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1 INTEGRAL DEFINIDA 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Soma Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Função Integrável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.8 Teorema do Valor Médio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.6 Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão) . . . . . . . . . 17
1.7 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Integral de uma Função Descontínua num Ponto c ∈ [a, b] . . . . . . . . . . . 20
1.9 Aplicações da Integral Denida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9.1 Área em coordenadas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9.9 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétricas . . . . 28
1.9.12 Área de um setor cuvilíneo em coordenadas polares . . . . . . . . . . 29
1.10 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . 32
1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas . . . . . . . . 35
1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 36
1.11 Volume de um Sólido de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.11.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coordenado . . . 41
1.12 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL 56
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.5 Gráco de uma Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.10 Curvas e Súperfícies de Nível (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.12 Distâncias e Bolas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Limite de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.9 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Continuidade de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5.7 Interpretação Geométrica das derivadas parciais . . . . . . . . . . . . 71
2.6 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.7 Derivada de uma Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.8 Derivadas de Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.9 Derivada Parcial como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
vi](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-8-320.jpg)
![1.1 Introdução
Neste capítulo estudaremos a integral denida. Uma das principais aplicações da integral
denida encontra-se em problemas que envolvem cálculo de área e volumes. Por exemplo,
seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Nosso
propósito é determinar a área da região delimitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas
retas x = a e x = b, conforme Figura 1.1 abaixo:
a y b
x
f
Figura 1.1: Área da região R
Estimando o valor da área R: Sabemos como calcular a área de um retângulo (base
× altura). A área de um polígono podemos obter subdividindo-o em triângulos e retângulos.
No entanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos. Assim, parte do
problema da área é utilizar uma ideia intuitiva do que é a área de uma região. Recordemos
que, para denir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinação da reta tangente por
inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Utilizaremos
uma ideia semelhante para obter áreas.
Por exemplo para calcular a área da região R vamos dividir o intervalo [a, b] em 2 subin-
tervalos de comprimento ∆x = b−a
2
. Denotamos os extremos destes subintervalos por xi,
onde i ∈ {0, 1, 2}. Veja que, neste caso, temos x0 = a, x1 = c e x2 = b. Na Figura 1.2,
considere os retângulos de largura ∆x e altura Mi = Max{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}.
a y c b
x
f
Figura 1.2: Estimativa por soma de áreas de retângulos
Deste modo obtemos um polígono circunscrito a região R cuja área é dada pela soma
da área dos dois retângulos. Como a base é a mesma, podemos dizer que a área é dada
por
2
∑
i=1
Mi∆x, onde Mi = Max{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. Você acha que podemos comparar a
2](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-12-320.jpg)
![área da região R representada pela Figura 1.1 e a região formada pelos retângulos da Figura
1.2? A diferença é muito grande? O que aconteceria com esta diferença se dividíssemos o
intervalo [a, b] em n subintervalos com n = 3, 4, 5, 6, · · ·?
A denição formal de integral denida envolve a soma de muitos termos pequenos (dife-
renciais), com a nalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim há
uma conexão entre o cálculo integral e diferencial, onde o Teorema Fundamental do Cálculo
relaciona a integral com a derivada. As integrais estão envolvidas em inúmeras situações:
usando a taxa (derivada) podemos obter a quantidade (integral) de óleo que vaza de um
tanque durante um certo tempo; utilizando a leitura do velocímetro de um ônibus espacial é
possível calcular a altura atingida por ele em um dado intervalo de tempo. Assim, pode-se
usar a integral para resolver problemas concernentes a volumes, comprimentos de curvas,
predições populacionais, saída de sangue do coração, força sobre uma represa, potência con-
sumida e a energia usada em um intervalo de tempo na cidade de Joinville, etc.
O Cálculo da Área
Primeiramente aproximaremos a área da regiã R delimitada por grácos de funções
por soma de áreas de retângulos inscritos ou circunscritos para então tomarmos o limite das
áreas desses retângulos, à medida que se aumenta o número destes, conforme a Figura 1.3.
y
x
a b b
a x
y
Figura 1.3: Aproximando áreas com n retângulos
E desta forma, a área total desejada será obtida pela soma das áreas retangulares quando
suas bases se tornam cada vez menores, isto é, quando ∆x → 0 (ou equivalentemente, quando
o número de retângulos se torna cada vez maior, isto é, n → ∞). Você consegue formalizar,
matematicamente, este resultado?
Para dar início a essa formalização, veremos algumas denições auxiliares.
1.2 Partição
DEFINIÇÃO 1.2.1 Seja [a, b] um intervalo. Denominamos partiçãode [a, b] ao conjunto or-
denado de pontos
P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn}
tais que
a = x0 x1 x2 ... xn = b
e que dividem [a, b] em n-subintervalos, a saber,
[x0, x1] , [x1, x2] , [x2, x3] , ..., [xi−1, xi] , ..., [xn−1, xn] ,
3](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-13-320.jpg)
![denominados intervalos da partição. Além disso, podemos escrever
|[x0, x1]| = x1 − x0 = ∆x1
|[x1, x2]| = x2 − x1 = ∆x2
|[x2, x3]| = x3 − x2 = ∆x3
· · ·
|[xi−1, xi]| = xi − xi−1 = ∆xi
· · ·
|[xn−1, xn]| = xn − xn−1 = ∆xn.
EXEMPLO 1.2.2 Considerando o intervalo [1, 12], o conjunto de pontos P = {1, 2, 4, 8, 12} é
uma partição de [1, 12]. Os intervalos dessa partição são [1, 2], [2, 4], [4, 8] e [8, 12].
Naturalmente, temos 1 = x0 2 = x1 4 = x2 8 = x3 12 = x4.
DEFINIÇÃO 1.2.3 Seja [a, b] um intervalo e considere
P = {x0, x1, x2, · · · , xi, · · · , xn} e Q = {x0, x1, x2, · · · , y0, · · · , xi, · · · , xn}
duas partições de [a, b]. Dizemos que a partição Q é um renamento da partição P se P ⊂ Q.
EXEMPLO 1.2.4 Consideremos o intervalo [1, 12]. Os conjuntos de pontos
P = {1, 2, 4, 8, 12} e Q = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12}
são duas partições de [1, 12] com P ⊂ Q. Então Q é um renamento de P.
1.3 Soma Superior
Consideraremos sempre uma função contínua f : [a, b] → R denida num intervalo fechado
[a, b] e limitada nesse intervalo, isto é, existem m, M ∈ R tais que m ≤ f (x) ≤ M para todo
x ∈ [a, b] .
DEFINIÇÃO 1.3.1 Seja f : [a, b] → R uma função limitada e seja P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn}
uma partição de [a, b], com a = x0 x1 x2 ... xn = b. Seja Mi o valor supremo de f
no intervalo [xi−1, xi] , onde i = 1, 2, 3, · · · , n. Denominamos soma superior de f em relação
à partição P e denotamos por S(f, P) à expressão:
S(f, P) = M1(x1 − x0) + M2(x2 − x1) + .. + Mn(xn − xn−1) =
n
∑
i=1
Mi(xi − xi−1). (1.3.1)
EXEMPLO 1.3.2 Considere a função f : [0, 2] → R denida por f (x) = xsenx. Na Figura
1.4 podemos ver o gráco de uma soma superior referente a uma partição composta por 15
pontos. Já uma soma superior referente a uma partição com maior número de pontos (80
pontos), é ilustrada pela Figura 1.5.
Note que, conforme aumentamos o número de pontos da partição, aqui uniformemente
distribuídos, a soma superior S(f, P) vai se aproximando da área sob o gráco de f (x) =
x sin x, no intervalo [0, 2] .
4](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-14-320.jpg)
![Figura 1.4: Soma Superior, S(f, P), P com 15 pontos: A = 1, 863 u.a.
Figura 1.5: Soma Superior, S(f, P), P com 80 pontos: A = 1, 746 u.a.
1.4 Soma Inferior
DEFINIÇÃO 1.4.1 Seja f : [a, b] → R uma função limitada e seja P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn}
uma partição de [a, b], onde a = x0 x1 x2 ... xn = b. Seja mi o valor ínmo de f
no intervalo [xi−1, xi] para i = 1, 2, 3, ..., n. Denominamos soma inferior de f em relação à
partição P e denotamos por S(f, P) à expressão:
S(f, P) = m1(x1 − x0) + m2(x2 − x1) + ... + mn(xn − xn−1)
n
∑
i=1
mi(xi − xi−1). (1.4.1)
EXEMPLO 1.4.2 Considere a função f : [0, 2] → R denida por f (x) = xsenx. Na Figura
1.6 podemos ver o gráco de uma soma inferior referente a uma partição composta por um
número reduzido de pontos (15 pontos) e na Figura 1.7 de uma soma inferior referente a
uma partição com maior número de pontos (80 pontos).
Note que, aumentando o número de pontos de [a, b] a soma inferior S (f, P) vai se apro-
ximando da área sob o gráco de f (x) = x sin x no intervalo [0, 2].
5](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-15-320.jpg)
![Figura 1.6: Soma Inferior, S(f, P), P com 15 pontos: A = 1, 642 u.a.
Figura 1.7: Soma Inferior, S(f, P), P com 80 pontos: A = 1, 718 u.a.
1.5 Função Integrável
DEFINIÇÃO 1.5.1 Seja f : [a, b] → R uma função. Dizemos que f é integrável se
lim
n→+∞
S(f, P) = lim
n→+∞
S(f, P)
ou seja, se
lim
n→+∞
n
∑
i=1
mi(xi − xi−1) = lim
n→+∞
n
∑
i=1
Mi(xi − xi−1),
sendo P = {x0, x1, x2, · · · , xn} qualquer partição de [a, b].
No caso de uma função integrável, denotaremos a integral denida de f de a até b
por
∫ b
a
f (x) dx = lim
n→+∞
n
∑
i=1
f (χi) (xi − xi−1), onde χi ∈ [xi−1, xi] .
OBSERVAÇÃO 1.5.2 As somas superiores e inferiores acima denidas são casos particulares
de Somas de Riemann, que são quaisquer expressões da forma S =
n
∑
i=1
f (wi) ∆xi, onde
wi ∈ [xi−1, xi] não é ne-cessariamente um máximo ou um mínimo de f em cada subintervalo
6](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-16-320.jpg)
![da partição considerada, nem ∆xi é necessariamente constante. No entanto, em nossos
propósitos, não iremos considerar esses casos mais gerais.
Ainda, como f(x) pode ser negativa, certos termos de uma soma superior ou inferior
também podem ser negativos. Consequentemente, nem sempre S(f, P) e S(f, P) irão repre-
sentar uma soma de áreas de retângulos. De forma geral, estas somas representam a soma
das áreas dos retângulos situados acima do eixo-x (onde f ≥ 0) com o negativo das áreas
dos retângulos que estão situados abaixo deste eixo (onde f ≤ 0).
OBSERVAÇÃO 1.5.3 Para calcular integrais denidas usando a denição de somas superiores
ou inferiores, serão usadas as seguintes expressões:
(i) 1 + 1 + 1 + ... + 1
| {z } = k
k vezes
(ii) 1 + 2 + 3 + ... + k =
(1 + k)k
2
(iii) 12
+ 22
+ 32
+ ... + k2
=
k (k + 1) (2k + 1)
6
(iv) 13
+ 23
+ 33
+ ... + k3
=
k2
(k + 1)2
4
(v) 14
+ 24
+ 34
+ ... + k4
=
k (k + 1) (6k3
+ 9k2
+ k − 1)
30
EXEMPLO 1.5.4 Usando a denição de soma superior, encontre a área delimitada pelas curvas
y = x2
+ 1, x = 0, x = 4 e y = 0 (sabendo que a função é integrável).
Solução: Tomamos P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [0, 4], conforme ilustra
a Figura 1.8
y
x
Figura 1.8: Soma Superior de f(x) = x2
+ 1 com 10 retângulos
Como os subintervalos da partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos
possuem o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = ... = ∆xn. Portanto, temos que
∆x =
4 − 0
n
=
4
n
e podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x0 = 0, x1 = ∆x, x2 = 2∆x, x3 = 3∆x, ..., xn = n∆x.
7](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-17-320.jpg)
![Seja Mi o supremo de f(x) = x2
+ 1 no intervalo [xi−1, xi]. Como neste exemplo temos
uma função crescente, o máximo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo direito,
ou seja, Mi = f(xi). Assim, a soma superior de f é dada por
S(f, P) = M1∆x + M2∆x + M3∆x + .... + Mn∆x
= f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + ... + f(xn)∆x
= f(∆x)∆x + f(2∆x)∆x + f(3∆x)∆x + ... + f(n∆x)∆x
= ∆x[(∆x)2
+ 1 + (2∆x)2
+ 1 + (3∆x)2
+ 1 + ... + (n∆x)2
+ 1]
= ∆x[1 + 1 + ... + 1 + (∆x)2
+ 4(∆x)2
+ 9(∆x)2
+ ... + n2
(∆x)2
]
= ∆x[n + ∆x2
(1 + 22
+ 32
+ ... + n2
)]
= ∆x
(
n + ∆x2 n(n + 1)(2n + 1)
6
)
=
4
n
(
n +
42
n2
n(n + 1)(2n + 1)
6
)
= 4 +
64
6
(n + 1)(2n + 1)
n2
= 4 +
32
3
(
2 +
3
n
+
1
n2
)
= 4 +
64
3
+
32
n
+
32
3n2
.
Portanto, a área desejada é dada por
∫ 4
0
(x2
+ 1)dx = lim
n→+∞
(
4 +
64
3
+
32
n
+
32
3n2
)
=
76
3
.
Agora, se desejarmos encontrar a soma inferior de f, quais modicações deveremos efetuar
nos cálculos acima? Sugere-se que o estudante refaça este exercício, prestando bastante
atenção no que ocorre com as alturas dos retângulos inscritos e nas consequências deste fato.
EXEMPLO 1.5.5 Usando a denição de soma inferior, encontre a área delimitada pelas curvas
y = 16 − x2
, x = 1, x = 4 e y = 0 (sabendo que a função é integrável).
Solução: Tomamos P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [1, 4], conforme ilustra
a Figura 1.9
y
x
Figura 1.9: Soma Inferior de f(x) = 16 − x2
com 10 retângulos
8](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-18-320.jpg)
![Como os subintervalos da partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos
possuem o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = ... = ∆xn. Portanto, temos que
∆x =
4 − 1
n
=
3
n
e podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x0 = 1, x1 = 1 + ∆x, x2 = 1 + 2∆x, x3 = 1 + 3∆x, · · · , xn = 1 + n∆x.
Seja mi o ínmo de f(x) = 16 − x2
no intervalo [xi−1, xi]. Como no intervalo [1, 4] a
função é decrescente, o mínimo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo direito, ou
seja, mi = f(xi). Assim, a soma inferior de f é dada por
S(f, P) = m1∆x + m2∆x + m3∆x + .... + mn∆x
= f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + ... + f(xn)∆x
= f(1 + ∆x)∆x + f(1 + 2∆x)∆x + f(1 + 3∆x)∆x + ... + f(1 + n∆x)∆x
= [16 − (1 + ∆x)2
+ 16 − (1 + 2∆x)2
+ 16 − (1 + 3∆x)2
+ · · · + 16 − (1 + n∆x)2
]∆x
= 16n∆x + [1 + 2∆x + (∆x)2
+ 1 + 2 · 2∆x + (2∆x)2
+ 1 + 2 · 3∆x + (3∆x)2
+
+ · · · + 1 + 2 · n∆x + (n∆x)2
]∆x
= 16n∆x − n∆x − 2(1 + 2 + 3 + · · · + n)(∆x)2
− (12
+ 22
+ 32
+ · · · + n2
)(∆x)3
= 15n∆x − 2 ·
n(n + 1)
2
· (∆x)2
−
n(n + 1)(2n + 1)
6
· (∆x)3
= 15n ·
3
n
− 9 ·
n2
+ n
n2
− 9 ·
2n3
+ 3n2
+ n
2n3
= 45 − 9 −
9
n
− 9 −
27
2n
−
9
2n2
= 27 −
45
2n
−
9
2n2
Portanto, a área desejada é dada por
∫ 4
1
(16 − x2
)dx = lim
n→+∞
(
27 −
45
2n
−
9
2n2
)
= 27.
OBSERVAÇÃO 1.5.6 Até o momento não exigimos que a função seja contínua. Isso porque a
condição de continuidade não é necessária para que uma função seja integrável. Daqui para
frente só trabalharemos com funções contínuas. A integrabilidade de funções não contínuas
não será objeto de nosso estudo.
Propriedades das Integrais
Se f, g : [a, b] → R são funções integráveis, então são válidas as seguintes propriedades:
i. Se f(x) é uma função constante, i.e., f(x) = c então
∫ b
a
cdx = c(b − a).
ii. Se k é uma constante então
∫ b
a
kf (x) dx = k
∫ b
a
f (x) dx.
iii.
∫ b
a
[f (x) + g (x)]dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ b
a
g (x) dx.
iv. Se f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ [a, b] então
∫ b
a
f (x) dx ≤
∫ b
a
g (x) dx.
9](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-19-320.jpg)
![v. Se m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], então m (b − a) ≤
∫ b
a
f (x) dx ≤ M (b − a) .
vi. Se c ∈ [a, b] então
∫ b
a
f (x) dx =
∫ c
a
f (x) dx +
∫ b
c
f (x) dx.
vii. A troca dos limitantes de integração acarreta a mudança no sinal da integral denida,
ou seja,
∫ b
a
f (x) dx = −
∫ a
b
f (x) dx.
viii.
∫ a
a
f(x)dx = 0.
EXEMPLO 1.5.7 Determine a soma superior e a soma inferior para f(x) = x2
− 2x + 2 no
intervalo [−1, 2]. A seguir, utilize-as para calcular a área da região situada abaixo do gráco
de f e entre as retas y = 0, x = −1 e x = 2.
Solução: A Figura 1.10 ilustra o gráco da soma superior de f referente a uma partição
composta de 15 pontos. Observe que as alturas dos retângulos circunscritos não possuem
o mesmo comportamento em todo o intervalo. Isso ocorre porque a função é decrescente
no intervalo [−1, 1] e crescente em [1, 2]. Para obter a expressão para a soma superior de f
usaremos a Propriedade v. Tomaremos uma partição para o intervalo [−1, 1] e outra para o
intervalo [1, 2].
y
x
Figura 1.10: Soma Superior de f(x) = x2
− 2x + 2 com 15 retângulos
Soma Superior para o intervalo [−1, 1]
Seja P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [−1, 1], de tal forma que todos os
subintervalos de P possuam o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = · · · = ∆xn.
Portanto, temos que a base de cada um dos retângulos é dada por ∆x =
1 − (−1)
n
=
2
n
e
assim podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x0 = −1, x1 = −1 + ∆x, x2 = −1 + 2∆x, x3 = −1 + 3∆x, · · · , xn = −1 + n∆x.
Agora vamos determinar as alturas dos retângulos circunscritos. Seja Mi o supremo de
f(x) = x2
− 2x + 2 no subintervalo [xi−1, xi]. Como neste intervalo a função é decrescente o
10](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-20-320.jpg)
![máximo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo esquerdo, ou seja, Mi = f(xi−1).
Assim, a soma superior de f é dada por
S(f, P) = M1∆x + M2∆x + M3∆x + · · · + Mn∆x
= f(x0)∆x + f(x1)∆x + f(x2)∆x + · · · + f(xn−1)∆x
= f(−1)∆x + f(−1 + ∆x)∆x + f(−1 + 2∆x)∆x + · · · + f(−1 + (n − 1)∆x)∆x
= ∆x{5 +
[
(−1 + ∆x)2
− 2(−1 + ∆x) + 2
]
+
[
(−1 + 2∆x)2
− 2(−1 + 2∆x) + 2
]
+
+ · · · +
[
(−1 + (n − 1)∆x)2
− 2(−1 + (n − 1)∆x) + 2
]
}
= ∆x{5 +
[
(1 − 2∆x + (∆x)2
) + 2 − 2∆x + 2
]
+
[
1 − 4∆x + 22
(∆x)2
+ 2 − 4∆x + 2
]
+
+ · · · +
[
1 − 2(n − 1)∆x + (n − 1)2
(∆x)2
+ 2 − 2(n − 1)∆x + 2
]
}
= ∆x{5 +
[
5 − 4∆x + (∆x)2
]
+
[
5 − 8∆x + 22
(∆x)2
]
+
+ · · · +
[
5 − 4(n − 1)∆x + (n − 1)2
(∆x)2
]
}
= ∆x
[
5n − 4∆x (1 + 2 + · · · + (n − 1)) + (∆x)2 (
1 + 22
+ · · · + (n − 1)2
)]
=
2
n
·
[
5n − 4 ·
2
n
·
n(n − 1)
2
+
(
2
n
)2
·
(n − 1)n (2n − 1)
6
]
=
2
n
·
[
5n − 4(n − 1) +
2
3
·
(
2n2
− 3n + 1
n
)]
= 2 +
8
n
+
4
3
·
(
2 −
3
n
+
1
n2
)
=
14
3
+
4
n
+
4
3n2
.
Soma Superior para o intervalo [1, 2]
Seja Q = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [1, 2], de tal forma que todos os
subintervalos de Q possuam o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = · · · = ∆xn.
Portanto, temos que a base de cada um dos retângulos é dada por ∆x =
2 − 1
n
=
1
n
e assim
podemos atribuir valores para cada xi ∈ Q como sendo
x0 = 1, x1 = 1 + ∆x, x2 = 1 + 2∆x, x3 = 1 + 3∆x, · · · , xn = 1 + n∆x.
Como neste intervalo a função é decrescente as alturas dos retângulos circunscritos, Mi,
ocorre no extremo direito de cada subintervalo, i.e., Mi = f(xi). Assim a soma superior de
f em [1, 2] relativa a partição Q é dada por
S(f, Q) = M1∆x + M2∆x + M3∆x + · · · + Mn∆x
= f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + · · · + f(xn)∆x
= [f(1 + ∆x) + f(1 + 2∆x) + f(1 + 3∆x) + · · · + f(1 + n∆x)]∆x
= {[(1 + ∆x)2
− 2(1 + ∆x) + 2] + [(1 + 2∆x)2
− 2(1 + 2∆x) + 2] +
+[(1 + 3∆x)2
− 2(1 + 3∆x) + 2] + · · · + [(1 + n∆x)2
− 2(1 + n∆x) + 2]}∆x
= {[1 + (∆x)2
] + [1 + (2∆x)2
] + [1 + (3∆x)2
] + · · · + [1 + (n∆x)2
]}∆x
= n∆x + (12
+ 22
+ 32
+ · · · + n2
)(∆x)3
= n ·
1
n
+
n(n + 1)(2n + 1)
6
·
(
1
n
)3
=
4
3
+
1
2n
+
1
6n2
Portanto, a soma superior de f em [−1, 2] é
S(f, P ∪ Q) =
14
3
+
4
n
+
4
3n2
+
4
3
+
1
2n
+
1
6n2
= 6 +
9
2n
+
3
2n2
.
11](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-21-320.jpg)
![Para determinar a soma inferior de f, basta encontrar as alturas dos retângulos inscritos.
A Figura 1.11 ilustra o gráco da soma inferior de f referente a uma partição composta de
15 pontos. Observe que as alturas dos retângulos inscritos não possuem o mesmo comporta-
mento em todo o intervalo. Isso ocorre porque a função é decrescente no intervalo [−1, 1] e
crescente em [1, 2]. Para obter a expressão para a soma inferior de f usaremos novamente a
Propriedade v, tomando uma partição para o intervalo [−1, 1] e outra para o intervalo [1, 2].
y
x
Figura 1.11: Soma Inferior de f(x) = x2
− 2x + 2 com 15 retângulos
Soma Inferior para o intervalo [−1, 1]
Considere a partição P tomada acima. A altura dos retângulos inscritos, mi, ocorre no
extremo direito de cada subintervalo [xi−1, xi], i.e., mi = f(xi).
Assim, a soma inferior de f em [−1, 1], relativa a partição P, é dada por
S(f, P) = m1∆x + m2∆x + m3∆x + · · · + mn∆x
= f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + · · · + f(xn)∆x
= f(−1 + ∆x)∆x + f(−1 + 2∆x)∆x + f(−1 + 3∆x)∆x + · · · + f(−1 + n∆x)∆x
= ∆x
{ [
(−1 + ∆x)2
− 2(−1 + ∆x) + 2
]
+
[
(−1 + 2∆x)2
− 2(−1 + 2∆x) + 2
]
+
+ · · · +
[
(−1 + n∆x)2
− 2(−1 + n∆x) + 2
] }
= ∆x
{ [
1 − 2∆x + (∆x)2
+ 2 − 2∆x + 2
]
+
[
1 − 4∆x + 22
(∆x)2
+ 2 − 4∆x + 2
]
+
+ · · · +
[
1 − 2n∆x + n2
(∆x)2
+ 2 − 2n∆x + 2
] }
= ∆x
{[
5 − 4∆x + (∆x)2
]
+
[
5 − 8∆x + 22
(∆x)2
]
+ · · · +
[
5 − 4n∆x + n2
(∆x)2
]}
= ∆x
[
5n − 4∆x (1 + 2 + · · · + n) + (∆x)2 (
1 + 22
+ · · · + n2
)]
=
2
n
·
[
5n − 4 ·
2
n
·
(n + 1)n
2
+
(
2
n
)2
·
n(n + 1) (2n + 1)
6
]
=
2
n
·
[
5n − 4(n + 1) +
2
3
·
(
2n2
+ 3n + 1
n
)]
= 2 −
8
n
+
4
3
·
(
2 +
3
n
+
1
n2
)
=
14
3
−
4
n
+
4
3n2
.
12](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-22-320.jpg)
![Soma Inferior para o intervalo [1, 2]
Considere a partição Q tomada acima. A altura dos retângulos inscritos, mi, ocorre no
extremo esquerdo de cada subintervalo [xi−1, xi], i.e., mi = f(xi−1).
Assim, a soma inferior de f em [1, 2], relativa a partição Q, é dada por
S(f, Q) = m1∆x + m2∆x + m3∆x + · · · + mn∆x
= f(x0)∆x + f(x1)∆x + f(x2)∆x + · · · + f(xn−1)∆x
= f(1)∆x + f(1 + ∆x)∆x + f(1 + 2∆x)∆x + · · · + f(1 + (n − 1)∆x)∆x
= ∆x{1 +
[
(1 + ∆x)2
− 2(1 + ∆x) + 2
]
+
[
(1 + 2∆x)2
− 2(1 + 2∆x) + 2
]
+
+ · · · +
[
(1 + (n − 1)∆x)2
− 2(1 + (n − 1)∆x) + 2
]
}
= ∆x{1 + [1 + (∆x)2
] + [1 + (2∆x)2
] + · · · + [1 + ((n − 1)∆x)2
]}
= n∆x + [12
+ 22
+ · · · + (n − 1)2
](∆x)3
= n ·
1
n
+
(n − 1)n(2n − 1)
6
·
(
1
n
)3
=
4
3
−
1
2n
+
1
6n2
.
Portanto, a soma inferior de f em [−1, 2] é
S(f, P ∪ Q) =
14
3
−
4
n
+
4
3n2
+
4
3
−
1
2n
+
1
6n2
= 6 −
9
2n
+
3
2n2
.
Finalmente, utilizando a soma superior de f, obtemos que a área da região desejada é
dada por
A =
∫ 1
−1
(x2
− 2x + 2)dx +
∫ 2
1
(x2
− 2x + 2)dx
= lim
n→+∞
(
14
3
+
4
n
+
4
3n2
)
+ lim
n→+∞
(
4
3
+
1
2n
+
1
6n2
)
=
14
3
+
4
3
= 6.
Note que obteríamos o mesmo resultado utilizando a soma inferior de f.
1.5.8 Teorema do Valor Médio para Integrais
TEOREMA 1.5.9 Se f : [a, b] → R é contínua, existe c ∈ [a, b] tal que
∫ b
a
f (x) dx =
f (c) (b − a).
EXEMPLO 1.5.10 No Exemplo 1.5.4 obtemos que
∫ 4
0
(x2
+ 1)dx =
76
3
. Determine, se existir,
um número que satisfaça o teorema do valor médio para esta integral.
Solução: Como f(x) = x2
+ 1 é uma função contínua no intervalo [0, 4] o Teorema do Valor
Médio para Integrais garante que existe c ∈ (0, 4) de modo que
∫ 4
0
(x2
+ 1)dx = f(c)(4 − 0).
Assim,
c2
+ 1 =
76
4 · 3
⇒ c2
=
16
3
⇒ c = ±
4
√
3
3
.
13](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-23-320.jpg)
![Observe que c = −
4
√
3
3
não está no intervalo que procuramos a solução. Portanto, c =
4
√
3
3
satisfaz a conclusão do Teorema 1.5.9.
O Teorema do Valor Médio para Integrais tem uma interpretação geométrica interessante
se f(x) ≥ 0 em [a, b]. Neste caso
∫ b
a
f(x)dx é a área sob o gráco de f de a até b, e o número
f(c) do Teorema 1.5.9 é a ordenada do ponto P do gráco de f com abscissa c (veja a Figura
1.12) Traçando-se uma reta horizontal por P a área da região retangular limitada por essa
reta, pelo eixo x e pelas reta x = a e x = b é f(c)(b − a) e que, pelo Teorema 1.5.9, é a
mesma que a área sob o gráco de f de a até b.
y
x
c
a b
P(c, f(c))
y=f(x)
Figura 1.12: Interpretação geométrica do Teorema 1.5.9
OBSERVAÇÃO 1.5.11 O número c do Teorema 1.5.9 não é necessariamente único. De fato, se
f for uma função constante então qualquer número c pode ser utilizado.
OBSERVAÇÃO 1.5.12 O número
1
b − a
∫ b
a
f(x)dx é dito valor médio de f em [a, b].
1.6 Teorema Fundamental do Cálculo
Seja f : [a, b] → R uma função contínua integrável. Vamos xar o limite inferior a e variar
o limite superior. Deniremos a função
F (x) =
∫ x
a
f (t) dt ∀x ∈ [a, b].
Caso f (t) seja sempre positiva, então F (x) será numericamente igual a área do trapezóide
curvilíneo da Figura 1.13.
TEOREMA 1.6.1 Seja f : [a, b] → R uma função contínua no intervalo [a, b], então a
função F (x) =
∫ x
a
f (t) dt é uma primitiva da função f, ou seja, F′
(x) = f (x).
14](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-24-320.jpg)
![y
x
f(x)
a x x+ x
F(x)
F(x+ x)
Figura 1.13: Representação geométrica de F(x)
DEMONSTRAÇÃO: Utilizando a denição de derivada, temos que
F′
(x) = lim
∆x→0
F(x + ∆x) − F(x)
∆x
= lim
∆x→0
1
∆x
[∫ x+∆x
a
f (t) dt −
∫ x
a
f (t) dt
]
= lim
∆x→0
1
∆x
[∫ x
a
f (t) dt +
∫ x+∆x
x
f (t) dt −
∫ x
a
f (t) dt
]
= lim
∆x→0
1
∆x
∫ x+∆x
x
f (t) dt,
porém, pelo Teorema 1.5.9, sabemos que existe c ∈ [x, x + ∆x] tal que
∫ x+∆x
x
f (t) dt = f (c) (x + ∆x − x) = f(c)∆x
e portanto
F′
(x) = lim
∆x→0
f (c)
mas, quando ∆x → 0 temos que c → x como f é contínua, obtemos que f (c) → f(x) e
assim ca demonstrado que
F′
(x) = lim
∆x→0
F (x + ∆x) − F (x)
∆x
= f (x) .
Uma consequência desse teorema é o corolário que segue:
COROLÁRIO 1.6.2 Se f : [a, b] → R for contínua no intervalo [a, b], então F : [a, b] → R é
derivável em (a, b) e F′
(x) = f (x) .
A função F : [a, b] → R, denida acima, é denominada primitiva de f : [a, b] → R e pelo
Teorema 1.6.1 toda função contínua num intervalo [a, b] possui primitiva em [a, b].
TEOREMA 1.6.3 Se f : [a, b] → R for contínua em [a, b] , então
∫ b
a
f(x)dx = G(b) − G(a)
onde G é qualquer primitiva de f, isto é, uma função tal que G′
= f.
15](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-25-320.jpg)
![DEMONSTRAÇÃO: Seja F(x) =
∫ x
a
f(t)dt. Pelo Teorema 1.6.1 sabemos que F′
(x) = f(x),
isto é, F é uma primitiva de f. Se G for qualquer outra primitiva de f em [a, b], então elas
diferem por uma constante, isto é,
G(x) = F(x) + c.
Assim,
G(b) − G(a) = [F(b) + c] − [F(a) + c] =
∫ b
a
f(t)dt −
∫ a
a
f(t)dt =
∫ b
a
f(t)dt
Trocando t por x obtemos
∫ b
a
f(x)dx = G(b) − G(a)
como queríamos demonstrar.
A notação usual é
∫ b
a
f(x)dx = G(x)
b
a
.
O teorema fundamental do cálculo permite que sejam determinadas as integrais denidas
das funções contínuas em intervalos fechados sem usar o método visto para encontrar somas
superiores e inferiores.
EXEMPLO 1.6.4 Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo encontre a área sob o gráco
de f : [0, 4] → R denida por f (x) = x2
+ 1.
Solução: Pelo Teorema 1.6.3 a área desejada é dada por
A =
∫ 4
0
(x2
+ 1)dx =
x3
3
+ x
4
0
=
64
3
+ 4 =
76
3
.
Compare este resultado com o resultado obtido no Exemplo 1.5.4.
EXEMPLO 1.6.5 Calcule a área da região situada entre o eixo x e a curva f(x) = 1
8
(x2
−2x+8),
com x no intervalo de [−2, 4].
Solução: Uma representação gráca pode ser visualizada na gura 1.14.
Pelo teorema fundamental do cálculo temos que
A =
∫ 4
−2
1
8
(x2
− 2x + 8)dx =
1
8
(
x3
3
− x2
+ 8x)
4
−2
=
1
8
[
43
3
− 42
+ 8(4) −
(
(−2)3
3
− (−2)2
+ 8(−2)
)]
=
1
8
[
64
3
− 16 + 32 +
8
3
+ 4 + 16
]
=
60
8
=
15
2
u.a.
16](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-26-320.jpg)
![y
x
Figura 1.14: Área sob o gráco de f(x) = 1
8
(x2
− 2x + 8)
1.6.6 Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão)
Para utilizar o teorema fundamental do cálculo, é essencial que se saiba obter a primitiva
(anti-derivada) de uma função. Vamos então relembrar, do cálculo I, alguns processos clás-
sicos de integração que serão muito úteis na resolução de problemas que envolvem integral
denida.
i. Mudança de Variável
TEOREMA 1.6.7 Sejam f : [a, b] → R uma função contínua e g : [α, β] → R uma função
derivável tal que g′
é integrável e g ([α, β]) ⊂ [a, b] e, além disso g (α) = a e g (β) = b. Então
∫ b
a
f (x) dx =
∫ β
α
f (g (t)) g′
(t) dt.
DEMONSTRAÇÃO: Sejam f : [a, b] → R uma função contínua e g : [α, β] → R uma função
derivável com g′
integrável e g ([α, β]) ⊂ [a, b] com g (α) = a e g (β) = b. Então f possui
uma primitiva F : [a, b] → R e, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
∫ b
a
f (x) dx = F (g (β)) − F (g (α)) .
Por outro lado, pela regra da cadeia temos que
(F ◦ g)′
(t) = F′
(g (t)) g′
(t) = f (g (t)) g′
(t)
para todo t ∈ [α, β], consequentemente,
(F ◦ g) (t) : [α, β] → R
é uma primitiva da função integrável f (g (t)) g′
(t). Portanto, obtém-se:
∫ β
α
f (g (t)) g′
(t) dt = F (g (β)) − F (g (α)) =
∫ b
a
f (x) dx.
EXEMPLO 1.6.8 Calcular a integral denida
∫ 5
1
√
x − 1
x
dx, usando o Teorema 1.6.7.
17](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-27-320.jpg)
![Solução: Primeiro vamos encontrar a função g (t). Seja t =
√
x − 1 (note que t ≥ 0), então
podemos escrever x = t2
+ 1 e assim obtemos g (t) = t2
+ 1, cuja derivada é g′
(t) = 2t.
Vamos agora determinar os valores de α e β. Como temos que g (α) = a = 1 e g (β) = b = 5
segue que
α2
+ 1 = 1 ⇒ α2
= 0 ⇒ α = 0
β2
+ 1 = 5 ⇒ β2
= 4 ⇒ β = 2.
Na sequência, determinaremos f (g (t)). Como f (x) =
√
x − 1
x
, obtemos
f (g (t)) =
√
g (t) − 1
g (t)
=
√
t2 + 1 − 1
t2 + 1
=
t
t2 + 1
.
Finalmente, vamos determinar o valor da integral, usando o Teorema 1.6.7, obtemos:
∫ 5
1
√
x − 1
x
dx =
∫ 2
0
t
t2 + 1
2tdt = 2
∫ 2
0
t2
t2 + 1
dt = 2
∫ 2
0
t2
+ 1 − 1
t2 + 1
dt =
= 2
∫ 2
0
t2
+ 1
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
∫ 2
0
dt − 2
∫ 2
0
dt
t2 + 1
=
= 2t
2
0
− 2 arctan t
2
0
= 4 − 2 arctan 2.
ii. Integração por partes
TEOREMA 1.6.9 Sejam f, g : [a, b] → R funções que possuem derivadas integráveis, então
∫ b
a
f(x)g′
(x)dx = f(x)g(x)
b
a
−
∫ b
a
f′
(x)g(x)dx.
Na prática, costumamos chamar
u = f(x) ⇒ du = f′
(x)dx
dv = g′
(x)dx ⇒ v = g(x)
e substituindo na igualdade acima, obtemos:
∫ b
a
udv = uv
b
a
−
∫ b
a
vdu.
EXEMPLO 1.6.10 Determine o valor da integral
∫ π
3
0
sin3
xdx.
Solução: Nesse caso, fazemos:
u = sin2
x ⇒ du = 2 sin x cos xdx
dv = sin xdx ⇒ v =
∫
sin xdx = − cos x
18](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-28-320.jpg)
![e encontramos
∫ π
3
0
sin3
xdx = sin2
x(− cos x)
π
3
0
−
∫ π
3
0
− cos x(2 sin x cos x)dx
= − sin2
x cos x
π
3
0
+ 2
∫ π
3
0
cos2
x sin xdx
= (− sin2
x cos x −
2
3
cos3
x)
π
3
0
= −
3
4
·
1
2
−
1
12
+
2
3
=
5
24
.
1.7 Integrais Impróprias
DEFINIÇÃO 1.7.1 Seja f : [a, ∞) → R uma função contínua para todo x ∈ [a, +∞). De-
nimos ∫ +∞
a
f (x) dx = lim
b→+∞
∫ b
a
f (x) dx,
desde que o limite exista.
EXEMPLO 1.7.2 Encontre o valor numérico da integral
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx.
y
x
Figura 1.15: Área sob o gráco de f(x) = 1
1+x2
Solução: Veja o gráco de f na Figura 1.15. Pela denição 1.7.1 temos que
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx = lim
b→+∞
∫ b
0
1
1 + x2
dx = lim
b→+∞
arctan x
b
0
= lim
b→+∞
(arctan b − arctan 0) = lim
b→+∞
arctan b =
π
2
.
DEFINIÇÃO 1.7.3 Seja f : (−∞, b] → R uma função contínua para todo x ∈ (−∞, b].
Denimos ∫ b
−∞
f (x) dx = lim
a→−∞
∫ b
a
f (x) dx,
desde que o limite exista.
EXEMPLO 1.7.4 Encontre o valor numérico da integral
∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx.
19](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-29-320.jpg)
![Solução: Pela denição 1.7.3 temos que
∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
1
1 + x2
dx = lim
a→−∞
arctan x
0
a
= lim
a→−∞
[arctan 0 − arctan a] = − lim
a→−∞
arctan a = −
(
−
π
2
)
=
π
2
.
DEFINIÇÃO 1.7.5 Seja f : (−∞, ∞) → R uma função contí nua para todo x ∈ (−∞, +∞).
Denimos ∫ +∞
−∞
f (x) dx = lim
a→−∞
∫ c
a
f (x) dx + lim
b→+∞
∫ b
c
f (x) dx,
desde que os limites existam.
EXEMPLO 1.7.6 Encontre o valor numérico da integral
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx.
Solução: Pela denição 1.7.5, tomando c = 0, obtemos
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
1
1 + x2
dx + lim
b→+∞
∫ b
0
1
1 + x2
dx
= lim
a→−∞
arctan x
0
a
+ lim
b→+∞
arctan x
b
0
= lim
a→−∞
(arctan 0 − arctan a) + lim
b→+∞
(arctan b − arctan 0)
= lim
a→−∞
arctan a + lim
b→+∞
arctan b
= −
(
−
π
2
)
+
π
2
= π.
1.8 Integral de uma Função Descontínua num Ponto c
∈ [a, b]
DEFINIÇÃO 1.8.1 Seja f : [a, b] → R uma função contínua no intervalo [a, b], exceto no
ponto c ∈ [a, b]. Denimos
∫ b
a
f (x) dx = lim
α→c−
∫ α
a
f (x) dx + lim
β→c−
∫ b
β
f (x) dx,
desde que os limites acima existam.
EXEMPLO 1.8.2 Encontre o valor numérico da integral
∫ 1
−1
1
x2
dx.
20](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-30-320.jpg)
![y
x
Figura 1.16: Área sob o gráco de f(x) = 1
x2
Solução: O integrando é contínuo em todo ponto pertencente ao intervalo [−1, 1] , exceto
em x = 0 (observe a Figura 1.16). Pela denição 1.8.1, temos que
∫ 1
−1
1
x2
dx = lim
α→0−
∫ α
−1
1
x2
dx + lim
β→0+
∫ 1
β
1
x2
dx
= lim
α→0−
−1
x
α
−1
+ lim
β→0+
|frac−1x
1
β
= lim
α→0−
[
−1
α
−
(
−1
−1
)]
+ lim
β→0+
[
−1 −
(
−1
β
)]
= [+∞ − 1] + [−1 + ∞] = +∞
Consequentemente, a função f(x) =
1
x2
não é integrável no intervalo [−1, 1].
OBSERVAÇÃO 1.8.3 Quando os limites que aparecem nas denições anteriores existirem e
forem nitos, dizemos que a integral imprópria converge. Caso contrário, ou seja, quando
um dos limites não existir, dizemos que a integral imprópria diverge.
1.9 Aplicações da Integral Denida
1.9.1 Área em coordenadas retangulares
Vimos que, se uma função f for não negativa, isto é, f (x) ≥ 0 para todo x no intervalo
[a, b], então a área da região delimitada pelas curvas x = a, x = b, y = 0 e y = f (x) é dada
por
A =
∫ b
a
f (x) dx.
No caso mais geral, estaremos interessados em calcular a área da região situada entre os
grácos de duas funções f e g, com f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], de acordo com a Figura
1.17.
Nesta situação, devemos utilizar uma diferença de áreas e obter que
A =
∫ b
a
f(x)dx −
∫ b
a
g(x)dx =
∫ b
a
(f(x) − g(x)) dx.
21](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-31-320.jpg)
![y
x
b
a
y=f(x)
y=g(x)
Figura 1.17: Região entre duas curvas
Na expressão acima, o termo f(x) − g(x) corresponde à altura de um retângulo innite-
simal de base dx.
Note que, se uma função g for negativa, isto é, se g(x) 0 para todo x ∈ [a, b], a área
da região situada entre as curvas x = a, x = b, y = 0 e y = g (x) será dada por
A =
∫ b
a
(0 − g(x)) dx = −
∫ b
a
g(x)dx.
EXEMPLO 1.9.2 Calcule a área da região situada entre o eixo x e o gráco da função f (x) =
2x, com x no intervalo [−2, 2] .
Solução: A representação gráca de f pode ser observada na Figura 1.18. Como esta função
tem imagem negativa no intervalo [−2, 0] e não negativa no intervalo [0, 2], devemos proceder
como segue
x
y
Figura 1.18: Área entre o eixo x e o gráco de f(x) = 2x
A =
∫ 0
−2
(0 − 2x)dx +
∫ 2
0
(2x − 0)dx =
∫ 0
−2
−2xdx +
∫ 2
0
2xdx = −x2
0
−2
+ x2
2
0
= 8 u.a.
Logo, a área sob o gráco da função f (x) = 2x, no intervalo [−2, 2] , é igual a 8 unidades de
área.
22](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-32-320.jpg)
![EXEMPLO 1.9.3 Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = x2
e y =
√
x.
Solução: Nesse exemplo não foi especicado o intervalo em que está situada a região deli-
mitada pelas curvas. Devemos determinar este intervalo encontrando os pontos de interseção
das curvas.
Para isso, basta resolver o sistema de equações
{
y = x2
y =
√
x
. É fácil ver que a solução
vem da igualdade x2
=
√
x e os valores de x que tornam essa sentença verdadeira são x = 0
e x = 1. Desse modo, a região delimitada pelas curvas y = x2
e y =
√
x ca determinada se
x ∈ [0, 1].
y
x
Figura 1.19: Região delimitada por y = x2
e y =
√
x.
De acordo com a Figura 1.19, podemos observar que a área desejada pode ser obtida
através da diferença entre as áreas das regiões situadas sob o gráco de y =
√
x e sob o
gáco de y = x2
, com x ∈ [0, 1] .
Assim, temos que
A =
∫ 1
0
(√
x − x2
)
dx =
2
3
x
3
2 −
1
3
x3
1
0
=
2
3
−
1
3
=
1
3
u.a.
Portanto, a área desejada é igual a
1
3
unidades de área.
EXEMPLO 1.9.4 Calcule a área da região hachurada na Figura 1.20.
x
y
Figura 1.20: Área sob o gráco de f(x) = 1
8
(x2
− 2x + 8)
Solução: Primeiro vamos identicar a lei que dene as funções lineares presentes no gráco.
Uma reta passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e a outra passa pelos pontos (0, 0) e (2, 1
2
). Portanto
23](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-33-320.jpg)
![as equações destas retas são y = x e y = x
4
, respectivamente. Existem várias maneiras de
calcular esta área, uma delas está apresentada a seguir:
A =
∫ 1
0
(
x −
1
4
x
)
dx +
∫ 2
1
(
1
x
−
1
4
x
)
dx
=
3
4
∫ 1
0
xdx +
∫ 2
1
1
x
dx −
1
4
∫ 2
1
xdx
=
3
8
x2
1
0
+
(
ln |x| −
1
8
x2
) 2
1
=
3
8
+ ln(2) −
1
2
−
(
ln(1) −
1
8
)
=
4
8
−
1
2
+ ln(2) = ln(2) u.a.
Portanto, a área desejada é igual a ln(2) unidades de área.
EXEMPLO 1.9.5 Achar a área da região delimitada pelos grácos de y + x2
= 6 e y + 2x = 3.
Solução: Inicialmente, encontramos as interseções das curvas:
{
y = 6 − x2
y = 3 − 2x
⇒ 6 − x2
= 3 − 2x ⇒ x2
− 2x − 3 = 0 ⇒ x = −1 ou x = 3.
A seguir, fazemos a representação gráca da área delimitada, conforme ilustra a Figura
1.21.
y
x
Figura 1.21: Área delimitada por y + x2
= 6 e y + 2x = 3.
Podemos então obter a área desejada calculando a área sob a parábola e descontando a
área sob a reta, no intervalo de [−1, 3], ou seja,
A =
∫ 3
−1
[(6 − x2
) − (3 − 2x)]dx
=
∫ 3
−1
(3 − x2
+ 2x)dx
= 3x −
x3
3
+ x2
3
−1
= 9 −
27
3
+ 9 − (−3 +
1
3
+ 1) =
32
3
u.a.
24](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-34-320.jpg)
![caso também é um limitante superior. Como ocorre troca na limitação superior em y = 1,
necessitamos também de duas integrais.
A =
∫ 1
0
(y2
+ 2) − (2 − y)dy +
∫ 3
1
(5 − 2y) − (2 − y)dy
=
∫ 1
0
(y2
+ y)dy +
∫ 3
1
(3 − y) dy.
Neste exemplo, as duas expressões obtidas envolvem soma de integrais. Mesmo assim,
é fácil notar que a expressão na qual y é a variável independente é a mais simples de ser
resolvida. Assim, se o enunciado solicitasse que fosse calculado o valor numérico da área em
questão, deveríamos optar por resolver esta expressão.
1.9.9 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétri-
cas
Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a, b], cujo gráco delimita uma região R.
A seguir, vamos obter uma nova expressão para a área da região R, utilizando as equações
paramétricas x = ϕ (t) e y = ψ (t), com t ∈ [α, β] , da curva descrita por f. Para isto, basta
lembrar que a área de uma região retangular é dada por
A =
∫ b
a
f (x) dx =
∫ b
a
ydx.
Agora, fazendo a substituição y = ψ (t) e dx = ϕ′
(t)dt e supondo que a = ϕ(α) e
b = ϕ(β) obtemos a expressão para o cálculo de área em coordenadas paramétricas:
A =
∫ β
α
ψ(t)ϕ′
(t)dt.
EXEMPLO 1.9.10 Encontre a área delimitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Solução: As equações paramétricas da elipse dada são
x = ϕ (t) = a cos t e y = ψ (t) = b sin t.
Desse modo, temos que
dx = ϕ′
(t) dt = −a sin tdt
Vamos agora determinar os valores de α e β. Utilizando a quarta parte da área desejada,
temos que x varia de 0 até a. Assim, podemos fazer x = ϕ (α) = 0 e x = ϕ (β) = a. Logo
ϕ (α) = 0 ⇒ a cos α = 0 ⇒ cos α = 0 ⇒ α =
π
2
ϕ (β) = a ⇒ a cos β = a ⇒ cos β = 1 ⇒ β = 0.
Agora, para obter a área total interna à elipse basta utilizar a simetria da região e obter
que
A = 4
∫ 0
π
2
b sin t(−a sin t)dt = −4ab
∫ 0
π
2
sin2
tdt
= 4ab
∫ π
2
0
1
2
(1 − cos 2t) dt = 2ab
(
t −
1
2
sin 2t
) π
2
0
= 2ab
(
π
2
−
1
2
sin π − 0
)
= abπ.
28](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-38-320.jpg)
![EXEMPLO 1.9.11 Calcular a área da região que é interior a elipse E1 =
{
x = 2 cos t
y = 4 sin t
e
exterior a elipse E2 =
{
x = 2 cos t
y = sin t
.
Figura 1.25: Região entre as elipses.
Solução: A região cuja área desajamos calcular pode ser vista na Figura 1.25. Novamente,
podemos utilizar argumentos de simetria e calcular a área da região situada no primeiro
quadrante do plano xy e multiplicar o resultado por quatro. Neste quadrante, temos que
x ∈ [0, 2]. No entanto
x = 0 ⇒ 2 cos t = 0 ⇒ t = π
2
x = 2 ⇒ 2 cos t = 2 ⇒ cos t = 1 ⇒ t = 0,
logo, para descrever a região que nos interessa, em coordenas paramétricas, devemos integrar
de t = π
2
até t = 0. Assim, notando que neste exemplo devemos tomar a diferença entre as
áreas sob as elipses E1 e E2, obtemos
A = 4
∫ 0
π
2
[4 sin t(−2 sin t)dt − 4
∫ 0
π
2
sin t(−2 sin t)]dt
=
∫ 0
π
2
(−32 sin2
t + 8 sin2
t)dt =
∫ 0
π
2
−24 sin2
tdt
= 24
∫ π
2
0
1
2
(1 − cos 2t)dt =
(
12t −
12
2
sin 2t
) π
2
0
= 6π u.a.
1.9.12 Área de um setor cuvilíneo em coordenadas polares
Seja r = f (θ) uma função contínua que descreve uma curva em coordenadas polares, no
intervalo [α, β]. Como nosso interesse é determinar a área da região delimitada por r = f (θ)
vamos tomar uma partição do intervalo [α, β], conforme ilustra a Figura 1.26.
Seja X = {θ0, θ1, θ2, θ3, ..., θn} uma partição de [α, β] em que
α = θ0 θ1 θ2 θ3 ... θn = β.
Sejam ∆θ1, ∆θ2, ∆θ3,..., ∆θn os subarcos da partição X e seja ri o comprimento do raio
correspondente a um ângulo ξi ∈ ∆θi, isto é, θi−1 ≤ ξi ≤ θi.
A área do setor circular de raio ri e arco ∆θi é dada por
Ai =
1
2
(ri)2
∆θi
e a área aproximada área da região delimitada por r = f (θ) é dada por
29](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-39-320.jpg)
![Figura 1.26: Região Polar, com ∆θi = θi − θi−1 e ri = f(θi).
An =
n
∑
i=1
1
2
(ri)2
∆θi.
Seja |∆θ| o subintervalo de maior diâmetro da partição X. Então, se n tender a innito
teremos que |∆θ| tenderá a zero. Desse modo poderemos escrever
A = lim
n→∞
An = lim
|∆θ|→0
n
∑
i=1
1
2
(ri)2
∆θi =
1
2
∫ β
α
r2
dθ
ou seja,
A =
1
2
∫ β
α
r2
dθ, (1.9.1)
que nos fornece uma expressão para o cálculo de áreas delimitadas por curvas em coordenadas
polares.
EXEMPLO 1.9.13 Determine a área da região que é simultaneamente exterior à cardióide r =
1 − cos θ e interior ao círculo r = 1.
Solução: A Figura 1.27 ilustra a região considerada.
Figura 1.27: Região delimitada por um cardióide e por uma circunferência.
Como esta região é simétrica em relação ao eixo x, podemos calcular o dobro da área
da porção situada no primeiro quadrante do plano xy. Neste quadrante, temos que o ângulo
polar θ varia no intervalo [0, π
2
]. Ainda, devemos notar que a área desejada é dada, em
30](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-40-320.jpg)
![coordenadas polares, pela diferença entres as áreas da circunferência e da cardióide. Assim,
usando a expressão 1.9.1, obtemos
A =
2
2
∫ π
2
0
12
dθ −
2
2
∫ π
2
0
(1 − cos θ)2
dθ =
∫ π
2
0
(2 cos θ − cos2
θ)dθ
=
∫ π
2
0
2 cos θ −
1
2
(1 + cos 2θ)dθ = 2 sin θ −
1
2
θ −
1
4
sin 2θ
π
2
0
= 2 −
π
4
.
Portanto, a área desejada é igual 2 −
π
4
unidades de área.
EXEMPLO 1.9.14 Escreva, em coordenadas polares, a integral que calcula a área da região
simultaneamente exterior à circunferência r = 1 e interior a rosácea r = 2 cos(2θ).
Solução: A Figura 1.28 ilustra a região desejada. Para determinar os pontos de interseção
das duas curvas fazemos
2 cos(2θ) = 1 ⇒ cos 2θ =
1
2
⇒ 2θ =
π
3
⇒ θ =
π
6
( no 1o
quadrante).
Figura 1.28: Região delimitada por uma rosácea e uma circunferência
Vamos calcular a área da região delimitada com θ no intervalo de [0, π
6
] e multiplicar por
8, já que as demais áreas são simétricas. Utilizando a Fórmula 1.9.1 e vericando que a área
desejada é igual a área da rosácea menos a área da circunferência, obtemos
A = 8 ·
1
2
∫ π
6
0
[(2 cos(2θ))2
− (1)2
]dθ = 4
∫ π
6
0
(4 cos2
(2θ) − 1)dθ.
EXEMPLO 1.9.15 Escreva a integral que permite calcular a área da região que é simultanea-
mente interior as curvas r = 5 cos θ e r = 5
√
3 sin θ.
Solução: Inicialmente, devemos identicar as curvas dadas. Utilizando as relações polares
x = r cos θ, y = r sin θ e r2
= x2
+ y2
, obtemos que
r = 5 cos θ ⇒ r2
= 5r cos θ ⇒ x2
+ y2
= 5x ⇒
(
x −
5
2
)2
+ y2
=
25
4
r = 5
√
3 sin θ ⇒ r2
= 5
√
3r sin θ ⇒ x2
+ y2
= 5
√
3y ⇒ x2
+ (y −
5
√
3
2
)2
=
75
4
31](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-41-320.jpg)
![Figura 1.29: Região situada entre circunferências
e assim, vemos que a região que nos interessa está situada no interior de duas circunferências,
de centros deslocados da origem, conforme ilustra a Figura 1.29.
A seguir, devemos determinar a interseção entre as curvas
5
√
3 sin θ = 5 cos θ ⇒
√
3 tan θ = 1 ⇒ tan θ =
√
3
3
⇒ θ =
π
6
.
Finalmente, observamos que ao descrever a região desejada, devemos considerar r =
5
√
3 sin θ para θ ∈ [0,
π
6
] e r = 5 cos θ para θ ∈ [
π
6
,
π
2
]. Portanto, como ocorre troca de
limitação para o raio polar, necessitamos de uma soma de integrais para calcular a área
desejada
A =
1
2
∫ π
6
0
(5
√
3 sin θ)2
dθ +
1
2
∫ π
2
π
6
(5 cos θ)2
dθ
=
1
2
∫ π
6
0
75 sin2
θdθ +
1
2
∫ π
2
π
6
25 cos2
θdθ.
1.10 Comprimento de Arco
1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas
Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a, b] , cujo gráco descreve o arco d
AB,
conforme ilustra a Figura 1.30.
a b
xi
Mn
xi-1
x1
Δs
M0
Δx
f(xi)
Δy
y
x
f(xi-1)
M1
Mi-1
Mi
Figura 1.30: Comprimento de arco
32](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-42-320.jpg)
![Vamos dividir o arco d
AB em subarcos por meio da partição
X = {M0, M1, M2, ..., Mn}
em que
A = M0 M1 M2 ... Mn = B
cujas abscissas são
x0, x1, x2, ..., xn.
Tracemos as cordas
M0M1, M1M2, · · · , Mi−1Mi, · · · , Mn−1Mn
e designemos os seus comprimentos por
∆S1, ∆S2, · · · , ∆Si, · · · , ∆Sn.
Obtém-se então a linha poligonal
AM0M1 · · · Mn−1B
ao longo do arco d
AB cujo comprimento aproximado é dado por
ln = ∆S1 + ∆S2 + · · · + ∆Si + · · · + ∆Sn
ou seja,
ln =
n
∑
i=1
∆Si. (I)
Mas ∆Si é a hipotenusa do triângulo de lados ∆xi e ∆yi, de modo que podemos escrever
(∆Si)2
= (∆xi)2
+ (∆yi)2
,
dividindo tudo por ∆xi obtemos
(
∆Si
∆xi
)2
=
(
∆xi
∆xi
)2
+
(
∆yi
∆xi
)2
ou seja,
∆Si
∆xi
=
√
1 +
(
∆yi
∆xi
)2
e assim
∆Si =
√
1 +
(
∆yi
∆xi
)2
∆xi. (II)
Agora, como
∆xi = xi − xi−1 e ∆yi = f (xi) − f (xi−1)
segue que
∆yi
∆xi
=
f (xi) − f (xi−1)
xi − xi−1
e pelo teorema de Lagrange, sabemos que existe ξi ∈ [xi−1, xi] tal que
f (xi) − f (xi−1)
xi − xi−1
= f′
(ξi) .
Portanto, obtemos que
33](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-43-320.jpg)
![∆yi
∆xi
= f′
(ξi) . (III)
Substituindo (II) em (I) resulta que
ln =
n
∑
i=1
√
1 +
(
∆yi
∆xi
)2
∆xi (IV )
e substituindo (III) em (IV ) resulta que
ln =
n
∑
i=1
√
1 + (f′ (ξi))2
∆xi.
Seja |∆x| o intervalo de maior diâmetro de cada partição de d
AB. Então, se n → ∞, segue
que |∆x| → 0 e (ξi) → x. Assim:
l = lim
n→∞
ln = lim
|∆x|→0
n
∑
i=1
√
1 + (f′ (ξi))2
∆xi =
∫ b
a
√
1 + (f′ (x))2
dx.
Portanto, o comprimento do arco d
AB no intervalo [a, b] é dado por
l =
∫ b
a
√
1 + (f′
(x))2
dx. (1.10.1)
EXEMPLO 1.10.2 Determinar o comprimento do arco da curva descrita por y =
√
x, com x
no intervalo [0, 4] .
Solução: A Figura 1.31 ilustra o comprimento de arco considerado.
y
x
Figura 1.31: Arco de f(x) =
√
x
Como y = f (x) =
√
x temos que f′
(x) = 1
2
√
x
. Aplicando a fórmula 1.10.1, obtemos
l =
∫ b
a
√
1 + (f′
(x))2
dx =
∫ 4
0
√
1 +
(
1
2
√
x
)2
dx
=
∫ 4
0
√
1 +
1
4x
dx =
∫ 4
0
√
4x + 1
4x
dx =
1
2
∫ 4
0
√
4x + 1
√
x
dx.
Note que esta última integral é imprópria, pois o integrando não é contínuo em x = 0. No
entanto, neste exemplo não será preciso aplicar limites para resolver a integral, pois podemos
utilizar uma mudança de variáveis. Fazendo a substituição t2
= x, encontramos dx = 2tdt e
como x ∈ [0, 4], obtemos que t ∈ [0, 2] . Logo
l =
1
2
∫ 2
0
√
4t2 + 1
√
t2
2tdt =
∫ 2
0
√
4t2 + 1dt.
34](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-44-320.jpg)
![Como o novo integrando agora é contínuo no intervalo de integração, podemos utilizar o
teorema fundamental do cálculo e uma tabela de integrais para encontrar que
l =
1
2
t
√
4t2 + 1 +
1
4
ln
(
2t +
√
4t2 + 1
) 2
0
=
√
17 +
1
4
ln(4 +
√
17) u.c.
1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas
Sejam x = ϕ (t) e y = ψ (t) , com t ∈ [α, β] , as equações paramétricas da curva descrita
por y = f (x) . Então, como dx = ϕ′
(t) dt e dy = ψ′
(t) dt, podemos escrever
f′
(x) =
dy
dx
=
ψ′
(t) dt
ϕ′ (t) dt
=
ψ′
(t)
ϕ′ (t)
.
Substituindo na fórmula 1.10.1 obtemos
l =
∫ b
a
√
1 + (f′ (x))2
dx
=
∫ β
α
√
1 +
(ψ′ (t))2
(ϕ′ (t))2 ϕ′
(t) dt
=
∫ β
α
√
(ϕ′ (t))2
+ (ψ′ (t))2
ϕ′ (t)2 ϕ′
(t) dt
=
∫ β
α
√
(ϕ′ (t))2
+ (ψ′ (t))2
ϕ′ (t)
ϕ′
(t) dt
=
∫ β
α
√
(ϕ′ (t))2
+ (ψ′ (t))2
dt.
Portanto, o comprimento de arco em coordenadas paramétricas é dado por
l =
∫ β
α
√
(ϕ′ (t))2
+ (ψ′ (t))2
dt. (1.10.2)
EXEMPLO 1.10.4 Mostre, usando coordenadas paramétricas, que o comprimento de uma cir-
cunferência de raio r é igual a 2πr.
Solução: Em coordenadas paramétricas, a circunferência é descrita por
{
x(t) = r cos t
y(t) = r sin t
com t ∈ [0, 2π].
O seu comprimento de arco, em paramétricas, de acordo com 1.10.2 é dado por
l =
∫ 2π
0
√
(−r sin t)2 + (r cos t)2dt =
∫ 2π
0
√
r2(sin2
t + cos2 t)dt =
∫ 2π
0
rdt = rt|2π
0 = 2πr.
EXEMPLO 1.10.5 Calcule o comprimento de arco da astróide descrita por
ϕ (t) = 3 cos3
t, ψ(t) = 3 sin3
t com t ∈ [0, 2π].
35](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-45-320.jpg)
![y
x
3
3
-3
-3
Figura 1.32: Astróide
Solução: A curva pode ser visualizada na Figura 1.32.
Como há simetria, podemos encontrar o comprimento do subarco situado no primeiro
quadrante, tomando t ∈ [0, π
2
] e multiplicar o resultado obtido por quatro.
Como ϕ′
(t) = −9 cos2
sin t e ψ′
(t) = 9 sin2
t cos t, substituindo na fórmula 1.10.2, obtemos
l = 4
∫ π
2
0
√
(−9 cos2 t sin t)2
+
(
9 sin2
t cos t
)2
dt = 4 · 9
∫ π
2
0
√
cos4 t sin2
t + sin4
t cos2 tdt
= 36
∫ π
2
0
√
cos2 t sin2
t
(
cos2 t + sin2
t
)
dt = 36
∫ π
2
0
cos t sin tdt = 18 sin2
t
π
2
0
= 18 u.c.
