O documento aborda os conceitos de razão e proporção, explicando a relação entre quocientes e sua representação em frações e proporções. Exemplos práticos ajudam a entender como calcular razões e aplicar a regra de três em situações envolvendo grandezas diretamente e inversamente proporcionais. O texto também apresenta exercícios resolvidos para reforçar a compreensão dos conceitos matemáticos abordados.

1. Prof. Luís Jansen
Tecnólogo em Radiologia Médica
Especialista em Proteção Radiológica e Segurança de Fontes Radioativas
Graduando em Ciências Biológicas ( Formação Pedagógica)

3. Razão e Proporção
 Os conceitos de razão e proporção estão ligados ao quociente. A razão é o
quociente de dois números, e a proporção é a igualdade entre duas razões.
 A razão é o quociente entre dois números, e a proporção é a igualdade entre
duas razões
A divisão é uma das quatro operações fundamentais da Matemática. A divisão
pode ser representada da seguinte forma:
→ Algoritmo da divisão:
Dividendo← a | b → Divisor
Resto ← c d → Quociente

4. Razão e Proporção
Exemplo:
Dividendo ← 9| 3 → Divisor
Resto ← 0 3 → Quociente
Algoritmo fundamental da divisão:
a = b . d + c
Dividendo = Divisor . Quociente + Resto
Exemplo:
9 = 3 . 3 + 0

5. Razão e Proporção
Divisão horizontal exata:
a : b = d
Exemplo:
9 : 3 = 3
 Fração:
a = d
b
a = Numerador/ Dividendo
b = Denominador/ Divisor
d = Quociente
Exemplo:
9 = 3
3

6. Razão e Proporção
Divisão horizontal exata:
a : b = d
Exemplo:
9 : 3 = 3
 Fração:
a = d
b
a = Numerador/ Dividendo
b = Denominador/ Divisor
d = Quociente
Exemplo:
9 = 3
3

7. Razão e Proporção
 Observe que a terceira representação da divisão é uma fração, que também
pode ser considerada como o quociente entre dois números. Quando isso
acontece, a fração é uma razão:
 Razão: é o quociente entre dois números.
 Para poder compreender melhor esse conceito, acompanhe o exemplo
abaixo:
Exemplo: Em uma sala de aula com 50 alunos, 30 são meninos e 20 são
meninas. Determine as razões descritas abaixo:

8. Razão e Proporção
a) Razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos.
Número de meninas: 20
Total de alunos: 50
A razão entre o número de meninas e a quantidade total de alunos é dada pelo
quociente, que é uma divisão representada como fração:
20 = 0,4
50
b) Razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos.
Número total de meninos: 30
Número total de alunos: 50
A razão entre o número de meninos e a quantidade total de alunos:
30=0,6 0,6
50

9. Razão e Proporção
 Já a proporção é obtida pela razão. Veja a seguir a definição de proporção:
 Proporção: é a igualdade de duas razões.
Representamos a proporção da seguinte forma:
externo ← a = c → meio
meio ← b d → externo
A proporção obedece à seguinte propriedade: “o produto dos extremos é
igual ao produto dos meios”.
a = c
b d
b . c = a . d

10. Razão e Proporção
Exemplo: Encontre o valor de x nas proporções. Considere que “o produto dos
extremos é igual ao produto dos meios”.
a) 2 = 5
x 10
5 . x = 2 . 10
5x = 20
x = 20
5
x = 4

11. Razão e Proporção
Exemplo: Encontre o valor de x nas proporções. Considere que “o produto dos
extremos é igual ao produto dos meios”.
b) 1,5 = x
3 2
3 . x = 2 . 1, 5
3x = 3
x = 3
3
x = 1

12. Razão e Proporção
 A razão entre a altura de um prédio vertical e a medida de sua sombra, em
determinada hora do dia, é de 15 para 5. Se a sombra medir 4 metros, qual é
a altura do prédio?
 A fração das duas razões devem ser estruturadas com a medida do prédio no
numerador e a medida da sombra no denominador. O que queremos
encontrar é a medida do prédio, que chamaremos de x, quando a sombra
mede 4 m.
15 = x
5 4
5x = 60
x = 60
5
x = 12 m
O prédio possui 12 metros de altura.

