O documento apresenta os principais conceitos da lógica difusa e teoria dos conjuntos difusos, comparando-os com a lógica clássica. Aborda funções de pertinência, operações com conjuntos difusos como união e intersecção, e definições como suporte, núcleo e corte de nível. O objetivo é fornecer os fundamentos teóricos para aplicações de sistemas difusos em controle e inferência.

1. CADERNOS DE INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL
Exemplos em Python
Prof. Ronaldo F. Ramos, Dr
8 de março de 2021
1/27

2. Sistemas Difusos
2/27

3. Roteiro
→ Lógica clássica x Lógica Difusa
→ Sistemas Difusos
→ Aplicações em Controle
→ Inferência Difusa
→ Arquitetura de Sistemas Difusos
3/27

4. Lógica Clássica
Começou com Aristóteles. (384 – 322 A.C)
Sejam os enunciados abaixo:
Premissas:
- Todo Homem é Mortal
- Sócrates é um Homem
Conclusão:
- Sócrates é Mortal
Formalmente:
∀x Hx → Mx
Hs
∴ Ms
4/27

5. Semântica
→ Cada assertiva pode assumir valores V ou F
→ Nenhuma assertiva pode ser parcialmente V ou F.
→ Nenhuma assertiva pode ser ao mesmo tempo V e F.
*No mundo real as coisas acontecem sempre desta forma?
5/27

6. Conjuntos Clássicos
Socrates ∈ Humanos ⊂ Mortais
6/27

7. Função de Pertinência
Dada uma função f (e, C) = [0..1] onde :
e = {e1, e2, ..., en} representa os elementos do conjunto e C representa o conjunto clássico
relacionado aos elementos e.
Então, para os conjuntos clássicos :
f (e, C) =
(
0 sse e 6∈ C
1 sse e ∈ C
Para os conjuntos difusos:
f (e, C) = [0..1]
7/27

8. Conjuntos Difusos
Seja D um conjunto definido como:
D = {(e, f (e, C))} onde:
e : elementos do conjunto C
f (e, C) : grau de pertinência de e em C
C é considerado como o conjunto de suporte do conjunto difuso D
Chamamos: µC = f (e, C) a função de pertinência com domı́nio U (universo) e imagem
contida no intervalo [0..1]
Ou seja:
µc : U → [0..1]
8/27

9. Exemplo 1
Seja o conjunto dos números próximos de 1:
P = ...(−2, 0)(−1, 1/3)(0, 2/3)(1, 1)(2, 2/3)(3, 1/3)(4, 0)...
Onde:
suporte(P) = ... − 2, −1, 0, 1, 2, 3, 4...
µp =







0 sse e ≤ −2 ou e ≥ 4
e+2
3 sse −2 < e ≤ 1
4−e
3 sse 1 ¡ e ¡ 4
9/27

10. Representação Gráfica dos conjuntos Difusos
Representação Formal:
D = {(µ(e)/e|e ∈ U)}
10/27

11. Funções de Pertinência
11/27

12. Operações com Conjuntos Crisp
Diagramas de Venn
12/27

13. Operações com Conjuntos Difusos - União
Sejam os conjuntos difusos:
A = {(µa(x)/x|x ∈ U)}
B = {(µb(x)/x|x ∈ U)}
A união A ∪ B é dada por:
A ∪ B = {max{(µa(x), µb(x))}/x|x ∈ U}
Onde:
µ(a∪b) = max{µa(x), µb(x)}
13/27

14. União - Exemplo
Sejam os conjuntos difusos:
ALTO = {(0/1.5), (0.2/1.55), (0.5/1.6), (0.8/1.65), (1/1.7)}
BAIXO = {(1/1.5), (0.8/1.55), (0.5/1.6), (0.2/1.65), (0/1.7)}
Então:
ALTO ∪ BAIXO ≡ ALTO ∨ BAIXO = {(1/1.5), (0, 8/1.55), (0, 5/1.6), (0, 8/1.65), (1/1.7)}
14/27

15. União - Graficamente
15/27

16. Intersecção
Sejam os conjuntos difusos:
A = {(µa(x)/x|x ∈ U)}
B = {(µb(x)/x|x ∈ U)}
Então, a intersecção entre A e B é dada como:
A ∩ B = {min{(µa(x), µb(x))}/x|x ∈ U}
Onde:
µ(a∩b) = min{µa(x), µb(x)}
16/27

17. Exemplo - Intersecção
Sejam os conjuntos difusos:
ALTO = {(0/1.5), (0, 2/1.55), (0, 5/1.6), (0, 8/1.65), (1/1.7)}
BAIXO = {(1/1.5), (0, 8/1.55), (0, 5/1.6), (0, 2/1.65), (0/1.7)}
Então:
ALTO ∩ BAIXO ≡ ALTO ∧ BAIXO = {(0/1.5), (0, 2/1.55), (0, 5/1.6), (0, 2/1.65), (0/1.7)}
17/27

18. Intersecção - Graficamente
18/27

19. Complemento
A = {(1 − µA(x)/x)|x ∈ U}
19/27

20. Operações Diversas
20/27

21. Mais Definições
Seja A um conjunto difuso:
A = {(µa(x)/x|x ∈ U)}
O conjunto Suporte de A é definido como:
suporte(A) = {x ∈ A|µa(x) > 0}
O Núcleo (core) de A é definido como:
core(A) = {x ∈ A|µa(x) = 1}
O ponto de crossover é definido como:
x ∈ A|µa(x) = 0.5
Cardinalidade:
|A| =
P
µa(x) (Variáveis diecretas) ou |A| =
R
µa(x)dx (Variáveis Contı́nuas)
21/27

22. Relações
Sejam dois conjuntos difusos A e B definidos sobre o mesmo universo de discurso X e sejam
µA(x) e µB(x) as respectivas funções de pertinência. Então:
A ⊆ B ↔ ∀(x ∈ X) (µA(x) < µB(x))
A = B ↔ ∀(x ∈ X) µA(x) = µB(x)
22/27

23. Corte de Nı́vel α
Corte de Nı́vel-α: Aα{x ∈ X|µA(x) ≥ α}
23/27

24. Altura de Um Conjunto Difuso
Um conjunto(A) é normal se h(A) = 1
Um conjunto(A) é subnormal se h(A) < 1
24/27

25. Conjuntos Convexos
Um conjunto difuso é convexo sse ∀ x1, x2 ∈ X e ∀λ ∈ [0, 1] :
µA[λx1 + (1 − λ)x2] ≥ min[µA(x1), µA(x2)]
25/27

26. Números Difusos
Um Numero Difuso (M) é um conjunto convexo normalizado definido em < tal que:
→ Existe pelo menos um Xo tal que µM(xo) = 1;
→ µM(x) é contı́nua por partes.
26/27

27. Teoria dos Conjuntos Difusos
Continua...
27/27

28. FIM
28/27