Lista de exercícios Elemaq I

1
UNIVERSIDADE TUIUTI DO PARANÁ
HALYSON T. DE ANDRADE
JEFERSON WILIAN PEREIRA
RENAN LUIS PINTO TIEPOLO
THIAGO REDED RAMOS
ELEMENTOS DE MÁQUINA I
CURITIBA
2015

2
UNIVERSIDADE TUIUTI DO PARANÁ
HALYSON T. DE ANDRADE
JEFERSON WILIAN PEREIRA
RENAN LUIS PINTO TIEPOLO
THIAGO REDED RAMOS
ELEMENTOS DE MÁQUINA 1
CURITIBA
2015
Trabalho apresentado como estudo
dirigido da disciplina de Elementos de
máquina 1, do curso de Engenharia
Mecânica, da Universidade Tuiuti do
Paraná, ministrada pelo Prof. Paulo
Lagos.

3
Sumário
1. INTRODUÇÃO............................................................................................................................. 6
2. EXERCÍCIOS ............................................................................................................................... 7
EXERCÍCIO 1: ....................................................................................................................................... 7
EXERCÍCIO 1.1: .................................................................................................................................... 8
EXERCÍCIO 1.2: .................................................................................................................................... 8
EXERCÍCIO 1.3: .................................................................................................................................... 9
EXERCÍCIO 1.4 ..................................................................................................................................... 9
EXERCÍCIO 2: ..................................................................................................................................... 10
EXERCÍCIO 2.1 ................................................................................................................................... 11
EXERCÍCIO 2.2 ................................................................................................................................... 11
EXERCÍCIO 2.3: .................................................................................................................................. 12
EXERCÍCIO 2.4: .................................................................................................................................. 12
EXERCÍCIO 3: ..................................................................................................................................... 13
EXERCÍCIO 3.1: .................................................................................................................................. 13
EXERCÍCIO 3.2: .................................................................................................................................. 14
EXERCÍCIO 3.3: .................................................................................................................................. 14
EXERCÍCIO 3.4: .................................................................................................................................. 14
EXERCÍCIO 4: ..................................................................................................................................... 15
EXERCÍCIO 4.1: .................................................................................................................................. 17
EXERCÍCIO 4.2 ................................................................................................................................... 18
EXERCÍCIO 4.3: .................................................................................................................................. 20
EXERCÍCIO 4.4: .................................................................................................................................. 22
EXERCÍCIO 5: ..................................................................................................................................... 23
EXERCÍCIO 5.1 ................................................................................................................................... 26
EXERCÍCIO 5.2 ................................................................................................................................... 28
EXERCÍCIO 5.3 ................................................................................................................................... 30
EXERCÍCIO 5.4: .................................................................................................................................. 32
EXERCÍCIO 6: ..................................................................................................................................... 34
EXERCÍCIO 6.1: .................................................................................................................................. 34
EXERCÍCIO 6.2: .................................................................................................................................. 34
EXERCÍCIO 6.3: .................................................................................................................................. 35
EXERCÍCIO 6.4: .................................................................................................................................. 35
EXERCÍCIO 7: ..................................................................................................................................... 35

4
EXERCÍCIO 7.1: .................................................................................................................................. 36
EXERCÍCIO 7.2: .................................................................................................................................. 36
EXERCÍCIO 7.3: .................................................................................................................................. 36
EXERCÍCIO 7.4: .................................................................................................................................. 36
EXERCÍCIO 8: ..................................................................................................................................... 37
EXERCÍCIO 8.1: .................................................................................................................................. 38
EXERCÍCIO 8.2: .................................................................................................................................. 39
EXERCÍCIO 8.3: .................................................................................................................................. 40
EXERCÍCIO 8.4: .................................................................................................................................. 41
EXERCÍCIO 9: ..................................................................................................................................... 42
EXERCÍCIO 9.1: .................................................................................................................................. 42
EXERCÍCIO 9.2: .................................................................................................................................. 42
EXERCÍCIO 9.3: .................................................................................................................................. 43
EXERCÍCIO 9.4: .................................................................................................................................. 43
EXERCÍCIO 10: ................................................................................................................................... 44
EXERCÍCIO 10.1: ................................................................................................................................ 45
EXERCÍCIO 10.2: ................................................................................................................................ 45
EXERCÍCIO 10.3: ................................................................................................................................ 46
EXERCÍCIO 10.4: ................................................................................................................................ 46
EXERCÍCIO 11: ................................................................................................................................... 47
EXERCÍCIO 11.1: ................................................................................................................................ 47
EXERCÍCIO 11.2: ................................................................................................................................ 48
EXERCÍCIO 11.3: ................................................................................................................................ 48
EXERCÍCIO 11.4: ................................................................................................................................ 49
EXERCÍCIO 12: ................................................................................................................................... 49
EXERCÍCIO 12.1: ................................................................................................................................ 50
EXERCÍCIO 12.2: ................................................................................................................................ 50
EXERCÍCIO 12.3: ................................................................................................................................ 51
EXERCÍCIO 12.4: ................................................................................................................................ 51
EXERCÍCIO 13: ................................................................................................................................... 52
EXERCÍCIO 13.1: ................................................................................................................................ 54
EXERCÍCIO 13.2: ................................................................................................................................ 55
EXERCÍCIO 13.3: ................................................................................................................................ 56
EXERCÍCIO 13.4: ................................................................................................................................ 58

5
EXERCÍCIO 14: ................................................................................................................................... 60
EXERCÍCIO 14.1: ................................................................................................................................ 62
EXERCÍCIO 14.2: ................................................................................................................................ 63
EXERCÍCIO 14.4: ................................................................................................................................ 67
EXERCÍCIO 15.2: ................................................................................................................................ 80
EXERCICIO 16 .................................................................................................................................... 88
3. CONCLUSÃO ............................................................................................................................. 91
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 92

6
1. INTRODUÇÃO
O trabalho desenvolvido no decorrer do primeiro bimestre do segundo semestre do ano
letivo de 2015, tem como objetivo fixar os assuntos tratados em sala de aula, a metodologia
abordada pelo professor é de replicar os exercícios aplicados em sala de aula como forma de
fixação e estudos dos mesmos, a seguir teremos os exercícios feitos em sala de aulas, e novos
modelos criados a partir deste, pelos alunos.

7
2. EXERCÍCIOS
EXERCÍCIO 1:
A roda da figura possui d = 0,3 m e gira com velocidade angular ω = 10π rad/s.
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009
Determine:
a) Período (T):
=
2
=
2
10
= 0,2
b) Frequência ( ):
=
1
=
1
0,2
= 5
c) Rotação ( ):
= 60 ∙ = 60 ∙ 5 = 300
d) Velocidade periférica ( ):
= ∙ = 10 ∙ 0,15 = 4,71 /

8
EXERCÍCIO 1.1:
Uma roda possui d = 0,6 m e gira com velocidade angular ω = 20π rad/s.
Determine:
a) Período (T):
=
2
=
2
20
= 0,1
b) Frequência ( ):
=
1
=
1
0,1
= 10
c) Rotação ( ):
= 60 ∙ = 60 ∙ 10 = 600
= ∙ = 20 ∙ 0,3 ≅ 18,85 /
EXERCÍCIO 1.2:
Determine:
a) Período (T):
=
2
=
2
5
= 0,4
b) Frequência ( ):
=
1
=
1
0,4
= 2,5
c) Rotação ( ):
= 60 ∙ = 60 ∙ 2,5 = 150

