Aula de Resistência de Materiais, com o tema de Tensões Tangenciais preparada pelo Engenheiro David Malôa, docente universitário na Universidade Politécnica - Moçambique.

1. TEMA 1 & 2
Disciplina: RESISTENCIA DE MATERIAIS II
Docente: Eng. David Malôa
UNIVERSIDADE POLITECNICA
Instituto Superior Politécnico de Tete
Curso: Licenciatura em Engenharia Civil – 2º Ano
Fevereiro de 2018

2. CONTEÚDO
Tema 1: INTRODUÇÃO
Apresentação do programa da disciplina
Tema 2: TENÇÕES TANGENCIAIS
Conceitos básicos
Torque
Determinação do Torque pelo método de Secções
Tesões Tangenciais na Torção
Exercícios de Aplicação
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3. 1. INTRODUÇÃO
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 A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas
externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que actuam
dentro do corpo. Esse assunto abrange também o calculo da deformação do corpo e o estudo
da sua estabilidade, quando ele esta submetido a forças externas.
 No projecto de qualquer estrutura ou maquina é necessário primeiro usar os princípios da
estática para determinar as forças que actuam tanto sobre como no interior dos seus vários
membros. As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das
cargas internas como também do tipo de material do qual esses elementos são feitos. Assim a
determinação precisa e a compreensão do comportamento do material são de vital
importância para o desenvolvimento das equações usadas na resistência dos materiais.
Observe que muitas formulas e procedimentos de projecto, definidos nas normas da
engenharia e usados na pratica baseiam-se nos fundamentos da resistência dos materiais e,
por essa razão, compreender os princípios dessa matéria eh muito importante.

4. 1.1. Programa da disciplina
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1.1.1 Plano Temático
Nesta disciplina serão abordados os seguintes temas:
1. Introdução
2. Tensões Tangenciais: Torção
3. Deformação em estruturas carregadas
4. Encurvadura de barras rectas ou pouco curvas
5. Teoremas de Energia
1.1.2. Metodologia de Avaliação
Mediante dois testes escritos e um trabalho de investigação/pratico que será elaborado
e apresentado pelos estudantes.

5. 1.1.2. Metodologia de avaliação
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O sistema de avaliação compreenderá o seguinte:
NFreq= 0.40T1 + 0.40T1 + 0.20T
𝑁𝐹𝑟𝑒𝑞 ≥ 10, isento de negativas em todas avaliações, aprovado sem ser submetido ao
exame;
𝑁𝐹𝑟𝑒𝑞 ≥ 8, com nota inferior a 10 valores em qualquer avaliação, admitido ao exame;
𝑁𝐹𝑟𝑒𝑞 < 8, reprovado.
Trabalho de Investigação
A ser elaborado e apresentado pelos estudantes, com os seguintes temas:
 Trabalho externo e Energia de Deformação;
 Energia de Deformação elástica para vários tipos de carga;
 Conservação de Energia

6. 2. TENSÕES TANGENCIAIS
2.1. Conceitos fundamentais
Denomina-se força cortante, a carga que atua tangencialmente sobre a área de secção
transversal da peça.
A força por unidade de área, ou intensidade das forças distribuídas sobre uma
determinada seção, é chamada de tensão naquela seção.
A tensão na seção transversal de área A de uma barra submetida a uma carga axial P
(denominada tensão normal e representada pela letra grega 𝜎(sigma)), é obtida
dividindo-se o valor da carga P pela área A:
Já tensão de cisalhamento é definida através da relação entre a intensidade da carga
cortante aplicada e a área da secção transversal da peça sujeita a cisalhamento.

7. 2.2. Momento de Torção (Torque)
Uma peça submete-se ao esforço de torção, quando atua um torque em uma das suas
extremidades e um contratorque na extremidade oposta.
Torque é o momento que tende a torcer o membro em torno do seu eixo longitudinal.
Tal momento pode ser calculado pelo método das secções. O valor do momento de
torção (𝑀𝑡𝑜𝑟) numa secção transversal qualquer da barra é igual a soma algébrica dos
momentos de todos os pares externos das forças (isto é, concentrados M e distribuídos
no sentido longitudinal da barra, sendo a sua intensidade m), que actuam em relação ao
eixo geométrico da barra e estão de um lado da secção analisada. A fórmula geral, com
cuja ajuda se pode calcular o valor de momento de torção numa secção transversal
qualquer da barra, é a seguinte:
𝑀𝑡𝑜𝑟 = 𝑀 + 𝑚𝑑𝑥

