O documento descreve um projeto final sobre geometria computacional realizado por dois alunos. O projeto apresenta:
1) A origem e definição da geometria computacional como o estudo sistemático de algoritmos eficientes para problemas geométricos;
2) Exemplos de operações primitivas como produto vetorial, esquerda-direita e in-circle;
3) Uma explicação sobre o problema do fecho convexo 2D e diferentes algoritmos para resolvê-lo, incluindo incrementais, QuickHull e Graham.
O documento apresenta uma compilação de 27 exercícios sobre números reais e inequações tirados de exames nacionais e testes intermediários do 9o ano. Os exercícios abordam tópicos como identificar números irracionais, resolver inequações, determinar conjuntos solução e representar intervalos de números reais. As soluções para cada exercício são fornecidas no final.
Este documento apresenta exercícios sobre intervalos na reta real. Ele define intervalos como conjuntos de números reais entre certos limites e pede para representá-los graficamente. Também pede para calcular operações entre intervalos como união, interseção, diferença e complementar.
Este documento descreve os principais tipos de intervalos reais e operações entre eles. Intervalos podem ser fechados, abertos ou mistos dependendo se incluem ou não os pontos extremos. A intersecção de intervalos retorna os elementos comuns entre eles, a união retorna todos os elementos ou a diferença retorna os elementos de um intervalo que não estão no outro.
1. O documento apresenta questões de matemática do 10o ano sobre geometria, álgebra e funções. 2. Aborda temas como hexágonos regulares, interseção de superfícies, áreas de triângulos, funções e suas propriedades gráficas. 3. Inclui também exercícios sobre representação de regiões planas, esferas, propriedades de funções e interpretação de gráficos.
1) O documento apresenta um resumo sobre funções e gráficos, incluindo definições de função, domínio, contradomínio e gráfico.
2) São apresentados exemplos de funções afins e quadráticas, com a explicação de como construir seus respectivos gráficos a partir de pontos escolhidos.
3) O autor explica a importância de se conhecer o gráfico de uma função para determinar completamente a função e saber se ela cresce ou decresce.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria analítica envolvendo conceitos como circunferência, elipse, hipérbole, parábola e sistemas de equações.
2) A questão 1 calcula a menor distância entre o Sol e o cometa Halley, modelado por uma elipse.
3) A questão 6 determina o lugar geométrico de pontos P tal que a relação entre as distâncias AP e BP seja constante, correspondendo a uma circunferência.
1. O documento apresenta um trabalho sobre a Teoria dos Conjuntos no Ensino Médio, abordando noções básicas como conjuntos, subconjuntos, operações com conjuntos (união, interseção, diferença), e conjuntos numéricos fundamentais.
2. É dividido em seções de Introdução, Desenvolvimento e Conclusão, com explicações detalhadas dos principais conceitos da Teoria dos Conjuntos.
3. A seção Desenvolvimento define termos como conjunto, subconjunto, relação de pertinência, operações com conjuntos e
O documento apresenta uma compilação de 27 exercícios sobre números reais e inequações tirados de exames nacionais e testes intermediários do 9o ano. Os exercícios abordam tópicos como identificar números irracionais, resolver inequações, determinar conjuntos solução e representar intervalos de números reais. As soluções para cada exercício são fornecidas no final.
Este documento apresenta exercícios sobre intervalos na reta real. Ele define intervalos como conjuntos de números reais entre certos limites e pede para representá-los graficamente. Também pede para calcular operações entre intervalos como união, interseção, diferença e complementar.
Este documento descreve os principais tipos de intervalos reais e operações entre eles. Intervalos podem ser fechados, abertos ou mistos dependendo se incluem ou não os pontos extremos. A intersecção de intervalos retorna os elementos comuns entre eles, a união retorna todos os elementos ou a diferença retorna os elementos de um intervalo que não estão no outro.
1. O documento apresenta questões de matemática do 10o ano sobre geometria, álgebra e funções. 2. Aborda temas como hexágonos regulares, interseção de superfícies, áreas de triângulos, funções e suas propriedades gráficas. 3. Inclui também exercícios sobre representação de regiões planas, esferas, propriedades de funções e interpretação de gráficos.
1) O documento apresenta um resumo sobre funções e gráficos, incluindo definições de função, domínio, contradomínio e gráfico.
2) São apresentados exemplos de funções afins e quadráticas, com a explicação de como construir seus respectivos gráficos a partir de pontos escolhidos.
