Estatc3adstica cap-01

27/06/16 04:01 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva
Estatística AplicadaEstatística Aplicada II
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Capítulo ICapítulo I
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Estatística DescritivaEstatística Descritiva
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica


Introdução

Conceitos e definições

Classificação dos dados

Caracterização e apresentação dos dados

Estatísticas amostrais

Outras apresentações gráficas de dados

Regressão linear
I - Estatística Descritiva


Introdução

Conceitos e definições

Classificação dos dados

Caracterização e apresentação dos dados

Estatísticas amostrais

Outras apresentações gráficas de dados

Regressão linear

1.1 Introdução
 ESTATÍSTICA: É a disciplina que objetiva estudar os
métodos científicos para a coleta, organização, resumo,
apresentação e análise de dados, bem como obter
conclusões válidas e tomar decisões razoáveis baseadas
em tais análises.
 Técnicas Estatísticas: São as várias técnicas por meio
das quais é possível estudar conjuntos de dados e, a
partir de uma amostra (se necessária), tirar conclusões
válidas para conjuntos maiores (população).

1.1 Introdução
 De uma maneira geral, as técnicas estatísticas são
utilizadas em três etapas principais do trabalho de
pesquisa:
1. A coleta de dados, incluindo o planejamento do
trabalho e da pesquisa;
2. A apresentação dos dados coletados; e
3. A análise dos dados coletados, com a formulação
de conclusões e generalizações.

1.1 Introdução
- Essa primeira etapa corresponde ao estabelecimento
do método de coleta de dados (questionário ou teste
ou ensaio de material) e elaboração dos
questionamentos ou determinação das variáveis que
serão estudadas, de acordo com o interesse do
pesquisador; e o cálculo do tamanho da amostra, de
acordo com a natureza da pesquisa, do tempo e do
orçamento disponíveis.
COLETA DE DADOS

1.1 Introdução
- A segunda etapa requer técnicas específicas para a
transformação dos dados numéricos em tabelas ou
gráficos (é a partir da organização dos dados
coletados que se poderá elaborar a interpretação).
APRESENTAÇÃO DOS DADOS COLETADOS
ANÁLISE DOS DADOS COLETADOS
- Essa etapa é simultânea à anterior, pois durante a
própria organização dos dados já é possível ir
percebendo a tendência geral da pesquisa.

1.1 Introdução
• No sentido de melhor esclarecer o significado da
análise e interpretação dos dados, deve-se estabelecer
uma distinção entre
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
e
INFERÊNCIA
ESTATÍSTICA

1.1 Introdução
• Como o próprio nome sugere, constitui-se num conjunto
de técnicas que objetivam descrever, analisar e interpretar
os dados numéricos de uma população ou amostra.
 Estatística Descritiva: Objetiva sintetizar e representar de
uma forma compreensível a informação contida num
conjunto de dados.
• Materializa-se na construção de tabelas e/ou gráficos ou
no cálculo de medidas que representem convenientemente
a informação contida nos dados.
• Adquire importância quando o volume de dados for
significativo.

1.1 Introdução
• Objetivo mais ambicioso que o da estatística descritiva.
 Inferência Estatística: Baseada na análise de um conjunto
limitado de dados (uma amostra), objetiva caracterizar o
todo a partir do qual tais dados foram obtidos (a população).
• Os métodos e técnicas utilizados são mais sofisticados.

1.1 Introdução
Figura 1.1- Diferença entre Estatística Descritiva e Inferência
Estatística (Silva e Carvalho, 2006).

1.1 Introdução
Figura 1.2- Diferença entre Estatística Descritiva e Inferência
Estatística (Silva e Carvalho, 2006).

1.2 Conceitos e Definições
 População: É o conjunto de todos os elementos que contêm
uma certa característica que se deseja estudar.
• Como é comum a todos os elementos, esta característica
varia em quantidade ou qualidade.
• Uma população pode ter dimensão finita ou infinita.
 Amostra: É um subconjunto de dados que pertencem à
população. As amostras aleatórias são escolhidas por meio
de processos (técnicas de amostragem) que garantem que o
subconjunto obtido é representativo da população.

 Principais motivos para o estudo da amostra:
1. População infinita;
2. Custo em termos de tempo ou de dinheiro que um
estudo em toda a população implicaria;
3. Obtenção de informação por meio de testes destrutivos,
no âmbito industrial;
4. Impossibilidade de acesso a todos os elementos da
população.

 Fases do método de análise estatística:
• No âmbito da Estatística, o método de abordagem dos
problemas pode ser dividido em cinco fases:
1. Estabelecimento do objetivo da análise a efetuar (questões a
serem resolvidas) e definição das populações correspondentes;
2. Concepção de um procedimento adequado para a seleção de
uma ou mais amostras (escolha das técnicas de amostragem a
utilizar).
3. Coleta de dados.
4. Análise dos dados (Estatística Descritiva).
5. Estabelecimento de inferências a respeito da população
(Inferência Estatística)

 Fases do método de análise estatística:
Identificação do problema → Objetivo da análise
Planejamento da experiência → Técnicas de Amostragem
Coleta de dados
Análise exploratória dos dados → Estatística Descritiva
Análise e interpretação dos resultados → Inferência Estatística

1.3 Classificação dos Dados
 Iniciando o estudo:
• Isso é necessário, pois podem ocorrer registros que não
se encaixam no padrão geral observado e, dessa forma,
a sua veracidade deve ser averiguada, pois podem tratar-
se de erros de observação, bem como do próprio registro
ou provenientes de alterações do fenômeno em estudo.
• Não existe uma estratégia única para iniciar o estudo
descritivo, embora uma primeira recomendação seja
começar por uma exploração visual dos dados
levantados.

• Embora estas análises já se encontrem disponíveis em
vários softwares e calculadoras programáveis, para uma
melhor interpretação das mesmas é conveniente
conhecer as técnicas utilizadas.
• Para se ter uma ideia mais concreta sobre os dados
levantados, deve-se recorrer às tabelas e/ou gráficos que
podem representar, de maneira sintética, as informações
sobre o comportamento de variáveis numéricas
levantadas.

• Portanto, para se proceder um estudo descritivo, é importante:
- Ordenação dos dados – fase onde se começa a ter uma ideia a
respeito de algumas medidas de posição (média, mediana,
quartis etc.);
- Estatísticas amostrais – a partir de algumas medidas promove-se
um resumo dos dados levantados, relativamente à posição,
dispersão e forma;
- Agrupamento dos dados e representação gráfica – revela a forma
possível para a população em estudo e permite escolher a classe
de modelos que deve ser explorada nas análises mais
sofisticadas.

 Dados brutos: Como primeiro resultado de uma pesquisa, obtêm-
se dados brutos, ou seja, um conjunto de números ainda sem
organização alguma.
 Rol: Os dados brutos são então ordenados de forma crescente ou
decrescente, com a indicação da frequência de cada um, dando origem
ao chamado rol.
 Tabulação dos dados: Depois de elaborar o rol é preciso
determinar quantas faixas terá a tabela de frequência. A fórmula de
Sturges é utilizada para estabelecer o número aproximado de classes
onde: n = número de elementos da amostra (tamanho da amostra)
k = número de classes que a tabela de classes deverá conter.
nlog22,31k ⋅+≅

• Observações: - k deverá ser no mínimo 3 e no máximo 20;
- Como a variável k é um número inteiro, ela
deverá ser aproximada para o maior inteiro (por
exemplo, se k ≈ 6,4, usa-se k = 7).
 Frequência de classes: O passo seguinte é subdividir os dados
pelas classes ou categorias e determinar o número de indivíduos
pertencentes a cada uma, resultando nas frequências de classes.
 Apresentação final dos dados (tabela completa): Com
base em todos os cálculos feitos anteriormente, pode-se fazer uma
nova tabela com todas as frequências, as quais serão estudadas a
posteriori.
 Gráficos: A partir da tabela de frequências, faz-se o desenho
gráfico, um recurso de visualização dos dados constantes na tabela.

 Os dados que constituem uma amostra podem ser de
quatro tipos, assim distribuídos:
• Qualitativos
- Nominal
- Ordinal
• Quantitativos
- Intervalar
- Absoluto

a) Dados nominais: Quando cada um deles for identificado
pela atribuição de um nome que designa uma classe.
a) Exaustivas - qualquer dado pertence a uma das classes;
b) Mutuamente exclusivas - cada dado pertence somente
a uma classe;
c) Não ordenáveis - não existe nenhum critério relevante
que permita estabelecer preferência por qualquer
classe em relação às restantes.
Neste caso, as classes devem ser:
- Exemplo: Classificação das pessoas pela cor do cabelo
(preto, castanho, louro etc.).

- Exemplo: Classificação de conceitos de avaliação na
disciplina em insuficiente, regular, bom e excelente.
b) Dados ordinais: São semelhantes aos dados nominais;
contudo, nessa escala existe a possibilidade de se
estabelecer uma ordenação dos dados nas classes,
segundo algum critério relevante.

- Observação: Neste caso, pode-se atribuir um significado
à diferença entre esses números, mas não à razão entre
eles.
Por exemplo, o registro de temperaturas em ºC, em determinadas
horas de dias sucessivos. Se em três dias consecutivos a
temperatura atingir 5ºC, 10°C e 20ºC, não faz sentido dizer que o
terceiro dia esteve duas vezes mais quente que o segundo, pois se
a temperatura fosse expressa em outra escala, a razão entre os
valores registrados naqueles dias seria diferente.
c) Dados intervalares: No caso da escala intervalar, os
dados são diferenciados e ordenados por números
expressos em uma ordem cuja origem é arbitrária.

d) Dados absolutos: Contrariamente ao que sucede com a
escala intervalar, a escala absoluta tem origem fixa (nesta
escala, o valor zero tem significado).
• Escala intervalar: temperatura de 0ºC não significa que não haja
temperatura.
• Escala absoluta: peso de 0 kg significa que não existe peso.
• Em conseqüência ao fato da origem ser fixa, a razão entre os
dados expressos numa escala absoluta passa a ter significado; uma
pessoa com 60 kg tem o dobro do peso de uma com 30 kg.
- Exemplo: Pesos de pessoas expressos em kg.
- Observações:

- Observação: Quando se trabalha com dados quantitativos,
é necessário que se faça a distinção entre os dados discretos
e os contínuos.
Os dados denominam-se discretos quando são valores de uma
variável aleatória discreta, que é a aquela que assume valores em
pontos da reta real (por exemplo, número de páginas em um
livro: 1, 2, 3, 4, 5...).
Os dados são contínuos quando são valores de uma variável
aleatória contínua, que é aquela que pode assumir qualquer valor
em certo intervalo da reta real (por exemplo, o peso de
funcionários de uma fábrica: 60,5 kg; 60,52 kg; ...)