9
= ∙ = 5 ∙ 0,075 ≅ 1,18 /
EXERCÍCIO 1.3:
Determine:
a) Período (T):
=
2
=
2
8
= 0,25
b) Frequência ( ):
=
1
=
1
0,25
= 4
c) Rotação ( ):
= 60 ∙ = 60 ∙ 4 = 240
= ∙ = 8 ∙ 0,125 ≅ 3,14 /
EXERCÍCIO 1.4
Determine:
a) Período (T):
=
2
=
2
25
= 0,08
b) Frequência ( ):
=
1
=
1
0,08
= 12,5
c) Rotação ( ):

10
= 60 ∙ = 60 ∙ 12,5 = 750
= ∙ = 25 ∙ 0,2 ≅ 15,71 /
EXERCÍCIO 2:
O motor elétrico possui como característica de desempenho a rotação =1740rpm. Determine
as seguintes características de desempenho do motor:
Ano 2009
a) Velocidade angular ( ):
=
∙
30
=
1740
30
= 58 /
b) Período (T):
=
2
=
2
58 /
= 0,0345
c) Frequência ( ):
=
1
=
1
0,0345
= 29

11
EXERCÍCIO 2.1
Um motor elétrico possui rotação =2500rpm. Determine as seguintes características de
desempenho do motor:
=
∙
30
=
2500
30
≅ 83,4 /
b) Período (T):
=
2
=
2
83,4 /
≅ 0,024
c) Frequência ( ):
=
1
=
1
0,024
≅ 41,7
EXERCÍCIO 2.2
Determine as características abaixo, de motor elétrico com um período de T=0,028s
a) Frequência ( ):
=
1
=
1
0,028
≅ 35,7
b) Rotação ( ):
= 60. = 60.35,7 = 2142
c) Velocidade angular ( ):
=
∙
30
=
2142
30
≅ 71,4 /

12
EXERCÍCIO 2.3:
Um motor elétrico trabalha com rotação =1800rpm. Determine:
=
∙
30
=
1800
30
≅ 60 /
b) Período (T):
=
2
=
2
60 /
≅ 0,034
c) Frequência ( ):
=
1
=
1
0,034
≅ 29,42
EXERCÍCIO 2.4:
Determine as características abaixo, de motor elétrico com um período de T=0,016s
a) Frequência ( ):
=
1
=
1
0,016
≅ 62,5
b) Rotação ( ):
= 60. = 60.62,5 = 3750
c) Velocidade angular ( ):
=
∙
30
=
3750
30
≅ 125 /

13
EXERCÍCIO 3:
O ciclista monta uma bicicleta aro 26 (d=600mm), viajando com um movimento que faz com
que as rodas girem n= 240rpm. Qual a velocidade do ciclista?
Ano 2009
Velocidade Periférica ( ):
=
π. .
30
=
π. 240.0,30
30
=
8,29
Transformando para km/h:
=
8,29
. 3,6 =
30#
ℎ
EXERCÍCIO 3.1:
Um ciclista com bicicleta de aro 29 (d=622mm), viaja com um movimento que faz com que
as rodas girem n= 267,7rpm. Qual a velocidade do ciclista?
=
π. .
30
=
π ∙ 267,7 ∙ 0,311
30
=
8,72
=
8,72
. 3,6 ≅
31,4#
ℎ

14
EXERCÍCIO 3.2:
Um ciclista com bicicleta aro 28 (d=599mm), viaja com um movimento que faz com que as
rodas girem n= 258,5 rpm. Qual a velocidade do ciclista?
=
π. .
30
=
π ∙ 258,5 ∙ 0,2995
30
=
8,11
=
8,11
. 3,6 ≅
29,2#
ℎ
EXERCÍCIO 3.3:
que as rodas girem n= 221,5 rpm. Qual a velocidade do ciclista?
=
π. .
30
=
π ∙ 221,5 ∙ 0,26
30
=
6,03
=
6,03
. 3,6 ≅
21,9#
ℎ
EXERCÍCIO 3.4:
que as rodas girem n= 184,6 rpm. Qual a velocidade do ciclista?
=
π. .
30
=
π ∙ 184,6 ∙ 0,21
30
≅
4,06

15
=
4,06
. 3,6 ≅
14,6#
ℎ
EXERCÍCIO 4:
A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias com os
seguintes diâmetros, respectivamente:
Ano 2009
A polia 1 (motora) atua com velocidade angular ω1 = 39π rad/s.
Determinar:
a) Período da polia 1 ( %):
% =
2
%
=
2
39 /
= 0,0512
b) Frequência da polia 1 ( %):
% =
1
%
=
1
0,0512
= 19,5
c) Rotação da polia 1 ( %):

16
% = 60. % = 60.19,5 = 1170
d) Velocidade Angular da polia 2 ( &):
& =
%. %
&
=
39.100
180
≅ 21,67 /
e) Frequência da polia 2 ( &):
& =
&
2
=
21,67 /
2
= 10,83
f) Período da polia 2 (T&):
& =
2
&
=
2
21,67 /
= 0,0922
g) Rotação da polia 2 ( &):
& =
%. %
&
=
1170.100
180
= 650
h) Velocidade periférica da transmissão ( ):
= %. %
como:
% =
%
2
tem-se que:

17
=
%. %
2
=
39 / . 0,1
2
= 1,95 / ≅ 6,12 /
i) Relação de transmissão (i)
( =
&
%
=
180
100
= 1,8
EXERCÍCIO 4.1:
Polia 1 (motora) = 200
Polia 2 (movida) = 360
Determinar:
% =
2
%
=
2
78 /
= 0,0256
% =
1
%
=
1
0,0256
= 39
% = 60. % = 60.39 = 2340

18
& =
%. %
&
=
78.200
360
≅ 43,4 /
& =
&
2
=
43,4 /
2
= 21,7
& =
2
&
=
2
43,4 /
= 0,046
& =
%. %
&
=
2340.200
360
= 1300

= %. % como: % =
%
2
tem − se que:
=
%. %
2
=
78 / . 0,2
2
= 7,8 / ≅ 24,50 /
( =
&
%
=
360
200
= 1,8
EXERCÍCIO 4.2

19
Determinar:
% =
2
%
=
2
25 /
= 0,08
% =
1
%
=
1
0,08
= 12,5
% = 60. % = 60.12,5 = 750
& =
%. %
&
=
25.50
90
≅ 13,89 /
& =
&
2
=
13,89 /
2
= 6,945
& =
2
&
=
2
6,945 /
= 0,287
& =
%. %
&
=
750.50
90
≅ 416,7

20
= %. % como: % =
%
2
tem − se que:
=
%. %
2
=
25 / . 0,05
2
= 0,625 / ≅ 1,96 /
( =
&
%
=
90
50
= 1,8
EXERCÍCIO 4.3:
Determinar:
% =
2
%
=
2
117 /
= 0,017
% =
1
%
=
1
0,017
= 58,82
% = 60. % = 60.58,82 = 3529,2

21
& =
%. %
&
=
117.150
270
≅ 65 /
& =
&
2
=
65 /
2
= 32,5
& =
2
&
=
2
32,5 /
= 0,0615
& =
%. %
&
=
3529,2.150
270
≅ 1960,7

= %. % como: % =
%
2
tem − se que:
=
%. %
2
=
117 / . 0,15
2
= 8,775 / ≅ 27,55 /
( =
&
%
=
270
150
= 1,8

22
EXERCÍCIO 4.4:
Determinar:
% =
2
%
=
2
195 /
= 0,010
% =
1
%
=
1
0,010
= 100
% = 60. % = 60.100 = 6000
& =
%. %
&
=
195.250
450
≅ 108,4 /
& =
&
2
=
108,4 /
2
= 54,2
& =
2
&
=
2
54,2 /
= 0,0369

