Graphequation e Arte: Uma proposta para se exercitar os conteúdos de ponto, reta e circunferência

1
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Curso de Licenciatura em Matemática
Igarapé-Açu – Campus X
Antonio Felipe da Silva Costa
Rhômulo Oliveira Menezes
Igarapé-Açu – PA
2010
Graphequation e Arte: Uma proposta para se
exercitar os conteúdos de ponto, reta e
circunferência

2
Graphequation e Arte: Uma proposta para se exercitar os
conteúdos de ponto, reta e circunferência
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do grau
de Licenciatura em Matemática, Universidade
do Estado do Pará.
Orientadora: Profª. Esp. Maria Aparecida
Pimentel Coutinho.
Igarapé-Açu – PA
2010

3
Graphequation e Arte: Uma proposta para se exercitar os
conteúdos de ponto, reta e circunferência
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção de grau
de Licenciatura em Matemática, Universidade
do Estado do Pará.
Data de aprovação: 28/12/2010
Banca Examinadora
__________________________________________ - Orientador
Profª. Esp. Maria Aparecida Pimentel Coutinho
__________________________________________ - Membro Interno
Profº. Esp. Edson Pinheiro Wanzeler
__________________________________________ - Membro Interno
Profª. MSr. Ivanete Maria Barroso Moreira

4
Dedico este a trabalho a DEUS meu único e
verdadeiro pai.
A todos os verdadeiros mestres, que passaram por
minha vida e que contribuíram significativamente,
para o que sou hoje.
Aos meus pais, tios, avós, primos e amigos,
exemplos irretocáveis de luta e perseverança.
A mim mesmo, por todas as batalhas travadas, em
dias de inesquecíveis dificuldades, geralmente
seguidas de noites intermináveis.
Antonio Felipe da S. Costa

5
À minha mãe, por tudo;
Ao meu pai, pela inspiração de seguir em frente me
ajudando a não desistir;
Aos meus familiares, que mesmo de longe torcem
por mim;
Aos verdadeiros amigos da escola, do cursinho e da
universidade, por tornarem meu mundo melhor;
Aos meus melhores amigos Angelo e Inayan, pelos
conselhos, pelo apoio e pelo respeito que ambos
nutrem por mim;
Aos meus companheiros de república Lene, Regina,
Gilberto, Felipe, Meriane e Hoan, que me auxiliaram
e me divertiram nesses quatro anos;
A memória de Janete Barros, por ter sido uma
pessoa muito especial em minha vida.
Rhômulo O. Menezes

6
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus em primeiro lugar por ter me dado forças durante todos
esses anos de faculdade na busca de conquistar minha graduação.
Agradeço aos meus pais, Antonio e Maria Rosemeri por absolutamente tudo.
Cada um de seus atos foi uma oportunidade que eu tive para crescer e me tornar o
que sou. À minha irmã, Meriane pelo apoio e amor incondicional e que felizmente
posso dizer ser recíproco.
Agradeço aos meus familiares, avós e tios maternos e paternos,
principalmente ao meu tio e paraninfo Aldenor, que em todos esses anos veio me
transportando de Maracanã a Igarapé-Açu. E agradeço também a meus primos, que
possam seguir o mesmo caminho que segui.
Agradeço aos meus professores do ensino fundamental e médio, a meus
amigos Airton, Simone, Dalva, Jardênia, e outros pelos grandes momentos de
alegria e também os de tristeza que compartilhamos me apoiando e me dando força
nesta batalha.
Agradeço aos meus queridos Professores que durante esse tempo de
universidade me prestaram conhecimentos para seguir com dignidade e
compreensão na vida profissional.
Agradeço a minha orientadora Professora Maria Aparecida Coutinho, que nos
ajudou e nos guiou na construção deste trabalho colocando-se a disposição de
qualquer coisa.
Agradeço a minha amiga Josy, que durante os quatros anos de universidade
me ajudou nos momentos mais difíceis desta batalha.
Agradeço em especial aos meus tios Zeca e Nancy, que me acolheram com
muito carinho em sua residência durante o primeiro semestre de universidade.
Agradeço as minhas novas amizades concebidas na faculdade, Hoan, Lene,
Regina, Ina, Leidy, Aline, Sandra, Regiane, Hellen, Dayane e outros. Que elas durem
tanto quanto foram intensas.
Agradeço ao Rhômulo pela dedicação e compreensão de estarmos fazendo
este trabalho juntos. Que a nossa amizade também dure o tempo que for preciso.
E agradeço também aquelas pessoas que diretamente ou indiretamente me
prestigiaram na conquista desse sonho.
Antonio Felipe da S. Costa

7
AGRADECIMENTOS
A Deus, minha eterna gratidão.
Agradeço o auxilio fundamental, o tempo dedicado e as palavras de
apoio, cobrança e incentivo de minha orientadora, Profª Aparecida Coutinho, que
acreditou que a proposta desse trabalho era viável.
Agradeço ao meu parceiro incondicional no processo de construção desse
trabalho, Antonio Felipe.
Aos professores da Graduação que complementaram minha preparação
com seus exemplos, seus princípios, suas crenças e suas atitudes as quais
mostravam-nos quão valorosos eram seus ensinamentos.
Aos colegas da Graduação pela prazerosa convivência ao longo desses
quatro anos.
Agradeço especialmente aos colegas Dani, Aline, Rany, Dayanne e
Eduardo pelos momentos inesquecíveis, as piadas, os estudos, os lanches, a
amizade.
Aos professores de Matemática que colaboraram na pesquisa,
respondendo os questionários, e aos alunos que participaram da oficina.
Rhômulo O. Menezes

8
Tal como os computadores trazem novas
oportunidades à Matemática, também é a
Matemática que os torna incrivelmente eficazes... As
aplicações, o computador e a Matemática constituem
um poderoso sistema fortemente unido produzindo
resultados que anteriormente seriam impossíveis e
originando idéias até aqui nunca imaginadas.
Ponte e Canavarro

9
RESUMO
COSTA, Antonio Felipe da Silva; MENEZES, Rhômulo Oliveira. Graphequation e
Arte: Uma proposta para se exercitar os conteúdos de ponto, reta e circunferência.
Trabalho de Conclusão de curso de Licenciatura em Matemática - Universidade do
Estado do Pará, Igarapé-Açu, 2010.
O presente trabalho mostra o resultado da pesquisa realizada com professores do
ensino médio da cidade de Igarapé-Açu. Tivemos o intuito de investigar como está
ocorrendo o ensino de ponto, reta e circunferência, quais dificuldades os professores
encontram e principalmente que recursos didáticos utilizam para ensinar esses
conteúdos. Além dessa investigação sobre o ensino dos conteúdos iniciais de
geometria analítica, propomos também uma atividade na qual utilizamos o software
graphequation para recriar obras de arte, essa atividade foi aplicada numa oficina
realizada com acadêmicos da Universidade do Estado do Pará - UEPA. Os
instrumentos utilizados na pesquisa foram entrevistas semi dirigidas e questionários
que contribuíram para coletar dados suficientes para sanar os questionamentos
acima citados. Os professores através de suas respostas mostram que existem
dificuldades no ensino desses conteúdos. O desempenho dos alunos durante a
oficina apontam que nosso procedimento é eficiente na abordagem dos conteúdos
de ponto, reta e circunferência.
Palavras-chaves: ensino, graphequation, arte.

10
ABSTRACT
COSTA, Antonio Felipe da Silva; MENEZES, Rhômulo Oliveira. Graphequation and
Art: A proposal to exercise the contents of point, straight and circumference. Work of
conclusion to graduate in Mathematics – University of Pará State, Igarapé-Açu, 2010.
This work describes the result of a research did with teachers of a secondary school
in Igarapé-Açu town. Then we have intended to investigate how the students are
studying the contents of point, straight and circumference, what are the difficulties the
teachers face to teach them and what are the school materials used for the teachers.
Besides this investigation about the teaching of the beginning contents of analytic
geometry, we have suggested to the teachers to use in their classes the software
graphequation to recover work of art and this activity has been applied in workshops
to art academics of the State of Pará University – UEPA. The instruments used in that
research were: informal interview and questionnaires which helped us to collect
some important information used to clear up some doubts about those contents. So
the teachers, with their answers, say that find some difficulties to teachers those
contents. The performce of the students during the workshops shows that our
suggestion was efficient to the teachers and the students how to study contents of
point, straight and circumference.
Key-words: teachers, graphequation, art.

11
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Quadro 01 Respostas dos professores 49
Gráfico 01 Respostas dos professore 51
Gráfico 02 Respostas dos Questionários dos alunos aferidos na oficina 74

12
LISTA DE FIGURAS
Figura 01 Marca do Programa Graphequation 31
Figura 02 Janela de Aviso para fazer o Registro 31
Figura 03 Interface do Programa Graphequation 32
Figura 04 Barra de Ferramentas 32
Figura 05 Funções da tecla File 32
Figura 06 Funções da tecla Graph 33
Figura 07 Janela de Relações 33
Figura 08 Easy Buttons (teclas fáceis) 34
Figura 09 Gráfico da distância quando a mesma é paralela ao eixo das
Abscissas 36
Figura 10 Gráfico das Retas 38
Figura 11 Gráfico da Cincunferência 40
Figura 12 Exemplo proposto com o auxilio do graphequation 48
Figura 13 - Exemplo da marcação do plano cartesiano sobre a obra 54
Figura 14 - Exemplo da marcação dos pontos principais 55
Figura 15 - Inequações que determinam as regiões desejadas 55
Figura 16 - Obra Composição em Vermelho, Amarelo e Azul 56
Figura 17 - Avond Evening; Red Tree (1908) 57
Figura 18 - Molen Mill; Mill in Sunlight (1908) 57
Figura 19 - Still Life with Ginger Pot I (1911) 58
Figura 20 - Still Life with Ginger Pot II (1912) 58
Figura 21 - Gray Tree (1912) 59
Figura 22 - Ocean 5 (1915) 59
Figura 23 - Composition A: Composition with Black, Red, Gray, Yellow,
and Blue (1920) 60
Figura 24 - Exemplo da construção de um retângulo no graphequation 62
Figura 25 - Retângulos da obra construídos no graphequation 63
Figura 26 - Retas representadas com os procedimentos da construção
dos retângulos 64
Figura 27 - Recriação da Obra Composição em Vermelho, Amarelo e Azul 64
Figura 28 - Obra Abstrato 65
Figura 29 - Exemplos de equações de retas representadas no programa 66
Figura 30 - Retas suportes aos retângulos da obra 67
Figura 31 - Retas suportes com delimitações em relação ao eixo y 68
Figura 32 - Retângulos oblíquos da obra 68
Figura 33 - Retângulos determinados por regiões no plano 69
Figura 34 - Recriação da obra Abstrato 69
Figura 35 - Obra Otras Dimensiones 70
Figura 36 - Exemplo da equação da circunferência representada no
Graphequation 71
Figura 37 - Exemplo da circunferência com efeito de preenchimento 71
Figura 38 - Circunferência da obra 72

13
Figura 39 - Circunferência preenchida da obra 72
Figura 40 - Retas secundárias da obra 73
Figura 41 - Recriação da obra Otras Dimensiones 73
Figura 42 - Comentário de um participante da oficina 76

14
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 17
Capitulo I 19
1.1 - As Novas Tecnologias no Contexto Educacional 19
1.2 - O Computador na Educação 20
1.3 - O Computador nas Escolas Brasileiras 21
1.4 - Professores e o Computador 22
1.5 - O Uso do Computador Como Ferramenta Pedagógica 23
1.6 Softwares Educacionais na Matemática 24
1.7 - Software que promovem o ensino e os que auxiliam a construir o
Conhecimento 25
Capítulo II 27
2.1 - Contexto Histórico de Ponto, Reta e Circunferência 27
2.1.1 - Apolônio 27
2.1.2 - Nicole Oresme 28
2.1.3 - René Descartes e Pierre de Fermat 29
2.2 - Conhecendo o Programa Graphequation 31
2.2.1 - Interface do programa Graphequation 32
2.3 - Utilizando o Programa Grapheequation nos exercícios de Ponto,
Reta e Circunferência 34
2.3.1 - Parte do assunto de distancia entre pontos, quando a mesma
é paralela ao eixo da abscissa ou ao eixo da ordenada 34
2.3.1.1 - Exercício de ponto proposto com o graphequation 35
2.3.1.2 - Comentando o exercício de ponto 35
2.3.2 - Parte do assunto de Reta, teorema da equação geral da reta 36
2.3.2.1 - Exercício de reta proposto com o graphequation 37
2.3.2.2 - Comentando o exercício de reta 38
2.3.3 - Parte do assunto de Circunferência, equação reduzida 38
2.3.3.1 - Exercício de circunferência proposto com o graphequation 39

