150
O que um nº representa de outro?
Para saber o que um nº representa de outro,
percentualmente,...DIVIDA
Ex: O que o 4,5 representa de 15:
Divida 4,5 p
decimal. Leve a vírgula duas casas para a direita e
coloque o símbolo “%”.
4,5 / 15 = 0,3 = 30%
VEJA:
a)
b)
c)
d)
MULTIPLICA
Ex: 28% de 600
0,28 . 600 =m 150
Ou
28/100 . 600 = 150
Divida 4,5 po
4,5 / 15 = 0,3 = 30%
21,021,0 ×=
13,013,0 ×=
06,006,0 ×=
15,115,1 ×=
MULTIPLICA-SE a taxa pelo valor, na forma
Ex: 28% de 600
0,28 . 600 =m 150
28/100 . 600 = 150
or 15 e obtenha a taxa em sua forma
4,5 / 15 = 0,3 = 30%
21
100
21
100
100
==×
13
100
13
100
100
==×
100
06
100
100
==×
100
15,1
100
100
==×
SE a taxa pelo valor, na forma
percentualmente,...DIVIDA-OS !
r 15 e obtenha a taxa em sua forma
%21
%13
%6
%115

PROPRIEDADE: PORCENTAGENS DE
UM MESMO NÚMERO
No estudo e na utilização da porcentagem, um
detalhe é fundamental: toda taxa se refere a
algum número, isto é, quando falamos que um
atraso num pagamento acarreta multa de 20%,
fica subentendido que os 20% são calculados
sobre o valor devido.
Uma taxa que não se refira a outro número é
apenas uma outra maneira de escrever um
número. Por exemplo, 5% é uma outra maneira de
escrever o número 0,05 (cinco centésimo). Já 5%
de 1.000 correspondem ao valor 50.
Feita essa distinção, podemos escrever a seguinte
propriedade:
REAJUSTES SUCESSIVOS
Quando várias correções ocorrem seguidamente,
acumulando-se. Nesses casos, cada novo
reajuste incidirá sobre o valor anterior já corrigido.
Exemplo:
Se meu aluguel sobe 10% e depois é reduzido de
6%, então ele ainda ficou aumentado de 4%,
certo? ERRADÍSSIMO!
Veja:
O aumento e a redução não incidiram sobre o
mesmo valor, por isso não podemos operar com
as taxas dadas.
A redução incidiu sobre o SALÁRIO JÁ
AUMENTADO, então...
valor inicial do salário: X
aumento: 0,1X (10% de X)
novo salário: X + 0,1X = 1,1X
redução: 0,06 . 1,1X = 0,066X (6,6% de X)
Agora sim, como o aumento e a redução estão
baseados em X, podemos compará-los.
- aumento: 10%
Aumento final de 3,4%
- redução: 6,6%
Para a resolução de problemas envolvendo
Reajustes Sucessivos pode-se usar a fórmula:
1+iac = (1+i1)x(1+i2)x(1+i3) x .....
Onde iac = Reajuste Acumulado
e
i1, i2, i3, etc são os reajustes parciais
Exemplo de aplicação da fórmula
Suponha que os funcionários de um banco
tiveram em 2006 três aumentos salariais
cumulativos, que totalizaram, no ano, 25% -
resultado de negociações salariais.
Ficou estabelecido, ao final dessas
negociações que o primeiro reajuste seria em
março de 2006 e seria de 12%. O segundo
reajuste, de 80% do primeiro (percentualmente)
seria em junho/06. O terceiro e último aumento do
ano foi em outubro, o que totalizou a taxa citada
acima. Pode-se dizer que o aumento de outubro
representa do aumento de março:
a) 12%
b) 15,26%
c) 16%
d) 18,50%
e) 25%