23
& =
%. %
&
=
6000.250
450
≅ 3333,4

= %. % como: % =
%
2
tem − se que:
=
%. %
2
=
195 / . 0,25
2
= 42,375 / ≅ 76,54 /
( =
&
%
=
450
250
= 1,8
EXERCÍCIO 5:
A transmissão por correias de um motor a combustão para automóvel, que aciona
simultaneamente as polias da bomba de água e do alternador.
Dimensões das polias:
%= 120 mm [Motor];
&= 90 mm [Bomba d'água];
3= 80 mm [Alternador].
A velocidade econômica do motor ocorre a rotação de %= 2800 rpm. Calcular:

24
Ano 2009
Polia 1 [Motor]
a) Velocidade angular ( %):
% =
%. %
30
=
. 2800
30
≅ 93,33 / ≅ 293,2 /
b) Frequência ( %):
% =
%
2
=
93,33 /
2
= 46,665
Polia 2 [Bomba d’água]
c) Velocidade angular ( &):
& =
%. %
&
=
120 . 93,33 /
90
≅ 124,44 / ≅ 390,94 /
d) Frequência ( &):

25
& =
&
2
=
124,44 /
2
= 62,22
e) Rotação ( &):
& = 60. & = 60.60,22 = 3733,2
Polia 3 [Alternador]
f) Velocidade angular ( 3):
3 =
%. %
3
=
120 . 93,33 /
80
≅ 140 / ≅ 439,82 /
g) Frequência ( 3):
3 =
3
2
=
140 /
2
= 70
h) Rotação ( 3):
3 = 60. 3 = 60.70 = 4200
i) Velocidade periférica ( ):
= %. % = 93,33 / . 0,06 = 5,6 / = 17,59 /
j) Relação de transmissão ((%) [Motor/Bomba d’água]:
(% =
%
&
=
120
90
= 1,33
k) Relação de transmissão ((&) [Motor/Alternador]:
(& =
%
3
=
120
80
= 1,5

26
EXERCÍCIO 5.1
%= 160 mm [Motor];
Com rotação de %= 4800 rpm. Calcular:
Polia 1 [Motor]
% =
%. %
30
=
. 4800
30
= 160 / ≅ 502,65 /
% =
%
2
=
160 /
2
= 80
& =
%. %
&
=
160 . 160 /
120
≅ 213,4 / ≅ 670,21 /
& =
&
2
=
213,4 /
2
= 106,7

27
e) Rotação ( &):
& = 60. & = 60.106,7 = 6402
3 =
%. %
3
=
160 . 160 /
105
≅ 243,81 / ≅ 765,95 /
3 =
3
2
=
243,81 /
2
≅ 121,9
h) Rotação ( 3):
3 = 60. 3 = 60.121,9 = 7314
= %. % = 160 / . 0,08 = 12,8 / ≅ 40,21 /
(% =
%
&
=
160
120
= 1,33
(& =
%
3
=
120
80
= 1,52

28
EXERCÍCIO 5.2
%= 100 mm [Motor];
Polia 1 [Motor]
% =
%. %
30
=
. 2500
30
≅ 83,4 / ≅ 261,8 /
% =
%
2
=
83,4 /
2
= 41,7
& =
%. %
&
=
100 . 83,4 /
80
= 104,25 / ≅ 327,5 /
& =
&
2
=
327,5
2
= 163,75

29
e) Rotação ( &):
& = 60. & = 60.163,75 = 9825
3 =
%. %
3
=
100 . 83,4 /
75
≅ 111,2 / ≅ 349,35 /
3 =
3
2
=
349,35 /
2
= 174,675
h) Rotação ( 3):
3 = 60. 3 = 60.174,675 = 10480,5
= %. % = 83,4 / . 0,05 = 4,17 / ≅ 13,10 /
(% =
%
&
=
100
80
= 1,25
(& =
%
3
=
100
75
= 1,33

30
EXERCÍCIO 5.3
%= 120 mm [Motor];
Polia 1 [Motor]
% =
%. %
30
=
. 5500
30
≅ 183,4 / ≅ 575,96 /
% =
%
2
=
183,4 /
2
= 91,7
& =
%. %
&
=
120 . 183,4 /
90
≅ 244,54 / ≅ 768,24 /
& =
&
2
=
244,54 /
2
= 122,27

31
e) Rotação ( &):
& = 60. & = 60.122,27 = 7336,2
3 =
%. %
3
=
120 . 183,4 /
80
= 275,1 / ≅ 864,25 /
3 =
3
2
=
275,1 /
2
= 137,55
h) Rotação ( 3):
3 = 60. 3 = 60.137,55 = 8253
= %. % = 183,4 / . 0,06 ≅ 11,00 / ≅ 34,56 /
(% =
%
&
=
120
90
= 1,33
(& =
%
3
=
120
80
= 1,5

32
EXERCÍCIO 5.4:
%= 150 mm [Motor];
Polia 1 [Motor]
% =
%. %
30
=
. 3000
30
= 100 / ≅ 314,16 /
% =
%
2
=
100 /
2
= 50
& =
%. %
&
=
150 . 100 /
100
≅ 150 / ≅ 471,24 /
& =
&
2
=
150 /
2
= 75
e) Rotação ( &):
& = 60. & = 60.75 = 4500

33
3 =
%. %
3
=
150 . 100 /
50
= 300 / ≅ 942,48 /
3 =
3
2
=
300 /
2
= 150
h) Rotação ( 3):
3 = 60. 3 = 60.150 = 9000
= %. % = 100 / . 0,03 = 3 / ≅ 9,425 /
(% =
%
&
=
150
100
= 1,5
(& =
%
3
=
150
50
= 3

34
EXERCÍCIO 6:
Determinar o torque do aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A
carga aplicada nas extremidades da haste é F = 80N. O comprimento da haste é l = 200mm
Figura 1.
45 = torque [N.mm]
F = carga aplicada [N]
S = distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça [m]
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 80 ∙ 100 = 16.000 8 ∙ = 16 8 ∙
EXERCÍCIO 6.1:
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 40 ∙ 150 = 12.000 8 ∙ = 12 8 ∙
EXERCÍCIO 6.2:
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 70 ∙ 50 = 7.000 8 ∙ = 7 8 ∙

35
EXERCÍCIO 6.3:
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 90 ∙ 60 = 10.800 8 ∙ = 10,8 8 ∙
EXERCÍCIO 6.4:
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 120 ∙ 250 = 36.000 8 ∙ = 36 8 ∙
EXERCÍCIO 7:
A partir da figura, determinar o torque de aperto (45) no parafuso da roda do automóvel. A
carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 120N, e o comprimento de cada
braço é l = 200mm.
Figura 2
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 120 ∙ 200 = 48.000 8 ∙ = 48 8 ∙

36
EXERCÍCIO 7.1:
A partir da figura (2), determinar o torque de aperto (45) no parafuso da roda do automóvel.
A carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 160N, e o comprimento de cada
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 160 ∙ 300 = 96.000 8 ∙ = 96 8 ∙
EXERCÍCIO 7.2:
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 80 ∙ 100 = 16.000 8 ∙ = 16 8 ∙
EXERCÍCIO 7.3:
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 45 ∙ 130 = 11.700 8 ∙ = 11,7 8 ∙
EXERCÍCIO 7.4:
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 200 ∙ 400 = 160.000 8 ∙ = 160 8 ∙