13. Grandezas Diretamente Proporcionais
 Duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma varia de
acordo com a variação da outra, de maneira proporcional e direta.

14. Grandezas Diretamente Proporcionais
 As grandezas não são os objetos que podem ser medidos, mas estão ligadas
ao tipo de medida que pode ser obtida nesses objetos.
 Suponha, por exemplo, que a tela de um celular tenha 5,5 polegadas. Isso
significa que a medida da diagonal dessa tela é igual a 5,5 polegadas e que a
grandeza usada aqui foi o comprimento.
 A proporcionalidade entre duas grandezas pode acontecer de duas formas:
direta – e as grandezas são chamadas diretamente proporcionais – ou
inversa – e as grandezas são chamadas inversamente proporcionais.

15. Grandezas Diretamente Proporcionais
 Proporcionalidade entre grandezas
Duas grandezas são ditas proporcionais se for possível construir
duas razões equivalentes entre elas, de medidas distintas e em momentos
distintos.
Exemplo: um automóvel move-se a 60 km/h e, em determinado período de
tempo, consegue percorrer 240 km. Se esse automóvel estiver a 120 km/h, ele
conseguirá percorrer 480 km no mesmo período de tempo.
Nesse caso, foram observadas duas situações diferentes para as
grandezas velocidade e distância. Na primeira situação, podemos escrever a
seguinte razão entre essas grandezas:

16. Grandezas Diretamente Proporcionais
60
240
Na segunda situação, podemos escrever a seguinte razão entre essas
grandezas:
120
480
Observe que ambas as razões têm como resultado o número 0,25, portanto elas
formam a seguinte proporção:
60 = 120
240 480
Podemos dizer, portanto, que as grandezas velocidade e distância
são proporcionais.

17. Grandezas Diretamente Proporcionais
 Quando duas grandezas são proporcionais, deve-se avaliar se essa
proporcionalidade é direta ou indireta, especialmente para exercícios em
que não houver uma das medidas da proporção e é necessário encontrá-la
(isso pode ser feito de diversas maneiras, a mais conhecida é a regra de
três).
 Dadas as grandezas proporcionais X e Y, a variação na grandeza X gera uma
variação na grandeza Y, na mesma proporção. No exemplo anterior, do
automóvel, ao dobrarmos a velocidade, a distância percorrida também
dobrará.

18. Grandezas Diretamente Proporcionais
 Duas grandezas são diretamente proporcionais quando um aumento na
medida da primeira gera um aumento na medida da segunda, ou quando
uma diminuição da medida da primeira gera uma diminuição da medida da
segunda.
 São exemplos de grandezas diretamente proporcionais:
Velocidade e distância;
Gravidade e peso.

19. Grandezas Inversamente Proporcionais
 Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento ou
diminuição na medida de uma delas faz com que a medida da outra sofra a
alteração contrária na mesma proporção.
 Dados dois números x e y, vamos dizer que eles são inversamente
proporcionais aos números a e b, se o produto entre os primeiros for igual ao
produto entre os segundos.
a · x = b · y

20. Grandezas Inversamente Proporcionais
Exemplo: Uma empresa de costura com 6 costureiras consegue terminar uma
demanda de serviço em 24 dias. A fim de fazer o mesmo serviço com 8
costureiras, quantos dias serão necessários para terminá-lo?
De maneira semelhante, vamos dispor os dados do problema em uma tabela:
Observe que as grandezas são agora inversamente proporcionais, pois quanto
mais costureiras temos, menos dias de serviço serão necessários. Precisamos
inverter uma das grandezas antes de prosseguir com a conta, veja:

21. Grandezas Inversamente Proporcionais

22. Regra de Três
 Quando a regra de três envolve grandezas diretamente proporcionais,
basta aplicar a propriedade fundamental das proporções (também conhecida
como multiplicar cruzado) para transformar a proporção em uma equação
com solução facilitada.
 Exemplo: um automóvel está movendo-se a uma velocidade de 60 km/h e
percorre 240 km em determinado período de tempo. Quantos quilômetros
percorrerá a uma velocidade de 90 km/h?