3) O autor explica a importância de se conhecer o gráfico de uma função para determinar completamente a função e saber se ela cresce ou decresce.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria analítica envolvendo conceitos como circunferência, elipse, hipérbole, parábola e sistemas de equações.
2) A questão 1 calcula a menor distância entre o Sol e o cometa Halley, modelado por uma elipse.
3) A questão 6 determina o lugar geométrico de pontos P tal que a relação entre as distâncias AP e BP seja constante, correspondendo a uma circunferência.
1. O documento apresenta um trabalho sobre a Teoria dos Conjuntos no Ensino Médio, abordando noções básicas como conjuntos, subconjuntos, operações com conjuntos (união, interseção, diferença), e conjuntos numéricos fundamentais.
2. É dividido em seções de Introdução, Desenvolvimento e Conclusão, com explicações detalhadas dos principais conceitos da Teoria dos Conjuntos.
3. A seção Desenvolvimento define termos como conjunto, subconjunto, relação de pertinência, operações com conjuntos e
O documento resume os principais conjuntos numéricos: naturais, inteiros relativos, racionais e irracionais. Também define intervalos reais como subconjuntos dos números reais localizados entre dois números distintos a e b, podendo ser fechados, abertos ou mistos. A representação geométrica dos números reais associa cada ponto da reta real a um número real.
(1) O documento introduz os conceitos básicos de geometria analítica, incluindo o plano cartesiano, pares ordenados, coordenadas de pontos e cálculo da distância entre pontos; (2) Apresenta como calcular a inclinação e equação de uma reta a partir de dois pontos, e como determinar o ponto de interseção entre duas retas.
Este teste de múltipla escolha avalia conhecimentos em álgebra e funções, incluindo composição e inversão de funções, gráficos e propriedades de funções polinomiais e racionais. O documento contém nove questões, sendo as cinco primeiras de múltipla escolha e as demais pedindo cálculos, raciocínios e justificativas.
1) O documento apresenta conceitos básicos de teoria de conjuntos e operações entre conjuntos como união, interseção, diferença e complemento.
2) São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais e suas propriedades.
3) São apresentados os conceitos de subconjuntos, partes de um conjunto e intervalos na reta real.
1) O documento discute geometria analítica, especificamente cônicas como elipses, hipérboles e parábolas.
2) Inclui exemplos de problemas e suas respostas sobre equações de cônicas.
3) Fornece também dois testes de vestibulares com mais problemas sobre identificação e propriedades de curvas cônicas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria analítica com coordenadas cartesianas no plano, distância entre pontos, ponto médio de segmentos e condição de alinhamento de três pontos.
2) Os exercícios envolvem cálculos como determinar valores de x e y para que equações sejam válidas, encontrar coordenadas de pontos dados informações sobre distâncias e alinhamentos, e identificar propriedades de triângulos no plano cartesiano.
3) A lista traz as respostas corretas para os exerc
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria plana e trigonometria. As questões envolvem triângulos, circunferências, retas e áreas de figuras planas, como determinar coordenadas de pontos, equações de circunferências e áreas de triângulos e retângulos.
Teoria de conjuntos fichas de exercícios wilkerfilipel
Este documento apresenta um conjunto de exercícios sobre teoria de conjuntos. Os exercícios abordam tópicos como definição de conjuntos, determinação de subconjuntos, operações entre conjuntos e afirmações lógicas envolvendo conjuntos.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de conjuntos, incluindo definição de conjunto, representação de conjuntos, pertencimento, igualdade, subconjuntos, conjunto vazio e conjunto unitário.
2. São definidas operações com conjuntos como união, interseção e diferença.
3. São apresentados os principais conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais e reais.
Apresenta uma breve história do surgimento dos complexos, relacionando-os com uma Geometria e, ainda, apresentado os polígonos regulares formados pelas raízes de números complexos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre conjuntos matemáticos. Inclui questões sobre relacionar elementos de conjuntos dados, classificar afirmações sobre inclusão de conjuntos como verdadeiras ou falsas, determinar interseção e diferença de conjuntos, calcular conjuntos definidos por propriedades numéricas e diagrama de Venn, e descrever o conjunto potência.