1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados
 Tabela de frequências:
• Devido à necessidade das categorias estarem
ordenadas, somente se pode falar de frequências
acumuladas quando os dados estão em escalas ordinais,
intervalar ou absoluta.
• A representação tabular com todos os tipos de
frequências é mostrada a seguir:

a) Frequência absoluta (ni): O número de dados contidos
numa classe ou categoria qualquer i (i = 1,..., k) de
um conjunto de dados designa-se por frequência
absoluta da classe ou categoria i.
• Denotando-se por ni tal frequência e admitindo que
as categorias especificadas contêm todos os dados,
o número total de dados (n) é calculado por:

b) Frequência relativa (fi): O número total de dados que
pertencem a uma classe ou categoria qualquer i,
quando expressos como uma proporção do número
total de dados, designa-se por frequência relativa da
classe ou categoria i e é dada por:
• As frequências relativas são muitas vezes definidas
em termos percentuais.

c) Frequência absoluta acumulada (Ni): Representa para
cada classe ou categoria i, a frequência absoluta de
dados que pertencem à classe ou às classes anteriores.
d) Frequência relativa acumulada (Fi): Representa para
cada classe categoria i, a frequência relativa de dados
que pertencem à classe ou às classes anteriores.

 Gráficos estatísticos
• Uma vez elaborada a tabela de frequências, segue-se o
desenho do gráfico, um recurso de visualização dos
dados constantes na tabela.
• Os tipos de gráficos mais comuns são: histograma;
polígono de frequência, setograma e ogiva de Galton.

- Histograma: Este tipo de gráfico é utilizado para
representar as frequências absolutas (ni) em relação à
sua classe, e é assim construído:
1. No eixo das abscissas marcam-se, em escala, as classes dos
dados;
2. No eixo das ordenadas, marcam-se as frequências das classes;
3. Faz-se a correspondência entre cada intervalo no eixo das
classes com um valor no eixo das frequências, formando um
desenho de colunas paralelas.

1. No eixo das abscissas, coloca-se o ponto médio de
cada intervalo de classe;
2. No eixo das ordenadas, permanecem as frequências
absolutas das classes (ni) ;
3. Ligam-se os pontos médios por segmentos de reta;
4. Para completar o polígono, acrescenta-se um ponto
médio com frequência zero em cada uma das
extremidades da escala horizontal.
- Polígono de frequência: Utilizado para indicar o ponto médio
ou representante de classe em suas respectivas frequências
absolutas; normalmente, é construído sobre o histograma, da
seguinte forma:

- Histograma e Polígono de frequência:

- Histograma
- Polígono de frequência:

- Gráfico em setores (Setograma): Também conhecido como
gráfico de pizza, é utilizado para representar valores relativos (%);
é construído da seguinte forma:
1. Faz-se um círculo;
2. Cada setor é regido pela
fórmula:
3. No círculo, distribui-se os
valores das frequências
percentuais

- Ogiva de Galton: Este tipo de gráfico é utilizada para
representar as frequências acumuladas de uma
distribuição; é construído da seguinte forma:
1. No eixo das abscissas coloca-se as classes dos dados, tal como
no histograma;
2. No eixo das ordenadas, escreve-se uma das frequências
acumuladas, marcando o ponto com os limites superiores (Li) de
cada classe; inicia-se com a frequência zero e com limite
inferior da 1ª classe.

- Ogiva de Galton:

- Gráfico linear: É o tipo
de gráfico que apresenta
os dados estatísticos por
meio de uma linha
poligonal. Os pontos da
polígono são obtidos pelas
informações contidas em
cada linha da tabela, e
marcados no plano
utilizando o sistema
cartesiano. São utilizados
para representar séries
cronológicas.

- Gráfico de colunas: É
o tipo de gráfico que
apresenta os dados
estatísticos por meio de
retângulos (colunas)
dispostas em posições
vertical. Todos os
retângulos possuem a
mesma base e a altura
proporcional aos dados.
Podem ser utilizados para
representar qualquer série
estatística.

- Gráfico de colunas:
Este tipo de gráfico é
semelhante ao de colunas,
onde os retângulos
(barras) estão dispostos
horizontalmente. É
utilizado para legendas
longas, em todas as séries.

 Dados Qualitativos:
• Exemplo: Em uma amostra constituída de 120 peças, constatou-
se que 100 não tinham qualquer defeito, 15 tinham defeitos
recuperáveis e 5 apresentavam defeitos irrecuperáveis.
Representar em uma tabela, e também graficamente, as
frequências (absolutas e relativas) dos dados que constituem essa
amostra:
Categoria de peças Frequência absoluta
(ni)
Frequência relativa
(fi)
Sem defeitos
Recuperáveis
irrecuperáveis
100
15
5
83,3%
12,5%
4,2%
TOTAL 120 100%

 Dados Qualitativos:
Gráfico em Setores
83,3%
12,5%
4,2%
Sem defeitos
Recuperáveis
irrecuperáveis

 Dados Quantitativos:
• Exemplo: Em um estudo realizado com o objetivo de
caracterizar o comportamento dos clientes de um
supermercado, analisou-se o número de ocupantes por
veículo para 1000 veículos que entraram no
estacionamento do referido supermercado, em um
sábado. Os resultados encontram-se resumidos na
tabela seguinte:

Nº de ocupantes
por veículo
(xi)
Frequência
absoluta
(ni)
Frequência
relativa
(fi)
Frequência
absoluta acumulada
(Ni)
Frequência
relativa acumulada
(Fi)
1
2
3
4
5
6
7
103
147
248
197
152
100
53
10,3%
14,7%
24,8%
19,7%
15,2%
10,0%
5,3%
103
250
498
695
847
947
1000
10,3%
25,0%
49,8%
69,5%
84,7%
94,7%
100,0%
TOTAL 1000 100%

0
50
100
150
200
250
300
ni
1 2 3 4 5 6 7
Nº ocupantes / veículo
Gráfico em colunas

• Distribuições agrupadas: Essas distribuições são úteis
quando existe um grande número de dados relativos a
uma variável contínua, cujos valores observados são
muito próximos uns dos outros.
- A frequência de cada classe é o número de observações que ela
contém.
- No exemplo anterior, os dados observados correspondem a uma
variável discreta; para o caso de dados relativos uma variável
contínua existem algumas diferenças.

• Exemplo: O conjunto de dados baixo representa o
peso, em gramas, do conteúdo de uma série de 100
garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma
linha de enchimento automático:
302,25; 299,20; 300,24; 297,22; 298,35; 303,76;
298,65; 299,38; 300,36; 299,16; 300,86; 299,83;
302,52; 300,12; 301,81; 297,99; 299,23; 298,73;
303,07; 299,07; 297,83; ... ; 300,80

• No conjunto de dados mostrado não existe
praticamente repetição de valores; logo, não é
vantagem se utilizar os dados agrupados numa tabela
de frequências, pois a mesma teria tantas linhas quanto
o número de dados.
• No entanto, a tabela de frequências pode ser construída
se os dados forem agrupados por classes:

Classes
Frequência
absoluta
(ni)
Frequência
relativa (%)
(fi)
Frequência
absoluta
acumulada
(Ni)
Frequência
relativa
acumulada (%)
(Fi)
[297,00 ; 298,00[
[298,00 ; 299,00[
[299,00 ; 300,00[
[300,00 ; 301,00[
[301,00 ; 302,00[
[302,00 ; 303,00[
[303,00 ; 304,00[
[304,00 ; 305,00[
[305,00 ; 306,00[
8
21
28
15
11
10
5
1
1
8
21
28
15
11
10
5
1
1
8
29
57
72
83
93
98
99
100
8
29
57
72
83
93
98
99
100
TOTAL 100 100%

Histograma
0
5
10
15
20
25
30
[297,00 ;
298,00[
[298,00 ;
299,00[
[299,00 ;
300,00[
[300.00 ;
301,00[
[301,00 ;
302,00[
[302,00 ;
303,00[
[303,00 ;
304,00[
[304,00 ;
305,00[
[305,00 ;
306,00[
Peso (kg)
fi

1.5 Estatísticas Amostrais
 Nas seções anteriores foi visto a sintetização de dos dados
sob a forma de tabelas, gráficos e distribuição de
frequências.
 O cálculo de estatísticas amostrais é uma forma mais
sintética de descrever um conjunto de dados, ou seja,
possibilita representar um conjunto de dados relativos à
observação de determinado fenômeno de forma reduzida.
 As estatísticas amostrais são calculadas com base nos
dados, a partir das quais é possível descrever globalmente
o conjunto de valores que os referidos dados tomam.

a) Medidas de posição ou de tendência central:
• Média aritmética, média geométrica, média harmônica,
mediana, quartis, decis, percentis e moda.
• Amplitude total, desvio médio, variância, desvio
padrão, amplitude interquartílica e coeficiente de
variação.
b) Medidas de dispersão:
• Medidas de assimetria e medidas de curtose.
c) Medidas de forma:
 As estatísticas amostrais ou medidas estatísticas são
divididas em três grupos:

a) Medidas de posição:
• Essas medidas nos orientam quanto à posição da
distribuição no eixo x (eixo dos números reais);
• Possibilitam comparações de séries de dados entre si
pelo confronto desses números.
• São chamadas de medidas de tendência central, pelo
fato de representarem os fenômenos pelos seus valores
médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os
dados.

a.1) Média aritmética:
n
x
x
n
1i
i∑=
= (dados não agrupados)
• Para um conjunto de n dados de xi (i = 1,2,..., n) a
média aritmética simples ou média amostral,
representada por é definida pela expressão:x

87,2x
15
411312557323312
x
n
x
x
n
1i
i
=
∴
++++++++++++++
=
∴=
∑=
2, 1, 3, 3, 2, 3, 7, 5, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 4
• Exemplo: Determinar a média aritmética simples (média
aritmética amostral) dos dados mostrados abaixo:

• Quando os dados estiverem agrupados numa
distribuição de frequência usa-se a média
aritmética dos valores xi ponderadas pelas
respectivas frequências absolutas ni, assim:
n
xn
x
n
1i
ii∑=
= (dados agrupados)

• Exemplo (dados agrupados): Determinar a média
aritmética simples (média aritmética amostral) da
distribuição dada abaixo:
xi 1 2 3 4 5 7
ni 4 3 4 1 2 1

87,2x
15
43
15
)17(...)41(
n
nx
x
n
1i
ii
=
=
⋅++⋅
==
∑=
• Exemplo (dados agrupados): xi ni xini
1
2
3
4
5
7
4
3
4
1
2
1
4
6
12
4
10
7
Σ 15 43

a) Medidas de posição
• No caso da variável ser contínua, visto que se
perdeu os valores concretos do conjunto (ficaram
afetos a uma determinada classe) não se pode
calcular a média amostral diretamente dos valores
dos dados.

• Deste modo, à cada classe vai ser atribuído um representante
(xi), e a média amostral será calculada por meio desses
representantes:
n
xn
x
k
1i
ii∑=
= (dados agrupados em classes)
onde k é o número de classes do agrupamento, ni é a
frequência absoluta da classe i e xi é o ponto médio da classe
i, o qual é considerado como elemento representativo da
classe.

