O documento descreve um campo de velocidade bidimensional especificado por uma equação. Ele calcula as componentes da velocidade em um ponto e deduz a equação para a linha de corrente passando por esse ponto, traçando algumas linhas de corrente no primeiro quadrante.

1. 2.6 – Um campo de velocidade é especificado como 𝑽⃗⃗ = ax²𝒊̂ + bxy𝒋̂ em que
a = 2 m-1s-1 e b = −6 m-1s-1, onde as coordenadas são medidas em metros. O
campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional? Por quê? Calcule as
componentes da velocidade no ponto (2, ½). Deduza uma equação para a linha
de corrente que passa por esse ponto. Trace algumas linhas de corrente no
primeiro quadrante incluindo aquela que passa pelo ponto (2, ½).
Dados:
𝑉⃗⃗⃗ = ax²𝑖̂ + bxy𝑗̂;
a = 2 m-1s-1;
b = −6 m-1s-1;
Ponto (2, ½).
Resolução:
Sabendo-se que o campo de velocidade é especificado por 𝑉⃗ = ax²𝑖̂ + bxy𝑗̂,
constata-se que o escoamento está em regime permanente, uma vez que as
propriedades permanecem constantes com o tempo em cada ponto. Além disso,
observa-se que o escoamento pode ser classificado como bidimensional de acordo
com o número de coordenadas espaciais necessárias para especificar o campo de
velocidade, no caso duas (x e y).
Pede-se para determinar as componentes da velocidade no ponto (2, ½). Para
tal utiliza-se a expressão do vetor velocidade especificada no enunciado apresentada
na Equação 1 e se compara com a Equação 2, posteriormente, determina-se Vx e Vy
substituindo-se os respectivos dados, a = 2 m-1s-1, b = −6 m-1s-1 e (x,y) = (2, ½).
𝑉⃗⃗⃗ = ax²𝑖̂ + bxy𝑗̂ (1)
𝑉⃗⃗⃗ = Vx 𝑖̂ + Vy 𝑗̂ (2)
𝑉⃗⃗⃗ = [(2 m-1s-1)(2 m)²] 𝑖̂ + [(−6m-1s-1)(2 m)( ½ m)]𝑗̂
𝑉⃗⃗⃗ = (8 m s-1) 𝑖̂ + (−6 m s-1)𝑗̂
Portanto, observa-se que Vx e Vy são respectivamente, (8 e −6) m s-1.

2. Em posse da expressão do campo de velocidade, pode-se determinar as
formas das linhas de corrente, as quais são paralelas ao vetor velocidade, utilizando-
se para isso a Equação 3.
𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ )linha de corrente = 𝑉𝑦 𝑉𝑥⁄ (3)
Substituindo Vx = ax² e Vy = bxy na Equação acima e realizando uma
simplificação obtém a Equação 4.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑏𝑦
𝑎𝑥
(4)
Separando-se as variáveis e integrando-se ambos lados da Equação 4 têm-
se a Equação 5.
∫
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑏
𝑎
∫
𝑑𝑥
𝑥
(5)
Após o cálculo das integrais indefinidas obtém-se a Equação 6, onde c é uma
constante.
ln(𝑦) =
𝑏
𝑎
ln( 𝑥) + 𝑐 (6)
Utilizando-se a propriedade operatória do logaritmo a qual determina que o
logaritmo da potência é igual a potência vezes o logaritmo, obtém a Equação 7.
ln(𝑦) = ln(𝑥) 𝑏/𝑎
+ 𝑐 (7)
Sabendo-se que o logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos,
pode-se reescrever a Equação 7, como apresentado na Equação 8.
ln (
𝑦
𝑥 𝑏/𝑎 ) = c (8)