Resolução:
Há uma fórmula para os reajustes sucessivos, que
acumulam uma taxa total ( iacumulada)
Reajustes sucessivos..
iacumulada + 1 = (1 + i1) . (1 + i2) . ( 1 + i3)
Onde, i1 , i2, e i3 são taxas sucessivas.
A taxado segundo período é 80% da primeira, ou
seja 0,8 . 0,12 = 0,096 = 9,6%
X, é a última taxa, procurada
iacumulada = (1 + i1) . (1 + i2) . ( 1 + i3) -1
0,25 = ( 1 + 0,12) , ( 1 + 0,096) . ( 1 + x) - 1
0,25 = 1,12 . 1,096 . (1 + x) -1
1,25 = 1,22752 (1 +x)
1 + x = 1,25/1,22752
1 + x = 1,01831
X = 0,01831
O problema pede, porém, o que essa taxa
representa da taxa de março (12%), então
dividimos uma pela outra...
0,01831/0,12 = 0,15258 .....letra “B”
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Quanto é, na forma percentual, 20% de 60%?
Solução:
Resposta: 12%
2. Quanto é, 18% de 200, mais 3% de 500?
Solução:
Resposta: 51
3. Resolva, com respostas na forma percentual:
a)
Solução:
b) (10%)² =
Solução:
NÃO ESQUEÇA!:
Para operar com as taxas, passe-as para a forma
fracionária ou unitária.
%12
100
12
100
06
.
001
02
==
/
//
/
511536005.
001
3
002.
001
18
=+=//
//
+//
//
%81
%909,0
10
9
100
81
%81 ====
( ) %1
100
1
10
1
010
01
%10
22
2
==





=





/
/
=

4. De todos os empregados de uma grande
empresa, 3% optaram por realizar um curso de
especialização. Essa empresa tem sua matriz na
capital, uma filial em Ouro Preto e outra em
Montes Claros. 45% dos empregados trabalham
na matriz, 20% em Ouro Preto. 20% dos
empregados da capital optaram pelo curso e 35%
dos empregados de ouro preto, também. O
percentual dos empregados de Montes Claros que
NÃO optaram pelo curso é:
a)60%
b)40%
c) 35%
d) 21%
e) 14%
Resolução:
A soma(percentual) dos empregados que optaram
pela realização do curso, em cada unidade da
empresa, deve dar 30%, que é o total.
Matriz....optaram pelo curso.................20% de
45%...........0,2 . 0,45 = 0,09= 9%
Ouro Preto................optaram pelo curso........35%
de 20%..........0,35.0,2 = 0,07= 7%
Veja que trabalham em montes Claros......100% -
45%(Matriz) - 20%(O.Preto) = 35% dos
funcionários.
Montes claros...................optaram pelo
curso..........X% de 35% = restante dos optantes
(30% - 9% - 7%=14%)....x%.0,35 = 0,14
Ou seja...............x% = 0,14/0,35......x% = 0,4 =
40% (optaram pelo curso em Montes Claros)
Mas, a pergunta é: Quantos NÃO optaram pelo
curso em Montes Claros? Ora, o resto!! ou seja;
60%(resposta)......letra “A”
5. (FCC - 2008 - DPE-SP - Oficial de Defensoria
Pública) Uma aplicação em caderneta de
poupança rendeu em dois meses consecutivos de
um determinado ano 0,6% e 0,7%
respectivamente. Sabendo-se que no mês
seguinte aos dois primeiros, o rendimento foi de
x%, o que implicou em um rendimento acumulado
no trimestre de 1,6%, é correto dizer que 1 + x/100
é igual a
a) 1,6 / (0,6 . 0,7)
b) 1,16 / (1,06 . 1,07)
c) 1,016 / (1,006 . 1,007)
d) 0,016 / (0,006 . 0,007)
e) 1,016 / (1,06 . 1,07)
Reajustes sucessivos : 1+iac = (1+i1)x(1+i2)x(1+i3)
x .....
Usando a fórmula citada.....
0,016 + 1 = ( 1 + 0,007) . ( 1 + 0,006) . ( 1 + x)
..........linha 1 (considerando "x" na forma decimal)
0,016 + 1 = 1,007 . 1, 006 . ( 1 +
x)...........................linha 2
1,016 = 1,007 . 1,006 . ( 1 + x)
..................................linha 3
( 1 + x) = 1,016 / 1,007.1,006................linha
4(aqui já temos a resposta....”C”)
1,016 = 1,013042 . ( 1 + x)
( 1 + x) = 1,00292
i = 0,00292
i = 0,292% ( taxa"x" desconhecida)