• Exemplo (dados agrupados em classes):
Determinar a média da distribuição a seguir, a
qual representa o peso, em gramas, do conteúdo
de uma série de 100 garrafas que, no decurso de
um teste, saíram de uma linha de enchimento
automático (exemplo anterior):

• Exemplo (dados agrupados em classes):
Classes ni xi xini
[297,00 ; 298,00[
[298,00 ; 299,00[
[299,00 ; 300,00[
[300,00 ; 301,00[
[301,00 ; 302,00[
[302,00 ; 303,00[
[303,00 ; 304,00[
[304,00 ; 305,00[
[305,00 ; 306,00[
8
21
28
15
11
10
5
1
1
297,5
298,5
299,5
300.5
301,5
302,5
303,5
304,5
305,5
2380,0
6268,5
8386,0
4507,5
3316,5
3025,0
1517,5
304,5
305,5
Σ 100 30011,0
11,300x
100
0,30011
x
n
xn
x
9
1i
ii
=
=
=
∑=

a.1) Média aritmética (Ponderada)
• Às vezes, associam-se os números x1, x2, ..., xk a certos
fatores de ponderação ou pesos w1, w2, ... , wk que
dependem do significado ou importância atribuída aos
mesmos. Nesse caso
k21
kk2211
i
k
1i
ii
w...ww
xw...xwxw
w
xw
x
+++
+++
==
∑
∑=
é denominada de média aritmética ponderada.

a.1) Média aritmética (Ponderada)
• Exemplo: Em um curso, a avaliação final tem peso 3 e as
parciais peso 1; a nota média de um estudante que obtenha
nota 8,5 na avaliação final e 7,0 e 9,0 nas provas parciais,
será:
3,8
5
5,41
311
)5,83()0,91()0,71(
w
xw
x 3
1i
i
3
1i
ii
==
++
⋅+⋅+⋅
==
∑
∑
=
=

a.2) Média geométrica: A média geométrica G (ou ) de
um conjunto de n números x1, x2, ..., xn é a raiz de
ordem n do produto desses números:
n
n21 x...xxG ⋅⋅=
464842G 33
==⋅⋅=
- Exemplo: A média geométrica dos números 2, 4 e 8:
Gx

a.2) Média geométrica (dados agrupados): Se os elementos
x1, x2, ..., xn ocorrem com as frequências n1, n2,..., nk,
sendo n1+n2+...+nk = n a frequência total, a média
geométrica G desses elementos será deduzida como:
n n
k
n
2
n
1n
vezesn
kkk
vezesn
222
vezesn
111
k21
k21
x...xxxxxx...xxx...xxG ⋅==

a.3) Média harmônica: A média harmônica H (ou ) de
um conjunto de n elementos x1, x2, ..., xn é a recíproca
da média aritmética da recíproca dos elementos:
∑∑ ==
== n
1j j
n
1j j x
1
n
x
1
n
1
1
H
43,3
8
7
3
8
1
4
1
2
1
3
x
1
n
H n
1j j
==
++
==
∑=
- Exemplo: A média harmônica dos números 2, 4 e 8:
Hx

a.4) Mediana: Para os dados colocados em ordem crescente,
mediana (md, Me ou ) é o valor que divide a amostra,
ou população, em duas partes iguais. Assim:
x~
50% 100%0%
x~

a.4) Mediana (série de elementos não agrupados):
• Considerando que os dados que integram a
amostra são colocados em ordem crescente,
formando um vetor (x1, x2, ..., xn) - amostra
ordenada -, a mediana amostral é definida como
segue:







+
=
=
+
+
2
xx
x~
xx~
2
2n
2
n
2
1n n ímpar
n par

a.4) Mediana (série de elementos não agrupados):
• Exemplo: Para as distribuições abaixo, determinar as
respectivas medianas:
8, 5, 15,11, 4, 1, 7, 2, 9
Ordenando:
1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11,15
Como n é ímpar, então:
7xxx~
5
2
1n === +
8, 5, 15,11, 4, 1, 7, 2, 9, 3
Ordenando:
1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11,15
Como n é par, então:
6
2
75
2
xx
2
xx
x~ 652
2n
2
n
=
+
=
+
=
+
=
+

a.4) Mediana (variáveis discretas, dados agrupados em
tabela de distribuição de frequência):
• Exemplo: Para a distribuição abaixo, determinar a mediana:
xi ni Ni
1
2
3
4
1
3
5
2
1
4
9
11
Σ 11
contém o 6º
elemento
n = 11 (ímpar), logo será o
elemento de ordem (n+1)/2, ou
seja, (11+1)/2 = 6º elemento.
Da coluna da frequência
acumulada crescente, encontra-se
o valor xi correspondente à classe
que contém a ordem calculada,
assim: = 3.x~
x~

xi ni Ni
82
85
87
89
90
9
12
11
6
4
9
21
32
38
42
Σ 42 86
2
8785
x~ =
+
=
22º
n = 42, é par, logo será a média
entre os elemento de ordem n/2 e
(n/2)+1, ou seja, 21º e 22º
elementos.
Como no exemplo anterior,
identificam-se os elementos de
ordem 21 e 22 pela Ni, ou seja, 85
e 87, assim:
21º
x~

xi ni Ni
82
85
87
89
90
5
10
15
8
4
5
15
30
38
42
Σ 42
21º e 22º
n = 42, é par, logo será a média
entre os elemento de ordem n/2 e
(n/2)+1, ou seja, 21º e 22º
elementos.
Como no exemplo anterior,
identificam-se os elementos de
ordem 21 e 22 pela Ni, ou seja, 87
e 87, assim:
87
2
8787
x~ =
+
=
x~

• Para variáveis contínuas, identifica-se a classe que contém
a mediana (n/2), denominada classe Md (como a variável é
contínua, não interessa se n é par ou ímpar); o valor
aproximado para a mediana será calculado pela equação:
Md
Md
1Md
Md
Md
Md1Md
Md a
f
F5,0
l
n
aN
2
n
lx~ −
−
−
+=






−
+=
onde: NMd-1 é a frequência absoluta acumulada da classe antes da classe
mediana, n a dimensão da amostra e lMd , aMd e nMd são, respectivamente, o
limite inferior, a amplitude e a frequência absoluta da classe mediana.
a.4) Mediana (variáveis contínuas com os dados divididos em
classes, tabela de distribuição de frequência):

• Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana:
Classes ni Ni
35 45
45 55
55 65
65 75
75 85
85 95
5
12
18
14
6
3
5
17
35
49
55
58
Σ 58
classe Md

• Exemplo:
1º Passo: Calcula-se n/2; como n=58, então 58/2=29º.
2º Passo: Identifica-se a classe Md pela Ni (classe Md=3ª).
3º Passo: Aplica-se a fórmula:
Neste caso li = 55, n = 58, Ni-1 = 17, ai = 10, ni = 18; logo:
67,61
18
1017
2
58
55
n
aN
2
n
lx~
i
i1i
i =






−
+=






−
+=
−

a.5) Quartis:
• Como já visto anteriormente, a mediana é a
medida de posição que divide um conjunto de
dados em duas partes iguais;
• Os quartis dividem um conjunto de dados em
quatro partes iguais, assim:
50% 75%25%
Q1 Q2 Q3

a.5) Quartis:
Q1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos;
Q2 = 2º quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos
elementos;
Q3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos.
50% 75%25%
Q1 Q2 Q3

a.5) Quartis (série de elementos não agrupados):
• A determinação de Qk (k = 1, 2 e 3), segue a fórmula:





 +
=
4
1n
kQk
• Exemplo: Determine o 1º e o 3º quartis da série 185, 196, 207,
305, 574, 597, 612. E da série 185, 196, 207, 305, 574, 597 ?
196elementoº2
4
17
1Q1 →=




 +
=
3,193elementoº75,1
4
16
1Q1 →=




 +
=
597elementoº6
4
17
3Q3 →=




 +
=
8,579elementoº25,5
4
16
3Q3 →=




 +
=

• A determinação de Qk (k = 1, 2 e 3), segue os passos:
k
k
k
k Q
Q
1Q
Qk a
n
N
4
kn
lQ ⋅






−
+=
−
- 1º Passo: Calcula-se a ordem kn/4;
- 2º Passo: Identifica-se a classe Qk pela frequência acumulada N;
- 3º Passo: Aplica-se a fórmula:
a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em

a) Medidas de posição
• Exemplo: Dada a distribuição amostral, determinar Q1 e Q3:
Classes ni Ni
35 45
45 55
55 65
65 75
75 85
85 95
5
12
18
14
6
3
5
17
35
49
55
58
Σ 58
classe Q1
classe Q3

• Exemplo: Para Q1.
1º Passo: Calcula-se n/4; como n=58, então 58/4=14,5º.
2º Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Ni (classe Q1 =2ª).
Neste caso lQ1 = 45, n = 58, NQ1-1 = 5, aQ1 = 10, nQ1 = 12; logo:
( ) 92,5210
12
55,14
45a
n
N
4
n1
lQ 1
1
1
1 Q
Q
1Q
Q1 =⋅
−
+=⋅






−
+=
−

• Exemplo: Para Q3.
1º Passo: Calcula-se 3n/4; como n = 58, então 58/4 = 43,5º.
2º Passo: Identifica-se a classe Q3 pela NQ3 (classe Q3 = 4ª).
Neste caso lQ3 = 65, n = 58, NQ3-1 = 35, aQ3 = 10, nQ3 = 14; logo:
( ) 07,7110
14
355,43
65a
n
N
4
n3
lQ 3
3
3
3 Q
Q
1Q
Q3 =⋅
−
+=⋅






−
+=
−

• Exemplo: Diante desses resultados, pode-se afirmar que,
nesta distribuição, tem-se:
25% 25%25%25%
52,92 61,67 71,0735 95
ou seja: O valor de 52,92 deixa 25% dos elementos;
O valor de 61,67 deixa 50% dos elementos;
O valor de 71,07 deixa 75% dos elementos.

a.6) Decis:
• Os decis dividem um conjunto de dados em dez
partes iguais, assim:
D1
90%80%70%60%50%40%30%20%10%
D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

a.6) Decis:
D1 = 1º decil, deixa 10% dos elementos da série;
D5 = 5º decil, coincide com a mediana, deixa 50% dos
elementos da série;
D9 = 9º decil, deixa 90% dos elementos da série.

a.6) Decis (série de elementos não agrupados):
• A determinação de Dk (k = 1, 2, ..., 9), segue a fórmula:





 +
=
10
1n
kDk
• Exemplo: Determine o 5º e o 6º decis da série 185, 196, 207,
305, 574, 597, 612.
305elementoº4
10
17
5D5 →=




 +
=
2,520elementoº8,4
10
17
6D6 →=




 +
=

• A determinação de Dk (k = 1, 2, ..., 9), para o caso de
variáveis contínuas com os dados divididos em classes,
segue os passos:
k
k
k
k D
D
1D
Dk a
n
N
10
kn
lD ⋅