37
EXERCÍCIO 8:
A transmissão por correia da figura 3, é composta pela polia motora 1 que possui diâmetro
d1=10mm e a polia movida 2 de diâmetro d2=240mm. A transmissão é acionada por uma
força tangencial Ft=600N.
Determinar:
a) Torque na polia 1:
Raio da polia 1:
% =
1
2
=
100
2
= 50
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ % = 600 ∙ 0,05 = 30 8 ∙
b) Torque na polia 2
Raio da polia 2:
& =
2
2
=
240
2
= 120
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ 2 = 600 ∙ 0,12 = 72 8 ∙

38
EXERCÍCIO 8.1:
Determinar:
Raio da polia 1:
% =
1
2
=
20
2
= 10
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ % = 400 ∙ 0,01 = 4 8 ∙
Raio da polia 2:
& =
2
2
=
200
2
= 100
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ & = 400 ∙ 0,1 = 40 8 ∙

39
EXERCÍCIO 8.2:
Determinar:
Raio da polia 1:
% =
1
2
=
34
2
= 17
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ % = 100 ∙ 0,017 = 1,7 8 ∙
Raio da polia 2:
& =
2
2
=
180
2
= 90
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ & = 100 ∙ 0,09 = 9 8 ∙

40
EXERCÍCIO 8.3:
Determinar:
Raio da polia 1:
% =
1
2
=
44
2
= 22
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ % = 500 ∙ 0,022 = 11 8 ∙
Raio da polia 2:
& =
2
2
=
260
2
= 130
Torque na polia 2:
45 = 65 ∙ & = 500 ∙ 0,13 = 65 8 ∙

41
EXERCÍCIO 8.4:
Determinar:
Raio da polia 1:
% =
1
2
=
60
2
= 30
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ % = 750 ∙ 0,03 = 22,5 8 ∙
Raio da polia 2:
& =
2
2
=
600
2
= 300
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ & = 750 ∙ 0,3 = 225 8 ∙

42
EXERCÍCIO 9:
O elevador encontra-se projetado para transportar carga máxima Cmáx=7000N (10 pessoas).
O peso do elevador é Pe=1 kN e o contra-peso possui a mesma carga Cp= 1 kN. Determine a
potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade constante V= 1m/s.
9:;5;< = 6=>?; ∙ = 70008 ∙ 1 = 7000 @
9=A =
9(@)
735,5
=
7000
735,5
= 9,5 BC
EXERCÍCIO 9.1:
O elevador encontra-se projetado para transportar carga máxima Cmáx=5000N (7 pessoas). O
peso do elevador é Pe=1 kN e o contra-peso possui a mesma carga Cp= 1 kN. Determine a
9:;5;< = 6=>?; ∙ = 50008 ∙ 3 = 15000 @
9=A =
9(@)
735,5
=
15000
735,5
= 20,4 BC
EXERCÍCIO 9.2:
9:;5;< = 6=>?; ∙ = 110008 ∙ 5 = 55000 @
9=A =
9(@)
735,5
=
55000
735,5
= 74,8 BC

43
EXERCÍCIO 9.3:
O elevador encontra-se projetado para transportar carga máxima Cmáx=3000N (4 pessoas). O
peso do elevador é Pe=1 kN e o contra-peso possui a mesma carga Cp= 1 kN. Determine a
potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade constante V= 2,5m/s.
9:;5;< = 6=>?; ∙ = 30008 ∙ 2,5 = 7500 @
9=A =
9(@)
735,5
=
7500
735,5
= 10,2 BC
EXERCÍCIO 9.4:
potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade constante V= 1,8m/s.
9:;5;< = 6=>?; ∙ = 75008 ∙ 1,8 = 13500 @
9=A =
9(@)
735,5
=
13500
735,5
= 18,4 BC

44
EXERCÍCIO 10:
Um servente de pedreiro erguendo uma lata de concreto com peso 9= = 200 8. A corda e a
polia são ideais. A altura da laje é ℎ = 8 , e o tempo de subida de D = 20 . Determine a
potência útil do trabalho do operador.
6; = 6E ç G(B HGE E H E
9= = 9H E G D BE BE B HDE
6; = 9= = 2008
Velocidade de subida:
I =
ℎ
D
=
8
20
= 0,4 /
Potência util do operador:
9 = 6; ∙ I
9 = 2008 ∙ 0,4 = 80 @

45
EXERCÍCIO 10.1:
6; = 9= = 1508
I =
ℎ
D
=
9
25
= 0,36 /
9 = 6; ∙ I
9 = 1508 ∙ 0,36 = 54 @
EXERCÍCIO 10.2:
6; = 9= = 3008
I =
ℎ
D
=
10
50
= 0,2 /
9 = 6; ∙ I
9 = 3008 ∙ 0,2 = 60 @

46
EXERCÍCIO 10.3:
polia são ideais. A altura da laje é ℎ = 4,5 , e o tempo de subida de D = 30 . Determine a
6; = 9= = 1008
I =
ℎ
D
=
4,5
30
= 0,15 /
9 = 6; ∙ I
9 = 1008 ∙ 0,4 = 40 @
EXERCÍCIO 10.4:
6; = 9= = 508
I =
ℎ
D
=
20
60
= 0,33 /
9 = 6; ∙ I
9 = 508 ∙ 0,33 = 16,5 @

47
EXERCÍCIO 11:
Supondo que, no caso anterior, o operador seja substituido por um motor elétrico com
potência 9 = 0,25#@, determinar:
a) a velocidade de subida do concreto I
6I = 9= = 2008
I =
9:;5;<
6IJ?KL>
=
250 @
200 8
= 1,25 /
b)o tempo de subida da lata DI:
DI =
ℎ
I
=
8
1,25 /
= 6,4
EXERCÍCIO 11.1:
6I = 9= = 2008
I =
9:;5;<
6IJ?KL>
=
500 @
200 8
= 2,5 /
DI =
ℎ
I
=
8
2,5 /
= 3,2

48
EXERCÍCIO 11.2:
6I = 9= = 2008
I =
9:;5;<
6IJ?KL>
=
700 @
200 8
= 3,5 /
DI =
ℎ
I
=
8
3,5 /
= 2,9
EXERCÍCIO 11.3:
6I = 9= = 2008
I =
9:;5;<
6IJ?KL>
=
1000 @
200 8
= 5 /
DI =
ℎ
I
=
8
5 /
= 1,6

49
EXERCÍCIO 11.4:
6I = 9= = 2008
I =
9:;5;<
6IJ?KL>
=
100 @
200 8
= 0,5 /
DI =
ℎ
I
=
8
0,5 /
= 16
EXERCÍCIO 12:
Uma pessoa empurra um carrinho de supermercado, aplicando uma carga F= 150N,
deslocando-se em um percurso de S=42m, no tempo t=60s. Determine a potência para
movimentar o carrinho.
C =
D
=
42
60
= 0,7 /
9 = 6 M C
9 = 150 M 0,7
9 = 105@

50
EXERCÍCIO 12.1:
Qual a velocidade tangencial na extremidade da uma polia com diâmetro D=250 mm que gira
com n= 1500 RPM? Determine a potência para movimentar uma carga de massa m=300 kg?
=
M N M
60
=
M 0,25 M 1500
60
= 19,63 /
6 = M O = 300 M 9,81 = 2943 8
9 = 6 M C = 2943 M 19,63 = 57771,09 @ ≅ 57,77PQ
EXERCÍCIO 12.2:
Um veículo cujos pneus medem 500 mm de diâmetro e giram com n=1060 RPM. Em um
dado instante t, o motor que fornece torque na roda Mt=663 Nm, determine a força tangencial
na roda e determine a potência utilizada nesse instante t . (Desprezar qualquer efeito de perda).
=
M N M
60
=
M 0,5 M 1060
60
= 27,75 /
=
M
30
=
M 1060
30
= 111 ⁄
4D =
9
→ 663 =
9
111
∴ 9 = 73.593@ ≅ 100BC
6D =
4D
=
663
0,25
= 2652 8