Este documento apresenta uma introdução aos números complexos, começando por explicar porque surgem e definindo o conjunto dos números complexos C. Apresenta a forma algébrica de um número complexo como z = a + bi, e explica operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão. Também introduz o plano complexo de Argand-Gauss e a forma trigonométrica de um número complexo.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria analítica envolvendo pontos, retas e triângulos no plano cartesiano.
2) As questões abordam tópicos como cálculo de distâncias, determinação de coordenadas de pontos e vértices, representação geométrica de retas, e propriedades de figuras planas.
3) São solicitadas determinações de pontos, cálculos de áreas e afirmações corretas sobre sistemas de coordenadas e propriedades geométricas.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; (4) equação segmentária de uma reta. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas e conceitos para representar retas geometricamente.
O documento discute a Geometria Analítica, que estabelece relações entre álgebra e geometria por meio de equações e inequações, permitindo transformar questões geométricas em questões algébricas e vice-versa. A Geometria Analítica pode representar fenômenos físicos usando coordenadas cartesianas.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo: (1) sua origem para resolver equações do segundo grau, (2) sua forma algébrica como a soma de parte real e imaginária, e (3) suas representações no plano cartesiano.
Os números complexos podem ser representados na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. As operações básicas com números complexos são:
1) Adição: z + w = (a + c) + (b + d)i
2) Multiplicação: z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i
3) Inverso: o inverso de z = a + bi é z-1 = a - bi / (a2 + b2)
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
8ºano mat correcao questao aula 2(fev 2015)silvia_lfr
1) O documento apresenta a correção de uma questão de matemática do 8o ano sobre funções e álgebra. 2) A questão 1 trata da reparação de uma máquina de lavar roupa, enquanto a questão 2 lida com associações entre funções e retas representadas graficamente. 3) A questão 6 pede para escrever expressões algébricas para o perímetro e área de uma figura geométrica.
O documento discute a geometria analítica da circunferência, apresentando seu tema, justificativa, objetivos e metodologia. Será utilizado o software GeoGebra para estudar propriedades da circunferência, como equações e posições relativas com outros objetos.
O documento apresenta informações sobre um manual do professor de matemática para o 3o ano do ensino médio. São listados os autores do livro e suas respectivas formações acadêmicas. Por fim, são indicados os assuntos que serão abordados no volume 3 do livro, que incluem geometria analítica plana, números complexos, polinômios, estatística descritiva, matemática financeira e equações algébricas.
O documento resume os principais conjuntos numéricos: naturais, inteiros relativos, racionais e irracionais. Também define intervalos reais como subconjuntos dos números reais localizados entre dois números distintos a e b, podendo ser fechados, abertos ou mistos. A representação geométrica dos números reais associa cada ponto da reta real a um número real.
(1) O documento introduz os conceitos básicos de geometria analítica, incluindo o plano cartesiano, pares ordenados, coordenadas de pontos e cálculo da distância entre pontos; (2) Apresenta como calcular a inclinação e equação de uma reta a partir de dois pontos, e como determinar o ponto de interseção entre duas retas.
Este teste de múltipla escolha avalia conhecimentos em álgebra e funções, incluindo composição e inversão de funções, gráficos e propriedades de funções polinomiais e racionais. O documento contém nove questões, sendo as cinco primeiras de múltipla escolha e as demais pedindo cálculos, raciocínios e justificativas.
1) O documento apresenta conceitos básicos de teoria de conjuntos e operações entre conjuntos como união, interseção, diferença e complemento.
2) São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais e suas propriedades.
3) São apresentados os conceitos de subconjuntos, partes de um conjunto e intervalos na reta real.
1) O documento discute geometria analítica, especificamente cônicas como elipses, hipérboles e parábolas.
2) Inclui exemplos de problemas e suas respostas sobre equações de cônicas.
3) Fornece também dois testes de vestibulares com mais problemas sobre identificação e propriedades de curvas cônicas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria analítica com coordenadas cartesianas no plano, distância entre pontos, ponto médio de segmentos e condição de alinhamento de três pontos.
2) Os exercícios envolvem cálculos como determinar valores de x e y para que equações sejam válidas, encontrar coordenadas de pontos dados informações sobre distâncias e alinhamentos, e identificar propriedades de triângulos no plano cartesiano.
3) A lista traz as respostas corretas para os exerc
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria plana e trigonometria. As questões envolvem triângulos, circunferências, retas e áreas de figuras planas, como determinar coordenadas de pontos, equações de circunferências e áreas de triângulos e retângulos.