6. Suponha que em 2007 as mensalidades de
dois planos de saúde tinham valores iguais e que
nos três anos subsequentes elas
sofreram os reajustes mostrados na tabela
seguinte:
2008 2009 2010
Plano 1 10% 10% 10%
Plano 2 5% 5% X
Se em 2010 os valores das mensalidades de
ambos se tornaram novamente iguais, então X é
aproximadamente igual a:
a) 15%
b) 18,6%
c) 20,7%
d) 27,8%
e) 30%
Inicialmente as duas prestações eram iguais
(chamei de "P") e depois dos reajustes
continuaram iguais.
'SE AUMENTA 10% VAI PARA 110%,OU SEJA,
FICA MULTIPLICADO POR 1,1....%
"SE AUMENTA 5% VAI PARA 105%, OU
SEJA,FICA MULTIPLICADO POR 1,05..."
COMO AUMENTOU 10% TRÊS VEZES E 5%
DUAS VEZES (SENDO A TERCEIRA TAXA DE
AUMENTO DO SEGUNDO PLANO....."i")
TEREMOS:
P . 1,1 . 1,1. 1,1 = P . 1,05 . 1,05 . (1 + i)
Cancelando "P" com "P" e fazendo as
multiplicações....
1+ i = 1,331/1,1025
1 + i = 1,2072
i = 0,2072
i = 20,72 %..............letra "C"
TESTES
01. (Polícia Rod. Fed.) Uma pesquisa realizada na
Grã-Bretanha mostrou que no primeiro semestre
deste ano 295 doentes cardíacos precisaram de
transplantes, mas só 131 conseguiram doadores.
O percentual aproximado de pacientes que não
conseguiram o transplante é:
a) 31%
b) 36%
c) 44%
d) 56%
e) 64%
02. Considere que o IPVA/99 corresponda a 2,5%
do valor venal do automóvel e que possa ser pago
em uma das seguintes formas:
• à vista, até o dia 15/2/99, com desconto de 5%;
• em 3 parcelas iguais e mensais, vencendo a
primeira em 15/2/99.
Em caso de atraso no pagamento de alguma
parcela, o proprietário deverá pagar, ainda, multa
de 2% sobre o valor devido, acrescida de 0,2% de
juros por dia de atraso.
Com base nessas informações, julgue os itens a
seguir, relativos ao IPVA de um veículo de valor
venal igual a R$ 15.000,00.

I – O valor do IPVA desse veículo é de R$
375,00
II – Se o proprietário do veículo optar pelo
pagamento à vista, então o valor devido será de
R$ 356,25
III – Se a opção for pelo pagamento em
parcelas, então o valor de cada parcela será de
R$ 125,00
IV – Se o proprietário parcelar o pagamento e
pagar a primeira parcela no dia 20/2/99, então ele
pagará R$ 7,50 de acréscimo
V – Se a primeira parcela for quitada por R$
130,00, então isso significará um pagamento com
menos de 9 dias de atraso
A quantidade de itens certos é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
03. (TTN) Maria vendeu um relógio por R$
18.167,50 com um prejuízo de 15,5% sobre o
preço de compra. Para que tivesse um lucro de
25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por
(em R$):
a) 22.709,37
b) 26.875,00
c) 27.675,00
d) 21.497,64
e) 26.785,00
04. PROBLEMA: Um número é reduzido em 55%,
aumentado a seguir em 215% e posteriormente,
reduzido a 40% de seu valor atual, o resultado
final é 1.134. Que número era esse,
originalmente?
a) 1.200
b) 1.600
c) 1.800
d) 2.000
e) 2.200
05. (TTN/89) Um cliente obteve do comerciante
desconto de 20% no preço da mercadoria.
Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto,
é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar
que houve por parte do comerciante um:
a) lucro de 5%
b) prejuízo de 4%
c) lucro de 4%
d) prejuízo de 2%
e) lucro de 2%
06. A área sombreada representa da figura em
que está contida.
a) 21,5%
b) 18,6%
c) 6,25%
d) 12,50%

