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1. UNIFACEX - CENTRO UNIVERSITÁRIO FACEX
Aula 01
1
Resistência dos Materiais II: Torção
Prof. M. Sc. João Paulo de Barros Cavalcante
E-mail: jpbarrosc@hotmail.com
Torção
Disciplina: Resistência dos Materiais II

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Objetivos
Resistência dos Materiais II: Torção
➢ Compreender o que é a deformação por
torção
➢ Compreender os esforços que surgem devido
a torção
➢ Determinar a distribuição de tensões e o
ângulo de torção

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Carregamentos e Deformações Axiais
Resistência dos Materiais II: Torção
𝛿 =
𝑃𝐿
𝐸𝐴
𝛿𝑇 = 𝛼 ∆𝑡 𝐿

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Deformação por torção
Resistência dos Materiais II: Torção
Exemplo de torção

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Deformação por torção
Resistência dos Materiais II: Torção
• Torção é a deformação por efeito do torque
• Torque é um esforço que deforma...

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Deformação por torção
Resistência dos Materiais II: Torção
• Torção é a deformação por efeito do torque
• Torque é um esforço que deforma...

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Deformação por torção
Resistência dos Materiais II: Torção
• Efeitos da torção na Engenharia Civil

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Deformação por torção
Resistência dos Materiais II: Torção
• Efeitos da torção na Engenharia Civil

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Deformação por torção
Resistência dos Materiais II: Torção
• Pode-se definir a deformação por ângulo φ(x)
ϕ(x) é denominado ângulo
de torção
ϕ(x): varia com a distância
do engastamento

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Ângulo de torção
Resistência dos Materiais II: Torção
A deformação angular máxima ocorre na
superfície da barra e pode ser equacionada
da seguinte forma:
𝛾𝑚á𝑥 =
𝑏 𝑏′
𝑎 𝑏
ቊ
𝑏 𝑏′
= 𝑟 𝑑ϕ
𝑎 𝑏 = 𝑑𝑥
𝛾𝑚á𝑥 =
𝑟 𝑑ϕ
𝑑𝑥

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Ângulo de torção
Resistência dos Materiais II: Torção
Logo:
Para uma barra sujeita a torção pura, a
𝛾𝑚á𝑥 =
𝑟 ϕ
𝐿
• “Assim, a deformação de cisalhamento
em uma barra circular varia linearmente
com a distância do eixo da barra.”
Tem-se:
𝜃 =
𝑑ϕ
𝑑𝑥
=
ϕ
𝐿
Razão de
torção

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A fórmula da torção
Resistência dos Materiais II: Torção
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, ele cria um torque
internos correspondente no interior do eixo.
• Pela Lei de Hooke, para material elástico linear:
𝜎 = 𝐸𝜀
• Para a torção:
𝜏 = 𝐺𝛾
• No entanto...
𝛾 = 𝑟𝜃
• Logo:
𝜏 = 𝐺𝑟𝜃
O valor de 𝜏 cresce com o
raio... 𝜏 = 0 se r = 0
𝜏: Tensão de cisalhamento
G: Módulo de elasticidade
transversal

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A fórmula da torção
Resistência dos Materiais II: Torção
Logo,
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑟
𝐽
* Dedução da fórmula: página 126 do livro do Hibbeler.
Fórmula de Torção

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A fórmula da torção
Resistência dos Materiais II: Torção
Lembrando que J para uma seção maciça...
𝐽 =
𝜋𝑟4
2
Logo,
𝜏𝑚á𝑥 =
2𝑇
𝜋𝑟3
Assim,
𝜏 =
2𝑇
𝜋𝜌3
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑟
𝐽
r
𝝆

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A fórmula da torção
Resistência dos Materiais II: Torção
• Ângulo de torção:
Podemos dizer que:
𝜙 =
𝑇𝐿
𝐽𝐺
Ângulo de torção
(em radianos)

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A fórmula da torção
Resistência dos Materiais II: Torção
➢ Tubos Circulares (Seção circular vazada)
• A análise é quase idêntica a feita para uma solida
• As equações deduzidas para barras solidas são aplicáveis para as de
seção vazada, uma vez que as hipóteses são as mesmas. Sendo que:
𝑟1 ≤ 𝜌 ≤ 𝑟2
𝐽 =
𝜋
2
𝑟2
4
− 𝑟1
4
=
𝜋
32
𝑑2
4
− 𝑑1
4

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Exercício 01
Resistência dos Materiais II: Torção
A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em gráfico
ao longo de três linhas radiais arbitrárias, como mostra a figura ao lado.
Determinar o torque interno resultante na seção.

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Resistência dos Materiais II: Torção
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑟
𝐽
𝑇 =
𝜏𝑚á𝑥 𝐽
𝑟
𝐽 =
𝜋𝑟4
2
=
𝜋 0,054
2
= 9,81𝑥10−6 𝑚4
𝑇 =
56 ∗ 106
∗ 9,81𝑥10−6
0,05
= 11 ∗ 103
𝑁𝑚 = 11 𝑘𝑁𝑚

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Exercício 02
Resistência dos Materiais II: Torção
O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e diâmetro
externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o
apoio em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de
cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo
da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro.

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Resistência dos Materiais II: Torção
𝐽 =
𝜋
2
𝑟2
4
− 𝑟1
4
𝜏𝑒𝑥𝑡 =
𝑇𝑟
𝐽
𝜏𝑖𝑛𝑡 =
𝑇𝑟
𝐽
𝐽 =
𝜋
2
0,054
− 0,044 = 5,80 ∗ 10−6𝑚4
𝑇 = 80 ∗ 0,2 + 80 ∗ 0,3 = 40 𝑁𝑚
=
40
5,80𝑥10−6
∗ 0,05
=
40
5,80𝑥10−6
∗ 0,04
= 0,34 ∗ 106𝑁/𝑚²
= 0,28 ∗ 106
𝑁/𝑚²
= 0,34 𝑀𝑃𝑎
= 0,28 𝑀𝑃𝑎