15
2.3.3.2 - Comentando o Exercício de circunferência 40
Capítulo III 41
3.1 - Definição do Problema 41
3.2 - Metodologia 42
3.2.1 - Procedimentos Metodológicos e Instrumentos da Pesquisa 42
3.3 - Análise das entrevistas e dos questionários respondidos pelos
professores 43
Capítulo IV 52
4.1 - Atividade Proposta 52
4.2- Oficina “Geometria Analítica: ponto, reta e circunferência” 52
4.3 - Etapas da Atividade Proposta 53
4.3.1 - Escolha da Obra de Arte 53
4.3.2 - Marcação do Plano Cartesiano 54
4.3.3 - Marcação dos pontos principais de cada figura geométrica 54
4.3.4 - Análise das equações e determinação das inequações
correspondentes as regiões a serem preenchidas 55
4.4 - As Três Obras de Arte Exemplificadas na oficina 56
4.4.1 - Composição em Vermelho, Amarelo e Azul do pintor Piet Mondrian 56
4.4.1.1 - Conhecendo o Estilo Artístico do Pintor Piet Mondrian 56
4.4.1.2 - Matemática usada na construção da Obra Composição em
Vermelho, Amarelo e Azul 62
4.4.1.3 - Retângulos 62
4.4.2 - Abstrato do pintor Kazuo Wakabayashi 65
4.4.2.1 - Conhecendo o Estilo Artístico do Pintor Kazuo Wakabayashi 65
4.4.2.2 - Matemática usada na construção da Obra Abstrato 65
4.4.2.3 - Retângulos Oblíquos 66
4.4.2.4 - Retângulos Paralelos 68
4.4.3 - Otras Dimensiones da pintora Almudena Pintado 70
4.4.3.1 - Estilo Artístico da Pintora Almudena Pintado 70
4.4.3.2 - Matemática usada na construção da Obra Otras Dimensiones 70
4.4.3.3 - Circunferência 70
4.4.3.4 - Retas Secundárias 72

16
4.5 - Análise dos Questionários dos alunos Obtidos na Oficina 73
CONCLUSÃO 80
REFERÊNCIAS 82
APÊNDICES 85

17
INTRODUÇÃO
Geometria Analítica, só de ouvir essas duas palavras os alunos já
tremem, não sei se de medo ou de raiva. A geometria, assim como o restante dos
assuntos de matemática, não é a “menina dos olhos” dos alunos, a maioria já
discrimina sem mesmo conhecer, e essa discriminação ou marginalização da
geometria analítica é fortalecida quando o aluno se depara com aulas estáticas e
monótonas que não chamam sua atenção, que não despertam sua curiosidade.
O uso do computador pode ser uma saída para melhorar as metodologias
do professor. Ponte e Canavarro (1997) falam que interessa usar o computador para
facilitar a criação de novas dinâmicas de aprendizagem.
Partindo desse principio a nossa proposta é investigar como está
ocorrendo o ensino de ponto, reta e circunferência. E com essa investigação
esperamos responder as seguintes perguntas:
Como está ocorrendo o ensino de ponto, reta e circunferência?
Quais dificuldades os professores encontram para ensinar esses
conteúdos?
Que materiais didáticos os professores utilizam para ministrar suas aulas
de ponto, reta e circunferência?
Além dessa averiguação iremos propor uma atividade na qual o aluno tem
a missão de recriar obras de arte com o auxilio do programa graphequation, essa
atividade ajudará o aluno a exercitar os conteúdos acima citados.
A hipótese que norteia esse trabalho é a de que os professores não
utilizam na sala de aula as novas tecnologias para ajudar a enriquecer suas praticas
pedagógicas.
Hoje é praticamente impossível não reconhecer a importância dessas
ferramentas no processo de ensino-aprendizagem, por isso propomos o uso do
software graphequation para exercitar a parte introdutória de geometria analítica
(ponto, reta e circunferência). O uso do software pode ajudar o aluno a manipular as
figuras geométricas fazendo relações com os conceitos e fórmulas.
Ponte e Canavarro (1997) nos dizem que utilizando os softwares os
alunos podem construir as figuras que desejarem, com a possibilidade de observar
as características que se alteram e as que se mantém, dando aos mesmos a

18
oportunidade de descobrir por si próprios muitas das propriedades geométricas que
nos últimos anos lhes tem sido ensinadas por métodos expositivos.
Acreditamos que utilizando o software como auxílio didático nas aulas de
ponto, reta e circunferência o professor pode melhorar sua metodologia e assim
acrescentar mais qualidade as suas aulas.
Apresentamos, no Capitulo I, uma abordagem sobre as novas tecnologias
no contexto educacional. Como o computador chegou as escolas, a relação do
mesmo com o professor e também comentamos sobre o uso do computador como
ferramenta pedagógica. Além disso, falamos sobre o uso desse recurso na
matemática através de softwares que dinamizam seu ensino.
O Capitulo II, começa fazendo uma abordagem histórica a respeito dos
matemáticos que contribuíram para a construção desse método chamado geometria
analítica. Posteriormente mostramos como se manipula o programa graphequation e
demonstramos sua aplicação em exercícios simples dos conteúdos acima citados.
No Capitulo III delimitamos o nosso problema norteador e em seguida
apresentamos a metodologia deste trabalho e os sujeitos aferidos na pesquisa,
descrevendo o processo empregado na investigação com destaque aos
instrumentos utilizados na mesma.
Continuando no Capitulo IV, fazemos a proposta da utilização das
formulas de geometria analítica para recriar através do graphequation obras de arte.
Comentamos também a experiência que tivemos aplicando essa atividade numa
oficina e finalizamos nosso trabalho com a opinião dos participantes da oficina a
respeito da atividade proposta.

19
Capítulo I
1.1 - As Novas Tecnologias no Contexto Educacional
De acordo com Marques (2006), as novas tecnologias consistem no
surgimento de articulações de linguagens introduzidas em novos suportes, que são
as máquinas com a qual os homens se comunicam, equipando-as com a capacidade
de processarem e trocarem informações.
Marques, no comentário acima, define tecnologia como sendo a aplicação
da linguagem para melhorar a vida do homem em sociedade. A partir dessa idéia
procuramos saber qual o meio pelo qual o professor ensina seus alunos. Depois de
tudo que foi citado podemos concluir que é através da linguagem. Mas como fazer
com que o aluno se interesse e se torne um elemento ativo em seu processo de
assimilação de conhecimentos? A utilização da tecnologia pode ser uma solução
pertinente a essa questão.
Com a explosão da terceira revolução industrial as novas tecnologias se
tornaram mais comuns no nosso cotidiano, afetando com isso todas as áreas de
atuação do ser humano. Essas novidades alcançaram um espaço significativo
também na área escolar, onde conquistaram aliados e inimigos, dividindo opiniões
entre docentes, causando uma verdadeira avalanche no mundo acadêmico.
Podemos observar essas mudanças comparando os recursos didáticos
utilizados para ensinar nossos pais com os recursos que utilizamos para aprender
atualmente. Antes os materiais utilizados na educação se resumiam basicamente
em um quadro negro e o giz, e com esses recursos os professores ensinavam seus
alunos. Hoje podemos notar uma grande diferença nas salas de aula. As novas
tecnologias envolveram o ambiente escolar se impregnando nas escolas, seja com o
uso dos computadores ou com a utilização de recursos áudio - visuais.
Estas tecnologias invadiram completamente o nosso quotidiano. Elas têm
igualmente trazido uma autêntica revolução em numerosas profissões e
actividades. Trata-se de um impacto social bastante visível e, em muitos
casos, particularmente violento. O desenho mecânico e os projectos de
arquitectura já não se fazem numa prancheta mais num computador com
software apropriado. O jornalista e a secretária já não dependem da
máquina de escrever, recorrendo em seu lugar ao processamento de texto.
O contabilista já não escreve os movimentos de receita e despesa nos livros
do Deve e do Haver, usando, em vez disso um programa que faz

20
automaticamente todas as operações necessárias. (PONTE e
CANAVARRO, 1997, p. 19)
1.2 - O Computador na Educação
O computador é uma das novas tecnologias que se faz mais presente no
nosso cotidiano e com todas as facilidades que o mesmo nos proporciona se tornou
mais proveitoso ser um aluno do século XXI. Porém como o computador chegou às
escolas?
HAYDT (1985) diz que com o surgimento dos microcomputadores na
década de 60 e com a criação dos microprocessadores na década de 70 os
computadores se tornaram menores, melhores e mais acessíveis financeiramente.
Outro fator que contribuiu para a utilização do computador nas escolas foi o
surgimento de linguagens de programação mais simples.
As primeiras tentativas em introduzir os computadores nas escolas se
resumiam nos aspectos administrativos. Posteriormente alguns pesquisadores
começaram a utilizar em suas práticas pedagógicas, podemos destacar Dwyer, Bork
e Papert. O primeiro tentou utilizar o computador em vários segmentos curriculares
do ensino médio, o segundo introduziu essa ferramenta nos estudos relacionados ao
ensino da física. Mas foi Papert que conseguiu grande destaque com a criação da
Linguagem de Programação Logo.
FERRUZZI (2009) diz que a natureza da aprendizagem desenvolvida por
Piaget e as Teorias Computacionais, principalmente a Inteligência Artificial serviram
de referência para Papert criar a linguagem Logo, a visão de Papert do homem e do
mundo situa-se numa perspectiva interacionista, sendo o conhecimento produto
dessa interação.
 Logo
Ponte e Canavarro (1997) falam que o Logo é uma linguagem de
programação que tem sido muito utilizada na aprendizagem da Matemática. Trata-se

21
de uma linguagem muito especial, pois foi concebida para ser utilizada como
ambiente de aprendizagem de crianças de todas as idades e capacidades. A sua
característica fundamental é a capacidade de controlar uma pequena tartaruga
cibernética. Em resposta às instruções recebidas, a tartaruga movimenta-se,
deixando (ou não) registrado o rastro por onde passa: anda para frente ou para trás,
vira à esquerda ou à direita, desenha polígonos e estrelas, ou figuras completamente
inesperadas.
1.3 - O Computador nas Escolas Brasileiras
O governo brasileiro também esta inserindo a informática em seu
processo educacional com o intuito de minimizar alguns dos problemas do nosso
sistema de ensino, problemas esses que são velhos conhecidos da educação
brasileira, são eles: os baixos índices de desempenho dos alunos no processo de
ensino – aprendizagem e os altos índices de evasão e repetência. O computador
passa então a ser um meio auxiliador, uma proposta para diminuir tais carências.
A introdução dos computadores no ensino de 1º e 2º graus não é
consequência de um modismo. A resolução do governo de aplicar a
informática no processo educacional brasileiro resulta da necessidade de
minimizar alguns dos problemas do nosso sistema de ensino. Apenas como
exemplo, de cada 100 alunos que ingressam na 1ª série do 1º grau, apenas
a metade passa para a 2ª série e menos de 30 atingem a 5ª série.
(CHAVES, 2004, p. ?)
Segundo HAYDT (1985), no que se refere à experiência brasileira, é
preciso citar dois projetos que têm por objetivo estudar e incentivar a informatização
do ensino. Um deles é o projeto Educom e o outro é o projeto Ciranda da Embratel.
O primeiro de iniciativa do Ministério de Educação e Cultura tinha como
objetivo criar centros de pesquisas sobre uso da Informática na educação em
algumas universidades do país. Já o segundo visava investigar as possíveis
aplicações do computador como instrumento auxiliar no ensino de disciplinas
curriculares em escolas do primeiro e segundo grau.