07. (INSS) A falta de informações dos micros e
pequenos empresários ainda é o principal motivo
para a baixa adesão ao SIMPLES – o sistema
simplificado de pagamento dos impostos e
contribuições federais. Segundo pesquisa
realizada pelo SEBRAE junto a 1.312 empresas,
entre 19 e 31 de março, a adesão ao SIMPLES
apresentou o resultado mostrado no gráfico
abaixo. Com base nessas informações julgue os
itens a seguir.
a) O número de empresas consultadas que ainda
não decidiram aderir ao SIMPLES é inferior a 280.
b) Mais de 260 empresas consultadas, não
podem ou não pretendem aderir ao SIMPLES.
c) Entre as empresas consultadas, a porcentagem
das que já decidiram em relação ao SIMPLES é
superior a 74%.
d) Entre as empresas consultadas que podem
aderir ao SIMPLES, MAIS DE 25% ainda não se
decidiram.
e) Se o número de empresas que já haviam
aderido ao SIMPLES a época da consulta era
igual a 900.000, então é correto estimar, com base
na pesquisa, que o número total de empresas
existentes no Brasil, naquele período, era superior
a 2.400.000.
08. O salário mensal de um vendedor é
constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00
e mais uma comissão de 3% sobre o total de
vendas que exceder a R$ 10.000,00. Calcula-se
em 10% o percentual de descontos diversos que
incidem sobre o seu salário bruto. Em dois meses
consecutivos, o vendedor recebeu, líquido,
respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com
esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no
segundo mês foram superiores às do primeiro mês
em:
a) 18%
b) 20%
c) 30%
d) 33%
e) 41%
09. De todos os empregados de uma grande
empresa, 30% optaram por realizar um curso de
especialização. Essa empresa tem sua matriz
localizada na capital. Possui, também, duas filiais,
uma em Outro Preto e outra em Montes Claros.
Na matriz trabalham 45% dos empregados e na
filial de Ouro Preto trabalham 20% dos
empregados. Sabendo-se que 20% dos
empregados da capital optaram pela realização do
curso e que 35% dos empregados da filial de
Outro Preto também o fizeram, então a
percentagem dos empregados da filial de Montes
Claros que não optaram pelo curso é igual a:
a) 60%
b) 40%
c) 35%
d) 21%
e) 14%

10. (FCC) Um comerciante comprou de um
agricultor um lote de 15 sacas de arroz, cada qual
com 60kg e, por pagar à vista, obteve um
desconto de 20% sobre o preço de oferta. Se, com
a venda de todo o arroz desse lote ao preço de
R$8,50 o kg, ele obteve um lucro de 20% sobre a
quantia paga ao agricultor, então o preço de oferta
é
a) 6.350,00
b) 7.650,25
c) 7.968,75
d) 8.450,50
e) 8.675,00
11. (FCC) Um analista comprou dois aparelhos
celulares iguais, com abatimento de 5% sobre o
preço unitário P. Vendeu-os no mesmo dia, um
com lucro de 4% e outro com lucro de 3% sobre o
valor que havia pago. Nessa transação, ele teve:
a) lucro correspondente a 6,65% de P
b) lucro correspondente a 3,35% de P
c) lucro correspondente a 2% de P
d) prejuízo correspondente a 3% de P
e) prejuízo correspondente a 2% de P
12. (FCC) Considere que, do custo de produção
de determinado produto, uma empresa gasta 25%
com a mão de obra e 75% com matéria-prima. Se
o gasto com a mão de obra subir 10% e o de
matéria-prima baixar 6%, o custo do
produto:
a) permanecerá inalterado;
b) baixará de 2%;
c) aumentará de 3,2%;
d) baixará de 1,8%;
e) aumentará de 1,2%
13. (FCC) A tabela abaixo representa o número de
atendimentos realizados em um hospital por 40
médicos, durante certo período:
nº de médicos nº de atendimentos
4 5
6 7
8 9
10 6
12 8
Considerando que o ideal é que cada médico
atenda de 8 a 10 pacientes neste período, qual é a
porcentagem de médicos que não atingiu este
padrão?
a) 40%
b) 25%
c) 50%
d) 30%
e) 60%
14. Publicado o edital de licitação para a compra
de 20 monitores de vídeo para
microcomputadores, duas empresas apresentam
as seguintes propostas:
- R$ 870,00 a unidade; 10% de desconto sobre o
valor total da compra de 10 ou mais unidades.
- R$ 900,00 a unidade; 15% de desconto sobre o
valor total da compra de 15 ou mais unidades.
Optando pela melhor dessas duas propostas, a
entidade economizará.
a) R$ 360,00
b) R$ 375,00
c) R$ 380,00
d) R$ 425,00
e) R$ 460,00

15. (CESGRANRIO) Devido ao calor, o consumo
de energia de certa residência vem aumentando
10% ao mês, desde setembro de 2009, chegando
a 732,05 KWh, em janeiro de 2010. Qual foi, em
KWh, o consumo de energia dessa residência, em
outubro de 2009?
a) 500
b) 525
c) 533
d) 550
e) 566
GABARITO
1 – D 2 – C 3 – B
4 – D 5 – B 6 – A
7 – F V V V F 8 – C 9 - A
10 – C 11 – A 12 – B
13 - C 14 - A 15 - D
5ª PARTE:
Sequências
SEQUÊNCIAS
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Definição
Chamamos de PA qualquer seqüência onde cada
termo, a partir do segundo, é igual ao anterior
adicionado a uma constante denominada razão
(r).
Se a1
, a2
, a3
, ... an é P.A.
Então: an = an-1 + r (n > 1)
PA crescente e decrescente
1. Uma PA é crescente se, e somente se,
an > an-1
ex.: 2, 6, 10, 14, 18
2. Uma PA é decrescente se, e somente se,
an < an-1
ex.: 18, 14, 10, 6, 2
nesses casos, a razão será um número negativo.
Propriedades
1. se PA é crescente r > 0
2. se PA é decrescente r < 0
3. se PA é estacionária r = 0
4. Dados três termos consecutivos de uma PA, 0
do meio é a média aritmética entre o anterior e
posterior.
Veja: se: (a, b, c) é uma P.A., então b = (a+c) / 2