Teoria de conjuntos fichas de exercícios wilkerfilipel
Este documento apresenta um conjunto de exercícios sobre teoria de conjuntos. Os exercícios abordam tópicos como definição de conjuntos, determinação de subconjuntos, operações entre conjuntos e afirmações lógicas envolvendo conjuntos.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de conjuntos, incluindo definição de conjunto, representação de conjuntos, pertencimento, igualdade, subconjuntos, conjunto vazio e conjunto unitário.
2. São definidas operações com conjuntos como união, interseção e diferença.
3. São apresentados os principais conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais e reais.
Apresenta uma breve história do surgimento dos complexos, relacionando-os com uma Geometria e, ainda, apresentado os polígonos regulares formados pelas raízes de números complexos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre conjuntos matemáticos. Inclui questões sobre relacionar elementos de conjuntos dados, classificar afirmações sobre inclusão de conjuntos como verdadeiras ou falsas, determinar interseção e diferença de conjuntos, calcular conjuntos definidos por propriedades numéricas e diagrama de Venn, e descrever o conjunto potência.
Este documento apresenta uma introdução aos números complexos, começando por explicar porque surgem e definindo o conjunto dos números complexos C. Apresenta a forma algébrica de um número complexo como z = a + bi, e explica operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão. Também introduz o plano complexo de Argand-Gauss e a forma trigonométrica de um número complexo.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria analítica envolvendo pontos, retas e triângulos no plano cartesiano.
2) As questões abordam tópicos como cálculo de distâncias, determinação de coordenadas de pontos e vértices, representação geométrica de retas, e propriedades de figuras planas.
3) São solicitadas determinações de pontos, cálculos de áreas e afirmações corretas sobre sistemas de coordenadas e propriedades geométricas.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; (4) equação segmentária de uma reta. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas e conceitos para representar retas geometricamente.
O documento discute a Geometria Analítica, que estabelece relações entre álgebra e geometria por meio de equações e inequações, permitindo transformar questões geométricas em questões algébricas e vice-versa. A Geometria Analítica pode representar fenômenos físicos usando coordenadas cartesianas.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo: (1) sua origem para resolver equações do segundo grau, (2) sua forma algébrica como a soma de parte real e imaginária, e (3) suas representações no plano cartesiano.
Os números complexos podem ser representados na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. As operações básicas com números complexos são:
1) Adição: z + w = (a + c) + (b + d)i
2) Multiplicação: z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i
3) Inverso: o inverso de z = a + bi é z-1 = a - bi / (a2 + b2)
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
8ºano mat correcao questao aula 2(fev 2015)silvia_lfr
1) O documento apresenta a correção de uma questão de matemática do 8o ano sobre funções e álgebra. 2) A questão 1 trata da reparação de uma máquina de lavar roupa, enquanto a questão 2 lida com associações entre funções e retas representadas graficamente. 3) A questão 6 pede para escrever expressões algébricas para o perímetro e área de uma figura geométrica.
O documento discute a geometria analítica da circunferência, apresentando seu tema, justificativa, objetivos e metodologia. Será utilizado o software GeoGebra para estudar propriedades da circunferência, como equações e posições relativas com outros objetos.
O documento apresenta informações sobre um manual do professor de matemática para o 3o ano do ensino médio. São listados os autores do livro e suas respectivas formações acadêmicas. Por fim, são indicados os assuntos que serão abordados no volume 3 do livro, que incluem geometria analítica plana, números complexos, polinômios, estatística descritiva, matemática financeira e equações algébricas.
Este documento descreve um projeto de ensino sobre o Teorema da Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Plano. O projeto envolve aulas práticas com alunos utilizando o software Régua e Compasso para construir polígonos e responder perguntas, com o objetivo de entender e verificar o teorema.
Os softwares Geometry Calculator e Shape Calculator foram criados para facilitar cálculos de áreas e perímetros de figuras geométricas e melhorar a aprendizagem de alunos. Eles permitem calcular rapidamente a área e perímetro de formas como quadrados e retângulos usando fórmulas apropriadas, poupando tempo para ensinar os conceitos chave.
1) O documento apresenta orientações didáticas para professores de matemática sobre tópicos de geometria, números e operações matemáticas.
2) São fornecidas análises de questões da Prova Brasil com dicas para professores planejarem atividades que ajudem os alunos a compreender melhor os conceitos.
3) As atividades sugeridas incluem a construção e análise de figuras geométricas, jogos e problemas envolvendo números e operações.