Portanto, o comprimento de arco da astróide dada é 18 unidades de comprimento.
EXEMPLO 1.10.6 As equações paramétricas do movimento de uma partícula no plano são
dadas por x = 3t e y = 2t
3
2 . Qual será a distância percorrida pela partícula entre os instantes
t = 0 e t = 1?
Solução: A distância percorrida pela partícula é igual ao comprimento de arco da curva
que descreve a sua trajetória. Aplicando a fórmula 1.10.2 para
x = ϕ(t) = 3t e y = ψ(t) = 2t
3
2
com t ∈ [0, 1], obtemos
l =
∫ 1
0
√
32 + (3t
1
2 )2dt =
∫ 1
0
√
9 + 9tdt
= 3
∫ 1
0
√
1 + tdt = 2(1 + t)
3
2
1
0
= 2(2)
3
2 − 2(1)
3
2 = 4
√
2 − 2 u.c.
Portanto, a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = 1 é igual a
4
√
2 − 2 unidades de comprimento.
1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares
Sejam ϕ (θ) = r cos θ e ψ (θ) = r sin θ as coordenadas polares da curva r = f (θ), com θ ∈
[α, β]. Substituindo r por f (θ) nas equações paramétricas vem
ϕ (θ) = f (θ) cos θ e ψ (θ) = f (θ) sin θ
36](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-46-320.jpg)
![e assim
ϕ′
(θ) = f′
(θ) cos θ − f (θ) sin θ = r′
cos θ − r sin θ
ψ′
(θ) = f′
(θ) senθ + f (θ) cos θ = r′
senθ + r cos θ.
Agora
(ϕ′
(t))
2
+ (ψ′
(t))
2
= (r′
cos θ − rsenθ)
2
+ (r′
senθ + r cos θ)
2
que após aplicar os produtos notáveis e simplicar, resulta em
(ϕ′
(t))
2
+ (ψ′
(t))
2
= (r′
)
2
+ r2
.
Substituindo na equação 1.10.2, obtemos a fórmula para o cálculo do comprimento de
arco em coordenadas polares, que é dada por
l =
∫ β
α
√
(r′)2
+ r2dθ. (1.10.3)
EXEMPLO 1.10.8 Encontrar o comprimento de arco do cardióide r = a (1 + cos θ).
Solução: Por simetria, podemos determinar o comprimento do arco situado no primeiro
e segundo quadrante e multiplicar por dois. Como r = a (1 + cos θ) tem-se r′
= −a sin θ.
Substituindo na fórmula 1.10.3 vem
l =
∫ β
α
√
(r′)2
+ r2dθ
= 2
∫ π
0
√
(−a sin θ)2
+ (a (1 + cos θ))2
dθ
= 2a
∫ π
0
√
sin2
θ + 1 + 2 cos θ + cos2 θdθ
= 2a
∫ π
0
√
2 + 2 cos θdθ
= 2a · 2
∫ π
0
cos
θ
2
dθ
= 4a · 2 sin
1
2
θ
π
0
= 8a u.c.
Logo, o comprimento de arco do cardióide r = a (1 + cos θ) é igual a 8a u.c.
EXEMPLO 1.10.9 Determine o comprimento de arco da porção da espiral r = 2e2θ
(com θ ≥ 0)
que está situada dentro da circunferência r = a, onde a 2.
Solução: Inicialmente, vamos obter os limitantes de integração. Na interseção da espiral
com a circunferência, temos que
2e2θ
= a ⇒ e2θ
=
a
2
⇒ 2θ = ln
a
2
⇒ θ =
1
2
ln
a
2
Portanto, a porção da espiral que nos interessa é descrita por θ ∈
[
0, 1
2
ln a
2
]
. Ainda,
como temos r = 2e2θ
segue que r′
= 4e2θ
e assim, substituindo na expressão 1.10.3 obtemos
o comprimento em coordenada polares
l =
∫ 1
2
ln a
2
0
√
(4e2θ)2 + (2e2θ)2dθ =
∫ 1
2
ln a
2
0
√
20e4θdθ
=
∫ 1
2
ln a
2
0
2
√
5e2θ
dθ =
√
5e2θ
1
2
ln a
2
0
=
√
5
(a
2
− 1
)
u.c.
37](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-47-320.jpg)
![1.11 Volume de um Sólido de Revolução
Considere o sólido T gerado pela rotação da curva y = f(x) em torno do eixo x, no
intervalo [a, b] como na Figura 1.33
x
y
z
a b
y=f(x)
r=f(x)
dx
Cálculo do elemento de volume
dV= r dx
dV= f(x) dx
π ²
π ²
[ ]
x
y
a b
y=f(x)
Área plana
Figura 1.33: Rotação de uma curva em torno do eixo x
Seja P = {x0, x1, · · · , xn} uma partição do intervalo [a, b] e sejam ∆x1, ∆x2, · · · , ∆xn
os subintervalos da partição. Se ξi ∈ ∆xi, então o volume do cilindro de raio f (ξi) e altura
∆xi é dado por
Vi = π [f (ξi)]2
∆xi
e o volume aproximado do sólido será dado pela soma dos volumes dos n − cilindros, isto é,
Vn =
n
∑
i=1
π [f (ξi)]2
∆xi.
Seja |∆θ| o subintervalo de maior diâmetro, então se n → ∞, segue que |∆θ| → 0, ξi → x
e o volume V do sólido T será dado por
V = lim
n→∞
Vn = lim
|∆θ|→0
n
∑
i=1
π [f (ξi)]2
∆xi = π
∫ b
a
[f (x)]2
dx.
Portanto, o volume de um sólido de revolução (em torno do eixo x) é calculado pela
expressão
V = π
∫ b
a
[f (x)]2
dx. (1.11.1)
EXEMPLO 1.11.1 A m de que não haja desperdício de ração e para que seus animais estejam
bem nutridos, um fazendeiro construiu um recipiente com uma pequena abertura na parte
inferior, que permite a reposição automática da alimentação, conforme mostra a Figura 1.34.
Determine, usando sólidos de revolução, a capacidade total de armazenagem do recipiente,
em metros cúbicos.
Solução: Vamos encontrar o volume do cilindro (V1) e do cone (V2.) Assim, o volume total
será dado por V = V1 + V2.
Para determinar V1 vamos rotacionar a reta y = 2 em torno do eixo x (Figura 1.35).
38](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-48-320.jpg)
![2m
4m
6m
cilindro
cone
Figura 1.34: Forma do recipiente.
x
y
-2
y
z
x
Figura 1.35: Cilindro de Revolução
Aplicando a expressão 1.11.1, obtemos
V1 = π
∫ 4
0
22
dx = 4π · 4 = 16π.
Já para o cone, como temos um raio r = 2 e altura h = 6, obtemos a reta y = 1
3
x para
rotacionar em torno do eixo x (Figura 1.36).
y
x
y
z
x
Figura 1.36: Cone de Revolução
Aplicando a expressão 1.11.1 mais uma vez, obtemos
V2 = π
∫ 6
0
1
9
x2
dx =
1
27
πx3
6
0
=
63
π
27
= 8π.
Portanto o volume desejado é dado por V = 16π + 8π = 24π u.v.
EXEMPLO 1.11.2 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da curva f(x) = x3
, com x
no intervalo [1,2], em torno do eixo x.
Solução: O sólido desejado pode ser visualizado na Figura 1.37.
E o volume desejado é dado por
V = π
∫ 2
1
(
x3
)2
dx = π
∫ 2
1
x6
dx =
πx7
7
2
1
=
127π
7
u.v.
39](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-49-320.jpg)
![y
1
1 2 3
-1
-1
y
Figura 1.39: circunferência (x − 2)2
+ y2
= 1
(x − 2)2
= 1 − y2
⇒ x = 2 ±
√
1 − y2
Observe que o volume do sólido desejado é formado pelo volume obtido pela rotação da
curva x = 2 +
√
1 − y2 em torno do eixo y, menos o volume obtido pela rotação da curva
x = 2 −
√
1 − y2. Portanto, o volume desejado é igual a
V = V1 − V2,
onde
V1 = π
∫ 1
−1
(2 +
√
1 − y2)2
dy
e
V2 =
∫ 1
−1
(2 −
√
1 − y2)2
dy
ou seja,
V =
∫ 1
−1
(2 +
√
1 − y2)2
− (2 −
√
1 − y2)2
dy =
∫ 1
−1
8
√
1 − y2dy.
Para resolver esta integral, utilizamos a substituição trigonométrica y = sin θ, com dy =
cos θdθ e assim, obtemos que
V =
∫ π
2
− π
2
8
√
1 − sin2
θ cos θdθ
= 8
∫ π
2
− π
2
cos2
θdθ = 4
∫ π
2
− π
2
(1 + cos 2θ)dθ
= 4θ + 2 sin (2θ)
π
2
− π
2
= 4π.
Portanto, o volume desejado é igual a 4π unidades de volume.
1.11.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coorde-
nado
Até agora consideremos somente sólidos gerados por rotações de curvas em torno de um
dos eixos coordenados, onde y = f(x) ou x = g(y) eram os raios dos cilindros de revolução
(elementos de volume).
No caso mais geral, podemos rotacionar a curva y = f(x), com x ∈ [a, b], em torno da
reta y = c, de acordo com a Figura a 1.40.
41](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-51-320.jpg)
![y
r
y=c
y=f(x)
x
b
a
y
r
y=c
y=f(x)
x
z
b
a
Figura 1.40: Sólido obtido pela rotação y = f(x) em torno da reta y = c
Neste caso, o raio do cilindro innitesimal é igual à distância entre a curva e o eixo de
revolução, ou seja, é dado por
r = c − f(x)
e o volume do sólido resultante é dado por
V = π
∫ b
a
(c − f(x))2
dx.
De forma semelhante, se a curva x = g(y), com y ∈ [a, b], for rotacionada em torno da
reta x = c, o volume do sólido resultante é dado por
V = π
∫ b
a
(c − g(y))2
dy.
Note que quando c = 0 temos novamente a revolução em torno dos eixos coordenados.
EXEMPLO 1.11.6 Calcule o volume do sólido obtido quando a porção da pará bola y = 2 − x2
que está situada acima do eixo x é rotacionada em torno da reta y = 3.
Solução: Na Figura 1.41 podemos observar a curva geratriz, o eixo de revolução e o sólido
de revolução obtido.
y
x
y
x
z
Figura 1.41: Curva geratriz e sólido de revolução obtido pela rotação de y = 2−x2
em torno
de y = 3.
Como rotacionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das abscissas, devemos efetuar
a integração em relação a x. O intervalo de integração, denido aqui pela parte da parábola
situada acima do eixo x, é descrito por x ∈ [−
√
2,
√
2].
42](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-52-320.jpg)
![1.12 Exercícios Gerais
1. Dadas as funções f, g : [1, 3] → R denidas por f (x) = x + 2 e g (x) = x2
+ x encontre
S (f, P) e S (g, P) .
2. Dada a função f : [−2, 5] → R denida por f (x) = x2
+ 2 encontre S(f, P) .
3. Determine as expressões para a soma superior e para a soma inferior de f(x) =
5 − x2
, considerando x ∈ [1, 2].
4. Utilize somas superiores para calcular a área da região situada entre as curvas y =
x4
+ 2, x = 0, x = 1 e y = 0.
5. Utilize a denição de integral denida para calcular
∫ 3
1
(x2
− 2x)dx.
6. Utilize soma de áreas de retângulos inscritos para calcular
∫ 4
0
(−x2
− 1)dx.
7. Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para determinar a área sob o gráco
de f(x) = x3
+ 1, para x ∈ [0, b], onde b 0 é arbitrário.
8. Calcule, usando somas superiores, a área da região situada entre o gráco de f(x) = ex
e o eixo x, entre as retas x = −1 e x = 2.
9. Utilize somas inferiores para calcular a área da região situada entre a curva x = y2
e
o eixo y, com y ∈ [0, 2].
10. Seja f : [0, 1) → R denida por f (x) =
1
√
1 − x2
. Verique se
∫ 1
0
f (x) dx existe.
11. Considere f : [a, b] → R uma função contínua. Mostre que:
(a) Se f é uma função par, então
∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx.
(b) Se f é uma função ímpar, então
∫ a
−a
f(x)dx = 0.
(c) Interprete geometricamente os itens anteriores.
12. Um metereologista estabelece que a temperatura T (em
o
F), num dia de inverno é dada
por T(t) = 1
20
t(t − 12)(t − 24), onde o tempo t é medido em horas e t = 0 corresponde
à meia-noite. Ache a temperatura média entre as 6 horas da manhã e o meio dia.
Sugestão: utilize o teorema do valor médio para integrais.
13. Encontre uma função f contínua, positiva e tal que a área da região situada sob o seu
gráco e entre as retas x = 0 e x = t seja igual a A(t) = t3
, para todo t 0.
14. Determine uma função f diferenciável, positiva e tal que
∫ x
0
f(t)dt = [f(x)]2
para todo
x ∈ R.
15. Seja f : R → R uma função contínua e dena uma nova função g : R → R por
g(x) =
∫ x3
x2
f(t)dt. Calcule o valor de g′
(1), sabendo que f(1) = 2.
45](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-55-320.jpg)
![31. Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas paramétricas, é dada
por
A = 2
∫ 0
π
3 sin t(−3 sin t)dt − 2
∫ 0
π
3 sin t(−2 sin t)dt.
32. Uma ciclóide é uma curva que pode ser descrita pelo movimento do ponto P(0, 0) de
um círculo de raio a, centrado em (0, a), quando este círculo gira sobre o eixo x. Pode-
se representar esta ciclóide através das equações x = a(t−sin t) e y = a(1−cos t), com
t ∈ [0, 2π]. Determine a área da região delimitada pela ciclóide.
33. Uma curva de equação x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 é chamada astróide. Calcule a área da região
delimitada pela astróide obtida quando a = 5.
34. Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de
curvas:
(a) r = 3 cos θ e r = 1 + cos θ;
(b) r = 1 + cos θ e r = 1;
(c) r = sin θ e r = 1 − cos θ;
(d) r2
= cos(2θ) e r2
= sin(2θ);
(e) r = 2 (1 + sin θ) e r = 2 (1 + cos θ) .
35. Encontrar a área simultaneamente interior ao círculo r = 6 cos θ e exterior a r =
2(1 + cos θ).
36. Calcule a área da região simultaneamente interior à curva r = 4 + 4 cos θ e exterior à
r = 6.
37. Calcule a área da região simultaneamente interior à curva r = 1 + cos θ e exterior à
r = 2 cos θ.
38. Calcule a área da região simultaneamente interior às curvas r = sin(2θ) e r = sin θ.
39. Determine a área da região simultaneamente interior às rosáceas r = sin(2θ) e r =
cos(2θ).
40. Escreva a integral que permite calcular a área sombreada entre as curvas r = sin(2θ)
e r =
√
3 cos(2θ), dada na gura abaixo.
41. Seja R a porção da região simultaneamente interior às curvas r = 2 cos θ e r = 4 sin θ
que está situada no exterior da curva r = 1. Escreva as integrais que permitem calcular:
(a) a área da região R;
(b) o comprimento de arco da fronteira da região R.
48](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-58-320.jpg)
![42. Calcule a área das regiões sombreadas nas guras abaixo:
(a) r = 1 e r = 2 cos(2θ) (b) r = 2e
1
4
θ
(c) r = sin(3θ) e r = cos(3θ)
43. Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por
I = 2
[
1
2
∫ π
6
0
sin2
θdθ +
1
2
∫ π
4
π
6
cos2
(2θ)dθ
]
.
44. Monte a(s) integral(is) que permite(m) calcular a área hachurada na gura abaixo,
delimitada pelas curvas r = 2 + 2 cos θ, r = 4 cos(3θ) e r = 2.
45. Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
(a) x = 1
3
y3
+ 1
4y
, com 2 ≤ y ≤ 5;
(b) x = 3 + t2
e y = 6 + 2t2
, com 1 ≤ t ≤ 5;
(c) x = 5t2
e y = 2t3
, com 0 ≤ t ≤ 1;
(d) x = et
cos t e y = et
sin t, com 0 ≤ t ≤ π
2
;
(e) r = e−θ
, com 0 ≤ θ ≤ 2π;
(f) r = cos2 1
2
θ, com 0 ≤ θ ≤ π;
46. A posição de uma partícula, num instante t, é dada por x(t) = 2 cos t + 2t sin t e
y(t) = 2 sin t − 2t cos t. Calcule a distâ ncia percorrida por esta partícula entre os
instantes t = 0 e t = π
2
.
47. Suponha que as equações x(t) = 4t3
+ 1 e y(t) = 2t
9
2 descrevam a trajetória de uma
partícula em movimento. Calcule a distância que esta partícula percorre ao se deslocar
entre os pontos A(5, 2) e B(33, 32
√
2).
48. Calcule a distância percorrida por uma partícula que se desloca, entre os instantes
t = 0 e t = 4, de acordo com as equações x(t) = 1 + 2 cos(3t
5
2 ) e y(t) = 5 − 2 sin(3t
5
2 ).
49](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-59-320.jpg)
![59. Quando uma determinada região R é rotacionada em torno do eixo y, o volume do
sólido resultante pode ser calculado pela expressão
V = π
∫ 2
1
3
[(
7 − 3y
2
)2
−
(
1
y
)2
]
dy.
Represente geometricamente a região R e, a seguir, calcule o volume do sólido obtido
quando R é rotacionada em torno da reta y = 3.
60. Considere a região R delimitada simultaneamente pelas curvas y = x3
e x = y3
.
(a) Obtenha a(s) integral(is) que permite(m) calcular o perímetro da região R.
(b) Calcule o volume do sólido obtido quando a região R é rotacionada em torno do
eixo y.
(c) Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a
região R é rotacionada em torno da reta y = 1.
61. Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região
delimitada pelas curvas y = x2
− 4 e y = x − 2 é rotacionada em torno:
(a) do eixo x (b) da reta y = 2 (c) da reta x = −3.
62. Considere a região R delimitada pelas curvas y = x3
e y = 2x, que está situada no
primeiro quadrante e abaixo da reta y = 2 − x.
(a) Determine o volume do sólido obtido quando a região R é revolucionada em torno
do eixo x.
(b) Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a
região R é revolucionada em torno da reta x = −1.
63. Mostre, via volume de sólidos de revolução, que o volume de um cone de raio r e altura
h é V =
πr2
h
3
.
64. Mostre, via volume de sólidos de revolução, que o volume de uma esfera de raio a é
V =
4
3
πa3
.
51](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-61-320.jpg)
![35. 4π
36. 18
√
3 − 4π
37.
π
2
38.
1
4
π − 3
16
√
3
39.
π
2
− 1
40. Uma das várias respostas possíveis é:
A =
∫ π
4
0
1
2
(
√
3 cos 2θ)2
dθ +
∫ π
6
0
1
2
(sin 2θ)2
dθ +
∫ π
4
π
6
1
2
(
√
3 cos 2θ)2
dθ
41. (a) A =
1
2
∫ arctan 1
2
arcsin 1
4
(16 sin2
θ − 1)dθ +
1
2
∫ π
3
arctan 1
2
(
4 cos2
θ − 1
)
dθ
(b) l =
∫ arctan 1
2
arcsin 1
4
4dθ +
∫ π
3
arctan 1
2
2dθ +
∫ π
3
arcsin 1
4
dθ
42. (a) 9
√
3
8
− π
4
(b) 4e
9π
4 − 8e
5π
4 + 4e
π
4 (c) π
8
− 1
4
43. .
44. Uma das várias respostas possíveis é:
A =
1
2
∫ π
9
0
[
(2 + 2 cos θ)2
− (4 cos 3θ)2
]
dθ +
1
2
∫ π
2
π
9
[
(2 + 2 cos θ)2
− 4
]
dθ
+
1
2
∫ π
9
0
4dθ +
1
2
∫ π
6
π
9
(4 cos 3θ)2
dθ
45. .
(a) 1563
40
(b) 24
√
5 (c) 68
27
√
34 − 250
27
(d)
√
2e
π
2 (e)
√
2(1 − e−2π
) (f) 2
46.
π2
4
47.
352
27
√
22 − 250
27
48. 192
49. O comprimento desejado é nito e igual a
√
333.
50.
1
3
√
3π + π
2
54](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-64-320.jpg)
![51. Arco composto de dois subarcos de circunferências, conforme gura abaixo:
y
x
52. l = 2
∫ π
6
0
√
9 cos2 θ + 9 sin2
θdθ + 2
∫ π
2
π
6
√
cos2 θ + (1 + sin θ)2dθ
53.
π
3
54.
4πab2
3
55. 2π2
a2
b
56. (a) 3
2
π (b) 92π
15
(c) 64
15
√
2π (d) 162
5
π (e) 1
2
π
57.
7
2
π
58. 32π
59.
410
27
π − 6π ln 6
60. (a) l =
∫ 1
−1
(
√
1 + 9x4 +
√
1 +
1
9
x
−4
3
)
dx (b) V = 32
35
π
(c) V = π
∫ 0
−1
(1 − 3
√
x)2
− (1 − x3
)2
dx + π
∫ 1
0
(1 − x3
)2
− (1 − 3
√
x)2
dx
61. .
(a) V = π
∫ 2
−1
(x4
− 9x2
+ 4x + 12)dx (b) V = π
∫ 2
−1
(20 − 13x2
− x4
+ 8x)dx
(c) V = π
∫ 0
−4
(y + 8 + 4
√
y + 4)dy − π
∫ −3
−4
(y + 8 − 4
√
y + 4)dy − π
∫ 0
−3
(y2
+ 8y + 16)dy
62. (a) 134
189
π (b) V = π
∫ 1
0
(1 + 3
√
y)2
−
(
1 +
y
2
)2
dy + π
∫ 4
3
1
(3 − y)2
−
(
1 +
y
2
)2
dy
63. Dica: Note que um cone tal como desejado pode ser obtido pela rotaç ão em torno do
eixo y da reta y = h
r
x, com x ∈ [−r, r] e y ∈ [0, h].
64. Dica: Note que a esfera pode ser obtida pela rotação da circunferência x2
+y2
= a2
em
torno de qualquer eixo coordenado.
55](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-65-320.jpg)
![2.3.9 Propriedades dos Limites
(i) Se f : R2
→ R é denida por f(x, y) = ax+by+c, então lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) = ax0+by0+c.
(ii) Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) e lim
(x,y)→(x0,y0)
g (x, y) existem e c ∈ R, então:
(a) lim
(x,y)→(x0,y0)
[f (x, y) ± g(x, y)] = lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) ± lim
(x,y)→(x0,y0)
g (x, y) .
(b) lim
(x,y)→(x0,y0)
cf (x, y) = c lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y)
(c) lim
(x,y)→(x0,y0)
[f (x, y) .g(x, y)] = lim
(x,y)→(xo,yo)
f (x, y) · lim
(x,y)→(x0,y0)
g (x, y) .
(d) lim
(x,y)→(x0,y0)
[
f (x, y)
g(x, y)
] =
lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y)
lim
(x,y)→(x0,y0)
g (x, y)
desde que lim
(x,y)→(x0,y0)
g (x, y) ̸= 0.
(e) lim
(x,y)→(x0,y0)
[f (x, y)]n
=
(
lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y)
)n
para todo n ∈ Z∗
+.
PROPOSIÇ ÃO 2.3.10 Se g é uma função de uma variável, contínua num ponto a, e f(x, y)
é uma função tal que lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) = a, então lim
(x,y)→(x0,y0)
(g ◦ f) (x, y) = g(a), ou seja,
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(f (x, y)) = g
(
lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y)
)
.
EXEMPLO 2.3.11 Calcular lim
(x,y)→(1,2)
ln(x2
+ xy − 1).
Solução: Considerando as funções
f(x, y) = x2
+ xy − 1 e g(u) = ln u,
temos que lim
(x,y)→(1,2)
f(x, y) = 2 e que g é contínua em u = 2. Aplicando a proposição acima,
obtemos
lim
(x,y)→(1,2)
(g ◦ f)(x, y) = lim
(x,y)→(1,2)
ln(x2
+ xy − 1)
= ln
(
lim
(x,y)→(1,2)
(x2
+ xy − 1)
)
= ln 2.
PROPOSIÇ ÃO 2.3.12 Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = 0 e g(x, y) é uma função limitada em alguma
bola aberta de centro (x0, y0) então
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).g(x, y) = 0.
EXEMPLO 2.3.13 Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
x2
y
x2 + y2
= 0.
68](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-78-320.jpg)
![Solução: Consideremos f(x, y) = x e g(x, y) =
xy
x2 + y2
.
Sabemos que lim
(x,y)→(0,0)
x = 0, então basta mostrar que g(x, y) é limitada.
Escrevendo g em coordenadas polares, temos que
g(x, y) =
xy
x2 + y2
=
r2
cos θ sin θ
r2
= cos θ sin θ.
Evidentemente, |cos θ sin θ| ≤ 1 e portanto temos que g(x, y) é limitada. Logo, pela
proposição anterior, lim
(x,y)→(0,0)
x2
y
x2 + y2
= 0.
2.4 Continuidade de uma Função de duas Variáveis
DEFINIÇÃO 2.4.1 Seja f : D ⊂ R2
→ R uma função de duas variáveis e (x0, y0) ∈ D.
Dizemos que f é contínua em (x0, y0) se, e somente se, satisfaz as condições:
(i) f (xo, yo) existe
(ii) lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) existe
(iii) lim
(x,y)→(x0,y0)
f (x, y) = f (x0, y0) .
EXEMPLO 2.4.2 Verique se a função f (x, y) =
{ xy
x2 + y2
se (x, y) ̸= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
é contínua
em (0, 0) .
Solução: Devemos vericar se f satisfaz as condições da Denição 2.4.1.
(i) Como f (0, 0) = 0, a primeira condição está satisfeita.
(ii) Vimos no Exemplo 2.3.5 que lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2+y2 não existe. Portanto, a segunda condição
da Denição 2.4.1 não é satisfeita.
Logo, f (x, y) não é contínua em (0, 0) .
EXEMPLO 2.4.3 A função denida por f(x, y) =
x4
− (y − 1)4
x2 + (y − 1)2
se (x, y) ̸= (0, 1)
0 se (x, y) = (0, 1)
é con-
tínua em (0, 1)?
Solução: Devemos vericar se f satisfaz as condições da Denição 2.4.1.
(i) Como f(0, 1) = 0, a primeira condição está satisfeita.
(ii) Vamos vericar se lim
(x,y)→(0,1)
f (x, y) existe e é igual a zero (se for diferente a função não
será contínua no ponto)
lim
(x,y)→(0,1)
x4
− (y − 1)4
x2 + (y − 1)2
= lim
(x,y)→(0,1)
[x2
− (y − 1)2
][x2
+ (y − 1)2
]
x2 + (y − 1)2
= 0.
69](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-79-320.jpg)
![2.7 Derivada de uma Função Composta
Antes de discutir a derivada de uma função composta, vamos falar sobre composição de
funções de duas variáveis.
Consideremos as funções u(x, y) = x2
y + y e v (x, y) = x + y2
. Podemos denir uma nova
função F por F (u, v) = 2u2
+ 3v. Reescrevendo F em função de x e y temos:
F (u(x, y), v (x, y)) = 2 [u(x, y)]2
+ 3 [v (x, y)]
= 2(x2
y + y)2
+ 3(x + y2
)
= 2(x4
y2
+ 2x2
y2
+ y2
) + 3x + 3y2
= 2x4
y2
+ 4x2
y2
+ 2y2
+ 3x + 3y2
= 2x4
y2
+ 4x2
y2
+ 5y2
+ 3x
e assim,
F (u(1, 2), v (1, 2)) = 2 (1)4
(2)2
+ 4 (1)2
(2)2
+ 5 (2)2
+ 3 (1) = 47.
Ou, como
u(x, y) = x2
y + y e v (x, y) = x + y2
segue que
u(1, 2) = (1)2
2 + 2 = 4 e v (1, 2) = 1 + 22
= 5,
e então
F (u(1, 2), v (1, 2)) = F (4, 5) = 2 (4)2
+ 3 (5) = 47.
Nosso interesse é encontrar
∂F
∂x
e
∂F
∂y
. A função
F (x, y) = 2x4
y2
+ 4x2
y2
+ 5y2
+ 3x
pode ser escrita como uma função x e y. Isto é,
F (u(x, y), v (x, y)) = 2x4
y2
+ 4x2
y2
+ 5y2
+ 3x
e, nesse caso, temos
∂F
∂x
(x, y) = 8x3
y2
+ 8xy2
+ 3
e
∂F
∂y
(x, y) = 4x4
y + 8x2
y + 10y.
Como podemos observar, obter as derivadas parciais através desse processo não é muito
animador. Isso é motivação suciente para estudar a Regra da Cadeia. Se tivermos
uma função composta f (g (x)) sabemos que [f (g (x))]′
= f′
(g (x)) g′
(x) . A mesma teoria é
aplicada para encontrar a derivada parcial de uma função composta de várias variáveis.
DEFINIÇÃO 2.7.1 Seja z (x, y) = F (u(x, y), v (x, y)) então
∂z (x, y)
∂x
=
∂F (u, v)
∂u
∂u
∂x
+
∂F (u, v)
∂v
∂v
∂x
e
75](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-85-320.jpg)
![Figura 3.10: Região de Integração do Exemplo 3.4.4
Solução: Dos limitantes de integração, temos que θ ∈ [0, π
2
], o que nos indica que a região
de integração está situada no primeiro quadrante do plano xy. Temos também que r ∈
[ 2
cos θ+2 sin θ
, 2] o que nos diz que o raio polar varia desde a reta x+2y = 2 até a circunferência
x2
+ y2
= 4. Assim, obtemos a região de integração mostrada na Figura 3.10.
Para transformar o integrando, note que
5er2
drdθ =
5er2
r
rdrdθ =
5ex2+y2
√
x2 + y2
dydx.
Portanto,
(a) Tomando x como variável independente temos
I =
∫ 2
0
∫ √
4−x2
2−x
2
5ex2+y2
√
x2 + y2
dydx.
(b) Tomando y como variável independente, é necessário uma soma de integrais, já que
ocorre uma troca de limitação para x, isto é
I =
∫ 1
0
∫ √
4−y2
2−2y
5ex2+y2
√
x2 + y2
dxdy +
∫ 2
1
∫ √
4−y2
0
5ex2+y2
√
x2 + y2
dxdy.
EXEMPLO 3.4.5 Considere a expressão I =
∫ 9
0
∫ 3
√
y
y2
cos(x7
)dxdy.
(a) Inverta a ordem de integração de I, ou seja, reescreva esta expressão tomando x como
variável independente.
(b) Reescreva esta expressão usando coordenadas polares.
(c) Calcule o valor numérico de I, utilizando uma das expressões anteriores.
Solução: Inicialmente, devemos esboçar a região de integração de I. Como y ∈ [0, 9] e
x ∈ [
√
y, 3] obtemos a região representada na Figura 3.11.
(a) Para inverter a ordem de integração, é necessário tomar x como variável independente.
A partir da Figura 3.10 podemos facilmente notar que x ∈ [0, 3] e y ∈ [0, x2
]. Assim
I =
∫ 3
0
∫ x2
0
y2
cos(x7
)dydx.
(b) Para transformar I para coordenadas polares, começamos transformando as curvas que
delimitam a região de integração
y = x2
⇒ r sin θ = r2
cos2
θ ⇒ r =
sin θ
cos2 θ
= tan θ sec θ
114](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-124-320.jpg)
![Figura 3.11: Região de Integração do Exemplo 3.4.5
x = 3 ⇒ r cos θ = 3 ⇒ r =
3
cos θ
= 3 sec θ.
Na interseção destas curvas (x = 3 e y = 9), temos que
tan θ = 3 ⇒ θ = arctan 3.
Como a região de integração está situada no primeiro quadrante do plano xy, temos
que θ ∈ [0, arctan 3]. E como o raio polar varia desde a parábola até a reta, temos que
r ∈ [tan θ sec θ, sec θ]. Lembrando que, em coordenadas polares, temos x = r cos θ, y = r sin θ
e dxdy = rdrdθ, obtemos que
I =
∫ arctan 3
0
∫ 3 sec θ
tan θ sec θ
r3
sin θ cos(r7
cos7
θ)drdθ.
(c) Para calcular o valor numérico de I, devemos optar por sua melhor expressão. Analisando
as três expressões disponíveis, percebemos que a integral do item (a) é a mais simples de ser
resolvida. Portanto, temos que
I =
∫ 3
0
∫ x2
0
y2
cos(x7
)dydx =
∫ 3
0
y3
3
cos(x7
)
x2
0
dx
=
∫ 3
0
x6
3
cos(x7
)dx =
1
21
sin(x7
)
3
0
=
1
21
sin(2187).
115](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-125-320.jpg)
![Limitantes R1 R2
Curva à esquerda x = −3 x = 1
Curva à direita x = 1 x = 4
Curva inferior y = 4 − x y = 4 − x
Curva superior y = 2x + 13 y = 16 − x2
Superfície inferior z = 0 z = 0
Superfície superior z = 10 z = 10
Logo, a massa desejada é dada por
M =
∫ 1
−3
∫ 2x+13
4−x
∫ 10
0
xyz dzdydx +
∫ 4
1
∫ 16−x2
4−x
∫ 10
0
xyz dzdydx.
4.4 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas
Em alguns exemplos uma integral tripla pode ser resolvida de uma forma mais simples
convertendo-a para coordenadas cilíndricas. Vejamos este processo de conversão.
Figura 4.8: Coordenadas Cilíndricas
Sejam θ0 e θ1 dois arcos tais que 0 θ1 − θ0 ≤ 2π e suponhamos que os raios r1 e r2
são funções contínuas de θ tais que 0 ≤ r1 (θ) ≤ r2 (θ) seja válido para todo θ ∈ [θ1, θ2] .
Sejam f (r, θ) e g (r, θ) funções contínuas tais que f (r, θ) ≤ g (r, θ) seja verdadeiro para
todo θ ∈ [θ1, θ2] e todo r1 (θ) ≤ r2 (θ) . Seja S o sólido constituído por todos os pontos cujas
coordenadas cilíndricas satisfaçam as condições θ0 ≤ θ1, r1 (θ) ≤ r2 (θ) e f (r, θ) ≤ g (r, θ) .
Então temos a tabela de limitantes
Tabela de limitantes
Curvas Equações
Arco inferior θ = θ1
Arco superior θ = θ2
Raio interno r = r1 (θ)
Raio externo r = r2 (θ)
Superfície inferior z = f (r, θ)
Superfície superior z = g (r, θ) .
Uma integral tripla, que em coordenadas cartesianas se escreve como
I =
∫ b
a
∫ y2(x)
y1(x)
∫ g(x,y)
f(x,y)
f (x, y, z) dzdydx
127](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-137-320.jpg)
![Limitantes Sólido I Sólido II
Curva a esquerda x = −
√
12 x = −2
Curva a direita x =
√
12 x = 2
Curva a inferior y = −
√
12 − x2 y = −
√
4 − x2
Curva a superior y =
√
12 − x2 y =
√
4 − x2
Superfície inferior z =
√
x2
3
+ y2
3
z =
√
3x2 + 3y2
Superfície superior z =
√
16 − (x2 + y2) z =
√
16 − (x2 + y2)
Também, sabemos que ρ =
√
x2 + y2 + z2 e dxdydz = ρ2
sin ϕdρdϕdθ. Como no inte-
grando temos ρ sin ϕdρdϕdθ devemos fazer a equivalência
ρ sin ϕdρdϕdθ =
ρ2
sin ϕdρdϕdθ
ρ
=
dxdydz
√
x2 + y2 + z2
.
Agora podemos reescrever a integral dada em coordenadas retangulares como
I =
∫ √
12
−
√
12
∫ √
12−x2
−
√
12−x2
∫ √
16−x2−y2
√
x2
3
+ y2
3
dzdydx
√
x2 + y2 + z2
−
∫ 2
−2
∫ √
4−x2
−
√
4−x2
∫ √
16−x2−y2
√
3x2+3y2
dzdydx
√
x2 + y2 + z2
.
EXEMPLO 4.5.4 Escreva, nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas,
as expressões que permitem calcular o volume do sólido delimitado simultaneamente pelas
superfícies x2
+ y2
= 2y, z =
√
x2 + y2 e z =
√
3x2 + 3y2.
Resolução: O cilindro x2
+ y2
= 2y delimitada lateralmente o sólido desejado, enquanto o
cone z =
√
x2 + y2 delimita-o inferiormente e o cone z =
√
3x2 + 3y2 superiormente. Veja
o esboço do sólido na Figura 4.14.
Figura 4.14: Sólido do Exemplo 4.5.4.
Para obter a integral em coordenadas cartesianas, basta observar que a altura do sólido
varia entre os dois cones, isto é, z ∈ [
√
x2 + y2,
√
3x2 + 3y2], e a projeção do sólido no plano
xy é dada pela Figura 4.15.
Assim, tomando y como variável independente, temos que y ∈ [0, 2] e que x ∈ [−
√
2y − y2,
√
2y − y2].
Encontramos então a seguinte integral em coordenadas cartesianas
V =
∫ 2
0
∫ √
2y−y2
−
√
2y−y2
∫ √
3x2+3y2
√
x2+y2
dzdxdy.
135](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-145-320.jpg)
![Figura 4.15: Projeção no plano xy.
Agora, reescrevendo as equações dos cones em coordenadas cilíndricas, obtemos que
z ∈ [r,
√
3r]. Como a projeção no plano xy ocorre apenas no primeiro e segundo quadrantes,
temos que θ ∈ [0, π], enquanto o raio cilíndrico varia da origem (r = 0) até a circunferência
x2
+ y2
= 2y, que em cilíndricas se escreve como r2
= 2r sin θ, ou seja, r = 2 sin θ. Assim,
encontramos a seguinte integral em coordenadas cilíndricas
V =
∫ π
0
∫ 2 sin θ
0
∫ √
3r
r
rdzdrdθ.
Em coordenadas esféricas, temos que θ ∈ [0, π] e que o ângulo vertical varia entre os
cones. Transformando para esféricas, obtemos
z =
√
3x2 + 3y2 ⇒ ρ cos ϕ =
√
3ρ sin ϕ ⇒ tan ϕ =
√
3
3
⇒ ϕ = π
6
z =
√
x2 + y2 ⇒ ρ cos ϕ = ρ sin ϕ ⇒ tan ϕ = 1 ⇒ ϕ = π
4
portanto, encontramos que ϕ ∈ [π
6
, π
4
]. Resta então obter a limitação para o raio esférico, que
varia desde a origem (ρ = 0) até o cilindro circular, que devemos transformar para esféricas,
como segue:
x2
+ y2
= 2y ⇒ ρ2
sin2
ϕ = 2ρ sin ϕ sin θ ⇒ ρ sin ϕ = 2 sin θ ⇒ ρ = 2 sin θ
sin ϕ
.
Então, temos que ρ ∈ [0, 2 sin θ
sin ϕ
] e o volume, em coordenadas esféricas, é calculado pelo
integral
V =
∫ π
0
∫ π
4
π
6
∫ 2 sin θ
sin ϕ
0
ρ2
sin ϕdρdϕdθ.
Note que, se desejássemos obter o valor numérico deste volume, devemos optar por re-
solver a integral escrita em coordenadas cilíndricas, devido a sua simplicidade em comparação
às demais integrais.
136](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-146-320.jpg)
![com isso nada podemos concluir, pois a série dada é menor que uma série p divergente.
Porém, observe que
2
4
√
n3 + 2n
=
2
[n3(1 + 2
n2 )]
1
4
=
2
n
3
4 (1 + 2
n2 )
1
4
e 1 ≤ (1 +
2
n2
)
1
4 ≤ 3
1
4 . Logo,
2
4
√
n3 + 2n
≥
2
4
√
3n
3
4
,
e, por comparação, a série dada não converge absolutamente.
Analisando a convergência condicional, usando o Teorema de Leibnitz, pois a série dada
é alternada, temos lim
n→∞
2
4
√
n3 + 2n
= 0 e an =
2
4
√
n3 + 2n
é decrescente.
Portanto, a série dada é condicionalmente convergente.
5.13 Séries de Funções
Considerando as funções fi : R → R denidas por f0 (x) = 1, f1 (x) = x, f2 (x) = x2
,
f3 (x) = x3
, f4 (x) = x4
, · · · , fn (x) = xn
, · · · , podemos escrever a soma
S (x) = f0 (x) + f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + f4 (x) + · · · + fn (x) + · · ·
= 1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ · · · + xn
+ · · ·
Essa soma innita é um exemplo de série de funções, pois o seu termo geral depende de
uma variável real x. Mais geralmente, denimos série de funções como segue.
DEFINIÇÃO 5.13.1 Denominamos série de funções a toda série na qual o termo geral é uma
função da variável real x e a denotaremos por
∞
∑
n=0
un (x) = u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + · · · + un (x) + · · ·
5.13.2 Convergência de séries de funções
Como no estudo das séries numéricas, estamos interessados na convergência das séries de
funções. Uma série de funções, se for convergente, convergirá para uma função. A imagem
de cada valor de x numa série de funções é uma série numérica que pode ser convergente ou
divergente. Por exemplo, para cada valor de x, a série
∞
∑
n=0
xn
= 1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ · · · + xn
+ · · ·
é uma série geométrica e, portanto, converge se |x| 1 e diverge caso contrário. Já sua soma
será a função S (x) =
1
1 − x
, se |x| 1. Isso signica que uma série de funções convergente,
converge para um determinado conjunto de valores de x, denominado domínio ou intervalo
de convergência.
DEFINIÇÃO 5.13.3 Seja
∞
∑
n=0
un (x) uma série de funções. Denominamos domínio ou inter-
valo de convergência da série ao conjunto de todos os valores de x para os quais a série é
convergente e denominamos raio de convergência à distância entre o centro e as extremidades
do intervalo convergência.
169](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-179-320.jpg)
![14. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo):
(a) C (b) C (c) C (d) C
15. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo):
(a) C (b) D (c) D (d) D (e) C (f) C (g) C (h) C (i) D (j) C (k) C
16. .
(a) absolutamente (b) absolutamente (c) absolutamente
(d) absolutamente (e) divergente (f) absolutamente
(g) absolutamente (h) condicionalmente (i) divergente
(j) condicionalmente (k) divergente (l) absolutamente
(m) condicionalmente (n) absolutamente (o) condicionalmente
17. .
(a) absolutamente (b) condicionalmente (c) condicionalmente
(d) absolutamente (e) absolutamente (f) absolutamente
(g) divergente (h) absolutamente (i) divergente
18. I é o intervalo de convergência e R é o raio de convergência
(a) R = 1, I = [−1, 1) (b) R = 1, I = [−1, 1] (c) R = ∞, I = (−∞, ∞)
(d) R = 1
4
, I = (−1
4
, 1
4
) (e) R = 1
2
, I = (−1
2
, 1
2
] (f) R = 4, I = (−4, 4]
(g) R = 3, I = (−5, 1) (h) R = 1, I = (3, 5) (i) R = 2, I = (−4, 0]
(j) R = 0, I = {1
2
} (k) R = 3, I = [−3, 3] (l) R = 1
4
, I = [1, 3
2
]
(m) I = [4, 6), R = 1 (n) I = (−4, 0), R = 2 (o) I = (1 − e, 1 + e), R = e
(p) I = [−3
2
, −1
2
], R = 1
2
(q) I = [0, 2], R = 1 (r) I = (−3
2
, 3
2
), R = 3
2
19. [−1, 1], [−1, 1] e (−1, 1), respectivamente.
20. .
(a)
1
(1 − x)2
(b)
x
(1 − x)2
(c) 2 (d)
2x2
(1 − x)3
(e) 4 (f) 6 (g) − ln(1 + x) (h) 2 ln 3
2
21. .
(a) f(x) =
∞
∑
n=0
(−1)n
x3n
(b) f(x) =
∞
∑
n=0
(−1)n
x3n
4n+1
(c) f(x) =
∞
∑
n=0
(−1)n
9n
xn+ 1
2 (d) f(x) =
∞
∑
n=0
(−1)n
4n
x2n+1
9n+1
(e) f(x) =
∞
∑
n=1
2n−1
nxn+1
(f) f(x) =
∞
∑
n=1
nxn+2
2n+1
(g) f(x) = −
∞
∑
n=0
xn+1
(n + 1)5n+1
(h) f(x) =
∞
∑
n=0
(−1)n
x2n+3
n + 1
22. (a)
∞
∑
n=0
x8n+2
8n + 2
(b) −
∞
∑
n=0
x2n−4
n(2n − 4)
(c)
∞
∑
n=1
(−1)n+1
x2n−1
4n2 − 1
(d)
∞
∑
n=0
(−1)n
x4n+3
(4n + 3)(2n + 1)
23. Dica: Mostre que arctan x =
∞
∑
n=0
(−1)n
x2n+1
2n + 1
e depois faça x =
√
3
3
.
24. Dica: derive termo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação
dada.
25. Dica: derive termo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação
dada.
193](https://image.slidesharecdn.com/apostilacalculoii-udesc-230513021153-2a5c80c1/85/Apostila-Calculo-II-UDESC-pdf-203-320.jpg)
Apostila Calculo II - UDESC.pdf
- 1. APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIALE INTEGRAL II Autores: Elisandra Bar de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi, Marnei Luis Mandler Home-page: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/elisandra/ Joinville, fevereiro de 2010.