onde:
-
-
-
(constante)
Fórmula do Termo Geral em função de um termo
qualquer
Particularmente: a
Mais propriedades
1. A
extremos é igual à soma dos extremos.
Soma dos Termos
Sn =
onde S
Definição
Chamamos de PG qualquer seqüência onde cada
multiplicado por uma constante denominada razão
(q).
Então: a
Classificação da PG
1. PG estacionária
Ocorre quando q = 1 onde q é a razão da PG
ex.: 5, 5, 5, 5, 5, 5
2. PG oscilante ou alternante. (q < 0)
Neste caso, os termos consecutivos tem sinais
opostos (ou simétricos).
ex.: 2,
Fórmula do Termo Geral
onde:
an é o último termo
a1 é o primeiro termo
n é a quantidade de termos e r é
(constante)
qualquer
Particularmente: a
Mais propriedades
1. A soma de dois termos equ
Soma dos Termos
Sn =
onde Sn é a soma dos termos.
PROGRESSÃO GEOMÉTRIC
Definição
(q).
Então: an = an-
1. PG estacionária
ex.: 5, 5, 5, 5, 5, 5
ex.: 2, -4, 8, -16, 32
2
( 1 naa +
é o último termo
é o primeiro termo
Particularmente: an = a1 + ( n
Mais propriedades
soma de dois termos equ
Soma dos Termos
. n
é a soma dos termos.
PROGRESSÃO GEOMÉTRIC
-1 . q (n > 1)
1. PG estacionária
ex.: 5, 5, 5, 5, 5, 5
16, 32
)
+ ( n – 1 ) . r
soma de dois termos equidistantes dos
é a soma dos termos.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
1 . q (n > 1)
n é a quantidade de termos e r é a razão
idistantes dos
A (P.G.)
a razão
idistantes dos
3. PG crescente
Há dois casos
a1 > 0
a1 < 0 e 0 < q < 1
4. PG decrescente
a1 > 0 e 0 < q < 1ou
a1 < 0 e q > 1
Generalizando esta fórmula para qualquer termo
Propriedades
1. Dados três termos consecutivos (PG), o termo
central é a média geométrica entre anterior e
posterior.
2. O produto de dois termos eqüidistantes do
extremos é igual ao produto dos extremos.
Soma dos Termos (P.G. finita)
1. Quando q = 1 temos
2. Ca
(0, 0, 0, ...) teremos:
3. Se q
Sn =
Soma dos Termos (PG infinita)
Neste caso,
3. PG crescente
Há dois casos
a1 > 0 e q > 1 ou
a1 < 0 e 0 < q < 1
4. PG decrescente
a1 > 0 e 0 < q < 1ou
a1 < 0 e q > 1
Propriedades
posterior.
2. Caso a razão seja indeterminada
(0, 0, 0, ...) teremos:
3. Se q 1, e
Sn =
Neste caso, -
1
.
−
−
q
aqan
3. PG crescente
Há dois casos
e q > 1 ou
a1 < 0 e 0 < q < 1
4. PG decrescente
a1 > 0 e 0 < q < 1ou
a1 < 0 e q > 1
Propriedades
so a razão seja indeterminada
(0, 0, 0, ...) teremos:
, existem dua
ou Sn =
-1 < q < 1 (q
1a
uas fórmulas:
ou Sn =
1 < q < 1 (q 0)
s:
41
2. O produto de dois termos eqüidistantes dos