8. 2.2. Calculo do Torque Pelo Método das Secções
A integração realiza-se ao longo de cada sector em que actua o momento distribuído e a soma
abrange todos os sectores, situados de um lado da secção examinada.
O momento de torção, visto a partir da normal, exterior a secção, pode ser considerado
convencionalmente positivo se estiver orientado no sentido anti-horário.
Exemplo 1: Seja dada a figura 1, que representa uma estrutura submetida a acção de vários
torques. Pede-se para construir o diagrama 𝑀𝑡𝑜𝑟.
Solução: Traçando secções dentro de cada sector da barra de acordo com a formula geral para o
calculo de momento de torção, e tendo em conta a regra de sinais tem-se:
𝑀𝑡𝑜𝑟1 = 𝑚1𝑥 =
𝑀
2𝑎
𝑥;
𝑀𝑡𝑜𝑟2 = 𝑚1𝑎 =
𝑀
2
;
𝑀𝑡𝑜𝑟3 = 𝑚1𝑎 − 𝑀 =
𝑀
2
− 𝑀 = −
𝑀
2
;
𝑀𝑡𝑜𝑟4 = 𝑚1𝑎 − 𝑀 + 0
𝑥 2𝑚1
2𝑎
𝑥𝑑𝑥 =
𝑀
2
− 𝑀 +
𝑀
2𝑎2 0
𝑥
𝑥𝑑𝑥 = −
𝑀
2
+
𝑀𝑥2
4𝑎2 .

9. 2.2.1. Exemplo
Figura 1: Estrutura e construção de diagrama de momento de torção.
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10. 2.3. Exercícios de Aplicação
1. Sejam dadas as estruturas (164 a 167), calcule e construa os diagramas do momento
de torção usando o método das secções.
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11. 2.4. Torque devido a aplicação da força
Seja dada a figura 2., o torque atuante na peça representada é definido através do produto entre
a intensidade da carga aplicada e a distancia entre o ponto de aplicação da carga e o centro de
secção transversal (polo).
 Onde: S – é a distancia entre o ponto de aplicação da carga e o polo [m; dm; ...]
Para as transmissões mecânicas construídas por polias, engrenagens, rodas de atrito, correntes,
etc., o torque é determinado através de:
 E que: 𝑀𝑇 - Torque [Nm]
𝐹𝑇 - Força tangencial [N]
𝑟 - raio da peça [m]
𝑀𝑇 = 2𝐹 ∗ 𝑆
𝑀𝑇 = 𝐹𝑇 ∗ 𝑟
Figura 2
Figura 3

12. 2.5. Potência
É a realização de um trabalho na unidade de tempo: 𝑝 =
𝜏
𝑡
Nos movimentos a potência é expressa da seguinte forma: 𝑝 = 𝐹𝑇 ∗ 𝑉𝑃
Onde: 𝑝 − potencia [w]
𝐹𝑇 - Forca tangencial [N]
𝑉𝑃 - Velocidade periférica [m/s]
Fora do SI, a unidade de potencia utilizada na pratica é cv (cavalo vapor), em que
corresponde a aproximadamente 735,5 w.
Desenvolvendo essas expressões pode se chegar a mais generalizada: 𝑝 =
𝜋∗𝑀𝑇∗𝑛
30
Em que: 𝑛 – rotação [rpm]
𝑓 – frequência [Hz]
𝑤 – velocidade angular [rad/s]
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13. 2.6. Tensões Tangenciais na torção
Para uma barra cilíndrica de secção circular a tensão de tangencial atuante em qualquer
ponto da secção transversal da peça é definida através da expressão: 𝜏 =
𝑀𝑇∗𝜌
𝐼𝑝
, em que
tem-se a máxima tensão no momento em que 𝜌 = 𝑟, sendo que no centro da secção
transversal a tensão é nula.
No caso em que se pretende determinar a máxima tensão, esta poderá ser expressa em
função do modulo de resistência polar: 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑇
𝑊𝑃
Onde: 𝜏𝑚𝑎𝑥 - tensão tangencial máxima [Pa]
𝐼𝑝 - momento polar de inercia [𝑚4
; …]
𝑟 – raio de secção transversal [m; mm; ...]
𝑊
𝑝 - modulo de resistência polar [𝑚3; ...]
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14. PRÓXIMA AULA
Distorção
Ângulo de Torção
Exercícios de Aplicação
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15. 2.7. Distorção (𝛾)
O torque actuante na peça provoca na secção transversal desta, o deslocamento do
ponto A da periferia para a posição A’. Na longitude do eixo origina-se uma deformação
de cisalhamento denominada distorção 𝜸, que é determinada em radianos (rad),
através da tensão de cisalhamento actuante e o módulo de elasticidade transversal do
material.
𝛾 =
𝜏
𝐺
Em que 𝐺 – modulo de elasticidade transversal do material [Pa]
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16. 2.8. Ângulo de Torção (𝜃)
Ângulo de Torção (𝜽)
O deslocamento do ponto A para uma posição A’, descrito na distorção, gera na secção
transversal da peça, um ângulo torção (𝜃) que é definido através da seguinte formula:
𝜃 =
𝑀𝑇 ∗ 𝑙
𝐼𝑃 ∗ 𝐺
Onde: 𝜃 – ângulo de torção [radianos]
𝑙 – comprimento da peça [m; mm; ...]
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17. 2.9. Exercícios de Aplicação
1. Determine as tensões normais e de cisalhamento que atuam no plano A da figura
representada.
Resolva os exercícios da ficha 1
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18. FIM DA APRESENTAÇÃO
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Grato pela atenção