22
1.4 - Professores e o Computador
Com as novas tecnologias nas escolas torna-se compromisso do
professor tentar inserir o computador em suas aulas de maneira que acrescente na
aprendizagem do aluno. Pena que nem todos pensem dessa forma, alguns acham
um despropósito investir em computadores enquanto existem outras necessidades
consideradas prioridade para serem solucionadas. Por exemplo: melhor estrutura
das salas de aula, mais recursos para a merenda escolar, melhor remuneração dos
professores. Segundo CHAVES (2004), tentar impedir a introdução dos
computadores na educação com a desculpa de que existem outras coisas mais
prioritárias, e que por isso deveriam ser atendidas antes, é assumir a atitude de
passividade daqueles que, não podendo fazer tudo que querem, resolvem não fazer
nada.
Outros professores acreditam que podem ser substituídos pelo
computador, pois o mesmo é capaz de absorver uma gama de conhecimentos
infinitos, nunca vai ter uma dor de cabeça, não vai misturar problemas pessoais com
profissionais, ou seja, o professor perfeito.
Mas esse pensamento já foi desmistificado por Papert na sua experiência
com a Linguagem de Programação Logo. A princípio o papel do professor foi
substituído por técnicos de informática, o que trouxe resultados negativos que não
combinavam com o que pregava a linguagem, por isso que no decorrer de sua
inserção nas escolas o professor assumiu um papel importante no processo de
ensino utilizando o Logo.
Os professores não devem pensar que serão substituídos por máquinas,
pois isso não irá acontecer.
O professor desempenha um papel fundamental no processo de ensino-
aprendizagem, não só pelo apoio afectivo e emocional que dá ao aluno,
mas também pela constante negociação e renegociação de significados que
vai realizando com ele. (PONTE e CANAVARRO, 1997, p. ?)
Nesse contexto encontramos opiniões que vão desde as mais otimistas
até as mais pessimistas sobre a utilização dessa ferramenta nas salas de aula. Os
professores não devem temer ser substituídos por computadores, devem temer sim
ser trocados por outros educadores que entendam do assunto e que possam

23
manipular a informática a seu favor. Não há como evitar o computador na escola e
por isso o professor precisa se inteirar melhor da situação para saber como agir e
reagir de forma positiva diante dessa realidade.
1.5 - O Uso do Computador Como Ferramenta Pedagógica
O computador gradativamente vem sendo inserido nas escolas
brasileiras, no entanto ainda ocorrem equívocos nessa inserção quando se trata de
como abordar essa ferramenta de forma pedagógica.
As escolas quando montam seus laboratórios de informática elas
normalmente contratam técnicos para ensinar os alunos a manusear o computador.
O professor participa das tarefas com computador, mas é o técnico o responsável
pela mediação entre a máquina e o aluno. Não podemos reduzir o uso do
computador apenas a aulas especificas de informática, o mesmo deve ser utilizado
de forma integrada com outras disciplinas do currículo escolar.
Existem instituições que procuram inserir o computador no processo
pedagógico como ferramenta de aprendizagem, mas como não é rápido
nem fácil preparar os professores para essa utilização, muitas vezes é
contratado um pessoa (física ou jurídica) que se propõe a iniciar
imediatamente o trabalho junto aos alunos e preparar os professores
paulatinamente. Nesse caso, os professores acompanham seus alunos nas
atividades informáticas, mas o responsável pela mediação dos alunos com
o computador é um „instrutor‟, considerando detentor do saber sobre a
máquina. (ALMEIDA, 1996, p. ?)
Outra questão que elucida esses equívocos ocorre quando se atribui ao
computador o papel de instrutor do aluno. O professor escolhe um programa que se
adéque ao conteúdo a ser ministrado e posteriormente propõe uma série de
atividades para exercitar esses assuntos usando o computador. Segundo ALMEIDA
(1996) o software instrucionista não deixa explícito o pensamento do aluno que o
utiliza, mas sim o pensamento do especialista que o elaborou.
Quando se propõem a utilização do computador com a educação não
significa unir informática e educação, deve-se procurar integrá-las entre si e integrá-
las principalmente com o fazer pedagógico do professor.

24
1.6 Softwares Educacionais na Matemática
Na Matemática existem muitos programas que abrangem quase todas as
suas áreas, desde função, trigonometria, progressões até geometria, enfim são
várias opções, sendo a geometria uma das áreas que está mais aberta no sentido de
ser uma parte dessa ciência que necessita de dinamismo para poder ser
compreendida. Nesse sentido o uso do software pode ajudar o aluno a manipular as
figuras geométricas e relacioná-las com seus conceitos e fórmulas.
Machado (2005) reforça dizendo que esses programas permitem a
precisão na construção de figuras geométricas: a realização de simulações,
transformações matemáticas, prova de teoremas, além do que estão inseridos na
filosofia construcionista e possibilitam o trabalho com resolução de problemas e
modelagem.
Podemos citar como exemplo os softwares: Cabri Geométre e o CAR –
Régua e Compasso.
 Cabri - Géomètre:
O Cabri – Géomètre permite criar situações de aprendizagem onde os
alunos podem experimentar, explorar, construir. A idéia de que é especialmente
indicado para a experimentação e exploração por parte dos alunos está, aliás,
expressa no próprio nome do programa, que se apresenta como Cabri-Géomètre:
Um CAhier de BRouillon Interatif pour um nouvel apprentissage de La géomètrie
(Cabri – Geomètre, um caderno de rascunho interativo para uma nova aprendizagem
de geometria).
Lourenço (2002) fala que o software Cabri Geométre, como vários outros,
permite a realização de construções geométricas capazes de induzir uma
demonstração formal para proposições matemáticas, principalmente aquelas de
nível elementar. Além de servir, de maneira clara, para a exploração de resultados e
para o incentivo de investigações. Os softwares educacionais podem sugerir
caminhos para a realização de demonstrações desconhecidas, propondo artifícios

25
que, muitas vezes, em demonstrações formais são necessários e de difícil
compreensão.
 CAR – Régua e Compasso:
Diferentemente do que ocorre com a régua e o compasso tradicional, as
construções feitas com o “Régua e Compasso” são dinâmicas e interativas, o que
faz do programa um excelente laboratório de aprendizagem da geometria. O aluno
(ou o professor) pode testar suas conjecturas através de exemplos e contra-
exemplos que ele pode facilmente gerar. Uma vez feita a construção, pontos, retas e
círculos podem ser deslocados na tela mantendo-se as relações geométricas
(pertinência, paralelismo, etc.) previamente estabelecidas, permitindo assim que o
aluno (ou o professor), ao invés de gastar o seu tempo com detalhes de construção
repetitivos, se concentre na associação existente entre os objetos.
Silva (2009) fala que a utilização do software de geometria dinâmica
(CAR) baseado numa pedagogia construtivista, onde o professor é o mediador que
orienta os alunos no processo de construção do conhecimento, é um recurso
integrador de práticas geométricas e de práticas algébricas na Educação Básica,
que poderá contribuir para auxiliar e facilitar a compreensão dos conteúdos
ministrados.
1.7 - Software que promovem o ensino e os que auxiliam a construir o
conhecimento
Valente, em seu texto “O Uso Inteligente do Computador”, faz uma
separação entre “os softwares que promovem o ensino” e “os softwares que auxiliam
a construir o conhecimento”.
O modelo de ensino do primeiro baseia-se no professor e em sua
preparação para transmitir conhecimento para o aluno; o aluno esta incumbido de
memorizar esse conhecimento, os softwares utilizados nessa ação pedagógica
normalmente são os tutoriais e os jogos que auxiliam na fixação de assuntos, sendo

26
este modelo criticado pelo autor, pois não ajuda a preparar profissionais para o
mundo complexo de hoje.
Já no segundo, o aluno ao invés de ser ensinado pelo computador,
assume o papel de ensinar a máquina, o professor apenas media o conhecimento,
os softwares utilizados são as linguagens de programação (Logo, BASIC, Pascal),
os softwares denominados de aplicativos ou os softwares utilizados na construção
de mídia, esse modelo faz com que o aluno crie suas próprias soluções, fazendo-o
pensar e aprender sobre como buscar e usar novas informações (aprendendo a
aprender).
Valente nos faz refletir em relação à utilização adequada dessas
tecnologias, uma vez que os programas de computador por si só não são
responsáveis por uma educação melhor, não adianta o professor ter conhecimento
dessas modernidades e não usá-las para melhorar suas metodologias, no final a
aula se tornará cansativa do mesmo jeito, a única diferença e que ao invés de ser
com recursos didáticos antigos esse cansaço será causado com o auxilio das novas
tecnologias. O professor deve tentar procurar inserir esses programas em suas aulas
com o intuito de promover a autonomia do aluno, fazê-lo ativo em seu processo de
aprendizagem.

27
Capítulo II
2.1 - Contexto Histórico de Ponto, Reta e Circunferência
Antes de se falar da origem de ponto, reta e circunferência, tópicos
introdutórios de geometria analítica, é importante esclarecer que não compete à
mesma o papel de ser uma ramificação da geometria, sua função é ser utilizada
apenas como um método para ajudar na resolução de problemas geométricos. Eves
(2004) distingue a geometria projetiva da geometria analítica, afirmando a primeira
como sendo um ramo da geometria e a segunda como sendo um método da
geometria em seguida reforça a afirmação anterior e engrandece a geometria
analítica atribuindo a mesma o adjetivo de “poderoso método de enfrentar problemas
geométricos”.
Não se sabe ao certo quem e em que época se inventou esse método, o
qual permite a visualização algébrica de figuras geométricas. Há relatos que os
egípcios e os romanos através de suas medições de agrimensura e os gregos com a
confecção de mapas de coordenadas deram os primeiros passos para seu
surgimento. Sendo a priori utilizado em atividades práticas, ou seja, aplicações feitas
no cotidiano de ambos. Nesse contexto se destaca um grande matemático chamado
Apolônio.
2.1.1 - Apolônio
Apolônio nasceu em Perga, no sul da Ásia Menor, por volta de 265 a. C..
Não se tem muitos registros sobre sua vida, sabe-se apenas que ele quando jovem
foi para Alexandria estudar com os sucessores de Euclides, permanecendo na
cidade por um longo tempo. Visitou Pérgamo, no oeste da Ásia Menor, onde havia
recentemente sido construída uma universidade e uma biblioteca nos moldes da de
Alexandria. Retornando posteriormente para Alexandria onde morreu por volta de
190 a. C.

28
Os métodos de Apolônio, em As Cônicas, em muito se assemelha aos
modernos chegando seu tratado a ser considerado como uma geometria analítica,
antecipando a de Descartes por 1.800 anos. Boyer (1996) diz que:
[...] As distâncias medidas ao longo do diâmetro a partir do ponto de
tangência são as abscissas, e os segmentos paralelos à tangente e
cortados entre o eixo e a curva são as ordenadas. As relações de Apolônio
entre essas abscissas e ordenadas correspondentes são nem mais nem
menos que as formas retóricas das equações das curvas. No entanto, a
álgebra geométrica grega não engloba grandezas negativas; além disso, o
sistema de coordenadas era sempre superposto a posteriori sobre uma
curva dada a fim de estudar suas propriedades. (p. 106-107)
Os egípcios, os romanos e os gregos, haviam se destacado utilizando
pontos, seja para a delimitação de terras, seja para a confecção de mapas, nesse
momento então pode ser que surgia mesmo que intuitivamente o conceito de ponto.
Já o século XIV foi desastroso para a humanidade e consequentemente
para a ciência. A Peste Negra eliminou mais de um terço da população européia,
além disso, foi o século que abrigou a maior parte da Guerra dos Cem Anos.
Destaca-se nesse período o Matemático Nicole Oresme.
2.1.2 - Nicole Oresme
Nascido na Normandia, por volta de 1323. Ocupou cargos desde o
magistério até o bispado, falecendo em 1382.
Alguns teóricos defendem Oresme como sendo inventor da geometria
analítica, pois em seus estudos ele antecipou um aspecto da mesma ao representar
certas leis mediante gráficos.
Os termos latidude e longitude, que oresme usou, são equivalentes, num
sentido amplo, às nossas ordenada e abscissa, e sua representação gráfica
assemelha-se com nossa geometria analítica. Seu uso de coordenadas, é
claro, não era novo, pois Apolônio, e outros antes dele, tinham usado
sistemas de coordenadas, mas sua representação gráfica de uma
quantidade variável era novidade. Parece que ele percebeu o princípio
fundamental de se poder representar uma função linear. (Boyer, 1996, p.
181)