- 3. PLANO DE ENSINODE CÁLCULO II Departamento: Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Siglas: CDI-II, CDI2001 Semestre/Ano: 01/2010 Carga Horária Total: 72 horas Teórica: 72 horas Prática: 0 Cursos: Engenharia Civil, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica, Engenharia de Produção e Sistemas, Licenciatura em Física, Licenciatura em Matemática. Professores: Carlos Raphael Rocha, Eliane Bihuna de Azevedo, Elisandra Bar de Figueiredo, Graciela Moro, Jones Corso, Marnei Luis Mandler Coordenação: Elisandra Bar de Figueiredo. Objetivo Geral da Disciplina: Proporcionar ao estudante a oportunidade de apropriar- se dos conhecimentos de cálculo diferencial e integral, bem como aplicar estes conceitos em sua área de atuação. Ementa: Integrais denidas. Teorema Fundamental do Cálculo. Funções de várias variáveis reais. Integrais duplas. Integrais triplas. Séries Numéricas. Série de Funções. Objetivos Especícos da Disciplina: Reconhecer e resolver problemas que envolvam integral denida. Reconhecer e resolver problemas que envolvam funções de várias variáveis. Reconhecer e resolver problemas que envolvam integrais múltiplas. Reconhecer e resolver problemas que envolvam sequências e séries. Cronograma de Atividades: 1. Integral Denida (18 horas aula) 1.1. Integral Denida (4 h/a) 1.2. Teorema Fundamental do Cálculo e Propriedades (2 h/a) 1.3. Integrais Impróprias (2 h/a) 1.4. Área em Coordenadas Cartesianas (2 h/a) 1.5. Área em Coordenadas Polares (2 h/a) 1.6. Comprimento de Arco (2 h/a) 1.7. Volume de Sólido de Revolução (2 h/a) 1.8. Avaliação (2 h/a) 2. Funções de Várias Variáveis e Diferenciação Parcial (18 horas aula) 2.1. Denição e Representação Gráca de Funções de Várias Variáveis (2 h/a) i
- 4. 2.2. Limite deFunções de várias Variáveis (2 h/a) 2.3. Continuidade de Funções de várias variáveis (1 h/a) 2.4. Derivadas Parciais (1 h/a) 2.5. Derivadas Parciais de Ordem Superior (1 h/a) 2.6. Regra da Cadeia (2 h/a) 2.7. Derivação Implícita (1 h/a) 2.8. Taxas de Variação (2 h/a) 2.9. Diferencial Parcial e Diferencial Total (2 h/a) 2.10. Extremos de Funções de duas variáveis (2 h/a) 2.11. Avaliação (2 h/a) 3. Integrais Duplas (6 horas aula) 3.1. Denição (1 h/a) 3.2. Interpretação Geométrica (1 h/a) 3.3. Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a) 3.4. Integral Dupla em Coordenadas Polares (2 h/a) 4. Integrais Triplas (12 horas aula) 4.1. Denição e Interpretação Geométrica (2 h/a) 4.2. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a) 4.3. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas (2 h/a) 4.4. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas (2 h/a) 4.5. Apresentação e discussão de Trabalhos (2 h/a) 4.6. Avaliação (2 h/a) 5. Séries Numéricas e Séries de Funções (18 horas aula) 5.1. Sequências (2 h/a) 5.2. Séries Numéricas (2 h/a) 5.3. Série Geométrica e Série Harmônica (1 h/a) 5.4. Critério do Termo Geral, Critério da Integral (1 h/a) 5.5. Critério da Comparação (1 h/a) ii
- 5. 5.6. Critério deD'Alembert, Critério de Cauchy (2 h/a) 5.7. Séries Alternadas, Teorema de Leibnitz (1 h/a) 5.8. Convergência Absoluta e Convergência Condicional (1 h/a) 5.9. Séries de Funções, Raio e Intervalo de Convergência de Séries de Potências (2 h/a) 5.10. Derivação e Integração de Séries de Funções (1 h/a) 5.11. Séries de Taylor e Séries de MacLaurin (2 h/a) 5.12. Avaliação (2 h/a) Avaliações: Serão realizadas 4 avaliações escritas individuais, com a seguinte distribuição de conteúdos: 1a Prova: referente ao Capítulo 1: nota x 2a Prova: referente ao Capítulo 2: nota y 3a Prova: referente aos Capítulos 3 e 4: nota z 4a Prova: referente ao Capítulo 5: nota w Fará parte da terceira avaliação a apresentação oral de um trabalho, valendo até dois pontos na nota da terceira prova, conforme critério a ser divulgado. No entanto, a soma das nota das prova e do trabalho não poderá ultrapassar 10. Média Semestral: A nota semestral será calculada pela média aritmética das notas das quatro avaliações. Datas das Avaliações: Todas as Turmas: 1a Prova: 27/03/10 (sábado, entre 09h30min e 12h) 2a Prova: 24/04/10 (sábado, entre 09h30min e 12h) 3a Prova: 22/05/10 (sábado, entre 09h30min e 12h30min) 4a Prova: 28/06/10 (segunda-feira, entre 18h e 20h30min) O EXAME de todos os cursos será realizado no dia 07/07/2010 (quarta-feira, entre 18h e 20h30min) Caso o acadêmico não possa comparecer a qualquer uma das avaliação, deverá entrar com pedido ocial de solicitação de segunda chamada desta prova, no prazo de cinco dias úteis, de acordo com a Resolução 018/2004 Consepe. As provas de segunda chamada, quando deferidas, ocorrerão sempre antes da realização da próxima avaliação programada, em data, horário e local a serem divulgados no mural do DMAT e na página da disciplina. É de responsabilidade do acadêmico acompanhar os trâmites do seu processo de segunda chamada. BIBLIOGRAFIA • ANTON, H. Cálculo: um novo Horizonte. Bookman, PoA. Volumes 1 e 2 • AYRES, F. J. Cálculo. Coleção Schaum. McGraw-Hill do Brasil. SP. iii
- 6. • GONÇALVES, M.B. and FLEMMING, D. M. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais Duplas, Integrais Triplas. Makron Books. SP. • LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. Harbra. SP. • PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. Lopes e Silva. Porto. • STEWART, J. Cálculo, Cengage Learning, SP. Volumes 1 e 2. • SWOKOWSKI, E. Cálculo com Geometria Analítica. Makron Books, SP. Vo- lumes 1 e 2 • THOMAS, G. Cálculo. Addison Wesley, SP. Volumes 1 e 2. • APOSTILA TEXTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II iv
- 7. Horário de Monitoria Monitor:Heric Dênis Farias Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 07:30 08:20 08:20 09:10 09:20 10:10 10:10 11:00 11:00 11:50 13:30 14:20 14:20 15:10 15:20 16:10 16:10 17:00 17:00 17:50 18:10 19:00 19:00 19:50 19:50 20:40 Horário de Atendimento dos Professores Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 07:30 08:20 08:20 09:10 09:20 10:10 10:10 11:00 11:00 11:50 13:30 14:20 14:20 15:10 15:20 16:10 16:10 17:00 17:00 17:50 18:10 19:00 19:00 19:50 19:50 20:40 v
- 8. Conteúdo 1 INTEGRAL DEFINIDA1 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Soma Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Função Integrável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5.8 Teorema do Valor Médio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.6 Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão) . . . . . . . . . 17 1.7 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8 Integral de uma Função Descontínua num Ponto c ∈ [a, b] . . . . . . . . . . . 20 1.9 Aplicações da Integral Denida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.9.1 Área em coordenadas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.9.9 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétricas . . . . 28 1.9.12 Área de um setor cuvilíneo em coordenadas polares . . . . . . . . . . 29 1.10 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . 32 1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas . . . . . . . . 35 1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 36 1.11 Volume de um Sólido de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.11.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coordenado . . . 41 1.12 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL 56 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2 Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.5 Gráco de uma Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2.10 Curvas e Súperfícies de Nível (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.2.12 Distâncias e Bolas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3 Limite de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.9 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4 Continuidade de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.5.7 Interpretação Geométrica das derivadas parciais . . . . . . . . . . . . 71 2.6 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.7 Derivada de uma Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.8 Derivadas de Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.9 Derivada Parcial como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 vi
- 9. 2.10 Diferencias Parciaise Totais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.11 Extremos de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.11.1 Ponto Crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.11.3 Ponto de Máximo e Ponto de Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.12 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3 INTEGRAIS DUPLAS 103 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3 Cálculo da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.4 Integrais Duplas em Coordenada Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.5 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.6 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4 INTEGRAIS TRIPLAS 121 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.2 Interpretação Geométrica da Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3 Cálculo da Integral Tripla em Coordenadas Retangulares . . . . . . . . . . . 123 4.4 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.6 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.7 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5 SEQUÊNCIAS E SÉRIES 144 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.2 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.2.3 Limite de uma Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.2.7 Sequências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3 Subsequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4 Sequência Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.5 Sequências Numéricas Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.6 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.6.4 Soma de uma Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.6.7 Séries Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.7 Condição necessária para Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.8 Séries Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.8.1 Série harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.8.3 Série geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.9 Critérios de Convergência de Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.9.1 Critério da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.9.3 Série p ou Série Hiper-harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.9.7 Critério da comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.9.10 Critério de D'Alambert ou Critério da Razão . . . . . . . . . . . . . 161 5.9.14 Critério de Cauchy ou Critério da Raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.10 Séries de Termos Positivos e Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.10.3 Convergência de uma série alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.11 Série de Termos de Sinais Quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.12 Séries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes . . . . . . 166 vii
- 10. 5.13 Séries deFunções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.13.2 Convergência de séries de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.14 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.14.4 Processo para determinar o intervalo e o raio de convergência de uma série de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.14.8 Série de potências centrada em x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.14.11 Continuidade da soma de uma Série de Funções. . . . . . . . . . . . . 173 5.14.13 Derivação de uma série de funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . 173 5.15 Diferenciação e Integração de Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.16 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.17 Série de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.18 Fórmula geral do binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.19 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.20 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 viii
- 11. Capítulo 1 INTEGRAL DEFINIDA Objetivos(ao nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de): 1. Denir integral inferior e integral superior; 2. Calcular o valor da integral denida por denição; 3. Aplicar o teorema fundamental do cálculo e suas propriedades; 4. Calcular integral denida por substituição de variáveis; 5. Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias; 6. Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias de funções descontínuas; 7. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas retangulares; 8. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas polares; 9. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas paramétricas; 10. Calcular volume de um sólido de revolução; 11. Calcular o comprimento de um arco em coordenadas retangulares, paramétricas e po- lares; 12. Calcular a superfície de um sólido de revolução; 13. Resolver problemas através da integral nas áreas de física, produção, economia entre outras aplicações; 14. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica. A prova será composta por questões que possibilitam vericar se os objetivos foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu- lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento teórico desse capítulo nessa apostila. 1
- 12. 1.1 Introdução Neste capítuloestudaremos a integral denida. Uma das principais aplicações da integral denida encontra-se em problemas que envolvem cálculo de área e volumes. Por exemplo, seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Nosso propósito é determinar a área da região delimitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, conforme Figura 1.1 abaixo: a y b x f Figura 1.1: Área da região R Estimando o valor da área R: Sabemos como calcular a área de um retângulo (base × altura). A área de um polígono podemos obter subdividindo-o em triângulos e retângulos. No entanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos. Assim, parte do problema da área é utilizar uma ideia intuitiva do que é a área de uma região. Recordemos que, para denir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinação da reta tangente por inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Utilizaremos uma ideia semelhante para obter áreas. Por exemplo para calcular a área da região R vamos dividir o intervalo [a, b] em 2 subin- tervalos de comprimento ∆x = b−a 2 . Denotamos os extremos destes subintervalos por xi, onde i ∈ {0, 1, 2}. Veja que, neste caso, temos x0 = a, x1 = c e x2 = b. Na Figura 1.2, considere os retângulos de largura ∆x e altura Mi = Max{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. a y c b x f Figura 1.2: Estimativa por soma de áreas de retângulos Deste modo obtemos um polígono circunscrito a região R cuja área é dada pela soma da área dos dois retângulos. Como a base é a mesma, podemos dizer que a área é dada por 2 ∑ i=1 Mi∆x, onde Mi = Max{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. Você acha que podemos comparar a 2
- 13. área da regiãoR representada pela Figura 1.1 e a região formada pelos retângulos da Figura 1.2? A diferença é muito grande? O que aconteceria com esta diferença se dividíssemos o intervalo [a, b] em n subintervalos com n = 3, 4, 5, 6, · · ·? A denição formal de integral denida envolve a soma de muitos termos pequenos (dife- renciais), com a nalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim há uma conexão entre o cálculo integral e diferencial, onde o Teorema Fundamental do Cálculo relaciona a integral com a derivada. As integrais estão envolvidas em inúmeras situações: usando a taxa (derivada) podemos obter a quantidade (integral) de óleo que vaza de um tanque durante um certo tempo; utilizando a leitura do velocímetro de um ônibus espacial é possível calcular a altura atingida por ele em um dado intervalo de tempo. Assim, pode-se usar a integral para resolver problemas concernentes a volumes, comprimentos de curvas, predições populacionais, saída de sangue do coração, força sobre uma represa, potência con- sumida e a energia usada em um intervalo de tempo na cidade de Joinville, etc. O Cálculo da Área Primeiramente aproximaremos a área da regiã R delimitada por grácos de funções por soma de áreas de retângulos inscritos ou circunscritos para então tomarmos o limite das áreas desses retângulos, à medida que se aumenta o número destes, conforme a Figura 1.3. y x a b b a x y Figura 1.3: Aproximando áreas com n retângulos E desta forma, a área total desejada será obtida pela soma das áreas retangulares quando suas bases se tornam cada vez menores, isto é, quando ∆x → 0 (ou equivalentemente, quando o número de retângulos se torna cada vez maior, isto é, n → ∞). Você consegue formalizar, matematicamente, este resultado? Para dar início a essa formalização, veremos algumas denições auxiliares. 1.2 Partição DEFINIÇÃO 1.2.1 Seja [a, b] um intervalo. Denominamos partiçãode [a, b] ao conjunto or- denado de pontos P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn} tais que a = x0 x1 x2 ... xn = b e que dividem [a, b] em n-subintervalos, a saber, [x0, x1] , [x1, x2] , [x2, x3] , ..., [xi−1, xi] , ..., [xn−1, xn] , 3
- 14. denominados intervalos dapartição. Além disso, podemos escrever |[x0, x1]| = x1 − x0 = ∆x1 |[x1, x2]| = x2 − x1 = ∆x2 |[x2, x3]| = x3 − x2 = ∆x3 · · · |[xi−1, xi]| = xi − xi−1 = ∆xi · · · |[xn−1, xn]| = xn − xn−1 = ∆xn. EXEMPLO 1.2.2 Considerando o intervalo [1, 12], o conjunto de pontos P = {1, 2, 4, 8, 12} é uma partição de [1, 12]. Os intervalos dessa partição são [1, 2], [2, 4], [4, 8] e [8, 12]. Naturalmente, temos 1 = x0 2 = x1 4 = x2 8 = x3 12 = x4. DEFINIÇÃO 1.2.3 Seja [a, b] um intervalo e considere P = {x0, x1, x2, · · · , xi, · · · , xn} e Q = {x0, x1, x2, · · · , y0, · · · , xi, · · · , xn} duas partições de [a, b]. Dizemos que a partição Q é um renamento da partição P se P ⊂ Q. EXEMPLO 1.2.4 Consideremos o intervalo [1, 12]. Os conjuntos de pontos P = {1, 2, 4, 8, 12} e Q = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12} são duas partições de [1, 12] com P ⊂ Q. Então Q é um renamento de P. 1.3 Soma Superior Consideraremos sempre uma função contínua f : [a, b] → R denida num intervalo fechado [a, b] e limitada nesse intervalo, isto é, existem m, M ∈ R tais que m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] . DEFINIÇÃO 1.3.1 Seja f : [a, b] → R uma função limitada e seja P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn} uma partição de [a, b], com a = x0 x1 x2 ... xn = b. Seja Mi o valor supremo de f no intervalo [xi−1, xi] , onde i = 1, 2, 3, · · · , n. Denominamos soma superior de f em relação à partição P e denotamos por S(f, P) à expressão: S(f, P) = M1(x1 − x0) + M2(x2 − x1) + .. + Mn(xn − xn−1) = n ∑ i=1 Mi(xi − xi−1). (1.3.1) EXEMPLO 1.3.2 Considere a função f : [0, 2] → R denida por f (x) = xsenx. Na Figura 1.4 podemos ver o gráco de uma soma superior referente a uma partição composta por 15 pontos. Já uma soma superior referente a uma partição com maior número de pontos (80 pontos), é ilustrada pela Figura 1.5. Note que, conforme aumentamos o número de pontos da partição, aqui uniformemente distribuídos, a soma superior S(f, P) vai se aproximando da área sob o gráco de f (x) = x sin x, no intervalo [0, 2] . 4
- 15. Figura 1.4: SomaSuperior, S(f, P), P com 15 pontos: A = 1, 863 u.a. Figura 1.5: Soma Superior, S(f, P), P com 80 pontos: A = 1, 746 u.a. 1.4 Soma Inferior DEFINIÇÃO 1.4.1 Seja f : [a, b] → R uma função limitada e seja P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn} uma partição de [a, b], onde a = x0 x1 x2 ... xn = b. Seja mi o valor ínmo de f no intervalo [xi−1, xi] para i = 1, 2, 3, ..., n. Denominamos soma inferior de f em relação à partição P e denotamos por S(f, P) à expressão: S(f, P) = m1(x1 − x0) + m2(x2 − x1) + ... + mn(xn − xn−1) n ∑ i=1 mi(xi − xi−1). (1.4.1) EXEMPLO 1.4.2 Considere a função f : [0, 2] → R denida por f (x) = xsenx. Na Figura 1.6 podemos ver o gráco de uma soma inferior referente a uma partição composta por um número reduzido de pontos (15 pontos) e na Figura 1.7 de uma soma inferior referente a uma partição com maior número de pontos (80 pontos). Note que, aumentando o número de pontos de [a, b] a soma inferior S (f, P) vai se apro- ximando da área sob o gráco de f (x) = x sin x no intervalo [0, 2]. 5
- 16. Figura 1.6: SomaInferior, S(f, P), P com 15 pontos: A = 1, 642 u.a. Figura 1.7: Soma Inferior, S(f, P), P com 80 pontos: A = 1, 718 u.a. 1.5 Função Integrável DEFINIÇÃO 1.5.1 Seja f : [a, b] → R uma função. Dizemos que f é integrável se lim n→+∞ S(f, P) = lim n→+∞ S(f, P) ou seja, se lim n→+∞ n ∑ i=1 mi(xi − xi−1) = lim n→+∞ n ∑ i=1 Mi(xi − xi−1), sendo P = {x0, x1, x2, · · · , xn} qualquer partição de [a, b]. No caso de uma função integrável, denotaremos a integral denida de f de a até b por ∫ b a f (x) dx = lim n→+∞ n ∑ i=1 f (χi) (xi − xi−1), onde χi ∈ [xi−1, xi] . OBSERVAÇÃO 1.5.2 As somas superiores e inferiores acima denidas são casos particulares de Somas de Riemann, que são quaisquer expressões da forma S = n ∑ i=1 f (wi) ∆xi, onde wi ∈ [xi−1, xi] não é ne-cessariamente um máximo ou um mínimo de f em cada subintervalo 6
- 17. da partição considerada,nem ∆xi é necessariamente constante. No entanto, em nossos propósitos, não iremos considerar esses casos mais gerais. Ainda, como f(x) pode ser negativa, certos termos de uma soma superior ou inferior também podem ser negativos. Consequentemente, nem sempre S(f, P) e S(f, P) irão repre- sentar uma soma de áreas de retângulos. De forma geral, estas somas representam a soma das áreas dos retângulos situados acima do eixo-x (onde f ≥ 0) com o negativo das áreas dos retângulos que estão situados abaixo deste eixo (onde f ≤ 0). OBSERVAÇÃO 1.5.3 Para calcular integrais denidas usando a denição de somas superiores ou inferiores, serão usadas as seguintes expressões: (i) 1 + 1 + 1 + ... + 1 | {z } = k k vezes (ii) 1 + 2 + 3 + ... + k = (1 + k)k 2 (iii) 12 + 22 + 32 + ... + k2 = k (k + 1) (2k + 1) 6 (iv) 13 + 23 + 33 + ... + k3 = k2 (k + 1)2 4 (v) 14 + 24 + 34 + ... + k4 = k (k + 1) (6k3 + 9k2 + k − 1) 30 EXEMPLO 1.5.4 Usando a denição de soma superior, encontre a área delimitada pelas curvas y = x2 + 1, x = 0, x = 4 e y = 0 (sabendo que a função é integrável). Solução: Tomamos P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [0, 4], conforme ilustra a Figura 1.8 y x Figura 1.8: Soma Superior de f(x) = x2 + 1 com 10 retângulos Como os subintervalos da partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos possuem o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = ... = ∆xn. Portanto, temos que ∆x = 4 − 0 n = 4 n e podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo x0 = 0, x1 = ∆x, x2 = 2∆x, x3 = 3∆x, ..., xn = n∆x. 7
- 18. Seja Mi osupremo de f(x) = x2 + 1 no intervalo [xi−1, xi]. Como neste exemplo temos uma função crescente, o máximo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo direito, ou seja, Mi = f(xi). Assim, a soma superior de f é dada por S(f, P) = M1∆x + M2∆x + M3∆x + .... + Mn∆x = f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + ... + f(xn)∆x = f(∆x)∆x + f(2∆x)∆x + f(3∆x)∆x + ... + f(n∆x)∆x = ∆x[(∆x)2 + 1 + (2∆x)2 + 1 + (3∆x)2 + 1 + ... + (n∆x)2 + 1] = ∆x[1 + 1 + ... + 1 + (∆x)2 + 4(∆x)2 + 9(∆x)2 + ... + n2 (∆x)2 ] = ∆x[n + ∆x2 (1 + 22 + 32 + ... + n2 )] = ∆x ( n + ∆x2 n(n + 1)(2n + 1) 6 ) = 4 n ( n + 42 n2 n(n + 1)(2n + 1) 6 ) = 4 + 64 6 (n + 1)(2n + 1) n2 = 4 + 32 3 ( 2 + 3 n + 1 n2 ) = 4 + 64 3 + 32 n + 32 3n2 . Portanto, a área desejada é dada por ∫ 4 0 (x2 + 1)dx = lim n→+∞ ( 4 + 64 3 + 32 n + 32 3n2 ) = 76 3 . Agora, se desejarmos encontrar a soma inferior de f, quais modicações deveremos efetuar nos cálculos acima? Sugere-se que o estudante refaça este exercício, prestando bastante atenção no que ocorre com as alturas dos retângulos inscritos e nas consequências deste fato. EXEMPLO 1.5.5 Usando a denição de soma inferior, encontre a área delimitada pelas curvas y = 16 − x2 , x = 1, x = 4 e y = 0 (sabendo que a função é integrável). Solução: Tomamos P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [1, 4], conforme ilustra a Figura 1.9 y x Figura 1.9: Soma Inferior de f(x) = 16 − x2 com 10 retângulos 8
- 19. Como os subintervalosda partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos possuem o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = ... = ∆xn. Portanto, temos que ∆x = 4 − 1 n = 3 n e podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo x0 = 1, x1 = 1 + ∆x, x2 = 1 + 2∆x, x3 = 1 + 3∆x, · · · , xn = 1 + n∆x. Seja mi o ínmo de f(x) = 16 − x2 no intervalo [xi−1, xi]. Como no intervalo [1, 4] a função é decrescente, o mínimo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo direito, ou seja, mi = f(xi). Assim, a soma inferior de f é dada por S(f, P) = m1∆x + m2∆x + m3∆x + .... + mn∆x = f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + ... + f(xn)∆x = f(1 + ∆x)∆x + f(1 + 2∆x)∆x + f(1 + 3∆x)∆x + ... + f(1 + n∆x)∆x = [16 − (1 + ∆x)2 + 16 − (1 + 2∆x)2 + 16 − (1 + 3∆x)2 + · · · + 16 − (1 + n∆x)2 ]∆x = 16n∆x + [1 + 2∆x + (∆x)2 + 1 + 2 · 2∆x + (2∆x)2 + 1 + 2 · 3∆x + (3∆x)2 + + · · · + 1 + 2 · n∆x + (n∆x)2 ]∆x = 16n∆x − n∆x − 2(1 + 2 + 3 + · · · + n)(∆x)2 − (12 + 22 + 32 + · · · + n2 )(∆x)3 = 15n∆x − 2 · n(n + 1) 2 · (∆x)2 − n(n + 1)(2n + 1) 6 · (∆x)3 = 15n · 3 n − 9 · n2 + n n2 − 9 · 2n3 + 3n2 + n 2n3 = 45 − 9 − 9 n − 9 − 27 2n − 9 2n2 = 27 − 45 2n − 9 2n2 Portanto, a área desejada é dada por ∫ 4 1 (16 − x2 )dx = lim n→+∞ ( 27 − 45 2n − 9 2n2 ) = 27. OBSERVAÇÃO 1.5.6 Até o momento não exigimos que a função seja contínua. Isso porque a condição de continuidade não é necessária para que uma função seja integrável. Daqui para frente só trabalharemos com funções contínuas. A integrabilidade de funções não contínuas não será objeto de nosso estudo. Propriedades das Integrais Se f, g : [a, b] → R são funções integráveis, então são válidas as seguintes propriedades: i. Se f(x) é uma função constante, i.e., f(x) = c então ∫ b a cdx = c(b − a). ii. Se k é uma constante então ∫ b a kf (x) dx = k ∫ b a f (x) dx. iii. ∫ b a [f (x) + g (x)]dx = ∫ b a f (x) dx + ∫ b a g (x) dx. iv. Se f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ [a, b] então ∫ b a f (x) dx ≤ ∫ b a g (x) dx. 9
- 20. v. Se m≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], então m (b − a) ≤ ∫ b a f (x) dx ≤ M (b − a) . vi. Se c ∈ [a, b] então ∫ b a f (x) dx = ∫ c a f (x) dx + ∫ b c f (x) dx. vii. A troca dos limitantes de integração acarreta a mudança no sinal da integral denida, ou seja, ∫ b a f (x) dx = − ∫ a b f (x) dx. viii. ∫ a a f(x)dx = 0. EXEMPLO 1.5.7 Determine a soma superior e a soma inferior para f(x) = x2 − 2x + 2 no intervalo [−1, 2]. A seguir, utilize-as para calcular a área da região situada abaixo do gráco de f e entre as retas y = 0, x = −1 e x = 2. Solução: A Figura 1.10 ilustra o gráco da soma superior de f referente a uma partição composta de 15 pontos. Observe que as alturas dos retângulos circunscritos não possuem o mesmo comportamento em todo o intervalo. Isso ocorre porque a função é decrescente no intervalo [−1, 1] e crescente em [1, 2]. Para obter a expressão para a soma superior de f usaremos a Propriedade v. Tomaremos uma partição para o intervalo [−1, 1] e outra para o intervalo [1, 2]. y x Figura 1.10: Soma Superior de f(x) = x2 − 2x + 2 com 15 retângulos Soma Superior para o intervalo [−1, 1] Seja P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [−1, 1], de tal forma que todos os subintervalos de P possuam o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = · · · = ∆xn. Portanto, temos que a base de cada um dos retângulos é dada por ∆x = 1 − (−1) n = 2 n e assim podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo x0 = −1, x1 = −1 + ∆x, x2 = −1 + 2∆x, x3 = −1 + 3∆x, · · · , xn = −1 + n∆x. Agora vamos determinar as alturas dos retângulos circunscritos. Seja Mi o supremo de f(x) = x2 − 2x + 2 no subintervalo [xi−1, xi]. Como neste intervalo a função é decrescente o 10
- 21. máximo de fem cada subintervalo ocorre no seu extremo esquerdo, ou seja, Mi = f(xi−1). Assim, a soma superior de f é dada por S(f, P) = M1∆x + M2∆x + M3∆x + · · · + Mn∆x = f(x0)∆x + f(x1)∆x + f(x2)∆x + · · · + f(xn−1)∆x = f(−1)∆x + f(−1 + ∆x)∆x + f(−1 + 2∆x)∆x + · · · + f(−1 + (n − 1)∆x)∆x = ∆x{5 + [ (−1 + ∆x)2 − 2(−1 + ∆x) + 2 ] + [ (−1 + 2∆x)2 − 2(−1 + 2∆x) + 2 ] + + · · · + [ (−1 + (n − 1)∆x)2 − 2(−1 + (n − 1)∆x) + 2 ] } = ∆x{5 + [ (1 − 2∆x + (∆x)2 ) + 2 − 2∆x + 2 ] + [ 1 − 4∆x + 22 (∆x)2 + 2 − 4∆x + 2 ] + + · · · + [ 1 − 2(n − 1)∆x + (n − 1)2 (∆x)2 + 2 − 2(n − 1)∆x + 2 ] } = ∆x{5 + [ 5 − 4∆x + (∆x)2 ] + [ 5 − 8∆x + 22 (∆x)2 ] + + · · · + [ 5 − 4(n − 1)∆x + (n − 1)2 (∆x)2 ] } = ∆x [ 5n − 4∆x (1 + 2 + · · · + (n − 1)) + (∆x)2 ( 1 + 22 + · · · + (n − 1)2 )] = 2 n · [ 5n − 4 · 2 n · n(n − 1) 2 + ( 2 n )2 · (n − 1)n (2n − 1) 6 ] = 2 n · [ 5n − 4(n − 1) + 2 3 · ( 2n2 − 3n + 1 n )] = 2 + 8 n + 4 3 · ( 2 − 3 n + 1 n2 ) = 14 3 + 4 n + 4 3n2 . Soma Superior para o intervalo [1, 2] Seja Q = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [1, 2], de tal forma que todos os subintervalos de Q possuam o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = · · · = ∆xn. Portanto, temos que a base de cada um dos retângulos é dada por ∆x = 2 − 1 n = 1 n e assim podemos atribuir valores para cada xi ∈ Q como sendo x0 = 1, x1 = 1 + ∆x, x2 = 1 + 2∆x, x3 = 1 + 3∆x, · · · , xn = 1 + n∆x. Como neste intervalo a função é decrescente as alturas dos retângulos circunscritos, Mi, ocorre no extremo direito de cada subintervalo, i.e., Mi = f(xi). Assim a soma superior de f em [1, 2] relativa a partição Q é dada por S(f, Q) = M1∆x + M2∆x + M3∆x + · · · + Mn∆x = f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + · · · + f(xn)∆x = [f(1 + ∆x) + f(1 + 2∆x) + f(1 + 3∆x) + · · · + f(1 + n∆x)]∆x = {[(1 + ∆x)2 − 2(1 + ∆x) + 2] + [(1 + 2∆x)2 − 2(1 + 2∆x) + 2] + +[(1 + 3∆x)2 − 2(1 + 3∆x) + 2] + · · · + [(1 + n∆x)2 − 2(1 + n∆x) + 2]}∆x = {[1 + (∆x)2 ] + [1 + (2∆x)2 ] + [1 + (3∆x)2 ] + · · · + [1 + (n∆x)2 ]}∆x = n∆x + (12 + 22 + 32 + · · · + n2 )(∆x)3 = n · 1 n + n(n + 1)(2n + 1) 6 · ( 1 n )3 = 4 3 + 1 2n + 1 6n2 Portanto, a soma superior de f em [−1, 2] é S(f, P ∪ Q) = 14 3 + 4 n + 4 3n2 + 4 3 + 1 2n + 1 6n2 = 6 + 9 2n + 3 2n2 . 11
- 22. Para determinar asoma inferior de f, basta encontrar as alturas dos retângulos inscritos. A Figura 1.11 ilustra o gráco da soma inferior de f referente a uma partição composta de 15 pontos. Observe que as alturas dos retângulos inscritos não possuem o mesmo comporta- mento em todo o intervalo. Isso ocorre porque a função é decrescente no intervalo [−1, 1] e crescente em [1, 2]. Para obter a expressão para a soma inferior de f usaremos novamente a Propriedade v, tomando uma partição para o intervalo [−1, 1] e outra para o intervalo [1, 2]. y x Figura 1.11: Soma Inferior de f(x) = x2 − 2x + 2 com 15 retângulos Soma Inferior para o intervalo [−1, 1] Considere a partição P tomada acima. A altura dos retângulos inscritos, mi, ocorre no extremo direito de cada subintervalo [xi−1, xi], i.e., mi = f(xi). Assim, a soma inferior de f em [−1, 1], relativa a partição P, é dada por S(f, P) = m1∆x + m2∆x + m3∆x + · · · + mn∆x = f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + · · · + f(xn)∆x = f(−1 + ∆x)∆x + f(−1 + 2∆x)∆x + f(−1 + 3∆x)∆x + · · · + f(−1 + n∆x)∆x = ∆x { [ (−1 + ∆x)2 − 2(−1 + ∆x) + 2 ] + [ (−1 + 2∆x)2 − 2(−1 + 2∆x) + 2 ] + + · · · + [ (−1 + n∆x)2 − 2(−1 + n∆x) + 2 ] } = ∆x { [ 1 − 2∆x + (∆x)2 + 2 − 2∆x + 2 ] + [ 1 − 4∆x + 22 (∆x)2 + 2 − 4∆x + 2 ] + + · · · + [ 1 − 2n∆x + n2 (∆x)2 + 2 − 2n∆x + 2 ] } = ∆x {[ 5 − 4∆x + (∆x)2 ] + [ 5 − 8∆x + 22 (∆x)2 ] + · · · + [ 5 − 4n∆x + n2 (∆x)2 ]} = ∆x [ 5n − 4∆x (1 + 2 + · · · + n) + (∆x)2 ( 1 + 22 + · · · + n2 )] = 2 n · [ 5n − 4 · 2 n · (n + 1)n 2 + ( 2 n )2 · n(n + 1) (2n + 1) 6 ] = 2 n · [ 5n − 4(n + 1) + 2 3 · ( 2n2 + 3n + 1 n )] = 2 − 8 n + 4 3 · ( 2 + 3 n + 1 n2 ) = 14 3 − 4 n + 4 3n2 . 12
- 23. Soma Inferior parao intervalo [1, 2] Considere a partição Q tomada acima. A altura dos retângulos inscritos, mi, ocorre no extremo esquerdo de cada subintervalo [xi−1, xi], i.e., mi = f(xi−1). Assim, a soma inferior de f em [1, 2], relativa a partição Q, é dada por S(f, Q) = m1∆x + m2∆x + m3∆x + · · · + mn∆x = f(x0)∆x + f(x1)∆x + f(x2)∆x + · · · + f(xn−1)∆x = f(1)∆x + f(1 + ∆x)∆x + f(1 + 2∆x)∆x + · · · + f(1 + (n − 1)∆x)∆x = ∆x{1 + [ (1 + ∆x)2 − 2(1 + ∆x) + 2 ] + [ (1 + 2∆x)2 − 2(1 + 2∆x) + 2 ] + + · · · + [ (1 + (n − 1)∆x)2 − 2(1 + (n − 1)∆x) + 2 ] } = ∆x{1 + [1 + (∆x)2 ] + [1 + (2∆x)2 ] + · · · + [1 + ((n − 1)∆x)2 ]} = n∆x + [12 + 22 + · · · + (n − 1)2 ](∆x)3 = n · 1 n + (n − 1)n(2n − 1) 6 · ( 1 n )3 = 4 3 − 1 2n + 1 6n2 . Portanto, a soma inferior de f em [−1, 2] é S(f, P ∪ Q) = 14 3 − 4 n + 4 3n2 + 4 3 − 1 2n + 1 6n2 = 6 − 9 2n + 3 2n2 . Finalmente, utilizando a soma superior de f, obtemos que a área da região desejada é dada por A = ∫ 1 −1 (x2 − 2x + 2)dx + ∫ 2 1 (x2 − 2x + 2)dx = lim n→+∞ ( 14 3 + 4 n + 4 3n2 ) + lim n→+∞ ( 4 3 + 1 2n + 1 6n2 ) = 14 3 + 4 3 = 6. Note que obteríamos o mesmo resultado utilizando a soma inferior de f. 1.5.8 Teorema do Valor Médio para Integrais TEOREMA 1.5.9 Se f : [a, b] → R é contínua, existe c ∈ [a, b] tal que ∫ b a f (x) dx = f (c) (b − a). EXEMPLO 1.5.10 No Exemplo 1.5.4 obtemos que ∫ 4 0 (x2 + 1)dx = 76 3 . Determine, se existir, um número que satisfaça o teorema do valor médio para esta integral. Solução: Como f(x) = x2 + 1 é uma função contínua no intervalo [0, 4] o Teorema do Valor Médio para Integrais garante que existe c ∈ (0, 4) de modo que ∫ 4 0 (x2 + 1)dx = f(c)(4 − 0). Assim, c2 + 1 = 76 4 · 3 ⇒ c2 = 16 3 ⇒ c = ± 4 √ 3 3 . 13
- 24. Observe que c= − 4 √ 3 3 não está no intervalo que procuramos a solução. Portanto, c = 4 √ 3 3 satisfaz a conclusão do Teorema 1.5.9. O Teorema do Valor Médio para Integrais tem uma interpretação geométrica interessante se f(x) ≥ 0 em [a, b]. Neste caso ∫ b a f(x)dx é a área sob o gráco de f de a até b, e o número f(c) do Teorema 1.5.9 é a ordenada do ponto P do gráco de f com abscissa c (veja a Figura 1.12) Traçando-se uma reta horizontal por P a área da região retangular limitada por essa reta, pelo eixo x e pelas reta x = a e x = b é f(c)(b − a) e que, pelo Teorema 1.5.9, é a mesma que a área sob o gráco de f de a até b. y x c a b P(c, f(c)) y=f(x) Figura 1.12: Interpretação geométrica do Teorema 1.5.9 OBSERVAÇÃO 1.5.11 O número c do Teorema 1.5.9 não é necessariamente único. De fato, se f for uma função constante então qualquer número c pode ser utilizado. OBSERVAÇÃO 1.5.12 O número 1 b − a ∫ b a f(x)dx é dito valor médio de f em [a, b]. 1.6 Teorema Fundamental do Cálculo Seja f : [a, b] → R uma função contínua integrável. Vamos xar o limite inferior a e variar o limite superior. Deniremos a função F (x) = ∫ x a f (t) dt ∀x ∈ [a, b]. Caso f (t) seja sempre positiva, então F (x) será numericamente igual a área do trapezóide curvilíneo da Figura 1.13. TEOREMA 1.6.1 Seja f : [a, b] → R uma função contínua no intervalo [a, b], então a função F (x) = ∫ x a f (t) dt é uma primitiva da função f, ou seja, F′ (x) = f (x). 14
- 25. y x f(x) a x x+x F(x) F(x+ x) Figura 1.13: Representação geométrica de F(x) DEMONSTRAÇÃO: Utilizando a denição de derivada, temos que F′ (x) = lim ∆x→0 F(x + ∆x) − F(x) ∆x = lim ∆x→0 1 ∆x [∫ x+∆x a f (t) dt − ∫ x a f (t) dt ] = lim ∆x→0 1 ∆x [∫ x a f (t) dt + ∫ x+∆x x f (t) dt − ∫ x a f (t) dt ] = lim ∆x→0 1 ∆x ∫ x+∆x x f (t) dt, porém, pelo Teorema 1.5.9, sabemos que existe c ∈ [x, x + ∆x] tal que ∫ x+∆x x f (t) dt = f (c) (x + ∆x − x) = f(c)∆x e portanto F′ (x) = lim ∆x→0 f (c) mas, quando ∆x → 0 temos que c → x como f é contínua, obtemos que f (c) → f(x) e assim ca demonstrado que F′ (x) = lim ∆x→0 F (x + ∆x) − F (x) ∆x = f (x) . Uma consequência desse teorema é o corolário que segue: COROLÁRIO 1.6.2 Se f : [a, b] → R for contínua no intervalo [a, b], então F : [a, b] → R é derivável em (a, b) e F′ (x) = f (x) . A função F : [a, b] → R, denida acima, é denominada primitiva de f : [a, b] → R e pelo Teorema 1.6.1 toda função contínua num intervalo [a, b] possui primitiva em [a, b]. TEOREMA 1.6.3 Se f : [a, b] → R for contínua em [a, b] , então ∫ b a f(x)dx = G(b) − G(a) onde G é qualquer primitiva de f, isto é, uma função tal que G′ = f. 15
- 26. DEMONSTRAÇÃO: Seja F(x)= ∫ x a f(t)dt. Pelo Teorema 1.6.1 sabemos que F′ (x) = f(x), isto é, F é uma primitiva de f. Se G for qualquer outra primitiva de f em [a, b], então elas diferem por uma constante, isto é, G(x) = F(x) + c. Assim, G(b) − G(a) = [F(b) + c] − [F(a) + c] = ∫ b a f(t)dt − ∫ a a f(t)dt = ∫ b a f(t)dt Trocando t por x obtemos ∫ b a f(x)dx = G(b) − G(a) como queríamos demonstrar. A notação usual é ∫ b a f(x)dx = G(x) b a . O teorema fundamental do cálculo permite que sejam determinadas as integrais denidas das funções contínuas em intervalos fechados sem usar o método visto para encontrar somas superiores e inferiores. EXEMPLO 1.6.4 Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo encontre a área sob o gráco de f : [0, 4] → R denida por f (x) = x2 + 1. Solução: Pelo Teorema 1.6.3 a área desejada é dada por A = ∫ 4 0 (x2 + 1)dx = x3 3 + x 4 0 = 64 3 + 4 = 76 3 . Compare este resultado com o resultado obtido no Exemplo 1.5.4. EXEMPLO 1.6.5 Calcule a área da região situada entre o eixo x e a curva f(x) = 1 8 (x2 −2x+8), com x no intervalo de [−2, 4]. Solução: Uma representação gráca pode ser visualizada na gura 1.14. Pelo teorema fundamental do cálculo temos que A = ∫ 4 −2 1 8 (x2 − 2x + 8)dx = 1 8 ( x3 3 − x2 + 8x) 4 −2 = 1 8 [ 43 3 − 42 + 8(4) − ( (−2)3 3 − (−2)2 + 8(−2) )] = 1 8 [ 64 3 − 16 + 32 + 8 3 + 4 + 16 ] = 60 8 = 15 2 u.a. 16
- 27. y x Figura 1.14: Áreasob o gráco de f(x) = 1 8 (x2 − 2x + 8) 1.6.6 Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão) Para utilizar o teorema fundamental do cálculo, é essencial que se saiba obter a primitiva (anti-derivada) de uma função. Vamos então relembrar, do cálculo I, alguns processos clás- sicos de integração que serão muito úteis na resolução de problemas que envolvem integral denida. i. Mudança de Variável TEOREMA 1.6.7 Sejam f : [a, b] → R uma função contínua e g : [α, β] → R uma função derivável tal que g′ é integrável e g ([α, β]) ⊂ [a, b] e, além disso g (α) = a e g (β) = b. Então ∫ b a f (x) dx = ∫ β α f (g (t)) g′ (t) dt. DEMONSTRAÇÃO: Sejam f : [a, b] → R uma função contínua e g : [α, β] → R uma função derivável com g′ integrável e g ([α, β]) ⊂ [a, b] com g (α) = a e g (β) = b. Então f possui uma primitiva F : [a, b] → R e, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos ∫ b a f (x) dx = F (g (β)) − F (g (α)) . Por outro lado, pela regra da cadeia temos que (F ◦ g)′ (t) = F′ (g (t)) g′ (t) = f (g (t)) g′ (t) para todo t ∈ [α, β], consequentemente, (F ◦ g) (t) : [α, β] → R é uma primitiva da função integrável f (g (t)) g′ (t). Portanto, obtém-se: ∫ β α f (g (t)) g′ (t) dt = F (g (β)) − F (g (α)) = ∫ b a f (x) dx. EXEMPLO 1.6.8 Calcular a integral denida ∫ 5 1 √ x − 1 x dx, usando o Teorema 1.6.7. 17
- 28. Solução: Primeiro vamosencontrar a função g (t). Seja t = √ x − 1 (note que t ≥ 0), então podemos escrever x = t2 + 1 e assim obtemos g (t) = t2 + 1, cuja derivada é g′ (t) = 2t. Vamos agora determinar os valores de α e β. Como temos que g (α) = a = 1 e g (β) = b = 5 segue que α2 + 1 = 1 ⇒ α2 = 0 ⇒ α = 0 β2 + 1 = 5 ⇒ β2 = 4 ⇒ β = 2. Na sequência, determinaremos f (g (t)). Como f (x) = √ x − 1 x , obtemos f (g (t)) = √ g (t) − 1 g (t) = √ t2 + 1 − 1 t2 + 1 = t t2 + 1 . Finalmente, vamos determinar o valor da integral, usando o Teorema 1.6.7, obtemos: ∫ 5 1 √ x − 1 x dx = ∫ 2 0 t t2 + 1 2tdt = 2 ∫ 2 0 t2 t2 + 1 dt = 2 ∫ 2 0 t2 + 1 − 1 t2 + 1 dt = = 2 ∫ 2 0 t2 + 1 t2 + 1 − 1 t2 + 1 dt = 2 ∫ 2 0 dt − 2 ∫ 2 0 dt t2 + 1 = = 2t 2 0 − 2 arctan t 2 0 = 4 − 2 arctan 2. ii. Integração por partes TEOREMA 1.6.9 Sejam f, g : [a, b] → R funções que possuem derivadas integráveis, então ∫ b a f(x)g′ (x)dx = f(x)g(x) b a − ∫ b a f′ (x)g(x)dx. Na prática, costumamos chamar u = f(x) ⇒ du = f′ (x)dx dv = g′ (x)dx ⇒ v = g(x) e substituindo na igualdade acima, obtemos: ∫ b a udv = uv b a − ∫ b a vdu. EXEMPLO 1.6.10 Determine o valor da integral ∫ π 3 0 sin3 xdx. Solução: Nesse caso, fazemos: u = sin2 x ⇒ du = 2 sin x cos xdx dv = sin xdx ⇒ v = ∫ sin xdx = − cos x 18
- 29. e encontramos ∫ π 3 0 sin3 xdx= sin2 x(− cos x) π 3 0 − ∫ π 3 0 − cos x(2 sin x cos x)dx = − sin2 x cos x π 3 0 + 2 ∫ π 3 0 cos2 x sin xdx = (− sin2 x cos x − 2 3 cos3 x) π 3 0 = − 3 4 · 1 2 − 1 12 + 2 3 = 5 24 . 1.7 Integrais Impróprias DEFINIÇÃO 1.7.1 Seja f : [a, ∞) → R uma função contínua para todo x ∈ [a, +∞). De- nimos ∫ +∞ a f (x) dx = lim b→+∞ ∫ b a f (x) dx, desde que o limite exista. EXEMPLO 1.7.2 Encontre o valor numérico da integral ∫ +∞ 0 1 1 + x2 dx. y x Figura 1.15: Área sob o gráco de f(x) = 1 1+x2 Solução: Veja o gráco de f na Figura 1.15. Pela denição 1.7.1 temos que ∫ +∞ 0 1 1 + x2 dx = lim b→+∞ ∫ b 0 1 1 + x2 dx = lim b→+∞ arctan x b 0 = lim b→+∞ (arctan b − arctan 0) = lim b→+∞ arctan b = π 2 . DEFINIÇÃO 1.7.3 Seja f : (−∞, b] → R uma função contínua para todo x ∈ (−∞, b]. Denimos ∫ b −∞ f (x) dx = lim a→−∞ ∫ b a f (x) dx, desde que o limite exista. EXEMPLO 1.7.4 Encontre o valor numérico da integral ∫ 0 −∞ 1 1 + x2 dx. 19
- 30. Solução: Pela denição1.7.3 temos que ∫ 0 −∞ 1 1 + x2 dx = lim a→−∞ ∫ 0 a 1 1 + x2 dx = lim a→−∞ arctan x 0 a = lim a→−∞ [arctan 0 − arctan a] = − lim a→−∞ arctan a = − ( − π 2 ) = π 2 . DEFINIÇÃO 1.7.5 Seja f : (−∞, ∞) → R uma função contí nua para todo x ∈ (−∞, +∞). Denimos ∫ +∞ −∞ f (x) dx = lim a→−∞ ∫ c a f (x) dx + lim b→+∞ ∫ b c f (x) dx, desde que os limites existam. EXEMPLO 1.7.6 Encontre o valor numérico da integral ∫ +∞ −∞ 1 1 + x2 dx. Solução: Pela denição 1.7.5, tomando c = 0, obtemos ∫ +∞ −∞ 1 1 + x2 dx = lim a→−∞ ∫ 0 a 1 1 + x2 dx + lim b→+∞ ∫ b 0 1 1 + x2 dx = lim a→−∞ arctan x 0 a + lim b→+∞ arctan x b 0 = lim a→−∞ (arctan 0 − arctan a) + lim b→+∞ (arctan b − arctan 0) = lim a→−∞ arctan a + lim b→+∞ arctan b = − ( − π 2 ) + π 2 = π. 1.8 Integral de uma Função Descontínua num Ponto c ∈ [a, b] DEFINIÇÃO 1.8.1 Seja f : [a, b] → R uma função contínua no intervalo [a, b], exceto no ponto c ∈ [a, b]. Denimos ∫ b a f (x) dx = lim α→c− ∫ α a f (x) dx + lim β→c− ∫ b β f (x) dx, desde que os limites acima existam. EXEMPLO 1.8.2 Encontre o valor numérico da integral ∫ 1 −1 1 x2 dx. 20
- 31. y x Figura 1.16: Áreasob o gráco de f(x) = 1 x2 Solução: O integrando é contínuo em todo ponto pertencente ao intervalo [−1, 1] , exceto em x = 0 (observe a Figura 1.16). Pela denição 1.8.1, temos que ∫ 1 −1 1 x2 dx = lim α→0− ∫ α −1 1 x2 dx + lim β→0+ ∫ 1 β 1 x2 dx = lim α→0− −1 x α −1 + lim β→0+ |frac−1x 1 β = lim α→0− [ −1 α − ( −1 −1 )] + lim β→0+ [ −1 − ( −1 β )] = [+∞ − 1] + [−1 + ∞] = +∞ Consequentemente, a função f(x) = 1 x2 não é integrável no intervalo [−1, 1]. OBSERVAÇÃO 1.8.3 Quando os limites que aparecem nas denições anteriores existirem e forem nitos, dizemos que a integral imprópria converge. Caso contrário, ou seja, quando um dos limites não existir, dizemos que a integral imprópria diverge. 1.9 Aplicações da Integral Denida 1.9.1 Área em coordenadas retangulares Vimos que, se uma função f for não negativa, isto é, f (x) ≥ 0 para todo x no intervalo [a, b], então a área da região delimitada pelas curvas x = a, x = b, y = 0 e y = f (x) é dada por A = ∫ b a f (x) dx. No caso mais geral, estaremos interessados em calcular a área da região situada entre os grácos de duas funções f e g, com f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], de acordo com a Figura 1.17. Nesta situação, devemos utilizar uma diferença de áreas e obter que A = ∫ b a f(x)dx − ∫ b a g(x)dx = ∫ b a (f(x) − g(x)) dx. 21
- 32. y x b a y=f(x) y=g(x) Figura 1.17: Regiãoentre duas curvas Na expressão acima, o termo f(x) − g(x) corresponde à altura de um retângulo innite- simal de base dx. Note que, se uma função g for negativa, isto é, se g(x) 0 para todo x ∈ [a, b], a área da região situada entre as curvas x = a, x = b, y = 0 e y = g (x) será dada por A = ∫ b a (0 − g(x)) dx = − ∫ b a g(x)dx. EXEMPLO 1.9.2 Calcule a área da região situada entre o eixo x e o gráco da função f (x) = 2x, com x no intervalo [−2, 2] . Solução: A representação gráca de f pode ser observada na Figura 1.18. Como esta função tem imagem negativa no intervalo [−2, 0] e não negativa no intervalo [0, 2], devemos proceder como segue x y Figura 1.18: Área entre o eixo x e o gráco de f(x) = 2x A = ∫ 0 −2 (0 − 2x)dx + ∫ 2 0 (2x − 0)dx = ∫ 0 −2 −2xdx + ∫ 2 0 2xdx = −x2 0 −2 + x2 2 0 = 8 u.a. Logo, a área sob o gráco da função f (x) = 2x, no intervalo [−2, 2] , é igual a 8 unidades de área. 22
- 33. EXEMPLO 1.9.3 Calculea área da região delimitada pelas curvas y = x2 e y = √ x. Solução: Nesse exemplo não foi especicado o intervalo em que está situada a região deli- mitada pelas curvas. Devemos determinar este intervalo encontrando os pontos de interseção das curvas. Para isso, basta resolver o sistema de equações { y = x2 y = √ x . É fácil ver que a solução vem da igualdade x2 = √ x e os valores de x que tornam essa sentença verdadeira são x = 0 e x = 1. Desse modo, a região delimitada pelas curvas y = x2 e y = √ x ca determinada se x ∈ [0, 1]. y x Figura 1.19: Região delimitada por y = x2 e y = √ x. De acordo com a Figura 1.19, podemos observar que a área desejada pode ser obtida através da diferença entre as áreas das regiões situadas sob o gráco de y = √ x e sob o gáco de y = x2 , com x ∈ [0, 1] . Assim, temos que A = ∫ 1 0 (√ x − x2 ) dx = 2 3 x 3 2 − 1 3 x3 1 0 = 2 3 − 1 3 = 1 3 u.a. Portanto, a área desejada é igual a 1 3 unidades de área. EXEMPLO 1.9.4 Calcule a área da região hachurada na Figura 1.20. x y Figura 1.20: Área sob o gráco de f(x) = 1 8 (x2 − 2x + 8) Solução: Primeiro vamos identicar a lei que dene as funções lineares presentes no gráco. Uma reta passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e a outra passa pelos pontos (0, 0) e (2, 1 2 ). Portanto 23
- 34. as equações destasretas são y = x e y = x 4 , respectivamente. Existem várias maneiras de calcular esta área, uma delas está apresentada a seguir: A = ∫ 1 0 ( x − 1 4 x ) dx + ∫ 2 1 ( 1 x − 1 4 x ) dx = 3 4 ∫ 1 0 xdx + ∫ 2 1 1 x dx − 1 4 ∫ 2 1 xdx = 3 8 x2 1 0 + ( ln |x| − 1 8 x2 ) 2 1 = 3 8 + ln(2) − 1 2 − ( ln(1) − 1 8 ) = 4 8 − 1 2 + ln(2) = ln(2) u.a. Portanto, a área desejada é igual a ln(2) unidades de área. EXEMPLO 1.9.5 Achar a área da região delimitada pelos grácos de y + x2 = 6 e y + 2x = 3. Solução: Inicialmente, encontramos as interseções das curvas: { y = 6 − x2 y = 3 − 2x ⇒ 6 − x2 = 3 − 2x ⇒ x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x = −1 ou x = 3. A seguir, fazemos a representação gráca da área delimitada, conforme ilustra a Figura 1.21. y x Figura 1.21: Área delimitada por y + x2 = 6 e y + 2x = 3. Podemos então obter a área desejada calculando a área sob a parábola e descontando a área sob a reta, no intervalo de [−1, 3], ou seja, A = ∫ 3 −1 [(6 − x2 ) − (3 − 2x)]dx = ∫ 3 −1 (3 − x2 + 2x)dx = 3x − x3 3 + x2 3 −1 = 9 − 27 3 + 9 − (−3 + 1 3 + 1) = 32 3 u.a. 24
- 35. Portanto, a áreadesejada é igual a 32 3 unidades de área. EXEMPLO 1.9.6 Encontre o valor da área delimitada pelas curvas y = x2 , y = 2 − x2 e y = 2x + 8. Solução: Inicialmente vamos fazer uma representação gráca, conforme ilustra a Figura 1.22. Na sequência, vamos encontrar as interseções das curvas. Figura 1.22: Região delimitada por y = x2 , y = 2 − x2 e y = 2x + 8 Para a reta e a parábola, temos o sistema { y = x2 y = 2x + 8 cujas soluções são x = 4, y = 16 e x = −2, y = 4. Para as duas parábolas, temos os sistemas { y = x2 y = 2 − x2 cujas soluções são x = 1, y = 1 e x = −1, y = 1. Como ocorre duas trocas no limitante inferior da região, devemos dividir a área desejada em três partes, a saber: A1 = ∫ −1 −2 (2x + 8) − (x2 )dx = ∫ −1 −2 (2x + 8 − x2 )dx = 8 3 , A2 = ∫ 1 −1 (2x + 8) − (2 − x2 )dx = ∫ 1 −1 (2x + 6 + x2 )dx = 38 3 , A3 = ∫ 4 1 (2x + 8) − (x2 )dx = 18. Portanto, a área desejada é dada por A = A1 + A2 + A3 = 8 3 + 38 3 + 18 = 100 3 u.a. EXEMPLO 1.9.7 Calcule, de duas formas distintas, a área da região delimitada pelas curvas x = y + 1 e x = y2 − 1. Solução: Iniciamos com a representação geométrica da região, que está esboçada na Figura 1.23. A seguir, devemos encontrar os pontos de interseção entre as curvas, igualando suas equações, obtendo y2 − 1 = y + 1 ⇒ y2 − y − 2 = 0 ⇒ y = −1 e y = 2 25
- 36. x y Figura 1.23: Regiãoentre as curvas x = y + 1 e x = y2 − 1 e ainda, y = −1 ⇒ x = 0 e y = 2 ⇒ x = 3. Uma primeira forma de calcular a área desejada é proceder como nos exemplos anteriores, onde tomamos x como variável de integração. Para isso, devemos isolar y em função de x, obtendo y = x − 1 e y = ± √ x + 1. Note que o sinal positivo na última equação corresponde à porção da parábola situada acima do eixo x e o sinal negativo corresponde a parte situada abaixo do eixo. Como ocorre troca na limitação inferior da região, devemos tomar uma soma de integrais para calcular sua área, conforme segue A = ∫ 0 −1 √ x + 1 − (− √ x + 1)dx + ∫ 3 0 √ x + 1 − (x − 1)dx = ∫ 0 −1 2 √ x + 1dx + ∫ 3 0 ( √ x + 1 − x + 1)dx = 4 3 √ (x + 1)3 0 −1 + 2 3 √ (x + 1)3 − x2 2 + x 3 0 = 4 3 + 16 3 − 9 2 + 3 − 2 3 = 9 2 u.a. Uma segunda maneira de calcular esta área é mantendo y como variável independente e tomar a integração em relação a y. Neste caso, a curva superior está situada à direita,ou seja, é a reta x = y +1 e a curva inferior está situada à esquerda, ou seja, é a parábola x = y2 −1. Como desta forma não ocorre troca de limitação, podemos calcular a área tomando uma única integral A = ∫ 2 −1 (y + 1) − (y2 − 1)dy = ∫ 2 −1 (y − y2 + 2)dy = y2 2 − y3 3 + 2y 2 −1 = 2 − 8 3 + 4 − ( 1 2 − 1 3 − 2 ) = 9 2 u.a. 26
- 37. Observe que atroca da variável de integração resultou numa expressão cuja integral era mais simples de ser resolvida. Desta forma, é importante saber escrever integrais que permitem calcular áreas tomando tanto x quanto y como variáveis de integração, para depois optar por resolver aquela que se mostrar mais simples. EXEMPLO 1.9.8 Escreva a(s) integral(is) que permite(m) calcular a área da região delimitada simultaneamente pelas curvas de equações y = √ x − 2, x + y = 2 e x + 2y = 5, tomando: (a) integração em relação a x. (b) integração em relação a y. Solução: Iniciamos com a representação geométrica da região, esboçada na Figura 1.24. Note que temos apenas o ramo superior da parábola, pois y = √ x − 2 ≥ 0. x y Figura 1.24: Região delimitada por y = √ x − 2, x + y = 2 e x + 2y = 5 O próximo passo é obter as interseções entre as curvas. Entre as duas retas, temos o sistema { x + y = 2 x + 2y = 5 , cuja solução é x = −1, y = 3. Entre a parábola e uma das retas, temos o sistema { y = √ x − 2 x + y = 2 , cuja solução é x = 2, y = 0. E entre a outra reta e a parábola, temos o sistema { y = √ x − 2 x + 2y = 5 , cuja solução é x = 3, y = 1. Agora podemos montar as integrais que permitem calcular a área desejada. (a) Tomando integração em relação a x, devemos isolar y em função de x,obtendo y = 5 − x 2 para a reta superior, y = 2−x para a reta inferior e y = √ x − 2 para a parábola, que também é um limitante inferior. Como ocorre troca na limitação inferior em x = 2, precisamos de duas integrais. A = ∫ 2 −1 ( 5 − x 2 ) − (2 − x)dx + ∫ 3 2 ( 5 − x 2 ) − (√ x − 2 ) dx = ∫ 2 −1 1 + x 2 dx + ∫ 3 2 ( 5 − x 2 − √ x − 2 ) dx. (b) Tomando integração em relação a y, devemos isolar x em função de y, obtendo x = 5−2y para a reta superior, x = 2 − y para a reta inferior e x = y2 + 2 para a parábola, que neste 27