51
EXERCÍCIO 12.3:
Um automóvel vai da cidade A para cidade B em 45 minutos. Sabendo que o diâmetro do
pneu é 500 mm e tem giro médio de 1591 RPM. Despeja 100 cv de potencia. Determine a
velocidade periférica da roda, distância entre as cidades, velocidade angular da roda e torque.
=
M N M
60
=
M 0,5 M 1591
60
= 41,65 /
=
7
D
→ 41,65 =
(45 M 60)
∴ = 112,46 P
=
M
30
=
M 1591
30
= 166,61 ⁄
9 = 4D M → 73550 = 4D M 166,61 ∴ 4D = 441,458
EXERCÍCIO 12.4:
Um ciclista mantém velocidade de 30 Km/h durante uma prova. Ele aplica força F= 852N
para manter a sua velocidade. Determine a potência do ciclista e qual a distância da prova,
considerando um tempo total de 01h 24min e 03seg.
= 30 # ℎ ≅ 8,33 ⁄⁄
9 = 852 M 8,33 = 7091,16@ ≅ 9,65BC
C =
D
→ 8,33 =
(60 M 60) + (24 M 60) + 3
∴ = 42.008P ≅ 42P

52
EXERCÍCIO 13:
A transmissão por correia é acionada por um motor com potência P= 5,5kW com rotação
n=1720 RPM, chavetando a polia 1 no sistema.
% = 120 (diâmetro da polia 1);
& = 300 (diâmetro da polia 2);
Ano 2009.
Determine para a transmissão:
a) velocidade angular da polia 1( %),
% =
.
30
=
1720.
30
= 180,12 ⁄
b) frequência da polia 1( %),
% =
%
60
=
1720
60
= 28,67
A rotação da polia 1 % é a mesma rotação do motor n = 1720rpm, poia a polia encontra-se
chavetando ao eixo-árvore do motor.
c) torque da polia 1(4D%),
4D% =
9
=
5500
180,12
= 30,568

53
d) Velocidade angular da polia ( &):
& =
1
2
. % =
0,12
0,3
∙ 180,12 = 72,05 ⁄
e) frequência da polia 2 ( &),
& =
&
2
=
72,05
2
= 11,47
f) rotação da polia 2( &),
& = 60. 2 = 60.11,47 = 688
g) torque da polia 2(4D&),
4D& =
9
&
=
5500
72,05
= 76,338
h) relação de transmissão (i),
( =
2
1
=
0,3
0,12
= 2,5
i) velocidade periférica da transmissão (Vp):
% = %. % = 180,12 ∙ 0,06 = 10,81 ⁄
j) força tangencial (Ft).
6D → 6D% = 6D&
6D =
4D%
%
=
30,56
0,06
= 509,348

54
EXERCÍCIO 13.1:
A transmissão por correias, representada na figura abaixo é acionada pela polia 1 por um
motor elétrico com potência P e rotação % = 3000 rpm.
% = 150 (diâmetro da polia 1);
& = 450 (diâmetro da polia 2);
Determine:
a) potência para que o conjunto desenvolva força tangencial de 1000 N:
% =
∙
30
=
3000 ∙
30
= 314,16 ⁄
6D =
%
%
→ 1000 =
4D%
0,075
∴ 4D% = 758
4D% =
9
%
→ 75 =
9
314,16
∴ 9 = 23562@ ≅ 23,56
b) rotação da polia 2:
& =
1
2
∙ % =
0,15
0,45
∙ 314,16 = 104,72 ⁄
c) relação da transmissão:
( =
2
1
=
0,45
0,15
= 3
d) velocidade periférica do conjunto:
1 = 2
1 = 1 M 1 = 314,16 M 0,075 = 23,56 ⁄

55
EXERCÍCIO 13.2:
A transmissão por correias, representada na figura, é acionada pela polia 1 por um motor
elétrico com potência P=7,5 kW (10cv) e rotação % = 1140 .
As polias possuem respectivamente, os seguintes diâmetros 120 mm e 220 mm.
Determine:
a) velocidade angular polia 1 ( %):
% =
∙
30
=
1140 ∙
30
= 119,38 ⁄
b) frequência polia 1 ( %):
% =
%
60
=
1140
60
= 19
c) torque polia 1 (4D%):
4D% =
9
%
=
7500
119,38
= 62,84 8
d) velocidade angular polia 2 ( &):
& =
1
2
∙ % =
0,12
0,22
∙ 119,38 = 65,12 ⁄
e) frequência polia 2 ( &):
& =
&
2
=
65,12
2
= 10,36
f) rotação polia 2 ( &):
& = 60 ∙ & = 60 ∙ 10,36 = 621,6
g) torque polia 2 (4D&):
4D& =
9
&
=
7500
65,12
= 115,17 8
h) velocidade da correia ( ):
→ % = &
& = & ∙ & = 65,12 ∙ 0,11 = 7,16 ⁄

56
i) força tangencial na correia (Ft):
6D → 6D% = 6D&
6D =
4D&
&
=
115,17
0,11
= 1047 8
j) relação da transmissão (i):
( =
2
1
=
0,22
0,12
= 1,83
EXERCÍCIO 13.3:
A transmissão por correias, representada pela figura, é acionada pela polia 1 por um motor
elétrico com potência P=7,5 KW (10cv) e rotação n1=2000 RPM.
a) velocidade angular polia 1( %):
% =
∙
30
=
1140 ∙
30
= 119,38 ⁄
b) frequência polia 1 ( %):
% =
%
60
=
1140
60
= 19
c) torque polia 1 (4D%):
4D% =
9
%
=
7500
119,38
= 62,84 8

57
d) velocidade angular polia 2 ( &):
& =
1
2
∙ % =
0,15
0,35
∙ 119,38 = 51,16 ⁄
3 = &
e) frequência polia 2 e 3 ( & H 3):
2 =
&
2
=
51,16
2
= 8,14
3 = &
f) rotação polia 2 e 3 ( & H 3):
& = 60 ∙ & = 60 ∙ 8,14 = 488,4
3 = 2
g) torque polia 2 e 3 (4D& H 4D3 ):
4D& =
9
&
=
7500
51,16
= 146,6 8
4D& = 4D 3
h) velocidade das correias ( ):
% = &
& = & ∙ & = 51,16 ∙ 0,175 = 8,95 ⁄
3 = 3 ∙ 3 = 51,16 ∙ 0,05 = 2,56 ⁄
3 = ^
i) força tangencial nas correias (6B):
6B% → 6D% = 6D&
6B% =
4D&
&
=
146,6
0,175
= 837,71 8
6B& → 6D3 = 6D^

58
6B& =
4D3
3
=
146,6
0,05
= 2932 8
j) diâmetro polia 4:
^ =
∙
30
=
100 ∙
30
= 10,47 ⁄
^ =
3
^
∙ 3 → 10,47 =
0,1
4
∙ 51,16 ∴ ^ = 0,488
EXERCÍCIO 13.4:
A esquematização da figura representa um motor a combustão para automóvel, que aciona
simultaneamente as polias da bomba d’água e do alternador. As curvas de desempenho do
motor representam para o torque máximo a potência P=35,3 KW(48cv) atuando com rotação
n=2000 rpm. Determine para a condição de torque máximo:
Ano 2009.
Determine:
a) velocidade angular polia motor:
% =
∙
30
=
2000 ∙
30
= 209,45 ⁄