29
O trabalho de Oresme mereceu várias tiragens, e é possível que isso
tenha favorecido a influência do mesmo em matemáticos posteriores como, por
exemplo, Descartes.
2.1.3 - René Descartes e Pierre de Fermat
René Descartes nasceu perto de Tours em 1596. Aos oito anos de idade
foi enviado a uma escola jesuíta em La Flèche. Em 1612 deixou a escola e foi para
Paris onde, logo depois, em companhia de Merssene e Mydorge, passou a dedicar
parte de seu tempo ao estudo da matemática. Em 1617 inicia sua carreira militar
primeiro na Holanda com Maurício, príncipe de Nassau, depois com o duque
Maximiliano I da Baviera, e mais tarde com o exército francês no cerco de La
Rochelle.
Descartes não era verdadeiramente um soldado profissional, e seus
breves períodos de serviço em conexão com campanhas foram separados por
intervalos de viagem e estudo independente durante os quais ele encontrou alguns
dos principais sábios em várias partes da Europa. Posteriormente abandonou sua
vida militar passando quatro anos viajando pela Alemanha, Dinamarca, Holanda,
Suíça e Itália, retornando a Paris onde ficaria uns dois anos. Em 1649,
relutantemente, foi para Suécia a convite da rainha Cristina, onde em poucos meses
desenvolveu uma infecção pulmonar morrendo no início de 1650.
Já Pierre de Fermat, contemporâneo de Descartes, nasceu em Beaumont
de Lomagne, perto de Toulouse, a 17 de agosto de 1601, Fermat era filho de um
comerciante de couro recebendo sua educação inicial em casa. Com trinta anos
alcançou o posto de conselheiro do parlamento de Toulouse. Fermat enriqueceu
tantos ramos da matemática com tantas contribuições importantes que é
considerado o maior matemático francês do século XVII. Sabe-se que morreu em
Castres ou Toulouse a 12 de janeiro de 1665.
A invenção da geometria analítica é atribuída a ambos por desenvolverem
seus trabalhos de forma independente, ao mesmo tempo em que Descartes
formulava as bases da geometria analítica moderna em seu livro Discurso do
método para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências, o assunto

30
também ocupava atenção de Fermat. Esse fato se apóia em uma carta que o
mesmo escreveu em setembro de 1636 a um amigo, onde afirmava que suas idéias
sobre a geometria analítica já tinham, a essa altura, sete anos. A invenção da
Geometria Analítica refere-se mais ao nome de René Descartes, sendo que Pierre
de Fermat também contribuiu para essa criação, Fermat não é lembrado pelo fato de
ter sido modesto em seus trabalhos deixando-os de publicar, sendo através de
trocas de correspondências com os amigos sua maneira de difundir seus
conhecimentos
Fermat tinha como lazer dedicação total à matemática, além da
Geometria Analítica, teve um grande papel na criação do Cálculo Diferencial, do
Cálculo de Probabilidades e, principalmente, na Teoria dos Números.
Mesmo com estudos anteriores feitos por outros matemáticos se atribui a
Descartes e a Fermat como sendo os inventores da geometria analítica. Eves (2004)
diz que:
As apreciações precedentes sobre a geometria analítica parecem confundir
o assunto com um ou mais de seus aspectos. Mas a essência real desse
campo da matemática reside na transferência de uma investigação
geométrica para uma investigação algébrica correspondente. Antes de a
geometria analítica poder desempenhar esse papel, teve de esperar o
desenvolvimento do simbolismo e dos processos algébricos. Assim, parece
mais correto concordar com a maioria dos historiadores que consideram as
contribuições decisivas feitas no século XVII pelos matemáticos franceses
René Descartes e Pierre de Fermat como a origem essencial do assunto.(p.
383)
Conclui-se com isso que Descartes e Fermat tiveram a ajuda do tempo e
do amadurecimento da simbologia matemática para desenvolver o que estudiosos
de tempos passados já haviam começado. Aproximar álgebra e geometria, isso foi o
que esses matemáticos fizeram, substituindo os pontos de um plano por um par de
números reais, as curvas por equações, transformando representações geométricas
em representações algébricas através do plano cartesiano.

31
2.2 - Conhecendo o Programa Graphequation
O Graphequation é um programa que faz gráficos de regiões e curvas no
plano cartesiano através de equações e inequações. A versão que encontramos é a
2.07 que esta em língua inglesa, podendo ser instalado nos seguintes sistemas
operacionais: Windows 98, Windows 2000, Windows XP e Windows Vista. Este
Programa pode ser encontrado para Download na pagina http://www.peda.com/,
sendo disponibilizada a versão Demo gratuitamente para utilização particular, dando
também a opção de se fazer ou não o registro1
.
Ao abrir o programa, encontramos uma janela inicial com sua marca
(Fig.01), onde devemos clicar em cima. Posteriormente aparecerá um aviso que
pede para você fazer o registro (Fig.02), caso você não queira basta clicar em
continue e o programa abre normalmente. E se o aviso voltar a aparecer basta clicar
outra vez em continue.
Figura 01 - Marca do Programa Figura 02 - Janela de Registro
Fonte: programa graphequation Fonte: programa graphequation
1
O registro é importante, pois possibilita uma melhor manipulação das funções do programa e permite que o
usuário possa utilizá-lo por mais tempo.

32
2.2.1 - Interface do programa Graphequation
Figura 03 – Interface do Programa Graphequation
Fonte: programa graphequation
1 - Barra de Ferramentas:
Figura 04 – Barra de Ferramentas
Utilizamos com freqüência nessa barra:
File é equivalente ao arquivo e nele podemos salvar os gráficos feitos.
Figura 05 – Funções da tecla File
Fonte: proograma graphequation
1
32
Salvar Gráfico como...

33
Graph é onde podemos manipular o número de relações e visualizá-las.
Figura 06 – Funções da tecla Graph
2 - Janela de Relações: Onde escrevemos as relações, ou seja, as equações e as
inequações.
Figura 07 – Janela de Relações
3 - Easy Buttons (teclas fáceis): símbolos de varias áreas da matemática para
construir as relações. Os símbolos que mais utilizamos foram das áreas de Álgebra,
Relações e Aritmética.
Nova Relação
Relação nº 1 (forma algébrica)
Relação nº 1 (forma estrutural)

34
Figura 08 – Easy Buttons (teclas fáceis)
2.3 - Utilizando o Programa Graphequation nos exercícios de Ponto, Reta e
Circunferência
2.3.1 - Parte do assunto de distancia entre pontos, quando a mesma é paralela
ao eixo da abscissa ou ao eixo da ordenada.
Dados dois pontos A (X1 , Y1) e B (X2 , Y2), calculemos a distância d entre eles.
1º Caso: Quando a distância AB é paralela ao eixo das abscissas AB // OX
Y
d = dAB = | X1 – X2| ou d = dAB = | X2 – X1 |
Y
Y1 = Y2 A B
0 X1 X2

35
2º Caso: Quando a distância AB é paralela ao eixo das ordenadas AB // OU
2.3.1.1 - Exercício de ponto proposto com o graphequation:
Calcule a distância dos pontos A (1, 1.2) e B (5, 1.2) e represente no software
graphequation.
Resolução:
Como Y1 = Y2 , temos a distância paralela ao eixo das abscissas.
dAB = | X1 – X2| = | 1 – 5| = | – 4| = 4 ou dAB = | X2 – X1 | = | 5 – 1 | = | 4 | = 4
2.3.1.2 - Comentando o exercício de ponto:
Trabalhar ponto usando o graphequation é importante para o aluno, pois
assim ele se familiariza com gráficos e entende melhor a simbologia matemática. O
exercício acima trata de uma forma fácil de verificar a distância de dois pontos
quando se tem a mesma paralela há um dos eixos cartesianos. A resposta será
alcançada subtraindo os valores de x dentro do módulo, a resposta é quatro. Até aí
nenhuma novidade, agora como representar essa distância no graphequation?
Como nesse caso a distância é paralela ao eixo x os valores de y não se alteram,
logo y = 1.2, já os valores de x variam entre 1 e 5, temos que 1 ≤ x ≤ 5. Para
representar no programa introduzimos na janela de relações a inequação 1 ≤ x ≤ 5 e
depois apertamos a tecla TAB, fazendo isso aparecerá uma continuação da janela
de relações para colocar a segunda parte y = 1.2 (o programa não aceita números
d = dAB = | Y1 – Y2| ou d = dAB = | Y2 – Y1|
Y
Y2 B
Y1 A
0 X1 = X2

36
decimais expressos por virgula por isso usamos o ponto) ,depois para visualizar o
gráfico da distância apertamos a tecla ENTER duas vezes.
Figura 09 – Gráfico da distância quando a mesma é paralela ao eixo das abscissas
Fonte: Programa graphequation
2.3.2 - Teorema da equação geral da reta
“A toda reta r do plano cartesiano está associado ao menos uma equação
da forma ax + by + c = 0 em que a, b, c são números reais, a ≠ 0 ou b ≠ 0, e (X , Y)
representa um ponto genérico de r.”
Demonstração:
Fazendo Y1 – Y2 = a, X2 – X1 = b e X1 Y2 – X2 Y1 = c, decorre que todo
ponto P Є r deve verificar a equação ax + by + c = 0, chamada equação geral de r.
X Y 1
X1 Y1 1 = 0 → (Y1 – Y2) ∙ X + (X2 –X1) ∙ Y + (X1 Y2 – X2 Y1) = 0
X2 Y2 1

37
2.3.2.1 - Exercício de reta proposto com o graphequation
Desenhe no graphequation as retas suportes dos lados do triângulo cujos vértices
são A (0, 0), B (1, 3) e C (4, 0).
Resolução:
Reta AB
Reta BC
Reta AC
B (1, 3)
A (0, 0) C (4, 0)
X Y 1
0 0 1 = 0 → - 3X + Y = 0
1 3 1
X Y 1
1 3 1 = 0 → X + Y – 4 = 0
4 0 1
[
X Y 1
0 0 1 = 0 → Y = 0
4 0 1

38
2.3.2.2 - Comentando o exercício de reta
Conhecendo dois pontos de uma reta, pode-se traçar ela através de
determinantes, o exercício identifica os vértices do triângulo, e com isso podemos
encontrar as retas AB, BC e AC. Encontrada as retas podemos representá-las no
graphequation. Para isso colocamos a reta AB → - 3x + y = 0 na janela de relações,
depois para colocar a segunda equação BC → x + y – 4 = 0 precisamos abrir uma
segunda janela de relações, para isso temos que ir à barra de ferramentas e clicar
em Graph e em seguida clicamos em New Relation. Com isso abre-se uma nova
janela de relações onde introduzimos a equação BC. Para introduzir a reta AC basta
repetir o mesmo processo.
Figura 10 – Gráfico das Retas
2.3.3 - Parte do assunto de Circunferência, equação reduzida
Definição: Circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão
a uma mesma distância r de um ponto C fixado, chamado centro da circunferência.
Isso significa que se um ponto qualquer P (x, y) movimentar-se sobre a
circunferência será sempre igual a medida do raio.

39
Seja L a circunferência de centro C (a , b) e de raio r.
Seja um ponto P (x , y).
A distância de P a C é dada por:
DPC = √ (x – a)2
+ (y – b)2
= r
Elevando os dois membros da equação ao quadrado, obtemos:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
, que é denominado equação da circunferência de centro C(a,b)
e raio r.
Note que essa equação também pode ser escrita assim:
x2
+ y2
– 2ax – 2by + a2
+ b2
– r2
= 0
2.3.3.1 - Exercício de circunferência proposto com o graphequation
Determine e represente no graphequation a equação de centro C e raio r nos
seguinte caso: C(3, 5) e r = 7
Resolução:
(x – 3)2
+ (y – 5)2
= 72
P (x,y)
r
b C
L
a

40
2.3.3.2 - Comentando o Exercício de circunferência
Quando se tem identificado o centro e o raio da circunferência, não há
dificuldades em se determinar a equação da circunferência. E com a equação em
mãos basta inseri-la na janela de relações e obtemos o gráfico no Graphequation.
Figura 11 – Gráfico da Circunferência
Nos exercícios exemplificados acima percebemos que o programa é
capaz de representar os elementos aqui estudados (ponto, reta e circunferência).
Dando ao aluno a oportunidade de manipular as relações encontradas e
possibilitando ao mesmo refazer as equações e inequações caso estejam erradas.