−
+=
−
- 2º Passo: Identifica-se a classe Dk pela frequência acumulada N;
a.6) Decis (variáveis contínuas com os dados divididos em

a.7) Percentis:
• Os percentis dividem um conjunto de dados em
cem partes iguais, assim:
P1
99%98%97%3% . . .2%1%
P2 P3 P50 P97 P98 P99
50% . . .

a.7) Percentis:
P1 = 1º percentil, deixa 1% dos elementos;
P2 = 2º percentil, deixa 2% dos elementos.
P50 = 50º percentil, coincide com a mediana, deixa 50% dos
elementos;
P99 = 99º percentil, deixa 99% dos elementos.

a.7) Percentis (série de elementos não agrupados):
• A determinação de Pk (k = 1, 2, ..., 99) para uma série de
elementos não agrupados, segue a fórmula:





 +
=
100
1n
kPk
• Exemplo: Determine o 50º e o 60º percentis da série 185, 196,
207, 305, 574, 597, 612.
305elementoº4
100
17
50P50 →=




 +
=
2,520elementoº8,4
100
17
60D60 →=




 +
=

• A determinação de Pk (k = 1, 2, ..., 99), para o caso de
variáveis contínuas com os dados divididos em classes,
segue os passos:
k
k
k
k P
P
1P
Pk a
n
N
100
kn
lP ⋅






−
+=
−
- 2º Passo: Identifica-se a classe Pk pela frequência acumulada N;
a.7) Percentis (variáveis contínuas com os dados divididos em

a.7) Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º
percentil da seguinte distribuição:
Classes ni Ni
35 45
45 55
55 65
65 75
75 85
85 95
5
12
18
14
6
3
5
17
35
49
55
58
Σ 58
classe D4
classe P72
Cálculo de D4
34,5510
18
17
10
584
55D
18n;10a
;58n;17N;55l
2,23
10
584
10
kn
4
DD
1DD
o
44
44
=⋅






−
⋅
+=
==
===
=
⋅
=
−
1º Passo:
2º Passo:
3º Passo:

a.7) Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º
percentil da seguinte distribuição:
Classes ni Ni
35 45
45 55
55 65
65 75
75 85
85 95
5
12
18
14
6
3
5
17
35
49
55
58
Σ 58
classe D4
classe P72
Cálculo de P72
82,6910
14
35
100
5872
65P
14n;10a
;58n;35N;65l
8,41
100
5872
100
kn
72
PP
1PP
o
7272
7272
=⋅






−
⋅
+=
==
===
=
⋅
=
−
1º Passo:
2º Passo:
3º Passo:

a.7) Exemplo (decil e percentil).
• Portanto, na distribuição analisada, tem-se que:
- O valor 55,34 indica que 40% dos elementos da
distribuição estão abaixo dele e os outros 60%
acima.
- O valor 69,82 indica que 72% dos elementos da
distribuição estão abaixo dele e os outros 28%
acima.

a.8) Moda
• Moda (Mo) é a medida que indica o valor ou a gama
de valores nos quais a concentração dos dados
amostrais é máxima.
- Para variáveis discretas, a moda é o valor dos dados
que ocorre com maior frequência;
- Para variáveis contínuas, a classe modal é o intervalo
de classe com maior frequência.

a.8) Moda
• Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se
imediatamente o valor que representa a moda ou a
classe modal.

a.8) Moda
• Esta medida é especialmente útil para reduzir a
informação de um conjunto de dados qualitativos,
apresentados sob a forma de nomes ou categorias,
para os quais não se pode calcular a média e por
vezes a mediana (se não forem susceptíveis de
ordenação).

a.8) Moda (distribuições simples)
• Para distribuições simples (sem agrupamento em
classes), a identificação da moda é facilitada pela
simples observação do elemento que apresenta maior
frequência.
- Exemplo: Para a distribuição abaixo Mo = 248.
xi 243 245 248 251 307
ni 7 17 23 20 8

a.8) Moda (dados agrupados)
• Para dados agrupados em classe, existem diversas
fórmulas para o cálculo da moda:
- Fórmula de Czuber: Após a identificação da classe modal,
aplica-se a fórmula abaixo, onde
i
21
1
io alM ⋅
+
+=
∆∆
∆
l = limite inferior da classe modal;
Δ1= diferença entre a frequência absoluta da
classe modal e a imediatamente anterior;
Δ2 = diferença entre a frequência absoluta da
classe modal e a imediatamente posterior;
ai = amplitude da classe modal.

- Exemplo: Determinar a moda para a distribuição:
Classes ni
35 45
45 55
55 65
65 75
75 85
85 95
5
12
18
14
6
3
- A classe com maior frequência absoluta
é [55, 65[; logo, ela é a classe modal.
- Aplicando a fórmula de Czuber, tem-se:
61M
10
)1418()1218(
1218
55M
alM
o
o
i
21
1
io
=
⋅
−+−
−
+=
⋅
+
+=
∆∆
∆

- Densidades de classes: Quando as amplitudes das
classes são diferentes, deve-se calcular as densidades
de classes para identificar a classe modal, as quais são
obtidas por meio da relação ni/ai.

- Exemplo: Determinar a moda para a distribuição:
Salários (US$) ni ai ni/ai
80 180
180 250
250 300
300 500
70
140
140
60
100
70
50
200
0,7
2,0
2,8
0,3
12,26250
)3,08,2()0,28,2(
0,28,2
250alM i
21
1
io =⋅
−+−
−
+=⋅
+
+=
∆∆
∆
classe modal

- Fórmula de Pearson: Fornece uma boa aproximação
quando a distribuição apresenta razoável simetria em
relação à média. É dada pela relação:
x2x~3Mo −≅
ou seja, a moda é aproximadamente igual a diferença
entre o triplo da mediana e o dobro da média

 Observações:
1. Média versus Mediana:
 Diferença entre estas duas medidas fica mais clara quando se
considera o exemplo das notas obtidas por um aluno como
sendo: 10, 13, 11, 15, 18, 16, 14, 15, 14; nesse caso, como pode
ser comprovado, a média aritmética e a mediana são iguais a 14.
 Se esse aluno elevar a nota mais baixa, passando de 10 para 14,
a mediana ainda será o mesmo valor, mas o valor da média
sofrerá um aumento, passando para 14,4.

 Observações:
 A média, ao contrário da mediana, é uma medida de posição
muito pouco resistente, isto é, ela é muito influenciada por
valores muito grandes ou muito pequenos, mesmo que estes
valores surjam em pequeno número na amostra.
 Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média
em muitas situações em que teria mais significado utilizar a
mediana.

 Observações:
 Entretanto, a preferência de uma ou de outra dependerá do
contexto em que forem utilizadas: se a distribuição é simétrica
essas medidas coincidem; caso contrário, observar que a mediana
não é tão sensível quanto a média, às observações que são muito
maiores ou muito menores do que as restantes; além disso, a
média reflete o valor de todas as observações.

 Observações:
 Representação das distribuições dos dados na forma de uma
curva de frequência:

 Observações:
 A média geométrica de um conjunto de números positivos é
menor ou igual à sua média aritmética, mas é maior ou igual à
sua média harmônica:
xGH ≤≤
 O sinal de igualdade somente é válido quanto todos os números
do conjunto de dados são idênticos.
2. Relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica:

• São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de
variabilidade ou dispersão, dos valores em torno da
média.
• Servem para medir a representatividade da média
b) Medidas de dispersão
- Exemplo: Sejam as séries 20, 20, 20 e 15, 10, 20, 25, 30,
como pode ser calculado, ambas possuem média aritmética
igual a 20; entretanto, na primeira não existe dispersão,
enquanto a segunda apresenta dispersão em torno da média 20;
portanto, a média é muito mais representativa para a segunda
série.

- Exemplo: Para a série 10, 12, 15, 24, 25, 30, 36
R = 36 – 10 = 26
b.1) Amplitude total (ou amplitude amostral): É definida
como sendo a diferença entre o maior e o menor dos
valores da série, ou seja:
minmáx xxR −=
- Observação: É uma medida de dispersão muito limitada, pois
depende apenas dos valores externos, o que a torna instável,
não sendo afetada pela dispersão dos valores internos.

b.2) Desvio médio: O desvio médio de um conjunto de n
números x1, x2 , ... , xn é definido por:
n
xx
n
xx
n
d
D
n
1i
i
n
1i
i
M
∑∑∑ −
=
−
== ==
onde
=− xxi
média aritmética dos números;
valor absoluto do desvio de cada número
em relação à média aritmética.
=x

b.2) Desvio médio (dados agrupados): Se x1, x2 , ... , xn
ocorrerem com as frequências n1, n2, ... , nn,
respectivamente, o desvio médio poderá ser indicado
da seguinte forma:
n
xxn
n
xxn
n
dn
D
i
n
1i
ii
n
1i
ii
M
∑∑∑ −
=
−
== ==

b.3) Variância: A variância de um conjunto de dados é
definida como o quadrado do desvio padrão, evitando-
se com isso que Σdi=0.
- Quando é necessário distinguir entre o desvio
padrão de uma população e o de uma amostra
dela extraída, adota-se frequentemente o símbolo
σ para o primeiro e s para o último.

b.3) Variância:
- Para o caso da variância populacional são
adotadas as seguintes fórmulas:
N
)Xx(
N
)Xx( 2
n
1i
2
i
2 ∑∑ −
=
−
= =
σ (dados não agrupados)
N
)Xx(n
N
)Xx(n 2
i
k
1i
2
ii
2 ∑∑ −
=
−
= =
σ (dados agrupados)
média populacional;=X tamanho da população.=N

b.3) Variância:
- Para o caso da variância amostral são adotadas
as seguintes fórmulas:
1n
)xx(
1n
)xx(
s
2
n
1i
2
i
2
−
−
=
−
−
=
∑∑=
(dados não agrupados)
1n
)xx(n
1n
)xx(n
s
2
i
k
1i
2
ii
2
−
−
=
−
−
=
∑∑=
(dados agrupados)
média amostral;=x tamanho da amostra.=n

b.3) Variância:
• Fórmulas práticas para os cálculos das
variâncias:
( )








−=
∑
∑ N
xn
xn
N
1
2
ii2
ii
2
σ
( )








−
−
=
∑
∑ n
xn
xn
1n
1
s
2
ii2
ii
2

b.4) Desvio padrão: Uma vez que a variância envolve a
soma de quadrados, a unidade em que se exprime não
é a mesma que a dos dados. Assim, para se conseguir
uma medida da variabilidade ou dispersão com as
mesmas unidades que os dados, toma-se a raiz
quadrada da variância e obtém-se o desvio padrão.
2
2
ss =
= σσ (desvio padrão populacional)
(desvio padrão amostral)

b.4) Desvio padrão:
• O desvio padrão é uma medida que só pode assumir
valores não negativos e quanto maior for, maior será a
dispersão dos dados.
• Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam
imediatamente da definição, são:
- o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior,
quanta mais variabilidade houver entre os dados;
- se s= 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são
todos iguais.

• Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio
padrão da seguinte distribuição amostral:
xi 5 7 8 9 11
ni 2 3 5 4 2
xi ni nixi
5
7
8
9
11
2
3
5
4
2
10
21
40
36
22
Σ 16 129
06,8
16
129
16
xn
n
xn
x
5
1i
ii
k
1i
ii
====
∑∑ ==
- Média aritmética:

2,1
16
24,19
n
xxn
D
i
M ==
−
=
∑
xi ni nixi |xi-x| = |di| ni|di|
5
7
8
9
11
2
3
5
4
2
10
21
40
36
22
|5 – 8,06| = 3,06
|7 – 8,06| = 1,06
|8 – 8,06| = 0,06
|9 – 8,06| = 0,94
|11 – 8,06| = 2,94
6,12
3,18
0,30
3,76
5,88
Σ 16 129 19,24
- Desvio médio:

xi ni nixi nixi
2
5
7
8
9
11
2
3
5
4
2
10
21
40
36
22
50
147
320
324
242
Σ 16 129 1.083
- Variância:
( )
86,2
16
)129(
083.1
116
1
s
n
xn
xn
1n
1
s
2
2
2
ii2
ii
2
=





−
−
=
=








−
−
=
∑
∑
- Desvio padrão:
69,186,2ss 2
===

b.5) Amplitude interquartílica:
• A medida anterior tem a grande desvantagem de
ser muito sensível à existência, na amostra, de
uma observação muito grande ou muito pequena.
• Por esse motivo, define-se uma outra medida, a
amplitude interquartílica.

• Esta medida é, de certa forma, uma solução de
compromisso, pois não é afetada, de um modo
geral, pela existência de um pequeno número de
valores demasiadamente grandes ou pequenos. É
definida como sendo a diferença entre o 3º e 1º
quartis; assim:
13Q QQD −=

• Da definição de amplitude interquartílica, pode-se concluir
que 50% dos elementos do meio da amostra estão contidos
num intervalo com aquela amplitude. Esta medida é não
negativa e será tanto maior quanto maior for a variabilidade
nos dados.
• Ao contrário do que acontece com o desvio padrão, uma
amplitude interquartílica nula não significa necessariamente,
que os dados não apresentem variabilidade.

• Alguns autores preferem calcular uma medida
próxima da referida: a amplitude semi-
interquartílica (ASI).
2
QQ
ASI 13 −
=

b.6) Coeficiente de variação:
• A variação ou dispersão real, determinada a partir
do desvio padrão, ou qualquer outra medida de
dispersão, é denominada dispersão absoluta;
entretanto, uma variação ou dispersão, na medida
de uma determinada distância, é inteiramente
diferente quanto ao efeito, da mesma variação em
uma distância menor.

• A medida desse efeito é proporcionada pela
dispersão relativa, definida por:
Média
absolutaDispersão
relativaDispersão =

• Se a dispersão absoluta é o desvio padrão e a
média é a aritmética, a dispersão relativa é
denominada coeficiente de variação ou de
dispersão, dado por:
• coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão,
útil para a comparação em termos relativos do grau de
concentração em torno da média de séries distintas.
100
x
s
CVou100
X
CV ⋅=⋅=
σ

• Exemplo: Em uma empresa, o salário médio dos homens é
de $4.000,00, com desvio padrão de $1.500,00, e o das
mulheres é em média de $3.000,00, com desvio padrão de
$1.200,00. Então:
• Desses valores conclui-se, portanto, que o salário das
mulheres apresentam maior dispersão que os dos homens
%0,40100
3000
1200
100
X
CV
%5,37100
4000
1500
100
X
CV
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
σ
σ
Para os homens:
Para as mulheres:

• Diz-se que a distribuição possui baixa, média ou alta
variabilidade (dispersão) conforme os seguintes valores:
Baixa dispersão: CV ≤ 10%
Média dispersão: 10% < CV < 20%
Alta dispersão: CV ≥ 20%
• Alguns analistas consideram valores diferentes:
Baixa dispersão: CV ≤ 15%
Média dispersão: 15% < CV < 30%
Alta dispersão: CV ≥ 30%

c) Medidas de forma
• Uma distribuição de frequência pode simétrica,
assimétrica positiva ou assimétrica negativa.
c.1) Medidas de assimetria:
• Denomina-se assimetria o grau de desvio ou
afastamento da simetria de uma distribuição.

c) Medidas de forma
• Uma distribuição simétrica apresenta a igualdade entre as três
medidas de posição, média aritmética, mediana e modo, ou:
xx~Mo ==
xx~Mo <<
• Em uma distribuição assimétrica positiva, ou assimétrica à
direita, tem-se que:
• Em uma distribuição assimétrica negativa, ou assimétrica à
esquerda, tem-se que:
oMx~x <<

c) Medidas de forma
• Existem várias fórmulas para o cálculo do coeficiente de
assimetria, dentre elas duas são bastante utilizadas:
- 1º Coeficiente de Pearson:
s
Mx
ASou
Mx
AS oo −
=
−
=
σ
- 2º Coeficiente de Pearson:
13
31
QQ
x~2QQ
AS
−
−+
=
• Se AS = 0, a distribuição é simétrica
AS > 0, a distribuição é assimétrica positiva
AS < 0. a distribuição é assimétrica negativa.

c) Medidas de forma
• Exemplo: Identificar o grau de assimetria da
distribuição:
Salários ($1.000,00) 30 50 50 100 100 150
Empregados 80 50 30

c) Medidas de forma
• Exemplo:
Classes xi ni nixi nixi
2
ni/ai Ni
30 50
50
100
100
150
40
75
12
5
80
50
30
3200
3750
3750
128.00
0281.2
50468.
750
80/20 = 4
50/50 = 1
30/50 =
0,6
80
130
160
Σ
16
0
10.70
0
878.00
0

c) Medidas de forma
• Exemplo:
6,0
4090
29040
QQ
x~2QQ
AS96,31s
796,0
96,31
429,4185,66
s
Mx
AS62,1021
160
)700.10(
000.878
159
1
s
5020
80
)080(
30x~429,4120
34
4
30M
9050
50
)80120(
50Q62,1021
160
)700.10(
000.878
159
1
s
4020
80
)040(
30Q875,66
160
700.10
x
13
31
o
2
2
o
3
2
2
1
=
−
−+
=
−
−+
==
=
−
=
−
==





−=
=⋅
−
+==⋅
+
+=
=⋅
−
+==





−=
=⋅
−
+===
- Como AS > 0, então a distribuição é assimétrica positiva.

c) Medidas de forma
• Denomina-se curtose o grau de achatamento de
uma distribuição.
• Uma distribuição de frequência pode ser:
- Mesocúrtica: quando sua forma nem é achatada e
nem delgada;
- Leptocúrtica: quando apresenta a forma delgada;
- Platicúrdica: quando apresenta a forma achatada.
c.2) Medidas de curtose:

c) Medidas de forma

c) Medidas de forma
• Para medir o grau de curtose utiliza-se o coeficiente:
)PP(2
QQ
K
1090
13
−
−
=
onde Q3 = 3º quartil; P90 = 90º percentil;
Q1 = 1º quartil; P10 = 10º percentil.
• Se K = 0,263 – a curva correspondente à distribuição é
mesocúrtica;
K > 0,263 – a curva é platicúrdica;
K < 0,263 – a curva é leptocúrdica.

c) Medidas de forma
• Exemplo: Para a mesma distribuição do exemplo da assimetria,
calcula-se ainda P10 e P90; logo:
355,0
)34375,104(2
4090
)PP(2
QQ
K
375,10450
160
)130144(
100P
3420
80
)016(
30P
1090
13
90
10
=
−
−
=
−
−
=
=⋅
−
+=
=⋅
−
+=
- Como K > 0,273, então a distribuição é do tipo platicúrtica.

1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados
• Além dos diagramas já estudados, existem outras formas bastante
utilizadas internacionalmente para apresentar os dados amostrais. Um
bom modo de obter uma apresentação visual eficiente de um conjunto de
dados pode ser conseguido por meio de três tipos de gráficos: diagramas
de pontos, diagramas de ramo e folhas, e diagramas de caixa.
• O diagrama de pontos é uma apresentação útil de dados, no caso de
amostras pequenas (até cerca de 20 observações). Entretanto, quando o
número de observações for moderadamente alto, o diagrama de ramo e
folhas e o diagrama de caixa podem ser mais úteis.
• Questões como quantidades de dados abaixo de certo valor, tendência
central (média ou mediana), dispersão (desvio-padrão), possibilidade de
detectar outliers (pontos bastante diferentes do conjunto de dados) e o
desvio da simetria, não são fáceis de responder, pois existem muitas
observações, e a construção de um diagrama de pontos, usando esses
dados, seria relativamente ineficiente .

 Diagrama de pontos
• Um diagrama de pontos é um gráfico estatístico que consiste
em grupos de pontos de dados traçados em uma escala
simples.
• São utilizados para dados contínuos, quantitativos e
univariados, e são muito úteis para exibir um pequeno
conjunto de dados.
• Esse tipo de gráfico permite uma fácil visualização de duas
características dos dados: a posição (meio) e a dispersão
(espalhamento ou variabilidade)

• Exemplo 01 (Montgomery, 2004, p.2-3): Um engenheiro está
projetando um conector de náilon para ser usado em aplicação
automotiva. Ele considera estabelecer como especificação do projeto
uma espessura de 3/32 pol., mas está inseguro. Oito unidades do
protótipo são produzidas e suas forças de remoção são medidas,
resultando nos seguintes dados (em libras): 12,6; 12,9; 13,4; 12,3;
13,6; 13,5; 12,6 e 13,1. Construa um diagrama de pontos para esses
dados.
12 14 15
13
Força de remoção

• Exemplo 02: O engenheiro do exemplo anterior decide considerar
um projeto alternativo com uma espessura maior da parede do
conector, 1/8 pol. Oito protótipos desse projeto são construídos,
sendo as medidas observadas da força de remoção, resultando nos
seguintes dados (em libras): 12,9; 13,7; 12,8; 13,9; 14,2; 13,2; 13,5
e 13,1. Construa um diagrama de pontos para esses dados,
sobrepondo-o ao anterior para uma melhor análise da influência da
espessura da parede na força de remoção.
12 14 15
13,0 13,4
Força de remoção
3/32 pol.
1/8 pol.

 Diagrama de ramo e folhas
• Esta forma de apresentação de dados tem sido frequentemente
utilizada em trabalhos técnicos do mundo inteiro.
• Para construir o diagrama de ramo e folhas, dividimos o elemento
amostral em duas partes: um ramo (stem), consistindo em um ou
mais dígitos iniciais, e uma folha (leaf), consistindo nos dígitos
restantes.
Exemplo: O dado 458 é dividido em duas partes, a primeira parte
45, e a segunda parte 8.
• Geralmente, escolhe-se relativamente poucos ramos em comparação
ao número de observações (5 a 20 itens).