- 38. caso também éum limitante superior. Como ocorre troca na limitação superior em y = 1, necessitamos também de duas integrais. A = ∫ 1 0 (y2 + 2) − (2 − y)dy + ∫ 3 1 (5 − 2y) − (2 − y)dy = ∫ 1 0 (y2 + y)dy + ∫ 3 1 (3 − y) dy. Neste exemplo, as duas expressões obtidas envolvem soma de integrais. Mesmo assim, é fácil notar que a expressão na qual y é a variável independente é a mais simples de ser resolvida. Assim, se o enunciado solicitasse que fosse calculado o valor numérico da área em questão, deveríamos optar por resolver esta expressão. 1.9.9 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétri- cas Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a, b], cujo gráco delimita uma região R. A seguir, vamos obter uma nova expressão para a área da região R, utilizando as equações paramétricas x = ϕ (t) e y = ψ (t), com t ∈ [α, β] , da curva descrita por f. Para isto, basta lembrar que a área de uma região retangular é dada por A = ∫ b a f (x) dx = ∫ b a ydx. Agora, fazendo a substituição y = ψ (t) e dx = ϕ′ (t)dt e supondo que a = ϕ(α) e b = ϕ(β) obtemos a expressão para o cálculo de área em coordenadas paramétricas: A = ∫ β α ψ(t)ϕ′ (t)dt. EXEMPLO 1.9.10 Encontre a área delimitada pela elipse x2 a2 + y2 b2 = 1. Solução: As equações paramétricas da elipse dada são x = ϕ (t) = a cos t e y = ψ (t) = b sin t. Desse modo, temos que dx = ϕ′ (t) dt = −a sin tdt Vamos agora determinar os valores de α e β. Utilizando a quarta parte da área desejada, temos que x varia de 0 até a. Assim, podemos fazer x = ϕ (α) = 0 e x = ϕ (β) = a. Logo ϕ (α) = 0 ⇒ a cos α = 0 ⇒ cos α = 0 ⇒ α = π 2 ϕ (β) = a ⇒ a cos β = a ⇒ cos β = 1 ⇒ β = 0. Agora, para obter a área total interna à elipse basta utilizar a simetria da região e obter que A = 4 ∫ 0 π 2 b sin t(−a sin t)dt = −4ab ∫ 0 π 2 sin2 tdt = 4ab ∫ π 2 0 1 2 (1 − cos 2t) dt = 2ab ( t − 1 2 sin 2t ) π 2 0 = 2ab ( π 2 − 1 2 sin π − 0 ) = abπ. 28
- 39. EXEMPLO 1.9.11 Calculara área da região que é interior a elipse E1 = { x = 2 cos t y = 4 sin t e exterior a elipse E2 = { x = 2 cos t y = sin t . Figura 1.25: Região entre as elipses. Solução: A região cuja área desajamos calcular pode ser vista na Figura 1.25. Novamente, podemos utilizar argumentos de simetria e calcular a área da região situada no primeiro quadrante do plano xy e multiplicar o resultado por quatro. Neste quadrante, temos que x ∈ [0, 2]. No entanto x = 0 ⇒ 2 cos t = 0 ⇒ t = π 2 x = 2 ⇒ 2 cos t = 2 ⇒ cos t = 1 ⇒ t = 0, logo, para descrever a região que nos interessa, em coordenas paramétricas, devemos integrar de t = π 2 até t = 0. Assim, notando que neste exemplo devemos tomar a diferença entre as áreas sob as elipses E1 e E2, obtemos A = 4 ∫ 0 π 2 [4 sin t(−2 sin t)dt − 4 ∫ 0 π 2 sin t(−2 sin t)]dt = ∫ 0 π 2 (−32 sin2 t + 8 sin2 t)dt = ∫ 0 π 2 −24 sin2 tdt = 24 ∫ π 2 0 1 2 (1 − cos 2t)dt = ( 12t − 12 2 sin 2t ) π 2 0 = 6π u.a. 1.9.12 Área de um setor cuvilíneo em coordenadas polares Seja r = f (θ) uma função contínua que descreve uma curva em coordenadas polares, no intervalo [α, β]. Como nosso interesse é determinar a área da região delimitada por r = f (θ) vamos tomar uma partição do intervalo [α, β], conforme ilustra a Figura 1.26. Seja X = {θ0, θ1, θ2, θ3, ..., θn} uma partição de [α, β] em que α = θ0 θ1 θ2 θ3 ... θn = β. Sejam ∆θ1, ∆θ2, ∆θ3,..., ∆θn os subarcos da partição X e seja ri o comprimento do raio correspondente a um ângulo ξi ∈ ∆θi, isto é, θi−1 ≤ ξi ≤ θi. A área do setor circular de raio ri e arco ∆θi é dada por Ai = 1 2 (ri)2 ∆θi e a área aproximada área da região delimitada por r = f (θ) é dada por 29
- 40. Figura 1.26: RegiãoPolar, com ∆θi = θi − θi−1 e ri = f(θi). An = n ∑ i=1 1 2 (ri)2 ∆θi. Seja |∆θ| o subintervalo de maior diâmetro da partição X. Então, se n tender a innito teremos que |∆θ| tenderá a zero. Desse modo poderemos escrever A = lim n→∞ An = lim |∆θ|→0 n ∑ i=1 1 2 (ri)2 ∆θi = 1 2 ∫ β α r2 dθ ou seja, A = 1 2 ∫ β α r2 dθ, (1.9.1) que nos fornece uma expressão para o cálculo de áreas delimitadas por curvas em coordenadas polares. EXEMPLO 1.9.13 Determine a área da região que é simultaneamente exterior à cardióide r = 1 − cos θ e interior ao círculo r = 1. Solução: A Figura 1.27 ilustra a região considerada. Figura 1.27: Região delimitada por um cardióide e por uma circunferência. Como esta região é simétrica em relação ao eixo x, podemos calcular o dobro da área da porção situada no primeiro quadrante do plano xy. Neste quadrante, temos que o ângulo polar θ varia no intervalo [0, π 2 ]. Ainda, devemos notar que a área desejada é dada, em 30
- 41. coordenadas polares, peladiferença entres as áreas da circunferência e da cardióide. Assim, usando a expressão 1.9.1, obtemos A = 2 2 ∫ π 2 0 12 dθ − 2 2 ∫ π 2 0 (1 − cos θ)2 dθ = ∫ π 2 0 (2 cos θ − cos2 θ)dθ = ∫ π 2 0 2 cos θ − 1 2 (1 + cos 2θ)dθ = 2 sin θ − 1 2 θ − 1 4 sin 2θ π 2 0 = 2 − π 4 . Portanto, a área desejada é igual 2 − π 4 unidades de área. EXEMPLO 1.9.14 Escreva, em coordenadas polares, a integral que calcula a área da região simultaneamente exterior à circunferência r = 1 e interior a rosácea r = 2 cos(2θ). Solução: A Figura 1.28 ilustra a região desejada. Para determinar os pontos de interseção das duas curvas fazemos 2 cos(2θ) = 1 ⇒ cos 2θ = 1 2 ⇒ 2θ = π 3 ⇒ θ = π 6 ( no 1o quadrante). Figura 1.28: Região delimitada por uma rosácea e uma circunferência Vamos calcular a área da região delimitada com θ no intervalo de [0, π 6 ] e multiplicar por 8, já que as demais áreas são simétricas. Utilizando a Fórmula 1.9.1 e vericando que a área desejada é igual a área da rosácea menos a área da circunferência, obtemos A = 8 · 1 2 ∫ π 6 0 [(2 cos(2θ))2 − (1)2 ]dθ = 4 ∫ π 6 0 (4 cos2 (2θ) − 1)dθ. EXEMPLO 1.9.15 Escreva a integral que permite calcular a área da região que é simultanea- mente interior as curvas r = 5 cos θ e r = 5 √ 3 sin θ. Solução: Inicialmente, devemos identicar as curvas dadas. Utilizando as relações polares x = r cos θ, y = r sin θ e r2 = x2 + y2 , obtemos que r = 5 cos θ ⇒ r2 = 5r cos θ ⇒ x2 + y2 = 5x ⇒ ( x − 5 2 )2 + y2 = 25 4 r = 5 √ 3 sin θ ⇒ r2 = 5 √ 3r sin θ ⇒ x2 + y2 = 5 √ 3y ⇒ x2 + (y − 5 √ 3 2 )2 = 75 4 31
- 42. Figura 1.29: Regiãosituada entre circunferências e assim, vemos que a região que nos interessa está situada no interior de duas circunferências, de centros deslocados da origem, conforme ilustra a Figura 1.29. A seguir, devemos determinar a interseção entre as curvas 5 √ 3 sin θ = 5 cos θ ⇒ √ 3 tan θ = 1 ⇒ tan θ = √ 3 3 ⇒ θ = π 6 . Finalmente, observamos que ao descrever a região desejada, devemos considerar r = 5 √ 3 sin θ para θ ∈ [0, π 6 ] e r = 5 cos θ para θ ∈ [ π 6 , π 2 ]. Portanto, como ocorre troca de limitação para o raio polar, necessitamos de uma soma de integrais para calcular a área desejada A = 1 2 ∫ π 6 0 (5 √ 3 sin θ)2 dθ + 1 2 ∫ π 2 π 6 (5 cos θ)2 dθ = 1 2 ∫ π 6 0 75 sin2 θdθ + 1 2 ∫ π 2 π 6 25 cos2 θdθ. 1.10 Comprimento de Arco 1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a, b] , cujo gráco descreve o arco d AB, conforme ilustra a Figura 1.30. a b xi Mn xi-1 x1 Δs M0 Δx f(xi) Δy y x f(xi-1) M1 Mi-1 Mi Figura 1.30: Comprimento de arco 32
- 43. Vamos dividir oarco d AB em subarcos por meio da partição X = {M0, M1, M2, ..., Mn} em que A = M0 M1 M2 ... Mn = B cujas abscissas são x0, x1, x2, ..., xn. Tracemos as cordas M0M1, M1M2, · · · , Mi−1Mi, · · · , Mn−1Mn e designemos os seus comprimentos por ∆S1, ∆S2, · · · , ∆Si, · · · , ∆Sn. Obtém-se então a linha poligonal AM0M1 · · · Mn−1B ao longo do arco d AB cujo comprimento aproximado é dado por ln = ∆S1 + ∆S2 + · · · + ∆Si + · · · + ∆Sn ou seja, ln = n ∑ i=1 ∆Si. (I) Mas ∆Si é a hipotenusa do triângulo de lados ∆xi e ∆yi, de modo que podemos escrever (∆Si)2 = (∆xi)2 + (∆yi)2 , dividindo tudo por ∆xi obtemos ( ∆Si ∆xi )2 = ( ∆xi ∆xi )2 + ( ∆yi ∆xi )2 ou seja, ∆Si ∆xi = √ 1 + ( ∆yi ∆xi )2 e assim ∆Si = √ 1 + ( ∆yi ∆xi )2 ∆xi. (II) Agora, como ∆xi = xi − xi−1 e ∆yi = f (xi) − f (xi−1) segue que ∆yi ∆xi = f (xi) − f (xi−1) xi − xi−1 e pelo teorema de Lagrange, sabemos que existe ξi ∈ [xi−1, xi] tal que f (xi) − f (xi−1) xi − xi−1 = f′ (ξi) . Portanto, obtemos que 33
- 44. ∆yi ∆xi = f′ (ξi) .(III) Substituindo (II) em (I) resulta que ln = n ∑ i=1 √ 1 + ( ∆yi ∆xi )2 ∆xi (IV ) e substituindo (III) em (IV ) resulta que ln = n ∑ i=1 √ 1 + (f′ (ξi))2 ∆xi. Seja |∆x| o intervalo de maior diâmetro de cada partição de d AB. Então, se n → ∞, segue que |∆x| → 0 e (ξi) → x. Assim: l = lim n→∞ ln = lim |∆x|→0 n ∑ i=1 √ 1 + (f′ (ξi))2 ∆xi = ∫ b a √ 1 + (f′ (x))2 dx. Portanto, o comprimento do arco d AB no intervalo [a, b] é dado por l = ∫ b a √ 1 + (f′ (x))2 dx. (1.10.1) EXEMPLO 1.10.2 Determinar o comprimento do arco da curva descrita por y = √ x, com x no intervalo [0, 4] . Solução: A Figura 1.31 ilustra o comprimento de arco considerado. y x Figura 1.31: Arco de f(x) = √ x Como y = f (x) = √ x temos que f′ (x) = 1 2 √ x . Aplicando a fórmula 1.10.1, obtemos l = ∫ b a √ 1 + (f′ (x))2 dx = ∫ 4 0 √ 1 + ( 1 2 √ x )2 dx = ∫ 4 0 √ 1 + 1 4x dx = ∫ 4 0 √ 4x + 1 4x dx = 1 2 ∫ 4 0 √ 4x + 1 √ x dx. Note que esta última integral é imprópria, pois o integrando não é contínuo em x = 0. No entanto, neste exemplo não será preciso aplicar limites para resolver a integral, pois podemos utilizar uma mudança de variáveis. Fazendo a substituição t2 = x, encontramos dx = 2tdt e como x ∈ [0, 4], obtemos que t ∈ [0, 2] . Logo l = 1 2 ∫ 2 0 √ 4t2 + 1 √ t2 2tdt = ∫ 2 0 √ 4t2 + 1dt. 34
- 45. Como o novointegrando agora é contínuo no intervalo de integração, podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo e uma tabela de integrais para encontrar que l = 1 2 t √ 4t2 + 1 + 1 4 ln ( 2t + √ 4t2 + 1 ) 2 0 = √ 17 + 1 4 ln(4 + √ 17) u.c. 1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas Sejam x = ϕ (t) e y = ψ (t) , com t ∈ [α, β] , as equações paramétricas da curva descrita por y = f (x) . Então, como dx = ϕ′ (t) dt e dy = ψ′ (t) dt, podemos escrever f′ (x) = dy dx = ψ′ (t) dt ϕ′ (t) dt = ψ′ (t) ϕ′ (t) . Substituindo na fórmula 1.10.1 obtemos l = ∫ b a √ 1 + (f′ (x))2 dx = ∫ β α √ 1 + (ψ′ (t))2 (ϕ′ (t))2 ϕ′ (t) dt = ∫ β α √ (ϕ′ (t))2 + (ψ′ (t))2 ϕ′ (t)2 ϕ′ (t) dt = ∫ β α √ (ϕ′ (t))2 + (ψ′ (t))2 ϕ′ (t) ϕ′ (t) dt = ∫ β α √ (ϕ′ (t))2 + (ψ′ (t))2 dt. Portanto, o comprimento de arco em coordenadas paramétricas é dado por l = ∫ β α √ (ϕ′ (t))2 + (ψ′ (t))2 dt. (1.10.2) EXEMPLO 1.10.4 Mostre, usando coordenadas paramétricas, que o comprimento de uma cir- cunferência de raio r é igual a 2πr. Solução: Em coordenadas paramétricas, a circunferência é descrita por { x(t) = r cos t y(t) = r sin t com t ∈ [0, 2π]. O seu comprimento de arco, em paramétricas, de acordo com 1.10.2 é dado por l = ∫ 2π 0 √ (−r sin t)2 + (r cos t)2dt = ∫ 2π 0 √ r2(sin2 t + cos2 t)dt = ∫ 2π 0 rdt = rt|2π 0 = 2πr. EXEMPLO 1.10.5 Calcule o comprimento de arco da astróide descrita por ϕ (t) = 3 cos3 t, ψ(t) = 3 sin3 t com t ∈ [0, 2π]. 35
- 46. y x 3 3 -3 -3 Figura 1.32: Astróide Solução:A curva pode ser visualizada na Figura 1.32. Como há simetria, podemos encontrar o comprimento do subarco situado no primeiro quadrante, tomando t ∈ [0, π 2 ] e multiplicar o resultado obtido por quatro. Como ϕ′ (t) = −9 cos2 sin t e ψ′ (t) = 9 sin2 t cos t, substituindo na fórmula 1.10.2, obtemos l = 4 ∫ π 2 0 √ (−9 cos2 t sin t)2 + ( 9 sin2 t cos t )2 dt = 4 · 9 ∫ π 2 0 √ cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 tdt = 36 ∫ π 2 0 √ cos2 t sin2 t ( cos2 t + sin2 t ) dt = 36 ∫ π 2 0 cos t sin tdt = 18 sin2 t π 2 0 = 18 u.c. Portanto, o comprimento de arco da astróide dada é 18 unidades de comprimento. EXEMPLO 1.10.6 As equações paramétricas do movimento de uma partícula no plano são dadas por x = 3t e y = 2t 3 2 . Qual será a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = 1? Solução: A distância percorrida pela partícula é igual ao comprimento de arco da curva que descreve a sua trajetória. Aplicando a fórmula 1.10.2 para x = ϕ(t) = 3t e y = ψ(t) = 2t 3 2 com t ∈ [0, 1], obtemos l = ∫ 1 0 √ 32 + (3t 1 2 )2dt = ∫ 1 0 √ 9 + 9tdt = 3 ∫ 1 0 √ 1 + tdt = 2(1 + t) 3 2 1 0 = 2(2) 3 2 − 2(1) 3 2 = 4 √ 2 − 2 u.c. Portanto, a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = 1 é igual a 4 √ 2 − 2 unidades de comprimento. 1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares Sejam ϕ (θ) = r cos θ e ψ (θ) = r sin θ as coordenadas polares da curva r = f (θ), com θ ∈ [α, β]. Substituindo r por f (θ) nas equações paramétricas vem ϕ (θ) = f (θ) cos θ e ψ (θ) = f (θ) sin θ 36
- 47. e assim ϕ′ (θ) =f′ (θ) cos θ − f (θ) sin θ = r′ cos θ − r sin θ ψ′ (θ) = f′ (θ) senθ + f (θ) cos θ = r′ senθ + r cos θ. Agora (ϕ′ (t)) 2 + (ψ′ (t)) 2 = (r′ cos θ − rsenθ) 2 + (r′ senθ + r cos θ) 2 que após aplicar os produtos notáveis e simplicar, resulta em (ϕ′ (t)) 2 + (ψ′ (t)) 2 = (r′ ) 2 + r2 . Substituindo na equação 1.10.2, obtemos a fórmula para o cálculo do comprimento de arco em coordenadas polares, que é dada por l = ∫ β α √ (r′)2 + r2dθ. (1.10.3) EXEMPLO 1.10.8 Encontrar o comprimento de arco do cardióide r = a (1 + cos θ). Solução: Por simetria, podemos determinar o comprimento do arco situado no primeiro e segundo quadrante e multiplicar por dois. Como r = a (1 + cos θ) tem-se r′ = −a sin θ. Substituindo na fórmula 1.10.3 vem l = ∫ β α √ (r′)2 + r2dθ = 2 ∫ π 0 √ (−a sin θ)2 + (a (1 + cos θ))2 dθ = 2a ∫ π 0 √ sin2 θ + 1 + 2 cos θ + cos2 θdθ = 2a ∫ π 0 √ 2 + 2 cos θdθ = 2a · 2 ∫ π 0 cos θ 2 dθ = 4a · 2 sin 1 2 θ π 0 = 8a u.c. Logo, o comprimento de arco do cardióide r = a (1 + cos θ) é igual a 8a u.c. EXEMPLO 1.10.9 Determine o comprimento de arco da porção da espiral r = 2e2θ (com θ ≥ 0) que está situada dentro da circunferência r = a, onde a 2. Solução: Inicialmente, vamos obter os limitantes de integração. Na interseção da espiral com a circunferência, temos que 2e2θ = a ⇒ e2θ = a 2 ⇒ 2θ = ln a 2 ⇒ θ = 1 2 ln a 2 Portanto, a porção da espiral que nos interessa é descrita por θ ∈ [ 0, 1 2 ln a 2 ] . Ainda, como temos r = 2e2θ segue que r′ = 4e2θ e assim, substituindo na expressão 1.10.3 obtemos o comprimento em coordenada polares l = ∫ 1 2 ln a 2 0 √ (4e2θ)2 + (2e2θ)2dθ = ∫ 1 2 ln a 2 0 √ 20e4θdθ = ∫ 1 2 ln a 2 0 2 √ 5e2θ dθ = √ 5e2θ 1 2 ln a 2 0 = √ 5 (a 2 − 1 ) u.c. 37
- 48. 1.11 Volume deum Sólido de Revolução Considere o sólido T gerado pela rotação da curva y = f(x) em torno do eixo x, no intervalo [a, b] como na Figura 1.33 x y z a b y=f(x) r=f(x) dx Cálculo do elemento de volume dV= r dx dV= f(x) dx π ² π ² [ ] x y a b y=f(x) Área plana Figura 1.33: Rotação de uma curva em torno do eixo x Seja P = {x0, x1, · · · , xn} uma partição do intervalo [a, b] e sejam ∆x1, ∆x2, · · · , ∆xn os subintervalos da partição. Se ξi ∈ ∆xi, então o volume do cilindro de raio f (ξi) e altura ∆xi é dado por Vi = π [f (ξi)]2 ∆xi e o volume aproximado do sólido será dado pela soma dos volumes dos n − cilindros, isto é, Vn = n ∑ i=1 π [f (ξi)]2 ∆xi. Seja |∆θ| o subintervalo de maior diâmetro, então se n → ∞, segue que |∆θ| → 0, ξi → x e o volume V do sólido T será dado por V = lim n→∞ Vn = lim |∆θ|→0 n ∑ i=1 π [f (ξi)]2 ∆xi = π ∫ b a [f (x)]2 dx. Portanto, o volume de um sólido de revolução (em torno do eixo x) é calculado pela expressão V = π ∫ b a [f (x)]2 dx. (1.11.1) EXEMPLO 1.11.1 A m de que não haja desperdício de ração e para que seus animais estejam bem nutridos, um fazendeiro construiu um recipiente com uma pequena abertura na parte inferior, que permite a reposição automática da alimentação, conforme mostra a Figura 1.34. Determine, usando sólidos de revolução, a capacidade total de armazenagem do recipiente, em metros cúbicos. Solução: Vamos encontrar o volume do cilindro (V1) e do cone (V2.) Assim, o volume total será dado por V = V1 + V2. Para determinar V1 vamos rotacionar a reta y = 2 em torno do eixo x (Figura 1.35). 38
- 49. 2m 4m 6m cilindro cone Figura 1.34: Formado recipiente. x y -2 y z x Figura 1.35: Cilindro de Revolução Aplicando a expressão 1.11.1, obtemos V1 = π ∫ 4 0 22 dx = 4π · 4 = 16π. Já para o cone, como temos um raio r = 2 e altura h = 6, obtemos a reta y = 1 3 x para rotacionar em torno do eixo x (Figura 1.36). y x y z x Figura 1.36: Cone de Revolução Aplicando a expressão 1.11.1 mais uma vez, obtemos V2 = π ∫ 6 0 1 9 x2 dx = 1 27 πx3 6 0 = 63 π 27 = 8π. Portanto o volume desejado é dado por V = 16π + 8π = 24π u.v. EXEMPLO 1.11.2 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da curva f(x) = x3 , com x no intervalo [1,2], em torno do eixo x. Solução: O sólido desejado pode ser visualizado na Figura 1.37. E o volume desejado é dado por V = π ∫ 2 1 ( x3 )2 dx = π ∫ 2 1 x6 dx = πx7 7 2 1 = 127π 7 u.v. 39
- 50. x y x r y z Figura 1.37: Sólidogerado pela rotação de y = x3 em torno do eixo x x y x y z Figura 1.38: Sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno do eixo x EXEMPLO 1.11.3 Determinar o volume do sólido gerado pela revolução da região delimitada pelas curvas y = x2 e y = x + 2 em torno do eixo x (veja a Figura 1.38). Solução: Nesse exemplo não foi especicado o intervalo em que está situada a região delimi- tada pelas curvas. Para determinar este intervalo, devemos encontrar os pontos de interseção das curvas dadas. Igualando suas equações, obtemos x2 = x + 2 ⇒ x2 − x − 2 = 0 ⇒ x = −1 e x = 2. A Figura 1.38 indica que o sólido desejado está situado entre duas superfícies. Assim, seu volume é dado pela diferença entre os volumes externo e interno. De acordo com 1.11.1, temos que V = π ∫ 2 −1 (x + 2)2 dx − π ∫ 2 −1 ( x2 )2 dx = π ∫ 2 −1 (x2 + 4x + 4 − x4 )dx = π ( 1 3 x3 + 2x2 + 4x − 1 5 x5 ) 2 −1 = 72 5 π u.v. EXEMPLO 1.11.4 Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da curva (x − 2)2 + y2 = 1 em torno do eixo y. Solução: Observe na Figura 1.39 a circunferência geratriz do sólido. Isolando a variável x na equação da circunferência, obtemos 40
- 51. y 1 1 2 3 -1 -1 y Figura1.39: circunferência (x − 2)2 + y2 = 1 (x − 2)2 = 1 − y2 ⇒ x = 2 ± √ 1 − y2 Observe que o volume do sólido desejado é formado pelo volume obtido pela rotação da curva x = 2 + √ 1 − y2 em torno do eixo y, menos o volume obtido pela rotação da curva x = 2 − √ 1 − y2. Portanto, o volume desejado é igual a V = V1 − V2, onde V1 = π ∫ 1 −1 (2 + √ 1 − y2)2 dy e V2 = ∫ 1 −1 (2 − √ 1 − y2)2 dy ou seja, V = ∫ 1 −1 (2 + √ 1 − y2)2 − (2 − √ 1 − y2)2 dy = ∫ 1 −1 8 √ 1 − y2dy. Para resolver esta integral, utilizamos a substituição trigonométrica y = sin θ, com dy = cos θdθ e assim, obtemos que V = ∫ π 2 − π 2 8 √ 1 − sin2 θ cos θdθ = 8 ∫ π 2 − π 2 cos2 θdθ = 4 ∫ π 2 − π 2 (1 + cos 2θ)dθ = 4θ + 2 sin (2θ) π 2 − π 2 = 4π. Portanto, o volume desejado é igual a 4π unidades de volume. 1.11.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coorde- nado Até agora consideremos somente sólidos gerados por rotações de curvas em torno de um dos eixos coordenados, onde y = f(x) ou x = g(y) eram os raios dos cilindros de revolução (elementos de volume). No caso mais geral, podemos rotacionar a curva y = f(x), com x ∈ [a, b], em torno da reta y = c, de acordo com a Figura a 1.40. 41
- 52. y r y=c y=f(x) x b a y r y=c y=f(x) x z b a Figura 1.40: Sólidoobtido pela rotação y = f(x) em torno da reta y = c Neste caso, o raio do cilindro innitesimal é igual à distância entre a curva e o eixo de revolução, ou seja, é dado por r = c − f(x) e o volume do sólido resultante é dado por V = π ∫ b a (c − f(x))2 dx. De forma semelhante, se a curva x = g(y), com y ∈ [a, b], for rotacionada em torno da reta x = c, o volume do sólido resultante é dado por V = π ∫ b a (c − g(y))2 dy. Note que quando c = 0 temos novamente a revolução em torno dos eixos coordenados. EXEMPLO 1.11.6 Calcule o volume do sólido obtido quando a porção da pará bola y = 2 − x2 que está situada acima do eixo x é rotacionada em torno da reta y = 3. Solução: Na Figura 1.41 podemos observar a curva geratriz, o eixo de revolução e o sólido de revolução obtido. y x y x z Figura 1.41: Curva geratriz e sólido de revolução obtido pela rotação de y = 2−x2 em torno de y = 3. Como rotacionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das abscissas, devemos efetuar a integração em relação a x. O intervalo de integração, denido aqui pela parte da parábola situada acima do eixo x, é descrito por x ∈ [− √ 2, √ 2]. 42
- 53. Já o raiode rotação, dado pela distância entre a curva e o eixo de rotação, é dado por r = 3 − (2 − x2 ) = 1 + x2 e assim, o volume desejado é dado por V = π ∫ √ 2 − √ 2 (1 + x2 )2 dx = π ∫ √ 2 − √ 2 (1 + 2x2 + x4 )dx = 94 15 √ 2π. EXEMPLO 1.11.7 Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região situada entre as curvas y = x2 e y = 2x é rotacionada em torno: (a) do eixo y; (b) da reta y = 5; (c) da reta x = 2. Solução: A região a ser rotacionada está representada na Figura 1.42. y x Figura 1.42: Região a ser rotacionada As interseções entre as curvas são dadas por x2 = 2x ⇒ x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, x = 2 ⇒ y = 0, y = 4. No item (a), rotacionamos em torno do eixo das ordenadas e, por isso, devemos tomar a integração em relação a y. Como o só lido resultante será vazado, devemos tomar a diferença entre os volumes dos sólidos externo e interno. O raio externo, denido pela parábola, é dado por x = √ y. O raio interno é denido pela reta e é dado por x = y 2 . Assim, o volume desejado é calculado pela integral V = π ∫ 4 0 ( √ y)2 − π ∫ 4 0 ( y 2 )2 dy = π ∫ 4 0 ( y − y2 4 ) dy. Já no item (b), como rotacionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das abscissas, devemos tomar a integração em relação a x. Novamente o sólido resultante será vazado e devemos tomar a diferença entre os volumes dos sólidos externo e interno. O raio externo, denido pela distância entre a parábola e o eixo de rotação, é dado por r = 5 − x2 e o raio interno, denido pela distância entre a reta e o eixo de rotação, é dado 43
- 54. por r =5 − 2x. O volume do novo sólido é calculado pela integral V = π ∫ 2 0 (5 − x2 )2 dx − π ∫ 2 0 (5 − 2x)2 dx = π ∫ 2 0 (25 − 10x2 + x4 ) − (25 − 20x + 4x2 )dx = π ∫ 2 0 (−14x2 + x4 + 20x)dx. Por m, como no item (c) rotacionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das ordenadas, devemos tomar a integração em relação a y. Mais uma vez devemos tomar a diferença entre os volumes dos só lidos externo e interno. O raio externo, neste caso, é denido pela reta e é dado por r = 2 − y 2 e o raio interno, agora denido pela parábola, é dado por r = 2 − √ y. Assim, o último volume desejado é calculado pela integral V = π ∫ 4 0 (2 − y 2 )2 dy − π ∫ 4 0 (2 − √ y)2 dy = π ∫ 4 0 (4 − 2y + y2 4 ) − (4 − 4 √ y + y)dy = π ∫ 4 0 (−3y + y2 4 + 4 √ y)dy. 44
- 55. 1.12 Exercícios Gerais 1.Dadas as funções f, g : [1, 3] → R denidas por f (x) = x + 2 e g (x) = x2 + x encontre S (f, P) e S (g, P) . 2. Dada a função f : [−2, 5] → R denida por f (x) = x2 + 2 encontre S(f, P) . 3. Determine as expressões para a soma superior e para a soma inferior de f(x) = 5 − x2 , considerando x ∈ [1, 2]. 4. Utilize somas superiores para calcular a área da região situada entre as curvas y = x4 + 2, x = 0, x = 1 e y = 0. 5. Utilize a denição de integral denida para calcular ∫ 3 1 (x2 − 2x)dx. 6. Utilize soma de áreas de retângulos inscritos para calcular ∫ 4 0 (−x2 − 1)dx. 7. Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para determinar a área sob o gráco de f(x) = x3 + 1, para x ∈ [0, b], onde b 0 é arbitrário. 8. Calcule, usando somas superiores, a área da região situada entre o gráco de f(x) = ex e o eixo x, entre as retas x = −1 e x = 2. 9. Utilize somas inferiores para calcular a área da região situada entre a curva x = y2 e o eixo y, com y ∈ [0, 2]. 10. Seja f : [0, 1) → R denida por f (x) = 1 √ 1 − x2 . Verique se ∫ 1 0 f (x) dx existe. 11. Considere f : [a, b] → R uma função contínua. Mostre que: (a) Se f é uma função par, então ∫ a −a f(x)dx = 2 ∫ a 0 f(x)dx. (b) Se f é uma função ímpar, então ∫ a −a f(x)dx = 0. (c) Interprete geometricamente os itens anteriores. 12. Um metereologista estabelece que a temperatura T (em o F), num dia de inverno é dada por T(t) = 1 20 t(t − 12)(t − 24), onde o tempo t é medido em horas e t = 0 corresponde à meia-noite. Ache a temperatura média entre as 6 horas da manhã e o meio dia. Sugestão: utilize o teorema do valor médio para integrais. 13. Encontre uma função f contínua, positiva e tal que a área da região situada sob o seu gráco e entre as retas x = 0 e x = t seja igual a A(t) = t3 , para todo t 0. 14. Determine uma função f diferenciável, positiva e tal que ∫ x 0 f(t)dt = [f(x)]2 para todo x ∈ R. 15. Seja f : R → R uma função contínua e dena uma nova função g : R → R por g(x) = ∫ x3 x2 f(t)dt. Calcule o valor de g′ (1), sabendo que f(1) = 2. 45
- 56. 16. Encontre, seexistir, o valor de cada uma das seguintes integrais: (a) ∫ 1 0 ( x + √ x − 1 3 √ x ) dx (e) ∫ 4 3 3 4 1 x √ 1 + x2 dx (i) ∫ 4 0 x √ 16 − x2 dx (m) ∫ 1 −∞ ex dx (b) ∫ 2 1 ( √ x + 1 3 √ x + 4 √ x ) dx (f) ∫ 4 1 x √ 2 + 4x dx (j) ∫ +∞ 0 xe−x dx (n) ∫ 1 −1 1 x4 dx (c) ∫ π 3 0 tan xdx (g) ∫ 5 1 1 √ 5 − x dx (k) ∫ +∞ 1 1 x √ x2 − 1 dx (o) ∫ 1 0 1 x3 dx (d) ∫ √ 2 2 0 1 √ 1 − x2 dx (h) ∫ +∞ 0 e−x dx (l) ∫ 1 0 1 √ 1 − x dx (p) ∫ 2 0 1 x − 1 dx 17. Determine o valor das seguintes integrais, se possível. (a) ∫ √ 2 1 xe−x2 dx (b) ∫ 1 −1 x2 √ x3+9 dx (c) ∫ π 4 0 tan2 x sec2 xdx (d) ∫ 1 0 x sin xdx (e) ∫ 0 −∞ xex dx (f) ∫ 3 0 x √ x+1 dx (g) ∫ 2 0 x2 ln(x)dx (h) ∫ +∞ 1 1 x2 cos (1 x ) dx (i) ∫ ∞ −∞ xe−|x−4| dx 18. Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço pro- duzirá gás natural a uma taxa dada por f(t) = 700e− 1 5 t milhares de metros cúbicos, onde t é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço. 19. Determine todos os valores de p para os quais ∫ +∞ 1 1 xp dx converge. 20. Determine para quais valores de p ∈ R a integral ∫ +∞ e 1 x(ln x)p dx converge. 21. Calcule, se possível, as seguintes integrais impróprias: (a) ∫ +∞ 1 xe−x2 dx (b) ∫ +∞ −∞ arctan x x2+1 dx (c) ∫ π 2 −∞ sin 2xdx (d) ∫ 1 0 x ln xdx (e) ∫ 9 0 e √ x √ x dx (f) ∫ π 0 cos x √ 1−sin x dx 22. Em equações diferenciais, dene-se a Transformada de Laplace de uma função f por L(f(x)) = ∫ +∞ 0 e−sx f(x)dx, para todo s ∈ R para o qual a integral imprópria seja convergente. Encontre a Trans- formada de Laplace de: (a) f(x) = eax (b) f(x) = cos x (c) f(x) = sin x 23. A função gama é denida para todo x 0 por Γ(x) = ∫ +∞ 0 tx−1 e−t dt. (a) Calcule Γ(1) e Γ(2). (b) Mostre que, para n inteiro positivo, Γ(n + 1) = nΓ(n). 46
- 57. 24. Encontre aárea da região limitada pelas curvas: (a) y = sin x, y = cos x , x = 0 e x = π 2 . (b) y − x = 6, y − x3 = 0 e 2y + x = 0. (c) y = −x2 + 9 e y = 3 − x. (d) y = sin x, y = x sin x, x = 0 e x = π 2 . (e) 28 − y − 5x = 0, x − y − 2 = 0, y = 2x e y = 0. 25. Represente geometricamente a região cuja área é calculada por A = ∫ 2 0 (y + 6) − ( √ 4 − y2)dy. 26. Calcule a área de cada região delimitada pelas curvas dadas abaixo através de: (i) integração em relação a x (ii) integra ção em relação a y. (a) y = x + 3 e x = −y2 + 3. (b) 2x + y = −2, x − y = −1 e 7x − y = 17. (c) y = x2 − 1, y = 2 x2 e y = 32x2 . (d) y + x = 6, x = y2 e y + 2 = 3x. 27. Represente geometricamente a região cuja área é calculada pela expressão A = ∫ 2 1 ( 2x2 ) − ( 2 x ) dx + ∫ 4 2 ( 62 − 15x 4 ) − ( 2 x ) dx. A seguir, reescreva esta expressão utilizando y como variável independente. 28. Estabeleça a(s) integral(is) que permite(m) calcular a área da região hachurada na gura abaixo, delimitada simultaneamente pelas curvas y = x, y = x2 e y = 4 x − 1 , mediante: (a) integração em relação a x. (b) integração em relação a y. y x 29. Encontre uma reta horizontal y = k que divida a área da região compreendida entre as curvas y = x2 e y = 9 em duas partes iguais. 30. A área de uma determinada região R pode ser calculada pela expressão A = ∫ √ 2 2 − √ 2 2 (√ 1 − x2 − √ 2x2 ) dx. Reescreva esta expressão, utilizando: (a) integração em relação a y; (b) coordenadas paramétricas. 47
- 58. 31. Represente geometricamentea região cuja área, em coordenadas paramétricas, é dada por A = 2 ∫ 0 π 3 sin t(−3 sin t)dt − 2 ∫ 0 π 3 sin t(−2 sin t)dt. 32. Uma ciclóide é uma curva que pode ser descrita pelo movimento do ponto P(0, 0) de um círculo de raio a, centrado em (0, a), quando este círculo gira sobre o eixo x. Pode- se representar esta ciclóide através das equações x = a(t−sin t) e y = a(1−cos t), com t ∈ [0, 2π]. Determine a área da região delimitada pela ciclóide. 33. Uma curva de equação x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 é chamada astróide. Calcule a área da região delimitada pela astróide obtida quando a = 5. 34. Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas: (a) r = 3 cos θ e r = 1 + cos θ; (b) r = 1 + cos θ e r = 1; (c) r = sin θ e r = 1 − cos θ; (d) r2 = cos(2θ) e r2 = sin(2θ); (e) r = 2 (1 + sin θ) e r = 2 (1 + cos θ) . 35. Encontrar a área simultaneamente interior ao círculo r = 6 cos θ e exterior a r = 2(1 + cos θ). 36. Calcule a área da região simultaneamente interior à curva r = 4 + 4 cos θ e exterior à r = 6. 37. Calcule a área da região simultaneamente interior à curva r = 1 + cos θ e exterior à r = 2 cos θ. 38. Calcule a área da região simultaneamente interior às curvas r = sin(2θ) e r = sin θ. 39. Determine a área da região simultaneamente interior às rosáceas r = sin(2θ) e r = cos(2θ). 40. Escreva a integral que permite calcular a área sombreada entre as curvas r = sin(2θ) e r = √ 3 cos(2θ), dada na gura abaixo. 41. Seja R a porção da região simultaneamente interior às curvas r = 2 cos θ e r = 4 sin θ que está situada no exterior da curva r = 1. Escreva as integrais que permitem calcular: (a) a área da região R; (b) o comprimento de arco da fronteira da região R. 48
- 59. 42. Calcule aárea das regiões sombreadas nas guras abaixo: (a) r = 1 e r = 2 cos(2θ) (b) r = 2e 1 4 θ (c) r = sin(3θ) e r = cos(3θ) 43. Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por I = 2 [ 1 2 ∫ π 6 0 sin2 θdθ + 1 2 ∫ π 4 π 6 cos2 (2θ)dθ ] . 44. Monte a(s) integral(is) que permite(m) calcular a área hachurada na gura abaixo, delimitada pelas curvas r = 2 + 2 cos θ, r = 4 cos(3θ) e r = 2. 45. Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por: (a) x = 1 3 y3 + 1 4y , com 2 ≤ y ≤ 5; (b) x = 3 + t2 e y = 6 + 2t2 , com 1 ≤ t ≤ 5; (c) x = 5t2 e y = 2t3 , com 0 ≤ t ≤ 1; (d) x = et cos t e y = et sin t, com 0 ≤ t ≤ π 2 ; (e) r = e−θ , com 0 ≤ θ ≤ 2π; (f) r = cos2 1 2 θ, com 0 ≤ θ ≤ π; 46. A posição de uma partícula, num instante t, é dada por x(t) = 2 cos t + 2t sin t e y(t) = 2 sin t − 2t cos t. Calcule a distâ ncia percorrida por esta partícula entre os instantes t = 0 e t = π 2 . 47. Suponha que as equações x(t) = 4t3 + 1 e y(t) = 2t 9 2 descrevam a trajetória de uma partícula em movimento. Calcule a distância que esta partícula percorre ao se deslocar entre os pontos A(5, 2) e B(33, 32 √ 2). 48. Calcule a distância percorrida por uma partícula que se desloca, entre os instantes t = 0 e t = 4, de acordo com as equações x(t) = 1 + 2 cos(3t 5 2 ) e y(t) = 5 − 2 sin(3t 5 2 ). 49
- 60. y x Figura 1.43: Espirallogarítmica 49. A curva descrita por x(t) = 3e−t cos 6t e y(t) = 3e−t sin 6t, chamada de espiral logarít- mica e está representada geometricamente na Figura 1.43. Mostre que o arco descrito por esta espiral, quando t ∈ [0, +∞), possui comprimento nito. 50. Encontre o comprimento das curvas que limitam a região formada pela interseção das curva r = √ 3 sin θ e r = 3 cos θ, situada no primeiro quadrante. 51. Represente gracamente o arco cujo comprimento é calculado pela integral l = ∫ π 6 0 √ 48 cos2 θ + 48 sin2 θdθ + ∫ π 2 π 6 √ 16 sin2 θ + 16 cos2 θdθ. 52. Monte as integrais que permitem calcular o comprimento do arco da fronteira da região que é simultaneamente interior à r = 1 + sin θ e r = 3 sin θ. 53. Calcule o volume do sóido obtido pela revolução da curva yx2 = 1, com x ≥ 1, em torno do eixo x. 54. Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da curva x2 a2 + y2 b2 = 1 em torno do eixo x. 55. Determinar o volume do toro gerado pela rotação do círculo de equação x2 +(y − b)2 = a2 em torno do eixo x, supondo a b. 56. Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por: (a) y = √ 4 − x, 3y = x e y = 0, em torno do eixo x; (b) y = |x| + 2, y = x2 , x = −2 e x = 1 em torno do eixo x; (c) y = x2 e y = 2, em torno da reta y = 2; (d) y = 1 − x2 e x − y = 1, em torno da reta y = 3; (e) x + y = 3 e y + x2 = 3, em torno da reta x = 2. 57. Determine o volume do sólido obtido quando a região situada sob a curva y = ex , com x ≤ 0, é rotacionada em torno da reta y = 2. 58. Um hiperbolóide de uma folha de revolução pode ser obtido pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo imaginário. Calcule o volume do sólido delimitado pelos planos x = −3, x = 3 e pelo hiperbolóide obtido pela rotação de 9y2 − 4x2 = 36 em torno do eixo x. 50
- 61. 59. Quando umadeterminada região R é rotacionada em torno do eixo y, o volume do sólido resultante pode ser calculado pela expressão V = π ∫ 2 1 3 [( 7 − 3y 2 )2 − ( 1 y )2 ] dy. Represente geometricamente a região R e, a seguir, calcule o volume do sólido obtido quando R é rotacionada em torno da reta y = 3. 60. Considere a região R delimitada simultaneamente pelas curvas y = x3 e x = y3 . (a) Obtenha a(s) integral(is) que permite(m) calcular o perímetro da região R. (b) Calcule o volume do sólido obtido quando a região R é rotacionada em torno do eixo y. (c) Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região R é rotacionada em torno da reta y = 1. 61. Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região delimitada pelas curvas y = x2 − 4 e y = x − 2 é rotacionada em torno: (a) do eixo x (b) da reta y = 2 (c) da reta x = −3. 62. Considere a região R delimitada pelas curvas y = x3 e y = 2x, que está situada no primeiro quadrante e abaixo da reta y = 2 − x. (a) Determine o volume do sólido obtido quando a região R é revolucionada em torno do eixo x. (b) Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região R é revolucionada em torno da reta x = −1. 63. Mostre, via volume de sólidos de revolução, que o volume de um cone de raio r e altura h é V = πr2 h 3 . 64. Mostre, via volume de sólidos de revolução, que o volume de uma esfera de raio a é V = 4 3 πa3 . 51
- 62. 1.13 Respostas 1. S(f, P) = 8 + 2 n e S (g, P) = 38 3 + 10 n + 4 3n2 2. S (f, P) = 175 3 − 133 2n + 133 6n2 3. S (f, P) = 8 3 + 3 2n − 1 6n2 e S (f, P) = 8 3 − 3 2n − 1 6n2 4. S (f, P) = 11 5 + 1 2n + 1 3n2 − 1 30n4 5. 2 3 6. −76 3 7. 1 4 b4 + b 8. e2 − e−1 9. 8 3 10. ∫ 1 0 f (x) dx = 1 2 π 11. Dica para os itens (a) e (b): use propriedades para quebrar o lado esquerdo em duas integrais, use a denição de função par (ou ímpar) e use a substituição de variáveis u = −x para reescrever uma das integrais. 12. 18, 9o F 13. f(t) = 3t2 14. f(x) = x 2 15. g′ (1) = 2 16. . (a) − 1 3 (e) 0.405 47 (i) 4 (m) e = 2. 718 3 (b) 3. 202 8 (f) 3 2 √ 2 (j) 1 (n) não existe (c) ln 2 (g) 4 (k) 1 2 π (o) ∞ (d) 1 4 π (h) 1 (l) 2 (p) não existe 17. . (a) 1 2 e−1 − 1 2 e−2 (b) 2 3 √ 10 − 4 3 √ 2 (c) 1 3 (d) sin 1 − cos 1 (e) − 1 (f) 8 3 (g) 8 3 ln 2 − 8 9 (h) sin 1 (i) 8 18. 3500 m3 19. Converge para p 1. 20. Converge para p 1. 52
- 63. 21. . (a) 1 2 e−1 (b)0 (c) não existe (d) − 1 4 (e) 2e3 − 2 (f) 0 22. (a) 1 s − a para s a (b) s s2 + 1 para s 0 (c) 1 s2 + 1 para s 0 23. (a) Γ(1) = 1, Γ(2) = 1 24. (a) 2 √ 2 − 2 (b) 22 (c) 125 6 (d) 2 − 2 sin 1 (e) 17 25. . y x 26. (a) 125 6 (b) 16 (c) 32−4 √ 2 3 (d) 23 6 27. A = ∫ 2 1 2 ( 62 − 4y 15 ) − ( 2 y ) dy + ∫ 8 2 ( 62 − 4y 15 ) − (√ 2y 2 ) dy 28. . (a) A = ∫ 2 1 ( x2 − x ) dx + ∫ 1+ √ 17 2 2 ( 4 x − 1 − x ) dx (b) A = ∫ 1+ √ 17 2 1 (y − √ y) dy + ∫ 4 1+ √ 17 2 ( y + 4 y − √ y ) dy 29. k = 9 3 √ 4 30. . (a) A = 2 ∫ √ 2 2 0 √ y 4 √ 2 dy + 2 ∫ 1 √ 2 2 √ 1 − y2dy (b) A = ∫ π 4 3π 4 − sin2 tdt − ∫ √ 2 2 − √ 2 2 √ 2t2 dt 31. . y x 32. 3aπ2 33. 3πa2 8 34. (a) 5π 4 (b) 5 4 π − 2 (c) 1 2 (π − 2) (d) 1 − √ 2 2 (e) 6π − 8 √ 2 53
- 64. 35. 4π 36. 18 √ 3− 4π 37. π 2 38. 1 4 π − 3 16 √ 3 39. π 2 − 1 40. Uma das várias respostas possíveis é: A = ∫ π 4 0 1 2 ( √ 3 cos 2θ)2 dθ + ∫ π 6 0 1 2 (sin 2θ)2 dθ + ∫ π 4 π 6 1 2 ( √ 3 cos 2θ)2 dθ 41. (a) A = 1 2 ∫ arctan 1 2 arcsin 1 4 (16 sin2 θ − 1)dθ + 1 2 ∫ π 3 arctan 1 2 ( 4 cos2 θ − 1 ) dθ (b) l = ∫ arctan 1 2 arcsin 1 4 4dθ + ∫ π 3 arctan 1 2 2dθ + ∫ π 3 arcsin 1 4 dθ 42. (a) 9 √ 3 8 − π 4 (b) 4e 9π 4 − 8e 5π 4 + 4e π 4 (c) π 8 − 1 4 43. . 44. Uma das várias respostas possíveis é: A = 1 2 ∫ π 9 0 [ (2 + 2 cos θ)2 − (4 cos 3θ)2 ] dθ + 1 2 ∫ π 2 π 9 [ (2 + 2 cos θ)2 − 4 ] dθ + 1 2 ∫ π 9 0 4dθ + 1 2 ∫ π 6 π 9 (4 cos 3θ)2 dθ 45. . (a) 1563 40 (b) 24 √ 5 (c) 68 27 √ 34 − 250 27 (d) √ 2e π 2 (e) √ 2(1 − e−2π ) (f) 2 46. π2 4 47. 352 27 √ 22 − 250 27 48. 192 49. O comprimento desejado é nito e igual a √ 333. 50. 1 3 √ 3π + π 2 54
- 65. 51. Arco compostode dois subarcos de circunferências, conforme gura abaixo: y x 52. l = 2 ∫ π 6 0 √ 9 cos2 θ + 9 sin2 θdθ + 2 ∫ π 2 π 6 √ cos2 θ + (1 + sin θ)2dθ 53. π 3 54. 4πab2 3 55. 2π2 a2 b 56. (a) 3 2 π (b) 92π 15 (c) 64 15 √ 2π (d) 162 5 π (e) 1 2 π 57. 7 2 π 58. 32π 59. 410 27 π − 6π ln 6 60. (a) l = ∫ 1 −1 ( √ 1 + 9x4 + √ 1 + 1 9 x −4 3 ) dx (b) V = 32 35 π (c) V = π ∫ 0 −1 (1 − 3 √ x)2 − (1 − x3 )2 dx + π ∫ 1 0 (1 − x3 )2 − (1 − 3 √ x)2 dx 61. . (a) V = π ∫ 2 −1 (x4 − 9x2 + 4x + 12)dx (b) V = π ∫ 2 −1 (20 − 13x2 − x4 + 8x)dx (c) V = π ∫ 0 −4 (y + 8 + 4 √ y + 4)dy − π ∫ −3 −4 (y + 8 − 4 √ y + 4)dy − π ∫ 0 −3 (y2 + 8y + 16)dy 62. (a) 134 189 π (b) V = π ∫ 1 0 (1 + 3 √ y)2 − ( 1 + y 2 )2 dy + π ∫ 4 3 1 (3 − y)2 − ( 1 + y 2 )2 dy 63. Dica: Note que um cone tal como desejado pode ser obtido pela rotaç ão em torno do eixo y da reta y = h r x, com x ∈ [−r, r] e y ∈ [0, h]. 64. Dica: Note que a esfera pode ser obtida pela rotação da circunferência x2 +y2 = a2 em torno de qualquer eixo coordenado. 55
- 66. Capítulo 2 FUNÇÕES DEVÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL Objetivos (ao nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de): 1. Denir funções de várias variáveis e dar exemplos práticos; 2. Encontrar o domínio e fazer o gráco (esferas, cones,cilindros, parabolóides, planos e interseções entre essas superfícies) com funções de várias variáveis com duas variáveis independentes; 3. Usando a denição mostrar que o limite de uma função de duas variáveis existe; 4. Vericar se uma função de duas variáveis é contínua num ponto; 5. Encontrar derivadas parciais e interpretá-las geometricamente quando a função for de duas variáveis independentes; 6. Encontrar derivadas parciais de funções compostas; 7. Encontrar as derivadas parciais de funções implícitas; 8. Resolver problemas que envolvam derivadas parciais como taxa de variação; 9. Representar geometricamente as diferenciais parciais e totais; 10. Resolver problemas que envolvam diferenciais parciais e totais; 11. Encontrar derivadas parciais de ordem superior; 12. Encontrar os extremos de uma função de duas variáveis quando existem; 13. Resolver problemas que envolvam extremos de funções de duas variáveis; 14. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica. A prova será composta por questões que possibilitam vericar se os objetivos foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu- lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento teórico desse capítulo, nessa apostila. 56
- 67. 2.1 Introdução Um fabricantepode constatar que o custo da produção C de um determinado artigo de- pende da qualidade do material usado, do salário-hora dos operários, do tipo de maquinaria necessário, das despesas de manutenção e da supervisão. Dizemos então que C é função de cinco variáveis, porque depende de cinco quantidades diferentes. Neste Capítulo estudare- mos as funções de várias variáveis, começando com o caso de funções de duas variáveis e estendendo então a um número arbitrário de variáveis. Como exemplo de função de duas variáveis podemos utilizar a área de um retângulo, função esta muito conhecida. Consideremos o retângulo de base a e altura b. A área desse retângulo é A = ab. Por outro lado, se a for uma variável x podemos escrever a área desse retângulo em função de x, isto é, A (x) = xb. Desse modo, temos a área como função de uma variável. Podemos também, fazer variar a base e a altura simultaneamente. Nesse caso, tomando b = y teremos a área dada por A(x, y) = xy, ou seja, a área é expressa como função de duas variáveis. A função A (x, y) é denida para todo par de pontos pertencentes ao plano R2 e a imagem é um número real. O convencional é escrever A : R2 → R. Um raciocínio análogo pode ser feito para o volume de um paralelepípedo. Sejam a, b e c as dimensões de um paralelepípedo. O volume será dado por V = abc. Por outro lado, se a for uma variável x podemos escrever o volume desse paralelepípedo expresso como função de uma variável x, isto é, V (x) = xbc. Podemos também, fazer variar as dimensões a e b simultaneamente, isto é, tomando b = y teremos o volume do paralelepípedo expresso como uma função de duas variáveis x e y, ou seja, V (x, y) = xyc. Também é possível variar as três dimensões simultaneamente e, nesse caso tomando z = c o volume do paralelepípedo será expresso como uma função de três variáveis x, y e z, isto é, V (x, y, z) = xyz. A função V (x, y, z) é denida para toda tripla de pontos pertencentes ao espaço R3 e a imagem é um número real. O convencional é escrever V : R3 → R. Vejamos um exemplo que envolve mais do que três variáveis. EXEMPLO 2.1.1 Suponhamos que uma pessoa vá a um supermercado e a nota de compras seja descrita conforme o modelo abaixo. 57
- 68. Nota de compras ProdutosUnidades Preço por unidade Total Leite 2 pacotes 1,00 2,00 Pão 10 0,10 1,00 Laranja 2kg 0,50 1,00 Maçã 2kg 2,50 5,00 Açúcar 5kg 0,60 3,00 Total a pagar 12,00 Suponhamos que as variáveis x, y, z, w e t representem, respectivamente, leite, pão, laranja, maçã e açúcar, então podemos escrever a função total a pagar por T (x, y, z, w, t) = x + 0, 1y + 0, 5z + 2, 5w + 0, 6t. A função T é uma função de cinco variáveis. Para encontrar o total a pagar referente a tabela anterior, fazemos T (2, 10, 2, 2, 5) = 2 + 0, 1 (10) + 0, 5 (2) + 2, 5 (2) + 0, 6 (5) = 2 + 1 + 1 + 5 + 3 = 12. A função T (x, y, z, w, t) é denida para todo ponto (x, y, z, w, t) ∈ R5 . O convencional é escrever T : R5 → R. Note que, em todos os exemplos acima, a imagem da função é um número real. Com base nesses exemplos vamos denir funções de várias variáveis. 2.2 Função de Várias Variáveis DEFINIÇÃO 2.2.1 Seja D um subconjunto de Rn e seja (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ D. Se a cada n−upla ordenada pertencente a D corresponder um único número real f (x1, x2, x3, · · · , xn) , dizemos que f é uma função de n−variáveis, denida em D com imagem em R. O subcon- junto D é chamado domínio de f. Convencionalmente escreve-se f : D ⊂ Rn → R. EXEMPLO 2.2.2 Vejamos alguns exemplos de funções de várias variáveis: (a) f : D ⊂ R2 → R denida por f (x, y) = 2x + 3y + 1. (b) f : D ⊂ R3 → R denida por f (x, y, z) = x2 + y + z + 6. (c) f : D ⊂ R4 → R denida por f (x, y, z, w) = x2 + y2 + z + w + 6. (d) f : D ⊂ R5 → R denida por f (x, y, z, w, t) = x2 + y2 + z + w + t2 + 6. EXEMPLO 2.2.3 A função z = f(x, y) = 1 √ y − x é uma função de duas variáveis, cujo domínio é D = {(x, y) ∈ R2 tal que y x}. Geometricamente, D é formado por todos os pontos do plano xy que estão situados acimada reta y = x. Já a função w = f(x, y, z) = (x2 +y2 +z2 )− 1 2 é uma função de três variáveis cujo domínio são todos os pontos (x, y, z) ∈ R3 para os quais x2 + y2 + z2 ̸= 0, ou seja, todos os ponto de R3 , com exceção da origem. EXEMPLO 2.2.4 A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal plana é dada por T(x, y) = x2 + 4y2 graus. (a) Determine a temperatura no ponto (3, 1). (b) Determine e represente geometricamente a curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante igual a 16 graus. Solução: (a) Temos que T(3, 1) = 32 + 4 = 13 graus. (b) A curva desejada tem equação T(x, y) = 16, ou seja, x2 + 4y2 = 16, que nos fornece a elipse x2 16 + y2 4 = 1, representada na Figura 2.1. 58
- 69. y x Figura 2.1: 16graus ao longo da elipse. 2.2.5 Gráco de uma Função de Várias Variáveis DEFINIÇÃO 2.2.6 Seja f : D ⊂ Rn → R uma função de n variáveis. Denimos o gráco de f como o subconjunto de Rn+1 formado por todos os pontos da forma (x1, x2, · · · , xn, f(x1, x2, · · · , xn)) ⊂ Rn+1 , onde (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn . No caso n = 2, o gráco de f é uma superfície em R3 . Quando n ≥ 3, não é mais possível visualizar o gráco de f, pois este será um subconjunto de R4 . EXEMPLO 2.2.7 O gráco de f (x, y) = 9 − x2 − y2 é um parabolóide, conforme mostra a Figura 2.2. Figura 2.2: Parabolóide z = f(x, y) = 9 − x2 − y2 A equação de uma superfície pode ser escrita na forma implícita ou explícita, em função de duas variáveis, isto é, F(x, y, z) = 0 ou z = f(x, y). EXEMPLO 2.2.8 A equação da esfera centrada na origem pode ser escrita como segue • Implicitamente: x2 + y2 + z2 − R2 = 0. • Explicitamente em função de x e y, com z = ± √ R2 − x2 − y2. 59
- 70. Representação Gráca deuma Superfície Para representar gracamente uma superfície procede-se como segue: 1. Determina-se as interseções com os eixos cartesianos determinando os pontos (x, 0, 0), (0, y, 0) e (0, 0, z). 2. Determina-se os traços das superfícies sobre os planos coordenados (a) xy fazendo z = 0 na equação da superfície; (b) xz fazendo y = 0 na equação da superfície; (c) yz fazendo x = 0 na equação da superfície. 3. Determina-se as simetrias (a) em relação aos planos coordenados • Uma superfície é simétrica em relação ao plano xy se para qualquer ponto P(x, y, z) existe um ponto P′ (x, y, −z); • Uma superfície é simétrica em relação ao plano xz se para qualquer ponto P(x, y, z) existe um ponto P′ (x, −y, z); • Uma superfície é simétrica em relação ao plano yz se para qualquer ponto P(x, y, z) existe um ponto P′ (−x, y, z). (b) em relação aos eixos coordenados • Uma superfície é simétrica em relação ao eixo x se para qualquer ponto P(x, y, z) existe um ponto P′ (x, −y, −z); • Uma superfície é simétrica em relação ao eixo y se para qualquer ponto P(x, y, z) existe um ponto P′ (−x, y, −z); • Uma superfície é simétrica em relação ao eixo z se para qualquer ponto P(x, y, z) existe um ponto P′ (−x, −y, z). (c) em relação à origem • Uma superfície é simétrica em relação à origem se para qualquer ponto P(x, y, z) existe um ponto P′ (−x, −y, −z). 4. Secções e Extensão: Quando os traços principais não forem sucientes para caracte- rização da superfície, recorre-se a determinação de secções com planos paralelos aos planos coordenados. Para isso fazemos • z = k sendo k uma constante na equação F(x, y, z) = 0, isto é, teremos a equação F(x, y, k) = 0 sobre o plano coordenado xy; • y = k sendo k uma constante na equação F(x, y, z) = 0, isto é, teremos a equação F(x, k, z) = 0 sobre o plano coordenado xz; • x = k sendo k uma constante na equação F(x, y, z) = 0, isto é, teremos a equação F(k, y, z) = 0 sobre o plano coordenado yz. EXEMPLO 2.2.9 Esboçar geometricamente a superfície de equação − x2 52 + y2 42 − z2 32 = 1. 60
- 71. Solução: Vamos procederconforme os passos listados acima. 1. Interseções com os eixos coordenados: Os pontos (x, 0, 0) e (0, 0, z) não são reais e o ponto (0, y, 0) é duplo ou seja temos os pontos P(0, 4, 0) e P′ (0, −4, 0). 2. Traços sobre os planos coordenados • Sobre o plano xy : Fazendo z = 0 tem-se a hipérbole − x2 52 + y2 42 = 1 (Figura 2.3). Figura 2.3: Traço sobre xy • Sobre o plano xz : Fazendo y = 0 tem-se o conjunto vazio. • Sobre o plano yz : Fazendo x = 0 tem-se a hipérbole y2 42 − z2 32 = 1 (Figura 2.4). Figura 2.4: Traço sobre yz 3. Simetrias: Explicitamente, a equação −x2 52 + y2 42 − z2 32 = 1 pode ser escrita como y = 4 √ 1 + x2 52 + z2 32 ou y = −4 √ 1 + x2 52 + z2 32 logo, é simétrica em relação aos planos coordenados, aos eixos coordenados e à origem. 4. Secções e extensões: fazendo z = k, com k ∈ R, obtemos uma família de hipérboles de eixo real paralelo ao eixoy. Fazendo y = k, com k 4 ou k −4, obtemos uma família de elipses. Fazendo x = k, com k ∈ R, obtemos novamente uma família de hipérboles de eixo real paralelo ao eixo y. • Por exemplo, fazendo z = 3 temos a equação de uma hipérbole (Figura 2.5) − x2 52 + y2 42 − 32 32 = 1 ⇒ − x2 52 + y2 42 = 2. 61
- 72. Figura 2.5: Traçosobre o plano z = 3. • Por exemplo, fazendo y = ±8 temos a equação de elipses (Figura 2.6) − x2 52 + (±8)2 42 − z2 32 = 1 ⇒ − x2 52 − z2 32 = −3 ⇒ x2 52 + z2 32 = 3. Figura 2.6: Traços sobre os planos y = ±8. 5. Construção da superfície. Os elementos fornecidos pela discussão acima permitem construir a superfície hipebólica de duas folhas, conforme a Figura 2.7. z y x Figura 2.7: Hiperbolóide de duas folhas 2.2.10 Curvas e Súperfícies de Nível (Opcional) Uma curva ao longo da qual uma função de duas variáveis z = f(x, y) tem valor constante (como a elipse do Exemplo 2.2.4) é denominada curva de nível ou curva de contorno de f. A equação de uma curva de nível k para f é da forma f(x, y) = k. Quando a função f representa uma distribuição de temperatura, suas curvas de nível são chamadas isoter- mas. Se f representa o potencial elétrico, as curvas de nível de f são chamadas de curvas equipotenciais. 62
- 73. Suponha que umasuperfície S é o gráco de uma função z = f(x, y). Se a interseção de S com o plano z = k é não vazia, então ela é uma curva de nível f(x, y) = k. A cada ponto desta curva de nível corresponde um único ponto na superfície S que está k unidades acima do plano xy, se k 0, ou k unidades abaixo dele, se k 0. Ao considerarmos diferentes valores para a constante k, obtemos um conjunto de curvas chamado de mapa de contorno de S. Tal mapa de contorno facilita a visualização da superfície. Quando as curvas de nível são mostradas em intervalos equi-espaçados de k, a proximidade de curvas sucessivas nos dá a informação sobre a aclividade de S. Quanto mais próximas as curvas, signica que os valores de z mudam mais rapidamente do que quando elas estão mais afastadas, ou seja, quando curvas de nível estão juntas, a superfície é íngreme. EXEMPLO 2.2.11 Seja f(x, y) = x2 + y2 . Faça um mapa de contorno de f, mostrando as curvas de nível em 1, 2, 3, 4, 5. Solução: As curvas de nível são as circunferências x2 + y2 = k. Um mapa de contorno de f pode ser visto na Figura 2.8. y x Figura 2.8: Curvas de Nível: x2 + y2 = k Embora não possamos visualizar o gráco de uma função de três variáveis w = f(x, y, z), podemos considerar as superfícies de equações f(x, y, z) = k, que são chamadas de superfícies de nível de f. Ainda, toda superfície denida por uma equação em x, y, z pode ser considerada como uma superfície de nível de alguma função de três variáveis. Por exemplo, o hiperbolóide da Figura 2.7 é a superfície de nível g(x, y, z) = 1 onde g(x, y, z) = − x2 52 + y2 42 − z2 32 . 2.2.12 Distâncias e Bolas no Espaço Sejam P (x1, x2, · · · , xn) e A (y1, y2, · · · , yn) dois pontos de Rn . A distância de P até A, denotada por ||P − A|| , é dada por ||P − A|| = √ (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · · + (xn − yn)2 . DEFINIÇÃO 2.2.13 Sejam A (y1, y2, · · · , yn) um ponto de Rn e ε 0 um número real. De- nominamos bola aberta de centro A e raio ε ao conjunto de todos os pontos P (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn tais que ||P − A|| ε, ou seja, B (A, ε) = {(x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn ; ||P − A|| ε} . 63
- 74. y x Figura 2.9: Bolaaberta B ((1, 2) , 1) . EXEMPLO 2.2.14 No plano, para ε = 1 e A(1, 2) temos a bola aberta B ((1, 2) , 1) = { P(x, y) ∈ R2 ; ||(x, y) − (1, 2)|| 1 } que é gracamente representada pela Figura 2.9. EXEMPLO 2.2.15 Sejam A (1, 1, 2) e ε = 1 então a bola aberta B((1, 1, 2) , 1) = { P(x, y, z) ∈ R3 ; ||(x, y, z) − (1, 1, 2)|| 1 } está gracamente representada pela Figura 2.10. z y x Figura 2.10: Bola aberta B((1, 1, 2) , 1) 2.3 Limite de uma Função de duas Variáveis Vamos estudar a existência do limite de uma função de duas variáveis. O raciocínio análogo é feito para funções de n variáveis. DEFINIÇÃO 2.3.1 Seja f uma função de duas variáveis denida numa bola aberta B (A, r) , exceto possivelmente em A (x0, y0) . Dizemos que o número L é o limite de f (x, y) quando (x, y) tende para (x0, y0) se, dado ε 0, podemos encontrar um δ 0 tal que |f (x, y) − L| ε sempre que 0 ||(x, y) − (x0, y0)|| δ. Nesse caso, escrevemos lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = L. EXEMPLO 2.3.2 Mostre que lim (x,y)→(1,3) 2x + 3y = 11. 64