EXERCÍCIOS PROPOSTOS / TESTES - PA
1. Seja A o conjunto dos 1993 primeiro números
inteiros estritamente positivos.
a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao
conjunto A?
2. Do conjunto de todos os números naturais n, n
< 200, retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida,
os múltiplos de 6. Calcule a soma dos números
que permanecem no conjunto.
3. A média aritmética dos 20 números pares
consecutivos, começando em 6 e terminado em
44, vale:
a) 50
b) 40
c) 35
d) 25
e) 20
4. Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou
um tratamento médico que fez com que
engordasse 150 g por semana durante 4 meses.
Quanto pesava ao término da 15° semana de
tratamento?
a) 22,50 kg
b) 15 kg
c) 10,7 kg
d) 10,55 kg
e) 10,46 kg
EXERCÍCIOS PA / PG
1. Numa progressão geométrica, o primeiro termo
é igual a 7500, e o quarto termo é igual a 20% do
terceiro. Determine o quinto termo da progressão.
2. Se o primeiro termo vale 2 e a razão é 3, então
os termos gerais da PA e da PG correspondentes
são:
a) 2 + 3n
e 2.3n
/3
b) 2 + 3n
e 3n-1
/2
c) 3n
- 1 e 2.3n
d) 3 + 2n e 3.2n
e) 3n - 1 e (2/3).3n
3. O terceiro e o sétimo termos de uma P.G valem,
respectivamente, 10 e 18. O quinto termo dessa
Progressão é:
a)
b)
c)
d)
e) 30
4. Seja (b1, b2, b3, b4) uma progressão geométrica
de razão 1/3. Se b1 + b2 + b3 + b4 = 20, então b4 é
igual a:
a) 1/2
b) 3/2
c) 5/2
d) 7/2
14
30
7.2
5.6

5. A seqüência (2x + 5, x + 1, x/2, ...) com x Є R, é
uma progressão geométrica de termos positivos.
O décimo terceiro termo dessa seqüência é:
a) 2
b) 3-10
c) 3
d) 310
e) 312
6. Sendo x um número real não nulo, a soma do
3º termo da P.A (x, 2x, ...) com o 3º termo da P.G
(x, 2x, ...) é igual a:
a) 4x
b) 5x
c) 6x
d) 7x
e) 8x
7. Considere os quadrados de vértices Ai, Bi, Ci e
Di e os arcos de circunferências AiCi de centros Di
e raios Ci, Di. Sabendo que os lados dos
quadrados estão em P. G. de razão 1/2 e que o
lado do primeiro quadrado mede a. É FALSO
afirmar que:
a) As áreas hachuradas estão em P. G. de razão
1/2.
b) A área hachurada do quinto quadrado é
c) As áreas dos quadrados estão em P. G. de
razão 1/4.
d) O lado do décimo quadrado mede
8. Um estacionamento cobra R$ 1,50 pela
primeira hora. A partir da segunda, cujo valor é R$
1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0,40,
os preços caem em progressão aritmética. Se um
automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local,
quanto gastará seu proprietário?
a) R$ 4,58
b) R$ 5,41
c) R$ 5,14
d) R$ 4,85
e) R$ 5,34
9. No projeto urbanístico de uma cidade, o
paisagista previu a urbanização do canteiro central
de uma das avenidas, com o plantio de 63 mudas
de Flamboyant, todas dispostas em linha reta e
distantes 5m uma da outra. No dia do plantio, o
caminhão descarregou as mudas no início do
canteiro central, no local onde seria plantada a
primeira muda. Um jardineiro foi designado para
executar o serviço. Para isso, partindo do lugar
onde as mudas foram colocadas, ele pegou três
mudas de cada vez, plantou-as nos locais
designados, enfileirando-as uma após a outra.
Calcule, em hectômetros, a distância total mínima
percorrida pelo jardineiro após finalizar o trabalho.
a) 64,1 hm
b) 67,2 hm
c) 69,4 hm
d) 70,8 hm
e) 76,5 hm
2
1024
4
a




 −π
512
a

10. Uma bola é solta de uma altura de 16 metros
e, ao bater no solo, volta a subir a uma altura de
8m, quando cai novamente, voltando a subir a
uma altura de 4m e assim sucessivamente.
Teoricamente, a bola nunca irá parar de descer e
subir, uma vez que sempre haverá metade de um
número positivo, mas na prática ela para. Sendo
assim qual a distância total percorrida por essa
bola, desde o momento em que é solta da altura
de 16 metros ?
a) 32 m
b) 48 m
c) 56 m
d) 68 m
e) 72 m
11. Qual o milésimo múltiplo positivo ímpar de 11?
a) 19877
b) 21923
c) 21989
d) 22055
e) 22143
GABARITO
PA
1 – 132 2 – 13264 3 – D 4 – D
PA / PG
1 – 12 2 – E 3 – D 4 – A
5 – B 6 – D 7 – A 8 - C
9 – A 10-B 11-C

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