• Exemplo (Montgomery, 2004, p.16): Considere o
conjunto de dados abaixo, relativos à resistência a
compressão de uma liga de alumínio.
105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168 167 141
245 228 174 199 181 158 176 110 163 131 154 115 160 208 158 133
207 180 190 193 194 133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146
218 157 101 171 165 172 158 169 199 151 142 163 145 171 148 158
160 175 149 87 160 237 150 135 196 201 200 176 150 170 118 149
O diagrama de ramo e folhas resultante é apresentado a
seguir:

 Diagrama de ramo e folhas (dados brutos)
Ramo Folha Frequência
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
6
7
7
5 1
5 8 0
1 0 3
4 1 3 5 3 5
2 9 5 8 3 1 6 9
4 7 1 3 4 0 8 8 6 8 0 8
3 0 7 3 0 5 0 8 7 9
8 5 4 4 1 6 2 1 0 6
0 3 6 1 4 1 0
9 6 0 9 3 4
7 1 0 8
8
1 8 9
7
5
1
1
1
2
3
3
6
8
12
10
10
7
6
4
1
3
1
1

 Diagrama de ramo e folhas (dados ordenados)
Ramo Folha Frequência
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
6
7
7
1 5
0 5 8
0 1 3
1 3 3 4 5 5
1 2 3 5 6 8 9 9
0 0 1 3 4 4 6 7 8 8 8 8
0 0 0 3 3 5 7 7 8 9
0 1 1 2 4 4 5 6 6 8
0 0 1 1 3 4 6
0 3 4 6 9 9
0 1 7 8
8
1 8 9
7
5
1
1
1
2
3
3
6
8
12
10
10
7
6
4
1
3
1
1

• Em alguns casos pode ser desejável construir mais intervalos ou
ramos. Uma maneira de fazer isto seria dividir o ramo escolhido em
dois ou mais novos ramos, conforme mostrado abaixo:
Ramo Folha
14L
14U
15L
15U
1 2 3 5
6 8 9 9
0 0 1 3 4 4
6 7 8 8 8 8
Ramo Folha
14z
14t
14f
14s
14e
15z
15t
15f
15s
15e
1
2
3
5
0 0
1 3
4 4
6 7 8
8 8 8

Frequência acumulada Ramo Folha
1
2
3
5
8
11
17
25
37
(10)
33
23
16
10
6
5
2
1
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
6
7
7
1 5
0 5 8
0 1 3
1 3 3 4 5 5
1 2 3 5 6 8 9 9
0 0 1 3 4 4 6 7 8 8 8 8
0 0 0 3 3 5 7 7 8 9
0 1 1 2 4 4 5 6 6 8
0 0 1 1 3 4 6
0 3 4 6 9 9
0 1 7 8
8
1 8 9
7
5
N = 80
Min = 76
Max = 245
Média = 162,7
Mediana = 161,5
Q1 = 143,50
Q3 = 181,00
S2
= 33,77

• Exercício (Montgomery, 2004, p.17): Os seguintes dados são os
números de ciclos até a falha, de corpos de prova de alumínio,
sujeitos a uma tensão alternada repetida, de 21.000 psi e 18 ciclos
por segundo:
1115
1310
1540
1502
1258
1315
1085
798
1020
865
2130
1421
1109
1481
1567
1883
1203
1270
1015
845
1674
1016
1102
1605
706
2215
785
885
1223
375
2265
1910
1018
1452
1890
2100
1594
2023
1315
1269
1260
1888
1782
1522
1792
1000
1820
1940
1120
910
1730
1102
1578
758
1416
1560
1055
1764
1330
1608
1535
1781
1750
1501
1238
990
1468
1512
1750
1642

• (a) Construa um diagrama de ramo e folhas para esses dados. (b)
Você acha que o corpo de prova “sobreviverá” além de 2.000
ciclos? Justifique a sua resposta. (c) Encontre a mediana e os
quartis.Profundidade Ramo Folha
1
5
8
10
17
22
29
33
(5)
32
22
18
11
7
5
4
2
3
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
75
06 58 85 98
45 65 85
10 90
00 15 16 18 20 55 85
02 02 09 15 20
03 23 38 58 60 69 70
10 15 15 30
16 21 52 68 81
01 02 12 22 35 40 60 67 78 94
05 08 42 74
30 50 50 64 81 82 92
20 83 88 90
10 40
23
00 30
15 65
b) Não. A probabilidade
é muito pequena.
c) M = 1436,5
Q1 = 1097,8
Q3 = 1735
a)

 Diagrama de caixa (box plot)
• Uma outra forma gráfica de apresentar os dados é o chamado
diagrama de caixa (box plot) ou diagrama de caixa e linhas (box and
whiskers), que permite descrever simultaneamente vários fatores
importantes de uma série de dados, tais como a tendência central
(média ou mediana), a dispersão (desvio-padrão), a possibilidade de
detectar outliers (pontos bastante diferentes do conjunto de dados) e
o desvio da simetria.
• Um diagrama de caixa apresenta três quartis, em uma caixa
retangular, alinhados tanto horizontal como verticalmente;
opcionalmente, pode apresentar a média.

• A caixa inclui a amplitude interquartil, com o canto esquerdo (ou
inferior) no primeiro quartil, Q1, e o canto direito (ou superior) no
terceiro quartil, Q3. Portanto, o comprimento da caixa é igual a
amplitude interquartil , DQ = Q3 - Q1.
• Uma linha é desenhada através da caixa, no segundo quartil (que é o
percentil 50 ou a mediana), Q2. A média, como já dito, é opcional.
• Uma linha (whisker) estende-se de cada extremidade da caixa.
• A linha inferior (ou esquerda) começa no primeiro quartil indo até o
menor valor do conjunto de pontos dentro das amplitudes
interquartis de 1,5, a partir do primeiro quartil.

• A linha superior (ou direita) começa no terceiro quartil indo até o
maior do conjunto de pontos dentro das amplitudes interquartis de
1,5, a partir do terceiro quartil.
• Dados mais afastados dos que as linhas são plotados como pontos
individuais. Um ponto além da linha, porém a menos de 3
amplitudes interquartis a partir da extremidade da caixa, é chamado
de dispersos (outliers).
• Um ponto a mais de 3 amplitudes interquartis a partir da
extremidade da caixa é chamado de um outlier extremo.
Ocasionalmente, símbolos diferentes (círculos abertos e fechados,
por exemplo) são usados para identificar os dois tipos de outlier.

• Exercício: Represente o diagrama de caixa para os dados da
resistência à compressão do alumínio mostrados no exercício
anterior.
N = 80
Min = 76
Max = 245
Média = 162,7
Mediana = 161,5
Q1 = 143,50
Q3 = 181,00

1.7 Regressão Linear
 Introdução
• A análise de regressão é uma técnica estatística para
investigar e modelar a relação entre variáveis, sendo uma
das mais utilizadas na análise de dados.
• É denominada “linear” porque se considera que a relação
da resposta às variáveis é uma função linear de alguns
parâmetros.
• Os modelos de regressão que não são uma função linear
dos parâmetros se chamam modelos de regressão não-
linear.

 Introdução
• A regressão linear pode ser simples ou múltipla.
• A regressão simples envolve duas variáveis
(estimadores): uma variável dependente e uma variável
independente.
• A regressão múltipla envolve três ou mais variáveis,
ainda uma única variável dependente, porém duas ou
mais variáveis independentes (explicativas).

Regressão Linear Simples
 Relação entre duas variáveis
• Em inúmeras ocasiões o estudo descritivo não se resume
ao estudo de apenas uma variável; para se ter uma visão
global do problema em estudo, muitas vezes é necessário
a observação de duas ou mais variáveis.
• Nesse caso, em vez de uma amostra (x1, x2, ..., xn), passa-
se a ter dados bivariados (xi, yi), i = 1, 2, ..., n.
• Um dos objetivos desse estudo é a relação existente entre
as variáveis do par.

 Correlação linear
• Para se ter uma ideia de como as duas variáveis se
relacionam é comum representar graficamente esta
relação por meio de um diagrama de dispersão. Esta
representação consiste na marcação das observações em
um sistema de eixos cartesianos.
• Se as variáveis fornecem um diagrama de dispersão em
que os pontos se colocam ao redor de uma reta crescente
ou decrescente, diz-se que essas variáveis estão
linearmente correlacionadas.

• Quanto menor a dispersão dos pontos em torno da reta,
mais forte será a correlação.
• A correlação linear será positiva ou negativa caso a
tendência da reta seja crescente ou decrescente.
• Se nenhuma tendência positiva ou negativa pode ser
detectada, a explicação possível para os valores da
segunda variável é sua média. Nesse caso, o eixo da
dispersão será horizontal, contendo a média da segunda
variável, e diz-se que as variáveis não são linearmente
correlacionadas.

y
x
Correlação linear forte
(positiva)
y
x
Correlação linear forte
(negativa)
y
x
Correlação linear fraca
(positiva)

y
x
Variáveis não
correlacionadas
y
x
Variáveis não
correlacionadas
linearmente
y
x
Variáveis não
correlacionadas
linearmente
y

• Exemplo: A tabela abaixo mostra os dados da temperatura do gás
combustível (ºF) e da respectiva taxa de calor (Btu/kwh) para uma
turbina de combustão, para ser usada em refrigeração, construa o
diagrama de dispersão para esses dados.
x 100 125 150 175 200 225 250 275
y 99,1 98,8 98,5 98,5 98,5 98,2 98,0 97,8
x 300 325 350 375 400 425 450 500
y 97,8 97,8 97,6 97,5 97,3 97,0 96,8 96,7
• Desse diagrama pode-se extrair que talvez exista uma correlação
linear entre as variáveis; esta relação pode ser traduzida por meio
de uma reta.

 Coeficiente de correlação linear
• A determinação da correlação entre duas variáveis por
meio de uma inspeção nos pares anotados ou no
diagrama de dispersão correspondente é pouco precisa e
subjetiva.
• Essa dificuldade pode ser contornada pelo uso de uma
medida que caracterize a correlação linear e seja
independente do observador que esteja examinando os
dados.

• Karl Pearson propôs o chamado coeficiente de
correlação linear, o qual é dado pela relação:
2
y
2
x ss
)y,x(Cov
r
⋅
=
onde: Cov (x,y) é a covariância das variáveis x e y, e seu
cálculo é dado por
1n
)yy()xx(
)y,x(Cov
−
−⋅−
=
∑
e sx
2
e sy
2
são as variâncias da variáveis x e y.

• Fazendo-se as devidas substituições e simplificações,
obtém-se o coeficiente de correlação de forma mais
simples:
yyxx
xy
ss
s
r
⋅
=
( )
∑
∑−=
n
x
xs
2
2
xx
( )
∑
∑−=
n
y
ys
2
2
yy
onde:
∑
∑∑ ⋅
−=
n
yx
xysxy
1r1 ≤≤−

• r = -1, indica correlação linear negativa perfeita; os
pontos (x,y) estão sobre uma reta com coeficiente
angular negativo.
• r = 0, indica que os pontos não estão correlacionados,
nem apresentam tendência crescente ou decrescente.
• r = 1, indica correlação linear positiva perfeita; os pontos
(x,y) estão sobre uma reta com coeficiente angular
positivo.