59
b) frequência polia motor:
% =
%
60
=
2000
60
= 33,33
c) torque polia motor:
4D% =
9
%
=
35300
209,45
= 168,5 8
d) velocidade angular polia bomba:
& =
1
2
∗ % =
0,12
0,09
∙ 209,45 = 279,27 ⁄
e) frequência polia bomba,
& =
&
2 ∙
=
279,27
2 ∙
= 44,445
f) rotação polia bomba,
& = & ∙ 60 = 44,445 M 60 = 2666,7
g) torque polia bomba:
4D& =
9
&
=
35300
279,27
= 126,4 8
h) velocidade angular polia alternador:
3 =
1
3
∙ 1 =
0,12
0,08
∙ 209,45 = 314,175 ⁄
i) frequência polia alternador:
3 =
3
2 ∙
=
314,175
2 ∙
= 50
j) rotação polia alternador:
& = & ∙ 60 = 50 ∙ 60 = 3000
k) torque polia alternador,
4D3 =
9
3
=
35300
314,175
= 112,35 8

60
l) relação de transmissão (% (motor/bomba d’água):
(% =
1
2
=
0,12
0,09
= 1,33
m) relação de transmissão (& (motor/alternador):
(& =
1
3
=
0,12
0,08
= 1,5
n) força tangencial:
65 =
4D%
%
=
168,58
0,06
≅ 28088
o) velocidade periférica.
% = & = 3
% = % ∙ % = 209,45 ∙ 0,06 = 12,56 ⁄
EXERCÍCIO 14:
A transmissão por engrenagens é acionada por meio do pinhão 1 acoplado a um motor elétrico
4 polos, com potência P=15kW (20cv) e rotação n=1720 rpm.
Ano 2009

61
Determine;
a) velocidade angular engrenagem 1:
% =
∙
30
=
1720 ∙
30
= 180,12 ⁄
b) frequência polia engrenagem 1:
% =
%
2 ∙
=
180,12
2 ∙
= 28,68
c) torque engrenagem 1:
4D% =
9
%
=
15000
180,12
= 83,28 8
d) velocidade angular engrenagem 2:
& =
`1
`2
∙ % =
24
73
∙ 180,12 = 59,21 ⁄
e) frequência engrenagem 2:
& =
&
2 ∙
=
59,21
2 ∙
= 9,42
f) rotação engrenagem 2:
& = & ∙ 60 = 9,42 ∙ 60 = 565
g) torque engrenagem 2:
4D& =
9
&
=
15000
59,21
= 253,33 8
h) velocidade periférica:
1 = ∙ `1 = 4 ∙ 24 = 96
% = &
% = % ∙ % = 180,12 ∙ 0,048 = 8,64 ⁄

62
i) força tangencial:
6D =
2 ∙ 4D%
1
=
2 ∙ 4D&
2
6D =
2 ∙ 4D%
1
=
2 ∙ 83,28
0,096
= 1735 8
j) relação da transmissão.
( =
`2
`1
=
73
24
= 3,04
EXERCÍCIO 14.1:
Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos de módulo m = 6 mm estão engrenadas,
montadas em dois eixos paralelos que têm uma distância entre centros de 288mm. Sabendo
que a relação de transmissão entre as engrenagens é 3/1, determine os números de dentes
dessas engrenagens:
% =
%
%
→ 6 =
%
%
∴ % = 6 ∙ %
& =
&
&
→ 6 =
&
&
∴ & = 6 ∙ &
( =
%
&
→
3
1
=
%
&
∴ % = 3 &
( % + &)
2
= 288
6 ∙ % + 6 ∙ & = 288 ∙ 2
6 ∙ (3 ∙ &) + 6 ∙ & = 576
24 ∙ & = 576

63
& = 24
% = 3 &
% = 72
EXERCÍCIO 14.2:
Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos de módulo m = 5 mm estão engrenadas,
montadas em dois eixos paralelos que têm uma distância entre centros de 300mm. Sabendo
que a relação de transmissão entre as engrenagens é 3/1, determine os números de dentes
dessas engrenagens:
% =
%
%
→ 5 =
%
%
∴ % = 5 ∙ %
& =
&
&
→ 5 =
&
&
∴ & = 5 ∙ &
( =
%
&
→
3
1
=
%
&
∴ % = 3 &
( % + &)
2
= 300
5 ∙ % + 5 ∙ & = 300 ∙ 2
5 ∙ (3 ∙ &) + 5 ∙ & = 600
20 ∙ & = 600
& = 30
% = 3 &
% = 90

64
EXERCÍCIO 14.3:
A transmissão por engrenagem da figura é composta por um motor elétrico com potência (P) e
rotação (n) acoplado a uma transmissão por engrenagem com as seguintes características.
Ano 2009.
N%= mm;
N&= mm;
Os números de dentes das engrenagens são:
`%= Número de dentes engrenagem 1;
`&= Número de dentes engrenagem 2;
`3= Número de dentes engrenagem 3;
`^= Número de dentes engrenagem 4;
Os rendimentos são:
a = (Transmissão por engrenagens);
: = ePar de mancais (Rolamentos)h;
= = (Transmissão por correia);
Determinar para transmissão:
A) Potência útil nas árvores I, II e III:

65
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ : e@h
Árvore II
9u&=9u%∙ a∙ : [W]
Árvore III
9u3 = 9u& ∙ a ∙ : e@h
B) Potência dissipada/estágio:
1º Estágio (motor/árvore I)
9d% = 9:;5;< − 9u% e@h
2º Estágio (árvore II/árvore III)
9d& = 9u% − 9u& e@h
9d3 = 9u& − 9u3 e@h
C) Rotação nas árvores I, II e III:
Rotação árvore I
% = :;5;< e h
Rotação árvore II
& =
∙ %
&
e h
Rotação árvore III
3 =
%
&
M
3
^
e h
D) Torque nas árvores I, II e III:

66
Árvore I
4D% =
9u%
%
=
30 ∙ 9u%
∙ %
e8 h
Árvore II
4t& =
9u&
&
=
30 ∙ 9u&
∙ &
e8 h
Árvore III
4t3 =
9u3
3
=
30 ∙ 9u3
∙ 3
e8 h
E) Potência útil do sistema:
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 9I>íL> [W]
F) Potência dissipada do sistema:
9dIKI5 = 9:;5;< − 9u3 [W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
G) Rendimento da transmissão:
j =
9I>íL>
9ak5<>L>
=
9uIKI5
95;5>l

67
EXERCÍCIO 14.4:
A transmissão por engrenagem da figura é composta por um motor elétrico com potência (5,5
kW) e rotação (1740 rpm) acoplado a uma transmissão por engrenagem com as seguintes
características.
Ano 2009.
N%=120 mm;
N&=280 mm;
%m Número de dentes engrenagem 28;
&= Número de dentes engrenagem 49;
3= Número de dentes engrenagem 27;
^= Número de dentes engrenagem 59;
a = 0,98 (Transmissão por engrenagens);
: = 0,99 ePar de mancais (Rolamentos)h;
= = 0,97 (Transmissão por correia − V);