3. Aplicando se a função exponencial, a qual é descrita como inversa da função
logarítmica, em ambos os lados da igualdade na Equação 8, tem-se a Equação 9.
𝑦
𝑥
(
𝑏
𝑎
)
= 𝑒 𝑐
(9)
Como 𝑒 𝑐
é uma constante, esse fator pode ser representando por outra
constante arbitrária denominada de C. Além disso, substituindo os valores de a e b na
Equação 9, obtém-se ao final a Equação 10, a qual representa a equação para as
linhas de corrente no plano xy do campo de velocidade exposto anteriormente.
yx3 = C (10)
Substituindo o valor no ponto (x,y) = (2, ½ ) na Equação 10 pode-se
determinar o valor da constante C = 4, obtendo-se assim uma equação para a linha
de corrente que passa por esse ponto, a qual está exposta na Equação 11.
yx3 = 4 (11)
Utilizando-se o Software Origin 6.0, traçou-se algumas linhas de corrente no
primeiro quadrante incluindo aquela que passa pelo ponto (2, ½ ) sendo expostas na
Figura 1, baseando-se nos dados apresentados na Tabela 1 onde se determinou
valores para a constate C na Equação 10, e obteve valores de x e y correspondentes.
Tabela 1 – Valores correspondentes de x e y com base em constantes determinadas.
C = 1 C = 2 C = 3 C = 4 C = 5 C = 6 C = 7
x y y y y y y y
0,05 8000 16000 24000 32000 40000 48000 56000
0,1 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
0,2 125 250 375 500 625 750 875
0,3 37,03704 74,07407 111,1111 148,1481 185,1852 222,2222 259,2593
0,4 15,625 31,25 46,875 62,5 78,125 93,75 109,375
0,5 8 16 24 32 40 48 56
0,6 4,62963 9,259259 13,88889 18,51852 23,14815 27,77778 32,40741
0,7 2,915452 5,830904 8,746356 11,66181 14,57726 17,49271 20,40816
0,8 1,953125 3,90625 5,859375 7,8125 9,765625 11,71875 13,67188

4. 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
y(m)
x (m)
C=1
C=2
C=3
C=4 [(x,y) = (2,1/2)]
C=5
C=6
C=7
C = 1 C = 2 C = 3 C = 4 C = 5 C = 6 C = 7
x y y y y y y y
0,9 1,371742 2,743484 4,115226 5,486968 6,858711 8,230453 9,602195
1 1 2 3 4 5 6 7
1,1 0,751315 1,50263 2,253944 3,005259 3,756574 4,507889 5,259204
1,2 0,578704 1,157407 1,736111 2,314815 2,893519 3,472222 4,050926
1,3 0,455166 0,910332 1,365498 1,820665 2,275831 2,730997 3,186163
1,4 0,364431 0,728863 1,093294 1,457726 1,822157 2,186589 2,55102
1,5 0,296296 0,592593 0,888889 1,185185 1,481481 1,777778 2,074074
1,6 0,244141 0,488281 0,732422 0,976563 1,220703 1,464844 1,708984
1,7 0,203542 0,407083 0,610625 0,814166 1,017708 1,22125 1,424791
1,8 0,171468 0,342936 0,514403 0,685871 0,857339 1,028807 1,200274
1,9 0,145794 0,291588 0,437382 0,583175 0,728969 0,874763 1,020557
2 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875
2,1 0,10798 0,215959 0,323939 0,431919 0,539898 0,647878 0,755858
2,2 0,093914 0,187829 0,281743 0,375657 0,469572 0,563486 0,6574
2,3 0,08219 0,164379 0,246569 0,328758 0,410948 0,493137 0,575327
2,4 0,072338 0,144676 0,217014 0,289352 0,36169 0,434028 0,506366
2,5 0,064 0,128 0,192 0,256 0,32 0,384 0,448
2,6 0,056896 0,113792 0,170687 0,227583 0,284479 0,341375 0,39827
2,7 0,050805 0,101611 0,152416 0,203221 0,254026 0,304832 0,355637
2,8 0,045554 0,091108 0,136662 0,182216 0,22777 0,273324 0,318878
2,9 0,041002 0,082004 0,123006 0,164008 0,20501 0,246013 0,287015
3 0,037037 0,074074 0,111111 0,148148 0,185185 0,222222 0,259259
Fonte Própria.
Figura 1: Gráfico de algumas linhas de corrente.
Fonte Própria.