1. O documento discute erros numéricos em representação de ponto flutuante em computadores, como números reais são armazenados de forma aproximada devido à limitação de bits.
2. Exemplos mostram como erros de representação numérica podem ter consequências graves, como um erro de 0,34 segundos que levou à morte de 28 pessoas no sistema Patriot.
3. São definidos conceitos como erro absoluto, erro relativo, arredondamento e truncamento na representação numérica aproximada de números.
O documento discute erros na aritmética de ponto flutuante. Primeiro, apresenta como números são representados numericamente em computadores e como isso pode introduzir erros. Em seguida, descreve diferentes tipos de erros que podem ocorrer, como erros absolutos e erros relativos. Por fim, explica como arredondamento e truncamento afetam a representação numérica e a ocorrência de erros.
O documento apresenta um resumo sobre o modelo de suavização exponencial ETS. Discute os principais componentes do modelo ETS - erro, tendência e sazonalidade - e como eles podem ser especificados de forma aditiva ou multiplicativa. Também aborda a formulação do modelo ETS na abordagem de estado-espaço e como os 30 modelos ETS possíveis são representados nessa abordagem.
O documento apresenta um material didático sobre matemática e suas tecnologias para o ensino médio. O material foi desenvolvido de acordo com o currículo estadual de Goiás e aborda conceitos como funções definidas por uma ou mais sentenças, análise de funções por meio de representações algébricas e gráficas, e identificação de domínios, imagens e comportamentos de funções. Sugere atividades para os alunos compreenderem e aplicarem esses conceitos matemáticos.
Semelhante a Apresentação geometria computacional (9)
1. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
Projeto Final da Disciplina
Análise de Algoritmo: Geometria Computacional
Aldisio Medeiros
aldisiog@gmail.com
Jovane Pires
jovane.amaro.pires@gmail.com
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
2. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
Sumário
1. Origem e Definição da Geometria Computacional
2. Operações Primitivas
a. Estruturas Básicas
b. Operações
i. Esquerda-Direita
ii. EmCírculo
3. Fecho Convexo 2D
a. Algoritmo Incremental
b. Algoritmo de Graham
4. Fecho Convexo 3D
5. Implementações e Aplicações
6. Conclusão
7. Referências
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
3. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
1. Origem e Definição da Geometria Computacional
➯
A Geometria Computacional emergiu da área de desenvolvimento e análise de algoritmos
em meados dos anos 70
➯
Todavia sua origem permeiam os fundamentos da geometria euclidiana
o
O caráter algorítmo já era observado
o
Existia um certo número de operações elementares com régua e compasso.
o
Ex:
c2. Traçar um círculo de centro o e raio igual ao segmento ab;
o
c1. Dados a e b, obter um segmento de reta;
c3. Obter a interseção de entre retas e ente círculos
Ex: Obter um circulo que contenha 3 pontos não colineares, a, b e c.
➯ “Geometria Computacional é o estudo sistemático de algoritmos eficientes para
problemas geométricos”
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
4. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
1. Origem e Definição da Geometria Computacional
➯
A Geometria Computacional preocupa-se em resolver problema geométricos também levando
em consideração a complexidade computacional;
➯
O que é um problema geométrico?
o
o
➯
➯
A entrada é um conjunto de objetos geométricos
A solução de um problema geométrico envolve aspectos geométricos (localização e
forma dos objetos) e aspectos topológicos (relações de adjacência e incidência entre os
objetos).
Como identificar qual o melhor algoritmo?
Alguns problemas:
1.1. Recontrução de Curvas:
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
5. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
1. Origem e Definição da Geometria Computacional
1.2. Triangulação
1.3. Diagrama de Voronoi
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
6. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
1. Origem e Definição da Geometria Computacional
1.4. Fecho Convexo 2D
1.5. Fecho Convexo 3D
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
7. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
1. Origem e Definição da Geometria Computacional
1.