68
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ : e@h
9u = 9:;5;< ∙ : ∙ =
9u = 5500 ∙ 0,97 ∙ 0,99
9u = 5280 @
Árvore II
9u&=9:;5;< ∙ = ∙ a ∙ ²: [W]
9u&=5500 ∙ 0,97 ∙ 0,98 ∙ 0,99²
9u&=5120 @
Árvore III
9u3 = 9:;5;< ∙ = ∙ ²a ∙ 3
: e@h
9u3 = 5500 ∙ 0,97 ∙ 0,98² ∙ 0,99³
9u3 = 4970 Q
9d% = 9:;5;< − 9u% e@h
9d% = 5500 − 5280
9d% = 220 @
9d& = 9u% − 9u& e@h
9d& = 5280 − 5120
9d& = 160 @

69
9d3 = 9u& − 9u3 e@h
9d3 = 5120 − 4970
9d3 = 150 @
Rotação árvore I
% =
:;5;< ∙ %
&
e h
% =
1740 ∙ 120
280
% = 748 q94
& =
∙ % ∙ %
& ∙ &
e h
& =
5500 ∙ 120 ∙ 23
280 ∙ 49
& = 350
3 =
k∙Lr∙sr∙st
Lu∙su∙sv
[rpm]
3 =
1740 ∙ 120 ∙ 23 ∙ 27
280 ∙ 49 ∙ 59
3 = 160

70
D) Torque nas árvores I,II e III:
Árvore I
4t% =
9u%
%
=
30 ∙ 9u%
∙ %
e8 h
4t% =
30 ∙ 5280
∙ 746
4t% = 68 8
Árvore II
4t& =
9u&
&
=
30 ∙ 9u&
∙ &
e8 h
4t& =
30 ∙ 5120
∙ 350
4t& = 140 8
Árvore III
4t3 =
9u3
3
=
30 ∙ 9u3
∙ 3
e8 h
4t3 =
30 ∙ 4970
∙ 160
4t3 = 297 8
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 4970 @
9dIKI5 = 9:;5;< − 9w3[W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
9dIKI5 = 5500 − 4970
9dIKI5 = 530 @

71
j =
9I>íL>
9ak5<>L>
=
9uIKI5
95;5>l
j =
4970
5550
j = 0,9
EXERCÍCIO 15:
características.
Ano 2009.
N%=100 mm;
N&=250 mm;

72
: = 0,97 (Transmissão por correia − V);
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ : e@h
9u = 9:;5;< ∙ : ∙ =
9u = 7200 ∙ 0,97 ∙ 0,99
9u = 6914 @
Árvore II
9u&=9:;5;< ∙ = ∙ a ∙ &
: [W]
9u&=7200 ∙ 0,97 ∙ 0,98 ∙ 0,99²
9u&=6708 @
Árvore III
9u3 = 9:;5;< ∙ = ∙ ²a ∙ 3
: e@h
9u3 = 7200 ∙ 0,97 ∙ 0,98² ∙ 0,99³
9u3 = 6508 @

73
9d% = 9:;5;< − 9u% e@h
9d% = 7200 − 6914
9d% = 286 @
9d& = 9u% − 9u& e@h
9d& = 6914 − 6708
9d& = 206 @
9d3 = 9u& − 9u3 e@h
9d3 = 6708 − 6508
9d3 = 200 @
Rotação árvore I
% =
:;5;< ∙ %
&
e h
% =
1200 ∙ 100
250
% = 480
& =
∙ % ∙ %
& ∙ &
e h
& =
1200 ∙ 100 ∙ 30
250 ∙ 52
& = 277

74
3 =
k∙Lr∙sr∙st
Lu∙su∙sv
[rpm]
3 =
1200 ∙ 100 ∙ 30 ∙ 25
250 ∙ 52 ∙ 70
3 = 99
Árvore I
4t% =
9u%
%
=
30 ∙ 9u%
∙ %
e8 h
4t% =
30 ∙ 6914
∙ 480
4t% = 137,5 8
Árvore II
4t& =
9u&
&
=
30 ∙ 9u&
∙ &
e8 h
4t& =
30 ∙ 6708
∙ 277
4t& = 231 8
Árvore III
4t3 =
9u3
3
=
30 ∙ 9u3
∙ 3
e8 h
4t3 =
30 ∙ 6508
∙ 99
4t3 = 627,7 8
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 6508 @

75
9dIKI5 = 9:;5;< − 9w3[W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
9dIKI5 = 7200 − 6508
9dIKI5 = 692 @
j =
9I>íL>
9ak5<>L>
=
9uIKI5
95;5>l
j =
6508
7200
j = 0,903
EXERCÍCIO 15.1:
características.
Ano 2009.
N%=200 mm;
N&=100 mm;

76
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ : e@h
9u = 9:;5;< ∙ : ∙ =
9u = 9300 ∙ 0,97 ∙ 0,99
9u = 8930,8 @
Árvore II
9u&=9:;5;< ∙ = ∙ a ∙ &
: [W]
9u&=9300 ∙ 0,97 ∙ 0,98 ∙ 0,99²
9u&=8664,65 @
Árvore III
9u3 = 9:;5;< ∙ = ∙ ²a ∙ 3
: e@h
9u3 = 9300 ∙ 0,97 ∙ 0,98² ∙ 0,99³
9u3 = 8406,4 @

77
9d% = 9:;5;< − 9u% e@h
9d% = 9300 − 8930,8
9d% = 369,2 @
9d& = 9u% − 9u& e@h
9d& = 8930,8 − 8664,65
9d& = 266,2 @
9d3 = 9u& − 9u3 e@h
9d3 = 8664,65 − 8406,4
9d3 = 258,2 @
Rotação árvore I
% =
:;5;< ∙ %
&
e h
% =
1500 ∙ 200
100
% = 3000
& =
∙ % ∙ %
& ∙ &
e h
& =
1500 ∙ 200 ∙ 15
100 ∙ 30
& = 1500

78
3 =
k∙Lr∙sr∙st
Lu∙su∙sv
[rpm]
3 =
1500 ∙ 200 ∙ 15 ∙ 45
100 ∙ 30 ∙ 90
3 = 750
D) Torque nas árvores I, II e III:
Árvore I
4t% =
9u%
%
=
30 ∙ 9u%
∙ %
e8 h
4t% =
30 ∙ 8930,8
∙ 3000
4t% = 28,43 8
Árvore II
4t& =
9u&
&
=
30 ∙ 9u&
∙ &
e8 h
4t& =
30 ∙ 8664,65
∙ 1500
4t& = 55,16 8
Árvore III
4t3 =
9u3
3
=
30 ∙ 9u3
∙ 3
e8 h
4t3 =
30 ∙ 8406,4
∙ 750
4t3 = 107 8

79
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 8406,4 @
9dIKI5 = 9:;5;< − 9w3[W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
9dIKI5 = 9300 − 8406,4
9dIKI5 = 893,6 @
j =
9I>íL>
9ak5<>L>
=
9uIKI5
95;5>l
j =
8406,4
9300
j = 0,903

80
EXERCÍCIO 15.2:
A transmissão por engrenagem da figura é composta por um motor elétrico com potência (3
características.
Ano 2009.
N%=100 mm;
N&=300 mm;

81
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ : e@h
9u = 9:;5;< ∙ : ∙ =
9u = 3000 ∙ 0,98 ∙ 0,98
9u = 2881,2 @
Árvore II
9u&=9:;5;< ∙ = ∙ a ∙ &
: [W]
9u&=3000 ∙ 0,98 ∙ 0,92 ∙ 0,98²
9u&=2597,7@
Árvore III
9u3 = 9:;5;< ∙ = ∙ ²a ∙ 3
: e@h
9u3 = 3000 ∙ 0,98 ∙ 0,92² ∙ 0,98³
9u3 = 2342 @
9d% = 9:;5;< − 9u% e@h
9d% = 3000 − 2881,2
9d% = 118,8 @
9d& = 9u% − 9u& e@h
9d& = 2881,2 − 2597,7
9d& = 283,5 @

