Este documento apresenta exemplos de cálculos envolvendo diferentes modelos de anuidades. O primeiro exemplo mostra o cálculo do valor atual e montante de uma anuidade diferida. O segundo exemplo trata de uma anuidade com termos em períodos diferentes da taxa de juros. O terceiro exemplo demonstra o cálculo de uma anuidade com termos constantes e parcelas intermediárias.

1. Washington Franco Mathias
José Maria Gomes
Matemática
Financeira
Com + de 600 exercícios
resolvidos e propostos
5ª Edição

2. Capítulo 6
MODELOS
GENÉRICOS
DE ANUIDADES
Mathias
Gomes

3. Modelos Genéricos de
Anuidades
EXEMPLO
Anuidades Diferidas: são aquelas em que os ter-
mos são exigíveis pelo menos a partir do segundo
período.
Carência: é o intervalo de tempo do diferimento.
Calcula-se o Valor Atual pelo modelo básico
mais um cálculo de equivalência para a data focal
zero.
O cálculo do Montante é feito pelo Modelo Básico.
Mathias
Gomes

4. Exemplo
Uma pessoa vai receber dezesseis prestações mensais iguais a
$ 400,00, com um diferimento de 15 meses:
400 400 400 400
(Meses)
0 1 2 ... 15 16 17 ... 30 31 ... 39 40
Sendo a taxa de juros igual a 2% a.m., pergunta-se:
a) Qual o valor atual das prestações na data zero ?
b) Qual o montante na data focal 40 ?
Mathias
Gomes

5. Exemplo
Resolução: a) Valor do principal na data focal zero:
P0
P15
400 400 400 400
(Meses)
0 1 2 ... 15 16 17 ... 30 31 ... 39 40
Procedemos de duas etapas:
I) Calculamos o principal na data focal 15, segundo o modelo
básico:
Mathias
Gomes

6. Exemplo
P15 = R.a¬ 2
16
P15 = 400,00 x13,577709
P15 = $5.431,08
II) A seguir, achamos o valor atual na data focal zero e à taxa
de 2% a.m.:
P15
P0 =
(1,02)15
5.431,08
P0 = ≅ $4.035,38
1,345868
Mathias
Gomes

7. Exemplo
b) Montante na data focal 40:
O montante na data focal 40 pode ser obtido diretamente do
valor atual (P0):
P 40 = P 0(1 + i ) 40
P 40 = 4.035,38.(1,02) 40
P 40 = 4.035,38 x 2,208040
P 40 = $8.910,28
Mathias
Gomes

8. Modelo Genéricos de
Anuidades EXEMPLO
Anuidade em que o período dos termos
não coincide com aquele a que se refere
a taxa.
• Supondo os termos constantes e periódicos;
• Calcula-se a taxa equivalente ao período dos
termos e recai-se no modelo básico.
Mathias
Gomes

9. Exemplo
Um aparelho de som estereofônico é vendido em 5 prestações
de $ 2.000,00 a serem pagas a cada 2 meses. Sendo a taxa de
juros cobrada de 3% a.m., qual o valor do aparelho à vista ? Se
Se o mesmo aparelho pudesse ser pago em uma única vez após
10 meses, qual a quantia que a loja cobraria, admitida a mesma
taxa de juros ?
Resolução: Graficamente, a situação é a seguinte:
P0
2.000 2.000 2.000 2.000 2.000
(Meses)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mathias
Gomes

10. Exemplo
Como a taxa de juros está referida em termos mensais e as
prestações estão referidas a bimestres, calculamos a taxa bi-
mestral equivalente:
1 + i’ = (1 + 0,03)2
i’ = 1,0609 -1
i’ = 0,0609 a.b. ou i’ = 6,09% a.b.
Agora temos uma anuidade nas mesmas condições do
modelo básico, pois a taxa se refere ao mesmo intervalo de
tempo dos termos e podemos calcular:
a) Preço à vista:
P 0 = R.a¬i
n
Mathias
Gomes

11. Exemplo
onde: R = 2.000,00 por bimestre
i = i’ = 6,09% a .b.
n = 5 bimestres
Portanto:
(1, 0609 ) 5 − 1
a ¬6,09
5
=
(1, 0609 ) 5 . 0 , 0609
a ¬6,09 4 , 202070
5
=
E o valor atual:
P 0 = 2 . 000 , 00 x 4 , 202070
P 0 = $ 8 . 404 ,14
Concluímos que o preço do aparelho à vista é $ 8.404,14.
Mathias
Gomes

12. Exemplo
b) Preço após 10 meses:
O montante na data focal 10 pode ser obtido por capitalização
direta:
P10 = P0 (1 + i’)5
P10 = 8.404,14 (1,0609)5
P10 = 8.404,14 x 1,343916
P10 = $ 11.294,46
Mathias
Gomes

13. Modelo Genéricos de
Anuidades EXEMPLO
Anuidade com termos constantes, segundo o
modelo básico, mais parcelas intermediárias
iguais.
• Uniformiza-se a anuidade, de modo que todos
os termos sejam iguais entre si e com taxas de
juros referida ao período dos termos. Esta é uma
anuidade tipo modelo básico.
• Por diferença calcula-se o valor das parcelas in-
termediárias. Recai-se no modelo básico.
Mathias
Gomes

14. Exemplo
Um carro é vendido em oito prestações mensais. As prestações
de ordem ímpar são iguais a $ 1.000,00, enquanto que as de or-
dem par são iguais a $ 2.000,00. Considerando-se a taxa de ju-
ros de 2% a.m., qual é o preço à vista ?
Resolução: Graficamente, tem-se:
2.000 2.000 2.000 2.000
1.000 1.000 1.000 1.000
(Meses)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Mathias
Gomes

