1) O documento apresenta resoluções de exercícios de equações diferenciais exatas. Verifica se equações são exatas e as resolve caso sejam, considerando condições iniciais quando aplicável. 2) Determina o valor de k para que uma equação diferencial seja exata, encontrando k=9. 3) Verifica que uma função dada é um fator integrante para uma equação diferencial.

1. Oendel Roberto Wagner
Lista 5 de EDO - Equações Exatas
1. Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
a) ( ) ( ) 07312 =++− dyydxx
0)73()12( =++− dyydxx
Primeiro passo achar M(x,y), e N(x,y):
)73(),(
)12(),(
+=
−=
yyxN
xyxM
Segundo passo encontrar as derivadas:
0
0
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
N
y
M
x
N
y
M
Terceiro passo:
cy
y
dyyyg
yyg
xx
y
xxdxxdxdxxdxyxM
dxyxM
y
yxNyg
++=+=
+=
=−=
∂
∂
−=−=−=
∂
∂
−=
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
7
2
3
73)(
73)('
0)(
12)12(),(
),(),()('
2
2
2
Logo a solução é:
cy
y
xx
cyxf
=++−
=
7
2
3
)(
),(
2
2
b) ( ) ( ) 08445 3
=−++ dyyxdxyx
Primeiro passo achar M(x,y), e N(x,y):

2. )84(),(
)45(),(
3
yxyxN
yxyxM
−=
+=
Segundo passo encontrar as derivadas:
4)84(
4)45(
3
=−=
∂
∂
=+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
yx
x
N
yx
y
M
x
N
y
M
Terceiro passo:
∫ ∫
∫ ∫
∫
−=−==
−=−−=
=+
∂
∂
++=+=
∂
∂
−=
43
33
2
2
28)(')(
84)84()('
4)4
2
5
(
4
2
5
)45(),(
),(),()('
yydyygyg
yxyxyg
xyxx
y
cyxxdxyxdxyxM
dxyxM
y
yxNyg
Logo a solução é:
( )
cyxyx
cyxf
yxyxyxf
ygdxyxMyxf
=−+
=
−+=
+=
−
−
∫
42
42
24
2
5
),(
24
2
5
,
)(),(),(
c) ( ) xyx
dx
dy
yx 44221 32
+=−−
( )
( )
0)122()44(
)44(221
44221
23
32
32
=−+++
+=−−
+=−−
dyyxdxxyx
dxxyxdyyx
xyx
dx
dy
yx

3. Primeiro passo achar M(x,y), e N(x,y):
)122(),(
)44((),(
2
3
−+=
+=
yxyxN
xyxyxM
Segundo passo encontrar as derivadas:
xyx
x
N
xxyx
y
M
x
N
y
M
4)122(
4)44(
2
3
=−+=
∂
∂
=+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
Terceiro passo:
∫ ∫
∫ ∫
∫
−=−==
−=−−+=
=+
∂
∂
++=+=
∂
∂
−=
yyydyygyg
yxyxyg
xyxx
y
cyxxxyxdxyxM
dxyxM
y
yxNyg
2
22
224
243
12)(')(
122)122()('
22
244),(
),(),()('
Logo a solução é:
( )
cyyyxx
cyxf
yyyxxyxf
ygdxyxMyxf
=−++
=
−++=
+=∫
224
224
2
),(
2,
)(),(),(
2. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
a) ( ) ( ) 1)1(,012 22
==−+++ ydyxxydxyx .
Primeiro passo achar M(x,y), e N(x,y):
)12(),(
2)(),(
2
222
−+=
++=+=
xyxyxN
yxyxyxyxM