Tipos de problemas em Geometria Computacional:
a. Seletivos: Descobrir relações topológicas. Exemplos: fecho convexo, triangulação,
árvore geradora mínima, simplicação de curvas e superfícies.
a. Construtivos: Nesses problemas temos que construir um ou mais
objetos geométricos novos a partir da entrada. Exemplos: interseção de polígonos,
círculo mínimo, diagrama de Voronoi.
a. Decisão: Nesses problemas temos somente que responder “ im”
s
ou “ ão”a uma pergunta. Ex: Dado um polígono e um ponto, o ponto está fora do
n
polígono?
a. Consultas: Dado um conjunto X de objetos geométricos, queremos
processá-lo previamente de modo a poder responder eficientemente
a consultas repetidas sobre ele. Ex: Conjunto de retângulos e a lista dos incidentes em
um certo retângulo
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
8. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
2. Operações Primitivas
As primitivas são as operações básicas de um algoritmo. Por exemplo, nos algoritmos de
ordenação a função para comparar dois elementos é uma primitiva, assim como a operação de
troca de elementos. Como contamos a eficiência de um algoritmo? Contando a quantidade de
operações primitivas executadas.
2. Exemplo de Primitivas:
a. Operações com vetores
b. Distância e angulos
c. Ângulos orientados no plano
d. Ponto é interno ao poligono
e. Produto Vetorial
f.
Esquerda-Direita
g. In-circle
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
9. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
2.1. Produto Vetorial
O produto vetorial pode ser calculado a partir do seguinte determinante:
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
10. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
2.1. Esquerda-Direita
Esta primitiva consiste em sabermos a posição de um ponto em relação a um vetor
(segmento orientado). Então dados três pontos A, B e C tal que AB é um segmento orientado,
temos que a primitiva Esquerda(A,B,C) é verdadeira se o ponto C está a esquerda da reta
formada ao estendermos o segmento AB nos dois sentidos. A primitiva é falsa caso contrário.
Analogamente temos a primitiva Direita.
Se esta for positiva, o ponto C está à esquerda ( a ); se for negativa, C está à direita ( b ). Se a área
calculada for nula, então A, B e C estão alinhados ( c ).
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
11. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
2.2. In-Circle
Esta primitiva consiste em sabermos a posição de um ponto em relação a uma
circunferência no plano. Sabemos que se tivermos três pontos de uma circunferência no plano
então conseguimos representá-la pois apenas uma circunferência pode passar por 3 pontos fixos.
Então dados quatro pontos A, B, C e D onde A, B e C representam uma única circunferência.
Digamos que seu centro seja M e seu raio R. Como observação,
distância(A,M) = distância(B,M) = distância(C,M) = R
A primitiva In-Circle(A,B,C,D) é verdadeira se o ponto D é interno à circunferência dada, isto é, a
distância(D,M) < R. Esta primitiva é falsa caso contrário.a
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
12. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
3.1. Definição
3.2. Algoritmo Incremental
3.3. Algoritmo QuickHull
3.4. Algoritmo Graham
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
13. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
3.1. Definição
3.1.1 Histórico
➯
Chand-Kappur desenvolvem o algoritmo do Embrulho que é eficiente para n pontos em
uma dimensão arbitrária 1970
➯ Graham desenvolve o primeiro algoritmo com Ordem de complexidade inferior a O(n²)
➯ Jarvis desenvolve uma especialização do método de Chand-Kappur
➯ Preparata e Hong desenvolvem o primeiro algoritmo para fechos Convexos 3D em
O(nlogn)
3.1.1 Definição
Exemplos: Pontos, segmentos de retas, discos, semiplanos, triângulos, etc
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
14. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
O’Rourke [ORou94] lista uma série de definições alternativas e equivalentes do fecho
convexo, as mais interessantes das quais estão relacionadas a seguir:
➯ O fecho convexo de um conjunto S de pontos do plano é o menor polígono convexo
P que contém S, sendo “menor” entendido no sentido de que não existe outro
polígono P’ tal que P ⊃ P' ⊃ S .
➯ O fecho convexo de um conjunto S de pontos é a interseção de todos os conjuntos
convexos que contêm S.
➯ O fecho convexo de um conjunto S de pontos do plano é a união de todos os
triângulos determinados por pontos pertencentes a S.
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
15. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
Definição:
Seja FC(s) o fecho convexo do conjunto s, temos o problema:
Problema: Como encontrar o polígono que define o fecho S ?
1. Encontrar as fronteiras do polígono FC(S)
2. Encontrar os vértices do polígono FC(S)
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
16. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
3.1. Algoritmo Incremental
➯ Um primeiro algoritmo para o cálculo do fecho convexo de um conjunto de pontos é o algoritmo
incremental. Algoritmos incrementais resolvem um dado problema para um subconjunto e,
passo a passo, calculam a solução inserindo novos elementos do conjunto inicial.