23. Regra de Três
 Solução: Aumentando a velocidade, aumentamos também a distância
percorrida pelo automóvel.
 Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais. Para solucionar
esse problema, basta construir a proporção entre elas e aplicar a propriedade
fundamental das proporções:
60 = 90
240 x
60x = 90·240
60x = 21600
x = 21600
60
x = 360
Serão percorridos 360 km.

24. Como calcular porcentagem com regra de três?
 Para calcular porcentagem de algo utilizando regra de três, temos que ter em
mente que 100% sempre irão ser equivalentes ao todo e que as razões
referentes à porcentagem são constituídas sobre um denominador 100.
 Exemplo
Um senhor pegou emprestado com um amigo uma quantia de R$ 3.000 para
quitar uma dívida no banco. Entretanto esse senhor teve um gasto inesperado
com seu carro e gastou a quantia de R$ 600. Quantos por cento esse senhor
gastou do total?

25. Exercícios Resolvidos
Questão 1 - (Unisinos - RS) Sabendo-se que a distância entre duas cidades
num mapa, na escala 1: 1.600.000, é de 8 cm, qual é a distância real entre
elas?
a) 2 km
b) 12,8 km
c) 20 km
d) 128 km
e) 200 km
Solução: Sabemos que cada um centímetro no mapa equivale a 1.600.000
centímetros na vida real.
Assim:

26. Exercícios Resolvidos
Questão 2 - (Unicamp - SP) A razão entre a idade de Pedro e a de seu pai é
igual a dois nonos. Se a soma das duas idades é igual a 55 anos, então Pedro
tem:
a) 12 anos
b) 13 anos
c) 10 anos
d) 15 anos

27. Exercícios Resolvidos
Solução:
Vamos nomear a idade de Pedro por P e a idade do pai de Pedro por C. Logo:

28. Exercícios Resolvidos

29. Regra de Três Composta
 A regra de três composta é um método pelo qual podemos resolver
problemas que envolvem mais de duas grandezas. Esses problemas podem
envolver grandezas direta ou inversamente proporcionais e estão presentes
em muitas situações do nosso cotidiano.
 Para resolver um problema que envolve mais de duas grandezas, devemos
inicialmente colocar os dados do problema em uma tabela e, em seguida,
analisar se as grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais.
 Caso a grandezas sejam diretamente proporcionais, mantemos a ordem
das razões. Agora, caso as grandezas sejam inversamente
proporcionais, devemos inverter a ordem da grandeza. Sempre analisamos
as grandezas em relação àquela que possui a incógnita.

30. Regra de Três Composta
Exemplo 1
(UFPE) Dez guindastes carregam 180 caixas em um navio em 12 dias com 5
horas de trabalho diárias. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 12
guindastes, trabalhando 4 horas por dia?
a) 216
b) 214
c) 212
d) 210
e) 208

31. Regra de Três Composta
Solução:
Veja que o problema relaciona quatro grandezas, logo devemos usar a ideia da
regra de três composta. Inicialmente vamos colocar os dados em uma tabela:
Devemos comparar a grandeza que possui a incógnita com as demais
grandezas, ou seja, vamos comparar o número de caixas com as demais.
Número de guindaste Número de caixas Número de dias
Número de
horas
10 180 12 5
12 x 15 4

32. Regra de Três Composta
 Uma maneira de verificar se as grandezas são diretamente proporcionais ou
não é supor o crescimento (↑) de uma delas. Caso aconteça o crescimento da
outra grandeza, elas são diretamente proporcionais; caso contrário, são
inversamente proporcionais. A mesma ideia vale para o decrescimento (↓).
 Assim:
À medida que aumentamos o número de caixas (↑), precisamos de mais
guindastes (↑) – são diretamente proporcionais.
- Quanto mais caixa temos (↑), mais dias são necessários para carregar (↑) –
são diretamente proporcionais.
- Quanto mais caixas (↑), mais horas são necessárias para realizar o
carregamento (↑) – são diretamente proporcionais.