- 75. Solução: Devemos mostrarque, dado ε 0, existe δ 0 tal que |f (x, y) − 11| ε sempre que 0 ||(x, y) − (1, 3)|| δ. Assim |f (x, y) − 11| = |2x + 3y − 11| = |(2x − 2) + (3y − 9)| = |2 (x − 1) + 3 (y − 3)| ≤ |2 (x − 1)| + |3 (y − 3)| = 2 |(x − 1)| + 3 |(y − 3)| ε e obtemos que 2 |(x − 1)| + 3 |(y − 3)| ε. ( I ) Por outro lado, de 0 ||(x, y) − (x0, y0)|| δ, segue que 0 √ (x − 1)2 + (y − 3)2 δ. Agora, pela denição de módulo, temos que |x − 1| = √ (x − 1)2 ≤ √ (x − 1)2 + (y − 3)2 δ e |y − 3| = √ (y − 3)2 ≤ √ (x − 1)2 + (y − 3)2 δ e assim 2 |(x − 1)| + 3 |(y − 3)| 2δ + 3δ = 5δ. ( II ) Portanto, de (I) e (II) podemos formar o sistema de inequações { 2 |(x − 1)| + 3 |(y − 3)| ε 2 |(x − 1)| + 3 |(y − 3)| 5δ Assim, podemos admitir que 5δ = ε e encontrar que δ = ε 5 . Logo, dado ε 0 existe δ = ε 5 tal que |f (x, y) − 11| ε sempre que 0 ||(x, y) − (1, 3)|| δ, o que prova pela denição que lim (x,y)→(1,3) 2x + 3y = 11. OBSERVAÇÃO 2.3.3 No Cálculo 1, vimos que para existir o limite de uma função de uma va- riável, quando x se aproxima de x0, é necessário que os limites laterais lim x→x+ 0 f(x) e lim x→x− 0 f(x) existam e sejam iguais. Já para funções de duas variáveis, a situação análoga é mais com- plicada, pois no plano há uma innidade de curvas (caminhos) ao longo das quais o ponto (x, y) pode se aproximar de (x0, y0) . Porém, se o limite da Denição 2.3.1 existe, é pre- ciso então que f(x, y) tenda para L, independentemente do caminho considerado. Essa ideia nos fornece uma importante regra (Teorema 2.3.4) para investigar a existência de limites de funções de duas variáveis. TEOREMA 2.3.4 Seja f uma função de duas variáveis denida numa bola aberta centrada em A (x0, y0), exceto possivelmente em A (x0, y0) . Se f (x, y) tem limites diferentes quando (x, y) tende para (x0, y0) por caminhos diferentes então lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) não existe. 65
- 76. EXEMPLO 2.3.5 Vamosmostrar que lim (x,y)→(0,0) xy x2 + y2 não existe. Solução: Considere C1 = {(x, y) ∈ R2 ; x = 0} . Note que C1 é exatamente o eixo y e é um caminho que passa pelo ponto (0, 0) . Assim, lim (x,y)→ C1 (0,0) f (x, y) = lim (0,y)→(0,0) f (0, y) = lim y→0 0 · y 02 + y2 = 0. Considere agora C2 = {(x, y) ∈ R2 ; y = kx}. Note que C2 é o conjunto de retas que passam pelo ponto (0, 0) . Assim lim (x,y)→ C2 (0,0) f (x, y) = lim (x,kx)→(0,0) f (x, kx) = lim (x,kx)→(0,0) xkx x2 + (kx)2 = lim x→0 x2 k x2 (1 + k2) = k 1 + k2 . Mostramos então que lim (x,y)→ S1 (0,0) f (x, y) ̸= lim (x,y)→ S2 (0,0) f (x, y) e com isso, concluímos que lim (x,y)→(0,0) xy x2 + y2 não existe. EXEMPLO 2.3.6 Vamos mostrar que lim (x,y)→(0,0) 3x2 y x2 + y2 existe. Solução: Primeiro vamos vericar se, por caminhos diferentes, o limite tem o mesmo valor numérico. Considerando C1 = {(x, y) ∈ R2 ; y = kx} , o conjunto de retas que passam pelo ponto (0, 0) temos lim (x,y)→ C1 (0,0) f (x, y) = lim (x,kx)→(0,0) f (x, kx) = lim (x,kx)→(0,0) 3x2 kx x2 + (kx)2 = lim x→0 x3 k x2 (1 + k2) = lim x→0 xk 1 + k2 = 0. Considerando agora C2 = {(x, y) ∈ D; y = kx2 }, o conjunto de parábolas que passam pelo ponto (0, 0) , temos que lim (x,y)→ C2 (0,0) f (x, y) = lim (x,kx2)→(0,0) f ( x, kx2 ) = lim (x,kx2)→(0,0) 3x2 kx2 x2 + (kx2)2 = lim x→0 3x4 k x2 (1 + k2x2) = lim x→0 3x2 k 1 + k2x2 = 0. Como lim (x,y)→ C1 (0,0) f (x, y) = lim (x,y)→ C2 (0,0) f (x, y) , segue que há probabilidades de que L = 0 seja o limite de f (x, y) = 3xy x2+y2 . Para conrmar, devemos vericar se a Denição 2.3.1 está satisfeita. Devemos mostrar que, dado ε 0, existe δ 0 tal que |f (x, y) − 0| ε sempre que 0 ||(x, y) − (0, 0)|| δ. Assim, 66
- 77. |f (x, y)− 0| = 3x2 y x2 + y2 = |3x2 y| |x2 + y2| = 3 |x2 | |y| x2 + y2 ε. ( I ) De 0 ||(x, y) − (0, 0)|| δ obtemos 0 √ x2 + y2 δ. Sendo x2 ≤ x2 + y2 e |y| = √ y2 ≤ √ x2 + y2 podemos escrever 3 |x2 | |y| x2 + y2 ≤ 3 (x2 + y2 ) |y| x2 + y2 = 3 |y| 3 √ x2 + y2 3δ. ( II ) Comparando (I) com (II) podemos admitir que 3δ = ε, donde vem δ = ε 3 . Portanto, mostramos que existe o limite existe e que lim (x,y)→(0,0) 3x2 y x2 + y2 = 0. EXEMPLO 2.3.7 Calcule, se possível, o valor de lim (x,y)→(0,1) 3x4 (y − 1)4 (x4 + y2 − 2y + 1)3 . Solução: Iniciamos investigando a existência do limite, utilizando diferentes caminhos que passam pelo ponto (0, 1). Utilizando os caminhos lineares C1 = {(x, y) ∈ R2 ; y = kx + 1} temos que lim (x,y)→ C1 (0,1) 3x4 (y − 1)4 (x4 + (y − 1)2)3 = lim (x,kx+1)→(0,1) 3x4 (kx)4 (x4 + (kx)2)3 = lim x→0 3k4 x8 x6(x2 + k2)3 = 0. Agora, usando os caminhos parabólicos C2 = {(x, y) ∈ R2 ; y = kx2 + 1} temos que lim (x,y)→ C2 (0,1) 3x4 (y − 1)4 (x4 + (y − 1)2)3 = lim (x,kx2+1)→(0,1) 3x4 (kx2 )4 (x4 + (kx2)2)3 = lim x→0 3k4 x12 x12(1 + k2)3 = 3k4 (1 + k2)3 . Portanto, como obtemos limites diferentes por caminhos distintos, concluímos que o limite não existe. EXEMPLO 2.3.8 Calcule, se possível, o valor de lim (x,y,z)→(3,1,−5) (x + 2y + z)3 (x − 3)(y − 1)(z + 5) . Solução: Iniciamos investigando a existência do limite. Como temos uma função de 3 va- riáveis, devemos usar caminhos em R3 . Se v = (a, b, c) são as coordenadas de um vetor diretor de uma reta que passa pelo ponto (3, 1, −5), podemos utilizar as equações paramétricas para denir o caminho retilíneo C1 = { (x, y, z) ∈ R3 ; x = 3 + at, y = 1 + bt, z = −5 + ct } . Para nos aproximarmos de (3, 1, −5) por C1, basta fazermos o parâmetro t → 0 e assim lim (x,y,z)→ C1 (3,1,−5) (x + 2y + z)3 (x − 3)(y − 1)(z + 5) = lim t→0 (3 + at + 2 + 2bt − 5 + ct)3 (at)(bt)(ct) = lim t→0 (at + 2bt + ct)3 abct3 = (a + 2b + c)3 abc . Atribuindo diferentes valores para a, b, c, ou seja, utilizando caminhos retilíneos distintos para nos apro-ximarmos de (3, 1, −5) obtemos limites também distintos. Portanto, pela regra dos dois caminhos, o limite em questão não existe. 67
- 78. 2.3.9 Propriedades dosLimites (i) Se f : R2 → R é denida por f(x, y) = ax+by+c, então lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = ax0+by0+c. (ii) Se lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) e lim (x,y)→(x0,y0) g (x, y) existem e c ∈ R, então: (a) lim (x,y)→(x0,y0) [f (x, y) ± g(x, y)] = lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) ± lim (x,y)→(x0,y0) g (x, y) . (b) lim (x,y)→(x0,y0) cf (x, y) = c lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) (c) lim (x,y)→(x0,y0) [f (x, y) .g(x, y)] = lim (x,y)→(xo,yo) f (x, y) · lim (x,y)→(x0,y0) g (x, y) . (d) lim (x,y)→(x0,y0) [ f (x, y) g(x, y) ] = lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) lim (x,y)→(x0,y0) g (x, y) desde que lim (x,y)→(x0,y0) g (x, y) ̸= 0. (e) lim (x,y)→(x0,y0) [f (x, y)]n = ( lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) )n para todo n ∈ Z∗ +. PROPOSIÇ ÃO 2.3.10 Se g é uma função de uma variável, contínua num ponto a, e f(x, y) é uma função tal que lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = a, então lim (x,y)→(x0,y0) (g ◦ f) (x, y) = g(a), ou seja, lim (x,y)→(x0,y0) g(f (x, y)) = g ( lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) ) . EXEMPLO 2.3.11 Calcular lim (x,y)→(1,2) ln(x2 + xy − 1). Solução: Considerando as funções f(x, y) = x2 + xy − 1 e g(u) = ln u, temos que lim (x,y)→(1,2) f(x, y) = 2 e que g é contínua em u = 2. Aplicando a proposição acima, obtemos lim (x,y)→(1,2) (g ◦ f)(x, y) = lim (x,y)→(1,2) ln(x2 + xy − 1) = ln ( lim (x,y)→(1,2) (x2 + xy − 1) ) = ln 2. PROPOSIÇ ÃO 2.3.12 Se lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = 0 e g(x, y) é uma função limitada em alguma bola aberta de centro (x0, y0) então lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y).g(x, y) = 0. EXEMPLO 2.3.13 Mostre que lim (x,y)→(0,0) x2 y x2 + y2 = 0. 68
- 79. Solução: Consideremos f(x,y) = x e g(x, y) = xy x2 + y2 . Sabemos que lim (x,y)→(0,0) x = 0, então basta mostrar que g(x, y) é limitada. Escrevendo g em coordenadas polares, temos que g(x, y) = xy x2 + y2 = r2 cos θ sin θ r2 = cos θ sin θ. Evidentemente, |cos θ sin θ| ≤ 1 e portanto temos que g(x, y) é limitada. Logo, pela proposição anterior, lim (x,y)→(0,0) x2 y x2 + y2 = 0. 2.4 Continuidade de uma Função de duas Variáveis DEFINIÇÃO 2.4.1 Seja f : D ⊂ R2 → R uma função de duas variáveis e (x0, y0) ∈ D. Dizemos que f é contínua em (x0, y0) se, e somente se, satisfaz as condições: (i) f (xo, yo) existe (ii) lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) existe (iii) lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = f (x0, y0) . EXEMPLO 2.4.2 Verique se a função f (x, y) = { xy x2 + y2 se (x, y) ̸= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) é contínua em (0, 0) . Solução: Devemos vericar se f satisfaz as condições da Denição 2.4.1. (i) Como f (0, 0) = 0, a primeira condição está satisfeita. (ii) Vimos no Exemplo 2.3.5 que lim (x,y)→(0,0) xy x2+y2 não existe. Portanto, a segunda condição da Denição 2.4.1 não é satisfeita. Logo, f (x, y) não é contínua em (0, 0) . EXEMPLO 2.4.3 A função denida por f(x, y) = x4 − (y − 1)4 x2 + (y − 1)2 se (x, y) ̸= (0, 1) 0 se (x, y) = (0, 1) é con- tínua em (0, 1)? Solução: Devemos vericar se f satisfaz as condições da Denição 2.4.1. (i) Como f(0, 1) = 0, a primeira condição está satisfeita. (ii) Vamos vericar se lim (x,y)→(0,1) f (x, y) existe e é igual a zero (se for diferente a função não será contínua no ponto) lim (x,y)→(0,1) x4 − (y − 1)4 x2 + (y − 1)2 = lim (x,y)→(0,1) [x2 − (y − 1)2 ][x2 + (y − 1)2 ] x2 + (y − 1)2 = 0. 69
- 80. (iii) Dos itensanteriores, segue que lim (x,y)→(0,1) f(x, y) = 0 = f(0, 1). Portanto, a função f(x, y) dada é contínua no ponto (0, 1). EXEMPLO 2.4.4 Verique se a função f (x, y) = 3x2 y x2 + y2 se (x, y) ̸= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) é contínua em (0, 0) . Solução: Devemos vericar se f satisfaz as condições da Denição 2.4.1. (i) Como f (0, 0) = 0, a primeira condição está satisfeita. (ii) Como vimos no Exemplo 2.3.6, lim (x,y)→(0,0) 3x2 y x2 + y2 = 0, a segunda condição está satisfeita. (iii) Segue dos itens anteriores que lim (x,y)→(0,0) f(x, y) = f (0, 0) . Portanto, as três condições da Denição 2.4.1 estão satisfeitas. Logo, f (x, y) é contínua em (0, 0) . 2.5 Derivadas Parciais As técnicas, regras e fórmulas desenvolvidas para derivação de funções de uma variável são generalizadas para funções de duas ou mais variáveis. DEFINIÇÃO 2.5.1 Seja f : D ⊂ R2 → R uma função de duas variáveis e (x, y) ∈ D. As derivadas parciais ∂f ∂x e ∂f ∂y de f em (x, y) são dadas por ∂f (x, y) ∂x = lim ∆x→0 f (x + ∆x, y) − f (x, y) ∆x e ∂f (x, y) ∂y = lim ∆y→0 f (x, y + ∆y) − f (x, y) ∆y . EXEMPLO 2.5.2 Seja f (x, y) = x2 y + xy2 encontre ∂f(x,y) ∂x e ∂f(x,y) ∂y . Solução: Aplicando a Denição 2.5.1 obtemos ∂f (x, y) ∂x = lim ∆x→0 f (x + ∆x, y) − f (x, y) ∆x = lim ∆x→0 (x + ∆x)2 y + (x + ∆x)y2 − (x2 y + xy2 ) ∆x = lim ∆x→0 x2 y + 2xy∆x + y (∆x)2 + xy2 + y2 ∆x − x2 y − xy2 ∆x = lim ∆x→0 2xy∆x + y (∆x)2 + y2 ∆x ∆x = lim ∆x→0 (2xy + y∆x + y2 ) ∆x ∆x = lim ∆x→0 2xy + y∆x + y2 = 2xy + y2 . 70
- 81. Analogamente, encontra-se que ∂f(x, y) ∂y = lim ∆y→0 f (x, y + ∆y) + f (x, y) ∆y = x2 + 2xy. OBSERVAÇÃO 2.5.3 Note que, para encontrar ∂f ∂x bastou considerar y como uma constante na função f (x, y) e aplicar as regras de derivação estudadas na derivação de funções de uma variável. Para encontrar ∂f ∂y deriva-se em relação a y, mantendo x constante. EXEMPLO 2.5.4 Seja f (x, y) = 3x2 y + 2 sin xy, encontre ∂f ∂x e ∂f ∂y . Solução: Tomando y constante no primeiro caso e x no segundo, obtemos ∂f (x, y) ∂x = 6xy + 2y cos xy ∂f (x, y) ∂y = 3x2 + 2x cos xy. OBSERVAÇÃO 2.5.5 No caso de f ter mais de duas variáveis, são consideradas constantes todas as variáveis em relação a qual f não está sendo derivada. EXEMPLO 2.5.6 Seja f (x, y, z, t) = 3x2 yz3 t2 + 2 sin x2 yz3 t2 . Encontre as derivadas parciais ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z e ∂f ∂t . Solução: Fazendo y, z, t constantes podemos derivar parcialmente em x : ∂f (x, y, z, t) ∂x = 6xyz3 t2 + 4xyz3 t2 cos x2 yz3 t2 . Agora, fazendo x, z, t constantes, obtemos a derivada parcial em relação a y : ∂f (x, y, z, t) ∂y = 3x2 z3 t2 + 2x2 z3 t2 cos x2 yz3 t2 . Tomando x, y, t constantes temos a derivada parcial em z : ∂f (x, y, z, t) ∂z = 9x2 yz2 t2 + 6x2 yz2 t2 cos x2 yz3 t2 . Finalmente, mantendo x, y, z constantes, encontramos ∂f (x, y, z, t) ∂t = 6x2 yz3 t + 4x2 yz3 t cos x2 yz3 t. 2.5.7 Interpretação Geométrica das derivadas parciais Podemos interpretar geometricamente a derivada parcial como uma taxa de inclinação. Seja f (x, y) uma função de duas variáveis e seja y = y0. Então, f (x, y0) descreve uma curva sobre a superfície S. Marcamos um ponto P (x0, y0) sobre a curva f (x, yo) e traçamos uma reta tangente à curva neste ponto com coeciente angular m = tgα. Então ∂f(x0,y0) ∂x = tgα, ou seja, ∂f(x0,y0) ∂x é o coeciente angular da reta tangente à curva f (x, y0) no ponto P (x0, y0) (veja a Figura 2.11). Analogamente, ∂f ∂y é o coeciente angular da reta tangente à curva f (x0, y) no ponto P (x0, y0) , conforme ilustra a Figura 2.12. 71
- 82. Figura 2.11: InterpretaçãoGeométrica de ∂f ∂x Figura 2.12: Interpretação Geométrica de ∂f ∂y EXEMPLO 2.5.8 Determine a equação de um plano que seja tangente ao parabolóide z = x2 + y2 , no ponto P(1, 2, 5). Solução: Note que a superfície desejada é o gráco da função z = f(x, y) = x2 + y2 . Para determinar a equação do plano tangente desejado, devemos obter dois vetores pertencentes a este plano, ou seja, dois vetores tangentes ao parabolóide, no ponto P. Para isso, fazendo y = 2 encontramos a curva z = f(x, 2) = x2 + 4. A reta tangente a essa curva, no ponto P, é dada por z − z0 = ∂f(x0, y0) ∂x (x − x0) = 2x0(x − x0), ou seja, z − 5 = 2(x − 1) ⇒ z = 2x + 3, no plano y = 2. Da geometria analítica, temos que o vetor diretor a esta reta tangente é dado por b1 = (1, 0, 2). Da mesma forma, fazendo x = 1, obtemos a curva z = f(1, y) = 1 + y2 , cuja reta 72
- 83. tangente, em P,é dada por z − z0 = ∂f(x0, y0) ∂y (y − y0) = 2y0(y − y0), ou seja, z − 5 = 4(y − 2) ⇒ z = 4y + 3 no plano x = 1. Assim, encontramos o vetor diretor b2 = (0, 1, 4). Agora podemos obter o vetor normal ao plano tangente desejado, tomando b = b1 × b2 = i j k 1 0 2 0 1 4 = (−2, −4, 1). Portanto, a equação geral do plano desejado é dada por −2x − 4y + 1z + d = 0. Como este plano deve passar por P(1, 2, 5), substituindo suas coordenadas na equação acima, obtemos d = 5. Portanto o plano tangente ao parabolóide z = x2 + y2 no ponto P(1, 2, 5), tem equação −2x − 4y + z + 5 = 0. 2.6 Derivadas Parciais de Ordem Superior Seja z = f (x, y) uma função cujas derivadas parciais ∂f ∂x e ∂f ∂y também são deriváveis. Cada uma dessas derivadas parciais poderá ser novamente derivada em relação a x e a y. Denotaremos: • ∂ ∂x ( ∂f ∂x ) = ∂2 f ∂x2 é a segunda derivada parcial de f em relação a x; • ∂ ∂x ( ∂ ∂x ( ∂f ∂x )) = ∂3 f ∂x3 é a terceira derivada parcial de f em relação a x; • ∂ ∂y ( ∂f ∂x ) = ∂2 f ∂y∂x é a segunda derivada parcial de f primeiro em relação a x e depois em relação a y; • ∂ ∂x ( ∂f ∂y ) = ∂2 f ∂x∂y é a segunda derivada parcial de f primeiro em relação a y e depois em relação a x; • ∂ ∂y ( ∂ ∂y ( ∂f ∂y )) = ∂3 f ∂y3 é a terceira derivada parcial de f em relação a y; No caso da função f ter mais de duas variáveis a notação segue a mesma lógica. Por exemplo, se temos f (x, y, z, t) tem-se • ∂ ∂t ( ∂ ∂z ( ∂ ∂y ( ∂f ∂x ))) = ∂4 f ∂t∂z∂y∂x para representar a quarta derivada de f, primeiro em relação a x, depois em relação a y e assim sucessivamente. 73
- 84. EXEMPLO 2.6.1 Sejaf (x, y, z, t) = x3 y4 z5 t2 encontrar ∂4 f ∂x∂y∂z∂t . Solução: Derivamos inicialmente em relação a t, obtendo ∂f ∂t (x, y, z, t) = 2x3 y4 z5 t, a seguir, derivamos em relação a z ∂2 f ∂z∂t (x, y, z, t) = 10x3 y4 z4 t, para após derivarmos em y ∂3 f ∂y∂z∂t (x, y, z, t) = 40x3 y3 z4 t, e nalmente derivarmos em x e obter ∂4 f ∂x∂y∂z∂t (x, y, z, t) = 120x2 y3 z4 t. EXEMPLO 2.6.2 Uma função de duas variáveis u é dita harmônica se satisfaz a equação ∂2 u ∂x2 + ∂2 u ∂y2 = 0, conhecida como equação de Laplace em R2 . Mostre que a função u(x, y) = ex sin y + ey cos x é uma função harmônica. Solução: Tomando as derivadas parciais sucessivas de u, temos ∂u ∂x = (sin y) ex − (sin x) ey ∂2 u ∂x2 = (sin y) ex − (cos x) ey ∂u ∂y = (cos x) ey + (cos y) ex ∂2 u ∂y2 = (cos x) ey − (sin y) ex . Substituíndo na equação de Laplace, obtemos que ∂2 u ∂x2 + ∂2 u ∂y2 = (sin y) ex − (cos x) ey + (cos x) ey − (sin y) ex = 0. Como a função u dada satisfez a equação de Laplace, mostramos que ela é uma função harmônica. 74
- 85. 2.7 Derivada deuma Função Composta Antes de discutir a derivada de uma função composta, vamos falar sobre composição de funções de duas variáveis. Consideremos as funções u(x, y) = x2 y + y e v (x, y) = x + y2 . Podemos denir uma nova função F por F (u, v) = 2u2 + 3v. Reescrevendo F em função de x e y temos: F (u(x, y), v (x, y)) = 2 [u(x, y)]2 + 3 [v (x, y)] = 2(x2 y + y)2 + 3(x + y2 ) = 2(x4 y2 + 2x2 y2 + y2 ) + 3x + 3y2 = 2x4 y2 + 4x2 y2 + 2y2 + 3x + 3y2 = 2x4 y2 + 4x2 y2 + 5y2 + 3x e assim, F (u(1, 2), v (1, 2)) = 2 (1)4 (2)2 + 4 (1)2 (2)2 + 5 (2)2 + 3 (1) = 47. Ou, como u(x, y) = x2 y + y e v (x, y) = x + y2 segue que u(1, 2) = (1)2 2 + 2 = 4 e v (1, 2) = 1 + 22 = 5, e então F (u(1, 2), v (1, 2)) = F (4, 5) = 2 (4)2 + 3 (5) = 47. Nosso interesse é encontrar ∂F ∂x e ∂F ∂y . A função F (x, y) = 2x4 y2 + 4x2 y2 + 5y2 + 3x pode ser escrita como uma função x e y. Isto é, F (u(x, y), v (x, y)) = 2x4 y2 + 4x2 y2 + 5y2 + 3x e, nesse caso, temos ∂F ∂x (x, y) = 8x3 y2 + 8xy2 + 3 e ∂F ∂y (x, y) = 4x4 y + 8x2 y + 10y. Como podemos observar, obter as derivadas parciais através desse processo não é muito animador. Isso é motivação suciente para estudar a Regra da Cadeia. Se tivermos uma função composta f (g (x)) sabemos que [f (g (x))]′ = f′ (g (x)) g′ (x) . A mesma teoria é aplicada para encontrar a derivada parcial de uma função composta de várias variáveis. DEFINIÇÃO 2.7.1 Seja z (x, y) = F (u(x, y), v (x, y)) então ∂z (x, y) ∂x = ∂F (u, v) ∂u ∂u ∂x + ∂F (u, v) ∂v ∂v ∂x e 75
- 86. ∂z (x, y) ∂y = ∂F(u, v) ∂u ∂u ∂y + ∂F (u, v) ∂v ∂v ∂y EXEMPLO 2.7.2 Consideremos as funções u(x, y) = x2 y + y e v (x, y) = x + y2 . Denindo uma nova função z por z (x, y) = F (u, v) = 2u2 + 3v. Encontre as derivadas parciais de z em relação a x e y. Solução: Inicialmente, determinamos as derivadas parciais das funções u(x, y), v(x, y) e F(u, v) : ∂F ∂u = 4u, ∂u ∂x = 2xy, ∂v ∂x = 1, ∂F ∂v = 3, ∂u ∂y = x2 + 1, ∂v ∂y = 2y. e utilizando a regra da cadeia (Denição 2.7.1), obtemos as derivadas parciais ∂z (x, y) ∂x = ∂F ∂u ∂u ∂x + ∂Fu ∂v ∂v ∂x = 4u ∂u ∂x + 3 ∂v ∂x = 4 (x2 y + y) (2xy) + 3 (1) = 8x3 y2 + 8xy2 + 3 e ∂z (x, y) ∂y = ∂F ∂u ∂u ∂y + ∂F ∂v ∂v ∂y = 4u ∂u ∂y + 3 ∂v ∂y = 4 (x2 y + y) (x2 + 1) + 3 (2y) = 4x4 y + 8x2 y + 10y. EXEMPLO 2.7.3 Determine ∂F ∂x e ∂F ∂y para F(x, y) = ln 5 √ (x4 + 2xy + y3) + (2xy + 3x2). Solução: Podemos reescrever a função F como F(u, v) = ln(u + v) 1 5 , onde u(x, y) = x4 + 2xy + y3 e v(x, y) = 2xy + 3x2 . Usando a regra da cadeia, temos: ∂F ∂x = ∂F ∂u ∂u ∂x + ∂F ∂v ∂v ∂x = 1 5 1 u + v ∂u ∂x + 1 5 1 u + v ∂g ∂x = 1 5 (4x3 + 2y) + (2y + 6x) x4 + y3 + 4xy + 3x2 = 6x + 4y + 4x3 20xy + 15x2 + 5x4 + 5y3 . O cálculo da derivada em relação a y é deixado como exercício para o estudante. 76
- 87. EXEMPLO 2.7.4 Variaçãodos valores de uma função ao longo de uma hélice: Encontre dw dt se w = xy +z onde x = cos t, y = sin t e z = t. Qual é o valor desta derivada em t = 0? Solução: Pela regra da cadeia, obtemos dw dt = ∂w ∂x dx dt + ∂w ∂y dy dt + ∂w ∂z dz dt = y(− sin t) + x(cos t) + 1(1) = sin t(− sin t) + (cos t)(cos t) + 1 = − sin2 t + cos2 t + 1 = 1 + cos 2t. Logo, para t = 0, temos que dw dt = 1 + cos 0 = 2. EXEMPLO 2.7.5 Sendo α uma constante e w = f(u, v), onde u = x cos α − y sen α e v = x sen α + y cos α, sabendo que f é diferenciável mostre que ∂2 w ∂x2 + ∂2 w ∂y2 = ∂2 w ∂u2 + ∂2 w ∂v2 . Solução: Usando a regra da cadeia para as derivadas parciais de primeira e segunda ordem obtemos: ∂w ∂x = ∂f ∂u ∂u ∂x + ∂f ∂v ∂v ∂x = ∂f ∂u cos α + ∂f ∂v sen α ∂2 w ∂x2 = cosα ∂ ∂x ( ∂f ∂u (u, v) ) + senα ∂ ∂x ( ∂f ∂v (u, v) ) = cos α ( ∂2 f ∂u2 ∂u ∂x + ∂2 f ∂v∂u ∂v ∂x ) + sen α ( ∂2 f ∂u∂v ∂u ∂x + ∂2 f ∂v2 ∂v ∂x ) = cos 2 α ∂2 f ∂u2 + cos α sen α ∂2 f ∂v∂u + sen α cos α ∂2 f ∂u∂v + sen 2 α ∂2 f ∂v2 (1) ∂w ∂y = ∂f ∂u ∂u ∂y + ∂f ∂v ∂v ∂y = ∂f ∂u (− sen α) + ∂f ∂v cos α ∂2 w ∂y2 = −senα ∂ ∂y ( ∂f ∂u (u, v) ) + cosα ∂ ∂y ( ∂f ∂v (u, v) ) = − sen α ( ∂2 f ∂u2 ∂u ∂y + ∂2 f ∂v∂u ∂v ∂y ) + cos α ( ∂2 f ∂u∂v ∂u ∂y + ∂2 f ∂v2 ∂v ∂y ) = sen 2 α ∂2 f ∂u2 − cos α sen α ∂2 f ∂v∂u − sen α cos α ∂2 f ∂u∂v + cos 2 α ∂2 f ∂v2 (2) Das Expressões (1) e (2), temos: ∂2 w ∂x2 + ∂2 w ∂y2 = ∂2 w ∂u2 ( sen 2 α + cos 2 α) + ∂2 w ∂v2 ( sen 2 α + cos 2 α) = ∂2 w ∂u2 + ∂2 w ∂v2 e assim provamos que de fato a equação dada é verdadeira. 77
- 88. 2.8 Derivadas deFunções Implícitas Seja y = y(x) uma função denida implicitamente pela equação F (x, y) = 0. Por exemplo, x2 + y2 − 9 = 0 ou x2 y3 + x3 y2 + xy + x + y − 9 = 0. A equação x2 + y2 − 9 = 0 pode ser facilmente explicitada em função de x ou de y. Porém, não podemos fazer o mesmo com a equação x2 y3 +x3 y2 +xy +x+y −9 = 0. Também, fazendo F (x, y) = x2 +y2 −9 facilmente encontramos dy dx e dx dy , o mesmo não ocorre se zermos F (x, y) = x2 y3 +x3 y2 +xy+x+y−9. Nosso interesse está em encontrar uma forma de determinar com rapidez as derivadas dy dx e dx dy . Inicialmente, vamos resover o problema usando o conhecimento adquirido em Cálculo I. Vamos derivar y implicitamente em relação a x, na equação x2 y3 + x3 y2 + xy + x + y − 9 = 0, obtendo (2xy3 + 3x2 y2 y′ ) + (3x2 y2 + 2x3 yy′ ) + (y + xy′ ) + 1 + y′ = 0 (3x2 y2 y′ + 2x3 yy′ + xy′ + y′ ) + (2xy3 + 3x2 y2 + y + 1) = 0 (3x2 y2 + 2x3 y + x + 1) y′ = − (2xy3 + 3x2 y2 + y + 1) . Logo, y′ = dy dx = − 2xy3 + 3x2 y2 + y + 1 3x2y2 + 2x3y + x + 1 . (I) Sendo F (x, y) = x2 y3 + x3 y2 + xy + x + y − 9, obtemos as derivadas parciais de F, dadas por ∂F (x, y) ∂x = 2xy3 + 3x2 y2 + y + 1 e ∂F (x, y) ∂y = 3x2 y2 + 2x3 y + x + 1. Observando estes resultados e comparando com (I), podemos escrever a fórmula dy dx = − ∂F (x, y) ∂x ∂F(x,y) ∂y sempre que F (x, y) , ∂F (x, y) ∂x e ∂F (x, y) ∂y forem contínuas em (x, y) e ∂F (x, y) ∂y ̸= 0. Se z = z(x, y) é denida implicitamente em função de x e y pela equação F(x, y, z) = 0, usando o mesmo procedimento anterior obtém-se suas derivadas parciais, que serão denotadas por ∂z ∂x e ∂z ∂y . EXEMPLO 2.8.1 Dada a função implícita x2 + y2 + z2 − 9 = 0, encontrar ∂z ∂x , ∂y ∂x e ∂x ∂z . 78
- 89. Solução: Escrevendo F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 9, obtemos ∂F (x, y, z) ∂x = 2x, ∂F (x, y, z) ∂y = 2y, ∂F (x, y, z) ∂y = 2z. Agora, substituindo convenientemente na fórmula acima, encontramos ∂z ∂x = − ∂F ∂x ∂F ∂z = − 2x 2z = − x z = − x √ 9 − (x2 + y2) , ∂y ∂x = − ∂F ∂x ∂F ∂y = − 2x 2y = − x y = − x √ 9 − (x2 + z2) , ∂x ∂z = − ∂F ∂z ∂F ∂x = − 2z 2x = − z x = − z √ 9 − (y2 + z2) . EXEMPLO 2.8.2 Uma função z(x, y) é dada implicitamente por uma equação do tipo F ( x y , z x2 ) = 0, onde F(u, v) é uma função diferenciável tal que ∂F ∂v ̸= 0. Mostre que z satisfaz a equação diferencial parcial x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = 2z. Resolução: Como z depende implicitamete de x e y, devemos utilizar a expressão para derivação implícita ∂z ∂x = − ∂F ∂x ∂F ∂z e ∂z ∂y = − ∂F ∂y ∂F ∂z Agora, para obter as derivadas de F, denimos u = x y e v = z x2 e utilizamos a regra da cadeia para obter ∂F ∂x = ∂F ∂u ∂u ∂x + ∂F ∂v ∂v ∂x = ∂F ∂u ( 1 y ) + ∂F ∂v ( −2z x3 ) = 1 y ∂F ∂u − 2z x3 ∂F ∂v , ∂F ∂z = ∂F ∂u ∂u ∂z + ∂F ∂v ∂v ∂z = ∂F ∂u .0 + ∂F ∂v ( 1 x2 ) = 1 x2 ∂F ∂v , ∂F ∂y = ∂F ∂u ∂u ∂y + ∂F ∂v ∂v ∂y = ∂F ∂u ( −x y2 ) + ∂F ∂v .0 = −x y2 ∂F ∂u . 79
- 90. Portanto, substituíndo nasderivadas implícitas de z, obtemos ∂z ∂x = − ∂F ∂x ∂F ∂z = − 1 y ∂F ∂u − 2z x3 ∂F ∂v 1 x2 ∂F ∂v = − x2 y ∂F ∂u ∂F ∂v + 2z x e ∂z ∂y = − ∂F ∂y ∂F ∂z = − −x y2 ∂F ∂u 1 x2 ∂F ∂v = x3 y2 ∂F ∂u ∂F ∂v . Portanto, substiuíndo na equação dada, temos x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = x − x2 y ∂F ∂u ∂F ∂v + 2z x + y x3 y2 ∂F ∂u ∂F ∂v = −x3 y ∂F ∂u ∂F ∂v + 2z + x3 y ∂F ∂u ∂F ∂v = 2z. 2.9 Derivada Parcial como Taxa de Variação Suponhamos que f é uma função de duas variáveis. Então, a derivada parcial ∂f ∂x (x0, y0) nos dá a razão instantânea de variação de f, no ponto P (x0, y0) , por unidade de variação de x. Isto é, a taxa de variação de f por unidade de x no ponto P (x0, y0) . Analogamente, ∂f ∂y (x0, y0) nos dá a taxa de variação de f por unidade de y. EXEMPLO 2.9.1 Suponhamos que o volume de gás em um certo recipiente seja V = 100 cm3 , a temperatura seja T = 90o C e a constante de proporcionalidade seja k = 8. (a) Encontre a taxa de variação instantânea da pressão P por unidade de T. (b) Encontre a taxa de variação instantânea de V por unidade de P. Solução: De acordo com a lei dos gases ideais, para um gás comprimido vale a relação PV = kT. Na questão (a) do exercício estamos interessados na taxa de variação instantânea da pressão P por unidade de T, de modo que devemos escrever P em função de T e V, isto é, P (T, V ) = kT V . A taxa de variação instantânea da pressão P por unidade de T é dada pela derivada parcial ∂P (T, V ) ∂T = k V . Asssim, no ponto P (90o , 100) , obtemos ∂P (90o , 100) ∂T = 8 100 = 0, 08. 80
- 91. Na questão (b)do exercício estamos interessados na taxa de variação instantânea de V por unidade de P, de modo que devemos escrever V em função de T e P, ou seja, V (T, P) = kT P . A taxa de variação instantânea da pressão P por unidade de T é dada pela derivada parcial ∂V (T, P) ∂P = − kT P2 . Para determinar P usamos a relação PV = kT e obtemos P = 90 (8) 100 = 7, 2. Portanto, ∂V (90, 7.2) ∂P = − 8 (90) (7, 2)2 = −13, 889. EXEMPLO 2.9.2 A altura de um cone circular é 100 cm e decresce a uma razão de 10cm/s. O raio da base é 50cm e cresce à razão de 5cm/s. Determine a velocidade da variação do volume deste cone. Solução: Primeiro vamos escrever o volume do cone em função do tempo: V (t) = πr2 (t)h(t) 3 , logo, pela regra da cadeia, temos que ∂V ∂t = ∂V ∂r dr dt + ∂V ∂h dh dt = 2πrh 3 dr dt + πr2 3 dh dt = 2π50.100 3 (5) + π(50)2 3 (−10) = 50000π 3 − 25000π 3 = 25000π 3 . 2.10 Diferencias Parciais e Totais Os diferenciais de uma função nos dão uma estimativa da variação da função quando damos acréscimos às variáveis independentes. Para entender o signicado dos diferenciais parciais e total vamos, primeiramente, exam- inar alguns exemplos. EXEMPLO 2.10.1 Consideremos um retângulo de lados x e y. A área desse retângulo é dada por A (x, y) = xy. Veja a Figura 2.13. Se ao lado x for dado um acréscimo innitesimal dx, a área do novo retângulo será dada por A(x + dx, y) = (x + dx) y = xy + ydx 81
- 92. Figura 2.13: Acréscimosdiferenciais nos lados de um retângulo e assim obtemos A (x + dx, y) − A (x, y) = ydx. A variação innitesimal desta área será dAx = ydx. Sendo ∂A(x,y) ∂x = y, podemos escrever dAx = ∂A (x, y) ∂x dx. Analogamente, a diferencial parcial em relação a y é dada por dAy = ∂A (x, y) ∂y dy. Agora, se aos lados x e y forem dados acréscimos innitesimais dx e dy,a área do novo retângulo será A (x + dx, y + dy) = (x + dx) (y + dy) = xy + ydx + xdy + dxdy = A(x, y) + ydx + xdy + dxdy e assim, A (x + dx, y + dy) − A (x, y) = ydx + xdy + dxdy. A estimativa da variação total dA, da área será dA = ydx + xdy + dxdy. Sendo ∂A(x,y) ∂x = y, ∂A(x,y) ∂y = x e como o produto dos innitesimais dx e dy é desprezível, isto é, dxdy ≈ 0, podemos escrever dA = ∂A (x, y) ∂x dx + ∂A (x, y) ∂y dy. EXEMPLO 2.10.2 Consideremos um paralelepípedo de lados x, y e z. Então o volume deste paralelepípedo será dado por V (x, y, z) = xyz. Desenvolvendo um raciocínio análogo ao do exemplo anterior obtemos: V (x + dx, y, z) = (x + dx) yz = xyz + yzdx ou seja, V (x + dx, y, z) − V (x, y, z) = yzdx e a variação innitesimal do volume será dVx = yzdx, que pode ser escrita como dVx = ∂V (x, y, z) ∂x dx. 82
- 93. Analogamente, obtemos dVy = ∂V(x, y, z) ∂y dy e dVz = ∂V (x, y, z) ∂z dz. Se aos lados x e y forem dados acréscimos innitesimais dx e dy o volume do novo paralelepípedo será V (x + dx, y + dy, z) = (x + dx) (y + dy) z = xyz + yzdx + xzdy + zdxdy = V (x, y, z) + yzdx + xzdy + zdxdy e então dVxy = yzdx + xzdy + zdxdy. O produto zdxdy tende a zero. Logo, é desprezível e, portanto, a estimativa da variação innitesimal parcial do volume do paralelepípedo após dado um acréscimo aos lados x e y será dada por dVxy = ∂V (x, y, z) ∂x dx + ∂V (x, y, z) ∂y dy. Finalmente, se aos lados x, y, z forem dados acréscimos innitesimais dx, dy e dz, o volume do novo paralelepipedo será V (x + dx, y + dy, z + dz) = (x + dx) (y + dy) (z + dz) = (xy + ydx + xdy + dxdy) (z + dz) = xyz + yzdx + xzdy + zdxdy + xydz + ydxdz + xdydz + dxdydz e então V (x + dx, y + dy, z + dz)−V (x, y, z) = yzdx+xzdy+zdxdy+xydz+ydxdz+xdydz+dxdydz, ou seja, dV = yzdx + xzdy + zdxdy + xydz + ydxdz + xdydz + dxdydz. Na Figura 2.14, podemos ver o parelelepípedo resultante dos acréscimos atribuídos a cada uma das variáveis e, na Figura 2.15, vemos cada um dos volumes resultantes que compõe o diferencial de volume dV. Os produtos zdxdy, ydxdz, xdydz e dxdydz tendem a zero. Logo, a soma destes termos é desprezível e, portanto, a estimativa da variação innitesimal total do volume do paralelepípedo, após dado um acréscimo aos lados x, y e z será dada por dV = yzdx + xzdy + xydz, que, em virtude de suas derivadas parciais, pode ser reescrita como dV = ∂V (x, y, z) ∂x dx + ∂V (x, y, z) ∂y dy + ∂V (x, y, z) ∂z dz. Geralmente, escreve-se dV = ∂V ∂x dx + ∂V ∂y dy + ∂V ∂z dz. De forma geral, 83
- 94. Figura 2.14: Papalelepípedoresultante dos acréscimos atribuídos a cada lado. Figura 2.15: Volumes que compõe o diferencial de volume dV . DEFINIÇÃO 2.10.3 Se f (x, y, z) é uma função diferenciável, então a diferencial total de f é dada por df = ∂f ∂x dx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz. (2.10.1) EXEMPLO 2.10.4 Uma lata de metal fechada, na forma de um cilindro circular reto, possui altura interna igual a 6cm, raio interno 2cm e espessura 0,1cm. Usando diferencial total faça uma estimativa da quantidade de material necessário para fabricação dessa lata em cm3 . Solução: O volume exato de metal necessário para fabricação da lata é dado pela diferença entre o volume interno e o volume total da lata. Sejam h a altura interna, H a altura total, r o raio interno e R o raio total. Então, teremos h = 6cm, H = 6 + 2 (0, 1) = 6, 2cm, r = 2cm e R = 2 + 0, 1 = 2, 1cm. Seja v o volume interno e V o volume total. Temos, então v = πr2 h = π (2)2 6 = 24π cm3 e V = πR2 H = π (2, 1)2 6, 2 = 27, 342π cm3 . 84
- 95. Portanto, a quantidadeexata de material necessário é ∆V = V − v = 3, 342π cm3 . Porém, a estimativa do volume de material necessário para fabricar a lata, obtida através da diferencial total é: dV = ∂v ∂r dr + ∂v ∂h dh = 2πrhdr + πr2 dh = 2π (2) (6) (0, 1) + π (2)2 (0, 2) = 3, 2π cm3 . Note que, neste caso, a estimativa dV é menor do que ∆V, pois ∆V = π(r + dr)2 (h + dh) − πr2 h = πr2 dh + 2πrdrh + 2πrdrdh + π (dr)2 h + π (dr)2 dh = ∂v ∂h dh + ∂v ∂r dr + 2πrdrdh + π (dr)2 h + π (dr)2 dh e assim podemos ver que desprezamos, no cálculo anterior de dV, a combinação 2πrdrdh + π (dr)2 h + π (dr)2 dh, o que nos mostra que dV ∆V. EXEMPLO 2.10.5 Usando diferencial, determine a variação do volume do recipiente mostrado na Figura 2.16, quando sua altura aumenta em 3% e seu o raio decresce em 1%. 4 5 2 cilindro cone Figura 2.16: Recipiente do Exemplo 2.10.5 Solução: O volume desejado pode ser escrito como V = V1 + V2, onde V1 é o volume do cilindro e V2 é o volume do cone. No cilindro temos V1 = πR2 h, R = 4, h = 2, dR = −4 100 = −0.04; dh = 2 3 100 = 0.06 e no cone, temos V2 = πR2 H 3 , R = 4, H = 5; dR = −4 100 = −0.04; dH = 5 3 100 = 0.15. Portanto a diferencial do volume total é igual a dV = dV1 + dV2 = ( ∂V1 ∂R dR + ∂V1 ∂h dh ) + ( ∂V2 ∂R dR + ∂V2 ∂H dH ) = 2πRhdR + πR2 dh + 2πRh 3 dR + πR2 3 dh = 2π · 4 · 2 · (−0, 04) + π · 16 · (0, 06) + 2π · 4 · 5 3 (−0, 04) + 16π 3 (0, 15) = −0, 64π + 0, 96π − 1, 6π 3 + 2, 4π 3 = 0, 32π + 0, 8 3 π ∼ = 0, 59π. 85
- 96. EXEMPLO 2.10.6 Vamosconsiderar uma lata cilíndrica fechada, com dimensões r = 2cm e h = 5 cm. O custo do material usado em sua confecção é de R$ 0, 81 por cm2 . Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 10% no raio e 2% na altura, qual será o valor aproximado do acréscimo no custo da caixa? E qual é o valor exato do acréscimo no custo da caixa? Solução: Podemos escrever a função custo como C(r, h) = 0.81(2πrh + 2πr2 ), onde 2πrh representa a área lateral da caixa e πr2 a área da base e da tampa. Quando o raio de base sofre um acréscimo de 10%, passa de 2 para 2, 2 cm, portanto ∆r = 0, 2. Quando a altura sofre um acréscimo de 2%, passa de 5cm para 5, 1cm, portanto, ∆h = 0, 1. Vamos usar a diferencial para encontrar o valor aproximado do acréscimo do custo dC = ∂C ∂r dr + ∂C ∂h dh = 0, 81(2πh + 4πr)dr + 0, 81.(2πr)dh = 0, 81(10π + 8π)0.2 + 0, 81.(4π)0, 1 u 10, 17. Portanto, o valor aproximado do acréscimo no custo da caixa quando as dimensões são modicadas é de R$10, 17, ou um acréscimo de 14, 28%. Para saber o valor exato do acréscimo no custo da caixa, temos que calcular ∆C = C(2, 2; 5, 1) − C(2, 5) = 0, 81 ( 2π(2, 2) · (5, 1) + 2π(2, 2)2 ) − 0, 81(20π + 8π) u 10, 47. Assim, o valor exato é de R$10, 47, ou um acréscimo de 14, 7%. Observamos, assim, que o erro do cálculo aproximado foi de 0, 42%. EXEMPLO 2.10.7 Uma caixa em forma de paralelepípedo, tem dimensões internas iguais a 6cm, 8cm e 12cm. Sendo a espessura das paredes 0,2cm, do fundo 0,3cm e da tampa 0,1cm, fazer uma estimativa em cm3 do volume de material necessário a ser usado na confecção da caixa. Solução: Vamos usar a diferencial total para fazer a estimativa solicitada. Sejam x = 6, y = 8 e z = 12. Como a espessura das paredes é 0,2cm temos dx = dy = 2 (0, 2) = 0, 4 e sendo a espessura do fundo 0,3 e da tampa 0,1 temos dz = 0, 3 + 0, 1 = 0, 4. Como V = xyz, segue que a estimativa desejada é dada por dV = ∂V ∂x dx + ∂V ∂y dy + ∂V ∂z dz = yzddx + xzdy + xydz = 8.12.0, 4 + 6.12.0, 4 + 6.8.0, 4 = 86, 4 cm3 . EXEMPLO 2.10.8 O ângulo central de um setor circular é 80◦ e o raio desse setor é 20 cm. Qual deverá ser o acréscimo a ser dado no raio para que a área deste setor circular que aproximadamente inalterada quando o ângulo central sofrer um decréscimo de 1◦ ? 86
- 97. Solução: Como aárea do setor circular é dada por A = r2 θ 2 , com θ em radianos, devemos transformar os arcos fornecidos pelo problema, obtendo θ = 80◦ = 4π 9 rad e dθ = −1◦ = − π 180 rad. O enunciado nos fornece ainda que r = 20 cm e pede para encontrarmos dr para o qual a área não se altera, ou seja, para que tenhamos dA = 0. Utilizando o diferencial total da área, temos que dA = ∂A ∂r dr + ∂A ∂θ dθ = rθdr + r2 2 dθ e subtituíndo os dados acima, obtemos 0 = 80π 9 dr − 10π 9 ⇒ dr = 1 8 cm = 0, 125 cm. Portanto, com um acréscimo de 0, 125 centímetros no raio, a área do setor circular cará aproximadamente inalterada. 2.11 Extremos de uma Função de duas Variáveis Seja f uma função de duas variáveis. Dizemos que f tem um máximo relativo no ponto (a, b) se existir um bola aberta de centro (a, b) e raio ϵ 0 tal que, para todo (x, y) perten- cente à bola, tem-se f (x, y) ≤ f (a, b) . Por outro lado, se f (x, y) ≥ f (a, b) para todo (x, y) pertencente à bola, dizemos que f tem um ponto de mínimo relativo no ponto (a, b) . Os pontos de máximos e de mínimos de f são denominados pontos extremos de f. A imagem de um ponto de máximo é chamada de valor máximo de f, da mesma forma que a imagem de um ponto de mínimo é denominada valor mínimo de f. 2.11.1 Ponto Crítico DEFINIÇÃO 2.11.2 Seja (a, b) um ponto pertencente ao domínio de f. Se ∂f ∂x (a, b) e ∂f ∂y (a, b) são ambas nulas ou se uma delas não existir, então (a, b) é denominado ponto crítico de f. Os pontos críticos de f são os candidatos a pontos de máximo ou mínimo. 2.11.3 Ponto de Máximo e Ponto de Mínimo TEOREMA 2.11.4 Seja (a, b) um ponto pertencente ao domínio de f. Suponhamos que ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂2 f ∂x2 , ∂2 f ∂y2 , ∂2 f ∂x∂y e ∂2 f ∂y∂x existem e são contínuas numa bola aberta de centro (a, b) . Suponhamos que (a, b) seja um ponto crítico e sejam ainda: ∆ = ∂2 f ∂x2 (a, b) ∂2 f ∂y∂x (a, b) ∂2 f ∂x∂y (a, b) ∂2 f ∂y2 (a, b) e Θ = ∂2 f ∂x2 (a, b) . Então: (i) se ∆ 0 e Θ 0, a função f tem um máximo relativo em (a, b) ; (ii) se ∆ 0 e Θ 0, a função f tem um mínimo relativo relativo em (a, b) ; (iii) se ∆ = 0, nada podemos armar; (iv) se ∆ 0, a função f tem um ponto de sela em (a, b) . 87
- 98. EXEMPLO 2.11.5 Encontreos pontos críticos da função f(x, y) = 4xy −x4 −2y2 e classique- os como pontos de máximo, mínimo ou de sela. Solução: Vamos iniciar encontrando os pontos críticos. Como as derivadas parciais são ∂f(x, y) ∂x = 4y − 4x e ∂f(x, y) ∂y = 4x − 4y e estão sempre bem denidas, os pontos críticos de f são dados por { 4x − 4y = 0 4y − 4x3 = 0 ⇒ x − x3 = 0 ⇒ x(1 − x2 ) = 0 ⇒ x = 0; x = ±1 Assim os pontos críticos são P(0, 0), Q(1, 1) e R(−1, −1). A seguir, vamos analisar o delta. Como △(x, y) = −12x2 4 4 −4 = 48x2 − 16, temos que △(0, 0) = −16, △(1, 1) = 32 △(−1, −1) = 32. Na sequência, vamos analisar o valor de Θ(x, y) = ∂2f ∂x2 = −12x2 . Temos que Θ(0, 0) = 0 Θ(1, 1) = −12 Θ(−1, −1) = −12. Portanto, de acordo com o Teorema 2.11.4, concluímos que △(0, 0) 0 e o ponto P(0, 0) é de sela, △(1, 1) 0 e Θ 0 e o ponto Q(1, 1) é ponto de máximo, △(−1, −1) 0 e Θ 0 e o ponto R(−1, −1) é ponto de máximo. EXEMPLO 2.11.6 Determine as dimensões de uma caixa retangular sem tampa destinada ao acondicionamento de 108 cm3 de volume se queremos usar a mínima quantidade em material para sua confecção. Solução: Sejam x o comprimento da base, y a largura da base e z a altura da caixa, S a superfície e V o volume da caixa. Então podemos escrever o sistema { S(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz V (x, y, z) = xyz A função S(x, y, z) pode ser escrita como uma função de duas variáveis, se z for substi- tuido por V xy . Desse modo temos S(x, y) = xy + 2V y + 2V x . Aplicando o Teorema 2.11.4, vamos determinar os pontos críticos de S. Inicialmente, devemos resolver o sistema de equações denido pelas derivadas parciais. Como 88
- 99. ∂S ∂x (x, y) =y − 2V x2 ∂S ∂y (x, y) = x − 2V y2 temos que y − 2V x2 = 0 x − 2V y2 = 0 ⇒ { yx2 = 2V xy2 = 2V ⇒ yx2 = xy2 como sabemos que x, y ̸= 0, podemos dividir ambos os lados da última igualdade por xy e encontrar que x = y. Portanto, obtemos que 2V = x3 e como V = 108, segue que x = 3 √ 2 (108) = 6 e y = 6. Logo, o ponto (a, b) = (6, 6) é único ponto crítico da função S(x, y) = xy + 2V y + 2V x . Na sequência, vamos classicar este ponto crítico. Para isso, precisamos obter os valores de ∆(6, 6) e Θ (6, 6) . Tomando as segundas derivadas, temos que ∂2 S ∂x2 (x, y) = 4V x3 donde vem ∂2 S ∂x2 (6, 6) = 4 (108) 63 = 2, ∂2 S ∂x∂y (x, y) = 1 donde vem ∂2 S ∂x∂y (6, 6) = 1, ∂2 S ∂y∂x (x, y) = 1 donde vem ∂2 S ∂y∂x (6, 6) = 1, ∂2 S ∂y2 (x, y) = 4V y3 donde vem ∂2 S ∂y2 (6, 6) = 4 (108) 63 = 2. Portanto, ∆ = 2 1 1 2 = 3 e Θ = 2. Como ∆ = 3 0 e Θ = 2 0, pelo segundo item do Teorema 2.11.4, obtemos que f tem um mínimo relativo no ponto (6, 6) . Logo, as dimensões da base da caixa são x = 6cm e y = 6cm. Ainda, como z = V xy segue que z = 108 6 (6) = 3. Portanto, as dimensões da caixa, para que o custo de fabricação seja mínimo, são x = 6 cm, y = 6 cm e z = 3 cm. EXEMPLO 2.11.7 Um fabricante faz 2 modelos de um item, padrão e de luxo. Custa R$ 40, 00 para fabricar um modelo padrão e R$ 60, 00 para o de luxo. Uma rma de pesquisa de mercado estima que se o modelo padrão for vendido por x reais e o de luxo por y reais, então o fabricante venderá 500(y − x) do item padrão e 45000 + 500(x − 2y) do de luxo a cada ano. Com que preços os itens devem ser vendidos para maximizar o lucro? Solução: A função lucro é dada por: L(x, y) = 500(y − x)(x − 40) + (45000 + 500(x − 2y))(y − 60). 89
- 100. As derivadas parciaisde L são dadas por ∂L(x, y) ∂x = 1000y − 1000x − 10 000 e ∂L(x, y) ∂y = 1000x − 2000y + 85 000 Como as derivadas estão sempre bem denidas, para encontrar os pontos críticos de L devemos fazer ∂L(x, y) ∂x = 0 e ∂L(x, y) ∂y = 0 Resolvendo este sistema, temos { 1000y − 1000x − 10 000 = 0 1000x − 2000y + 85000 = 0 ⇒ { −1000x + 1000y = 10000 1000x − 2000y = −85000 ⇒ { x = 65 y = 75 . Portanto, o único ponto crítico é (65, 75). Vamos analisar se este ponto crítico é um ponto de máximo. Como ∂2 L ∂x2 = −1000, ∂2 L ∂y2 = −2000, e ∂2 L ∂x∂y = 1000, ∂2 L ∂y∂x = 1000, temos que △ = −1000 1000 1000 −2000 = 106 0 e Θ = ∂2 L ∂x2 = −1000 0. Portanto, o ponto P(65, 75) é, de fato, um ponto de máximo. Logo, o item padrão será vendido por R$ 65, 00 e o de luxo por R$ 75, 00. EXEMPLO 2.11.8 Encontre as coordenadas do ponto que pertence ao plano 3x+2y−z+10 = 0 e cujo quadrado da distância ao ponto P(1, 2, 3) seja mínimo. Solução: Seja Q(x, y, z) as coordenadas do ponto desejado. Queremos encontrar o ponto mínimo da função dada por d(Q, P)2 = (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 , com a condição z = 3x + 2y + 10. Substituíndo esta expressão na função acima, obtemos a função f(x, y) = (x − 1)2 + (y − 2)2 + (3x + 2y + 7)2 . Para encontrar os pontos críticos de f, tomamos ∂f ∂x = 2(x − 1) + 6(3x + 2y + 7) = 20x + 12y + 40 e ∂f ∂y = 2(y − 2) + 4(3x + 2y + 7) = 12x + 10y + 24. Como estas derivadas parciais estão sempre bem denidas, o ponto crítico de f é dado pela solução do sistema 90
- 101. { 20x + 12y+ 40 = 0 12x + 10y + 24 = 0 cuja solução é x = −2 e y = 0. Para classicar este ponto crítico, tomamos: ∆ = 20 12 12 10 = 56 0 e θ = 20 0. Portanto vemos que o ponto crítico é ponto de mínimo. Portanto, as coordenadas do ponto do plano z = 3x + 2y + 10 desejado são dadas por x = −2 y = 0 z = 4. 91
- 102. 2.12 Exercícios Gerais 1.Represente geometricamente as superfícies de equações: (a) x2 + y2 + z2 = 25; (b) x2 + y2 − z2 = 25; (c) 9x + 4y + 12z = 36; (d) z2 − x2 − y2 = 0. 2. Dada a função f(x, y) = 1 x2+y2 , determine as curvas de nível z = 1 4 , z = 4 e z = 9. A seguir, faça um esboço do gráco desta função. 3. Descreva e represente geometricamente as superfícies de nível de f(x, y, z) = x2 +y2 −z2 . 4. Usando a denição mostre que: (a) lim (x,y)→(2,1) (3x + 2y) = 8 (b) lim (x,y)→(1,3) (2x − 4y) = −10. 5. Em cada exercício abaixo verique se lim (x,y)→(0,0) f (x, y) existe (a) f (x, y) = x2 x2 + y2 (b) f (x, y) = x2 y2 x2 + y2 (c) f (x, y) = x3 + y3 x2 + y2 (d) f (x, y) = x2 + y x2 + y2 (e) f (x, y) = x2 + y3 x2 + y2 (f) f (x, y) = x + y x2 + y2 6. Calcule, se possível, o valor de (a) lim (x,y)→(0,2) 2x(y − 2) 3x2 + y2 − 4y + 4 (b) lim (x,y,z)→(2,1,0) (x + y + z − 3)5 (x − 2)(y − 1)z3 7. Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justique a sua resposta. (a) lim (x,y)→(0,0) x2 − y2 x2 + y2 (b) lim (x,y)→(3,0) (x − 3)5 y2 + (x − 3)4 y4 (x2 − 6x + 9 + y6)3 (c) lim (x,y)→(0,5) x3 (y − 5)2 2x7 + 3(y − 5)4 (d) lim (x,y,z)→(0,0,0) x2 y2 z2 x6 + y6 + z6 8. Em cada função verique se f é contínua: (a) f(x, y) = { 2xy √ x2+y2 , se (x, y) ̸= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0) (b) f (x, y) = { x−y x+y se (x, y) ̸= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) (c) f (x, y) = { x+y x2+y2 se (x, y) ̸= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) (d) f (x, y) = { 5xy2−3x2y 2x2+y4 , se (x, y) ̸= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0) 9. Verique se as funções dadas abaixo são contínuas ou não: (a) f (x, y) = x2 y2 x4 + y2 se (x, y) ̸= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) (b) f (x, y) = x3 + y3 x2 + y2 se (x, y) ̸= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) (c) f (x, y) = x2 y2 x2 + y2 se (x, y) ̸= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) (d) f (x, y) = { 3xy2−6y x2−4x+4+y2 se (x, y) ̸= (2, 0) 1 se (x, y) = (2, 0) (e) f (x, y) = { x2+y x2+y2 se (x, y) ̸= (0, 0) 1 se (x, y) = (0, 0) (f) f (x, y) = { 3y4(x+1)4 (y4+x2+2x+1)3 se (x, y) ̸= (−1, 0) 0 se (x, y) = (−1, 0) 92
- 103. 10. Determine sea função f(x, y) = 4x3 + 5y3 + x2 + y2 x2 + y2 se (x, y) ̸= (0, 0) b, se (x, y) = (0, 0) é con- tínua na origem para algum valor de b ∈ R. Justique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de b e uma relação entre ε e δ, se for o caso. 11. Determine se a função f(x, y) = 5x2 (y − 2) x2 + y2 − 4y + 4 se (x, y) ̸= (0, 2) b, se (x, y) = (0, 2) é contínua em (0, 2) para algum valor de b ∈ R. Justique sua resposta com argumentos consis- tentes, explicitando o valor de b e uma relação entre ε e δ, se for o caso. 12. Determine se a função f(x, y) = x2 + 3x2 y + y2 2x2 + 2y2 se (x, y) ̸= (0, 0) b, se (x, y) = (0, 0) é contínua na origem para algum valor de b ∈ R. Justique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de b e uma relação entre ε e δ, se for o caso. 13. Determine se a função f(x, y, z) = (x − 3)(y + 2)(z − 1)2 (2x + y − 3z − 1)4 , se (x, y, z) ̸= (3, −2, 1) b, se (x, y, z) = (3, −2, 1) é contínua em (3, −2, 1) para algum valor de b. Justique sua resposta com argumentos consistentes. 14. Utilize argumentos consistentes para calcular, se existir, o valor de f(0, 0), onde f : R2 → R é uma função contínua dada por f(x, y) = 1 + xy x2 − y2 x2 + y2 se (x, y) ̸= (0, 0). 15. Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas par- ciais em relação a x e y. (a) z = ln √ x2e2y + x2e−2y (b) z = ln ( (ex+y2 )2 + x2 + y ) (c) z = x2 cos2 y + 2x2 sin y cos y + x2 sin2 y (d) z = √ x + y2 + (x2e−2y)3 16. Usando a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de (a) f (x, y) = x + y x2 + y2 + 1 (b) f (x, y) = ln 3 √ (x2 + y2) + (2x + y2x2) 17. Mostre que z = sin ( x y ) + ln (y x ) é solução da equação diferencial y ∂z ∂y + x ∂z ∂x = 0. 18. Verique se a função f(x, y, z) = x2 sin (y z ) + y2 ln (z x ) + z2 ex/y é uma solução da equação diferencial parcial x ∂f ∂x + y ∂f ∂y + z ∂f ∂z = 2f. 19. Se z = ln (x2 + y2 ) mostre que ∂2 z ∂x2 + ∂2 z ∂y2 = 0. 20. Verique se a função f(x, y) = exy + ln ( 2y2 x2 ) é uma solução da equação diferencial parcial x y ∂2 f ∂x2 + y x ∂2 f ∂y2 = 2xyexy . 93
- 104. 21. Se u= 1 √ x2 + y2 + z2 mostre que ∂2 u ∂x2 + ∂2 u ∂y2 + ∂2 u ∂z2 = 0. 22. Sejam f (x, y, z) = x3 y4 z5 + x sin yz e g (x, y) = ex ln y. Encontre todas as derivadas parciais de f e g até a terceira ordem. 23. Use a lei do gás comprimido PV = kT, com k = 10, para encontrar a taxa de variação instantânea da temperatura no instante em que o volume do gás é 120cm3 e está sob uma pressão de 8din/cm2 , a taxa de crescimento é 2 cm 3 /s, a pressão decresce a taxa de 0,1 din/cm 2 · s. Sugestão: escreva P, V e T em função do tempo. 24. A energia consumida num resistor elétrico, em função da voltagem V e da resistência R é dada por P = V 2 R . Deseja-se que um determinado resistor tenha uma voltagem de 200 volts e uma resistência de 20 ohms. (a) Qual deverá ser a variação na resistência para que a energia consumida nesse resistor que praticamente inalterada quando a voltagem sofrer um decréscimo de 0, 2 volts? (b) Se esse resistor consumir 3 % a mais que a energia desejada quando sua resistência for 1 % menor que a desejada, qual será a variação percentual da sua voltagem? 25. Determine uma equação para o plano que é tangente à superfície −2x2 + y2 = −z 2 , no ponto P(−1, 1, 2). 26. Encontre a equação do plano tangente à superfície −12x2 + 3y2 − z = 0, no ponto P(1, 4, 36). 27. Encontre um ponto da superfície z = 3x2 − y2 onde seu plano tangente é paralelo ao plano 6x + 4y − z = 5. 28. Determine a equação do plano que é tangente a superfície denida implicitamente por z3 − (x2 + y2 )z + 2 = 0 no ponto P(1, 2, 2). 29. Sabe-se que a equação x2 + z3 − z − xy sin z = 1 dene implicitamente uma função z = f(x, y) cujo gráco passa pelo ponto P(1, 1, 0). Determine a equação do plano tangente ao gráco de f no ponto P. 30. Sabendo que o plano 2x + y + 3z − 6 = 0 é paralelo ao plano tangente ao gráco de z = f(x, y), no ponto P(1, 1, 1), calcule os valores de ∂f ∂x (1, 1) e ∂f ∂y (1, 1). 31. Mostre que o vetor normal do plano tangente ao gráco de z = f(x, y), no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) , é dado por − → n = ( − ∂f ∂x (x0, y0), − ∂f ∂y (x0, y0), 1 ) . A seguir, mostre que todos os planos tangentes ao gráco de f(x, y) = x3 x2 + y2 passam pela origem. 32. Seja z = f(u), com u = x + ay2 . Prove que ∂z ∂y − 2ay ∂z ∂x = 0. 33. Seja f(x − y, y − z, z − x) uma função diferenciável. Calcule ∂f ∂x + ∂f ∂y + ∂f ∂z . 94
- 105. 34. Dada umafunção f ( y − x xy , z − y yz ) , calcule x2 ∂f ∂x + y2 ∂f ∂y + z2 ∂f ∂z . 35. Seja w = xf (y x ) − g ( y x , x y ) , onde f e g são funções diferenciáveis. Mostre que ∂w ∂x + y x ∂w ∂y = f (y x ) . 36. Seja f uma função diferenciável qualquer e considere w = x3 f (y x , x z , z x ) . Mostre que w satisfaz a equação diferencial parcial x ∂w ∂x + y ∂w ∂y + z ∂w ∂z = 3w. 37. Seja w = f(x2 −at)+g(x+at2 ), onde f e g são funções diferenciáveis e a ∈ R. Calcule ∂2 w ∂t2 e ∂2 w ∂x2 . 38. Seja w = f (u)+g(v) uma função diferenciável, onde u(x, t) = x2 +t2 e v(x, t) = x2 −t2 . Mostre que ∂2 w ∂x2 + ∂2 w ∂t2 = 4 df du + 4(x2 + t2 ) ( d2 f du2 + d2 g dv2 ) . 39. Seja w = f (x, y) uma função diferenciável, onde x(r, θ) = r cos θ e y(r, θ) = r sin θ. Mostre que ( ∂w ∂r )2 + 1 r2 ( ∂w ∂θ )2 = ( ∂w ∂x )2 + ( ∂w ∂y )2 . 40. Seja y = y(x) uma função denida implicitamente por x = F(u, v), onde F é dife- renciável, u = x2 + y e v = y2 . Determine dy dx em função de x, y e das derivadas de F. 41. Seja z = z(x, y) uma função denida implicitamente por F(xy, z) = 0, onde F é uma função diferenciável. Mostre que x ∂z ∂x − y ∂z ∂y = 0. 42. Um pintor cobra R$12, 00 por m2 para pintar as 4 paredes e o teto de uma sala. Se as medidas do teto são 12m e 15m e altura 3m, com um erro de até 0, 05m em todas as dimensões. Aproxime o erro, usando a diferencial, na estimativa do custo do trabalho, a partir dessas medidas. 43. A energia consumida num resistor elétrico é dada por P = V 2 R watts. Se V = 120 volts e R = 12 ohms, calcular através da diferencial um valor aproximado para a variação de energia quando V decresce de 0, 001V e R aumenta de 0, 02 ohms. 44. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica, Num dado instante, o raio da base é de 12 cm e a altura é 8 cm . Obtenha uma aproximação da variação do volume, se o raio varia para 12, 5 cm e a altura para 7, 8 cm. Compare o resultado com a variação obtido com a variação exata do volume. 45. A areia é derramada num monte cônico na velocidade de 4 m3 por minuto. Num dado instante, o monte tem 6 m de diâmetro e 5 m de altura. Qual a taxa de aumento da altura nesse instante, se o diâmetro aumenta na velocidade de 2 centı́metros por minuto? 95