41
Capítulo III
3.1 - Definição do Problema
A geometria vista no geral é uma das partes mais ricas da matemática,
pois além dos conceitos e teoremas, a mesma possibilita os alunos uma visualização
daquilo que está aprendendo, facilitando atividades práticas que são importantes no
seu processo de desenvolvimento cognitivo. Além dessas facilidades em obter
abstrações ou em promover atividades práticas com os alunos, podemos dizer que a
geometria é uma das partes da matemática que favorece a utilização de softwares,
pois os mesmos ajudam na interatividade e no dinamismo das figuras.
Infelizmente, mesmo com todas essas possibilidades que a geometria
permite a mesma não é trabalhada nas escolas como deveria. Quando o professor
dispõe de tempo para ministrá-la, esse conhecimento é ensinado de forma
superficial e sem grandes acréscimos para o processo de aprendizado do aluno.
Com isso percebemos que os professores não se sentem a vontade em ministrar
essa parte da matemática, não havendo uma segurança ou familiaridade com o
assunto.
Os resultados das pesquisas de Lorenzato especialmente vem reinterar
muitos dos dados encontrados por Perez: a insegurança dos professores e
seu despreparo para ensinar as aulas de geometria e a localização do tema
na parte final dos livros didáticos os professores sentirem-se “justificados”
caso, por “falta de tempo”, o conteúdo não venha a ser trabalhado
(BICUDO, 2005, p.200).
O conteúdo de geometria analítica é muito extenso, em função disso
resolvemos em nossa pesquisa trabalhar com as partes introdutórias da mesma,
ponto, reta e circunferência. Com base em tudo que foi citado acima surgem
questionamentos importantes para nosso trabalho:
Como está ocorrendo o ensino de ponto, reta e circunferência?
Quais dificuldades os professores encontram para ensinar esses
conteúdos?
Que materiais didáticos os professores utilizam para ministrar suas aulas
de ponto, reta e circunferência?

42
A partir desses questionamentos objetivamos investigar o ensino desses
conteúdos e as dificuldades encontradas em campo pelo professor. E além de
tentarmos achar respostas para as questões supracitadas, estamos também
propondo uma atividade para ajudar o professor a exercitar esses conteúdos com
seus alunos, não querendo com isso apontar uma fórmula pronta e acabada e sim
queremos mostrar como de maneira simples podemos enriquecer nossas práticas
pedagógicas.
3.2 - Metodologia
3.2.1 - Procedimentos Metodológicos e Instrumentos da Pesquisa
A pesquisa que utilizamos se caracterizou por ter sido abordada de forma
qualitativa e quantitativa.
Uma entrevista informal foi realizada com três professores de uma escola
de ensino médio da cidade de Igarapé-Açu. Foram formuladas cinco perguntas para
essa entrevista:
1ª pergunta - Refere-se ao aprendizado dos alunos, ou seja, verificar quais as
dificuldades que os alunos encontram para aprender ponto, reta e circunferência;
2ª e 3ª perguntas - Refere-se ao material didático utilizado pelo professor, se está
ajudando a suprir essas dificuldades. E se além dos materiais triviais do dia-a-dia da
sala de aula ele utiliza outros recursos metodológicos para ensinar os conteúdos
mencionados acima;
4ª pergunta - Refere-se as atividades que os professores aplicam em sala de aula,
se as mesmas estão ajudando o aluno a colocar em prática o que aprendeu na
teoria;
5ª pergunta - Refere-se a averiguar se os professores utilizam livros didáticos para
ensinar esses assuntos.
As perguntas foram feitas com o intuito de abstrair dados referentes as
metodologias e os recursos didáticos que os mesmos utilizam para ensinar ponto,
reta e circunferência.

43
Depois foi aplicado aos mesmos professores um questionário contendo
onze perguntas. As oito primeiras perguntas tiveram a finalidade de conhecer suas
características, dando base para se fazer um perfil profissional de cada um. As
outras três perguntas focaram novamente nas dificuldades encontradas e nos
materiais didáticos utilizados para ensinar os conteúdos de geometria analítica.
3.3 - Análise das entrevistas e dos questionários respondidos pelos
professores
Com o objetivo de investigar o ensino dos conteúdos de ponto, reta e
circunferência fizemos uma entrevista informal com cada um dos três professores,
que atuam na cidade de Igarapé-Açu para conhecer melhor suas metodologias e as
dificuldades que os mesmo encontram para ensinar os referidos assuntos. Podemos
conferir essa conversa informal no texto a seguir.
Começamos perguntando quais dificuldades os alunos encontram para
aprender esses assuntos. Os professores A e B foram enfáticos em afirmar que
esses obstáculos são causados pela falta de base, ou seja, o aluno chega ao ensino
médio praticamente cru na área de geometria, o que causa a principio um
estranhamento que prejudica seu aprendizado. O professor C levanta outra questão
interessante atribuindo essas dificuldades ao fato de o aluno não perceber a
semelhança da matéria dada em sala de aula com os episódios que ocorrem no seu
dia-a-dia.
Prosseguimos a conversa perguntando sobre o material didático que eles
utilizam, se o mesmo é capaz de suprir essas dificuldades. O professor A fala que
sim, que hoje em dia existem materiais que são comprados com recursos do
programa federal que ajudam a suprir essas dificuldades. O professor B utiliza o livro
didático e diz que somente esse recurso não é o bastante, ressaltando a
necessidade de mais recursos disponíveis nas escolas. Já o professor C diz que
sim, e utiliza materiais do cotidiano do aluno para aproximá-lo do conteúdo.
Perguntamos também se além do material didático trivial (quadro, livro e
apostilas) os professores utilizam outros recursos didáticos. Nessa pergunta os três
professores apresentaram respostas distintas. O professor A usa e sempre que pode

44
pede aos alunos que tragam objetos que possam exemplificar figuras geométricas e
retirar delas informações relevantes para a aprendizagem. O professor B utiliza
quando tem a disposição na escola, por exemplo, na sala de vídeo, o mesmo utiliza
de recursos áudio visuais para mostrar de forma mais dinâmica e trabalhar mais a
fundo os conceitos de ponto, reta e circunferência. O professor C disse que faz uso
sim de outros recursos e sempre ta pesquisando ou procurando em feiras
promovidas por escolas e universidades novidades para estar trazendo pra sala de
aula.
Outra pergunta foi se eles promoviam atividades que levavam o aluno a
colocar em prática os conceitos aprendidos em sala de aula. Como a geometria é
ministrada a partir do segundo semestre o professor A aproveita o contexto natalino
e monta oficinas para construir objetos decorativos com formas geométricas,
fazendo com que o aluno expresse em arte o que ele aprendeu sobre ponto, reta e
circunferência. O professor B costumar fazer jogos matemáticos envolvendo esses
assuntos e levando o aluno a praticar o que aprendeu na teoria. O professor C
realiza simulações do dia-a-dia que façam com que os alunos reconheçam na
pratica o que foi dito em sala de aula.
E por fim perguntamos se eles utilizavam livros didáticos para ensinar
esses conteúdos. Tanto o professor A como o professor B e o professor C foram
categóricos em dizer que não utilizavam livros didáticos para ministrar ponto, reta e
circunferência.
Com essa conversa informal podemos perceber melhor como está sendo
ensinado os conteúdos de ponto, reta e circunferência, dando base para levantar
dois pontos relevantes para o nosso trabalho. O primeiro é a questão de se ministrar
as aulas de geometria no segundo semestre, e o outro é o fato dos professores não
utilizar o livro didático para ministrar tais conteúdos.
Essa preferência em ministrar os conteúdos de geometria no final do ano
letivo faz com que os mesmos não sejam ministrados por inteiro e quando são, isso
é feito de forma isolada separando-a dos outros conteúdos. Esse isolamento da
geometria é internalizado pelo aluno e quando esse individuo começa a ter aulas de
geometria analítica não consegue entender porque uma equação pode representar
uma reta ou uma circunferência, ou seja, o aluno não consegue fazer ligações de
conceitos algébricos com conceitos geométricos. Lorenzato (2008) diz que:

45
Considerando que os conceitos não são construídos em sequência linear
nem de forma isolada, não é recomendável que sejam apresentadas
separadamente ao aluno as noções de aritmética, geometria e álgebra.
Aqueles que estudaram de modo isolado os conceitos ficaram com a
impressão de que estes não se inter-relacionam e que aprenderam
assuntos distintos.
Com relação aos livros didáticos Ulbricht et al fala que:
Um outro fator que leva o ensino da Geometria a marginalização é o fato de
os livros didáticos, utilizados na escola, apresentarem os conteúdos da
geometria nos capítulos finais e sem ligação com os assuntos abordados
anteriormente. Dessa forma ela se torna mais vulnerável a ser descartada
pelo professor quando ocorrem dificuldades no desenvolvimento dos
assuntos que a precedem. (2002, p.03)
Além desse fator os professores da pesquisa alegaram que não utilizam
livros por que os conteúdos vem numa ordem trocada, assuntos do primeiro ano
vem em livros do terceiro, e ainda por cima não possui uma contextualização de
acordo com a realidade do aluno.
Posteriormente foi aplicado um questionário com onze perguntas sendo
as oito primeiras relacionadas a vida profissional acadêmica do professor. Os perfis
dos mesmos seguem em pequenos textos citados abaixo:
Professor A, é do sexo masculino cuja faixa etária está entre 41 a 45
anos, tendo uma especialização em Matemática Básica, concluída em 2002. Seu
tempo de serviço está entre 16 a 20 anos na rede pública municipal e estadual,
leciona atualmente na 8ª séria do ensino fundamental e na 1ª e 3ª série do ensino
médio. Já lecionou em outras series como, por exemplo, 5ª, 6ª e 7ª do ensino
fundamental. E já ministrou ponto, reta e circunferência.
Professor B, é do sexo feminino cuja faixa etária está entre 41 a 45 anos,
tendo uma especialização em Gestão Escolar, concluída em 2005. Seu tempo de
serviço está entre 16 a 20 anos na rede pública estadual, leciona atualmente na 6ª e
7ª série do ensino fundamental e na 1ª, 2ª e 3ª série do ensino médio. Já lecionou na
5ª e 8ª série do ensino fundamental. E já ministrou ponto, reta e circunferência.
Professor C, é do sexo feminino cuja faixa etária está entre 46 a 50 anos,
concluiu a graduação do curso de Licenciatura em Matemática em 2000, não possui
pós-graduação. Seu tempo de serviço está entre 21 a 25 anos na rede pública
estadual, leciona atualmente na 5ª, 6ª e 8ª série do ensino fundamental e na 1ª e 2ª

46
série do ensino médio. Já lecionou em todas as séries. E já ministrou ponto, reta e
circunferência.
As outras três questões são referentes às dificuldades encontradas pelos
professores em sala de aula e as metodologias aplicadas com esses conteúdos.
Pergunta 9: Quando você ensina o assunto ponto, reta e circunferência, a maioria
das aulas são:
( ) Começando pela definição seguida de exemplos e execícios
( ) Começando com uma situação problema para depois introduzir o assunto
( ) Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos
Respostas do Professor A e do Professor C: Começando com uma
situação problema para depois introduzir o assunto.
Resposta do Professor B: Começando pela definição seguida de
exemplos e exercícios.
Para se iniciar qualquer conteúdo de matemática, seja qual for a série, é
sempre importante começar a explanação através de relações que envolvam alguma
situação problema que esteja presente na realidade do aluno, podemos citar como
exemplo um problema do livro Matemática - Ciência e Aplicações de Gelson Iezzi et
al (2006), uma praça em forma de circunferência de raio 12 m tem sua área
aumentada e ganha forma triangular. Três postes de luz, localizados nos pontos H, I
e J, são os únicos pontos comuns ao contorno antigo e ao contorno novo, conforme
mostra o gráfico abaixo. Nele, O é o centro do círculo e P têm como coordenadas
(0,20). Calcule, em m², a área da praça com sua nova forma.
A Aprendizagem Baseada em Problemas não é uma proposta nova pois os
gregos já utilizavam esse procedimento. Destaca-se Sócrates (469-399
a.C.), que, a seu tempo, lançou mão da educação problematizadora ao
propor a maiêutica, com a finalidade de problematizar a realidade, para
fazer nascerem as idéias a partir do problema, da proposição do diálogo
com o interlocutor e da prática de perguntas questionadoras em busca de
possíveis respostas que levassem à aprendizagem. Assim, busca-se
apontar algumas metodologias que acolhem como centro norteador a
problematização. (Behrens, 2006, p. 170-171)