• Nos casos em que os pontos do diagrama de dispersão estão em uma
reta vertical ou horizontal, o quociente que calcula o coeficiente de
correlação não está definido, pois apresenta numerador e
denominador nulos. Nesse caso, o coeficiente de correlação será
considerado nulo.
r = 0, Cov (x,y) = 0, sy
2
= 0
y
x
r = 0, pois Cov (x,y) = 0, sx
2
= 0
y
x

• A correlação entre duas variáveis pretende captar o fato
dessas variáveis apresentarem a mesma tendência ao
crescimento, ou tendências contrárias.
• O fato de duas variáveis evoluírem no mesmo sentido ou
em sentidos opostos fornece uma ideia do que se pode
esperar sobre um valor desconhecido da variável y para
um particular valor de x.

x
y
• Se as variáveis x e y são positivamente correlacionadas, e se procura
estimar o valor de y1 para certo valor x1 menor que a média , deve-
se esperar o valor correspondente y1 menor que a média ; para um
valor x2 maior que a média , deve-se esperar um valor y2 maior que
a média , acompanhando a tendência do eixo crescente dos pontos.
x
y
y
x
y2
y1
x2
x1 x
y

• Os problemas que envolvem estimativas de valores desconhecidos a
partir de valores históricos são chamados problemas de previsão ou
predição.
• O conhecimento da correlação entre duas variáveis, embora possa
fornecer uma pista para a previsão de um valor desconhecido de
uma delas, nada informa a respeito da qualidade dessa previsão, ou
seja, não se pode, em geral, com base apenas no conhecimento da
correlação, transformar a incerteza da previsão em risco (isto só é
possível quando a correlação é perfeita).
• Entretanto, o fato de duas variáveis serem correlacionadas levanta a
possibilidade de uma relação causal entre elas, o que é importante
em problemas de previsão.

 Regressão linear simples
• Como visto anteriormente, uma previsão construída
baseada nas informações obtidas da correlação nada diz a
respeito da confiabilidade do valor previsto.
• Um método de previsão que permite a avaliação em
termos de confiabilidade é a regressão linear, pois,
satisfeitas determinadas condições, ela proporciona a
transformação da incerteza em risco

 Regressão linear simples – Modelo teórico
• Quando se verifica, quer por meio do gráfico de
dispersão, quer pelo coeficiente de correlação linear,
uma correlação forte entre duas variáveis, a relação entre
essas variáveis pode ser descrita por meio de uma reta de
regressão (a reta que melhor se ajusta aos dados).
• Essa reta serve de modelo matemático para expressar a
relação linear entre duas variáveis.

• Considere o relacionamento de duas variáveis x e y com
as seguintes características:
x: é a variável cujos valores são controlados e, portanto,
determinados; ela é conhecida por variável independente ou
variável de decisão;
y: variável aleatória; é a variável que se quer prever; seu valor
depende do valor atribuído a x, embora para cada valor de x se
possa ter vários valores de y, devido a sua característica aleatória
(variável dependente de x).

• O modelo teórico define a verdadeira reta de regressão, cuja
equação pode ser escrita como:
xy βα +=
y
O valor de y é dado por:
onde:
UxyouUyy ++=+= βα
é a parte funcional de y (a parte do valor de y explicada pelo
valor de x);
U é a parte aleatória de y, a qual é introduzida no valor de y por
fatores imponderáveis.

• Nessas condições, dado um valor para x, a previsão ou expectativa
para o correspondente valor de y é:
• Entretanto, dificilmente se conhece a população dos valores de y
para cada valor da variável controlada x. O que se conhece,
geralmente, são alguns valores dos pares (x,y), ou seja, apenas uma
amostra dessas variáveis.
• Portanto, com base nos dados amostrais, deve-se pensar como
estimar os valores de α e β, o que pode ser feito de forma eficiente
por meio do método dos mínimos quadrados.
xy βα +=

 Método dos mínimos quadrados
• Um dos métodos mais utilizados para ajustar uma reta a um
conjunto de dados é o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), o
qual consiste em determinar a reta que minimiza a soma dos
quadrados dos desvios (os chamados erros ou resíduos) entre os
verdadeiros valores de y e os valores estimados a partir da reta de
regressão que se pretende ajustar, ŷ.
^ŷ = a + bx

• Adota-se o quadrado das diferenças, pois como os pontos
se situam acima e abaixo da reta estimada, as diferenças
podem ser positivas ou negativas, e na soma podem
anular-se, não refletindo o ajustamento.
• Sendo números positivos, esses quadrados refletem a
qualidade do ajuste através de sua soma.

• O modelo de regressão linear é a reta de regressão
ŷi = a + bxi + εi
onde
ŷ é o estimador de y;
a e b os estimadores de α e β.
∑ ∑∑ +−=−= 2
ii
2
ii
2
i )]bxa(y[min)yˆy(minmin ε
• A reta estimada é obtida de tal modo que a soma dos quadrados dos
desvios ou resíduos (εi = yi – ŷ) seja mínima, ou seja,

• Como tal, para estimar os parâmetros do modelo, é necessário que
as primeiras derivadas em relação a a e a b sejam nulas, e as
segundas sejam maiores ou iguais a zero, assim:







=−−
∂
∂
=−−
∂
∂
∑
∑
0)bxay(
b
0)bxay(
a
2
ii
2
ii
( ) xx
xy
2
2
s
s
n
x
x
n
yx
xy
b,xby
n
x
b
n
y
a =
−
⋅
−
=−=−=
∑
∑
∑
∑ ∑
∑∑
As estimativas dos mínimos quadrados para os parâmetros α e β são:

 Coeficiente de explicação
• Calculada a estimativa de mínimos quadrados para uma
amostra dada, deve-se verificar a qualidade do ajuste
dessa reta aos dados históricos.
• Uma forma de medir a qualidade do ajuste é verificar
qual a porcentagem da variação dos valores de y em
relação à sua média pode ser explicada pela regressão de
y sobre x, o que dará origem ao coeficiente de explicação
R2
.

• Do gráfico abaixo, onde ŷ = a + bx é a regressão de y sobre x,
observa-se que o valor de yi correspondente a um valor xi pode ser
composto de duas partes: a parte explicada pela média e a parte não
explicada pela média.
y
=y parte do valor de y explicada pela média
parte do valor de y explicada pela regressão=− yyˆ
parte do valor de y não explicada pela média=− yˆyi
}
xxi
yi
ŷ
y
}
}
ŷ = a + bx

• Interessa avaliar que porcentagem da parte não explicada pela
média, , pode ser explicada pela regressão de y sobre x, isto
é, por .
yyˆ −
yyi −
( )∑ −=
2
i yyVT
VE = variação explicada, a soma dos quadrados das variações em
relação à média.
( )∑ −=
2
yyˆVE
• Designando:
VT = variação total, soma dos quadrados das variações de y em
relação à sua média.
• No método dos mínimos quadrados, ao invés de somar essas
diferenças, soma-se o quadrado delas para evitar que valores
positivos e negativos se anulem.

( )
22
yy
xy2
2
2
2
rR
s
s
bRou
n
y
y
n
yx
xy
bR =⋅=
−
⋅
−
⋅=
∑
∑
∑
∑ ∑
• O coeficiente de explicação R2
pode ser definido agora como sendo
a porcentagem da variação total representada pela variação
explicada.
( )
( )∑
∑
−
−
== 2
i
2
2
yy
yyˆ
VT
VE
R

• Exemplo: No exemplo anterior, observou-se no diagrama
de dispersão uma possível relação linear entre as
variáveis.
a) Confirme essa relação por meio do coeficiente de
correlação;
b) Encontre a reta de regressão pelo método dos
mínimos quadrados.

• Cálculos:i x y x2
y2
xy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
100
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350
375
400
425
450
500
99,1
98,8
98,5
98,5
98,5
98,2
98,0
97,8
97,8
97,8
97,6
97,5
97,3
97,0
96,8
96,7
10000
15625
22500
30625
40000
50625
62500
75625
90000
105625
122500
140625
160000
180625
202500
250000
9820,8
9761,4
9702,2
9702,2
9702,2
9643,2
9604,0
9564,8
9564,8
9564,8
9525,8
9506,2
9467,3
9409,0
9370,2
9350,9
9910,0
12350,0
14775,0
17237,5
19700,0
22095,0
24500,0
26895,0
29340,0
31785,0
34160,0
36562,5
38920,0
41225,0
43560,0
48350,0
Σ 4625 1565,9 1559375 153259,8 451365,0
( ) ( )
977,0)99,0(R
99,0r
16
)9,1565(
8,153259
16
)4625(
1559375
16
9,15654625
451365
r
n
y
y
n
x
x
n
yx
xy
r
ss
s
r
22
22
2
2
2
2
yyxx
xy
=−=
−=
−⋅−
⋅
−
=
−⋅−
⋅
−
=
=
⋅
=
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑

• Cálculos:
- O valor da correlação e do coeficiente de explicação indicam uma
forte correlação linear entre a temperatura do gás combustível e a
taxa de calor. Pode-se, portanto, estimar, através do MMQ os
parâmetros a e b e traçar a reta de regressão:
( ) ( )
516,99
16
4625
)0057,0(
16
9,1565
n
x
b
n
y
a
0057,0
16
4625
1559375
16
9,15654625
451365
n
x
x
n
yx
xy
b 22
2
=⋅−−=⋅−=
−=
−
⋅
−
=
−
⋅
−
=
∑∑
∑
∑
∑
∑ ∑
- Sendo assim, a reta de regressão é: x0057,0516,99bxayˆ −=+=

 Funções linearizáveis
• Para que se evite erros de previsão, a condição inicial
para um estudo de regressão linear entre duas variáveis é
que essas variáveis apresentem uma razoável correlação
linear.
• Caso os valores de y para crescentes valores de x variem
de modo aleatório, sem apresentar qualquer tendência, o
valor que melhor explica y é, geralmente, a sua média;
entretanto, em alguns casos, o diagrama de dispersão
apresenta uma tendência não linear, isto é, uma curva
bem definida, em torno da qual os pontos parecem
agrupar-se.

• Existe um grupo de funções que apresentam diagramas
ajustáveis a muitas dessas tendências, e que possuem a
qualidade de poder transformar-se em funções lineares
com a aplicação de logaritmos ou por mudança de
variável.
• A forma linear dessas funções transformadas pode então
ser usada para estimar os parâmetros da curva ajustada
àquela tendência, conforme será estudado a seguir.

1. Função potência: y = a.xb
, com x ≥ 0 e b ≥ 0
• Para este caso, a primeira e a segunda derivadas da função
fornecem a forma da curva.
b > 1
Crescente
Concavidade para cima
Contém a origem
x
y
0 < b < 1
Crescente
Concavidade para baixo
Contém a origem
x
y

1. Função potência: y = a.xb
, com x ≥ 0 e b ≥ 0
• Se x = 0, então y = 0.
• Para x > 0, aplicando o logaritmo, tem-se: ln y = ln a + b.ln x
• Fazendo Y = ln y, A = ln a e X = ln x, tem-se a forma linear:
Y = A + b.X
O diagrama de dispersão de (X = ln x, Y = ln y) e o coeficiente de
correlação correspondente podem indicar a oportunidade e
qualidade do ajuste.