33. Regra de Três Composta
 Note que o contexto da situação é levado em consideração todo o tempo.
Para concretizar a regra de três, mantemos a ordem que aparece na tabela:

34. Regra de Três Composta
 Exemplo 2
Em uma lavoura de soja, duas máquinas carregam cinco caminhões em 2,5
horas. Supondo que o rendimento das máquinas mantenha-se nessa lavoura,
determine quanto tempo será gasto para cinco máquinas carregarem 30
caminhões.

35. Regra de Três Composta
Solução
De maneira análoga ao exemplo anterior, devemos utilizar a regra de três
composta, assim:
Agora analisando a grandeza que possui a incógnita com as demais grandezas,
temos:
- Quanto mais tempo temos (↑), menos máquinas são necessárias (↓) –
grandezas inversamente proporcionais.
- Quanto maior o tempo de colheita (↑), mais caminhões são carregados (↑) –
grandezas diretamente proporcionais.
Número de máquinas Número de caminhões Tempo (horas)
2 5 2,5
5 30 x

36. Regra de Três Composta
 Assim, é necessário inverter os valores da grandeza número de máquinas e
manter a ordem dos valores da grandeza número de caminhões, logo temos
que:

37. Exercícios Resolvidos
Exercício 1 – (Vunesp) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas
por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um
funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou,
o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo
número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de
trabalho, será:
a) 29
b) 30
c) 31
d) 33
e) 28

38. Exercícios Resolvidos
Solução
Como temos mais de duas grandezas, devemos utilizar a regra de três
composta. Vamos colocar os dados na tabela levando em consideração as
especificações do problema.
Número de funcionários Horas trabalhadas por dia Número de dias
10 8 27
8 9 x

39. Exercícios Resolvidos
 Quanto mais dias temos (↑), menos funcionários são necessários
(↓) inversamente proporcionais.
 Quanto mais dias temos (↑), menos horas são necessárias para trabalhar
(↓) inversamente proporcionais.
Logo, devemos inverter as outras duas grandezas:
Número de funcionários Horas trabalhadas por dia Número de dias
10 8 27
8 9 x

40. Exercícios Resolvidos
Exercício 2 – Seis torneiras enchem uma piscina em 20 horas. Quanto tempo
leva para 20 torneiras encherem 4 piscinas?
Solução:
 Quanto mais tempo temos (↑), menos torneiras são necessárias
(↓) inversamente proporcionais.
 Quanto mais o tempo passa (↑), mais piscinas podemos encher
(↑) diretamente proporcionais.
Número de torneiras Número de piscinas Tempo (horas)
6 1 20
20 4 x

41. Exercícios Resolvidos
Número de torneiras Número de piscinas Tempo (horas)
6 1 20
20 4 x

42. Exercícios Resolvidos
Exercício 3 – Em uma fábrica de bolachas, 3 máquinas produzem 9000
bolachas em 12 dias. Quantos dias são necessários para que 8 máquinas iguais
produzam 12000 bolachas? Considere as horas de trabalho como iguais.
 Quanto mais dias temos (↑), menos máquinas são necessárias
(↓) inversamente proporcionais.
 Quanto mais dias temos (↑), mais bolachas são feitas (↑) diretamente
proporcionais.
Número de máquinas Número de bolachas Número de dias
3 9.000 12
8 12.000 x

43. Exercícios Resolvidos
Número de máquinas Número de bolachas Número de dias
3 9.000 12
8 12.000 x

44. OBRIGADO!!!