➯ No caso do fecho convexo de um conjunto de n pontos, o algoritmo calcula o fecho convexo
para n-1 pontos e compõe esse resultado com o novo ponto. Basta decidir se o novo ponto está
dentro ou fora do fecho convexo atual. Se estiver dentro, é um ponto interno ao fecho e não é
preciso atualizar nada. Se estiver fora, então é necessário "consertar" o fecho atual de forma a
incluí-lo entre os vértices. Nesse processo, pode acontecer de algum(s) dos antigos vértices
deixar de ser um vértice passando a ser mais um ponto interior.
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
17. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
➯ Utilizamos as primitivas Esquerda-Direita para saber a posição de um dado ponto em relação a
um lado do fecho convexo atual. A idéia é simplificada se assumirmos que o polígono tem a
seqüência de seus vértices orientada em um sentido (anti-horário, por exemplo). Assim, basta
verificar se um novo ponto está a esquerda (se o sentido adotado for anti-horário) de todos os
lados do fecho. Se isso for verdade, então trata-se de um ponto interno ao fecho, senão é um
ponto externo que será colocado como um vértice.
➯ Analisando a sua complexidade, podemos gastar tempo O(logn) para decidir se o novo ponto
está dentro ou fora do fecho convexo dos n-1 pontos anteriores. Em seguida temos que
"consertar" o fecho anterior com o novo ponto, o que pode levar-nos a mexer em (n-1)-1arestas
do fecho anterior (as arestas que "enxergam" o novo ponto). Portanto, esse passo gasta tempo
O(n). Assim, a complexidade da inserção de um ponto é dominada pelo segundo passo,
levando tempo O(n) para ser executado. Como vamos executar esse passo n vezes, então a
complexidade total do algoritmo é O(n2).
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
18. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
3.2. Algoritmo QuickHull
●
●
O QuickHull é um algoritmo que calcula o fecho convexo de pontos num plano, com
complexidade média O(n*logn), tornando-se um equivalente geométrico do algoritmo de
ordenação QuickSort. Ele divide o plano em 2 regiões, utilizando-se dos pontos mais extremos
(isto é, pontos com menor e maior coordenada x e maior e menor coordenada y) do conjunto. A
região interna a este quadrilátero é desprezada, pois obviamente não fará parte do fecho
convexo dos pontos (são todos pontos interiores).
A seguir aplica-se a cada uma das regiões restantes um algoritmo recursivo, que calcula o
ponto P mais distante do segmento correspondente (na primeira vez é um segmento do
quadrilátero) e divide o problema local em duas partes, como se o segmento da iteracao atual
fosse dividido em outros dois, tendo o ponto P em comum. A recursão é aplicada até uma parte
possuir somente dois pontos, que são então conectados.
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
19. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
Fecho Convexo 2D
3.2. Algoritmo QuickHull
●
Analisando a sua complexidade, esse algoritmo é quadrático no pior caso, mas
equivalentemente ao quicksort, podemos perceber sua eficiência: em exemplos com pontos
aleatoriamente distribuídos, muitos pontos estarão dentro do quadrilátero inicial e serão
descartados logo na primeira fase do algoritmo. Após diversos testes percebe-se que o
QuickHull se iguala ao algoritmo de Graham em relacão a tempo, quando nao possui
desempenho melhor. Como no Quicksort, o QuickHull possui no "caso médio" tempo O(n*logn).
Aqui a primitiva utiizada continua sendo a primitiva Esquerda-Direita.
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
20. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
3.3. Algoritmo Graham
O algoritmo de Graham calcula o fecho convexo de pontos num plano, com complexidade de
tempo O(n*logn). Ele encontra o ponto P com menor coordenada y e então ordena os pontos
restantes pelo ângulo em relação à linha horizontal que passa pelo ponto P. Agora, com ajuda
de uma pilha, o algoritmo trabalha em tempo linear. Empilhamos os dois primeiros pontos e
então basta percorrermos os pontos ordenados fazendo o seguinte:
se o ponto X em questão está a esquerda do vetor penúltimo-último elemento da pilha (último
elemento da pilha é o topo) então empilhamos e olhamos o próximo;
se o ponto X em questão está a direita deste mesmo vetor, então desempilhamos e voltamos a
analisar X.
•
•
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
21. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
➯ Ao final temos na pilha uma lista de pontos que forma o fecho convexo dos pontos. A
complexidade do algoritmo é O(n*logn) porque precisamos gastar esse tempo para ordená-los.