- 106. 46. A capacidadevital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo masculino com x anos de idade e y cm de altura, V pode ser aproximada pela fórmula V = 27, 63y − 0.112xy. Calcule e interprete (a) ∂V ∂x ; (b) ∂V ∂y . 47. A resistência R, em ohms, de um circuíto é dada por R = E I , onde I é a corrente em amperes e E é a força eletromoriz em volts. Num instante, quando E = 120V e I = 15A, E aumenta numa de velocidade 0, 1V/s e I diminui à velocidade de 0, 05A/s. Encontre a taxa de variação instantânea de R. 48. Num determinado circuito elétrico, a corrente I é dada, em função da voltagem V, da resistência R e da indutância L por I = V √ R2 + 10L2 . No instante em que V é 210 volts, R é igual a 3 ohms e está decaindo a uma taxa de 0, 1 ohms por segundo, enquanto que L é igual a 2 henrys e está crescendo a uma razão de 0, 05 henrys por segundo. Qual deve ser a variação de V, neste instante, para que a corrente permaneça constante? 49. Um funil cônico de dimensões h = 4 m e r = 3 m será construído para auxiliar o armazenamento de grãos. Sabendo que o material utilizado na construção desse funil custa R$ 150, 00 por m2 . Usando diferencial, responda qual será o acréscimo de custo na construção desse funil se aumentarmos seu raio em 5% e sua altura 3%. 50. Uma caixa em forma de paralelepípedo tem dimensões internas iguais a 7cm, 8cm e 13cm. Sendo a espessura das paredes 0,2cm, do fundo 0,3cm e da tampa 0,1cm, fazer uma estimativa aproximada em cm 3 da quantidade de material necessário a ser usado na confecção da caixa. 51. A altura e o diâmetro de um cilindro circular reto são 10 e 6 centímetros, respectiva- mente. Se um pequeno acréscimo no diâmetro produzir um cilindro quatro por cento mais largo, qual será, aproximadamente, a porcentagem permitida na variação da al- tura para que não ocorra uma variação no cálculo do volume deste cilindro? Justique sua resposta. 52. Uma empresa de cosméticos necessita de latas cilíndricas fechadas com raio de 4 cm e altura de 20 cm para embalar seus produtos. Porém, devido a variações na fabricação, estas embalagens apresentam pequenas oscilações em suas medidas. Diante disso: (a) Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justique sua resposta com argumentos diferenciais. (b) Se o custo de fabricação destas embalagens for de 20 centavos por cm2 , obtenha uma estimativa para o acréscimo (ou decréscimo) no custo ao fabricar-se emba- lagens com altura 2% maior e raio 3% menor em relação à original. 53. Sabe-se que a resistência R produzida por dois resistores de R1 e R2 ohms em paralelo é dada por 1 R = 1 R1 + 1 R2 . Um estudante de engenharia projetou um circuito com dois resistores em paralelo com resistências de R1 = 100 ohms e R2 = 400 ohms. Porém, como existe uma variação na fabricaç ão, os resistores adquiridos pelo estudante provavelmente não terão os valores exatos. Diante do exposto: 96
- 107. (a) Determine seo valor de R será mais sensível a variações em R1 ou em R2. Justique sua resposta, utilizando argumentos diferenciais. (b) Obtenha uma estimativa para a variação de R, se o estudante utilizar resistências de 100, 2 ohms e 399, 7 ohms respectivamente. 54. Determine os pontos críticos da função f(x, y) = 2 ln(x2 y) + 1 4 x4 − 5 2 x2 − y + 5 e classique-os, se possível, como pontos de máximo, mínimo ou de sela. 55. Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do tanque. 56. Uma caixa retangular tem volume 20 m 3 . O material usado nas laterais custa R$ 1,00 por metro quadrado, o material usado o fundo custa R$ 2,00 por metro quadrado e o material usado na tampa custa R$ 3,00 por metro quadrado. Quais as dimensões da caixa para que o custo de confeção seja mínimo? 57. Sejam A(0, 0), B(4, 0) e C(3, 3) os vértices de um triângulo. Encontre o ponto P (x, y) tal que a soma dos quadrados das distâncias do ponto P aos vértices seja a menor possível. 58. Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular sem tampa que possua uma área total de 300 cm2 e que comporte o máximo possível de volume. 59. Uma empresa de embalagem necessita fabricar caixas retangulares de 128 cm3 de vo- lume. Se o material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para a tampa e para o fundo da caixa, determinar as dimensões da caixa que minimizam o seu custo de produção. 60. Uma caixa retangular é colocada no primeiro octante, com um dos seus vértices na origem e três de suas faces coincidindo com os três planos coordenados. O vértice oposto à origem está situado no plano de equação 3x + 2y + z = 6. Qual é o volume máximo possível de tal caixa? Quais serão as suas dimensões? 61. Um pequeno fabricante produz dois tipos de lâmpadas: uorescentes e incandescentes. O fabricante sabe que, se produzir x lâmpadas uorescentes e y lâmpadas incandes- centes, terá um custo total de 12x + 11y + 4xy e poderá vender cada uorescente por 100 − 2x reais e cada incandescente por 125 − 3y reais. Quantas lâmpadas devem ser produzidas para que o fabricante tenha lucro máximo? Qual é o lucro máximo? 62. Uma certa indústria produz dois tipos de ligas metálicas. O custo total da produção dessas ligas é expresso pela função C(x, y) = x2 + 100x + y2 − xy e a receita total obtida com a vendas dessas ligas é dada pela função R(x, y) = 100x−x2 +2000y +xy, onde x e y representam a quantidade de toneladas de cada uma das ligas. Determine o nível de produção que maximiza o lucro dessa indústria. 63. Determinada empresa produz 2 produtos cujas quantidades são indicadas por x e y. Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários p1 e p2, respectivamente, que dependem de x e y conforme equações p1 = 120 − 2x e p2 = 200−y. O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos 97
- 108. é dado porC = x2 + 2y2 + 2xy. Admitindo que toda a produção seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro. 64. Uma loja vende dois tipos de casacos A e B. O casaco A custa $ 40,00 e o casaco B custa $ 50,00. Seja x o preço de venda do casaco A e y o preço de venda do casaco B. O total de vendas feito pela loja foi de (3200 − 50x + 25y) unidades do casaco A e (25x − 25y) unidades do casaco B. Encontre os valores de x e y para que o lucro obtido pela loja seja o maior possível. 65. Uma loja vende dois tipos de produtos A e B. O produto tipo A custa $ 50,00 e o produto tipo B custa $ 60,00. Seja sendo x o preço de venda do produto tipo A e y o preço de venda do produto tipo B. O total de vendas feito pela loja foi (−250x + 250y) para o produto tipo A e 32000 + 250 (x − 2y) para o produto B. Encontre os valores de x e y para que o lucro seja máximo. 66. Encontre as coordenadas do ponto que pertence ao plano x + y − z + 5 = 0 e cujo quadrado da distância ao ponto P(3, −2, 1) seja mínimo. 67. Necessita-se construir uma caixa retangular fechada de tal forma que a soma dos perímetros de todas as suas faces seja igual a 80cm. Qual é o volume máximo pos- sível de tal caixa? Quais serão as suas dimensões? 68. Alguns correios exigem que o perímetro da face superior de um pacote mais o com- primento da altura não exceda 84 cm, para que possa ser enviado. Determinar as dimensões do pacote retangular de maior volume que pode ser enviado. 69. Suponha que a temperatura em um ponto qualquer da esfera x2 + y2 + z2 = 4 seja dada, em graus, por T(x, y, z) = xyz2 . Em quais pontos desta esfera a temperatura é máxima? Em quais pontos da esfera a temperatura é mímima? 98
- 109. 2.13 Respostas 1. (a) esferade raio 5 (b) hiperbolóide de uma folha (c) plano (d) cone circular 2. As curvas de nível são circunferências de raio 2, 1 2 e 1 3 , respectivamente. 3. As superfícies de nível são ou cones, ou hiperbolóides de uma folha ou hiperbolóides de duas folhas, dependendo se o nível for k = 0, k 0 ou k 0, respectivamente. 4. (a) δ = ε 5 (b) δ = ε 6 5. (a) não existe (b) L = 0, com δ = √ ε (c) L = 0, com δ = ε 2 (d) não existe (e) não existe (f) não existe 6. (a) não existe (b) não existe 7. Todos os limites dados não existem. 8. (a) contı́nua, com δ = ε 2 (b) não é contı́nua (c) não é contı́nua (d) não é contı́nua 9. (a) contı́nua, com δ = √ ε (b) contı́nua, com δ = ε 2 (c) contı́nua, com δ = √ ε (d) descontı́nua (e) descontı́nua (f) descontı́nua 10. f é contínua para b = 1 e, neste caso, δ = ε 9 . 11. f é contínua para b = 0 e, neste caso, δ = ε 5 . 12. f é contínua para b = 1 2 e, neste caso, δ = 2ε 3 13. f é sempre descontínua, independente do valor de b. 14. f(0, 0) = 1. Justica-se pela denição, com δ = √ ε. 15. . (a) ∂z ∂x = 1 x e ∂z ∂y = e2y − e−2y e2y + e−2y (b) ∂z ∂x = 2(e2(x+y2) + x) e2(x+y2) + x2 + y e ∂z ∂y = 4ye2(x+y2) + 1 e2(x+y2) + x2 + y (c) ∂z ∂x = 2x(1 + sin(2y)) e ∂z ∂y = 2x2 cos(2y) (d) ∂z ∂x = 1 + 6x5 e−6y 2 √ x + y2 + (x2e−2y)3 e ∂z ∂y = 2y − 6x6 e−6y 2 √ x + y2 + (x2e−2y)3 99
- 110. 16. . (a) ∂f ∂x = −x2 + y2 −2xy + 1 (x2 + y2 + 1)2 ∂f ∂y = x2 − y2 − 2xy + 1 (x2 + y2 + 1)2 (b) ∂f ∂x = 2x + 2 + 2xy2 3(x2 + y2 + 2x + x2y2) ∂f ∂y = 2y + 2x2 y 3(x2 + y2 + 2x + x2y2) 17. Basta derivar e substituir na equação diferencial dada. 18. Sim, f é solução da equação diferencial dada. 19. Basta tomar as derivadas parciais de segunda ordem de z e substituir na equação dada. 20. Sim, f é solução da equação diferencial dada. 21. Basta tomar as segundas derivadas parciais de u e substituir na equação dada. 22. . ∂3 f ∂x3 = 6y4 z5 ∂3 f ∂y3 = 24x2 yz5 − xz3 cos yz ∂3 f ∂z3 = 60x3 y4 z2 − xy3 cos yz ∂3 g ∂x3 = ex ln y ∂3 g ∂y3 = 2ex y3 23. 0, 4 24. (a) dR = −0, 04 (b) 1 % 25. 8x + 4y + z + 2 = 0. 26. −24x + 24y − z = 36 27. P(1, −2, −1) 28. −4x − 8y + 7z + 6 = 0 29. z = x − 1 30. ∂f ∂x (1, 1) = −2 3 , ∂f ∂y (1, 1) = −1 3 31. Para a segunda parte, basta obter a equação do plano tangente num ponto P(a, b, f(a, b)) qualquer e mostrar que a origem satisfaz sua equação. 32. Utilize a regra da cadeia. 33. Chame u = x − y, v = y − z e w = z − x,utilize a regra da cadeia e mostre que a soma desejada é zero. 34. Chame u = y − x xy , v = yz − y yz e utilize a regra da cadeia para mostrar que a soma desejada é zero. 35. Basta utilizar a regra da cadeia e a regra do produto. 36. Utilize a regra do produto juntamente com a regra da cadeia, com u = y x , v = x z e w = z x . 100
- 111. 37. Se u= x2 − at e v = x + at2 obtém-se, pela regra da cadeia e do produto: ∂2 w ∂x2 = 4x2 d2 f du2 + 2 df du + d2 g dv2 ∂2 w ∂t2 = 4a2 t2 d2 g dv2 + 2a dg dv + a2 d2 f du2 . 38. Utilize regra da cadeia e regra do produto para obter as derivas segundas. 39. Basta utilizar a regra da cadeia. 40. dy dx = 1 − 2x ∂F ∂u ∂F ∂u + 2y ∂F ∂v 41. Utilize derivação implícita e regra da cadeia. 42. dC = 55, 8 43. dP = −2, 02 44. dV = 70, 371 cm3 ∆V = 69, 9 cm3 45. dh dt ≃ 0, 39 46. ∂V ∂x = −0, 112y ∂V ∂y = 27, 63 − 0, 112x. 47. dR dt = 1 30 48. dV dt = 3 volts por segundo 49. dC = 616, 38 50. dV = 100, 4 cm3 51. a altura deve decrescer em 8%, aproximadamente. 52. (a) O engenheiro deve dar maior atenção à variações no raio, pois o volume é 10 vezes mais sensível à variaões no raio do que à variações na altura. (b) dC = −221, 16 centavos 53. (a) R é dezesseis vezes mais sensível a variações em R1 do que a varições em R2. (b) dR = 0, 116 Ω 54. P1(−2, 2) e P2(2, 2) são pontos de sela e P3(−1, 2) e P4(1, 2) são pontos de máximo. 55. x = y = z = 3 √ 270 56. x = 2, y = 2, z = 5 57. x = 7 3 e y = 1 58. x = y = 10, z = 5 101
- 112. 59. x =y = 4, z = 8 60. x = 2 3 , y = 1, z = 2, V = 4 3 61. x = 9, y = 13 62. x = 1000, y = 2000 63. x = 10, y = 30 64. x = 84, y = 89 65. x = 89, y = 94 66. x = 4 3 , y = −11 3 , z = 22 3 67. x = y = z = 10 3 , V = 1000 27 . 68. x = y = 14, z = 28 69. A temperatura é máxima em (1, 1, ± √ 2) e (−1, −1, ± √ 2). E mínima em (−1, 1, ± √ 2) e (1, −1, ± √ 2). Note, no entanto, que existem ainda outros 5 pontos de sela. 102
- 113. Capítulo 3 INTEGRAIS DUPLAS Objetivos(ao nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de): 1. Encontrar o valor de uma integral dupla; 2. Interpretar geometricamente uma integral dupla; 3. Encontrar os limitantes que permitem calcular o valor de uma integral dupla; 4. Inverter a ordem de integração numa integral dupla; 5. Calcular integrais duplas em coordenadas polares; 6. Transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares; 7. Transformar uma integral dupla de coordenadas polares para coordenadas cartesianas; 8. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica. A prova será composta por questões que possibilitam vericar se os objetivos foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu- lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento teórico desse capítulo, nessa apostila. 103
- 114. 3.1 Introdução No estudodas funções de várias variáveis, ao calcularmos derivadas parciais escolhíamos uma das variáves independentes para derivar f em relação a ela e admitíamos que as demais eram constantes. O mesmo procedimento será adotado para integração múltipla. Antes de estudarmos a integração múltipla propriamente dita vamos ver alguns exemplos. EXEMPLO 3.1.1 Encontre a primitiva da função f (x, y) = 12x2 y3 em relação x. Solução: Como foi dito, vamos admitir y como constante e integrar em relação a x. Por- tanto, ∫ 12x2 y3 dx = 4x3 y3 + C. Porém, nesse caso, a constante C é uma função de y. Pode ser por exemplo, C (y) = ay3 + by2 + cy + 3 e uma das primitivas de f será F (x, y) = 4x3 y3 + ay3 + by2 + cy + 3. Note que ∂F (x, y) ∂x = 12x2 y3 . EXEMPLO 3.1.2 Encontre a primitiva da função f (x, y) = 12x2 y3 em relação a y. Solução: Agora vamos admitir x como constante e integrar em relação a y. Portanto, ∫ 12x2 y3 dy = 3x2 y4 + K. Nesse caso, a constante K é uma função de x. Pode ser por exemplo, K (x) = ax3 +bx2 + cx + 3 e uma outra primitiva de f (x, y) = 12x2 y3 será F (x, y) = 3x2 y4 + ax3 + bx2 + cx + 3. Note que ∂F (x, y) ∂y = 12x2 y3 . EXEMPLO 3.1.3 Encontre o valor da expressão ∫ x+1 x 24xydy. Solução: Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo temos ∫ x+1 x 24xydy = 12xy2 x+1 x = 12x (x + 1)2 − 12x (x)2 = 12x3 + 24x2 + 12x − 12x3 = 24x2 + 12x. Como podemos observar ∫ x+1 x 24xydy é uma função de x, ou seja, F (x) = ∫ x+1 x 24xydy = 24x2 + 12x. EXEMPLO 3.1.4 Encontre o valor numérico de ∫ 2 1 F (x) dx onde F (x) = ∫ x+1 x 24xydy. 104
- 115. Solução: No exemploanterior vimos que F (x) = ∫ x+1 x 24xydy = 24x2 + 12x. Portanto, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo temos que ∫ 2 1 F (x) dx = ∫ 2 1 ( 24x2 + 12x ) dx = ( 8x3 + 6x2 ) 2 1 = 8(2)3 + 6 (2)2 − ( 8 (1)3 + 6 (1)2) = 74. Os Exemplos 3.1.3 e 3.1.4 podem ser reescritos como ∫ 2 1 F (x) dx = ∫ 2 1 (∫ x+1 x 24xydy ) dx ou simplesmente ∫ 2 1 F (x) dx = ∫ 2 1 ∫ x+1 x 24xydydx. Dessa forma, obtemos um exemplo de integral dupla. Note que a variável dependente é a primeira a ser integrada e a variável independente a última. O processo de solução é dado abaixo. ∫ 2 1 ∫ x+1 x 24xydydx = ∫ 2 1 (∫ y=x+1 y=x 24xydy ) dx = ∫ 2 1 12xy2 y=x+1 y=x dx = ∫ 2 1 ( 24x2 + 12x ) dx = ( 8x3 + 6x2 ) 2 1 = 74. EXEMPLO 3.1.5 Encontre o valor da integral I = ∫ 4 0 ∫ 3x x 3 √ 16 − x2dydx. Solução: Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo primeiro integrando em relação a y e depois em relação a x. ∫ 4 0 ∫ 3x x 3 √ 16 − x2dydx = ∫ 4 0 3 √ 16 − x2y 3x x dx = ∫ 4 0 ( 3 √ 16 − x2 ) (3x − x) dx = ∫ 4 0 6x √ 16 − x2dx = −2 √ (16 − x2)3 4 0 = −2 √ (16 − 42)3 + 2 √ (16 − 02)3 = 128. 105
- 116. 3.2 Interpretação Geométricada Integral Dupla A denição de integral dupla comporta uma interpretação geométrica semelhante à denição de integral denida simples, associando-a ao problema de cálculo de um vo-lume (ver Figura 3.1) da mesma forma que a integral denida é associada ao cálculo de área. Assim, a denição formal da integral dupla envolve a soma de muitos volumes elementares, isto é, diferenciais de volume, com a nalidade de obter-se o volume total após estas somas. Figura 3.1: Interpretação Geométrica da Integral Dupla Consideremos uma função z = f (x, y) ≥ 0, denida numa região R do plano xy. Nossa intensão é estimar o volume aproximado do sólido delimitado superiormente por z = f (x, y) , inferiormente pelo plano z = 0 e lateralmente pelo cilindro denido pela curva fechada que delimita a região R. Para tanto, subdividimos R em n−subregiões traçando planos paralelos aos planos coordenados, conforme as Figuras 3.2 e 3.3. Assim, a integral será o volume obtido pela soma de uma innidade de volumes de colunas innitesimais inscritas em forma de paralelepípedos, como mostra a Figura 3.3. Figura 3.2: Volume elementar Considere {R1, R2, · · · , Ri, · · · , Rn} é uma partição de R formada por n retângulos. Seja |P| o comprimento da maior de todas as diagonais dos Ri subretângulos. Seja Ai a área da 106
- 117. Figura 3.3: Volumeaproximado subregião Ri. Para cada i escolhenos um ponto (xi, yi) ∈ Ri. O produto Vi = f(xi, yi)Ai é o volume do i−ésimo paralelepípedo de base Ai e altura f (xi, yi) . Como há n subdivisões, haverá n paralelepípedos. Assim, o volume aproximado do sólido delimitado superiormente por f (x, y) e inferiormente pela região R é dado por Vn = n ∑ i=1 f (xi, yi) Ai. Assim, a integral dupla de uma função f denida numa região R é dada por ∫∫ R f (x, y) dxdy = lim |P|→0 Vn = lim |P|→0 n ∑ i=1 f (xi, yi) Ai. OBSERVAÇÃO 3.2.1 Se f (x, y) = 1, então o sólido em questão é na verdade um cilindro cuja base é a região plana R e cuja altura é dada por z = f(x, y) = 1. Como o volume de um cilindro é dado pelo produto de sua base pela altura, temos neste caso, que V = AR, ou seja, a área da região R é dada por AR = ∫∫ R dxdy. 3.3 Cálculo da Integral Dupla Saber reconhecer o domínio de integração (ou região de integração) é fundamental para o cálculo das integrais duplas. Outro ponto importante é o reconhecimento das curvas que delimitam a região de integração. Muitas vezes é conveniente ter essas curvas escritas em função de x, isto é, y = f (x) e, outras vezes, é conveniente escrever x em função de y, isto é x = f (y). Essa conveniência é devido ao maior ou menor trabalho exigido no processo do cálculo do valor numérico. Vejamos alguns exemplos. EXEMPLO 3.3.1 Calcule o valor da integral ∫∫ R 24xydxdy sendo R a região delimitada pelas curvas y = x2 e y = √ x. Solução: A região de integração está esboçada na Figura 3.3.1. A seguir, construímos a tabela de limitantes de integração 107
- 118. Figura 3.4: Regiãode Integração do Exemplo 3.3.1 Limitantes de Integração Curvas Funções curva à esquerda x = 0 curva à direita x = 1 curva inferior y = x2 curva superior y = √ x As curvas à esquerda e à direita são os limitantes que compõe o primeiro símbolo de integração e as curvas inferior e superior o segundo. Assim, ∫∫ R 24xydxdy = ∫ 1 0 ∫ √ x x2 24xydydx = ∫ 1 0 12xy 2y= √ x y=x2 dx = ∫ 1 0 12x(x − x4 )dx = ∫ 1 0 ( 12x2 − 12x5 ) dx = ( 4x3 − 2x6 ) 1 0 = 2. O cálculo da integral no Exemplo 3.3.1 foi desenvolvido tomando x como variável inde- pendente. Vamos recalcular esta integral tomando agora y como variável independente. Primeiramente obteremos a tabela de limitantes da região da Figura 3.4, tomando y como variável independente. Curvas Funções curva à esquerda y = 0 curva à direita y = 1 curva inferior x = y2 curva superior x = √ y A curvas à esquerda e à direita são os limitantes do primeiro símbolo de integração e as curvas inferior e superior do segundo. Assim, ∫∫ R 24xydxdy = ∫ 1 0 ∫ √ y y2 24xydxdy = ∫ 1 0 12yx2 x= √ y x=y2 dy = ∫ 1 0 12y(y − y4 )dy = ∫ 1 0 ( 12y2 − 12y5 ) dy = ( 4y3 − 2y6 ) 1 0 = 2. 108
- 119. Como podemos observar,o valor numérico é o mesmo nos dois casos. Muitas vezes a região de integração não é delimitada apenas por quatro curvas. Nesse caso, a escolha da variável independente adequada pode diminuir o trabalho durante o pro- cesso de integração. Vejamos um exemplo. EXEMPLO 3.3.2 Encontrar o valor da integral ∫∫ R dxdy, onde R é a região situada no interior da parábola y = x2 e delimitada por y = 6 − x e y = 1, tomando: (a) x como variável independente; (b) ycomo variável independente. Solução: A região R está sombreada na Figura 3.5 Figura 3.5: Região de Integração do Exemplo 3.3.2 Obteremos os pontos de interseção das curvas resolvendo os sistemas: { y = x2 y = 6 − x ⇒ x = −3, y = 9 x = 2, y = 4 e { y = x2 y = 1 ⇒ x = −1, y = 1 x = 1, y = 1. (a) Tomando x como variável independente, vemos que a região de integração deve ser subdividida em três regiões para que o cálculo possa ser efetivado. Portanto, temos a seguinte tabela: Tabela de limitantes referente à região R Curvas R1 R2 R3 curva à esquerda x = −3 x = −1 x = 1 curva à direita x = −1 x = 1 x = 2 curva inferior y = x2 y = 1 y = x2 curva superior y = 6 − x y = 6 − x y = 6 − x e a integral dupla será dada por ∫∫ R dxdy = ∫∫ R1 dxdy + ∫∫ R2 dxdy + ∫∫ R3 dxdy = ∫ −1 −3 ∫ 6−x x2 dydx + ∫ 1 −1 ∫ 6−x 1 dydx + dint2 1 ∫ 6−x x2 dydx = ∫ −1 −3 y 6−x x2 dx + ∫ 1 −1 y 6−x 1 dx + ∫ 2 1 y 6−x x2 dx = ∫ −1 −3 (6 − x − x2 )dx + ∫ 1 −1 (6 − x − 1) dx + ∫ 2 1 ( 6 − x − x2 ) dx = 22 3 + 10 + 13 6 = 39 2 . 109
- 120. (b) Tomando ycomo variável independente, vemos que agora a região de integração pode ser subdividida em apenas duas sub-regiões para que o cálculo possa ser efetivado. Portanto, a tabela de limitantes é dada por Tabela de limitantes referente à região R Limitantes R1 R2 curva à esquerda y = 1 y = 4 curva à direita y = 4 y = 9 curva inferior x = − √ y x = − √ y curva superior x = √ y x = 6 − y Assim, a integral dupla será dada por ∫∫ R dxdy = ∫∫ R1 dxdy + ∫∫ R2 dxdy = ∫ 4 1 ∫ √ y − √ y dxdy + ∫ 9 4 ∫ 6−y − √ y dxdy = ∫ 4 1 x √ y − √ y dy + ∫ 9 4 x 6−y − √ y dy = ∫ 4 1 (2 √ y)dy + ∫ 9 4 (6 − y + √ y)dy = 61 6 + 28 3 = 39 2 . Note que a mudança da variável independente diminuiu o trabalho dispensado ao cálculo da integral. EXEMPLO 3.3.3 Escreva a integral que representa a área da região delimitada pelas curvas x = y2 , y − x = 1, y = 1 e y = −1, tomando: (a) x como variável independente; (b) y como variável independente. Solução: A área delimitada pelas curvas pode ser vista na Figura 3.6. Figura 3.6: Região de Integração do Exemplo 3.3.3 Inicialmente, vamos encontrar os pontos de interseção { x = y2 y = 1 ⇒ P(1, 1), { x = y2 y = −1 ⇒ Q(1, −1), { y = 1 + x y = −1 ⇒ R(−2, −1). (a) Tomando x como variável independente, devemos dividir a região em duas: Tabela de limitantes referente à região R 110
- 121. Limitantes R1 R2 curvaà esquerda x = −2 x = 0 curva à direita x = 0 x = 1 curva inferior y = −1 y = √ x curva superior y = 1 + x y = 1 Usando a simetria da região R2, obtemos A = ∫ 0 −2 ∫ 1+x −1 dydx + 2 ∫ 1 0 ∫ 1 √ x dydx = 8 3 . (b) Tomando y como variável independente, basta considerar uma única região: Tabela de limitantes referente à região R Limitantes R curva à esquerda y = −1 curva à direita y = 1 curva inferior x = y − 1 curva superior x = y2 Logo, a área é dada por A = ∫ 1 −1 ∫ y2 y−1 dxdy = 8 3 . 3.4 Integrais Duplas em Coordenada Polares Frequentemente, a região R sobre a qual será calculada a integral dupla é mais facilmente descrita em coordenadas polares do que em coordenadas retangulares. Vamos descrever o processo para o cáculo de integrais duplas em coordenadas polares. Veja a Figura 3.7. Figura 3.7: Partição em coordenadas polares Seja X = {α = θ0, α + ∆θ, α + 2∆θ, α + 3∆θ, · · · , θn = β} uma partição do arco β − α. Consideremos as curvas de raio ri−1 e ri e a sub-região Ri de R delimitada pelas curvas de raio ri−1, ri, θi−1 e θi. A forma de Ri é aproximadamente um retângulo de lados ∆ri, li−1 = ri−1∆θi e li = ri∆θi. Podemos admitir que uma aproximação da área de Ri é dada por Ai = ∆riri∆θi. Tomando um ponto (rki , θki ) no interior de Ri podemos formar um 111
- 122. sólido cuja áreada base é Ai e altura f (rki , θki ) , de modo que o volume desse sólido será dada por Vi = f (rki , θki ) ∆riri∆θi. Assim, o volume sob a superfície f (r, θ) será aproximada pela soma Vn = n ∑ i=1 f (rki , θki ) ∆riri∆θi. Seja |P| a diagonal da maior região Ri da partição de R. Então, se |P| → 0 segue que ∆ri → 0, ∆θi → 0, rki → r, θki → θ e ri → r. Portanto, podemos escrever V = lim |P|→0 Vn = lim |P|→0 n ∑ i=1 f (rki , θki ) ∆riri∆θi ou seja, V = ∫ β α ∫ r2 r f (r, θ) rdrdθ. OBSERVAÇÃO 3.4.1 Vimos anteriormente que a partição de uma região R por retas paralelas aos eixos x e y geram sub-regiões retangulares cujos lados são ∆xi e ∆yi e área Ai = ∆xi∆yi. Então, é natural nos perguntarmos se as áreas Ai = ∆xi∆yi e Ai = ∆riri∆θi são iguais. É claro que não são, porém pode-se mostrar que lim ∆x∆y→0 ∆xi∆yi lim ∆r∆θ→0 ∆riri∆θi = 1 e isso implica que dxdy = rdrdθ. Assim, a equivalência entre a integral dupla em coordenadas retangulares e a integral dupla em coordenadas polares é dada por ∫ x2 x1 ∫ y2 y1 f (x, y) dxdy = ∫ β α ∫ r2 r1 f (r cos θ, r sin θ) rdrdθ. EXEMPLO 3.4.2 Escreva a integral, em coordenadas polares, que calcula a área sombreada na Figura 3.8. Figura 3.8: Região de Integração do Exemplo 3.4.2 Solução: Temos as seguintes equações para as circunferências x2 + y2 = 4 e (x − 2)2 + y2 = 4 (em cartesianas) r = 2 e r = 4 cos θ (em polares) Na interseção das circunferências, temos cos θ = 1 2 , que no primeiro quadrante nos dá θ = π 3 . Portanto, a área em coordenadas polares é dada por A = ∫ π 3 0 ∫ 4 cos θ 2 rdrdθ. 112
- 123. EXEMPLO 3.4.3 Encontrea área da região que é simultaneamente exterior a r = 2 e interior a r = 4 sin θ. Solução: A representação geométrica da região desejada está ilustrada na Figura 3.9. O próximo passo é encontrar os pontos de interseção das curvas. Figura 3.9: Região de Integração do Exemplo 3.4.3 Igualando as equações, obtemos 4 sin θ = 2 ⇒ sin θ = 1 2 ⇒ θ = π 6 ou θ = 5π 6 . A tabela de limitantes é dada por Limitantes Equações arco inferior α = π 6 arco superior β = 5π 6 raio inferior r = 2 raio superior r = 4 sin θ Assim, a área da região é dada por A = ∫ 5π 6 π 6 ∫ 4 sin θ 2 rdrdθ = ∫ 5π 6 π 6 r2 2 4 sin θ 2 dθ = ∫ 5π 6 π 6 ( 8 sin2 θ − 2 ) dθ = ∫ 5π 6 π 6 (2 − 4 cos(2θ))dθ = (2θ − 2 sin(2θ)) 5π 6 π 6 = 10π 6 − 2 sin 10π 6 − ( 2π 6 − 2 sin 2π 6 ) = 4 3 π + 2 √ 3. EXEMPLO 3.4.4 Transforme a integral dupla I = ∫ π 2 0 ∫ 2 2 cos θ+2 sin θ 5er2 drdθ de coordenadas po- lares para coordenadas cartesianas, utilizando: (a) x como variável independente; (b) y como variável independente. 113
- 124. Figura 3.10: Regiãode Integração do Exemplo 3.4.4 Solução: Dos limitantes de integração, temos que θ ∈ [0, π 2 ], o que nos indica que a região de integração está situada no primeiro quadrante do plano xy. Temos também que r ∈ [ 2 cos θ+2 sin θ , 2] o que nos diz que o raio polar varia desde a reta x+2y = 2 até a circunferência x2 + y2 = 4. Assim, obtemos a região de integração mostrada na Figura 3.10. Para transformar o integrando, note que 5er2 drdθ = 5er2 r rdrdθ = 5ex2+y2 √ x2 + y2 dydx. Portanto, (a) Tomando x como variável independente temos I = ∫ 2 0 ∫ √ 4−x2 2−x 2 5ex2+y2 √ x2 + y2 dydx. (b) Tomando y como variável independente, é necessário uma soma de integrais, já que ocorre uma troca de limitação para x, isto é I = ∫ 1 0 ∫ √ 4−y2 2−2y 5ex2+y2 √ x2 + y2 dxdy + ∫ 2 1 ∫ √ 4−y2 0 5ex2+y2 √ x2 + y2 dxdy. EXEMPLO 3.4.5 Considere a expressão I = ∫ 9 0 ∫ 3 √ y y2 cos(x7 )dxdy. (a) Inverta a ordem de integração de I, ou seja, reescreva esta expressão tomando x como variável independente. (b) Reescreva esta expressão usando coordenadas polares. (c) Calcule o valor numérico de I, utilizando uma das expressões anteriores. Solução: Inicialmente, devemos esboçar a região de integração de I. Como y ∈ [0, 9] e x ∈ [ √ y, 3] obtemos a região representada na Figura 3.11. (a) Para inverter a ordem de integração, é necessário tomar x como variável independente. A partir da Figura 3.10 podemos facilmente notar que x ∈ [0, 3] e y ∈ [0, x2 ]. Assim I = ∫ 3 0 ∫ x2 0 y2 cos(x7 )dydx. (b) Para transformar I para coordenadas polares, começamos transformando as curvas que delimitam a região de integração y = x2 ⇒ r sin θ = r2 cos2 θ ⇒ r = sin θ cos2 θ = tan θ sec θ 114
- 125. Figura 3.11: Regiãode Integração do Exemplo 3.4.5 x = 3 ⇒ r cos θ = 3 ⇒ r = 3 cos θ = 3 sec θ. Na interseção destas curvas (x = 3 e y = 9), temos que tan θ = 3 ⇒ θ = arctan 3. Como a região de integração está situada no primeiro quadrante do plano xy, temos que θ ∈ [0, arctan 3]. E como o raio polar varia desde a parábola até a reta, temos que r ∈ [tan θ sec θ, sec θ]. Lembrando que, em coordenadas polares, temos x = r cos θ, y = r sin θ e dxdy = rdrdθ, obtemos que I = ∫ arctan 3 0 ∫ 3 sec θ tan θ sec θ r3 sin θ cos(r7 cos7 θ)drdθ. (c) Para calcular o valor numérico de I, devemos optar por sua melhor expressão. Analisando as três expressões disponíveis, percebemos que a integral do item (a) é a mais simples de ser resolvida. Portanto, temos que I = ∫ 3 0 ∫ x2 0 y2 cos(x7 )dydx = ∫ 3 0 y3 3 cos(x7 ) x2 0 dx = ∫ 3 0 x6 3 cos(x7 )dx = 1 21 sin(x7 ) 3 0 = 1 21 sin(2187). 115
- 126. 3.5 Exercícios Gerais 1.Calcule as integrais duplas dadas abaixo: (a) ∫ 1 0 ∫ 3x+1 x xydydx (b) ∫ 1 0 ∫ 3y+1 y xy2 dxdy (c) ∫ 4 0 ∫ 1 0 xexy dydx (d) ∫ 2 0 ∫ y ln y yexy dxdy (e) ∫ π 0 ∫ y2 0 cos x y dxdy (f) ∫ ln 2 0 ∫ y 0 xy5 ex2y2 dxdy 2. Escreva as integrais duplas que permitem calcular a área da região R delimitada si- multaneamente pelas curvas dadas abaixo, tomando inicialmente x como variável in- dependente e após tomando y como variável independente. (a) y = x2 − 1, y = 1 − x, y = 4x 3 + 12 e y = 12 − 9x 2 . (b) y = 4x 3 + 8 3 , y = −2 − x, y = x 2 − 2 e y = 16 3 − 4x 3 . 3. Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas dadas abaixo, trocando a ordem de integração, se necessário. (a) ∫ 2 0 ∫ 4 x2 x sin(y2 )dydx. (b) ∫ 1 0 ∫ π 2 arcsin y cos x √ 1 + cos2 xdxdy. 4. Nos problemas a seguir, esboce geometricamente a região de integração e utilize coor- denadas polares para calcular as integrais. (a) ∫∫ R √ 14 − x2 − y2dxdy onde R é a região dada por 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9. (b) ∫∫ R √ 14 − x2 − y2dxdy onde R é a região dada por x2 + y2 ≤ 4 com x ≥ 0 e y ≥ 0. (c) ∫ 3 −3 ∫ √ 9−x2 − √ 9−x2 e−x2−y2 dydx. (d) ∫ 2 0 ∫ 0 − √ 4−x2 1 4 + √ x2 + y2 dydx. (e) ∫ 0 −2 ∫ 2+ √ 4−x2 2− √ 4−x2 xy √ x2 + y2 dydx. (f) ∫∫ R 1 (x2 + y2)3 dxdy onde R é a região dada por 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9. 5. Escreva, em coordenadas cartesianas, a(s) integral(is) dupla(s) que permite(m) calcular a área da menor região delimitada pelas curvas x2 + y2 = 9 e y2 + 1 = 3x, tomando: (a) x como variável independente; (b) y como variável independente. 116
- 127. 6. Escreva a(s)integral(is) dupla(s) que permite(m) calcular a área da menor região delimitada pelas curvas x2 + y2 = 20 e y = x2 , usando: (a) x como variável independente; (b) y como variável independente; (c) coordenadas polares. 7. Considere a expressão I = ∫ 2 1 ∫ √ 2x−x2 0 √ x2 + y2 x + y dydx. (a) Reescreva a expressão dada, invertendo sua ordem de integração. (b) Transforme a expressão dada para coordenadas polares. 8. Transforme para coordenadas cartesianas a seguinte integral I = ∫ π 2 − π 2 ∫ 3 3 cos θ sin θdrdθ. 9. Considere a expressão I = ∫ √ 2 2 0 ∫ √ 1−y2 y 2x + 4y √ x2 + y2 dxdy. (a) Reescreva a expressão dada, invertendo sua ordem de integração. (b) Transforme a expressão dada para coordenadas polares. (c) Utilize uma das expressões encontradas nos itens anteriores para calcular o valor numérico de I. 10. Transforme a integral I = ∫ π 2 π 4 ∫ 1 0 r3 drdθ de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, tomando: (a) x como variável independente; (b) y como variável independente. 11. Considere a seguinte expressão: I = ∫ 1 0 ∫ x2 0 x cos((1 − y)2 )dydx + ∫ √ 2 1 ∫ 2−x2 0 x cos((1 − y)2 )dydx. (a) Represente geometricamente a região de integração da expressão acima. (b) Calcule o valor numérico de I, adotando a melhor expressão para isso. 12. Utilize coordenadas polares para reescrever a soma I = ∫ 1 1 √ 2 ∫ x √ 1−x2 xydydx + ∫ √ 2 1 ∫ x 0 xydydx + ∫ 2 √ 2 ∫ √ 4−x2 0 xydydx em uma única integral dupla. 13. Considere a seguinte expressão: I = ∫ 1 0 ∫ 1− √ 1−y2 0 √ x2 + y2 x2 + y2 dxdy + ∫ 2 1 ∫ √ 2y−y2 0 √ x2 + y2 x2 + y2 dxdy. (a) Reescreva esta expressão, invertendo a sua ordem de integração. (b) Transforme esta expressão para coordenadas polares. (c) Calcule o valor numérico de I, utilizando umas das expressões anteriores. 117
- 128. 14. Calcule ∫∫ D (x +3y)dA, onde D é a região triangular de vértices (0, 0), (1, 1) e (2, 0). 15. Calcule ∫∫ D 1 √ x2+y2 dA, sendo D a região do semiplano x 0 interna à cardióide r = 1 + cos θ e externa à circunferência r = 1. 118
- 129. 3.6 Respostas 1. (a) 9 4 (b) 103 60 (c)e4 − 5 (d) e2 − 3 (e) π (f) 1 8 (eln4 2 − ln4 2 − 1) 2. . (a) A = ∫ −2 −3 ∫ 4x 3 +12 x2−1 dydx + ∫ 0 −2 ∫ 4x 3 +12 1−x dydx + ∫ 1 0 ∫ 12− 9x 2 1−x dydx + ∫ 2 1 dint 12− 9x 2 x2−1 dydx A = ∫ 3 0 ∫ √ y+1 1−y dxdy + ∫ 8 3 ∫ 24−2y 9 − √ y+1 dxdy + ∫ 12 8 ∫ 24−2y 9 3y 4 −9 dxdy (b) A = ∫ 0 −2 ∫ 4x+8 3 −2−x dydx + ∫ 1 0 ∫ 4x+8 3 x 2 −2 dydx + ∫ 4 1 ∫ 16 3 − 4x 3 x 2 −2 dydx A = ∫ 0 −2 ∫ 2y+4 −2−y dxdy + ∫ 4 0 ∫ 4− 3y 4 3y−8 4 dxdy 3. (a) 1 − cos 16 4 (b) 2 √ 2 − 1 3 4. . (a) 10π 3 (2 √ 10 − √ 5) (b) π 3 (7 √ 14 − 5 √ 10) (c)π(1 − e−9 ) (d) π + 4π ln 2 − 2π ln 6 (e) −64 15 (f) 65π 2592 5. (a) A = ∫ 2 1 3 ∫ √ 3x−1 − √ 3x−1 dydx + ∫ 3 2 ∫ √ 9−x2 − √ 9−x2 dydx (b) A = ∫ √ 5 − √ 5 ∫ √ 9−y2 y2+1 3 dxdy 6. (a) A = ∫ 2 −2 ∫ √ 20−x2 x2 dydx (b) A = ∫ 4 0 ∫ √ y − √ y dxdy + ∫ √ 20 4 ∫ √ 20−y2 − √ 20−y2 dxdy (c) A = 2 ∫ arctan 2 0 ∫ tan θ sec θ 0 rdrdθ + 2 ∫ π 2 arctan 2 ∫ √ 20 0 rdrdθ 7. (a) I = ∫ 1 0 ∫ 1+ √ 1−y2 1 √ x2 + y2 x + y dxdy (b) I = ∫ π 4 0 ∫ 2 cos θ sec θ r cos θ + sin θ drdθ 8. I = ∫ 3 0 ∫ √ 9−x2 √ 3x−x2 y x2 + y2 dydx + ∫ 3 0 ∫ − √ 3x−x2 − √ 9−x2 y x2 + y2 dydx 119
- 130. 9. (a) I= ∫ √ 2 2 0 ∫ x 0 2x + 4y √ x2 + y2 dydx + ∫ 1 √ 2 2 ∫ √ 1−x2 0 2x + 4y √ x2 + y2 dydx (b) I = ∫ π 4 0 ∫ 1 0 (2r cos θ + 4r sin θ)drdθ (c) 2 − 1 2 √ 2 10. (a) I = ∫ √ 2 2 0 ∫ √ 1−x2 x (x2 + y2 )dydx (b) I = ∫ √ 2 2 0 ∫ y 0 (x2 + y2 )dxdy + ∫ 1 √ 2 2 ∫ √ 1−y2 0 (x2 + y2 )dxdy 11. (a) (b) I = 1 2 sin 1 12. I = ∫ π 4 0 ∫ 2 1 r3 cos θ sin θdrdθ 13. (a) I = ∫ 1 0 ∫ 1+ √ 1−x2 √ 2x−x2 √ x2 + y2 x2 + y2 dydx (b) I = ∫ π 2 π 4 ∫ 2 sin θ 2 cos θ drdθ (c) I = 2 √ 2 − 2 14. I = 2 15. I = 2 120
- 131. Capítulo 4 INTEGRAIS TRIPLAS Objetivos(ao nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de): 1. Encontrar o valor de uma integral tripla; 2. Interpretar geométrica e sicamente uma integral tripla; 3. Calcular integrais triplas em coordenadas retangulares; 4. Calcular integrais triplas em coordenadas cilíndricas; 5. Calcular integrais triplas em coordenadas esféricas; 6. Transformar uma integral tripla de coordenadas retangulares para cilíndricas e de cilíndricas para retangulares; 7. Transformar uma integral tripla de coordenadas retangulares para esféricas e de esféri- cas para retangulares; 8. Transformar uma integral tripla de coordenadas cilíndricas para esféricas e de esféricas para cilíndricas; 9. Montar uma integral tripla nos três sistemas de coordenadas e decidir qual o sistema mais adequado para resolvê-la; 10. Fazer a maquete de uma gura delimitada por superfícies e encontrar seu volume. 11. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica. A prova será composta por questões que possibilitam vericar se os objetivos foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu- lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento teórico desse capítulo, nessa apostila. 121
- 132. 4.1 Introdução As integraistriplas, aplicadas sobre sólidos no espaço xyz, são denidas de forma análoga às integrais duplas aplicadas sobre uma região do plano xy. Não é nosso objetivo discutir os pormenores da denição, pois estes fazem parte do conteúdo de um texto de cálculo avançado. Vamos esboçar apenas as idéias principais. NOTAÇÃO: 4.1.1 Seja S um sólido no espaço tridimensional e f : S → R uma função de três variáveis denida sobre cada ponto (x, y, z) ∈ S. Denotaremos a integral tripla de f sobre S como ∫∫∫ S f (x, y, z) dxdydz. 4.2 Interpretação Geométrica da Integral Tripla Para xar as ideias vamos supor que o sólido S é um paralelepípedo. Uma partição desse paralelepípedo é obtida seccionando-o com n planos paralelos aos eixos coordenados, conforme ilustra a Figura 4.1. Figura 4.1: Partição de um sólido O fracionamento de S obtido pela partição é um conjunto de sub-parelelepípedos chama- dos células da partição. Suponhamos que uma i−célula tenha dimensões ∆xi, ∆yi e ∆zi. Então, o volume dessa i−célula é Vi = ∆xi∆yi∆xi. Seja (x∗ i , y∗ i , z∗ i ) um ponto qualquer da i−célula e seja f : S → R a função densidade em cada ponto de S, então uma estimativa da massa da i−célula é mi = f (x∗ i , y∗ i , z∗ i ) ∆xi∆yi∆xi e, desse modo uma estimativa da massa do sólido S será mn = n ∑ i=1 f (x∗ i , y∗ i , z∗ i ) ∆xi∆yi∆xi. Se |N| é a célula de maior diâmetro da partição de S, então a massa m do sólido S será dada por m = lim |N|→0 mn = lim |N|→0 n ∑ i=1 f (x∗ i , y∗ i , z∗ i ) ∆xi∆yi∆xi ou m = ∫∫∫ S f (x, y, z) dxdydz. 122
- 133. OBSERVAÇÃO 4.2.1 Sef (x, y, z) = 1 então a massa m e o volume V do sólido tem o mesmo valor numérico. Portanto, o volume de um sólido, em termos de integrais triplas, é dado por V = ∫∫∫ S dxdydz. 4.3 Cálculo da Integral Tripla em Coordenadas Retan- gulares Seja S um sólido delimitado pelas curvas x = a, x = b, y = y1(x) e y = y2(x) e pelas superfícies z = f(x, y) e z = g(x, y), com f(x, y) ≤ g(x, y) para todo (x, y) , de acordo com a tabela abaixo: Tabela de limitantes Limitante Equações Curva à esquerda x = a Curva à direita x = b Curva inferior y = y1(x) Curva superior y = y2(x) Superfície inferior z = f(x, y) Superfície superior z = g(x, y) A integral tripa de uma função contínua f(x, y, z) sobre o sólido S é dada por ∫∫∫ S f (x, y, z) dxdydz = ∫ b a ∫ y2(x) y1(x) ∫ g(x,y) f(x,y) f (x, y, z) dzdydx. EXEMPLO 4.3.1 Determine o volume do sólido delimitado pelos planos z = 0, y = 0, x = 0 e 2x + 4y + z = 8. Solução: Iniciamos representando geometricamente o sólido (Figura 4.2). Figura 4.2: Sólido do Exemplo 4.3.1. Em seguida, devemos projetar o sólido sobre um dos planos coordenados. A projeção sobre o plano xy pode ser vista na Figura 4.3. Note que poderíamos ter optado por projetar sobre outro plano coordenado. A tabela de limitantes do sólido, tomando x como variável independente, é dada por 123
- 134. Figura 4.3: Projeçãono plano xy. Limitantes Equações Curva à esquerda x = 0 Curva à direita x = 4 Curva inferior y = 0 Curva superior y = 2 − x 2 Superfície inferior z = 0 Superfície superior z = 8 − 2x − 4y Assim, o volume desejado é dado por V = ∫ 4 0 ∫ 2− x 2 0 ∫ 8−2x−4y 0 dzdydx = ∫ 4 0 ∫ 2− x 2 0 z 8−2x−4y 0 dydx = ∫ 4 0 ∫ 2− x 2 0 (8 − 2x − 4y)dydx = ∫ 4 0 (8y − 2xy − 2y2 ) 2− x 2 0 dx = ∫ 4 0 16 − 4x − 2x ( 2 − 1 2 x ) − 2 ( 2 − 1 2 x )2 dx = ∫ 4 0 (8 − 4x + 1 2 x2 )dx = 32 3 u.v. EXEMPLO 4.3.2 Calcule o volume do sólido delimitado pelos cilindros z2 +x2 = 9 e y2 +x2 = 9 situado no primeiro octante. Solução: A representação geometricamente do sólido pode ser vista na Figura 4.4. Figura 4.4: Sólido do Exemplo 4.3.2. Como o sólido está situado no primeiro octante, os planos z = 0, y = 0 e z = 0 delimitam este sólido e a projeção sobre o plano xy é a parte da circunferência x2 + y2 = 9 que está no primeiro quadrante. Vejamos a tabela de limitantes: 124
- 135. Limitantes Equações Curva àesquerda x = 0 Curva à direita x = 3 Curva inferior y = 0 Curva superior y = √ 9 − x2 Superfície inferior z = 0 Superfície superior z = √ 9 − x2 O volume é dado por V = ∫ 3 0 ∫ √ 9−x2 0 ∫ √ 9−x2 0 dzdydx = ∫ 3 0 ∫ √ 9−x2 0 √ 9 − x2dydx = ∫ 3 0 y √ 9 − x2 √ 9−x2 0 dx = ∫ 3 0 (9 − x2 )dx = 9x − x3 3 3 0 = 18 u.v. EXEMPLO 4.3.3 Encontre o volume do sólido delimitado pelas superfícies z = 9−x2 , z = 5−y, y = 0 e y = 5. Solução: Iniciamos com a construção do sólido de acordo com a Figura 4.5. Figura 4.5: Sólido do Exemplo 4.3.3. O próximo passo é determinar as curvas que limitam a região de integração sobre o plano xy. Para isso resolvemos o sistema de equações { z = 9 − x2 z = 5 − y Igualando as duas equações obtemos a parábola y = x2 −4. Desse modo, no plano xy, a região de integração é delimitada pelas curvas y = x2 − 4, y = 0 e y = 5 (Figura 4.6). Figura 4.6: Projeção no plano xy. Para diminuir o trabalho no processo de integração é conveniente tomar y como variável independente. Desse modo a tabela de limitantes é dada por 125
- 136. Limitantes Equações Curva àesquerda y = 0 Curva à direita y = 5 Curva inferior x = − √ y + 4 Curva superior x = √ y + 4 Superfície inferior z = 5 − y Superfície superior z = 9 − x2 Assim, o volume desejado é dado por V = ∫ 5 0 ∫ √ y+4 − √ y+4 ∫ 9−x2 5−y dzdxdy = ∫ 5 0 ∫ √ y+4 − √ y+4 z 9−x2 5−y dxdy = ∫ 5 0 ∫ √ y+4 − √ y+4 ( 4 − x2 + y ) dxdy, como o sólido é simétrico em relação ao eixo y, podemos escrever V = 2 ∫ 5 0 ∫ √ y+4 0 ( 4 − x2 + y ) dxdy = 2 ∫ 5 0 ( 4x − x3 3 + yx ) √ y+4 0 dy = 2 ∫ 5 0 4 √ y + 4 − √ (y + 4)3 3 + y √ y + 4 dy = 2 ∫ 5 0 ( 8 3 √ y + 4 + 2 3 y √ y + 4 ) dy = 32 9 √ (y + 4)3 + 8 15 √ (y + 4)5 − 32 9 √ (y + 4)3 5 0 = 8 15 √ (y + 4)5 5 0 = 8 15 ( √ 95 − √ 45) = 8 15 (35 − 25 ) = 8 15 (243 − 32) = 1688 15 u.v. EXEMPLO 4.3.4 Faça a tabela de limitantes e escreva a integral que permite calcular a massa do sólido delimitado pelas superfícies x2 + y − 16 = 0, x + y − 4 = 0, y = 2x + 13, z = 0 e z = 10, sendo a densidade dada por d (x, y, z) = xyz. Solução: O sólido desejado situa-se entre os planos z = 0 e z = 10. A base do sólido, que está situada no plano xy, está representada na Figura 4.7. Figura 4.7: Projeção no plano xy. Como ocorre troca na limitação superior, devemos dividir esta região em duas sub-regiões, R1 e R2. Assim, procedendo, obtemos a tabela 126
- 137. Limitantes R1 R2 Curvaà esquerda x = −3 x = 1 Curva à direita x = 1 x = 4 Curva inferior y = 4 − x y = 4 − x Curva superior y = 2x + 13 y = 16 − x2 Superfície inferior z = 0 z = 0 Superfície superior z = 10 z = 10 Logo, a massa desejada é dada por M = ∫ 1 −3 ∫ 2x+13 4−x ∫ 10 0 xyz dzdydx + ∫ 4 1 ∫ 16−x2 4−x ∫ 10 0 xyz dzdydx. 4.4 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Em alguns exemplos uma integral tripla pode ser resolvida de uma forma mais simples convertendo-a para coordenadas cilíndricas. Vejamos este processo de conversão. Figura 4.8: Coordenadas Cilíndricas Sejam θ0 e θ1 dois arcos tais que 0 θ1 − θ0 ≤ 2π e suponhamos que os raios r1 e r2 são funções contínuas de θ tais que 0 ≤ r1 (θ) ≤ r2 (θ) seja válido para todo θ ∈ [θ1, θ2] . Sejam f (r, θ) e g (r, θ) funções contínuas tais que f (r, θ) ≤ g (r, θ) seja verdadeiro para todo θ ∈ [θ1, θ2] e todo r1 (θ) ≤ r2 (θ) . Seja S o sólido constituído por todos os pontos cujas coordenadas cilíndricas satisfaçam as condições θ0 ≤ θ1, r1 (θ) ≤ r2 (θ) e f (r, θ) ≤ g (r, θ) . Então temos a tabela de limitantes Tabela de limitantes Curvas Equações Arco inferior θ = θ1 Arco superior θ = θ2 Raio interno r = r1 (θ) Raio externo r = r2 (θ) Superfície inferior z = f (r, θ) Superfície superior z = g (r, θ) . Uma integral tripla, que em coordenadas cartesianas se escreve como I = ∫ b a ∫ y2(x) y1(x) ∫ g(x,y) f(x,y) f (x, y, z) dzdydx 127
- 138. é transformada, emcoordenadas cilíndricas, para I = ∫ θ2 θ1 ∫ r2(θ) r1(θ) ∫ g(r,θ) f(r,θ) f (r cos θ, r sin θ, z) rdzdrdθ. EXEMPLO 4.4.1 Determinar o volume do sólido delimitado superiormente pelo parabolóide y2 +x2 +1−z = 0, inferiormente pelo plano z = 0 e lateralmente pelo cilindro x2 +y2 −2y = 0. Solução: Geometricamente, temos o seguinte sólido representado na Figura 4.9. Figura 4.9: Sólido do Exemplo 4.4.1. A projeção no plano xy é a circunferência x2 +y2 −2y = 0 que, após completar quadrados, se torna x2 + (y − 1)2 = 1 (Figura 4.10). Figura 4.10: Projeção no plano xy. O sólido está delimitado inferiormente pelo plano z = 0 e superiormente pelo parabolóide z = y2 + x2 + 1. Fazendo as tabelas, podemos observar que é muito mais fácil resolver esse problema usando coordenadas cilíndricas. Limitantes em coord. retangulares Limitantes em coord. cilíndricas Curvas Equações Curva à esquerda x = −1 Curva à direita x = 1 Curva inferior y = 1 − √ 1 − x2 Curva superior y = 1 + √ 1 − x2 Superfície inferior z = 0 Superfície superior z = y2 + x2 + 1 Curvas Equações Arco inferior θ1 = 0 Arco superior θ2 = π Raio interno r1 = 0 Raio externo r2 = 2 sin θ Superfície inferior z = 0 Superfície superior z = r2 + 1 128
- 139. Em coordenadas cilíndricas,o volume é dado por: V = ∫ π 0 ∫ 2 sin θ 0 ∫ 1+r2 0 rdzdrdθ = ∫ π 0 ∫ 2 sin θ 0 r(1 + r2 )drdθ = ∫ π 0 ∫ 2 sin θ 0 (r + r3 )drdθ = ∫ π 0 r2 2 + r4 4 2 sin θ 0 dθ = ∫ π 0 (2 sin2 θ + 4 sin4 θ)dθ = ∫ π 0 2 sin2 θ(1 + 2 sin2 θ)dθ = ∫ π 0 2 sin2 θ(1 + 2 sin2 θ)dθ = ∫ π 0 (1 − cos 2θ)(2 − cos 2θ)dθ = ∫ π 0 (2 − 3 cos 2θ + cos2 2θ)dθ = 2θ − 3 2 sin 2θ π 0 + ∫ π 0 1 + cos 4θ 2 dθ = 2π + 1 2 θ + 1 8 sin 4θ π 0 = 2π + π 2 = 5π 2 u.v. EXEMPLO 4.4.2 Represente gracamente o sólido cujo volume é dado pela integral V = ∫ 2π 0 ∫ 2 0 ∫ 4−r2 cos2 θ 0 rdzdrdθ. Solução: A partir dos limitantes da integral podemos construir a tabela Limitantes em coordenadas cilíndricas Curvas Equações Arco inferior θ1 = 0 Arco superior θ2 = 2π Raio interno r1 = 0 Raio externo r2 = 2 Superfície inferior z = 0 Superfície superior z = 4 − r2 cos2 θ Considerando os arcos inferior e superior, concluímos que a base do sólido está projetada sobre todos os quadrantes, pois temos 0 ≤ θ ≤ 2π. Como 0 ≤ r ≤ 2, temos que o raio cilín- drico varia desde a origem do plano xy até a circunferência de raio 2. Portanto, lateralmente temos um cilindro centrado na origem, de equação x2 + y2 = 4. Inferiormente temos o plano z = 0 e superiormente temos o cilindro parabólico z = 4 − x2 (observe que r2 cos2 θ = x2 ). Assim, encontramos o sólido ilustrado na Figura 4.11. EXEMPLO 4.4.3 Escreva em coordenadas retangulares a integral I = ∫ π 2 0 ∫ 2 cos θ 0 ∫ 9−r2 0 r2 dzdrdθ. Solução: Inicialmente, devemos interpretar geometricamente o sólido de integração. Vamos construir a tabela de limitantes. 129
- 140. Figura 4.11: Sólidodo Exemplo 4.4.2. Limitantes em coordenadas cilíndricas Curvas Equações Arco inferior θ1 = 0 Arco superior θ2 = π 2 Raio interno r1 = 0 Raio externo r2 = 2 cos θ Superfície inferior z = 0 Superfície superior z = 9 − r2 Considerando os arcos inferior e superior concluímos que a base do sólido está projetada sobre o primeiro quadrante do plano xy, pois temos 0 ≤ θ ≤ π 2 . Agora vamos escrever a curva r = 2 cos θ em coordenadas retangulares. Sabemos que x = r cos θ, de modo que cos θ = x r , e que r2 = x2 + y2 . Assim, r = 2 cos θ = 2x r ⇒ r2 = 2x ⇒ x2 + y2 = 2 ⇒ (x − 1)2 + y2 = 1. Vemos que em coordenadas retangulares, a projeção do sólido sobre o plano xy é delim- itada pela circunferência de equação (x − 1)2 + y2 = 1. Desse modo, a tabela de limitantes, em coordenadas retangulares, é dada por: Limitantes em coordenadas retangulares Curvas Equações Curva à esquerda x = 0 Curva à direita x = 2 Curva inferior y = 0 Curva superior y = √ 2x − x2 Superfície inferior z = 0 Superfície superior z = 9 − (x2 + y2 ) Também devemos escrever de forma adequada a expressão r2 dzdrdθ. Como dxdydz = rdzdrdθ temos que r2 dzdrdθ = r (rdzdrdθ) = √ x2 + y2dxdydz. 130
- 141. Assim, a integraldada será escrita em coordenadas cartesianas por I = ∫ 2 0 ∫ √ 2x−x2 0 ∫ 9−x2−y2 0 √ x2 + y2dzdydx. 4.5 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas As integrais triplas também podem ser convertidas para coordenadas esféricas de acordo com o processo descrito a seguir (veja a Figura 4.12). Figura 4.12: Coordenadas Esféricas Sejam θ0, θ1, ϕ0, ϕ1, ρ0 e ρ1 tais que 0 θ1 − θ0 ≤ 2π e 0 ≤ ρ0 ρ1. Suponhamos que o sólido S seja constituído por todos os pontos cujas coordenadas es- féricas (ρ, θ, ϕ) são tais que ρ0 ≤ ρ ≤ ρ1 θ0 ≤ θ1 ≤ θ ϕ0 ≤ ϕ ≤ ϕ1. Lembrando que o ponto P (x, y, z) , em coordenadas esféricas é dado por P (ρ, θ, ϕ) , onde x = ρ cos θ sin ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos ϕ e ρ2 = x2 + y2 + z2 . Considerando acréscimos dϕ, dρ e dθ atribuídos a cada variável, obtemos os pontos P (ρ, θ, ϕ) Q (ρ, θ, ϕ + dϕ) R (ρ, θ + dθ, ϕ) T (ρ + dρ, θ + dθ, ϕ) . Também, podemos observar um paralelepípedo innitesimal curvilíneo com dimensões PT , QR e PQ , cujo volume aproximado é dV = PT QR PQ . É fácil ver que PT é a variação do raio ρ entre os pontos P e T e, portanto, PT = dρ. Como P e Q pertencem ao círculo de raio OP = OQ = ρ e o arco d PQ subentende um ângulo correspondente a variação de ϕ, segue que PQ ∼ = ρdϕ. 131
- 142. Como Q eR pertencem ao círculo de raio OU em que OU é lado oposto do triângulo O b QU e b Q = ϕ obtemos OU = OQ sin ϕ = ρ sin ϕ e, desse modo, obtemos QR ∼ = ρ sin ϕdθ. Portanto, dV = PT QR PQ = dρ (ρdϕ) (ρ sin ϕdθ) = ρ2 sin ϕdρdϕdθ. Lembrando que em coordenadas retangulares tem-se dV = dxdydz, a equivalência entre os diferenciais em coordenadas cartesianas e esféricas é dxdydz = ρ2 sin ϕdρdϕdθ. Seja f (x, y, z) uma função denida em todos os pontos do sólido S e cada ponto P (x, y, z) pode ser escrito em coordenadas esféricas f (ρ, θ, ϕ) . Então podemos escrever ∫ x1 x0 ∫ y1 y0 ∫ z1 z0 f (x, y, z) dzdydx = ∫ θ2 θ1 ∫ ϕ2 ϕ1 ∫ ρ2 ρ1 f (ρ, θ, ϕ) ρ2 sin ϕdρdϕdθ. EXEMPLO 4.5.1 Mostre, usando coordenadas esféricas, que o volume de uma esfera de raio r é V = 4πr3 3 . Solução: Vamos utilizar uma esfera centrada na origem, de equação x2 + y2 + z2 = r2 . Sua projeção no plano xy é a circunferência x2 + y2 = r2 e portanto temos que 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ ϕ ≤ π. Assim, o volume da esfera é calculado por V = ∫ 2π 0 ∫ π 0 ∫ r 0 ρ2 sin ϕdρdϕdθ = 4 3 πr3 . EXEMPLO 4.5.2 Escreva, em coordenadas retangulares e em coordenadas esféricas a(s) inte- gral(is) que permitem calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies z2 = x2 + y2 , z2 = 3x2 + 3y2 e x2 + y2 + z2 = 4 nos pontos em que z é positivo. A seguir, utilize uma das expressões obtidas para calcular o volume deste sólido. Solução: Primeiro vamos interpretar cada superfície. A equação z2 = x2 + y2 representa o cone inferior na Figura 4.13, a equação z2 = 3x2 +3y2 representa o cone superior e a equação x2 + y2 + z2 = 4 representa a esfera. O problema pede para determinar o volume do sólido situado no interior da esfera e entre os dois cones. Veja a Figura 4.13. Vamos determinar as curvas de interseção e as projeções sobre o plano xy. Resolvendo os sistemas de equações { z2 = x2 + y2 x2 + y2 + z2 = 4 e { z2 = 3x2 + 3y2 x2 + y2 + z2 = 4 , em ambos os casos substituindo z2 da primeira equação na segunda equação, obtemos x2 + y2 + x2 + y2 = 4 e x2 + y2 + 3x2 + 3y2 = 4 2x2 + 2y2 = 4 4x2 + 4y2 = 4 x2 + y2 = 2 x2 + y2 = 1. 132
- 143. Figura 4.13: Sólidodo Exemplo 4.5.2. O volume do sólido será dado pela diferença entre o volume do sólido delimitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 4 e o cone z2 = x2 + y2 e o volume do sólido delimitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 4 e o cone z2 = 3x2 + 3y2 . As tabelas de limitantes são: Limitantes Sólido 1 Sólido 1 Curva a esquerda x = − √ 2 x = −1 Curva a direita x = √ 2 x = 1 Curva a inferior y = − √ 2 − x2 y = − √ 1 − x2 Curva a superior y = √ 2 − x2 y = √ 1 − x2 Superfície inferior z = √ x2 + y2 z = √ 3x2 + 3y2 Superfície superior z = √ 4 − x2 − y2 z = √ 4 − x2 − y2 Portanto, o volume será dado por V = ∫ √ 2 − √ 2 ∫ √ 2−x2 − √ 2−x2 ∫ √ 4−x2−y2 √ x2+y2 dzdydx − ∫ 1 −1 ∫ √ 1−x2 − √ 1−x2 ∫ √ 4−x2−y2 √ 3x2+3y2 dzdydx Como podemos perceber, a resolução desta integral é trabalhosa. Vamos escrevê-la em coordenadas esféricas. É facil ver que o arco θ varia de zero a 2π. Vamos determinar a variação do arco ϕ. O cone de equação z2 = x2 + y2 intercepta o plano zx na reta z = x. Sendo o coeente angular dessa reta tgα = 1 segue que α = π 4 e assim, também tem-se ϕ = π 4 . Já o cone de equação z2 = 3x2 + 3y2 intercepta o plano zx na reta z = √ 3x. Sendo o coeciente angular dessa reta tgα = √ 3, isto é, α = π 3 segue que ϕ = π 6 . Portanto, a tabela de limitantes do sólido em coordenadas esféricas é dada por Limitantes em coordenadas esféricas Curvas Equações Arco θ inferior θ1 = 0 Arco θ superior θ2 = 2π Arco ϕ inferior ϕ1 = π 6 Arco ϕ superior ϕ2 = π 4 Superfície inferior ρ1 = 0 Superfície superior ρ2 = 2 133
- 144. Assim, o volumeserá dado por V = ∫ 2π 0 ∫ π 4 π 6 ∫ 2 0 ρ2 sin ϕdρdϕdθ = ∫ 2π 0 ∫ π 4 π 6 ρ3 3 2 0 sin ϕdϕdθ = ∫ 2π 0 ∫ π 4 π 6 8 3 sin ϕdϕdθ = ∫ 2π 0 −8 3 cos ϕ π 4 π 6 dθ = ∫ 2π 0 −8 3 (√ 2 2 − √ 3 2 ) dθ = 4 3 (− √ 2 + √ 3)θ 2π 0 = 8π 3 (√ 3 − √ 2 ) u.v. EXEMPLO 4.5.3 Escreva em coordenadas retangulares a integral I = 4 ∫ π 2 0 ∫ π 3 π 6 ∫ 4 0 ρ sin ϕdρdϕdθ. Solução: O símbolo ∫ π 2 0 dθ signica que a projeção do sólido de integração está situada no primeiro quadrante do plano xy. O símbolo ∫ π 3 π 6 dϕ indica que o sólido de integração é delimitado pelos raios cujas retas tem coecientes angulares tgπ 6 = √ 3 3 e tgπ 3 = √ 3. E o símbolo ∫ 4 0 dρ indica que o sólido é também delimitado pela esfera de raio ρ = 4, ou seja x2 + y2 + z2 = 16. Do coeciente angular tgπ 6 = √ 3 3 obtemos as retas z = √ 3 3 x e z = √ 3 3 y que pertencem à interseção do cone z2 = x2 3 + y2 3 com os planos xz e yz, respectivamente. Do coeciente angular tgπ 3 = √ 3 obtemos as retas z = √ 3x e z = √ 3y que pertencem à interseção do cone z2 = 3x2 + 3y2 com os planos xz e yz, respectivamente. Resolvendo os sistemas de equações { x2 + y2 + z2 = 16 z2 = x2 3 + y2 3 e { x2 + y2 + z2 = 16 z2 = 3x2 + 3y2 obtemos as curvas que delimitam o sólido de integração. Para o cálculo da integral relativa a parte da esfera que está localizada dentro de cada um dos cones. Em ambos os casos, substituindo a segunda equação na primeira, obtemos x2 + y2 + z2 = 16 e x2 + y2 + z2 = 16 x2 + y2 + x2 3 + y2 3 = 16 x2 + y2 + 3x2 + 3y2 = 16 4x2 3 + 4y2 3 = 16 4x2 + 4y2 = 16 x2 + y2 = 12 x2 + y2 = 4 y = √ 12 − x2 y = √ 4 − x2. A integral I = 4 ∫ π 2 0 ∫ π 3 π 6 ∫ 4 0 ρ sin ϕdρdϕdθ é obtida pela diferença entre a integral sobre o sólido delimitado pelas superfícies x2 +y2 +z2 = 16 e z2 = x2 3 + y2 3 e o sólido delimitado pelas superfícies x2 +y2 +z2 = 16 e z2 = 3x2 +3y2 . Como a integral está multiplicada por quatro signica que devemos considerar os quatro quadrantes. Assim, a tabela de limites para os sólidos de integração é dada por 134