82
9d3 = 9u& − 9u3 e@h
9d3 = 2591,7 − 2342
9d3 = 255,7 @
Rotação árvore I
% =
:;5;< ∙ %
&
e h
% =
1500 ∙ 100
300
% = 500
& =
∙ % ∙ %
& ∙ &
e h
& =
1500 ∙ 100 ∙ 15
300 ∙ 30
& = 250
3 =
k∙Lr∙sr∙st
Lu∙su∙sv
[rpm]
3 =
1500 ∙ 100 ∙ 15 ∙ 45
300 ∙ 30 ∙ 90
3 = 125

83
Árvore I
4t% =
9u%
%
=
30 ∙ 9u%
∙ %
e8 h
4t% =
30 ∙ 2881,2
∙ 500
4t% = 55,02 8
Árvore II
4t& =
9u&
&
=
30 ∙ 9u&
∙ &
e8 h
4t& =
30 ∙ 2591,7
∙ 250
4t& = 98,99 8
Árvore III
4t3 =
9u3
3
=
30 ∙ 9u3
∙ 3
e8 h
4t3 =
30 ∙ 2342
∙ 125
4t3 = 178,9 8
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 2342 @
9dIKI5 = 9:;5;< − 9w3[W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
9dIKI5 = 3000 − 2342
9dIKI5 = 658 @

84
j =
9I>íL>
9ak5<>L>
=
9uIKI5
95;5>l
j =
2342
3000
j = 0,78
EXERCÍCIO 15.3:
características.
Ano 2009.
N%=100 mm;
N&=500 mm;

85
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ : e@h
9u = 9:;5;< ∙ : ∙ =
9u = 1500 ∙ 0,98 ∙ 0,98
9u = 1440,6 @
Árvore II
9u&=9:;5;< ∙ = ∙ a ∙ &
: [W]
9u&=1500 ∙ 0,98 ∙ 0,92 ∙ 0,98²
9u&=1298,8 @
Árvore III
9u3 = 9:;5;< ∙ = ∙ ²a ∙ 3
: e@h
9u3 = 1500 ∙ 0,98 ∙ 0,92² ∙ 0,98³
9u3 = 1171 @
9d% = 9:;5;< − 9u% e@h
9d% = 1500 − 1440,6
9d% = 59,94 @

86
9d& = 9u% − 9u& e@h
9d2 = 1440,6 − 1298,8
9d2 = 141,26 @
9d3 = 9u& − 9u3 e@h
9d3 = 1298,8 − 1171
9d3 = 127,8 @
Rotação árvore I
% =
:;5;< ∙ %
&
e h
% =
750 ∙ 100
500
% = 150
& =
∙ % ∙ %
& ∙ &
e h
& =
750 ∙ 100 ∙ 90
500 ∙ 45
& = 300
3 =
k∙Lr∙sr∙st
Lu∙su∙sv
[rpm]
3 =
750 ∙ 100 ∙ 90 ∙ 30
500 ∙ 45 ∙ 15
3 = 600

87
Árvore I
4t% =
9u%
%
=
30 ∙ 9u%
∙ %
e8 h
4t% =
30 ∙ 1440,6
∙ 150
4t% = 91,7 8
Árvore II
4t& =
9u&
&
=
30 ∙ 9u&
∙ &
e8 h
4t& =
30 ∙ 1298,8
∙ 300
4t& = 41,34 8
Árvore III
4t3 =
9u3
3
=
30 ∙ 9u3
∙ 3
e8 h
4t3 =
30 ∙ 1171
∙ 600
4t3 = 18,64 8
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 1171 @
9dIKI5 = 9:;5;< − 9w3[W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
9dIKI5 = 1500 − 1171
9dIKI5 = 329 @

88
j =
9I>íL>
9ak5<>L>
=
9uIKI5
95;5>l
j =
1171
1500
j = 0,78
EXERCICIO 16
A transmissão por engrenagens, representada na figura, é acionada por meio do pinhão 1
acoplado a um motor elétrico de IV polos de potência P=15kW e rotação n= 1720rpm.
As características das engrenagens são:
Pinhão (engrenagem 1); = 24 dentes (número de dentes); m= 4mm (módulo);
Coroa (engrenagem 2); = 73 dentes (número de dentes); m= 4mm (módulo);
Determinar para a transmissão:
Engrenagem 1 [Pinhão];
Pinhão 1
A) Velocidade angular )( 1ωωωω
s
rad33,57
30
1720.
o3
n.
11
1
1 ππππωωωω
ππππ
ωωωω
ππππ
ωωωω =⇒=⇒=

89
B) Freqüência )f( 1
Hz66,28f
2
33,57
f
2
f 11
1
1 =⇒=⇒=
ππππ
ππππ
ππππ
ωωωω
C) Torque )M( 1T
m.N33,83M
1720
15000
.
30
M
n
P
.
30
M 1T1T1T =⇒=⇒=
ππππππππ
Coroa 2
D) Velocidade angular )( 2ωωωω
s
rad849,18
30
47,565.
30
n.
11
1
1 ππππωωωω
ππππ
ωωωω
ππππ
ωωωω =⇒=⇒=
E) Freqüência )f( 2
Hz42,9f
2
849,18
f
2
f 22
2
2 =⇒=⇒=
ππππ
ππππ
ππππ
ωωωω
F) Rotação )n( 2
RPM47,565n73.n24.1720z.nz.n 222211 =⇒=⇒=
G) Torque )M( 2T
m.N43,253M
47,565
15000
.
30
M
n
P
.
30
M 2T2T2T =⇒=⇒=
ππππππππ
H) Velocidade periférica PV( )
s
m751,2V
2
1000
4.24
.33,57V
2
1000
M.z
.33,57V
r.V
P
P
1
P
1P
ππππ
ππππ
ππππ
ωωωω
=
=
=
=

90
I)Força tangencial )F( T
48r
2
4.24
r
2
M.z
r 1
=⇒=⇒=
N4,1735Fm.N735,1F
48
3,83
F
r
M
F TTT
T
T =⇒=⇒=⇒=
J) Relação de transmissão (i)
04,3i
24
73
i
z
z
i
1
2
=⇒=⇒=

91
3. CONCLUSÃO
Vimos que a metodologia adotada pelo professor Paulo Lagos, é bem interessante uma vez
que incentiva o aluno a criar seus próprios exercícios para obter a nota bimestral. É uma
metodologia mais didática, que se bem praticada pelo aluno com certeza agrega mais valor ao
estudo, do que somente “estudar para provas”.

92
REFERÊNCIAS
Autor desconhecido. Calculando RPM. Disponível em:
<http://www.essel.com.br/cursos/material/01/CalculoTecnico/aula8b.pdf>. Acesso em: 20 set.
2015.
LINO, Paulo Sérgio Costa. Polias, Correias e Transmissão de Potência. 2013. Disponível
em: <http://blogdaengenharia.com/wp- content/uploads/2013/05/PoliaseCorreias.pdf>.
Acesso em: 13 set. 2015.
MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica. Ano 2009.
SARDÁ, Alexandre Augusto Pescador. TRENS DE ENGRENAGENS TRENS DE
ENGRENAGENS. Disponível em: <http://ftp.demec.ufpr.br/disciplinas/TM129/Prof.
Pescador/Trens de engrenagem.pdf>. Acesso em: 20 set. 2015.

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