Já o processamento após os pontos estarem ordenados é linear, nao alterando a complexidade
final. O algoritmo de Graham é um algoritmo ótimo para o cálculo do fecho convexo. Aqui a
primitiva pode ser considerada a operação Esquerda que verifica se um ponto está a esquerda
de um vetor.
➯ Convém ressaltar que tudo funciona desse modo obedecendo a definição de que um polígono
seja definido como uma lista de vértices ordenados em um sentido. Assim, um ponto fora do
polígono estará a esquerda de todas as arestas orientadas do polígono se o sentido escolhido
for o sentido anti-horário. Se definirmos o polígono ordenado no sentido horário, um ponto
estará fora do polígono se estiver a direita das arestas orientadas.
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
22. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
23. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
Problema 1 .
Se origem em P0 , este não pertence ao fecho, o que no final precisaria de
um método para remover da pontos internos da pilha
Problema 2.
Se origem em P1 e P2 não fisse parte do fecho
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
24. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
Solução .
Se ordenamos os pontos a partir da coordenada y ou pelo ângulo formado
a partir de um ponto P0, e tomamos o ponto inicial o menor ponto desse
conjunto garantimos:
1. O ponto inicial fará parte do fecho (Problema 1 resolvido)
2. O ponto seguinte também fará parte do fecho (Problema 2 resolvido)
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
25. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
26. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
Problema 3 .
Casos onde existe colinearidade,Se origem em P0 , porém P1 é colinear de P2 ?
Solução.
Ordena-se a partir do ponto onde a expressão é verdadeira:
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
27. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
28. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
29. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
3. Fecho Convexo 2D
Qual a equação de recorrência do Algoritmo de Graham?
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
30. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
4. Fecho Convexo 3D
4.1. Definição
4.2. Dificuldade
4.3. Algumas implementações
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
31. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
4. Fecho Convexo 3D
3.1. Definição
O fecho convexo 3D é um Poliedro Convexo. Os poliedros são convexos quando se encontram todos
para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas
faces deixam sempre as demais no mesmo semiespaço. Complicado? Vamos entender melhor isso!
Considere um poliedro e uma de suas faces: um octaedro, por exemplo. Imagine um plano apoiado
nessa face. O poliedro ficou todo de um lado só desse plano? Então ele é convexo! Veja:
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
32. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
4. Fecho Convexo 3D
4.2. Dificuldade
For a finite set of points, the convex hull is a convex polyhedron in three dimensions, or in general a
convex polytope for any number of dimensions, whose vertices are some of the points in the input
set. Its representation is not so simple as in the planar case, however. In higher dimensions, even
if the vertices of a convex polytope are known, construction of its faces is a non-trivial task, as is
the dual problem of constructing the vertices given the faces. The size of the output may be
exponentially larger than the size of the input, and even in cases where the input and output are
both of comparable size the known algorithms for high-dimensional convex hulls are not outputsensitive due both to issues with degenerate inputs and with intermediate results of high
complexity.
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
33. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
Comparativo
http://computacion.cs.cinvestav.mx/~anzures/geom/hull.php
Algorithm
Speed
Brute Force
Graham Scan
QuickHull
Incremental
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
34. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
Implementações
http://computacion.cs.cinvestav.mx/~anzures/geom/hull.php
http://www.cse.unsw.edu.au/~lambert/java/3d/hull.html
http://computacion.cs.cinvestav.mx/~anzures/geom/hull.php
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013
35. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
Onde Aplicamos Fecho Convexo?
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Novembro, 08 de 2012 06 de 2013
Dezembro,
36. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
Conclusão...
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Novembro, 08 de 2012 06 de 2013
Dezembro,
37. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
Dezembro, 06 de 2013
38. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
Obrigado.
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Novembro, 08 de 2012 06 de 2013
Dezembro,
39. Instituto Federal do Ceará - IFCE | Ciência da Computação
Análise de Algoritmo - Geometria Computacional
Referências
http://www.ime.usp.br/~freitas/gc/fecho.html
http://www.ime.usp.br/~freitas/gc/java/FechoApp.html
http://lhf.impa.br/cursos/gc/notas.pdf
http://www.dpi.inpe.br/gilberto/livro/geocomp/geometria.pdf
Aldisio Medeiros | Jovane Pires
Dezembro, 06 de 2013