47
Começar o estudo de um assunto com um problema que instigue o aluno
a depurar e interpretar dados torna o ensino mais significativo e eficaz. As respostas
dos professores A e C são mais condizentes com a metodologia defendida por
Behrens, sendo interessante sua aplicação na sala de aula, pois ajuda o aluno no
processo de construção das definições dos assuntos abordados nesta pesquisa. Já
a forma de se iniciar o assunto do professor B não pode ser considerada errada,
mas torna sua metodologia vulnerável a falhas como o simples manuseio de
formulas e o aprendizado mecânico por parte dos alunos. Apresentar as fórmulas da
distância entre dois pontos d² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)² ou então a da equação geral da
reta ax + by + c = 0 sem mostrar seu processo de construção condiciona os alunos a
receberem todas a informações, essa ação de investigação não sendo realizada
pelo aluno e sim pelo professor acarretará posteriormente numa aprendizagem
superficial e desprovida de significados.
(...) A formula é de tal modo incorporada pelos alunos especialmente por
aqueles de menor capacidade em matemática, que se torna um
procedimento mecânico, um algoritmo vazio de significado, utilizado
indiscriminadamente para resolver qualquer equação (...) (Eisenberg e
Dreyfus, 1995, p. 127)
Falar sobre as definições e escrever as formulas das equações no
quadro, não sanam as dificuldades que os alunos encontram na matemática, é
necessário que o professor dinamize suas aulas, torne-as atrativas aos olhos dos
alunos, o mesmo pode fazer isso utilizando problemas como citamos acima ou
utilizando, por exemplo, um software educativo como o graphequation, a atividade
seria:
Fazer com que o aluno represente no programa uma reta, para realizar
essa tarefa o aluno precisaria conhecer pelo menos dois pontos da reta, com esses
pontos ele acharia a equação da mesma através do uso de determinantes e assim
poderia representar a reta no programa. Só com essa atividade o aluno já trabalhou
com a determinação da equação da reta e a partir daí poderia ser proposto o
reconhecimento da equação para determinar se a mesma é geral ou reduzida.

48
Figura 12 – Exemplo proposto com o auxilio do graphequation
Com esse exemplo mostramos que é possível trabalhar a parte inicial da
equação da reta sem se utilizar só de definições e fórmulas expressas no quadro ou
faladas oralmente. Segundo Lorenzato (2008) definições apenas faladas não
acrescentam na aprendizagem, não conseguem alcançar o mesmo efeito que, por
exemplo, um objeto ou uma imagem podem proporcionar, sejam eles estáticos ou
em movimento e termina seu pensamento afirmando que palavras auxiliam, mas não
e o suficiente para ensinar.
Pergunta 10: Para fixar o conteúdo de ponto, reta e circunferência você costuma:
( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos
( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto
( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático
( ) Não propõe questões de fixação
( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver
Resposta do Professor A, B e C: Apresentar uma lista de exercícios para
serem resolvidos.
Como podemos perceber, quando perguntados sobre a forma de fixar o
conteúdo dos assuntos citados acima, os três professores foram enfáticos em
marcar a alternativa que consistia na utilização de uma lista de exercícios para
serem resolvidos, sendo essa forma metodológica uma alternativa que ajuda no
processo de ensino, mas que não deve se torna uma opção absoluta no processo de
aprendizagem do aluno.

49
Isso não significa que os exercícios do tipo: calcule..., resolva,...; devam ser
eliminados, pois eles cumprem a função do aprendizado de técnicas e
propriedades; mas de forma alguma eles são suficientes para preparar o
aluno competente para o que nossa sociedade espera dele em termos de
enfrentamento de situações-problema, tanto para que possa continuar
aprendendo, como para que se realize no mundo do trabalho.(Diniz e
Smole, 2009, p. 39)
Mas uma vez se toca na questão de se trabalhar os conteúdos de
matemática e suas aplicações através de situações-problema, (Diniz e Smole, 2009)
destacam a importância dos exercícios simples, mais reafirma que só esse tipo de
aplicação não é suficiente no preparo do aluno para a realidade do dia-a-dia. Hoje
existem outras formas de fixar o conteúdo sem ser somente por exercícios de
“resolva” ou “calcule”, pode ser através de questões que abordem a observação do
cotidiano, por exemplo, um motobói entrega cartuchos (c) e bobinas (b) para uma
empresa. Cada bobina pesa 0,3 kg e cada cartucho, 0,25 kg. O motobói recebe R$
0.30 por bobina e R$ 0,08 por cartucho entregue. Ele pode carregar no máximo 75
kg e deve receber no mínimo R$ 30,00 por entrega. As quantidades de cartuchos e
bobinas a serem entregues pelo motobói, por entrega, de acordo com esses dados,
determinam, no plano cartesiano b x c. (Iezzi et al, 2006)
Na questão onze do questionário os professores informaram o grau de
dificuldade dos alunos em aprender ponto, reta e circunferência.
Pergunta 11: Preencha a tabela com base na sua experiência de professor (a) do 3º
do terceiro ano do ensino médio:
Respostas dos Professores
 Ponto
Assunto / Professor A B C
Distância entre dois pontos Difícil Fácil Muito Fácil
Quadro 01 - Respostas dos professores
Fonte: pesquisa de campo

50
 Reta
Equação Geral da Reta Difícil Regular Fácil
Posição Relativa de duas
Retas
Difícil Fácil Fácil
Inequações do 1º Grau
com duas variáveis
Regular Regular Regular
 Circunferência
Equação Reduzida da
Circunferência
Não Opinou Regular Não Opinou
Equação Geral da
Circunferência
Difícil Difícil Fácil
Reconhecimento Não Opinou Difícil Fácil
Inequação do 2º Grau
com Duas Variáveis Difícil Difícil Regular
Através das respostas dos professores podemos perceber que em relação
ao tópico de ponto, não se chegou a um consenso sendo distribuídos ao assunto
três conceitos distintos, sendo eles: Muito Fácil, Fácil e Difícil. Já nos tópicos
referentes a reta e a circunferência houveram respostas com conceitos comuns
sendo os predominantes, Regular para reta e Difícil para circunferência. Podemos
visualizar melhor essas respostas no gráfico abaixo:

51
Gráfico 01 - Respostas dos professores
Diante dos resultados obtidos com essa pergunta podemos concluir que
existem dificuldades no aprendizado de Geometria Analítica, sendo essas
dificuldades talvez causadas pela estranheza do aluno em ter que visualizar figuras
geométricas através de equações e Inequações, essa transição de conhecimento
inicialmente pode confundir o aluno e dificultar seu aprendizado.

52
Capítulo IV
4.1 - Atividade Proposta
Recriar obras de arte através da utilização do software graphequation foi a
atividade utilizada na nossa pesquisa e também é a nossa proposta para o professor
exercitar ponto, reta e circunferência de maneira mais dinâmica. As obras de arte
possuem contextos geométricos para facilitar o uso de equações e inequações
quando forem representadas no programa.
4.2- Oficina “Geometria Analítica: ponto, reta e circunferência”
Foi realizada uma oficina com onze alunos, escolhemos discentes do
curso de matemática, já que os mesmos podem avaliar nossa atividade como alunos
e posteriormente poderão utilizá-la em sala de aula quando estiverem atuando como
professores. As atividades foram realizadas em duplas, no Laboratório de
Informática (LABINF) da Universidade do Estado do Pará (UEPA), no município de
Igarapé – Açu. Tendo início no dia 14 de junho de 2010 com aula expositiva
contendo slides sobre os assuntos abordados na oficina (ponto, reta e
circunferência), foi uma aula dialogada com o intuito de sanar as dificuldades e as
dúvidas sobre os assuntos supracitados. Após esse contato inicial e o entendimento
dos assuntos pelos discentes, foi incorporado à aula o software graphequation, na
qual foram realizados exercícios através do mesmo. Os exercícios fizeram com que
os alunos se familiarizassem com o programa, conseguindo assim autonomia em
sua manipulação.
No segundo encontro, dia 16 de junho, foi apresentado aos alunos a
proposta de se unir fórmulas de geometria analítica, ou melhor, a linguagem
matemática representada através de equações e inequações, com obras de arte. As
obras de arte escolhidas para a oficina são compostas predominantemente por
figuras geométricas, o que facilitou o reconhecimento e a extração de equações e
inequações de retas e circunferências, com as fórmulas em mãos e a ajuda do
programa graphequation foi possível recriar as obras de arte.

53
Dando sequência à oficina, foram escolhidas três obras de arte que
serviram de amostra para os alunos, em seguida os alunos acompanharam passo a
passo todo processo de recriação das mesmas. No dia 21 de junho, no terceiro dia
de oficina, finalizamos a atividade iniciada anteriormente e a partir daí fizemos outra
atividade na qual os alunos tinham de recriar através do graphequation seis obras de
arte, as mesmas foram divididas entre as duplas. Para esse trabalho foi
disponibilizado o quarto dia de oficina, 28 de junho, para a conclusão da atividade.
No último dia de oficina, dia 30 de junho, foram apresentadas as obras de arte e em
seguida foram reunidas num catálogo de arte e matemática. Os alunos avaliaram a
metodologia empregada na oficina através de um questionário que receberam.
4.3 - Etapas da Atividade Proposta
Para um melhor entendimento sobre a atividade proposta, serão
apresentadas a seguir etapas realizadas na oficina sem o auxilio do programa
graphequation, ou seja, etapas anteriores que foram realizadas utilizando apenas a
obra impressa e outros materiais de medição (régua) e marcação (caneta).
4.3.1 - Escolha da Obra de Arte
As obras utilizadas na oficina foram selecionadas obedecendo uma
característica principal, possuir um contexto geométrico, uma temática abstrata
composta por figuras geométricas que posteriormente sejam possíveis de serem
representadas no programa através de equações e inequações. Podemos perceber
essas características nas obras de pintores como, Kazuo Wakabayashi, Almudena
Pintado, Almicar de Castro, Emilce La Porta, Kazimir Malevitch, Mario Silesio, Odetto
Guersoni, Piet Mondrian entre outros. Para exemplificar as próximas etapas
escolhemos a obra Abstrato do pintor Kazuo Wakabayashi.

54
4.3.2 - Marcação do Plano Cartesiano
Com a obra impressa em mãos traçamos o plano cartesiano sobre a
mesma, nesse exemplo escolhemos uma escala de ordem 10 para todos os lados,
essa ação foi realizada com o auxilio de uma régua de medidas normais.
Figura 13 - Exemplo da marcação do plano cartesiano sobre a obra
Fonte: Pesquisa de Campo
4.3.3 - Marcação dos pontos principais de cada figura geométrica
Após traçar o plano cartesiano na obra de arte, marcamos os pontos
principais de cada figura geométrica que compõem a mesma. Nessa pintura em
particular, temos uma temática formada basicamente por quadriláteros (quadrados e
paralelogramos), tendo cada um quatro pontos principais. Depois de marcar os
pontos principais, identificamos com o auxilio das medidas de uma régua as
coordenadas X e Y de cada ponto, para em seguida podermos abstrair as equações
que representam cada figura geométrica. Nesse caso encontramos apenas
equações do 1º grau.