- 145. Limitantes Sólido ISólido II Curva a esquerda x = − √ 12 x = −2 Curva a direita x = √ 12 x = 2 Curva a inferior y = − √ 12 − x2 y = − √ 4 − x2 Curva a superior y = √ 12 − x2 y = √ 4 − x2 Superfície inferior z = √ x2 3 + y2 3 z = √ 3x2 + 3y2 Superfície superior z = √ 16 − (x2 + y2) z = √ 16 − (x2 + y2) Também, sabemos que ρ = √ x2 + y2 + z2 e dxdydz = ρ2 sin ϕdρdϕdθ. Como no inte- grando temos ρ sin ϕdρdϕdθ devemos fazer a equivalência ρ sin ϕdρdϕdθ = ρ2 sin ϕdρdϕdθ ρ = dxdydz √ x2 + y2 + z2 . Agora podemos reescrever a integral dada em coordenadas retangulares como I = ∫ √ 12 − √ 12 ∫ √ 12−x2 − √ 12−x2 ∫ √ 16−x2−y2 √ x2 3 + y2 3 dzdydx √ x2 + y2 + z2 − ∫ 2 −2 ∫ √ 4−x2 − √ 4−x2 ∫ √ 16−x2−y2 √ 3x2+3y2 dzdydx √ x2 + y2 + z2 . EXEMPLO 4.5.4 Escreva, nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, as expressões que permitem calcular o volume do sólido delimitado simultaneamente pelas superfícies x2 + y2 = 2y, z = √ x2 + y2 e z = √ 3x2 + 3y2. Resolução: O cilindro x2 + y2 = 2y delimitada lateralmente o sólido desejado, enquanto o cone z = √ x2 + y2 delimita-o inferiormente e o cone z = √ 3x2 + 3y2 superiormente. Veja o esboço do sólido na Figura 4.14. Figura 4.14: Sólido do Exemplo 4.5.4. Para obter a integral em coordenadas cartesianas, basta observar que a altura do sólido varia entre os dois cones, isto é, z ∈ [ √ x2 + y2, √ 3x2 + 3y2], e a projeção do sólido no plano xy é dada pela Figura 4.15. Assim, tomando y como variável independente, temos que y ∈ [0, 2] e que x ∈ [− √ 2y − y2, √ 2y − y2]. Encontramos então a seguinte integral em coordenadas cartesianas V = ∫ 2 0 ∫ √ 2y−y2 − √ 2y−y2 ∫ √ 3x2+3y2 √ x2+y2 dzdxdy. 135
- 146. Figura 4.15: Projeçãono plano xy. Agora, reescrevendo as equações dos cones em coordenadas cilíndricas, obtemos que z ∈ [r, √ 3r]. Como a projeção no plano xy ocorre apenas no primeiro e segundo quadrantes, temos que θ ∈ [0, π], enquanto o raio cilíndrico varia da origem (r = 0) até a circunferência x2 + y2 = 2y, que em cilíndricas se escreve como r2 = 2r sin θ, ou seja, r = 2 sin θ. Assim, encontramos a seguinte integral em coordenadas cilíndricas V = ∫ π 0 ∫ 2 sin θ 0 ∫ √ 3r r rdzdrdθ. Em coordenadas esféricas, temos que θ ∈ [0, π] e que o ângulo vertical varia entre os cones. Transformando para esféricas, obtemos z = √ 3x2 + 3y2 ⇒ ρ cos ϕ = √ 3ρ sin ϕ ⇒ tan ϕ = √ 3 3 ⇒ ϕ = π 6 z = √ x2 + y2 ⇒ ρ cos ϕ = ρ sin ϕ ⇒ tan ϕ = 1 ⇒ ϕ = π 4 portanto, encontramos que ϕ ∈ [π 6 , π 4 ]. Resta então obter a limitação para o raio esférico, que varia desde a origem (ρ = 0) até o cilindro circular, que devemos transformar para esféricas, como segue: x2 + y2 = 2y ⇒ ρ2 sin2 ϕ = 2ρ sin ϕ sin θ ⇒ ρ sin ϕ = 2 sin θ ⇒ ρ = 2 sin θ sin ϕ . Então, temos que ρ ∈ [0, 2 sin θ sin ϕ ] e o volume, em coordenadas esféricas, é calculado pelo integral V = ∫ π 0 ∫ π 4 π 6 ∫ 2 sin θ sin ϕ 0 ρ2 sin ϕdρdϕdθ. Note que, se desejássemos obter o valor numérico deste volume, devemos optar por re- solver a integral escrita em coordenadas cilíndricas, devido a sua simplicidade em comparação às demais integrais. 136
- 147. 4.6 Exercícios Gerais 1.Determinar o volume do sólido interior as superfícies b2 (x2 + y2 ) + a2 z2 = a2 b2 e x2 + y2 = ax. 2. Determinar o volume do sólido interior as superfícies x2 + y2 + z2 = 8 e x2 + y2 = 2z. 3. Calcular I = ∫∫∫ T (x − 1)dV, sendo T a região do espaço delimitada pelos planos y = 0, z = 0, y + z = 5 e pelo cilindro parabólico z = 4 − x2 . 4. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies z = 0, z2 = x2 + y2 e x2 + y2 = 2ax. 5. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies x a + y b + z c = 1, x = 0, y = 0 e z = 0. 6. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies x2 + y2 + 2y = 0, z = 0 e z = 4 + y. 7. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies x2 +y2 = a2 e x2 +z2 = a2 . 8. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies ρ = 4 cos θ, z = 0 e ρ2 = 16 − z2 . 9. Nos itens abaixo escreva em coordenadas retangulares as integrais dadas em coorde- nadas esféricas. (a) I = 2 ∫ π 0 ∫ π 2 0 ∫ 3 0 √ 9 − ρ2 sin ϕdρdϕdθ. (b) I = ∫ π 2 0 ∫ π 3 π 6 ∫ 4 0 √ 4 − ρ2ρ sin ϕdρdϕdθ. 10. Considere o sólido delimitado inferiormente por y + 2z = 6, superiormente por z = 6 e lateralmente pelo cilindro que contorna a região delimitada por y = x2 e y = 4. Calcule a massa deste sólido, sabendo que sua densidade é dada por f(x, y, z) = 2y+z. 11. Determine a massa do sólido delimitado simultaneamente pelas superfícies z = 0, x2 + z2 = 4, y = 0, x = 0, x + y = 2 e x + 2y = 6, sabendo que f(x, y, z) = 12z é a sua função densidade. 12. A gura abaixo mostra o sólido cujo volume pode ser calculado pela expressão V = ∫ 1 0 ∫ 2−2x 0 ∫ 4−z2 0 dydzdx. 137
- 148. Reescreva esta expressãocomo uma integral tripla equivalente, usando coordenadas cartesianas de cinco formas distintas. 13. Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela expressão V = ∫ 4 0 ∫ √ 4−z 0 ∫ 8−2z 0 dydxdz. A seguir, reescreva esta expressão, como uma integral tripla equivalente, usando coor- denadas cartesianas de cinco formas distintas. 14. Seja S o sólido delimitado pelas superfícies z = 0, x2 + y2 = a2 e z = x2 + y2 . Determine o valor de a ∈ R para que a massa de S seja igual a π (√ 82 − 1 ) , sabendo que a densidade em cada ponto de S é dada por f(x, y, z) = 1 √ 1 + (x2 + y2)2 . 15. Represente geometricamente o sólido cuja massa é descrita, em coordenadas cilíndri- cas, pela expressão M = ∫ 2π 0 ∫ √ 2 0 ∫ 4−r2 r2 √ 4 + r2 − zdzdrdθ. A seguir, reescreva esta expressão utilizando um outro sistema de coordenadas. 16. Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela expressão V = ∫ 2 0 ∫ 2+x2 0 ∫ 4−x2 0 dzdydx + ∫ 2 0 ∫ 6 2+x2 ∫ 6−y 0 dzdydx e a seguir reescreva esta expressão utilizando uma única integral tripla em coordenadas cartesianas. 17. Reescreva a expressão M = ∫ 0 −1 ∫ x+1 0 ∫ 8−x2−y2 0 ydzdydx + ∫ 1 0 ∫ 1−x 0 ∫ 8−x2−y2 0 ydzdydx como uma única integral tripla, em coordenadas cartesianas. 138
- 149. 18. Reescreva aexpressão I = ∫ 1 −1 ∫ x2+4 0 ∫ 1−x2 0 dzdydx + ∫ 1 −1 ∫ 5 x2+4 ∫ 5−y 0 dzdydx como uma única integral tripla em coordenadas cartesianas, de três formas distintas. 19. Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela expressão V = ∫ 2π 0 ∫ π 3 0 ∫ 2 1 ρ2 sin ϕdρdϕdθ. A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas cilíndricas. 20. Utilize coordenadas esféricas para calcular a massa do sólido situado acima do cone z2 = x2 + y2 e interior à esfera x2 + y2 + z2 = 4z, sabendo que sua densidade de massa é dada por d(x, y, z) = √ x2 + y2 + z2. 21. Utilize coordenadas esféricas para resolver a seguinte integral tripla I = ∫ √ 3 − √ 3 ∫ √ 3−x2 − √ 3−x2 ∫ √ 4−x2−y2 1 z √ x2 + y2(x2 + y2 + z2)2 dzdydx. 22. Represente geometricamente o sólido cuja massa é calculada, em coordenadas esféricas, pela expressão M = ∫ 2π 0 ∫ π 6 0 ∫ √ 5 cos2 ϕ+2 sin2 ϕ √ 3 cos ϕ ρdρdϕdθ. A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas cilíndricas. 23. Represente geometricamente o sólido cuja massa pode ser calculada, em coordenadas cilíndricas, pela expressão M = ∫ 2π 0 ∫ √ 3 0 ∫ √ 10−3r2 r2 3 (r + z)dzdrdθ. A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas esféricas. 24. Escreva, em coordenadas cartesianas e em coordenadas esféricas, a integral que permite calcular o volume do menor sólido delimitado simultaneamente pelas superfícies x2 + y2 + z2 = 16 e x2 + y2 + z2 = 8z. 25. Calcule o volume do sólido que está situado acima de z = 0 e que é simultameamente interior à esfera x2 + y2 + z2 = 9 e ao hiperbolóide de uma folha x2 + y2 − z2 = 1. 26. Considere o sólido delimitado inferiormente por z = 2x2 + 2y2 e superiormente por x2 + y2 + z2 = 3. Escreva a integral que permite calcular o volume deste sólido em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. 27. Considere o sólido delimitado inferiormente por 2z = √ x2 + y2 e superiormente por z = 6 − √ x2 + y2. Escreva a integral que permite calcular o volume deste sólido em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. 139
- 150. 28. Escreva, emcoordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, as integrais que permitem calcular a massa do sólido situado simultaneamente no interior das superfícies x2 + y2 + z2 = 4z e z = 1 + 1 2 √ x2 + y2, sabendo que sua função densidade é f(x, y, z) = (x2 + y2 )z2 cos(x2 + y2 + z2) . 29. Escreva, em três sistemas de coordenadas distintas, a expressão que permite calcular a massa do sólido situado simultaneamente no interior de x2 + y2 + z2 = 2z e de z = 2 − √ x2 + y2, sabendo que f(x, y, z) = ex2+y2+z2 x + y + z é sua função densidade. 140
- 151. 4.7 Respostas 1. V= 2a2b(3π−4) 9 2. V = 4π(8 √ 2−7) 3 3. I = −544 15 4. V = 32a3 9 5. V = abc 6 6. V = 3π 7. V = 16a3 3 8. V = 3π 2 9. (a) I = ∫ 3 −3 ∫ √ 9−x2 − √ 9−x2 ∫ √ 9−x2−y2 0 √ 9 − x2 − y2 − z2 x2 + y2 + z2 dzdydx (b) I = ∫ √ 12 0 ∫ √ 12−x2 0 ∫ √ 16−x2−y2 √ x2+y2 3 √ 4 − x2 − y2 − z2 √ x2 + y2 + z2 dzdydx− ∫ 2 0 ∫ √ 4−x2 0 ∫ √ 16−x2−y2 √ 3x2+3y2 √ 4 − x2 − y2 − z2 √ x2 + y2 + z2 dzdydx 10. M = 400 11. M = 44 12. V = ∫ 2 0 ∫ 2−z 2 0 ∫ 4−z2 0 dydxdz V = ∫ 4 0 ∫ √ 4−y 0 ∫ 2−z 2 0 dxdzdy V = ∫ 2 0 ∫ 4−z2 0 ∫ 2−z 2 0 dxdydz V = ∫ 1 0 ∫ −4x2+8x 0 ∫ 2−2x 0 dzdydx + ∫ 1 0 ∫ 4 −4x2+8x ∫ √ 4−y 0 dzdydx V = ∫ 4 0 ∫ 1− 1 2 √ 4−y 0 ∫ √ 4−y 0 dzdxdy + ∫ 4 0 ∫ 1 1− 1 2 √ 4−y ∫ 2−2x 0 dzdxdy 13. V = ∫ 2 0 ∫ 4−x2 0 ∫ 8−2z 0 dydzdx V = ∫ 4 0 ∫ 8−2z 0 ∫ √ 4−z 0 dxdydz V = ∫ 8 0 ∫ 8 − y 2 0 ∫ √ 4−z 0 dxdzdy 141
- 152. V = ∫ 2 0 ∫2x2 0 ∫ 4−x2 0 dzdydx + ∫ 2 0 ∫ 8 2x2 ∫ 8 − y 2 0 dzdydx V = ∫ 8 0 ∫ √y 2 0 ∫ 8 − y 2 0 dzdxdy + ∫ 8 0 ∫ 2 √y 2 ∫ 4−x2 0 dzdxdy 14. a = 3 15. M = ∫ √ 2 − √ 2 ∫ √ 2−x2 − √ 2−x2 ∫ 4−x2−y2 x2+y2 √ 4 + x2 + y2 − z √ x2 + y2 dzdydx 16. V = ∫ 2 0 ∫ 4−x2 0 ∫ 6−z 0 dydzdx 17. M = ∫ 1 0 ∫ 1−y y−1 ∫ 8−x2−y2 0 ydzdxdy 18. I = ∫ 1 −1 ∫ 1−x2 0 ∫ 5−z 0 dydzdx = ∫ 1 0 ∫ √ 1−z − √ 1−z ∫ 5−z 0 dydxdz = ∫ 1 0 ∫ 5−z 0 ∫ √ 1−z − √ 1−z dxdydz 19. V = ∫ 2π 0 ∫ √ 3 0 ∫ √ 4−r2 √ 3 3 r rdzdrdθ − ∫ 2π 0 ∫ √ 3 2 0 ∫ √ 1−r2 √ 3 3 r rdzddθ ou V = ∫ 2π 0 ∫ √ 3 2 0 ∫ √ 4−r2 √ 1−r2 rdzdrdθ + ∫ 2π 0 ∫ √ 3 √ 3 2 ∫ √ 4−r2 √ 3 3 r rdzdrdθ. 20. M = 16 5 π ( 8 − √ 2 ) 21. I = 1 3 π2 − 1 4 √ 3π 22. M = ∫ 2π 0 ∫ 1 0 ∫ √ 5−2r2 √ 3 dzdrdθ 23. ∫ 2π 0 ∫ π 3 0 ∫ √ 10 cos2 ϕ+3 sin2 ϕ 0 (sin ϕ+cos ϕ)ρ2 dρdϕdθ+ ∫ 2π 0 ∫ π 2 π 3 ∫ 3 cos ϕ sin2 ϕ 0 (sin ϕ+cos ϕ)ρ2 dρdϕdθ 24. Cartesianas V = ∫ √ 12 − √ 12 ∫ √ 12−x2 − √ 12−x2 ∫ √ 16−x2−y2 4− √ 16−x2−y2 dzdydx Esféricas: V = ∫ 2π 0 ∫ π 3 0 ∫ 4 0 ρ2 sin ϕdρdϕdθ + ∫ 2π 0 ∫ π 2 π 3 ∫ 8 cos ϕ 0 ρ2 sin ϕdρdϕdθ. 25. V = 18π − 32 3 π 26. Cartesianas V = ∫ √ 3 2 − √ 3 2 ∫ √3 4 −y2 − √3 4 −y2 ∫ √ 3−x2−y2 2x2+2y2 dzdydx Cilíndricas V = ∫ 2π 0 ∫ √ 3 2 0 ∫ √ 3−r2 r2 rdzdrdθ 142
- 153. Esféricas: V = ∫2π 0 ∫ π 6 0 ∫ 3 0 ρ2 sin ϕdzdϕdθ + ∫ 2π 0 ∫ π 2 π 6 ∫ 1 2 cot ϕ csc ϕ 0 ρ2 sin ϕdzdϕdθ 27. Cartesianas V = ∫ 4 −4 ∫ √ 16−x2 − √ 16−x2 ∫ 6− √ x2+y2 √ x2+y2 2 dzdydx Cilíndricas V = ∫ 2π 0 ∫ 4 0 ∫ 6−r r 2 rdzdrdθ Esféricas V = ∫ 2π 0 ∫ arctan 2 0 ∫ 6 cos ϕ + sin ϕ 0 ρ2 sin ϕdρdϕdθ 28. Cartesianas M = ∫ 2 −2 ∫ √ 4−x2 − √ 4−x2 ∫ 2+ √ 4−x2−y2 1+1 2 √ x2+y2 (x2 + y2 )z2 cos(x2 + y2 + z2) dzdydx Cilíndricas M = ∫ 2π 0 ∫ 2 0 ∫ 2+ √ 4−r2 1+ 1 2 r r3 z2 cos(r2 + z2) dzdrdθ Esféricas M = ∫ 2π 0 ∫ π 4 0 ∫ 4 cos ϕ 2 2 cos ϕ − sin ϕ ρ6 sin3 ϕ cos2 ϕ cos(ρ2) dρdϕdθ 29. Cartesianas M = ∫ 1 −1 ∫ √ 1−x2 − √ 1−x2 ∫ 2− √ x2−y2 1− √ 1−x2−y2 ex2+y2+z2 x + y + z dzdydx Cilíndricas M = ∫ 2π 0 ∫ 1 0 ∫ 2−r 1− √ 1−r2 er2+z2 r cos θ + r sin θ + z rdzdrdθ Esféricas M = ∫ 2π 0 ∫ π 4 0 ∫ 2 cos ϕ + sin ϕ 0 eρ2 sin ϕ cos θ + sin ϕ sin θ + cos ϕ ρ sin ϕdρdϕdθ + ∫ 2π 0 ∫ π 2 π 4 ∫ 2 cos ϕ 0 eρ2 sin ϕ cos θ + sin ϕ sin θ + cos ϕ ρ sin ϕdρdϕdθ 143
- 154. Capítulo 5 SEQUÊNCIAS ESÉRIES Objetivos (ao nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de): 1. Reconhecer uma sequência e vericar: (a) se é convergente ou divergente; (b) se é crescente ou decrescente; (c) propriedades de uma sequência. 2. Denir séries numéricas de termos positivos; 3. Encontrar a soma de séries; 4. Identicar as séries especiais: geométrica, harmônica, série-p; 5. Vericar se a série é convergente ou divergente, aplicando os critérios de convergência; 6. Analisar a convergência de séries alternadas e de sinais quaisquer; 7. Reconhecer séries absolutamente e condicionalmente convergentes; 8. Reconhecer séries de funções; 9. Encontrar o raio e o intervalo de convergência das séries de potências; 10. Desenvolver funções em séries de Taylor e Maclaurin; 11. Desenvolver funções em séries binomiais; 12. Utilizar séries de funções na resolução de limites e integrais; 13. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica. A prova será composta por questões que possibilitam vericar se os objetivos foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu- lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento teórico desse capítulo, nessa apostila. 144
- 155. 5.1 Introdução Neste capítuloestudaremos séries innitas, as quais são somas que envolvem um número innito de termos. As séries innitas desempenham um papel fundamental tanto na matemática quanto na ciência. Elas são usadas, por exemplo, para aproximar funções trigonométricas e logarítmicas, para resolver equações diferenciais, para efetuar integrais complicadas, para criar novas funções e para construir modelos matemáticos de leis físicas (Anton, 1999). 5.2 Sequências Na linguagem cotidiana, o termo sequência signica uma sucessão de coisas em uma ordem determinada ordem cronológica, de tamanho, ou lógica, por exemplo. Em matemática o termo sequência é usado comumente para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função. Estudaremos um tipo especial de função denida nos números naturais N = {1, 2, 3, 4, · · · } com imagem em R. Isto é, estudaremos a função f : N → R quanto ao limite e suas pro- priedades quando n → ∞. A função f : N → R denida por f(n) = n 2n+1 é um exemplo de sequência. O conjunto composto pelos pares ordenados (n, f(n)), dado por I = {(1, f(1)), (2, f(2)), (3, f(3)), · · · , (n, f(n)), · · · } ou I = { (1, 1 3 ), (2, 2 5 ), (3, 3 7 ), · · · , (n, n 2n + 1 ), · · · } é denominado conjunto dos termos da sequência f(n). Geralmente, o conjunto I é escrito de forma simplicada. Isto é, I é representado pelas imagens de n ∈ N de forma que a posição que determinada imagem de f ocupa no conjunto dos termos da sequência f(n) é determinada pelo elemento n ∈ N, ou seja, I = {f(1), f(2), f(3), · · · , f(n), · · · } = { 1 3 , 2 5 , 3 7 , 4 9 , 5 11 , · · · , n 2n + 1 , · · · } . Podemos observar que o termo 5 11 é imagem de n = 5, pois ocupa a quinta posição no conjunto dos termos. O termo f(n) = n 2n+1 é denominado termo geral da sequência. A forma usual de representar o termo geral de uma sequência é un = n 2n+1 ou xn = n 2n+1 ou yn = n 2n+1 etc. Passaremos agora à denição formal de sequência. Nesse caso, temos o conjunto I = {u1, u2, u3, · · · , un, · · · }. DEFINIÇÃO 5.2.1 Sejam N = {1, 2, 3, 4, · · · } o conjunto dos naturais, R a reta real. De- nominamos a aplicação un : N → R de uma sequência numérica. EXEMPLO 5.2.2 Para melhor compreensão, vamos supor que o crescimento diário de uma linhagem de suínos é dada em função do crescimento total pela sequência un = n n+13 onde n corresponde ao número de dias de vida do suíno e lim n→∞ un o tamanho de um suíno adulto. Assim, o conjunto { 1 14 , 2 15 , 3 16 , 4 17 , 5 18 , · · · , n n+13 , · · · } representa o tamanho diário do suíno em relação ao tamanho nal. Gracamente podemos observar a curva de crescimento, cujo limite é representado pela assíntota y = 1 (Figura 5.1). 145 usaremos Sn
- 156. Figura 5.1: Crescimentoda linhagem de suínos Como podemos observar a assíntota y = 1 representa o limite de crescimento do suíno. Isso signica que podemos levantar questões como por exemplo, qual o número mínimo de dias que o suíno deve car em tratamento para atingir, pelo menos, 80% de seu tamanho nal? No Figura 5.2 podemos observar uma estimativa em torno de 50 dias. Figura 5.2: Estimativa para obter 80 por cento do tamanho nal A questão agora é: como fazer uma estimativa em termos matemáticos? A resposta será dada pela denição de limite de uma sequência. 5.2.3 Limite de uma Sequência DEFINIÇÃO 5.2.4 Seja un uma sequência, dizemos que o número a é limite de un quando n tende para o innito se, dado ε 0 podemos encontrar K 0 tal que para todo n K vale a desigualdade |un − a| ε. EXEMPLO 5.2.5 Dada a sequência un : N → R denida no Exemplo 5.2.2 por un = n n+13 , vamos mostrar que lim un = 1. Solução: Devemos mostrar que, dado ε 0 podemos encontrar K 0 tal que para todo n K vale a desigualdade |un − a| ε. Agora, |un − 1| = n n + 13 − 1 = n − n − 13 n + 13 = 13 n + 13 ε. 146
- 157. De modo quepodemos escrever 13 n + 13 ε ⇒ 13 nε + 13ε ⇒ 13 − 13ε ε n. Consequentemente, podemos tomar K = 13−13ε ε e a Denição 5.2.4 estará satisfeita. Comparando os dados do Exemplo 5.2.2 com a Denição 5.2.4 concluímos que ε = 0, 2 representa a diferença entre o crescimento almejado e o crescimento total dos suínos. Por outro lado, K é o número mínimo de dias que os suínos devem permanecer em tratamento para atingir, pelo menos, 80% de seu crescimento total. EXEMPLO 5.2.6 Determine o número mínimo de dias que um lote de suínos, cujo crescimento é dado pela sequência un = n n+13 deve permanecer em tratamento para atingir, respectiva- mente, 80%, 90% e 95% do seu tamanho nal. Solução: No Exemplo 5.2.5 concluímos que dado ε 0 podemos tomar K = 13−13ε ε . Como para 80%, 90% e 95% do tamanho nal os valores de ε são respectivamente 0.2, 0.1 e 0.05 temos, respectivamente, o número mínimo de dias é dado por (a) K = 13 − 13ε ε = 13 − 13 · 0, 2 0, 2 = 52 dias (b) K = 13 − 13ε ε = 13 − 13 · 0, 1 0, 1 = 117 dias (c) K = 13 − 13ε ε = 13 − 13 · 0, 05 0, 05 = 247 dias Outra conclusão que podemos tirar é que, a partir de um determinado tempo, a variação do crescimento é muito pequena em relação à quantidade de ração que o suíno consome. Portanto, o produtor deve estimar o tempo mínimo de tratamento em dias para obter o máximo de lucro. 5.2.7 Sequências Convergentes DEFINIÇÃO 5.2.8 Seja un uma sequência. Dizemos que un é convergente se, e somente se, lim un = L para alguma L ∈ R. Se un não for convergente, diremos que un é divergente. EXEMPLO 5.2.9 A sequência un = 2n+3 3n+5 é convergente, pois lim n→∞ un = lim n→∞ 2n+3 3n+5 = 2 3 . EXEMPLO 5.2.10 Determine se a sequência un = 1 4 n2 − 1 converge ou diverge. Solução: A sequência dada é tal que lim n→∞ un = lim n→∞ 1 4 n2 − 1 = ∞. Como o limite de un não existe, a sequência diverge. TEOREMA 5.2.11 Seja un : N → R uma sequência em R tal que lim n→∞ un existe, então este limite é único. DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que un : N → R é uma sequência em R tal que lim n→∞ un existe e suponhamos que a e b, com a ̸= b, são limites dessa sequência. Então dado ε 0 podemos encontrar K1 0 e K2 0 tal que para todo n K1 tenhamos |un − a| ε 2 e para todo n K2 tenhamos |un − b| ε 2 . Agora seja K = max{K1, K2}. Então podemos escrever, para todo n K |a − b| = |a − un + un − b| = |−(un − a) − (un − b)| ≤ |un − a| + |un − b| ε 2 + ε 2 = ε. Como a e b são constantes, teremos |a − b| ε para todo ε 0 se, e somente se |a − b| = 0, isto é, se a = b. Logo, o limite de un, se existe, é único. 147
- 158. 5.3 Subsequências DEFINIÇÃO 5.3.1Seja un : N → R uma sequência. Seja N′ = {n1 n2 n3 · · · nk · · · } um subconjunto innito de N, então unk = un N′ : N → R é dita uma subsequência de un. EXEMPLO 5.3.2 Seja un : N → R uma sequência dada por un = 1 n2 . Seja N′ = {1, 3, 5, 7, · · · } ⊂ N. Então a sequência unk : N′ → R é uma subsequência de un. Os termos da sequência são {1, 1 4 , 1 9 , 1 16 , 1 25 , 1 36 , 1 49 , · · · } e os termos da subsequência são {1, 1 9 , 1 25 , 1 49 , · · · }. TEOREMA 5.3.3 Se uma sequência converge para L, então todas suas subsequências tam- bém convergem para L. DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que un : N → R é uma sequência tal que lim n→∞ un = L. Assim, dado ε 0, existe K 0 tal que para todo n K é válida a desigualdade |un − L| ε. Agora, se unk : N′ → R é uma subsequência de un, onde N′ = {n1 n2 · · · nk · · · } é um conjunto innito, temos que, para cada ε 0, existe um k0 ∈ N tal que nk0 K e então, para k k0 temos que nk nk0 K e assim |unk − L| ε, o que prova que unk também converge para L, como queríamos demonstrar. EXEMPLO 5.3.4 A sequência un = (−1)n é divergente, pois admite subsequências que con- vergem para valores diferentes, contrariando o teorema anterior. De fato, a subsequência de índices pares, dada por u2n = (−1)2n = 1 converge para L1 = 1, enquanto que sua subse- quência de índices ímpares, dada por un = (−1)2n+1 = −1 converge para L2 = −1. Como os limites das subsequências são diferentes, a sequência diverge. 5.4 Sequência Limitada DEFINIÇÃO 5.4.1 Seja un : N → R uma sequência em R. Dizemos que un é limitada se o conjunto {u1, u2, u3, · · · , un · · · } for limitado, ou seja, se existirem k1 e k2 ∈ R tais que k1 ≤ un ≤ k2 para todo n ∈ N. TEOREMA 5.4.2 Seja un : N → R uma sequência convergente em R, então un é limitada. DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que un : N → R é uma sequência convergente em R e supon- hamos que a é limite dessa sequência. Então, dado ε = 1, podemos encontrar K 0, tal que para todo n K tenhamos |un − a| 1. Assim, para todo n K, temos un ∈ B(a, 1). Como o conjunto {u1, u2, u3, · · · , uK} é nito, logo admite um valor máximo, seja M = max u1, u2, · · · , uK, segue que {u1, u2, u3, · · · , un−1, un, · · · } ⊂ B(a, 1) ∪ B(0, M). Logo, un é limitada. OBSERVAÇÃO 5.4.3 A recíproca desse teorema não é verdadeira. Por exemplo, un = (−1)n é limitada, com −1 ≤ un ≤ 1, mas un não é convergente. 5.5 Sequências Numéricas Monótonas Neste parágrafo analisaremos algumas propriedades das sequências em R. DEFINIÇÃO 5.5.1 Seja un uma sequência de valores reais. Dizemos que un é 148
- 159. • não-decrescente seun+1 ≥ un para todo n ∈ N; • crescente se un+1 un para todo n ∈ N; • não-crescente se un ≥ un+1 para todo n ∈ N; • decrescente se un un+1 para todo n ∈ N. DEFINIÇÃO 5.5.2 Seja un uma sequência de valores reais. Então un é denominada monó- tona se pertencer a um dos tipos descritos na Denição 5.5.1. EXEMPLO 5.5.3 Mostre que a sequência un = n+1 n2+2 é monótona. Solução: Devemos mostrar que un pertence a um dos tipos descritos na Denição 5.5.1. Temos que un = n+1 n2+2 e un+1 = (n+1)+1 (n+1)2+2 = n+2 n2+2n+3 . Vericaremos se un+1 ≤ un n + 2 n2 + 2n + 3 ≤ n + 1 n2 + 2 ⇔ (n2 + 2)(n + 2) ≤ (n + 1)(n2 + 2n + 3) ⇔ n3 + 2n2 + 2n + 4 ≤ n3 + 3n2 + 5n + 3 ⇔ 1 ≤ n2 + 3n. A última desigualdade é verdadeira para todo n. Logo, un = n+1 n2+2 é decrescente e, assim, monótona. DEFINIÇÃO 5.5.4 Sejam un uma sequência numérica, C e K dois números reais. Dizemos que C é limitante inferior de un se C ≤ un para todo n e que K é limitante superior de un se K ≥ un para todo n. EXEMPLO 5.5.5 Consideremos a sequência monótona decrescente un = n+1 n2+2 cujos termos são 2 3 , 3 6 , 4 11 , 5 18 , · · · e cujo limite é L = 0. Então, todo número real C ≤ 0 é limitante inferior de un e todo K ≥ 2 3 é limitante superior de un, pois un u1 = 2 3 . DEFINIÇÃO 5.5.6 Seja un uma sequência numérica que possui limitantes inferiores e supe- riores, então un é dita sequência limitada. OBSERVAÇÃO 5.5.7 Note que uma sequência, para ser limitada, não precisa ter limite. Por exemplo, un = (−1)n não tem limite, mas é limitada. TEOREMA 5.5.8 Toda sequência monótona limitada em R é convergente. TEOREMA 5.5.9 Sejam un e yn sequências numéricas em R tais que lim n→∞ un = a e lim n→∞ yn = b. Então são válidas as armações: (i) lim n→∞ c = c; (ii) lim n→∞ cun = ca; (iii) lim n→∞ (un ± yn) = a ± b; (iv) lim n→∞ unyn = ab; (v) Se b ̸= 0 e yn ̸= 0 então lim n→∞ un yn = a b ; (vi) lim n→∞ c nk = 0, se k é uma constante positiva. 149
- 160. 5.6 Séries Numéricas DEFINIÇÃO5.6.1 Seja un : N → R uma sequência numérica. Denominamos série innita à soma de todos os innitos termos dessa sequência, ou seja, uma série é uma expressão da forma ∞ ∑ n=1 un = u1 + u2 + u3 + · · · + uk + · · · . A sequência un, cujos innitos termos são somados, é chamada de termo geral ou n−ésimo termo da série. Questões pertinentes no estudo de séries são: Como se determina o resultado de uma soma innita? Toda série possui uma soma nita? Passaremos a responder tais questões no desenvolvimento do restante deste capítulo. No entanto, estaremos muito mais preocupados com o fato de determinar se uma série innita possui ou não uma soma nita do que propriamente encontrar o valor desta soma. Começaremos com o conceito de somas parciais de uma série. DEFINIÇÃO 5.6.2 Seja ∞ ∑ n=1 un uma série. A soma dos primeiros k termos desta série, dada por Sk = k ∑ n=1 un = u1 + u2 + u3 + · · · + uk é denominada soma parcial da série dada. Note que as somas S1 = u1 S2 = u1 + u2 = S1 + u2 S3 = u1 + u2 + u3 = S2 + u3 · · · Sk = Sk−1 + uk formam uma sequência, chamada de sequência de somas parciais. Se esta sequência convergir, ou seja, se existir S tal que lim k→∞ Sk = S, dizemos que a série dada converge para S e denotaremos ∞ ∑ n=1 un = S. Se não existir tal S, diremos que a série diverge, signicando que não podemos obter um valor nito para a soma das innitas parcelas da série. Para melhor entendimento, vamos considerar e analisar um exemplo. EXEMPLO 5.6.3 Durante o tempo que permanecer na universidade, um estudante da Udesc deverá receber uma mesada de seu pai, em unidades monetárias, que obdedece à sequência un = 20000 n(n + 1) , onde n corresponde ao número da parcela a ser recebida. Pergunta-se (i) Qual o montante que o estudante deverá receber até o nal da faculdade, supondo que ele conclua o curso em 60 meses? (ii) No caso do estudante permanecer na universidade indenidamente, como cará o mon- tante recebido? 150
- 161. Solução: As parcelasmensais recebidas pelo estudante são dadas pela sequência que des- creve o valor da mesada, que são 10000, 10000 3 , 5000 3 , 1000, 2000 3 , 10000 21 , 2500 7 , · · · Para responder a primeira pergunta, vamos escrever o problema no formato de uma série innita, isto é, ∞ ∑ n=1 20000 n(n + 1) = 10000 + 10000 3 + 5000 3 + 1000 + 2000 3 + 10000 21 + 2500 7 + · · · Os primeiros termos das somas parciais desta série são dadas por S1 = u1 = 10000, S2 = S1 + u2 = 40000 3 , S3 = S2 + u3 = 15000, S4 = S3 + u4 = 16000 Agora, precisamos determinar uma expressão para o termo geral desta soma. Para isso, reescrevemos o termo geral da série usando decomposição em frações parciais, tomando 20000 n(n + 1) = A n + B n + 1 = A (n + 1) + Bn n(n + 1) = A + (A + B)n n(n + 1) e obtendo que { A = 20000 A + B = 0 ⇒ A = 20000 e B = −20000. Desse modo a série dada pode ser reescrita como ∞ ∑ n=1 20000 n(n + 1) = ∞ ∑ n=1 ( 20000 n − 20000 n + 1 ) e a soma dos seus n−primeiros termos é dada por Sn = ( 20000 − 20000 2 ) + ( 20000 2 − 20000 3 ) + · · · + ( 20000 n − 20000 n + 1 ) e como podemos simplicar alguns termos intermediários, obtemos que Sn = 20000 − 20000 n + 1 , ou seja, Sn = 20000n n + 1 . O leitor poderá vericar que as somas parciais determinadas anteriormente correspondem às fornecidas por esta expressão. Como a solução para a questão (i) do exemplo corresponde à sexagésima soma, temos que S60 = 20000 · 60 61 = 19672. 151
- 162. Figura 5.3: Estimativapara o crescimento da série Desse modo, após 60 meses, o estudante terá recebido um montante de 19672 unidades monetárias. Passaremos agora a responder a segunda questão. Na Figura 5.3 podemos ver o compor- tamento para o crescimento da soma da série. Portanto, se o estudante car indenidamente na universidade, observando o gráco, podemos armar que não receberia mais do que 20000 unidades monetárias. Isso signica que a soma da série tem limite 20000 quando a quantidade de parcelas tende para innito, ou seja, lim n→∞ Sn = lim n→∞ 20000n n + 1 = 20000. Em outras palavras, a série converge para 20000 e podemos escrever ∞ ∑ n=1 20000 n(n + 1) = 20000. Como vimos acima, a soma de uma série innita é obtida pelo limite da sua sequência de somas parciais. Assim, denimos o limite de uma série do mesmo modo com que foi denido o limite de uma sequência. 5.6.4 Soma de uma Série DEFINIÇÃO 5.6.5 Seja ∞ ∑ n=1 un uma série cuja sequência de somas parciais é Sn. Dizemos que o número S é a soma da série, denotando S = ∞ ∑ n=1 un, se S for o limite de Sn quando n tender para o innito, ou seja, se dado ε 0 pudermos encontrar K 0 tal que, para todo n K valer a desigualdade |Sn − S| ε. EXEMPLO 5.6.6 Considere a série obtida no Exemplo 5.6.3, dada por ∞ ∑ n=1 20000 n(n + 1) . Mostre que ∞ ∑ n=1 20000 n(n + 1) = 20000. Solução: Como vimos acima, a sequência de somas parciais da série dada é Sn = 20000n n+1 . Devemos então mostrar que lim n→∞ 20000n n+1 = 20000, ou seja, que dado ε 0 podemos encontrar K 0 tal que para, se n K então |Sn − 20000| ε. Como |Sn − 20000| = 20000n n + 1 − 20000 = 20000n − 20000n − 20000 n + 1 = −20000 n + 1 152
- 163. temos que adesigualdade desejada será válida se 20000 n + 1 ε ⇒ 20000 nε + ε ⇒ 20000 − ε ε n. Consequentemente, podemos tomar K = 20000 − ε ε e a Denição 5.6.1 estará satisfeita. Suponhamos que se deseja saber a partir de qual parcela a diferença entre o montante e o total a receber será menor do que 300 u.m.. Para obter a resposta tomamos ε = 300 e obteremos K = 20000−300 300 = 65, 667. Isso signica que em todas as parcelas, a partir da sexagésima sexta, a diferença entre o montante e o limite é menor do que 300 u.m.. Suponhamos que se deseja saber a partir de qual parcela a diferença entre o montante e o limite é menor do que 200 u.m.. Para obter a resposta tomamos ε = 200 e obteremos K = 20000−200 200 = 99. Isso signica que em todas as parcelas, a partir da parcela de número 99, a diferença entre o montante e o limite é menor do que 100 u.m.. 5.6.7 Séries Convergentes DEFINIÇÃO 5.6.8 Seja ∞ ∑ n=1 un uma série e seja Sn a soma parcial dos termos dessa série. Dizemos que ∞ ∑ n=1 un é convergente se lim n→∞ Sn existe. Caso contrário, dizemos que a série é divergente. EXEMPLO 5.6.9 A série ∞ ∑ n=1 20000 n(n+1) do Exemplo 5.6.3 é convergente pois lim n→∞ Sn = lim n→∞ 20000n n + 1 = 20000. EXEMPLO 5.6.10 Determine se a série ∞ ∑ n=1 2n 5n−1 é convergente ou divergente. Solução: Devemos vericar se a sequência de somas parciais desta série tem limite. Todas as séries que apresentam esse modelo (séries geométricas) podem ser resolvidas conforme o modelo que segue. (i) Escrevemos a soma dos n primeiros termos: Sn = 2 + 22 5 + 23 52 + 24 53 + · · · + 2n 5n−1 (ii) Multiplicamos Sn por 2 5 2 5 Sn = 22 5 + 23 52 + 24 53 + · · · + 2n 5n−1 + 2n+1 5n (iii) Tomamos a diferença entre os resultados de (i) e (ii), obtendo Sn − 2 5 Sn = ( 2 + 22 5 + 23 52 + · · · + 2n 5n−1 ) − ( 22 5 + 23 52 + · · · + 2n 5n−1 + 2n+1 5n ) ou seja, 3 5 Sn = 2 − 2n+1 5n 153
- 164. ou ainda, Sn = 10 3 − 5 3 2n+1 5n = 10 3 − 10 3 ( 2 5 )n ecomo 2 5 1, temos que a S = lim n→∞ Sn = lim n→∞ 10 3 − 10 3 ( 2 5 )n = 10 3 . Consequentemente, a série ∞ ∑ n=1 2n 5n−1 converge para 10 3 . OBSERVAÇÕES 5.6.11 . 1. Uma das propriedades das séries innitas é que a convergência ou divergência não é afetada se subtrairmos ou adicionarmos um número nito de termos a elas. Por exemplo, se no Exemplo 5.6.3 o estudante só começasse a receber a primeira parcela após 5 meses, a série seria escrita com n = 6 no primeiro termo, ou seja, ∞ ∑ n=6 20000 n(n+1) , e a soma seria S = 20000 − S5. Se por outro lado, o seu pai decidisse nos primeiros 10 meses dar uma mesada xa de 2000u.m. por mês e iniciar o pagamento com n = 1 no décimo primeiro mês, a soma seria S = 2000(10) + lim n→∞ 20000n n + 1 . Em ambos os casos a série continuará convergente. 2. Se a série ∞ ∑ n=1 un é convergente e a série ∞ ∑ n=1 yn é divergente, então a série ∞ ∑ n=1 (un +yn) é divergente. No entanto, se as séries ∞ ∑ n=1 un e ∞ ∑ n=1 yn são divergentes, a série ∞ ∑ n=1 (un +yn) pode ou não ser convergente. 3. Se ∞ ∑ n=1 un é uma série convergente de termos positivos, seus termos podem ser reagru- pados de qualquer modo e a série resultante também será convergente e terá a mesma soma que a série dada. TEOREMA 5.6.12 Seja ∞ ∑ n=1 un uma série e α ∈ N. Se a série ∞ ∑ n=α un = uα + uα+1 + uα+2 + · · · for convergente, então a série ∞ ∑ n=1 un = u1 + u2 + u3 + · · · + uk + · · · também será convergente. DEMONSTRAÇÃO: Supondo que a série ∞ ∑ n=α un é convergente, temos que ela possui uma soma. Seja Sn−α o termo geral da sequência de suas somas parciais, tal que S = lim n→∞ Sn−α e seja Sα = u1 + u2 + u3 + · · · + uα. Desse modo, o termo geral da soma parcial da série ∞ ∑ n=1 un será Sn = Sα +Sn−α e, portanto, lim n→∞ Sn = lim n→∞ Sα + lim n→∞ Sn−α, donde segue que lim n→∞ Sn = Sα +S. Consequentemente, ∞ ∑ n=1 un é convergente. 154
- 165. Propriedades Sejam ∞ ∑ n=1 un = u1+ u2 + u3 + · · · + uk + · · · e ∞ ∑ n=1 yn = y1 + y2 + y3 + · · · + yk + · · · duas séries que convergem para S e S′ , respectivamente, então são válidas as seguintes propriedades: (i) ∞ ∑ n=1 kun = k ∞ ∑ n=1 un para todo k ∈ R, ou seja, a série ∞ ∑ n=1 kun converge para kS. (ii) ∞ ∑ n=1 (un ± yn) = ∞ ∑ n=1 un ± ∞ ∑ n=1 yn, ou seja, a série ∞ ∑ n=1 (un ± yn) converge para S + S′ . 5.7 Condição necessária para Convergência Não existe uma regra geral para vericar se uma série é convergente ou não. Como veremos nos próximos itens, há critérios que dão respostas a tipos particulares de séries. Porém, vericando se uma série não possui a condição necessária para convergência, saberemos que ela não é convergente. Essa condição, é dada pelo teorema abaixo. TEOREMA 5.7.1 Se ∞ ∑ n=1 un é uma série convergente, então lim n→∞ un = 0. DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que a série ∞ ∑ n=1 un converge para S, então podemos armar que lim n→∞ Sn = S, de modo que, pela Denição 5.6.8, dado ε 0 podemos encontrar K 0 tal que para todo n K vale a desigualdade |Sn − S| ε 2 e |Sn−1 − S| ε 2 . Como Sn = Sn−1 + un, temos que un = Sn − Sn−1 e assim, |un − 0| = |Sn − Sn−1 − 0| = |Sn − S + S − Sn−1| = |(Sn − S) + (S − Sn−1)| = |Sn − S| + |S − Sn−1| ≤ |Sn − S| + |Sn−1 − S| ε 2 + ε 2 = ε. Assim, pela Denição 5.2.4, segue que lim n→∞ un = 0. Uma consequência muito importante desse teorema é o corolário a seguir. COROLÁRIO 5.7.2 Seja ∞ ∑ n=1 un uma série tal que lim n→∞ un ̸= 0, então ∞ ∑ n=1 un é divergente. EXEMPLO 5.7.3 A série ∞ ∑ n=1 2n+2 3n+5 é divergente já que lim n→∞ un = lim n→∞ 2n+2 3n+5 = 2 3 ̸= 0. 155
- 166. EXEMPLO 5.7.4 Asérie ∞ ∑ n=1 1 n é tal que lim n→∞ un = lim n→∞ 1 n = 0, isto é, possui a condição necessária para convergência. No entanto, não podemos, sem aplicar outros testes de con- vergência, amar se ela é convergente ou divergente. OBSERVAÇÃO 5.7.5 Portanto quem atentos, se o lim n→∞ un ̸= 0 prova-se que a série é diver- gente. Mas se lim n→∞ un = 0 a série pode convergir ou divergir, para issso necessitamos estudar critérios para fazer tal vericação. Veremos, na sequência, alguns resultados que permitem vericar se uma série é conver- gente ou não. TEOREMA 5.7.6 Seja Sn uma sequência de somas parciais convergente. Então, dado ε 0 podemos encontrar K 0 tal que para todo m, n K vale a desigualdade |Sm − Sn| ε. DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que Sn seja uma sequência de somas parciais que converge para S. Então, dado ε 0 podemos encontrar K 0 tal que, para todo m, n K valem as desigualdades |Sm − S| ε 2 e |Sn − S| ε 2 . Assim, |Sm − Sn| = |Sm − S + S − Sn| = |(Sm − S) + (S − Sn)| ≤ |(Sm − S)| + |(Sn − S)| ε 2 + ε 2 = ε. OBSERVAÇÃO 5.7.7 O Teorema 5.7.6 pode ser ilustrado considerando o Exemplo 5.6.3. Lá nossa suposição era saber a partir de que parcela a diferença entre o montante e o limite era menor do que 300 u.m.. Para obter a resposta, tomamos ε = 300 e obteremos K = 65, 667. Isso signica que, em todas as parcelas, a partir da sexagésima sexta, a diferença entre o montante e o limite é menor do que 300 u.m.. Agora tomando n = 70 e m = 80 obteremos S70 = 20000 ∗ 70 70 + 1 = 19718 e S80 = 20000 ∗ 80 80 + 1 = 19753. Consequentemente, |S70 − S80| = |19718 − 19753| = 35 300. Caso tomássemos m, n 66 não necessariamente a diferença entre as somas seria menor do que 300. 5.8 Séries Especiais 5.8.1 Série harmônica DEFINIÇÃO 5.8.2 A série ∞ ∑ n=1 1 n é denominada série harmônica. A série harmônica é uma das séries mais importantes da matemática. Seu nome surge em conexão com os sons harmônicos produzidos pela vibração de uma corda musical. A série harmônica, embora possua a condição necessária para convergência, é uma série divergente. A divergência da série harmônica não é trivial. Sua lenta divergência se tornará evidente quando examinarmos suas somas parciais com maior detalhe. Na verdade, vamos mostrar que a sequência de somas parciais Sn da série harmônica não converge, pois admite 156
- 167. subsequências divergentes. Paraisso, vamos considerar as somas S2, S4, S8, S16, S32, · · · cujos índices são sempre potências de 2, formando a subsequência S2n de Sn. Temos que S21 = S2 = 1 + 1 2 1 2 + 1 2 = 2 2 S22 = S4 = S2 + 1 3 + 1 4 S2 + ( 1 4 + 1 4 ) = S2 + 1 2 3 2 S23 = S8 = S4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 S4 + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) = S4 + 1 2 4 2 S24 = S16 = S8 + 1 9 + 1 10 + 1 11 + 1 12 + 1 13 + 1 14 + 1 15 + 1 16 S8 + ( 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 ) = S8 + 1 2 5 2 e assim sucessivamente, de forma que podemos intuir que S2n n + 1 2 para todo n ∈ N. Desta forma, temos que lim n→∞ S2n ≥ lim n→∞ n + 1 2 = ∞, o que nos diz que S2n é uma subsequência divergente de Sn. Com isso, temos que Sn também diverge, pois do contrário iríamos contrariar o Teorema 5.3.3. Como a sequência de somas parciais da série harmônica diverge, concluímos que a própria série harmônica diverge. Vejamos algumas somas parciais da série harmônica, obtidas com auxílio do MAPLE 6, que nos mostra a forma lenta com a qual a soma da série tende ao innito. S10 = 2, 9289 S100 = 5, 1873 S1000 = 7, 485 Sum milhão = 14, 392 Sum bilhão = 21, 300 Sum trlhão = 28, 208. 5.8.3 Série geométrica DEFINIÇÃO 5.8.4 Denominamos série geométrica à toda série da forma ∞ ∑ n=1 a1qn−1 , onde q é denominada razão. EXEMPLO 5.8.5 Encontre a soma da série geométrica e estude sua convergência. Solução: Consideremos a série geométrica ∞ ∑ n=1 a1qn−1 = a1 + a1q + aq2 + · · · + a1qn−1 + · · · e a soma dos seus n−primeiros termos, dada por Sn = a1 + a1q + aq2 + · · · + a1qn−1 . Multiplicando ambos os lados dessa igualdade pela razão q obtemos qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + · · · + a1qn e tomando a diferença entre as duas últimas expressões, obtemos 157
- 168. qSn − Sn= (a1q + a1q2 + a1q3 + · · · + a1qn ) − (a1 + a1q + aq2 + · · · + a1qn−1 ) , (q − 1)Sn = a1qn − a1 = a1(qn − 1), Sn = a1(qn − 1) (q − 1) . Para estudar a convergência dessa série devemos considerar três casos: (I) Se q = 1 então lim n→∞ Sn = lim n→∞ a1(qn − 1) (q − 1) = ∞ e a série é divergente. Se q = −1 então Sn tem dois valores para o limite e, portanto, a série é divergente. (II) Se |q| 1 então lim n→∞ Sn = lim n→∞ a1(qn − 1) (q − 1) = ∞ e a série é divergente. (III) Se |q| 1 então lim n→∞ Sn = lim n→∞ a1(qn − 1) (q − 1) = lim n→∞ a1qn q − 1 + lim −a1 (q − 1) = −a1 (q − 1) e a série é convergente. Conclusão: Uma série geométrica é divergente se |q| ≥ 1 e é convergente se |q| 1. Quando |q| 1 ainda temos que ∞ ∑ n=1 a1qn−1 = a1 1 − q . EXEMPLO 5.8.6 A série ∞ ∑ n=1 (2 3 )n é convergente, pois sua razão é q = 2 3 1. Já a série ∞ ∑ n=1 (3 2 )n é divergente pois sua razão é q = 3 2 1. 5.9 Critérios de Convergência de Séries Quando conhecemos o termo geral da soma de uma série, é fácil fazer a vericação da convergência. Podemos vericar se uma série converge usando critérios para convergência que passaremos a estudar a seguir. 5.9.1 Critério da integral TEOREMA 5.9.2 Seja ∞ ∑ n=1 un uma série tal que un+1 ≤ un para todo n ∈ N. Seja f (x) uma função positiva, contínua e decrescente no intervalo [1, ∞) tal que f (n) = un para todo n ∈ N. Então, se a integral ∫ ∞ 1 f (x) dx convergir, a série ∞ ∑ n=1 un também será convergente. Se a integral divergir, a série também será divergente. A demonstração deste teorema poderá ser estudada em qualquer um dos livros constantes na bibliograa. 5.9.3 Série p ou Série Hiper-harmônica DEFINIÇÃO 5.9.4 Denominamos série p todas as séries escritas na forma ∞ ∑ n=1 1 np , onde p é uma constante positiva. 158
- 169. Vamos utilizar oTeorema 5.9.2 para estudar a convergência da série p. EXEMPLO 5.9.5 Estude a convergência da série ∞ ∑ n=1 1 np = 1 + 1 2p + 1 3p + 1 4p + · · · + 1 np + · · · . Solução: Considerando f (x) = 1 xp , temos que f é positiva, contínua e decrescente, satis- fazendo todas as condições do Teorema 5.9.2, de modo que podemos tomar a integral ∫ ∞ 1 1 xp dx = lim n→∞ ∫ n 1 1 xp dx. Temos três casos a considerar: (i) Se p = 1 teremos que ∫ ∞ 1 1 x dx = lim n→∞ ∫ n 1 1 x dx = lim n→∞ ln x n 1 = lim n→∞ (ln n − ln 1) = ∞. Consequentemente, quando p=1, a série ∞ ∑ n=1 1 np = ∞ ∑ n=1 1 n é divergente. Note que neste caso, temos a série harmônica. (ii) Se p 1 teremos que 1 − p 0 e assim ∫ ∞ 1 1 xp dx = lim n→∞ ∫ n 1 1 xp dx = lim n→∞ x1−p 1 − p n 1 = lim n→∞ ( n1−p 1 − p − 1 1 − p ) = ∞. Consequentemente, se p1, a série ∞ ∑ n=1 1 np é divergente. (iii) Se p 1 teremos que 1 − p 0 e assim ∫ ∞ 1 1 xp dx = lim n→∞ ∫ n 1 1 xp dx = lim n→∞ x1−p 1 − p n 1 = lim n→∞ ( n1−p 1 − p − 1 1 − p ) = −1 1 − p . Consequentemente, se p1 a série ∞ ∑ n=1 1 np é convergente. EXEMPLO 5.9.6 As séries abaixo são exemplos de séries p. (a) ∞ ∑ n=1 1 n9 convergente pois é uma série-p com p = 9 1. (b) ∞ ∑ n=1 1 √ n divergente pois é uma série-p com p = 1 2 1. 159
- 170. 5.9.7 Critério dacomparação TEOREMA 5.9.8 Seja ∞ ∑ n=1 un uma série e seja ∞ ∑ n=1 yn uma série cuja convergência queremos estudar, então: (i) Se ∞ ∑ n=1 un for uma série convergente e 0 ≤ yn ≤ un para todo n, então a série ∞ ∑ n=1 yn é convergente. (ii) Se ∞ ∑ n=1 un for uma série divergente e yn ≥ un ≥ 0 para todo n, então a série ∞ ∑ n=1 yn é divergente. DEMONSTRAÇÃO: (i) Sejam ∞ ∑ n=1 un uma série convergente e ∞ ∑ n=1 yn uma série tal que 0 ≤ yn ≤ un para todo n. Como ∞ ∑ n=1 un é uma série convergente, a sequência de suas somas parciais Sn tem limite L, de modo que u1 + u2 + u3 + · · · + uk + · · · L. Como 0 ≤ yn ≤ un para todo n, segue que 0 ≤ y1 + y2 + y3 + · · · + yk + · · · ≤ u1 + u2 + u3 + · · · + uk + · · · L. Consequentemente, a sequência de somas parciais de ∞ ∑ n=1 yn é limitada e, além disso, monótona. Logo, pelo Teorema 5.5.8 é convergente e, assim, a série ∞ ∑ n=1 yn é convergente. (ii) Sejam ∞ ∑ n=1 un uma série divergente e yn ≥ un ≥ 0 para todo n. Como ∞ ∑ n=1 un é uma série divergente a sua sequência de somas parciais Sn não tem limite, de modo que dado um número L 0, existe K 0 tal que u1 + u2 + u3 + · · · + uk + · · · L para todo n K. Como yn ≥ un para todo n, segue que y1 + y2 + y3 + · · · + yk + · · · ≥ u1 + u2 + u3 + · · · + uk + · · · L. Consequentemente, a sequência de somas parciais y1 + y2 + y3 + · · · + yk + · · · não é limitada e, assim, a série ∞ ∑ n=1 yn é divergente. EXEMPLO 5.9.9 Usando o Teorema 5.9.8 estude a convergência da série ∞ ∑ n=1 n n3 + n2 + n + 1 . Solução: Conforme o Teorema 5.9.8, devemos encontrar uma série que sabemos ser conver- gente ou divergente e fazer a comparação do termo geral dessa série com a série em estudo. Um procedimento usado para encontrar um termo geral adequado é majorar o termo geral da série proposta. Vamos descrever o processo. (i) Temos duas formas de majorar um quociente: aumentando o denominador ou dimin- uindo o denominador. No termo geral da série em estudo, vamos diminuir o denomi- nador passo a passo n n3 + n2 + n + 1 n n3 + n2 + n n n3 + n2 = 1 n(n + 1) . 160
- 171. No Exemplo 5.6.3,vimos que a série ∞ ∑ n=1 20000 n(n + 1) é convergente. Como podemos escrever ∞ ∑ n=1 20000 n(n + 1) = 20000 ∞ ∑ n=1 1 n(n + 1) , segue (pela propriedade i), que ∞ ∑ n=1 1 n(n + 1) também é convergente. (ii) Vamos vericar que, de fato, n n3 + n2 + n + 1 ≤ 1 n(n + 1) para todo n ∈ N. n n3 + n2 + n + 1 ≤ 1 n(n + 1) ⇔ n2 (n + 1) ≤ n3 + n2 + n + 1 ⇔ n3 + n2 ≤ n3 + n2 + n + 1 ⇔ 0 ≤ n + 1 que é válido para todo n. Logo, pelo Teorema 5.9.8, a série ∞ ∑ n=1 n n3 + n2 + n + 1 é convergente. 5.9.10 Critério de D'Alambert ou Critério da Razão TEOREMA 5.9.11 Seja ∞ ∑ n=1 un uma série tal que un 0 para todo n e lim n→∞ un+1 un = L. Então (i) A série ∞ ∑ n=1 un converge se L 1; (ii) A série ∞ ∑ n=1 un diverge se L 1; (iii) Nada podemos armar se L = 1. DEMONSTRAÇÃO: Seja ∞ ∑ n=1 un uma série tal que lim n→∞ un+1 un = L. Então, dado ε 0 podemos encontrar K 0 tal que, para todo n K vale a desigualdade un+1 un − L ε. Suponhamos que L 1. Então existe q tal que L q 1 e isso implica que q − L 1. Tomando ε = q − L podemos escrever un+1 un − L q − L donde vem − (q − L) un+1 un − L q − L ou − (q − L) + L un+1 un q. Da última relação concluímos que un+1 unq. Dessa relação temos que un+1 unq un+2 un+1q unqq unq2 un+3 un+2q unq2 q unq3 · · · un+k un+(k−1)q unqk−1 q unqk e assim sucessivamente, de forma que un+1 + un+2 + un+3 + · · · unq + unq2 + unq3 + · · · . 161
- 172. Note que unq+ unq2 + unq3 + · · · é uma série geométrica, com razão |q| 1 e, portanto, convergente. Assim, pelo Teorema 5.9.8, a série ∞ ∑ n=1 un converge se L 1. Por outro lado, suponhamos que lim n→∞ un+1 un = L 1, então obteremos un+1 un para todo n e, desse modo, lim n→∞ un ̸= 0. Consequentemente, a série não possui a condição necessária para convergência. Logo, a série ∞ ∑ n=1 un diverge se L 1. A parte (iii) do Critério de D'Alambert diz que, se lim n→∞ un+1 un = 1, então este critério é inconclusivo. Observe isso considerando os exemplos: ∞ ∑ n=1 1 n2 e ∞ ∑ n=1 1 n . Para ambas lim n→∞ un+1 un = 1, porém a primeira é uma série p, com p = 2, convergente e a segunda é a série harmônica que sabemos ser divergente. EXEMPLO 5.9.12 Usando o critério de D 'Alambert, estude a convergência da série ∞ ∑ n=1 2n n . Solução: Temos que un = 2n n e un+1 = 2n+1 n + 1 . Logo, un+1 un = n2n+1 2n (n + 1) = n2n 2 2n (n + 1) = 2n (n + 1) e assim, pelo critério de D'Alembert, temos que L = lim n→∞ un+1 un = lim n→∞ 2n (n + 1) = 2 1. Consequentemente, a série ∞ ∑ n=1 2n n é divergente. EXEMPLO 5.9.13 Estude a convergência da série ∞ ∑ n=1 1 n! . Solução: Temos que un = 1 n! e un+1 = 1 (n + 1)! e então L = lim n→∞ un+1 un = lim n→∞ n! (n + 1)! = lim n→∞ 1 n + 1 = 0 1, portanto a série ∞ ∑ n=1 1 n! converge, pela critério de D'Alembert. 5.9.14 Critério de Cauchy ou Critério da Raíz TEOREMA 5.9.15 Seja ∞ ∑ n=1 un uma série tal que un 0 para todo n e lim n→∞ n √ un = L. Então 162
- 173. (i) A série ∞ ∑ n=1 unconverge se L 1; (ii) A série ∞ ∑ n=1 un diverge se L 1; (iii) Nada podemos armar se L = 1. EXEMPLO 5.9.16 Usando o critério de Cauchy, estude a convergência da série ∞ ∑ n=1 ( n 2n + 5 )n . Solução: Temos que n √ un = n √( n 2n+5 )n = n 2n+5 e aplicando o critério de Cauchy, obtemos que L = lim n→∞ n √ un = lim n→∞ n 2n + 5 = 1 2 1, e concluímos que a série ∞ ∑ n=1 ( n 2n + 5 )n é convergente. EXEMPLO 5.9.17 Estude a convergência da série ∞ ∑ n=1 52n 23n+1 . Solução: Temos que n √ un = n √ 52n 23n+1 = 52 23+ 1 n = 25 8.2 1 n . Assim, L = lim n→∞ n √ un = lim n→∞ 25 8.2 1 n = 25 8 1 e a série ∞ ∑ n=1 52n 23n+1 diverge, pelo critério de Cauchy. 5.10 Séries de Termos Positivos e Negativos DEFINIÇÃO 5.10.1 Seja un 0 para todo n ∈ N. Denominamos série alternada à uma série da forma ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 un = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + (−1)n−1 un + · · · EXEMPLO 5.10.2 A série ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 1 np = 1 − 1 2p + 1 3p − 1 4p + · · · + (−1)n−1 1 np + · · · é um exemplo de série alternada. 5.10.3 Convergência de uma série alternada Infelizmente todos os critérios de convegência vistos até o momento não são válidos para séries alternadas, pois eles exigiam que os termos da série fossem todos positivos. A seguir, passaremos a ver alguns resultados que são válidos para séries de termos positivos e negativos. 163
- 174. TEOREMA 5.10.4 (Teoremade Leibnitz) Considere uma série alternada ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 un = u1 − u2 + u3 − u4 + · · · + (−1)n−1 un + · · · tal que (i) u1 u2 u3 u4 · · · (ii) lim n→∞ un = 0. Então são válidas as seguintes conclusões: (a) A série alternada é convergente. (b) A soma parcial Sn da série alternada é tal que 0 Sn u1. DEMONSTRAÇÃO: (a) Consideremos a soma dos 2n primeiros termos da série alternada. Suponhamos que os termos de ordem ímpar da série são positivos e os de ordem par são negativos. Se, por acaso o primeiro termo for negativo, iniciaremos a contagem em u2, pois a retirada de um número nito de termos não afeta a convergência da série. Desse modo, o termo u2n−1 é positivo e o termo u2n é negativo. Assim, pela condição (i) temos que (u1 − u2) 0, (u3 − u4) 0, · · · (un − un+1) 0, · · · (u2n−1 − u2n) 0 de modo que S2 = u1 − u2 0 S4 = S2 + (u3 − u4) S2 S6 = S4 + (u5 − u6) S4 e assim sucessivamente. Portanto, obtemos que 0 S2 S4 .... S2n. Ainda, associando os termos de outra forma, obtemos que S2n = (u1 − u2) + (u3 − u4) + ... + (u2n−1 − u2n) = u1 − (u2 − u3) − (u4 − u5) − ... − (u2n−2 − u2n−1) − u2n e, pela condição (i), cada termo entre parênteses é positiva. Portanto, estamos subtraindo uma quantidade positiva de u1, obtendo um resultado inferior a u1, de modo que 0 S2n u1. Com isso, segue que S2n é limitada e como 0 S2 S4 · · · S2n, também é monótona. Assim, concluímos que a sequência de somas S2, S4, · · · , S2n converge, pelo Teorema 5.5.8. Seja lim n→∞ S2n = S. Como S2n u1, segue que S u1. Sendo S2n+1 = S2n + u2n+1 e aplicando a condição (ii), temos que lim n→∞ S2n+1 = lim n→∞ S2n + lim n→∞ u2n+1 = S + 0 = S. Consequentemente as somas de ordem ímpar tem a mesma soma dos termos de ordem par. Finalmente, mostraremos que lim n→∞ Sn = S. Como lim n→∞ S2n = S, dado ε 0 podemos encontrar K1 0 tal que |S2n − S| ε sempre que 2n K1. Como lim n→∞ S2n+1 = S, dado ε 0 podemos encontrar K2 0 tal que |S2n − S| ε sempre que 2n + 1 K2. Tomando K = max {K1, K2} , para todo n K vale a desigualdade |Sn − S| ε. Logo, lim n→∞ Sn = S e a série ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 un é convergente. 164
- 175. EXEMPLO 5.10.5 Usandoo teorema de Leibnitz, estude a convergência da série ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n + 2 n (n + 1) . Solução: Vamos vericar se un satisfaz todas condições do Teorema 5.10.4. O termo geral da série é un = n + 2 n (n + 1) 0 para todo n ∈ N. Agora, vamos vericar se un un+1 para todo n natural. Temos que n + 2 n (n + 1) n + 3 (n + 1) (n + 2) ⇔ (n + 2) (n + 1) (n + 2) n (n + 1) (n + 3) ⇔ n3 + 5n2 + 8n + 4 n3 + 4n2 + 3n ⇔ 4n2 + 8n −1, que é verdadeiro para todo n natural. Assim, a primeira condição do Teorema 5.10.4 está satisfeita. Ainda, lim n→∞ un = lim n→∞ n + 2 n (n + 1) = 0. e então todas as exigências do Teorema 5.10.4 estão satisfeitas. Podemos concluir então que a série ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n + 2 n (n + 1) é convergente. 5.11 Série de Termos de Sinais Quaisquer DEFINIÇÃO 5.11.1 Denominamos série de termos de sinais quaisquer à toda série formada por termos po-sitivos e negativos. As séries alternadas são casos particulares das séries de termos de sinais quaisquer. EXEMPLO 5.11.2 A série ∞ ∑ n=1 sin(nπ 6 ) = 1 2 + √ 3 2 +1+ √ 3 2 + 1 2 +0− 1 2 − √ 3 2 −1− √ 3 2 − 1 2 +0+· · · é um exemplo de série de termos de sinais quaisquer. Veremos na sequência um teorema que permite vericar se uma série de termos de sinais quaisquer é convergente. TEOREMA 5.11.3 Seja ∞ ∑ n=1 un uma série de termos de sinais quaisquer. Se a série ∞ ∑ n=1 |un| for uma série convergente então a série ∞ ∑ n=1 un também será convergente. No entanto, se a série ∞ ∑ n=1 |un| for divergente, nada poderemos armar sobre a convergência da série de sinais quaisquer ∞ ∑ n=1 un. 165