4. Segundo passo encontrar as derivadas:
yxxyx
x
N
yxyxyx
y
M
x
N
y
M
22)12(
22)2(
2
22
+=−+=
∂
∂
+=++
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
Terceiro passo:
∫ ∫
∫ ∫
∫
−=−==
−=−−+=
=+
∂
∂
+=++=
∂
∂
−=
yxydyxydyygyg
xyxxyxyg
xyxx
y
yxxdxyxyxdxyxM
dxyxM
y
yxNyg
2
22
223
2322
12)(')(
12)12()('
)
3
1
(
3
1
)2(),(
),(),()('
Logo a solução é:
( )
cyxyyxx
cyxf
yxyyxxyxf
ygdxyxMyxf
=−++
=
−++=
+= ∫
223
223
3
1
),(
3
1
,
)(),(),(
Sendo Y(1)=1, temos que:
3
4
1)1(111)1(
3
1
3
1
223
223
=
=−++
=−++
c
c
cyxyyxx
Solução é :
3
4
3
1 223
=−++ yxyyxx
b) ( ) ( ) 1)0(,02 ==++++ ydyyexdxye yx
Primeiro passo achar M(x,y), e N(x,y):
)2(),(
)(),(
y
x
yexyxN
yeyxM
++=
+=

5. Segundo passo encontrar as derivadas:
1)2(
1)(
=++=
∂
∂
=+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
x
yex
x
N
ye
y
M
x
N
y
M
Terceiro passo:
∫ ∫
∫ ∫
∫
−+=+==
+=−++=
=+
∂
∂
++=+=
∂
∂
−=
yyy
yy
x
xx
eyeydyyedyygyg
yexyexyg
xyxe
y
cyxedxyedxyxM
dxyxM
y
yxNyg
2)2()(')(
2)2()('
)(
)(),(
),(),()('
Logo a solução é:
( )
ceyeyyxe
cyxf
eyeyyxeyxf
ygdxyxMyxf
yyx
yyx
=−+++
=
−+++=
+= ∫
2
),(
2,
)(),(),(
Sendo Y(0)=1, temos que:
3
)1()1(2)0(1
2
110
=
−+++
=−+++
c
eee
ceyeyyxe yyx
Solução é : 32 =−+++ yyx
eyeyyxe
3. Determine o valor de k para que a equação diferencial
( ) 0)(cos6 223
=−++ dyyxsenykxdxyxy seja exata.
( ) 0)(cos6 223
=−++ dyyxsenykxdxyxy
Primeiro passo achar M(x,y), e N(x,y):
xsenyykxyxN
yxyyxM
−=
+=
22
3
),(
cos6),(
Segundo passo encontrar as derivadas:

6. 9
218
218
2)(
18)cos6(
22
222
23
=
=
−=−
∂
∂
=
∂
∂
−=−
∂
∂
=
∂
∂
−=+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
k
k
senykxysenyxy
x
N
y
M
senykxyxsenyykx
xx
N
senyxyyxy
yy
M
x
N
y
M
O valor de k para a equação diferencial ser exata é k=9.
4. Verifique que a função 2
),( yyx =µ é um fator integrante para a equação
diferencial ( ) .0)94(6 2
=++ dyxydxxy
( ) .0)94(6 2
=++ dyxydxxy
Primeiro passo achar M(x,y), e N(x,y):
2
94),(
6),(
xyyxN
xyyxM
+=
=
x
X
N
x
y
M
18
6
=
∂
∂
=
∂
∂
x
N
y
M
∂
∂
≠
∂
∂
A EDO não é exata.
Multiplicando-se a equação por 2
),( yyx =µ , obtemos:
( ) 0)94(6 2233
=++ dyyxydxxy
Então :
223
3
94),(
6),(
yxyyxN
xyyxM
+=
=
2
18xy
x
N
y
M
=
∂
∂
=
∂
∂
Logo, a segunda equação diferencial é exata e 2
),( yyx =µ é um fator integrante para a
equação diferencial.
Terceiro passo:

7. ∫ ∫
∫ ∫
∫
===
=−+=
=
∂
∂
==
∂
∂
−=
43
322223
2232
323
4)(')(
4994()('
9)3(
36),(
),(),()('
ydyydyygyg
yyxyxyyg
yxyx
y
yxdxxydxyxM
dxyxM
y
yxNyg
Logo a solução é:
( )
cyyx
cyxf
yyxyxf
ygdxyxMyxf
=+
=
+=
+=∫
432
432
3
),(
3,
)(),(),(