Diferenciação e Integração Numérica - @professorenan

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Diferenciação e Integração
Numérica

• Integração Numérica: Fórmulas de Newton-Cotes.
• Primeira Regra de Simpson;
• Regra dos Trapézios;
• Segunda Regra de Simpson.
• Diferenciação Numérica:
• Primeiras Derivadas;
• Segundas Derivadas;
Diferenciação e Integração Numérica

• Diferenciação Numérica

Diferenciação Numérica
Em muitas circunstâncias, torna-se difícil obter valores de derivadas
de uma função:
• Derivadas que não são de fácil obtenção;
• De não se conhecer a expressão analítica da função, sendo esta
definida num número finito de pontos.

O que se faz?
Métodos Numéricos!

Considerações iniciais:
A Diferenciação Numérica, também conhecida como
Aproximação Numérica, é um método utilizado para avaliar as
derivadas de funções por meio de valores funcionais nos pontos
dados.
Conhecendo os valores funcionais, a função pode ser
expressa de uma forma aproximada por meio de uma interpolação
polinomial, pelo que ao diferenciar o polinômio dado, se pode
avaliar duas derivadas.

Em muitas situações é necessário obter valores para as
derivadas de uma função sem recorrer à respectiva expressão
analítica por esta não ser conhecida ou por ser demasiado
complicada.
Por estas razões é conveniente dispor de técnicas
alternativas à derivação analítica que sejam simultaneamente fáceis
de usar e que permitam a precisão necessária. Estas técnicas são
genericamente designadas por Diferenciação Numérica.
Considerações iniciais:

Definição:

Definição: 1ª derivada.
• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Superior ou Progressiva.

Exemplo: 1ª derivada - Diferença Superior ou Progressiva.
Solução:

• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Inferior ou Regressiva.

Exemplo: 1ª derivada – Diferença Inferior ou Regressiva.

• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Centrada ou Intermédio.

Exemplo: 1ª derivada – Diferença Centrada.

• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Superior ou Progressiva.

• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Inferior ou Regressiva.

• Fórmulas das Diferenças finitas: Diferença Central ou Intermédio.

• Integração Numérica

Integração Numérica: porque é importante?
• Por vezes, mesmo existindo solução analítica, a solução numérica
é mais fácil!
• Não existe expressão analítica para a primitiva da maior parte das
funções;
• Medições de velocidade ⇒ cálculo de distância;
• Forma e dimensões de balizas ⇒ cálculo de deslocamento;
• Em muitos problemas não temos expressões analíticas, mas sim
séries de medições;

Integração Numérica: ideias base.
Em vez de integrar a função pretendida, vamos integrar
uma função parecida que seja mais fácil de integrar.
Os polinômios são funções fáceis de integrar!

Integração Numérica: ideias base.

• Fórmulas de Newton-Cotes

• Primeira Regra de Simpson;
• Regra dos Trapézios;
• Segunda Regra de Simpson.
• Fórmulas de Newton-Cotes:

• Regra dos Trapézios

Regra dos Trapézios

Regra dos Trapézios
Assim, temos:

Regra dos Trapézios: exemplo.
1) Estimar o valor de:
Solução: Pela regra dos trapézios, temos:

Solução: Pelo Cálculo Integral, teríamos:

Solução: Pela regra dos trapézios, temos:

• Regras de Simpson

• Regras de Simpson
Thomas Simpson
(1710-1761)

• Primeira Regra de Simpson

Primeira Regra de Simpson: definição.
A Regra de Simpson faz aproximações para pequenos
trechos de curvas usando arcos parabólicos. Veja Exemplo:

Primeira Regra de Simpson: definição.

Primeira Regra de Simpson: observação.

Primeira Regra de Simpson: exemplo.

• Segunda Regra de Simpson

Segunda Regra de Simpson: definição.
Do mesmo modo que se deduziu a regra de Simpson
anterior, utilizando um polinómio interpolador de grau dois, é possível
deduzir outras regras utilizando polinómios interpoladores de grau
superior.

Segunda Regra de Simpson: definição.
Essa fórmula é conhecida como Regra 3/8 de Simpson.

Segunda Regra de Simpson: exemplo.

Considerações Finais.
• Diferenciação numérica é mais difícil que integração.
• A diferenciação representa a inclinação de uma função.
• Diferenciação é muito mais sensível a alterações, ainda que
pequenas, na função.
• A diferenciação numérica é evitada, sempre que possível, devido
a essas dificuldades inerentes. Assim, aconselha-se a Integração.
• Se os dados são obtidos experimentalmente, em geral, é melhor
realizar um ajuste de curva polinomial, usando quadrados
mínimos, e então derivar o polinômio resultante.

Exercícios

Exercícios
2) Por meio da regra dos trapézios, estimar o valor de:

Referências Bibliográficas
ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com
apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007.
BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo
Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987.
CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed..
Mc. Graw-Hill. 1990.
CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª
Ed.. São Paulo: Atlas. 2001.
SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária
da UFPE, 2006.

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