15. Exemplo
a) Uniformizando a anuidade de modo a se ter 8 termos iguais a
$ 1.000,00:
P0
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
(Meses)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
O valor atual (P0’) dessa anuidade na data focal zero, é:
Mathias
Gomes

16. Exemplo
P 0 ' = R.a¬2
8
P 0 ' = 1.000 x 7,325481
P 0 ' = $7.325,48
b) Considerando apenas a diferença entre a anuidade original e
a anuidade uniformizada (item a), obtemos a anuidade consti-
tuída pelas parcelas intermediárias:
P0
1.000 1.000 1.000 1.000
(Meses)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Mathias
Gomes

17. Exemplo
Calculando-se a taxa equivalente bimestral, tem-se:
1 + i ' = (1,02 ) 2
i ' = 0,0404 a.b. = 4,04 % a.b.
Podemos calcular agora:
(1, 0404 ) 4 − 1
a ¬4,04
4
= 4
≅ 3 , 626476
(1, 0404 ) . 0 , 0404
P 0 ' ' = 1 . 000 , 00 x 3 , 626476
P 0 ' ' = $ 3 . 626 , 48
Mathias
Gomes

18. Exemplo
Agora podemos determinar o preço do carro à vista:
P 0 = P 0 '+ P 0 ' '
P 0 = 7.325,48 + 3.626 ,48
P 0 = $10 .951,96
Logo, o preço do carro à vista é $ 10.951,96.
Mathias
Gomes

19. Modelo Genéricos de
Anuidades EXEMPLO
Anuidade compostas por duas anuidades
diferidas em seqüência.
Calcula-se o Valor Atual em datas focais
intermediárias e, em seguida, o valor atual na
data focal zero.
O montante pode ser obtido a partir do
valor atual, fazendo-se a capitalização até a da-
ta focal requerida.
Mathias
Gomes

20. Exemplo
Uma pessoa comprou um gravador, para pagar em 7 presta-
ções, do seguinte modo:
- 3 prestações de $ 100,00 no 7°, 8° e 9° mês:
- 4 prestações de $ 100,00 no 13°, 14°, 15° e 16° mês.
A taxa de juros cobrada foi de 2% a.m. Pergunta-se o valor
do gravador à vista.
Resolução: O cálculo é o seguinte:
P 6 = 100,00.a¬ 2
3
P 6 = 100,00.2,883883
P 6 = $288,39
Mathias
Gomes

21. Exemplo
E, para a segunda anuidade:
P12 = 100 ,00 .a¬ 2
4
P12 = 100 ,00 x3,807729
P12 = $380 ,77
Portanto: P6 P12
P0 = +
(1 + i ) 6
(1 + i )12
P 0 = 256 ,08 + 300 ,23
P 0 = $556 ,31
Portanto, o preço do gravador à vista é $ 556,31.
Mathias
Gomes

22. Modelo Genéricos de
Anuidades
EXEMPLO
Anuidades Perpétuas
• São as anuidades com duração ilimitada.
• Só tem sentido calcular o valor atual, porque o
montante será infinito.
• O valor atual é dado por:
R
P=
i
P = valor atual
R = termo constante
i = taxa de juros
Mathias
Gomes

23. Exemplo
Se um apartamento está rendendo um aluguel de $ 500,00 por
mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é
de 1% a.m., qual seria uma primeira estimativa do valor do i-
móvel.
Resolução: Admitindo-se as hipóteses de duração ilimitada do
apartamento e de ser o aluguel constante, tem-se:
R
P=
i
500,00
P= = $50.000,00
0,01
Ou seja, numa primeira aproximação, o imóvel seria avaliado
em $ 50.000,00.
Mathias
Gomes

24. Modelo Genéricos de
Anuidades EXEMPLO
Anuidades Variáveis: são anuidades cujos ter-
mos não são iguais entre si.
Dada uma anuidade:
- Temporária;
- Imediata e postecipada;
- Periódica.
O Valor Atual é a soma dos valores atuais
de cada um de seus termos.
O Montante pode ser obtido pela soma do
montante de cada um dos seus termos.
Mathias
Gomes

25. Exemplo
Um terreno foi comprado para ser pago em 5 prestações tri-
mestrais, com os seguintes valores:
1° trimestre: 20.000,00
2° trimestre: 5.000,00
3° trimestre: 10.000,00
4° trimestre: 3.000,00
5° trimestre: 30.000,00
Sendo a taxa de juros para aplicações financeiras vigente no
mercado de 2,5% a.m., pergunta-se o valor do terreno à vis-
ta.
Resolução: Como a taxa de juros está referida ao mês e as
prestações são trimestrais, calculamos a taxa trimestral equi-
valente:
Mathias
Gomes

26. Exemplo
1 + i ' = (1 + i ) 3
1 + i ' = (1,025 ) 3
i ' = 0,07689 a.t. = 7,689 % a.t .
Calculando-se o valor atual de cada prestação à taxa de juros
i’, tem-se:
20.000 5.000 10.000 3.000 30.000
P0 = + + + +
(1,07689) (1,07689) (1,07689) (1,07689) (1,07689)5
1 2 3 4
P0 = 18.572,00 + 4.311,49 + 8.007,30 + 2.230,67 + 20.714,03
P0 = $53.835,49
Portanto, o preço do terreno à vista é de, aproximadamente,
$ 54.000,00
Mathias
Gomes