2. Função exponencial: y = abx
, a > 0, b > 0, x ≥ 0
• Como no caso anterior, as derivadas fornecem a forma das curvas.
a b > 1
Crescente
x = 0 → y = a
x
y
0 < b < 1
Decrescente
x = 0 → y = a
x
y
a

2. Função exponencial: y = abx
, a > 0, b > 0, x ≥ 0
• Aplicando o logaritmo, tem-se: ln y = ln a + x.ln b
• Fazendo Y = ln y, A = ln a e B = ln b, tem-se a forma linear:
Y = A + B.x
O diagrama de dispersão de (x, Y=lny) e o coeficiente de

2. Função hiperbólica, tipo I:
• A primeira e a segunda derivadas fornecem a forma das curvas.
0y,0a,0x,
x
b
ay >>>+=
b > 0
Decrescente
Assíntota em x = 0 e y = a
x
y
a
x
Crescente
Assíntota em y = a
y
a b < 0
- b/a

3. Função hiperbólica, tipo I:
• Fazendo X = 1/x, obtém-se a forma linear:
y = a + b.X
O diagrama de dispersão de (X=1/x, y) e o coeficiente de
0y,0a,0x,
x
b
ay >>>+=

4. Função hiperbólica, tipo II:
• As derivadas da função indicam que a curva é decrescente e tem
concavidade voltada para cima, com assíntotas em y = 0. Para x
=0, y = 1/a.
0x,0b,0a,
bxa
1
y ≥>>
+
=
x
y
1/a

4. Função hiperbólica, tipo II:
• Fazendo Y = 1/y, obtém-se:
0x,0b,0a,
bxa
1
y ≥>>
+
=
bxaYou
bxa
1
Y
1
+=
+
=
O diagrama de dispersão de (x, Y=1/y) e o coeficiente de

5. Função logaritmo: y = a + b.ln x, x > 0
• As derivadas indicam a forma da curva:
b < 0
Decrescente
x
y
e-a/b
x
Crescente
y
b > 0
e- a/b

5. Função logaritmo: y = a + b.ln x, x > 0
• Fazendo X = ln x, obtém-se a forma linear:
bXay +=
O diagrama de dispersão de (X=ln x, y) e o coeficiente de

• Exemplo: Um estudo sobre a oferta de mercado de um
produto revelou as seguintes quantidades que os
produtores estariam dispostos a oferecer a vários níveis
de preços:
x = preço 10,00 10,50 11,00 11,50 12,00 12,50 13,00 13,50
y = oferta
(em 1000 un.)
427 440 447 453 460 465 470 472

a. Construa um diagrama de dispersão para os dados da tabela;
b. Calcule o coeficiente de correlação linear das variáveis;
c. O diagrama de dispersão sugere o uso de alguma forma linearizável
para ajustar os pontos?
d. Construa o gráfico de dispersão da forma linear correspondente à
função escolhida em (c);
e. Calcule o coeficiente de correlação dos pares em (d);
f. Comente os resultados obtidos;
g. Calcule a regressão de y sobre x para a função de maior correlação;
h. Calcule o coeficiente de explicação para a função escolhida em (g);
i. Calcule a oferta para um preço de 15,00.

• Solução:
a. Diagrama de dispersão
420
425
430
435
440
445
450
455
460
465
470
475
9 9,5 10 10,
5
11 11,
5
12 12,
5
13 13,
5
14
x
y

b. Coeficiente de correlação.
n x y x2
y2
xy
1
2
3
4
5
6
7
8
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
424
440
447
453
460
465
470
472
100,00
110,25
121,00
132,25
144,00
156,25
160,00
182,25
182329
193600
198809
205209
211600
216225
220900
222284
4270,0
4620,0
4917,0
5209,5
5520,0
5812,5
6110,0
6372,0
Σ 94,0 3.634 1.115,00 1.652.456 42.831,0

b. Coeficiente de correlação.
98,0
5,711.15,10
5,131
r5,711.1
8
)634.3(
456.652.1s
5,10
8
)94(
115.1s5,131
8
634.394
831.42s
2
yy
2
xxxy
=
⋅
==−=
=−==
⋅
−=
c. A forma do diagrama de dispersão sugere a curva logarítmica por
suas características.
y = a + b.ln x

d. Diagrama de dispersão: a forma linear é y = a + b.X, com X = ln x.
X = ln x 2,30 2,35 2,40 2,44 2,48 2,53 2,56 2,60
y = oferta
(em 1000 un.
427 440 447 453 460 465 470 472
420
425
430
435
440
445
450
455
460
465
470
475
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
ln x
y

e. Coeficiente de correlação.
n X=ln x y X2
y2
Xy
1
2
3
4
5
6
7
8
2,30
2,35
2,40
2,44
2,48
2,53
2,56
2,60
424
440
447
453
460
465
470
472
5,29
2,52
5,76
5,95
6,15
6,40
6,55
6,77
182.329
193.600
198.809
205.209
211.600
216.225
220.900
222.284
982,1
1.034,0
1.072,8
1.105,5
1.140,8
1.176,45
1.203,2
1.227,2
Σ 19,67 3.634 48,45 1.652.456 8.947,57

e. Coeficiente de correlação.
9879,0
5,711.10771,0
3453,11
r5,711.1
8
)634.3(
456.652.1s
0771,0
8
)67,19(
45,48s3453,11
8
634.367,19
57,947.8s
2
yy
2
xxxy
=
⋅
==−=
=−==
⋅
−=
f. A correlação obtida com a curva logarítmica é maior; portanto, essa
função será escolhida para o processo de regressão.

g. Cálculo da regressão linear:
xln.1505,1471907,92y
921907
8
67,19
1505,147
8
634.3
n
x
b
n
y
a
1505,147
0771,0
3453,11
s
s
b
xx
xy
+=
=⋅−=⋅−=
===
∑∑
h. Cálculo do R2
.
976,0
5,711.1
3453,11
1505,147
s
s
bR
yy
xy2
=⋅=⋅=
A regressão de y sobre x explica 97,6% das variações de y a partir de sua
média; os outros 2,4% são atribuídos a fatores imponderáveis.

i.Projeção da oferta para um preço de 15,00:
A oferta esperada quando o preço for 15,00 é de 490,68
mil unidades.

Regressão Linear Múltipla
 Relação entre as variáveis
• A finalidade das variáveis independentes adicionais é
melhorar a capacidade de predição em confronto com a
regressão linear simples.
• Isto é, reduzir o coeficiente do intercepto, o qual, em
regressão, significa a parte da variável dependente
explicada por outras variáveis, que não a considerada no
modelo.

Regressão Linear Múltipla
 Relação entre as variáveis
• Mesmo quando interessa o efeito de apenas uma das
variáveis, é aconselhável incluir as outras capazes de
afetar Y (análise de regressão múltipla), por 2 razões:
− Para reduzir os resíduos estocásticos. Reduzindo-se a
variância residual (erro padrão da estimativa);
− Para eliminar a tendenciosidade que poderia resultar se
simplesmente ignorássemos uma variável que afeta Y
substancialmente.

• A regressão múltipla apresenta um funcionamento
parecido com o da regressão simples, porém leva em
consideração diversas variáveis explicativas
influenciando ao mesmo tempo.
• Suponha que temos n observações (n>p) da variável
resposta e das p variáveis explicativas. Assim, yi é o
valor da variável resposta na i-ésima observação,
enquanto que xij é o valor da variável explicativa xj na i-
ésima observação, j = 1, 2 …, p.
 Modelo

• Os dados da MRLM podem ser apresentados na forma da
tabela abaixo:
 Estimativa dos Parâmetros do Modelo
yi x1 x2 ... xp
y1 x11 x12 ... x1p
y2 x21 x22 ... x2p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
yn xn1 xn2 ... xnp
• Em que cada relação satisfaz:

• O objetivo é minimizar o somatório do quadrado dos
desvios de cada observação:
 Método dos Mínimos Quadrados
• Derivando o L em função dos β´s :

 Método dos Mínimos Quadrados

• Os estimadores dos parâmetros do modelo podem ser
encontrados a partir da notação matricial dos dados.
Assim, considerando a entrada dos dados como mostrado
na tabela, o MRLM pode ser escrito como:
 Representação Matricial do Modelo

• Usando a técnica de derivação em termos matriciais:

• Os estimadores para os parâmetros βj são dados pelo vetor
• Em geral a matriz (X´X) tem determinante diferente de
zero (não singular) e, portanto, é invertível.
• O modelo de regressão linear ajustado e o vetor de
resíduos são, respectivamente:

• No sistema de equações anterior, fazendo-se
 Modelo de Regressão com duas Variáveis Explicativas

• Resolvendo-se o sistema:

• Onde:

• Considere a seguinte base de dados:
 Exemplo:
i
Consumo ($)
y
Renda ($)
x1
Taxa de juros (%)
x2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
122
114
86
134
146
107
68
117
71
98
139
126
90
144
163
136
61
62
41
120
11,5
12,0
10,5
9,0
10,0
12,0
10,5
8,0
10,0
11,5

• Aplicando-se a fórmula anterior tem-se:
 Exemplo:

 Exemplo:
• Logo,
• Interpretação: Tirando a parte do Consumo que não é
influenciada pela Taxa de Juros, o incremento de $1,00
na Renda causa um acréscimo esperado de $0,6136 no
Consumo; além disso, o incremento de 1 ponto
percentual (0,01) na Taxa de juros causa um decréscimo
esperado de $10,3441 no Consumo.

 Exemplo no modelo não matricial:
i y x1 x2 y.x1 y.x2 x1² x2² x1.x2 y²
1 122 139 0,115 16958 14,03 19321 0,013225 15,985 14884
2 114 126 0,12 14364 13,68 15876 0,0144 15,12 12996
3 86 90 0,105 7740 9,03 8100 0,011025 9,45 7396
4 134 144 0,09 19296 12,06 20736 0,0081 12,96 17956
5 146 163 0,1 23798 14,6 26569 0,01 16,3 21316
6 107 136 0,12 14552 12,84 18496 0,0144 16,32 11449
7 68 61 0,105 4148 7,14 3721 0,011025 6,405 4624
8 117 62 0,08 7254 9,36 3844 0,0064 4,96 13689
9 71 41 0,1 2911 7,1 1681 0,01 4,1 5041
10 98 120 0,115 11760 11,27 14400 0,013225 13,8 9604
∑ 1063 1082 1,05 122781 111,11 132744 0,1118 115,4 118955

 Exemplo:
Sy1 Sy2 S11 S22 S12 b1 b2 a
7764,4 -0,505 15672 0,00155 1,79 0,6135934 -1034,41 148,52202
y = 148,52 + 0,6136.x1 – 1034,41.x2

 Coeficiente de Explicação:
• Similarmente ao que foi feito para a RLS, o coeficiente
de explicação R² é definido como sendo:
(variação explicada pela regressão/variação total)

FIM

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