55
Figura 14 - Exemplo da marcação dos pontos principais
4.3.4 - Análise das equações e determinação das inequações correspondentes
as regiões a serem preenchidas
Depois de encontrar as equações precisamos analisá-las, pois se
introduzirmos somente as mesmas no programa graphequation, não teremos como
resultado a recriação da obra de arte, teremos apenas o contorno de cada figura
geométrica, ou seja, somente o rascunho sem o preenchimento. Para obtermos esse
efeito precisamos analisar as equações e determinar as inequações que definem
cada região desejada.
Figura 15 - Inequações que determinam as regiões desejadas

56
4.4 - As Três Obras de Arte Exemplificadas na oficina
4.4.1 - Composição em Vermelho, Amarelo e Azul do pintor Piet Mondrian
Figura 16 - Obra Composição em Vermelho, Amarelo e Azul
Fonte: site NNDB.com
4.4.1.1 - Conhecendo o Estilo Artístico do Pintor Piet Mondrian
Deicher (1995) fala que Piet Mondrian no inicio de sua vida como pintor,
1892-1908, se inspirou nas paisagens de seu país natal (Holanda) para retratar
moinhos de vento, campos e rios. Suas obras desse período estão situadas na
forma naturalista2
ou impressionista3
. Depois em busca de um estilo pessoal
Mondrian realça sua técnica dando mais representatividade as suas obras, fazendo
isso sob a influência de movimentos como o Pontilhismo4
e usufruindo das cores
vívidas do Fauvismo5
.
Ao final desse período Mondrian em uma exposição na Escola de Haia,
apresenta alguns quadros pós-impressionistas como o Moinho Vermelho e árvores
em Moonlight e o quadro Noite (Avond), essa obra em particular retrata palheiros em
2
Tendência das artes plásticas, da literatura e do teatro surgida na França na segunda metade do século XIX.
Baseia-se na filosofia de que só as leis da natureza são válidas para explicar o mundo. As obras retratam a
realidade de forma ainda mais objetiva e fiel.
3
Movimento artístico surgido na França no século XIX que criou uma nova visão conceitual da natureza
utilizando pinceladas soltas dando ênfase na luz e no movimento. Geralmente as telas eram pintadas ao ar livre
para que o pintor pudesse capturar melhor as nuances da luz e da natureza.
4
Movimento pictórico pós-impressionista surgido na frança em meados da década de 1980, com reação aos
próprios impressionistas e à pintura oficial.
5
Movimento relativamente curto, entre 1898 e 1908, que revolucionou o conceito de cor na arte moderna. Os
fauvistas rejeitaram a paleta impressionista de cores suaves e cintilantes, em favor das cores violentas.

57
um campo ao entardecer. Mesmo sem pressentir que futuramente se destacaria por
criar suas obras em um contexto totalmente abstrato, destacando apenas cores
como o vermelho, o amarelo e o azul. Avond, em nenhum sentido abstrato, é a
mais antiga das obras de Mondrian que enfatizam as cores primarias.
Figura 17 - Avond Evening; Red Tree (1908)
Fonte: artchive.com
Seu estilo começa a apresentar sutis gotas de abstração, em telas
pintadas no período de 1905 - 1908, essas obras retratavam cenas de árvores
indistintas e reflexos de casas na água parada. Mesmo Mondrian dando sinais de
abstração em suas obras, as mesmas ainda se encontravam fortemente ligadas a
natureza. Podemos perceber essas características nas obras abaixo.
Figura 18 - Molen Mill; Mill in Sunlight (1908)
Fonte: artchive.com
Sellon e Weber (1992) falam que a arte de Mondrian sempre caminhou
em paralelo com seu lado espiritual e seus estudos filosóficos, em 1908 ele se
interessou pelo movimento teosófico6
, lançado por Helena Petrovna Blavatsky7
no
6
A Teosofia é um corpo de conhecimento que sintetiza Filosofia, Religião e Ciência.

58
final do século 19. Além da influência de Blavatsky, Mondrian se afiliou a um
movimento espiritual, a Antroposofia8
. Esses dois movimentos afetaram
significativamente o desenvolvimento da sua estética.
Em 1911, Mondrian muda-se para Paris, deixando para traz a Holanda e
mudando também seu nome ( retirando um “a” do Mondriaan). Na cidade luz o
Cubismo9
, movimento característico de pintores como Picasso e Braque, surgiu
imediatamente em suas obras, podendo ser percebidas na obra Mar (1912) e nas
versões da obra Still Life com pote de gengibre. A primeira versão de 1911 é cubista,
já na versão de 1912 o pintor buscou simplificar a obra, dando a mesma uma forma
redonda com triângulos e retângulos. Juntas essas criações apontam como o estilo
de Mondrian está totalmente dominado pelas formas geométricas e os planos de
bloqueio comumente encontradas no cubismo.
Figura 19 - Still Life with Ginger Pot I (1911) Figura 20 - Still Life with Ginger Pot II (1912)
Fonte: guggenheimcollection.org Fonte: .guggenheimcollection.org
7
Mais conhecida como Madame Blavatsky, foi uma prolífica escritora, filosofa e teóloga da Russia, responsável
pela sistematização da moderna Teosofia e co-fundadora da Sociedade Teosófica.
8
É uma filosofia e uma prática que foi erguida por Rudolf Steiner. Ele apresenta como um caminho para se
trilhar em busca da verdade que preenche o abismo historicamente criado desde a escolástica entre fé e
ciência.
9
O Cubismo tratava as formas da natureza por meio de figuras geométricas, representando todas as partes de
um objeto no mesmo plano. A representação do mundo passava a não ter nenhum compromisso com a
aparência real das coisas.

59
Figura 21 - Gray Tree (1912) Figura 22 - Ocean 5 (1915)
Fonte: wikipedia.org Fonte: artchive.com
Mesmo estando imergido no movimento cubista, Mondrian nunca encarou
essa fase como um destino, e sim como um “porto de chamada”. Sua jornada
artística não havia acabado, e em 1914 novamente recomeçara. Ao contrario dos
cubistas, Mondrian nunca esqueceu seu lado espiritual e filosófico, tanto não
esqueceu que nesse ano começou a fundir suas doutrinas sobre esses assuntos
com sua arte, dando inicio a uma teoria que sinalizou sua ruptura definitiva com a
pintura figurativa.
Antes de nos atermos a essa etapa transitória do estilo artístico de
Mondrian, é importante situarmos a época em que essa transição acontece. Começa
a 1ª Guerra Mundial, e durante esse acontecimento Mondrian está visitando sua
terra natal, em decorrência desse conflito é obrigado a permanecer na Holanda.
Nesse período se destacam dois importantes nomes que influenciaram mais essa
transição de seu estilo, são eles: Bart Van Der Leck e Theo Van Doesburg.
O primeiro contribui com seus trabalhos encharcados com o
preenchimento de cores primarias, obras essas que entusiasmaram Mondrian. Já o
segundo foi seu cúmplice na fundação do De Stijl (o estilo), uma revista que serviu
de válvula de escape para dar vazão aos seus primeiro ensaios, definindo sua teoria,
para qual ele denominou de Neoplasticismo10
(O Novo Plástico na Pintura).
Mondrian expressou sua teoria artística por escrito em doze parcelas ao
longo de 1917 e 1918. Em uma carta que escrevera para HP Bremmer em 1914, ele
já dava indícios do que publicaria anos mais tarde no jornal.
10
Defendia uma total limpeza espacial, reduzindo-a a seus elementos mais puros e buscando suas
características mais próprias. Muitos de seus ideais foram expostos na revista De Stijl (o estilo).

60
I construct lines and color combinations on a flat surface, in order to express
general beauty with the utmost. Nature (or, that which I see) inspires me,
puts me, as with any painter, in an emotional state so that an urge comes
about to make something, but I want to come as close as possible to the
truth and abstract everything from that, until I reach the foundation (still just
an external foundation!) of things […] I believe it is possible that, through
horizontal and vertical lines constructed with awareness, but not with
calculation, led by high intuition, and brought to harmony and rhythm, these
basic forms of beauty, supplemented if necessary by other direct lines or
curves, can become a work of art, as strong as it is true.(Mondrian 1986, p.
18 - 74)
Em 1919 a Guerra chega ao fim, e finalmente Mondrian retorna a Paris
onde permanece até 1938. Nesse período começamos a conhecer as obras que o
tornaram mundialmente famoso. Sua técnica esta imersa numa inovação artística
genial que lhe possibilitou abraçar uma arte de pura abstração.
Nas primeiras obras desse estilo as linhas que delimitam as formas
retangulares são extremamente finas, e elas são expressas na cor cinza e não em
preto. Ao invés das linhas pararem bruscamente, as mesmas tendem a desaparecer
assim que se aproximam das bordas. Os retângulos são encontrados em tamanhos
menores e em grandes quantidades, sendo a maioria deles preenchidos com cores
primarias, mas ainda assim alguns são deixados em branco.
Figura 23 - Composition A: Composition with Black, Red, Gray, Yellow, and Blue (1920)
Fonte: site NNDB.com
Para muitos especialistas, em finais de 1920 e 1921, as pinturas de
Mondrian apresentam-se na sua forma definitiva e amadurecida. As linhas antes
finas e cinzentas, agora estão grossas e pretas. Os retângulos estão maiores e
encontrados em menor quantidade, sendo um maior número deles deixados em
branco. Mesmo com sua técnica estando madura nesse período, essas obras não

61
são o ápice de sua carreira artística, sendo seu estilo melhorado mais ainda no
decorrer de sua estada em Paris.
Em 1921 as pinturas ainda apresentam linhas pretas, mas não todas elas,
ainda apresentam também uma breve paragem a partir da borda da tela. Os
retângulos permanecem na sua maior parte coloridos. Com o passar dos anos
Mondrian começou a estender todas as linhas para as bordas da tela e optou por
deixar mais retângulos sem preenchimento, primando o branco ao invés das cores.
As linhas pretas são os elementos mais planos, possuindo o mínimo de
profundidade . As formas coloridas foram pintadas da maneira mais obvia,
obedecendo uma mesma direção. Mas com certeza o mais interessante das obras
de Modrian são os retângulos deixados em branco, gerando uma maior sensação de
profundidade, limitando as cores e as linhas aos papeis de coadjuvantes. Nesse
momento suas pinturas passaram a ser cada vez mais dominadas por espaços em
branco, e assim em 1938 Mondrian deixa a Cidade Luz.
Por causa do avanço do facismo11
Mondrian muda-se para Londres,
posteriormente a Holanda foi invadida e Paris foi tomada em 1940. Esses
acontecimentos ocasionaram a saída do pintor do velho continente. Manhattan,
torna-se a ultima morada de Mondrian. Essa mudança ocasionou em muitas telas
que foram iniciadas em Paris e em Londres, mais que só foram concluídas em
Manhattan. As obras concluídas nessa ocasião demonstram uma grandiosidade sem
precedentes. Com mais linhas do que qualquer um de seus trabalhos desde 1920,
colocadas em um arranjo que se assemelha a uma quase sobreposição cartográfca.
Em Manhattan, Mondrian começa obras mais surpreendentes, um
exemplo desse período é a tela New Yorc City (1942), que apresenta uma estrutura
complexa, azul e amarelo e linhas vermelhas, ocasionalmente entrelaçadas
causando uma maior sensação de profundidade jamais vista em obras anteriores.
Uma versão inacabada de 1941, utiliza tiras de fita de papel pintado, onde o artista
podia manipular a vontade e experimentar diferentes desenhos. Outra pintura que
alcança status de grande obra nesse momento é a tela Broadway Boogie-Woogie
(1942-1944), essa peça é composta por quadrados brilhantes de cores vivas que
saltam da tela, atraindo o espectador para as luzes de neon.
11
Doutrina totalitária desenvolvida pó Benito Mussolini na Itália, a partir de 1919 e dureante seu governo.