- 176. EXEMPLO 5.11.4 Vimosno Exemplo 5.10.5 que a série ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n + 2 n (n + 1) é convergente. Porém, a série ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n + 2 n (n + 1) = ∞ ∑ n=1 n + 2 n (n + 1) não é convergente. O leitor pode vericar essa armação usando o critério da comparação. EXEMPLO 5.11.5 Usando o Teorema 5.11.3, estude a convergência da série ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n3 . Solução: Temos que ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n3 = ∞ ∑ n=1 1 n3 . Como podemos observar, esta é uma série p com p = 3 1 e, portanto, convergente. Logo, ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n3 é convergente. A convergência desta série também pode ser estudada pelo teorema de Leibnitz. EXEMPLO 5.11.6 Usando o Teorema 5.11.3 estude a convergência da série ∞ ∑ n=1 sin(nx) + 3 cos2 (n) n2 . Solução: Temos que ∞ ∑ n=1 sin(nx) + 3 cos2 (n) n2 = ∞ ∑ n=1 |sin(nx) + 3 cos2 (n)| n2 e como |sin(nx)| ≤ 1 e |cos2 (n)| ≤ 1, usando propriedades de módulo, segue que sin(nx) + 3 cos2 (n) ≤ |sin(nx)| + 3 cos2 (n) ≤ 1 + 3 cos2 (n) ≤ 1 + 3 = 4, e então podemos concluir que ∞ ∑ n=1 |sin(nx) + 3 cos2 (n)| n2 ≤ ∞ ∑ n=1 4 n2 para todo n natural. Como ∞ ∑ n=1 4 n2 é uma série p convergente (p = 2 1), temos que a série ∞ ∑ n=1 sin(nx) + 3 cos2 (n) n2 converge, pelo critério da comparação. Assim, a série ∞ ∑ n=1 sin(nx) + 3 cos2 (n) n2 também converge, pelo Teorema 5.11.3. 5.12 Séries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes Antes de denir séries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes vamos considerar os exemplos abaixo. 166
- 177. EXEMPLO 5.12.1 Consideremosa série harmônica ∞ ∑ n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · já mostramos que esta série é divergente. Porém, a série harmônica alternada, dada por ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n−1 1 n + · · · é convergente, pelo teorema de Leibnitz. Vamos mostrar que a série ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 1 n converge sob condições, isto é, podemos interferir na sua forma de convergir. Solução: Para modicar o valor de convergência de ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 1 n basta reagrupar os termos desta série, separando a soma dos termos de ordem ímpar da soma dos termos de ordem par, conforme segue: Sn = ( 1 + 1 3 + 1 5 + · · · + 1 2n − 1 + · · · ) − ( 1 2 + 1 4 + 1 6 + · · · + 1 2n + · · · ) . Como o leitor pode observar, podemos escrever Sn = ∞ ∑ n=1 1 2n − 1 − ∞ ∑ n=1 1 2n e, cada uma destas sub-somas é divergente. Logo, temos que Sn = ∞ − ∞, isto é, a soma é indeterminada, signicando que, se escrevermos ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 1 n na forma ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 1 n = ( 1 + 1 3 + 1 5 + · · · + 1 2n − 1 + · · · ) − ( 1 2 + 1 4 + 1 6 + · · · + 1 2n + · · · ) nada podemos armar sobre a sua convergência. Isso ocorre porque a série ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 1 n = ∞ ∑ n=1 1 n não converge. Com base no exemplo anterior, vamos denir séries absolutamente convergente e condi- cionalmente convergente. DEFINIÇÃO 5.12.2 Seja ∞ ∑ n=1 un uma série de termos de sinais quaisquer, então: (i) Se ∞ ∑ n=1 |un| converge, a série é denominada absolutamente convergente. 167
- 178. (ii) Se ∞ ∑ n=1 un convergee ∞ ∑ n=1 |un| diverge, então a série ∞ ∑ n=1 un é denominada condicional- mente convergente. EXEMPLO 5.12.3 A série ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 1 n , estudada no Exemplo 5.12.1, é condicionalmente convergente enquanto que a série ∞ ∑ n=1 sin(nx) + 3 cos2 (n) n2 , estudada no Exemplo 5.11.6, é absolutamente convergente. EXEMPLO 5.12.4 Classique a série numérica ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n2 n3 + 4 como absolutamente conver- gente, condicionalmente convergente ou divergente. Solução: Temos que ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n2 n3 + 4 = ∞ ∑ n=1 n2 n3 + 4 , e esta é uma série divergente, pois pelo critério da integral temos que ∫ +∞ 1 x2 x3 + 4 dx = lim b→+∞ ∫ b 1 x2 x3 + 4 dx = lim b→+∞ 1 3 ln(x3 + 4) b 1 = +∞. Porém, ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n2 n3 + 4 é uma série alternada convergente, pois satisfaz as condições do teorema de Leibnitz, visto que lim n→+∞ n2 n3 + 4 = 0 e un+1 = (n + 1)2 (n + 1)3 + 4 ≤ n2 n3 + 4 = un. Portanto a série dada é condicionalmente convergente. EXEMPLO 5.12.5 Classique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justicando sua resposta. (a) ∞ ∑ n=2 (−2)n (ln n)n + 2 √ n + 1 (b) ∞ ∑ n=1 (−1)n 2 4 √ n3 + 2n Solução: (a) Analisando a convergência absoluta temos (−2)n (ln n)n + 2 √ n + 1 = 2n (ln n)n + 2 √ n + 1 ≤ 2n (ln n)n Aplicando o teste da raiz, temos L = lim n→∞ n √ 2n (ln n)n = lim n→∞ 2 ln n = 0. Como L 1 a série ∞ ∑ n=2 2n (ln n)n converge. Logo, pelo teste da comparação, a série dada converge absolutamente. (b) Analisando a convergência absoluta temos (−1)n 2 4 √ n3 + 2n = 2 4 √ n3 + 2n ≤ 2 4 √ n3 , 168
- 179. com isso nadapodemos concluir, pois a série dada é menor que uma série p divergente. Porém, observe que 2 4 √ n3 + 2n = 2 [n3(1 + 2 n2 )] 1 4 = 2 n 3 4 (1 + 2 n2 ) 1 4 e 1 ≤ (1 + 2 n2 ) 1 4 ≤ 3 1 4 . Logo, 2 4 √ n3 + 2n ≥ 2 4 √ 3n 3 4 , e, por comparação, a série dada não converge absolutamente. Analisando a convergência condicional, usando o Teorema de Leibnitz, pois a série dada é alternada, temos lim n→∞ 2 4 √ n3 + 2n = 0 e an = 2 4 √ n3 + 2n é decrescente. Portanto, a série dada é condicionalmente convergente. 5.13 Séries de Funções Considerando as funções fi : R → R denidas por f0 (x) = 1, f1 (x) = x, f2 (x) = x2 , f3 (x) = x3 , f4 (x) = x4 , · · · , fn (x) = xn , · · · , podemos escrever a soma S (x) = f0 (x) + f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + f4 (x) + · · · + fn (x) + · · · = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · + xn + · · · Essa soma innita é um exemplo de série de funções, pois o seu termo geral depende de uma variável real x. Mais geralmente, denimos série de funções como segue. DEFINIÇÃO 5.13.1 Denominamos série de funções a toda série na qual o termo geral é uma função da variável real x e a denotaremos por ∞ ∑ n=0 un (x) = u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + · · · + un (x) + · · · 5.13.2 Convergência de séries de funções Como no estudo das séries numéricas, estamos interessados na convergência das séries de funções. Uma série de funções, se for convergente, convergirá para uma função. A imagem de cada valor de x numa série de funções é uma série numérica que pode ser convergente ou divergente. Por exemplo, para cada valor de x, a série ∞ ∑ n=0 xn = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · + xn + · · · é uma série geométrica e, portanto, converge se |x| 1 e diverge caso contrário. Já sua soma será a função S (x) = 1 1 − x , se |x| 1. Isso signica que uma série de funções convergente, converge para um determinado conjunto de valores de x, denominado domínio ou intervalo de convergência. DEFINIÇÃO 5.13.3 Seja ∞ ∑ n=0 un (x) uma série de funções. Denominamos domínio ou inter- valo de convergência da série ao conjunto de todos os valores de x para os quais a série é convergente e denominamos raio de convergência à distância entre o centro e as extremidades do intervalo convergência. 169
- 180. EXEMPLO 5.13.4 Oraio de convergência da série ∞ ∑ n=0 xn é R = 1 e o seu intervalo de con- vergência é I = (−1, 1) . Para todo x ∈ (−1, 1) tem-se que ∞ ∑ n=0 xn = 1 1 − x . EXEMPLO 5.13.5 Determine o intervalo e o raio de convergência da série ∞ ∑ n=0 cos(x) + sin(x) n4 + n . Solução: Analisando a convergência absoluta da série, temos que cos(x) + sin(x) n4 + n = |cos(x) + sin(x)| n4 + n ≤ |cos(x)| + |sin(x)| n4 + n ≤ 2 n4 + n ≤ 2 n4 e como ∞ ∑ n=0 2 n4 é uma p-série convergente, concluímos, por comparação, que a série dada é absolutamente convergente. Ou seja, a série ∞ ∑ n=0 cos(x) + sin(x) n4 + n converge para todo valor real de x. Assim, o intervalo de convergência desta série é R e seu raio de convergência é innito. 5.14 Séries de Potências As séries de potências são as séries de funções que aparecem com mais frequência nos problemas de matemática e engenharia, pois são úteis na integração de funções que não possuem antiderivadas elementares, na resolução de equações diferenciais e também para aproximar funções por polinômios (cientistas fazem isso para simplicar expresões complexas, programadores fazem isso para representar funções em calculadoras e computadores). Em vista disso, vamos dar atenção especial ao estudo das Séries de Potências. DEFINIÇÃO 5.14.1 Uma série de potências é uma série cujos termos envolvem apenas potências de x multiplicadas por coecientes constantes cn, ou seja, uma série de potências é escrita na forma ∞ ∑ n=0 cnxn = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + · · · + cnxn + · · · . EXEMPLO 5.14.2 A série ∞ ∑ n=0 xn do Exemplo 5.13.4 é uma série de potências onde todos os coecientes cn são iguais a 1. Já a série ∞ ∑ n=0 cos(x) + sin(x) n4 + n do Exemplo 5.13.5 não é uma série de potências, pois seus termos não envolvem apenas potências de x. OBSERVAÇÃO 5.14.3 Para que os resultados anteriores possam ser usados sem mudanças nas notações, vamos admitir que un(x) = cnxn para o caso das séries de potências. 5.14.4 Processo para determinar o intervalo e o raio de convergên- cia de uma série de potências Utilizam-se os critérios de D 'Alambert ou de Cauchy para a convergência absoluta, tomando lim n→∞ un+1 un ou lim n→∞ ( n √ |un| ) onde un = cnxn . Caso o limite exista valem 170
- 181. as condições doscritérios usados. Em qualquer caso teremos que lim n→∞ un+1 un = lim n→∞ cn+1xn+1 cnxn = |x| L onde L = lim n→∞ cn+1 cn . Desse modo, o raio e o intervalo de convergência serão obtidos resolvendo a inequação |x| L 1, que nos dá |x| 1 L , ou seja, o raio de convergência é R = 1 L . OBSERVAÇÃO 5.14.5 Como o critério de D 'Alambert é inconclusivo quando o limite da razão é igual a 1, nada podemos armar se |x| L = 1. Assim, devemos vericar se a série con- verge para x = 1 L e x = − 1 L . Feita esta vericação, pode-se estabelecer o intervalo de convergência. EXEMPLO 5.14.6 Determine o intervalo e o raio de convergência da série ∞ ∑ n=0 3n xn 5n (1 + n2) . Solução: Aplicando o critério de D'Alambert para a convergência absoluta, temos que lim n→∞ un+1 un = lim n→∞ 3n+1 xn+1 5n+1 ( 1 + (n + 1)2) 3n xn 5n (1 + n2) = lim n→∞ 5n 3n 3xn x (1 + n2 ) 5n5 (n2 + 2n + 2) 3xn = lim n→∞ 3x (1 + n2 ) 5 (n2 + 2n + 2) = |x| lim n→∞ 3 (1 + n2 ) 5 (n2 + 2n + 2) = 3 5 |x| Assim, a série convergirá se 3 5 |x| 1, ou seja, se |x| 5 3 . Portanto, o raio de convergência é R = 5 3 . Na sequência devemos vericar se a série converge para x = − 5 3 e x = 5 3 . • Se x = − 5 3 , temos a série ∞ ∑ n=0 3n ( −5 3 )n 5n (1 + n2) = ∞ ∑ n=0 (−1)n 3n 5n 5n (1 + n2) 3n = ∞ ∑ n=0 (−1)n 1 (1 + n2) . que converge, pelo critério de Leibnitz. • Se x = 5 3 temos a série ∞ ∑ n=0 3n (5 3 )n 5n (1 + n2) = ∞ ∑ n=0 3n 5n 5n (1 + n2) 3n = ∞ ∑ n=0 1 (1 + n2) . que converge por comparação, pois 171
- 182. ∞ ∑ n=0 1 (1 + n2) ≤ ∞ ∑ n=0 1 n2 . Conclusão:O raio de convergência da série ∞ ∑ n=0 3n xn 5n (1 + n2) é R = 5 3 e o seu intervalo de convergência é − 5 3 ≤ x ≤ 5 3 . EXEMPLO 5.14.7 Determinar o intervalo e o raio de convergência da série ∞ ∑ n=0 n!xn . Solução: Aplicando novamente o critério de D 'Alambert, temos que lim n→∞ un+1 un = lim n→∞ (n + 1)!xn+1 n!xn = lim n→∞ (n + 1) |x| = { 0, se x = 0 ∞, se x ̸= 0 . Assim, a série dada converge apenas quando x = 0. Portanto, o seu intervalo de con- vergência é I = {0} e R = 0 é o seu raio de convergência. 5.14.8 Série de potências centrada em x = a DEFINIÇÃO 5.14.9 Denominamos série de potências centrada em x = a à toda série da forma ∞ ∑ n=0 cn (x − a)n . Para obter o raio e o intervalo de convergência das séries em (x − a) , basta fazer z = (x − a) e encontrar o intervalo de convergência para a série ∞ ∑ n=0 cnzn . Após esta etapa, substitui-se z por (x − a) na inequação −R z R. EXEMPLO 5.14.10 Determinar o raio e o intervalo de convergência da série ∞ ∑ n=0 2 (x − 5) n2 + 3 n . Solução: Seja z = (x − 5). Então podemos escrever ∞ ∑ n=0 2 (x − 5) n2 + 3 n = ∞ ∑ n=0 2zn n2 + 3 . Usando o teorema de D'Alambert temos que lim n→∞ un+1 un = lim n→∞ 2zn+1 (n + 1)2 + 3 2zn n2 + 3 = lim n→∞ (n2 + 3) 2zn+1 ( (n + 1)2 + 3 ) 2zn = lim n→∞ (n2 + 3) |z| (n2 + 2n + 4) = |z| lim n→∞ n2 + 3 n2 + 2n + 4 = |z| e assim a série converge se |z| 1. Portanto, o seu raio de convergência é R = 1. Na sequência, devemos vericar se a série converge para z = −1 e z = 1. • Se z = −1 temos a série ∞ ∑ n=0 2zn n2 + 3 = ∞ ∑ n=0 2 (−1)n n2 + 3 = ∞ ∑ n=0 (−1)n 2 (n2 + 3) 172
- 183. que converge, peloteorema de Leibnitz. • Se z = 1 temos a série ∞ ∑ n=0 2zn n2 + 3 = ∞ ∑ n=0 2(1)n n2 + 3 = ∞ ∑ n=0 2 (n2 + 3) . que converge por comparação com uma p−série, pois ∞ ∑ n=0 2 (n2 + 3) ≤ 2 3 + ∞ ∑ n=1 2 n2 . Conclusão: O raio de convergência da série ∞ ∑ n=0 2zn n2 + 3 é R = 1 e o seu intervalo de convergência é −1 ≤ z ≤ 1. Substituindo z por x − 5, obtemos 4 ≤ x ≤ 6, que é o intervalo de convergência da série ∞ ∑ n=0 2 (x − 5) n2 + 3 n . 5.14.11 Continuidade da soma de uma Série de Funções. Sabemos do Cálculo 1 que a soma de um número nito de funções contínuas é contínua. Porém, se a soma envolver innitos termos, seu resultado pode não ser contínuo. Vejamos um exemplo onde isso ocorre. EXEMPLO 5.14.12 Mostre que a série ∞ ∑ n=1 ( x 1 2n+1 − x 1 2n−1 ) converge para uma função de- scontínua. Solução: Escrevendo a soma dos n−primeiros termos desta s'erie Sn (x) = ( x 1 3 − x ) + ( x 1 5 − x 1 3 ) + ( x 1 7 − x 1 5 ) + · · · + ( x 1 2n+1 − x 1 2n−1 ) e eliminando os parênteses, obtemos que Sn (x) = −x + x 1 2n+1 . Assim, S(x) = lim n→∞ Sn (x) = lim n→∞ ( −x + x 1 2n+1 ) = { 1 − x, se x ̸= 0 0, se x = 0. Portanto, lim n→∞ Sn (x) existe para todo x ∈ R e a série de funções dada é convergente. Note que a soma desta série é uma função descontínua em x = 0, enquanto que cada um de seus termos era contínuo. Observe ainda que a série em questão não é uma série de potências. 5.14.13 Derivação de uma série de funções contínuas No Cálculo 1, vimos que a derivada de uma soma nita de funções é igual à soma das derivadas. No entanto, se tivermos uma quantidade innita de funções, essa propriedade pode deixar de ser válida. Da mesma forma, a derivada de uma série de funções convergente pode ser divergente. Vejamos um exemplo: 173
- 184. EXEMPLO 5.14.14 Considerea série ∞ ∑ n=1 sin(n4 x) n2 . Mostre que esta é uma série convergente e que a série de suas derivadas é divergente. Solução: Como |sin(n4 x)| ≤ 1 para todo n natural e todo x real, segue que sin(n4 x) n2 = |sin(n4 x)| n2 ≤ 1 n2 e por comparação com uma p-série convergente (p = 2), podemos concluir que a série dada é absolutamente convergente. Ainda, esta série converge para todo valor real de x. Seja S(x) a soma desta série, ou seja, S(x) = ∞ ∑ n=1 sin(n4 x) n2 = sin x 12 + sin(24 x) 22 + sin(34 x) 32 + sin(44 x) 42 + · · · + sin(n4 x) n2 + · · · derivando termo a termo esta soma, temos que S′ (x) = cos x 12 + 24 cos(24 x) 22 + 34 cos(34 x) 32 + 44 cos(44 x) 42 + · · · + n4 cos(n4 x) n2 + · · · = cos x + 22 cos(24 x) + 32 cos(34 x) + 42 cos(44 x) + · · · + n2 cos(n4 x) + · · · e aplicando em x = 0, obtemos S′ (0) = cos 0 + 22 cos 0 + 32 cos 0 + 42 cos 0 + · · · + n2 cos 0 + · · · = 12 + 22 + 32 + 42 + · · · + n2 + · · · que é uma sequência de somas divergente. Assim, a série de funções converge para x = 0, enquanto que a derivada desta série diverge em x = 0. Observe que a série em questão não é uma série de potências. Da mesma forma que na derivada, a integração de uma série de funções também exige cuidados. Enquanto que a integral de uma soma nita de funções é igual a soma das integrais, o mesmo pode não ser válido para uma quantidade innita de funções. No entanto isto não ocorrerá quando se tratar de séries de potências, ou seja, quando uma série de potências for convergente pode-se efetuar a derivação e a integração termo a termo que as novas séries obtidas por estes processos também serão convergentes, com o mesmo raio de convegência, conforme veremos a seguir. 5.15 Diferenciação e Integração de Séries de Potências A soma de uma série de potências é uma função f(x) = ∞ ∑ n=0 cn (x − a)n , cujo domínio é o intervalo de convergência da série. Dentro deste intervalo, a derivação e a integração de f ocorre termo a termo, ou seja, pode-se derivar e integrar cada termo individual da série, de acordo com o resultado abaixo. TEOREMA 5.15.1 Seja ∞ ∑ n=0 cn (x − a)n uma série de potências com raio de convergência R 0. Então a função f denida por f(x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + · · · = ∞ ∑ n=0 cn (x − a)n é diferenciável (e portanto contínua) no intervalo (a − R, a + R) e 174
- 185. (i) f′ (x) =c1 + 2c2(x − a) + 3c3(x − a)2 + · · · = ∞ ∑ n=1 ncn (x − a)n−1 (ii) f”(x) = 2c2 + 6c3(x − a) + · · · = ∞ ∑ n=2 n(n − 1)cn (x − a)n−2 e assim por diante. Além disso, tomando C = K + ac0, tem-se que (iii) ∫ f(x)dx = C + c0(x − a) + c1 (x − a)2 2 + c2 (x − a)3 3 + · · · = C + ∞ ∑ n=0 cn (x − a)n+1 n + 1 Os raios de convergência das séries das equações (i), (ii) e (iii) são todos iguais a R. OBSERVAÇÃO 5.15.2 Embora o teorema anterior diga que o raio de convergência permanece o mesmo quando uma série de potências é diferenciada ou integrada, isso não signica que o intervalo de convergência permaneça o mesmo. Pode ocorrer de a série inicial convergir em um extremo enquanto que a série diferenciada diverge nesse ponto. EXEMPLO 5.15.3 Expresse 1 (1 − x)2 como uma série de potências e determine seu raio de convergência. Solução: No Exemplo 5.13.4 vimos que, se x ∈ (−1, 1) então 1 1 − x = 1 + x + x2 + x3 + · · · = ∞ ∑ n=0 xn . Diferenciando cada lado dessa equação, obtemos que 1 (1 − x)2 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · = ∞ ∑ n=1 nxn−1 . Podemos deslocar o índice do contador trocando n por n+1, escrevendo a resposta como 1 (1 − x)2 = ∞ ∑ n=0 (n + 1)xn . De acordo com o Teorema 5.15.1, o raio de convergência da série diferenciada é o mesmo que o raio de convergência da série original, a saber, R = 1. O leitor poderá vericar que o intervalo de convergência da série obtida é aberto nos extremos, ou seja, é o intervalo (−1, 1). EXEMPLO 5.15.4 Expresse x5 (1 − 3x)2 como uma série de potências e determine seu intervalo de convergência. Solução: No Exemplo 5.15.3 vimos que, para x ∈ (−1, 1) é válido que 1 (1 − x)2 = ∞ ∑ n=0 (n + 1)xn . Trocando x por 3x em ambos os lados dessa igualdade, obtemos 1 (1 − 3x)2 = ∞ ∑ n=0 (n + 1)(3x)n = ∞ ∑ n=0 3n (n + 1)xn 175
- 186. e essa sérieconverge se 3x ∈ (−1, 1), ou seja, se x ∈ (−1 3 , 1 3 ). Agora, para obter a série desejada basta multiplicar a série acima por x5 , obtendo x5 (1 − 3x)2 = x5 ∞ ∑ n=0 3n (n + 1)xn = ∞ ∑ n=0 3n (n + 1)xn+5 . Outra forma de escrever esta série é x5 (1 − 3x)2 = ∞ ∑ n=5 3n−5 (n − 4)xn e seu intervalo de convergência é (−1 3 , 1 3 ). EXEMPLO 5.15.5 Encontre a representação em séries de potências para f(x) = ln(1 − x). Solução: Notemos inicialmente que, pelo Exemplo 5.15.3 obtemos que f′ (x) = −1 1 − x = ∞ ∑ n=0 −xn e integrando ambos os lados dessa equação, com o auxílio do Teorema 5.15.1, obtemos que f(x) = ∫ −1 1 − x dx = C + ∞ ∑ n=0 −xn+1 n + 1 = C − ∞ ∑ n=1 xn n . Para determinar o valor de C, colocamos x = 0 nessa equação e encontramos C − 0 = f(0) = ln 1 = 0. Assim ln(1 − x) = − ∞ ∑ n=1 xn n = −x − x2 2 − x3 3 − · · · . O raio de convergência dessa série é o mesmo que o da série original, R = 1. Note o que acontece quando colocamos x = 1 2 no resultado do Exemplo 5.15.5. Como ln 1 2 = − ln 2, vemos que ln 2 = 1 2 + 1 8 + 1 24 + 1 64 + · · · = ∞ ∑ n=1 1 n2n . Ou seja, usando esta série de funções obtivemos a soma da série numérica ∞ ∑ n=1 1 n2n . 5.16 Séries de Taylor Considere uma função f (x) e seja a um real qualquer. Pretende-se encontrar uma série de potências da forma ∞ ∑ n=0 cn (x − a)n que convirja para f, ou seja, tal que f (x) = ∞ ∑ n=0 cn (x − a)n . Em outras palavras, queremos que f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + · · · + cn (x − a)n + · · · (5.16.1) Assim, precisamos determinar os coecientes c0, c1, c2, · · · 176
- 187. • Primeiro determinamosc0, tomando x = a na função 5.16.1. Obtemos f (a) = c0 + c1 (a − a) + c2 (a − a)2 + c3 (a − a)3 + · · · + cn (x − a)n + · · · donde vem f (a) = c0. • Determinamos a derivada da função 5.16.1 e na sequência aplicamos em x = a para obter c1, ou seja, f′ (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + · · · + ncn (x − a)n−1 + · · · f′ (a) = c1 + 2c2 (a − a) + 3c3 (a − a)2 + · · · + ncn (a − a)n−1 + · · · donde vem f′ (a) = c1. • Determinamos a segunda derivada da função 5.16.1 e na sequência aplicamos em x = a para obter c2, isto é, f′′ (x) = 2c2 + 3 · 2c3 (x − a) + 4 · 3c4 (x − a)2 + · · · + n(n − 1)cn (x − a)n−2 + · · · f′′ (a) = 2c2 + 3 · 2c3 (a − a) + 4 · 3c4 (a − a)2 + · · · + n(n − 1)cn (a − a)n−2 + · · · donde vem f′′ (a) = 2c2 ou c2 = f′′ (a) 2! . • Determinamos a terceira derivada da função 5.16.1 e, na sequência f(3) (a) para obter c3. Temos f(3) (x) = 3·2c3+4·3·2c4 (x − a)+5·4·3c5 (x − a)2 +· · ·+n(n−1)(n−2)cn (x − a)n−3 +· · · f(3) (a) = 3·2c3+4·3·2c4 (a − a)+5·4·3c5 (a − a)2 +· · ·+n(n−1)(n−2)cn (a − a)n−3 +· · · donde vem f(3) (a) = 3 · 2c3 ou c3 = f(3) (a) 3! . • Prosseguindo dessa forma, encontraremos cn = f(n) (a) n! , de modo que podemos rees- crever a série como segue f (x) = f (a)+f′ (a) (x − a)+ f′′ (a) 2! (x − a)2 + f(3) (a) 3! (x − a)3 +· · ·+ f(n) (a) n! (x − a)n +· · · ou seja, encontramos a série de Taylor: f (x) = ∞ ∑ n=0 f(n) (a) n! (x − a)n . EXEMPLO 5.16.1 Desenvolver em série de Taylor a função f (x) = sin x. Solução: Primeiro vamos determinar as derivadas de todas as ordens de f (x) = sin x no ponto a. Temos que 177
- 188. f (a) =sin a f′ (a) = cos a f′′ (a) = − sin a f(3) (a) = − cos a f(4) (a) = sin a f(5) (a) = cos a A seguir, substituímos na expressão da série de Taylor f (x) = f (a)+f′ (a) (x − a)+ f′′ (a) 2! (x − a)2 + f(3) (a) 3! (x − a)3 +· · ·+ f(n) (a) n! (x − a)n +· · · e obtemos sin x = sin a + cos a (x − a) − sin a 2! (x − a)2 − cos a 3! (x − a)3 + sin a 4! (x − a)4 + · · · . Esta série pode ser reescrita separando os termos em seno dos termos em cosseno, con- forme segue sin x = ( sin a − sin a 2! (x − a)2 + sin a 4! (x − a)4 + · · · ) + ( cos a (x − a) − cos a 3! (x − a)3 + · · · ) , e escrevendo em forma de somatório vem que sin x = ∞ ∑ n=0 (−1)n sin a 2n! (x − a)2n + ∞ ∑ n=0 (−1)n cos a (2n + 1)! (x − a)2n+1 . 5.17 Série de Maclaurin Colin Maclaurin (1698 - 1746) foi um matematico escocês. Para obter o desenvolvimento de uma função em série de Maclaurin basta tomar a = 0 na série de Taylor. Desse modo, a série de MacLaurin de uma função f é dada por f (x) = ∞ ∑ n=0 fn (0) n! xn = f (0) + f′ (0) x + f′′ (0) 2! x2 + f(3) (0) 3! x3 + · · · + f(n) (0) n! xn + · · · . EXEMPLO 5.17.1 Desenvolver em série de Maclaurin a função f (x) = sin x. Solução: No Exemplo 5.16.1 desenvolvemos f (x) = sin x em série de Taylor. Fazendo a = 0 nesse desenvolvimento, obtemos sin x = ( sin 0 − sin 0 2! (x − 0)2 + sin 0 4! (x − 0)4 + · · · ) + ( cos 0 (x − 0) − cos 0 3! (x − 0)3 + · · · ) ou seja, sin x = x − x3 3! + x5 5! − x7 7! + x9 9! + · · · ou ainda, sin x = ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+1 (2n + 1)! . O leitor poderá vericar, sem grandes diculdades, que o intervalo de convergência desta série é toda a reta real, ou seja, esta série converge para todo valor real de x. Ainda, esta série pode ser aplicada para determinar o valor de convergência de séries numéricas. Por exemplo, substituíndo x = π 6 na série acima, temos que 178
- 189. π 6 − (π 6 )3 3! + (π 6 )5 5! − (π 6 )7 7! + (π 6 )9 9! + · ·· = sin π 6 = 1 2 . EXEMPLO 5.17.2 Desenvolver em série de MacLaurin a função f(x) = ∫ sin x x dx. Solução: Primeiro dividimos cada termo obtido no Exemplo 5.17.1 por x, encontrando sin x x = 1 − x2 3! + x4 5! − x6 7! + x8 9! + · · · A seguir, integramos a série termo a termo e obtemos ∫ sin x x dx = ∫ dx − ∫ x2 3! dx + ∫ x4 5! dx − ∫ x6 7! dx + ∫ x8 9! dx + · · · = x − x3 3!3 + x5 5!5 − 5 x7 7!7 + x9 9!9 + · · · = ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+1 (2n + 1)! (2n + 1) , que converge para todo valor real de x. EXEMPLO 5.17.3 Utilize séries de funções para calcular lim x→0 sin x − x x3 . Solução: A partir da série encontrada no Exemplo 5.17.1, temos que sin x = x − x3 3! + x5 5! − x7 7! + x9 9! + · · · (−1)n x2n+1 (2n + 1)! + · · · e então sin x − x = − x3 3! + x5 5! − x7 7! + x9 9! + · · · (−1)n x2n+1 (2n + 1)! + · · · . Dividindo ambos os lados por x3 , encontramos sin x − x x3 = − 1 3! + x2 5! − x4 7! + x6 9! + · · · (−1)n x2n−2 (2n + 1)! + · · · . Portanto lim x→0 sin x − x x3 = lim x→0 ( − 1 3! + x2 5! − x4 7! + x6 9! + · · · (−1)n x2n−2 (2n + 1)! + · · · ) = − 1 6 . EXEMPLO 5.17.4 Desenvolver em série de Maclaurin a função f(x) = sin(2x). Solução: Anteriormente, vimos que a série de MacLaurin de sin x é sin x = x − x3 3! + x5 5! − x7 7! + · · · (−1)n x2n+1 (2n + 1)! + · · · trocando x por 2x nesta série, obtemos 179
- 190. sin(2x) = 2x− (2x)3 3! + (2x)5 5! − (2x)7 7! + · · · (−1)n (2x)2n+1 (2n + 1)! + · · · = 2x − 23 x3 3! + 25 x5 5! − 27 x7 7! + · · · + (−1)n 22n+1 x2n+1 2n + 1 + · · · = ∞ ∑ n=0 (−1)n 22n+1 (x)2n+1 (2n + 1)! . Uma das principais aplicações das séries de Taylor e de MacLaurin ocorre na integração de funções. Newton frequentemente integrava funções expressando-as primeiro como uma série de potências e depois integrando a série termo a termo. Por exemplo, a função g(x) = e−x2 não pode ser integrada pelas técnicas do Cálculo 1, pois sua antiderivada não é uma função elementar. No exemplo a seguir usaremos a ideia de Newton para integrar essa função. EXEMPLO 5.17.5 Expresse ∫ e−x2 dx como uma série de potências. Solução: Primeiro encontraremos a série de MacLaurin para g(x) = e−x2 . Embora seja possível usar o método direto, vamos encontrá-la a partir da série de MacLaurin para f(x) = ex . Como f(n) (x) = ex para todo n natural, temos que f(n) (0) = e0 = 1 ∀n ∈ N e assim, a série de MacLaurin da função exponencial é ex = ∞ ∑ n=0 f(n) (0) n! xn = ∞ ∑ n=0 xn n! = 1 + x + x2 2! + x3 3! + · · · . Pode-se mostrar facilmente que esta série converge para todo x real e que seu intervalo de convergência é innito. Trocando x por −x2 neste desenvolvimento, obtemos que e−x2 = ∞ ∑ n=0 (−x2 )n n! = ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n n! = 1 − x2 + x4 2! − x6 3! + · · · que também converge para todo x. Agora podemos integrar esta série termo a termo, de acordo com o Teorema 5.15.1 e obter ∀n ∈ R ∫ e−x2 dx = C + ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+1 (2n + 1)n! = C + x − x3 3 + x5 5.2! − x7 7.3! + · · · EXEMPLO 5.17.6 Calcule ∫ 1 0 e−x2 dx com uma precisão de três casas decimais. Solução: Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo à expressão obtida no exemplo anterior, temos que ∫ 1 0 e−x2 dx = C + ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+1 (2n + 1)n! 1 0 = ∞ ∑ n=0 (−1)n (2n + 1)n! . 180
- 191. Expandindo alguns termosdesta série numérica, temos que ∫ 1 0 e−x2 dx = ∞ ∑ n=0 (−1)n (2n + 1)n! = 1 − 1 3 1 10 − 1 42 + 1 216 − 1 1320 + 1 9360 + · · · e observamos que a partir do sexto termo desta expansão, todos os demais possuem módulo menor que 1 1320 0, 001 e assim, ao somarmos os cinco primeiros termos da expansão teremos uma aproximação com precisão de até 3 casa decimais ∫ 1 0 e−x2 dx ≈ 1 − 1 3 + 1 10 − 1 42 + 1 216 ≈ 0, 7475. 5.18 Fórmula geral do binômio de Newton Suponhamos que o interesse é o desenvolvimento do binômio (a + b)n , para n inteiro positivo. Do desenvolvimento geral do binômino de Newton vem que (a + b)n = C0 nan + C1 nan−1 b + C2 nan−2 b2 + · · · + Ck nan−k bk + · · · + Cn n bn . Como Ck n = n! k! (n − k)! = n (n − 1) (n − 2) · · · (n − (k − 1)) (n − k)! k! (n − k)! = n (n − 1) (n − 2) · · · (n − (k − 1)) k! , podemos escrever (a + b)n = an +nan−1 b+ n (n − 1) 2! an−2 b2 +· · ·+ n (n − 1) (n − 2) · · · (n − (k − 1)) k! an−k bk +· · ·+bn . Tomando a = 1 e b = x vem que (1 + x)n = 1 + nx + n (n − 1) 2! x2 + · · · + n (n − 1) (n − 2) · · · (n − (k − 1)) k! xk + · · · + xn , que é um desenvolvimento nito. Porém, se n não for um inteiro positivo ou zero, é con- veniente desenvolver o binômio (1 + x)n em série de Maclaurin. Desse modo teremos o desenvolvimento innito (1 + x)n = 1 + nx + n (n − 1) 2! x2 + n (n − 1) (n − 2) 3! x3 + · · · + + n (n − 1) (n − 2) · · · (n − k + 1) k! xk + · · · (5.18.1) Esta série, chamada de série binomial, é um caso particular da Série de MacLaurin. Como o leitor poderá vericar, através do Critério de D'Alembert, a série binomial é absolutamente convergente para todo x real tal que |x| 1. Pode ser provado que esse desenvolvimento é verdadeiro para todo n. A prova pode ser encontrada nos livros citados na bibliograa. Escrevendo em forma de somatório, temos que (1 + x)n = 1 + ∞ ∑ k=1 n (n − 1) (n − 2) · · · (n − k + 1) k! xk se |x| 1. EXEMPLO 5.18.1 Desenvolver em série de funções a função f (x) = 1 1 + x . 181
- 192. Solução: Temos que f(x) = 1 1 + x = (1 + x)−1 . Portanto, basta substituir n = −1 na fórmula da série binomial. Assim, 1 1 + x = 1 + (−1) x + −1 (−1 − 1) 2! x2 + −1 (−1 − 1) (−1 − 2) 3! x3 + · · · + −1 (−1 − 1) (−1 − 2) · · · (−1 − k + 1) k! xk + · · · = 1 − x + 2 2! x2 + −6 3! x3 + · · · + −1 (−1 − 1) (−1 − 2) · · · (−1 − k + 1) k! xk + · · · 1 1 + x = 1 − x + x2 − x3 + x4 + · · · + (−1)k xk + · · · = ∞ ∑ k=0 (−1)k xk . EXEMPLO 5.18.2 Expresse como uma série de potências a função f(x) = ln(x + 1) x . Solução: Vamos analisar inicialmente a função ln(x + 1). A sua derivada é igual a 1 x + 1 , e no exemplo anterior mostramos que 1 x + 1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 + · · · + (−1)n xn + · · · = ∞ ∑ n=0 (−1)n xn , portanto, devemos integrar ambos os membros da igualdade, obtendo ln(x + 1) = ∫ 1 1 + x dx = ∞ ∑ n=0 ∫ (−1)n xn dx = ∞ ∑ n=0 (−1)n xn+1 n + 1 . Como queremos f(x) = ln(x + 1) x , devemos dividir todos os membros por x, donde, ln(x + 1) x = ∞ ∑ n=0 (−1)n xn n + 1 . EXEMPLO 5.18.3 Desenvolver em série de funções a função f (x) = 1 √ 1 + x . Solução: Temos que f (x) = 1 √ 1 + x = (1 + x)− 1 2 . 182
- 193. Portanto, basta substituirn = −1 2 na fórmula da série binomial. Assim, 1 √ 1 + x = 1 + ( − 1 2 ) x + −1 2 (−1 2 − 1 ) 2! x2 + −1 2 ( −1 2 − 1 ) ( −1 2 − 2 ) 3! x3 + · · · + −1 2 ( −1 2 − 1 ) ( −1 2 − 2 ) · · · (−1 2 − k + 1) k! xk + · · · = 1 − 1 2 x + − 1 2 ( − 3 2 ) 2! x2 + − 1 2 ( − 3 2 ) ( − 5 2 ) 3! x3 + · · · + − 1 2 ( − 3 2 ) ( − 5 2 ) · · · ( 1 − 2k 2 ) k! xk + · · · 1 √ 1 + x = 1 − 1 2 x + 1 · 3 222! x2 − 1 · 3 · 5 233! x3 + · · · + (−1)k 1 · 3 · 5 · ... · (2k − 1) 2kk! xk + · · · EXEMPLO 5.18.4 Desenvolver em série de funções a função f (x) = 1 √ 1 − x2 . Solução: Podemos aproveitar o resultado do Exemplo 5.18.3 substituindo x por (−x2 ) . Teremos então 1 √ 1 + (−x2) = 1 − 1 2 ( −x2 ) + 1 · 3 222! ( −x2 )2 − 1 · 3 · 5 233! ( −x2 )3 + · · · + (−1)n 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) 2nn! ( −x2 )n + · · · 1 √ 1 − x2 = 1 + 1 2 x2 + 1 · 3 222! x4 + 1 · 3 · 5 233! x6 + · · · + 1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1) 2nn! x2n + · · · EXEMPLO 5.18.5 Desenvolver em séries de funções a função f (x) = arcsin x. Solução: Como a derivada da função f (x) = arcsin x é f′ (x) = 1 √ 1 − x2 podemos aproveitar o resultado do Exemplo 5.18.4 e integrá-lo termo a termo, obtendo ∫ dx √ 1 − x2 = ∫ dx + 1 2 ∫ x2 dx + 1 · 3 222! ∫ x4 dx + 1 · 3 · 5 233! ∫ x6 dx + · · · + 1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1) 2nn! ∫ x2n dx + · · · que resulta em arcsin x = x + 1 2 · 3 x3 + 1 · 3 222!5 x5 + 1 · 3 · 5 233!7 x7 + · · · + 1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1) 2nn! (2n + 1) x2n+1 + · · · ou seja arcsin x = x + ∞ ∑ n=1 1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1) 2nn! (2n + 1) x2n+1 . OBSERVAÇÃO 5.18.6 Vale ressaltar que o desenvolvimento obtido em todos os exemplos ante- riores é válido apenas para |x| 1. 183
- 194. EXEMPLO 5.18.7 Utilizedesenvolvimento em séries de MacLaurin para calcular lim x→0 arctan(x) − sin x x3 cos x . Solução: Começamos com o desenvolvimento em série de potências de f(x) = arctan x. Como f′ (x) = 1 1 + x2 = (1 + x2 )−1 é mais simples iniciar pelo desenvolvimento de f′ . No Exemplo 5.18.1 obtemos que (1 + x)−1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 + · · · + (−1)n xn + · · · trocando x por x2 , segue que f′ (x) = (1 + x2 )−1 = 1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)n x2n + · · · então, integrando termo a termo, temos que arctan x = ∫ 1 1 + x2 dx = x − x3 3 + x5 5 − x7 7 + · · · + (−1)n x2n+1 2n + 1 + · · · (I) Ainda, sabemos que o desenvolvimento em série para o seno é sin x = x − x3 3! + x5 5! − x7 7! + · · · + (−1)n x2n+1 (2n + 1)! + · · · (II) Tomando a diferença entre as equações (I) e (II) obtemos arctan x − sin x = x3 ( −1 3 + 1 3! ) + x5 ( 1 5 − 1 5! ) + · · · + x2n+1 ( (−1)n 2n + 1 + (−1)n+1 (2n + 1)! ) + · · · Podemos obter a série de MacLaurin para cos x facilmente, basta derivar termo a termo a série de sin x desenvolvida acima, obtendo cos x = 1 − x2 2! + x4 4! − x6 6! + · · · + (−1)n x2n (2n)! + · · · . Agora podemos tomar o quociente desejado e simplicar, para obter que arctan(x) − sin x x3 cos x = x3 ( −1 3 + 1 3! ) + x5 ( 1 5 − 1 5! ) + · · · + x2n+1 ( (−1)n 2n + 1 + (−1)n+1 (2n + 1)! ) + · · · x3 ( 1 − x2 2! + x4 4! + · · · + (−1)n x2n (2n)! + · · · ) = ( −1 3 + 1 3! ) + x2 ( 1 5 − 1 5! ) + · · · + x2n−2 ( (−1)n 2n + 1 + (−1)n+1 (2n + 1)! ) + · · · ( 1 − x2 2! + x4 4! − x6 6! + · · · + (−1)n x2n (2n)! + · · · ) Finalmente, podemos aplicar o limite em ambos os lados dessa igualdade e encontrar que lim x→0 arctan(x) − sin x x3 cos x = ( −1 3 + 1 3! ) + 0 1 + 0 = −1 3 + 1 6 = − 1 6 . 184
- 195. 5.19 Exercícios Gerais 1.Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Cal- cule também lim n→∞ un, caso exista. (a) un = n 4n+2 (b) un = (−1)n 5−n (c) un = (−1)n√ n n+1 (d) un = 100n n 3 2 +4 (e) un = n+1 √ n (f) un = ln n n (g) un = ln (1 n ) (h) un = n2 5n+3 (i) un = cos nπ 2 (j) un = arctan n (k) un = ( 1 − 2 n )n (l) un = n2 2n (m) un = 3n e2n (n) un = 1 + (−1)n (o) un = n √ n (p) un = 7−n 3n−1 2. Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências. (a) {1 3 , 2 9 , 4 27 , 8 81 , · · · } (b) {1 3 , −2 9 , 4 27 , −8 81 , · · · } (c) {1 2 , 3 4 , 5 6 , 7 8 , · · · } (d) { 0, 1 4 , 2 9 , 3 16 , · · · } 3. Classique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade. (a) un = n 2n−1 (b) un = n − 2n (c) un = ne−n (d) un = 5n 2n2 (e) un = 10n (2n)! (f) un = nn n! (g) un = 1 n+ln n (h) un = n! 3n 4. Suponha que un seja uma sequência monótona tal que 1 ≤ un ≤ 5. Esta sequência deve convergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite? 5. Suponha que un seja uma sequência monótona tal que un ≤ 5. Esta sequência deve convergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite? 6. Pode-se obter aproximações de √ k utilizando a sequência recursiva un+1 = 1 2 ( un + k un ) , onde u1 = 1 2 . (a) Encontre as aproximações u2, u3, u4, u5, u6 para √ 10. (b) Mostre que, se L = lim n→∞ un, então L = √ k. 7. Uma das mais famosas sequências é a sequência de Fibonacci (1710-1250), denida pela recorrência un+1 = un + un−1, onde u1 = u2 = 1. (a) Determine os dez primeiros termos desta sequência. (b) Os termos da nova sequência xn = un+1 un dão uma aproximação para o igualmente famoso número de ouro (ou razão áurea), denotado por τ. Determine uma aproximação dos cincos primeiros termos dessa nova sequência. (c) Supondo que τ = lim n→∞ xn, mostre que τ = 1 2 (1 + √ 5). 8. Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível. 185
- 196. (a) ∞ ∑ n=1 1 (2n − 1)(2n + 1) (b) ∞ ∑ n=1 8 (4n − 3) (4n + 1) (c) ∞ ∑ n=1 2n + 1 n2 (n + 1)2 (d) ∞ ∑ n=1 ln ( n n + 1 ) (e) ∞ ∑ n=1 2n−1 5n (f) ∞ ∑ n=1 1 √ n (n + 1) (√ n + 1 + √ n ) (g) ∞ ∑ n=1 1 1.2.3.4.5. · · · .n.(n + 2) (h) ∞ ∑ n=1 3n + 4 n3 + 3n2 + 2n 9. Analise se as armações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justique seus argumen- tos, exibindo contra-exemplos para as armações falsas ou provando as armações verdadeiras. (a) Toda sequência limitada é convergente. (b) Toda sequência limitada é monótona. (c) Toda seuência convergente é necessariamente monótona. (d) Toda sequência monótona decrescente converge para zero. (e) Se un for decrescente e un 0 para todo n ∈ N então un é convergente. (f) Se −1 q 1, então lim n→+∞ qn = 0. (g) Se a sequência un converge então a série ∞ ∑ n=1 un também converge. (h) Se ∞ ∑ n=1 un converge então ∞ ∑ n=1 √ un também converge. (i) Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente. (j) A série ∞ ∑ n=1 (n3 + 1)2 (n4 + 5)(n2 + 1) é uma série numérica convergente. (k) Desenvolvendo a função g(x) = ∫ x 0 t2 e−t2 dt em série de potências obtém-se g(x) = ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+3 n!(2n + 3) . (l) A série de potências ∞ ∑ n=1 (−1)3n xn é convergente no intervalo (−1 3 , 1 3 ) e sua soma é igual a S = −3x 1 + 3x . (m) Se a sequência un converge então a série ∞ ∑ n=1 (un+1 − un) também converge. (n) O raio de convergência da série da série ∞ ∑ n=0 (−1)n (3x − 5)2n 22n(n!)2 é innito. (o) A série ∞ ∑ n=1 22n 91−n é convergente e sua soma é igual a 36 5 . (p) O critério da integral garante que ∞ ∑ n=3 1 n ln n ln(ln n) converge. 186
- 197. 10. Encontre otermo geral da soma da série ∞ ∑ n=1 4 4n2 − 1 e verique se ela é convergente. 11. Encontre a soma das séries abaixo, se possível. (a) ∞ ∑ n=1 ( 1 5 )n (b) ∞ ∑ n=1 5 (5n + 2)(5n + 7) (c) ∞ ∑ n=1 1 n2 + 6n + 8 (d) ∞ ∑ n=1 −1 √ n + 1 + √ n 12. Usando o teste de comparação verique se as séries abaixo são convergentes ou diver- gentes. (a) ∞ ∑ n=1 1 n3n (b) ∞ ∑ n=1 √ n n2 + 1 (c) ∞ ∑ n=1 1 nn (d) ∞ ∑ n=1 n2 4n3 + 1 (e) ∞ ∑ n=1 1 √ n2 + 4n (f) ∞ ∑ n=1 |sen(n)| 2n (g) ∞ ∑ n=1 n! (2 + n)! (h) ∞ ∑ n=1 1 √ n3 + 5 (i) ∞ ∑ n=1 1 n √ n2 + 5 (j) ∞ ∑ n=1 1 n + √ n + 5 (k) ∞ ∑ n=1 n 4n3 + n + 1 (l) ∞ ∑ n=1 2n (2n)! (m) ∞ ∑ n=1 √ n + 1 + √ n 3 √ n (n) ∞ ∑ n=1 1 + n42n n5n (o) ∞ ∑ n=1 2 + cos n n2 (p) ∞ ∑ n=1 √ n n + 4 (q) ∞ ∑ n=1 1 + 2n 1 + 3n (r) ∞ ∑ n=1 n + ln n n3 + 1 13. Usando o teste de D 'Alambet verique se as séries abaixo são convergentes ou diver- gentes. (a) ∞ ∑ n=1 n + 1 n22n (b) ∞ ∑ n=1 n! en (c) ∞ ∑ n=1 1 (n + 1)2n+1 (d) ∞ ∑ n=1 3n √ n3 + 1 (e) ∞ ∑ n=1 3n 2n(n2 + 2) (f) ∞ ∑ n=1 n! 2n (2 + n)! (g) ∞ ∑ n=1 1 n + 5 (h) ∞ ∑ n=1 n + 1 n4n (i) ∞ ∑ n=1 n 4n + n + 1 (j) ∞ ∑ n=1 3n + 1 2n (k) ∞ ∑ n=1 3n n2 + 2 (l) ∞ ∑ n=1 n! (n + 2)3 (m) ∞ ∑ n=1 2n−1 5n(n + 1) 14. Usando o teste de Cauchy, verique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. (a) ∞ ∑ n=1 (ln n) n n 2 n (b) ∞ ∑ n=1 2n ( n + 1 n2 )n (c) ∞ ∑ n=1 ( n + 1 n22n )n (d) ∞ ∑ n=1 n4n − n √ n10n + 1 15. Usando o teste da integral verique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. (a) ∞ ∑ n=1 ne−n (b) ∞ ∑ n=1 ln n n (c) ∞ ∑ n=2 1 n ln n (d) ∞ ∑ n=1 1 (n + 1) √ ln (n + 1) (e) ∞ ∑ n=1 arctan n n2 + 1 (f) ∞ ∑ n=1 ne−n2 (g) ∞ ∑ n=1 n2 e−n (h) ∞ ∑ n=1 earctan n n2 + 1 (i) ∞ ∑ n=1 1 4n + 7 (j) ∞ ∑ n=1 1 n √ n2 + 1 (k) ∞ ∑ n=1 1 n(1 + ln2 n) 16. Verique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente conver- gente ou divergente. 187
- 198. (a) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 2n n! (b) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 1 (2n− 1)! (c) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n2 n! (d) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n ( 2 3 )n (e) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n! 2n+1 (f) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 1 n2 + 2n (g) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 3n n! (h) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n2 + 1 n3 (i) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 nn n! (j) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 1 n 2 3 + n (k) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 nn 2n (2n − 5)n (l) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n4 en (m) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n n2 + 1 (n) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 n n3 + 3 (o) ∞ ∑ n=1 (−1)n √ 2n2 − n 17. Classique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicional- mente convergente ou divergente, justicando sua resposta. (a) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 (23n+4 − n) enn3n (b) ∞ ∑ n=1 n cos(nπ) n2 + n + 1 (c) ∞ ∑ n=1 (−1)n √ n + √ n (d) ∞ ∑ n=1 (−1)n (n + 1)! 2.4.6 · · · .(2n) (e) ∞ ∑ n=1 (−1)n 54n+1 n3n (f) ∞ ∑ n=1 (−1)n 73n+1 (ln n)n (g) ∞ ∑ n=1 n sin(nπ) + n n2 + 5 (h) ∞ ∑ n=1 cos(n) + sin(n) n3 + √ n (i) ∞ ∑ n=1 ne2n n2en − 1 18. Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo. (a) ∞ ∑ n=1 xn √ n (b) ∞ ∑ n=1 (−1)n−1 xn n3 (c) ∞ ∑ n=0 (3x − 2)n n! (d) ∞ ∑ n=1 (−1)n n4n xn (e) ∞ ∑ n=1 (−2)n xn 4 √ n (f) ∞ ∑ n=2 (−1)n xn 4n ln n (g) ∞ ∑ n=0 n(x + 2)n 3n+1 (h) ∞ ∑ n=0 √ n(x − 4)n (i) ∞ ∑ n=1 (−1)n (x + 2)n n2n (j) ∞ ∑ n=1 n!(2x − 1)n (k) ∞ ∑ n=1 xn n √ n3n (l) ∞ ∑ n=1 (4x − 5)2n+1 n 3 2 (m) ∞ ∑ n=0 n(x − 5)n n2 + 1 (n) ∞ ∑ n=0 nn (x + 2)n (2n − 5)n (o) ∞ ∑ n=0 n4 (x − 1)n en (p) ∞ ∑ n=0 2n (x + 1)n n2 + 1 (q) ∞ ∑ n=0 n(x − 1)2n n3 + 3 (r) ∞ ∑ n=1 (−1)n 1.3.5.7. · · · .(2n − 1)xn 3.6.9. · · · .3n 19. Seja f(x) = ∞ ∑ n=1 xn n2 . Determine os intervalos de convergência para f, f′ e f”. 20. A partir da soma da série geométrica ∞ ∑ n=1 xn , para |x| 1, encontre as somas das séries 188
- 199. abaixo. (a) ∞ ∑ n=1 nxn−1 (b) ∞ ∑ n=1 nxn (c) ∞ ∑ n=1 n 2n (d) ∞ ∑ n=2 n(n − 1)xn (e) ∞ ∑ n=2 n2 −n 2n (f) ∞ ∑ n=1 n2 2n (g) ∞ ∑ n=1 (−1)n xn n (h) ∞ ∑ n=0 (−1)n 2n(n + 1) 21. Encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo. (a) f(x) = 1 1 + x3 (b) f(x) = 1 4 + x3 (c) f(x) = √ x 1 + 9x (d) f(x) = x 9 + 4x2 (e) f(x) = x2 (1 − 2x)2 (f) f(x) = x3 (x − 2)2 (g) f(x) = ln(5 − x) (h) f(x) = x ln(x2 + 1) 22. Expresse a integral indenida como uma série de potências (a) ∫ x 1 − x8 dx (b) ∫ ln(1 − x2 ) x5 dx (c) ∫ x − arctan x x3 dx (d) ∫ arctan x2 dx 23. Utilize a representação em série de potências de f(x) = arctan x para provar a seguinte expressão para π como soma se uma série numérica: π = 2 √ 3 ∞ ∑ n=0 (−1)n 3n(2n + 1) . 24. Mostre que a função f(x) = ∞ ∑ n=0 xn n! é solução da equação diferencial f′ (x) = f(x). 25. Mostre que as funções f1(x) = ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n (2n)! e f2(x) = ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+1 (2n + 1)! são soluções da equação diferencial f”(x) + f(x) = 0. 26. Mostre que a função de Bessel de ordem 0, dada por J0(x) = ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n 22n(n!)2 satisfaz a equação diferencial x2 J0”(x) + xJ′ 0(x) + x2 J0(x) = 0. 27. A função de Bessel de ordem 1 é denida por J1(x) = ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+1 22n+1n!(n + 1)! . (a) Mostre que J1 satisfaz a equação diferencial x2 J1”(x) + xJ′ 1(x) + (x2 − 1)J1(x) = 0. (b) Mostre que J′ 0(x) = −J1(x). 28. Encontre a soma das seguintes séries (a) ∞ ∑ n=0 (−1)n π2n+1 42n+1(2n + 1)! (b) ∞ ∑ n=0 (−1)n π2n 62n(2n)! (c) ∞ ∑ n=1 3n n! (d) ∞ ∑ n=0 3n 5nn! 29. Encontre o raio e o domínio de convergência da série ∞ ∑ n=0 2n (x − 2)n 5n(1 + n2) . 30. Determine o intervalo de convergência da série ∞ ∑ n=0 (3x − 5)n 7nn . 189
- 200. 31. Mostre quea série de potências ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n 32n é convergente no intervalo (−3, 3) e que sua soma é igual a S = 9 9 + x2 . 32. Determine o intervalo de convergência da série de potências que representa a série f(x) = 4 x2 . 33. Desenvolva a função f(x) = cosh(x3 ) em série de MacLaurin, determinando o termo geral de sua expansão e o seu intervalo de convergência. 34. Determine o intervalo e o raio de convergência da série de funções que representa a função f(x) = ex2 − 1 x . 35. Usando séries de Maclaurin, mostre que ∫ cos xdx = sin x + k. 36. Desenvolva a função f(x) = ∫ x 0 t2 ln(1 + 4t2 )dt em séries de MacLaurin e determine o seu intervalo de convergência. 37. Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções: (a) f(x) = sin2 x (b) f(x) = x2 sin 2x (c) f(x) = e3x (d) f(x) = e−x2 (e) f(x) = cos 2x (f) f(x) = sin(x5 ) x3 (g) f(x) = cos x x2 (h) f(x) = x3 ex2 38. Utilize desenvolvimento em séries de MacLaurin para calcular os seguintes limites. (a) lim x→0 cos 2x + 2x2 − 1 x4 (b) lim x→0 sin(x2 ) + cos(x3 ) − x2 − 1 x6 (c) lim x→0 ln(1 + x2 ) 1 − cos x (d) lim x→0 ln(1 + x2 ) − 3 sin(2x2 ) x2 (e) lim x→0 ln(1 + x3 ) − ex3 + 1 x6 (f) lim x→0 x2 sin(x2 ) + ex4 − 1 ln(1 + x4) (g) lim x→0 cos(2x2 ) − ex4 x sin(x3) (h) lim x→0 sin(x8 ) + cos(3x4 ) − 1 ex8 − 1 39. Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de k que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo. (a) ∞ ∑ n=0 enk = 9 (b) lim x→0 e−x4 − cos(x2 ) x4 = k 40. Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções: (a) f(x) = 1 1 − x (b) f(x) = 1 √ 1 + x (c) f(x) = 1 1 + x2 (d) f(x) = 1 √ 1 − x2 (e) f(x) = ∫ sin x x dx (f) f(x) = ∫ e−x2 dx (g) f(x) = ∫ ln(1 + x) x dx (h) f(x) = ln ( 1 + x 1 − x ) (i) f(x) = arcsin x (j) f(x) = arccos x (k) f(x) = arctan x (l) f(x) = 3 √ 1 + x 190
- 201. 41. Calcule aintegral ∫ t 0 1 3 √ 1 + x4 dx utilizando expansão em série de potências. Determine o termo geral desta expansão ou faça o seu desenvolvimento com pelo menos 5 termos não nulos. 191
- 202. 5.20 Respostas 1. . (a)1 4 (b) 0 (c) 0 (d) 0 (e) @ (f) 0 (g) @ (h) @ (i) @ (j) π 2 (k) e−2 (l) 0 (m) 0 (n) @ (o) 1 (p) 0 2. (a) un = 2n−1 3n (b) un = (−1)n−12n−1 3n (c) un = 2n−1 2n (d) un = n−1 n2 3. . (a) decrescente (b) decrescente (c) decrescente (d) decrescente (e) decrescente (f) crescente (g) decrescente (h) não-decrescente 4. A sequência converge, pois é uma sequência monótona limitada. Seu limite L é tal que 1 ≤ L ≤ 5. 5. Se a sequência for monótona crescente, será convergente, com limite L ≤ 5. Porém, se a sequência for monótona decrescente nada podemos armar. 6. Dica para o item (b): Note que se L = lim n→+∞ un então lim n→+∞ un+1 = L. Com isso, aplica-se limites em ambos lados da relação de recorrência dada e obtém-se que L = 1 2 ( L + k L ) . Agora basta isolar L. 7. Dica para o item (c): Note que se τ = lim n→+∞ xn = lim n→+∞ un+1 un então lim n→+∞ un−1 un = 1 τ . Com isso, aplica-se limites em ambos lados da relação de recorrência dada e obtém-se que τ = 1 + 1 τ . Agora basta isolar τ. 8. . (a) Sn = n 2n+1 . A série converge para 1 2 (b) Sn = 8n 4n+1 . A série converge para 2 (c) Sn = n(n+2) (n+1)2 . A série converge para 1 (d) Sn = − ln(n + 1). A série diverge (e) Sn = 1 3 − 2n 3.5n . A série converge para 1 3 (f) Sn = 1 − 1 √ n+1 . A série converge para 1 (g) Sn = 1 2 − 1 (n+2)! . A série converge para 1 2 (h) Sn = 5 2 − 2 n+1 − 1 n+2 . Converge para 5 2 9. . (a) F (b) F (c) F (d) F (e) V (f) V (g) F (h) F (i) F (j) F (k) V (l) V (m) V (n) V (o) V (p) F 10. Sn = 2 − 2 2n + 1 . A série converge para 2. 11. (a) S = 1 4 (b) S = 1 7 (c) S = 7 24 (d) A série diverge 12. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo): (a) C (b) C (c) C (d) D (e) D (f) C (g) C (h) C (i) C (j) D (k) C (l) C (m) D (n) D (o) C (p) D (q) C (r) C 13. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo): (a) C (b) D (c) C (d) I (e) D (f) C (g) I (h) C (i) I (j) C (k) D (l) D (m) C 192
- 203. 14. Legenda: C(convergente), D (divergente), I (inconclusivo): (a) C (b) C (c) C (d) C 15. Legenda: C (convergente), D (divergente), I (inconclusivo): (a) C (b) D (c) D (d) D (e) C (f) C (g) C (h) C (i) D (j) C (k) C 16. . (a) absolutamente (b) absolutamente (c) absolutamente (d) absolutamente (e) divergente (f) absolutamente (g) absolutamente (h) condicionalmente (i) divergente (j) condicionalmente (k) divergente (l) absolutamente (m) condicionalmente (n) absolutamente (o) condicionalmente 17. . (a) absolutamente (b) condicionalmente (c) condicionalmente (d) absolutamente (e) absolutamente (f) absolutamente (g) divergente (h) absolutamente (i) divergente 18. I é o intervalo de convergência e R é o raio de convergência (a) R = 1, I = [−1, 1) (b) R = 1, I = [−1, 1] (c) R = ∞, I = (−∞, ∞) (d) R = 1 4 , I = (−1 4 , 1 4 ) (e) R = 1 2 , I = (−1 2 , 1 2 ] (f) R = 4, I = (−4, 4] (g) R = 3, I = (−5, 1) (h) R = 1, I = (3, 5) (i) R = 2, I = (−4, 0] (j) R = 0, I = {1 2 } (k) R = 3, I = [−3, 3] (l) R = 1 4 , I = [1, 3 2 ] (m) I = [4, 6), R = 1 (n) I = (−4, 0), R = 2 (o) I = (1 − e, 1 + e), R = e (p) I = [−3 2 , −1 2 ], R = 1 2 (q) I = [0, 2], R = 1 (r) I = (−3 2 , 3 2 ), R = 3 2 19. [−1, 1], [−1, 1] e (−1, 1), respectivamente. 20. . (a) 1 (1 − x)2 (b) x (1 − x)2 (c) 2 (d) 2x2 (1 − x)3 (e) 4 (f) 6 (g) − ln(1 + x) (h) 2 ln 3 2 21. . (a) f(x) = ∞ ∑ n=0 (−1)n x3n (b) f(x) = ∞ ∑ n=0 (−1)n x3n 4n+1 (c) f(x) = ∞ ∑ n=0 (−1)n 9n xn+ 1 2 (d) f(x) = ∞ ∑ n=0 (−1)n 4n x2n+1 9n+1 (e) f(x) = ∞ ∑ n=1 2n−1 nxn+1 (f) f(x) = ∞ ∑ n=1 nxn+2 2n+1 (g) f(x) = − ∞ ∑ n=0 xn+1 (n + 1)5n+1 (h) f(x) = ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+3 n + 1 22. (a) ∞ ∑ n=0 x8n+2 8n + 2 (b) − ∞ ∑ n=0 x2n−4 n(2n − 4) (c) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 x2n−1 4n2 − 1 (d) ∞ ∑ n=0 (−1)n x4n+3 (4n + 3)(2n + 1) 23. Dica: Mostre que arctan x = ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+1 2n + 1 e depois faça x = √ 3 3 . 24. Dica: derive termo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação dada. 25. Dica: derive termo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação dada. 193
- 204. 26. Dica: derivetermo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação dada. 27. Dica: derive termo a termo, desloque o índice do somatório e substitua na equação dada. 28. (a) √ 2 2 (b) √ 3 2 (c) e3 − 1 (d) e 3 5 29. Intervalo de convergência: −1 2 ≤ x ≤ 9 2 e raio de convergência R = 5 2 . 30. Intervalo de convergência: −2 3 ≤ x 4. 31. Dica: Note que a série dada é geométrica! 32. Desenvolvendo em séries de Taylor, tomando a = 1 : ∞ ∑ n=0 (−1)n (4n + 4)(x − 1)n Intervalo de convergência: 0 x 2. 33. cosh(x3 ) = ∞ ∑ n=0 x6n (2n)! , que converge para todo x ∈ R 34. Desenvolvimento em séries de MacLaurin : f(x) = ∞ ∑ n=1 x2n−1 n! que converge para todo x ∈ R, ou seja, o raio de convergência é innito. 35. Basta integrar termo a termo. 36. f(x) = ∞ ∑ n=0 (−1)n 4n+1 x2n+5 (n + 1)(2n + 5) converge para −1 2 ≤ x ≤ 1 2 . 37. Desenvolvimento em séries de Maclaurin (a) ∞ ∑ n=0 (−1)n 22n+1 (2n + 2)! x2n+2 (b) ∞ ∑ n=0 (−1)n 22n+1 (2n + 1)! x2n+3 (c) ∞ ∑ n=0 3n n! xn (d) ∞ ∑ n=0 (−1)n n! x2n (e) ∞ ∑ n=0 (−1)n 22n (2n)! x2n (f) ∞ ∑ n=0 (−1)n (2n + 1)! x10n+2 (g) ∞ ∑ n=0 (−1)n (2n)! x2n−2 (h) ∞ ∑ n=0 1 n! x2n+3 38. (a) 2 3 (b) − 2 3 (c) 2 (d) − 5 (e) − 1 (f) 2 (g) − 3 (h) − 7 2 39. (a) k = ln 8 9 (b) k = − 1 2 194
- 205. 40. Desenvolvimento emSéries de MacLaurin (a) ∞ ∑ n=0 xn (b) 1 + ∞ ∑ n=1 (−1)n 1.3.5. · · · .(2n − 1) 2nn! xn (c) ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n (d) 1 + ∞ ∑ n=1 1.3.5. · · · .(2n − 1) 2nn! x2n (e) ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+1 (2n + 1)!(2n + 1) (f) ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+1 (2n + 1)! (g) ∞ ∑ n=0 (−1)n xn+1 (n + 1)2 (h) ∞ ∑ n=0 2 2n + 1 x2n+1 (i) x + ∞ ∑ n=1 1.3.5. · · · .(2n − 1) (2n + 1)2nn! x2n+1 (j) − x − ∞ ∑ n=1 1.3.5. · · · .(2n − 1) (2n + 1)2nn! x2n+1 (k) ∞ ∑ n=0 (−1)n x2n+1 2n + 1 (l) 1 + 1 3 x + ∞ ∑ n=2 (−1)n 2.5.8. · · · .(3n − 4) 3nn! xn 41. ∫ t 0 1 3 √ 1 + x4 dx = x + ∞ ∑ n=1 (−1)n 1.4.7.10. · · · .(3n − 2) (4n + 1).3nn! t4n+1 195