Flexão.pdf

Resistência dos Materiais II
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Capítulo 3
Flexão

Flexão provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão
de compressão do outro lado.
3.1 – Revisão

3.2 – A fórmula da flexão
O momento resultante na seção transversal é igual ao momento
produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo
neutro.
I
My



σ = tensão normal no membro
M = momento interno
I = momento de inércia
y = distância perpendicular do eixo neutro

Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a
área da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular
ao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao
longo do eixo neutro.
Agora veremos como fica a fórmula da
flexão para uma viga com momento
interno resultante que aja em
qualquer direção.
3.3 – Flexão Reta ou Normal

3.4 – Flexão Oblíqua

Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na
seção transversal, em termos gerais, como:
y
y
z
z
I
z
M
I
y
M




σ = tensão normal no ponto
y, z = coordenadas do ponto medidas em relação a x, y, z
My, Mz = componentes do momento interno resultante direcionados ao
longo dos eixos y e z
Iy, Iz = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos
y e z
Momento aplicado arbitrariamente

O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ = 0. Temos:
IMPORTANTE: utilizar um sistema x, y e z orientado
pela regra da mão direita.
Ângulo 𝜭 – sentido do +z para +y até encontrar o M
Ângulo α – sentido do +z para +y até encontrar LN
ou seja horário positivo, anti-horário negativo.
Orientação do eixo neutro
y
z
z y
M z
M y
0
I I
  
y
z
z y
M z
M y
I I
 y z
z y
M I z
y
M I

z
y
y Msen I
z Mcos I



z
y
y tg I
z I


z
y
I
tg tg
I
  

Exemplo 1 -
A seção transversal retangular mostrada na figura abaixo está sujeita a um
momento fletor M=12kNm. Determine a tensão normal desenvolvida em cada
canto da seção.

Vemos que os eixos y e z representam os eixos principais de inércia, uma vez
que são os eixos de simetria para a seção transversal.
O momento decomposto em suas componentes y e z, onde:
Os momentos de inércia em torno dos eixos y e z são:
4
(12 ) 9,60
5
3
(12 ) 7,20
5
y
z
M kNm kNm
M kNm kNm
   
 
  
  
3 3 4
3 3 4
1
0,2 0,4 1,067 10
12
1
0,4 0,2 0,267 10
12
z
y
I m
I m


  
  
y
z
z y
M z
M y
I I
   

Tensão de flexão:
 
3
3
3 4 3 4
9,60 10 0,1
7,2 10 0,2
1,067 10 0,267 10
2,25 MPa
y
z
z y
B
B
M z
M y
I I
Nm m
Nm m
m m



 
  
   
 
  
 

 
3
3
3 4 3 4
9,60 10 0,1
7,2 10 0,2
1,067 10 0,267 10
4,95 MPa
C
C
Nm m
Nm m
m m


 
  
 
  
 
 
 
3
3
3 4 3 4
9,60 10 0,1
7,2 10 ( 0,2)
1,067 10 0,267 10
2,25 MPa
D
D
Nm m
Nm m
m m


 
  
  
  
 
 

 
3
3
3 4 3 4
9,60 10 0,1
7,2 10 ( 0,2)
1,067 10 0,267 10
4,95 MPa
E
E
Nm m
Nm m
m m


 
   
  
  
 

2,25 4,95
(0,2 )
0,45 2,25 4,95
0,0625
MPa MPa
z m z
z z
z m


 

Orientação do eixo neutro: a
localização do z do eixo neutro NA
pode ser determinada por cálculo
proporcional. Ao longo da borda BC,
exige-se:

3 4
3 4
tg tg
1,067 10
tg tg(-53,1°)
0,267 10
79,4
306,9
z
y
I
I
m
m
 








  


Exemplo 2 -
Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kNm. Determine a
tensão normal máxima na viga.

Ambas as componentes do momento são positivas. Temos
 
  kNm
50
,
7
30
sen
15
kNm
99
,
12
30
cos
15






z
y
M
M
Para propriedades da seção, temos
       
     
m
0890
,
0
2
,
0
03
,
0
04
,
0
1
,
0
2
,
0
03
,
0
115
,
0
04
,
0
1
,
0
05
,
0







A
A
z
z

Pelo teorema dos eixos paralelos, , os principais momentos da
inércia são:
       
      
         4
6
2
3
2
3
4
6
3
3
m
10
92
,
13
089
,
0
115
,
0
03
,
0
2
,
0
03
,
0
2
,
0
12
1
05
,
0
089
,
0
04
,
0
1
,
0
1
,
0
04
,
0
12
1
m
10
53
,
20
2
,
0
03
,
0
12
1
04
,
0
1
,
0
12
1
























y
z
I
I
2
Ad
I
I 

A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre
em C.
 