62
4.4.1.2 - Matemática usada na construção da Obra Composição em Vermelho,
Amarelo e Azul
Podemos analisar na figura 16 duas situações principais: aquela que
envolve a construção dos retângulos e aquela que envolve as construções das retas.
Vamos refletir sobre como construímos estes dois elementos.
4.4.1.3 - Retângulos
Para a construção de um retângulo no graphequation pensamos
simplesmente em um conjunto de pontos que está limitado dentro de certo espaço.
Exemplo: Abra o programa graphequation e digite na janela de relações a seguinte
inequação 1 ≤ x ≤ 5 em seguida tecle TAB e digite 0 ≤ y ≤ 1.2 (lembre-se que nesse
software a virgula é representada pelo ponto). Tecle ENTER, escolha CARTESIANO
para as coordenadas e tecle ENTER novamente. Podemos visualizar esse exemplo
na figura 24.
Figura 24 - Exemplo da construção de um retângulo no graphequation
Na obra de arte Composição em Vermelho, Amarelo e Azul (Figura 16),
observamos a existência de três retângulos, o retângulo vermelho, o amarelo e o
azul. Vejamos como representá-los no graphequation.
É necessário primeiramente ter em mãos a obra impressa para traçar com
uma caneta os eixos cartesianos, em seguida deve-se fazer uma escala adequada

63
(nesse exemplo limitaremos 10 unidades para cada direção). A partir daí podemos
extrair os pontos que fazem parte dos retângulos e delimitar as regiões que os
representa. Para fazer o retângulo vermelho digite na janela de relações a seguinte
inequação -10 ≤ x ≤ -6.8 depois tecle TAB e digite y > 6.6. Aperte ENTER, escolha
CARTESIANO para as coordenadas e novamente tecle ENTER, para escolher a cor
vermelha basta ir na parte de cima da janela de relações e clicar em Colour.
Para construir o retângulo amarelo vá até a barra de ferramentas do
graphequation e clique em Graph, em seguida New Relation (faça isso sempre que
necessário), aparecerá uma nova janela de relações onde você digitará as
inequações: -9.2 ≤ y ≤ -4.8 TAB x < -6.8, depois de feito isso proceda da mesma
forma que fez no retângulo anterior. Na construção do retângulo azul use as
inequações: 8.8 ≤ x ≤ 10 TAB y < -9.4. Vejamos como ficaram os retângulos na figura
25.
Figura 25 - Retângulos da obra construídos no graphequation
Como percebemos na figura 16 existem na obra além dos retângulos,
retas horizontais e verticais, só que essas retas possuem um volume significativo,
por isso nesse caso vamos empregar o artifício que usamos para construir os
retângulos.

64
Figura 26 - Retas representadas com os procedimentos da construção dos retângulos
Lembre que é necessário obter essas retas a partir do original impresso e
que isso implica em rascunhar, descobrir pontos no plano, determinar intervalos de x
e y válidos. Procure estar atento ao que é gerado com cada entrada de dados. Tais
entradas de dados geram as regiões mostradas na figura 27.
Figura 27 - Recriação da Obra Composição em Vermelho, Amarelo e Azul

65
4.4.2 - Abstrato do pintor Kazuo Wakabayashi
Figura 28 - Obra Abstrato
Fonte: site escritoriodaarte.com
4.4.2.1 - Conhecendo o Estilo Artístico do Pintor Kazuo Wakabayashi
A história da arte nipo-brasileira começa em 1935 com um grupo de
artistas plásticos de São Paulo, o Seibi. Com a segunda Guerra Mundial o grupo se
dispersou e voltou a se reunir na década de 40, nessa nova formação aparece o
nome Kazuo Wakabayshi.
Kazuo Wakabayashi começou seus trabalhos com pintura óleo ainda no
Japão, no entanto, na escola técnica de Hikone da cidade de Shiga, ele só podia
pintar telas com temas bélicos. Posteriormente dedicou-se inteiramente a pintura
entrando para escola de Belas Artes de Tóquio.
Ao chegar ao Brasil foi ajudado por dois artistas Manabu Mabe e Tomie
Ohtake, ambos os pintores os ajudaram e indicaram para que participasse do grupo
Seibe, o grupo prezava por uma pintura figurativa.
Suas obras são estudos de arte abstrata, cuja cor e o gesto são
elementos essenciais de produção
4.4.2.2 - Matemática usada na construção da Obra Abstrato
Podemos analisar nesta segunda obra duas situações distintas: a primeira
envolve a construção dos retângulos que estão paralelos aos eixos e a segunda

66
envolve a construção de retângulos que estão posicionados de forma oblíqua.
Vamos refletir sobre como construímos mais estes dois elementos.
4.4.2.3 - Retângulos Oblíquos
Os retângulos oblíquos são novidade nessa construção, para desenhá-
los, vamos pensá-los como limitações de retas, sendo essas retas não horizontais e
não verticais e sim com diferentes inclinações. Vejamos como ficaram as seguintes
equações no software: -3x + y = 0; x + y - 4 = 0 e y = 0.
Figura 29 - Exemplos de equações de retas representadas no programa
Com os eixos na figura não é possível visualizar a reta y = 0, pois a
mesma coincide com o eixo da abscissa.
Na obra Abstrato existem retângulos oblíquos, vejamos como construí-los.
Nesse caso não podemos delimitar os retângulos, através dos pontos que
representam suas regiões, como fizemos na obra anterior, pois estes não estão
paralelos aos eixos, então teremos que encontrar suas retas suportes para delimitar
essas regiões.
Primeiro deve-se ter a obra impressa, depois se marca as coordenadas e
as escalas de ordem 10 com a caneta. Feito isso podemos identificar pelo menos
dois pontos de cada reta o que ajudará a encontrar suas respectivas equações
(nesse exemplo achamos dois pontos de cada reta e encontramos suas equações
aplicando determinantes). As retas encontradas foram:

67
-6.1x - 3.3y + 70.21 = 0
-7.5x - 4.4y + 53.75 = 0
-9.0x +3.3y + 29.76 = 0
-8.7x +2.8y + 71.14 = 0
-3.9x - 3.4y + 09.08 = 0
-4.8x - 3.8y - 13.04 = 0
Figura 30 - Retas suportes aos retângulos da obra
Delimitando o tamanho das retas em relação ao eixo y, temos:
-6.1x - 3.3y + 70.21 = 0 TAB 2.5 ≤ y ≤ 10
-7.5x - 4.4y + 53.75 = 0 TAB 2.5 ≤ y ≤ 10
-9.0x +3.3y + 29.76 = 0 TAB -5.2 ≤ y ≤ 3.8
-8.7x +2.8y + 71.14 = 0 TAB -5.2 ≤ y ≤ 3.8
-3.9x - 3.4y + 09.08 = 0 TAB y ≤ -5.2
-4.8x - 3.8y - 13.04 = 0 TAB y ≤ -5.2
Após ter encontrado as retas e suas delimitações podemos introduzir
esses dados no graphequation. Vejamos a seguir na figura 31.

68
Figura 31 - Retas suportes com delimitações em relação ao eixo y
Mas só as retas por si só não compõem os retângulos da pintura, para
produzir o efeito de preenchimento é necessário usar desigualdades (inequações).
Veja a seguir como ficou o desenho anterior:
Figura 32 - Retângulos oblíquos da obra
4.4.2.4 - Retângulos Paralelos
Como esses retângulos são paralelos aos eixos da abscissa e da
ordenada, vamos aplicar o mesmo método que foi feito na pintura anterior,
determinar regiões no plano cartesiano.

69
Figura 33 - Retângulos determinados por regiões no plano
A figura está praticamente pronta; para finalizá-la temos que mudar o
fundo branco que se encontra presente nas figuras 32 e 33 para a cor que está na
obra original. Para fazer isso temos que ir à janela View Tools que fica ao lado da
janela do gráfico e clicar em Background, feito isso se abrirá um painel de cores
onde se pode escolher a cor mais adequada.
Figura 34 - Recriação da obra Abstrato

70
4.4.3 - Otras Dimensiones da pintora Almudena Pintado
Figura 35 - Obra Otras Dimensiones
Fonte: site intergaleria.com
4.4.3.1 - Estilo Artístico da Pintora Almudena Pintado
Pintora autodidata, nasceu em Benavente na Espanha. Desenvolveu seu
trabalho no estilo abstrato misturando mídia, sobre tela e madeira.
4.4.3.2 - Matemática usada na construção da Obra Otras Dimensiones
Nesta figura podemos perceber o círculo que é o componente central do
quadro e as retas que em parte cortam o círculo e outras que são secundárias a ele.
Partindo disso, vamos refletir como fica mais essa construção.
4.4.3.3 - Circunferência
Para a construção de circunferências no graphequation iremos utilizar a
sua equação. Escrevemos ela diretamente na janela de relações, e assim obtemos o
seu desenho. Veja:

71
Figura 36 - Exemplo da equação da circunferência representada no graphequation
Lembrando que para produzir o efeito de preenchimento da circunferência
é necessário usar uma desigualdade.Veja como fica o exemplo acima:
Figura 37 - Exemplo da circunferência com efeito de preenchimento
Na obra Otras Dimensiones observamos a construção de uma
circunferência. Com a equação da mesma determinada podemos representá-la no
programa graphequation como mostra a figura abaixo:

72
Figura 38 - Circunferência da obra
Como na pintura a circunferência é cortada por algumas retas para
preenchê-la será um pouco mais elaborado, pois terá que se estabelecer relações
entre as inequações da reta e a inequação da circunferência. Veja a seguir:
Figura 39 - Circunferência preenchida da obra
4.4.3.4 - Retas Secundárias
Como já vimos em construções anteriores como se constroem as retas,
precisamos nesta pintura apenas tomar cuidado na hora de preencher os espaços.
Lembrar de fazer relações com as outras retas.

73
Figura 40 - Retas secundárias da obra
Com a equação da circunferência e as equações das retas temos como
recriar esta obra. É importante não se esquecer de fazer relações entre as
desigualdades para se conseguir o efeito de preenchimento.
Figura 41 - Recriação da obra Otras Dimensiones
4.5 - Análise dos Questionários dos alunos Obtidos na Oficina
Com o intuito de verificar a eficácia da atividade utilizada na oficina
“Geometria Analítica – ponto, reta e circunferência” foi aplicado um questionário aos
alunos contendo cinco perguntas; as duas primeiras foram referentes às
metodologias que os alunos conheceram anteriormente em sua vida escolar ou
acadêmica e as outras três perguntas são direcionadas à opinião deles com relação
a nossa atividade de utilizar o programa graphequation para exercitar os conteúdos
aqui trabalhados. As respostas dos alunos podem ser observadas a seguir:

74
A primeira pergunta foi feita com o objetivo de averiguar se os conteúdos
de geometria analítica estão sendo ministrados no ensino médio.
Gráfico 2 - Respostas dos Questionários dos alunos aferidos na oficina
O que podemos perceber no gráfico acima é que dos onze alunos
envolvidos na pesquisa, dois não tiveram aulas de geometria analítica. A priori esse
resultado pode parecer não ter tanta importância diante das outras respostas. Mas
esses dois alunos que não tiveram essas aulas foram bastante prejudicados.
Lorenzato (2009) diz que:
(...) sem estudar geometria, os alunos não desenvolvem o pensar
geométrico ou o raciocínio visual e, sem essa habilidade, têm
comprometidas as suas capacidades de resolverem as situações de vida
que forem geometrizadas; abrangendo inclusive, assuntos pertinentes a
muitas outras áreas, científicas ou não.
A geometria é um dos ramos mais ricos e interessantes da matemática e
gradativamente vem perdendo seu espaço nos currículos escolares, nas opções de
ensino dos professores e também no interesse de estudo da grande maioria dos
alunos. No artigo CAMINHANDO NO TEMPO COM A GEOMETRIA, expõem-se
alguns fatores que contribuem para a desvalorização da mesma.
Várias são as causas apontadas, dentre as quais destacam-se: a perda de
objetividade no ensino da disciplina, a massificação do ensino
(Barbosa,1978) e o surgimento da Teoria dos Conjuntos na Matemática
Moderna (Castrucci, 1981). O ensino de Geometria nesta “nova”
matemática, segundo Castrucci (1981), exige de transformação vetorial,

Graphequation e Arte: Uma proposta para se exercitar os conteúdos de ponto, reta e circunferência

Graphequation e Arte: Uma proposta para se exercitar os conteúdos de ponto, reta e circunferência

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Graphequation e Arte: Uma proposta para se exercitar os conteúdos de ponto, reta e circunferência

Semelhante a Graphequation e Arte: Uma proposta para se exercitar os conteúdos de ponto, reta e circunferência (20)

Último

Último (20)

Graphequation e Arte: Uma proposta para se exercitar os conteúdos de ponto, reta e circunferência