Este documento apresenta a resolução analítica do problema da calha através da aplicação da equação de Laplace. A solução é encontrada separando o problema em quatro partes e aplicando as condições de fronteira em cada uma. Uma solução numérica também é proposta utilizando programação no MATLAB. O erro percentual entre os métodos é calculado para validar a abordagem numérica.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA
DISCIPLINA ELETROMAGNETÍSMO
TRABALHO DE ELETROMAGNETISMO
EQUAÇÕES DE LAPLACE
PROBLEMA DA CALHA
MOISÉS CAETANO FERREIRA
NOVEMBRO
2014

2. INTRODUÇÃO

3. PROBLEMA
Encontre e trace o gráfico da solução (a) analítica e (b) numérica do potencial V(x,y) e |E|
para as condições de fronteiras especificadas em uma das figuras abaixo (para n = 50 e n
= 500). (c) Calcule o erro percentual do método numérico utilizado. Comente todos os
resultados obtidos.
Considere: h = 0,05; Vo = 10 V; a = 1 m; b = 2 m; V1= Vo sen πx/a; V2= Vocos πx/b e V3=
Vo cos2πx.
Meus Dados:
a=1m
b=2m
V1=Vosen πx/a
Vo=10v.
RESOLUÇÃO ANALÍTICA
1. Laplaciano
Vamos desenvolver analiticamente, usaremos inicialmente o teorema da superposição,
separando cada calha e determinado valores de fronteira para cada parte individualmente.
Seguindo o passo a passo para a resolução, primeiro vamos resolver a equação de
Laplace. Se aplicarmos a equação de Laplace, iremos obter:
V(x,y) = V(x)Y(y)
Fazendo ∇2푉 = 0, 푡푒푟푒푚표푠:
∇2푉 =
휕2푉
휕푥 2 +
휕2푉
휕푦2 = 0
Resolvendo a equação acima
푌
휕2 푋
휕푥 2 + 푋
휕2 푌
휕푦2 = 0
Dividindo tudo por XY:
1휕2 푋
푋휕푥 2 +
1휕2 푌
푌휕푦2 = 0
Separando os termos de X e Y:
1푑2푋
푋푑푥 2 = −
1푑2푌
푌푑푦2

4. Essa condição só ocorre se cada parte dessa igualdade for igual a uma constante. Então
se elas forem verdadeiras, cada membro deve desde resulta em uma mesma constante
da mesma ordem, dessa forma:
α2= -α2
Ou seja:
1푑2 푋
푋푑푥2 = 훼2 e 1푑2 푌
푌푑푦2 = −훼2
Reescrevendo as equações de acordo com a igualdade acima, teremos:
푑2 푋
푑 푥2 = 훼2푋 e 푑2 푌
푑 푦2 = −훼2푌
Outra observação que devemos ter como a solução encontrada é que para que a
equação em X, esquerda, seja verdadeira, sua função cuja derivada seja igual a própria
função mutiplicada por uma constante positiva deve ser uma função hiperbólica em seno
e consseno, como abaixo:
X = Acosh(ax) + Bsenh(ax)
E para que a segunda equação, em Y e a direita, seja verdadeira, a função
correspondente cuja segunda derivada seja igual a própria função por uma constante
negativa é uma função trigonométrica em seno e cosseno, como abaixo:
Y = Ccos(ay) + Dsen(ay)
Temos agora com substituir a equação do pontencial dessa calha e obter a equação geral
inicial:
V(x,y)= X(x)Y(y)  V(x,y) = (Acosh(ax) + Bsenh(ax))( Ccos(ay) + Dsen(ay))
2. Condições de Fronteira
Iremos obter as condições de fronteira de cada parte da calha, 4 partes, para podermos
resolver a equação do potencial acima encontrada.
Para a lateral da calha, parte da esquerda, temos os seguintes valores de fronteira:
푉(푥 = 0, 0 ≤ 푦 ≤ 푏) = 0
푉(0 ≤ 푥 ≤ 푎, 푦 = 0) = 0
푉(0 ≤ 푥 ≤ 푎, 푦 = 푏) = 0
푉(푥 = 푎, 0 ≤ 푦 ≤ 푏) = −푉0
Usando as condições na equação V(x,y)= X(x)Y(y)  V(x,y) = (Acosh(ax) + Bsenh(ax))(
Ccos(ay) + Dsen(ay)), obtemos que:

5. a) usando a condição V(x=0, 0≤y≤b)=0, teremos;
V = (A + 0)(Ccos(ay) +Dsen(ay)  ACcos(ay) + ADsen(ay) = 0, logo A=0
b) usando a condição V(0≤x≤b, y=0)=0, teremos;
V = (Acosh(ax) + Bsenh(ax))(C + 0)  CAcosh(ax) + Bsenh(ax) = 0, logo C=0
c) usando a condição V(0≤x≤a, y=b)=0, teremos que a deve ser
푛휋
푏
(n=1,2,3,...), então
V=BDsenh(ax)sem(ay)  V=BDsenh(푛휋푥
푏
)sen(푛휋푦
푏
)
d) usando a condição V(x=a, 0≤y≤b)=-Vo, temos;
Vo=-BDsenh(푛휋푥
푏
)sen(푛휋푦
푏
)
Nota-se que existe n soluções possíveis, então a equação acima fica:
Vo=Σ . ∞푛
=1 -BDsenh(푛휋푥
푏
)sen(푛휋푦
푏
), em 0<x<a
Representando a parte -BDsenh(푛휋푥
푏
) representa uma série de Fourier, que se repete
periodicamente, e a função é ímpar. Fazendo rn=-BDsenh(푛휋
푏
), (n=1,2,3...), iremos
encontrar:
푟푛 =
2
푇
∫ 푓(푦)푠푒푛
푛휋푦
푏
푑푦
푇
푦 =0
푛 = 1,2,3 …
Resolvendo acharemos que:
푟푛푛 = 4푉0
푛휋
, para n ímpar
푟푛푛 = 0, para n par.
Voltando a equação e substituindo o valor de rn, teremos:
-BDsenh(푛휋
푏
4푉0
푛휋
)=
 BD=
4푉0
푛휋 푠푒푛ℎ
(푛휋푎 )
푏
Nossa equação para o lado esquerdo da calha ficará:
V1=Σ . ∞푛
=1 -
4푉0
푛휋 푠푒푛ℎ
(푛휋푎 )
푏
senh(푛휋푥
푏
)sen(푛휋푦
푏
), em 0<x<a , (n-ímpar, 0<x<a, 0<y<b)
Ou
푉1 = −
4푉0
휋
Σ
푠푒푛ℎ
푛휋푥
푏
푠푒푛
푛휋푦
푏
푛푠푒푛ℎ
푛휋푎
푏
∞
푛=1
(푛 − í푚푝푎푟 , 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏)

6. Efetuamos os mesmos procedimentos matemáticos para as outras três partes da calha,
esquerda, superior e inferior, obteremos os seguintes resultados:
푉2 =
4푉1
휋
Σ
푠푒푛ℎ
푛휋(푏 − 푦)
푎
푠푒푛
푛휋푥
푎
푛푠푒푛ℎ
푛휋푏
푎
∞
푛=1
(푛 − í푚푝푎푟 , 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏)
푉3 =
4푉1
휋
Σ
푠푒푛ℎ
푛휋푦
푎
푠푒푛
푛휋푥
푎
푛푠푒푛ℎ
푛휋푏
푎
∞
푛=1
(푛 − í푚푝푎푟, 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏)
푉4 =
4푉0
휋
Σ
푠푒푛ℎ
푛휋(푎 − 푥)
푏
푠푒푛
푛휋푦
푏
푛푠푒푛ℎ
푛휋푎
푏
∞
푛=1
(푛 − í푚푝푎푟 , 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏)
3. Teorema da Superposição
Do princípio da superposição teremos que:
V = V1 + V2 + V3 + V4
No MATLAB podemos fazer um programa para calcular utilizando as fórmulas
encontradas na solução analítica:
COLOCAR COMANDO MATLAB
% SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE
clear all;
va = 0.0;
vb = 0.0;
vc = 0.0;
vd = 0.0;
v = 0.0;
a = 1.0;
b = 2.0;
soma = 0.0;
%x = a/2;
%y = b/2;
clc
disp ('RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DA CALHA');
disp (' ');
disp (' ');
x = input('Coordenada em x: ');
y = input('Coordenada em y: ');
v0 = 10.0;

7. v1 = v0*sin(x*pi/a);
c = 4.0*v1/pi;
for k = 1:10
n = 2*k - 1;
a1 = sin(n*pi*x/a);
a2 = sinh(n*pi*(b-y)/a);
a3 = n*sinh(n*pi*b/a);
soma = soma + c*a1*a2/a3;
va = soma;
end
soma = 0.0;
for k = 1:10
n = 2*k - 1;
a1 = sin(n*pi*x/a);
a2 = sinh(n*pi*y/a);
a3 = n*sinh(n*pi*b/a);
soma = soma + c*a1*a2/a3;
vc = soma;
end
soma = 0.0;
c = 4.0*v0/pi;
for k = 1:10
n = 2*k - 1;
a1 = sin(n*pi*y/b);
a2 = sinh(n*pi*x/b);
a3 = n*sinh(n*pi*a/b);
soma = soma + c*a1*a2/a3;
vb = soma;
end
soma = 0.0;
for k = 1:10
n = 2*k - 1;
a1 = sin(n*pi*y/b);
a2 = sinh(n*pi*(a-x)/b);
a3 = n*sinh(n*pi*a/b);
soma = soma + c*a1*a2/a3;
vd = soma;
end
v = va + vb + vc + vd;
[X,Y] = meshgrid(0:0.1:4,0:0.1:b);

8. figure(2)
mesh(X,Y,v)
hold on
hold off
diary C:UsersUsuarioDocumentssolucao.out
[va, vb, vc,vd]
[v]
diary off
Para calcular o Campo Elétrico, usaremos a fórmula 퐸 = −∇푉.
b) Solução Numérica:
c) Erro percentual:
Podemos calcular o erro percentual entre o dois métodos conforme fórmula abaixo:
퐸푟푟표 =
푉푎푙표푟 퐴푛푎푙í푡푖푐표 − 푉푎푙표푟 푁푢푚é푟푖푐표
푉푎푙표푟 퐴푛푎푙í푡푖푐표
푥100

9. Bibliografia
SADIKU, MATTHEW N. O. Elementos de eletromagnetismo. 3ª Edição – Porto Alegre:
Bookman, 2004.
HAYT, Jr. ENGINEERING ELETROMAGNETICS. 6ª Edition – McGraw-Hill, 2000.
PS: NÃO FOI POSSÍVEL FINALIZAR O TRABALHO, SINTO MUITO.