 
 
 
3 3
6 6
7,5 10 0,1 12,99 10 0,041
20,53 10 13,92 10
74,8 MPa
y
z
z y
B
B
M z
M y
I I



 
  
  
  


 
 











 

6
,
68
60
tg
10
92
,
13
10
53
,
20
tg 6
6


 
 
 
 
6 6
7,5 0,02 12,99 0,089
90,3 MPa
20,53 10 13,92 10
C C
 
 

    
 

tg -300

1)O momento fletor é aplicado à viga com a seção transversal indicada na
figura. Determine o valor das tensões normais de flexão nos pontos A, B e
D. Respostas:
Exercício de fixação
100,1 , 24,93 e 100,1
A B D
MPa MPa MPa
  
   
y
z
z y
M z
M y
I I
   

3.5 – Cargas combinadas-
Flexão + carga axial
Uma viga de madeira servindo de suporte a um tablado, em uma
estrutura sobre um rio. A viga sofre flexão normal ou reta. Se essa
estrutura suporta o empuxo lateral do terreno, sofre compressão.

Exemplo de flexão oblíqua composta: mesa de quatro pés.
Analisando um dos pés, vemos que chegam duas traves (vigas) e são
pregadas. Cada trave transporta ao pé da mesa um momento fletor. A
soma dos dois momentos gera um momento fletor oblíquo.

Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento. Despreze o peso do
elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C.
Exemplo 3-
15000 50 750000
z
M   
Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo
no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo z. My
é nulo.
C
B
y
z

     
     
3
3
15.000 750.000
50
1
100 40
40 100
12
3,75 MPa 11,25 MPa= -15MPa
15.000 750.000
( 50 )
1
100 40
40 100
12
3,75 MPa+11,25 MPa= 7,5MPa
C
C
B
B
N Nmm
mm
mm mm
mm mm
N Nmm
mm
mm mm
mm mm





  
  

   
 
Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo
no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo z. My
é nulo.
y
z
x
z y
M
M
P
y z
A I I
    

Elementos de material em B e C estão submetidos as tensões normais:

O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de
40 kN aplicada em seu canto. Determine a distribuição da tensão normal
que age sobre uma seção que passa por ABCD.
Exemplo 4-
40 0,2 8
40 0,4 16
z y
y z
M Pe kN m kNm
M Pe kN m kNm
   
    

Para a distribuição uniforme da tensão normal temos
     
 
  
 
3 3
40 8 16
0,2 0,4
0,8 0,4 0,8 0,4 0,4 0,8
12 12
125 kPa+375kPa+375kPa=625kPa
125 kPa-375kPa+375kPa=-125kPa
125 kPa-375kPa-375kPa=-875kPa
125 kPa+375kPa-375k
y
z
x
z y
A
A
B
C
D
M
M
P
y z
A I I
kN kNm kNm
m m
m m m m m m






   
 
     
 
 
 
  Pa=-125kPa
0,2 z= 0,4
0,2 z= 0,4
0,2 z=+0,4
0,2 z=+0,4
A y m m
B y m m
C y m m
D y m m
   
   
  
  

2) O bloco está sujeito às duas cargas mostradas abaixo. Calcule as
tensões normais que agem na seção transversal no corte a-a nos pontos A
e B. Respostas:
25 75
A B
psi e psi
 
   

Exercício de fixação - extra
Uma edificação é composta por três pavimentos, cada um formado por
uma laje de concreto de 4x6m, com 15cm de espessura, suportanto uma
carga uniformemente distribuída de 1,5kN/m2. Cada laje está apoiada em
vigas de contorno com seção de 12x28cm, as quais se apoiam em quatro
pilares de 20x30cm nas extreminades da edificação. Calcule as máximas
tensões normais no pilar.
γ=25kN/m3

Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas
vigas compostas.
A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogêneo.
Entretanto vamos modificar a seção transversal da viga em uma seção
feita de um único material e utilizar a fórmula.
3.6- Vigas Compostas

Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um material
homogêneo, a área total da seção transversal permanecerá plana após a
flexão, e por consequência, as deformações normais variarão linearmente
de zero no eixo neutro a máxima no material mais afastado desse eixo.
O método consiste em transformar a viga em outra feita de um ÚNICO
material.
Método da seção transformada
1
2
E
E
 
 



A altura da viga deve permanecer a mesma para preservar a distribuição
de deformações.
1
2
E
n
E

1 + rígido 2 – rígido - Regra: numerador o material que será substituído!
O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes
materiais que compõem a viga.
2
1
'
E
n
E


Uma vez determinada a tensão da seção transformada, ela deve ser
multiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na viga
verdadeira.

Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço
localizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada
na figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determine
a tensão normal nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.
Exemplo 5 -

Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço, substituindo a
madeira.
 
aço mad 0,06 150 9 mm
b nb mm
  
A localização do centroide (eixo neutro) é
       
     
m
03638
,
0
15
,
0
009
,
0
15
,
0
02
,
0
15
,
0
009
,
0
095
,
0
150
,
0
02
,
0
01
,
0







A
A
y
y
A seção transformada é mostrada na figura ao lado.
mad
aço
12
0,06
200
E
n
E
  

Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é
      
      
 
3 2
3 2
6 4
1
0,15 0,02 0,15 0,02 0,03638 0,01
12
1
0,009 0,15 0,009 0,15 0,095 0,03638
12
9,358 10 m
LN
I

 
  
 
 
 
  
 
 

Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B’ e C
é
 
 
 
 
' 6
6
2 0,17 0,03638
28,6 MPa
9,358 10
2 0,03638
7,78 MPa
9,358 10
B
C C
M
y
I

 



    

   
A tensão normal na madeira em B é .
 
' 0,06 28,56 1,71 MPa
B B B
n
  
     

3) Uma barra constituída de aço e latão tem seção indicada abaixo.
Determinar a máxima tensão no aço e no latão quando a barra fica sujeita
à flexão pura com o momento M=2kNm. Respostas em módulo:
200 , 100
aço lat
E GPa E GPa
 
 
aço máx
500MPa
 
 
lat máx
250MPa
 

4) A fim de reforçar a viga de aço, colocou-se entre seus flanges uma
tábua de carvalho como mostra a figura abaixo. Se a tensão normal
admissível do aço é e da madeira , qual
momento fletor máximo que a viga pode suportar, com e sem o reforço?O
momento de inércia da viga de aço é , e sua área da seção
transversal é .
Respostas: sem reforço M=116kip.in
com reforço M=172kip.in
  24
adm aço
ksi
    3
adm mad
ksi
 
3 3
29 10 , 1,6 10
aço mad
E ksi E ksi
   
4
20,3
z
I in

2
8,79
A in


5) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio,
formando a seção composta mostrada. Usando os dados abaixo, determinar o
maior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de um
eixo horizontal.
Respostas: M=3,08kNm
  160
adm lat
MPa
    100
adm alum
MPa
 
70
alum
E GPa

105
lat
E GPa


Vigas de concreto armado

A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a
figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 60 kN∙m, determine
a tensão normal em cada uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal
máxima no concreto. Considere Eaço = 200 GPa e Econc = 25 GPa.
Exemplo 6 -

A área total de aço é
 
  2
2
aço mm
982
5
,
12
2 
 
A
Exige-se que o centroide se encontre no eixo neutro.
 
    2
3
3
aço mm
856
.
7
982
10
25
10
200
' 

 nA
A
   
2
0
'
300 ' 7.856 400 ' 0
2
' 52,37 ' 20.949,33 0 ' 120,9 mm
' 173,3mm
yA
h
h h
h h h
h

  
    
 

 
 
3
aço
3
conc
200 10
E
n 8
E 25 10
  

O momento de inércia da seção transformada, calculado em
torno do eixo neutro, é
  
   
3 2
2
z
6 4
z
300 120,9 120,9
I 300 120,9 7.856 400 120,9
12 2
I 788,67 10 mm
 
 
    
 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada, a tensão normal
máxima no concreto é
 
 
 
6
conc 6 4
máx
conc máx
60 10 120,9
788,67 10
9,20 MPa
z
z
Nmm mm
M y
I mm



   

 

aço conc
aço
' 8 21,23
169,84 MPa
n
 

  

A tensão normal em cada uma das duas hastes é, portanto,
 
6
conc 6 4
60 10 400 120,9
' 21,23 MPa
788,67 10
Nmm mm
mm

 
  
 
   


6) Uma laje de concreto tem barras de aço de 16mm de diâmetro a cada
150mm, colocadas a 20mm acima da face inferior da laje. Os módulos de
elasticidade são 21GPa para o concreto e de 210GPa para o aço. Sabendo-
se que um momento fletor de 4kNm está aplicado à cada 30cm de largura
da laje, determinar: (a) a máxima tensão no concreto; (b) a tensão no aço.
Respostas:
 
conc máx
( ) 7,7
a MPa
  
aço
( ) 114,8
b MPa
 

7) A viga de concreto armado está reforçada por duas barras de aço. Se o
esforço de tração admissível para o aço for e o esforço
de compressão admissível para o concreto , qual momento
máximo M poderá ser aplicado à seção? Supor que o concreto não suporta
esforço de tração.
Resposta: M=1168,8kip.in
  40
adm aço
ksi
 
  3
adm conc
ksi
 
3 3
29 10 , 3,8 10
aço conc
E ksi E ksi
   

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