Apostila nivelamento 1

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
UNIDADE JOINVILLE
AAPPOOSSTTIILLAA DDEE NNIIVVEELLAAMMEENNTTOO
-- MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA BBÁÁSSIICCAA --
VVEERRSSÃÃOO 11..00
JJOOIINNVVIILLLLEE –– AAGGOOSSTTOO,, 22000088

Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
1
ÍÍNNDDIICCEE
11.. CCOONNJJUUNNTTOOSS ......................................................................................... 2
1.1 Definição_______________________________________....... 2
1.2 Notação de Conjuntos____________________________....... 2
1.3 Tipos de Conjuntos________________________................... 3
1.4 Propriedades de Conjuntos________________________...... 3
22.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS AARRIITTMMÉÉTTIICCAASS BBÁÁSSIICCAASS....................................................... 5
2.1 Adição_________________________________________....... 5
2.2 Subtração_______________________________________ ..... 6
2.3 Multiplicação____________________________________...... 8
2.4 Divisão_________________________________________...... 9
2.5 Potenciação_____________________________________.... 11
33.. RREEGGRRAA DDOOSS SSIINNAAIISS ............................................................................. 15
3.1 Adição e Subtração_______________________________ ... 15
3.2 Multiplicação e Divisão____________________________ ... 15
44.. SSEEQQÜÜÊÊNNCCIIAA DDEE OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS................................................................. 16
55.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM FFRRAAÇÇÕÕEESS................................................................. 17
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)________________________......... 17
5.2 Multiplicação____________________________________.... 20
5.3 Divisão_________________________________________.... 21
5.4 Potenciação_____________________________________.... 21
5.4 Radiciação_____________________________________...... 22
66.. PPRROODDUUTTOOSS NNOOTTÁÁVVEEIISS.......................................................................... 23
6.1 Quadrado da Soma de Dois Termos_________________.... 23
6.2 Quadrado da Diferença de Dois Termos______________ ... 24
6.3 Quadrado da Soma e Diferença de Dois Termos_______ ... 24
77.. EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDOO 11ºº EE 22ºº GGRRAAUU ................................................................ 26
7.1 Equação do 1º Grau______________________________..... 26
88.. MMUUDDAANNÇÇAA DDEE UUNNIIDDAADDEE........................................................................ 27
99.. EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS........................................................................................ 28
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS ............................................................... 32

2
11.. CCOONNJJUUNNTTOOSS
1.1 Definição_______________________________________
Conjunto é um grupo de objetos sendo que cada objeto que
forma o conjunto é chamado de elemento.
Exemplos:
a) Conjunto de vogais do alfabeto
Elementos: a, e ,i, o, u
b) Conjunto das cores da bandeira brasileira
Elementos: verde, amarelo, azul, branco
1.2 Notação de Conjuntos____________________________
Existem duas maneiras de descrevermos elementos de um
conjunto:
Notação entre chaves
Os elementos do conjunto são colocados entre chaves e
separados por vírgula.
A = conjunto de vogais do alfabeto
A = {a, e, i, o, u}
B = conjunto das cores da bandeira brasileira
B = {verde, amarelo, azul, branco}
Notação por diagrama
Os elementos do conjunto são colocados dentro de uma linha
fechada.

3
1.3 Tipos de Conjuntos________________________
Conjunto unitário
É o conjunto que possui um único elemento.
• A é o conjunto de letras que recebem cedilha: A = {ç}
Conjunto vazio
É o conjunto que não possui nenhum elemento.
• B é o conjunto de vogais que recebem cedilha: A = { }
1.4 Propriedades de Conjuntos________________________
Pertinência
Para o conjunto A de vogais do alfabeto, pode-se dizer que u
pertence ao conjunto A e que c não pertence ao conjunto A.
Assim, matematicamente:
• u ∈ A (u pertence ao conjunto A)
• c ∉ A (c não pertence ao conjunto A)
Relação entre conjuntos
Sejam, A o conjunto de números de 1 a 7 e B o conjunto de
números pares de 1 a 6.
Pela notação entre chaves:.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {2, 4, 6}
Pela notação por diagrama:

4
Por esta notação pode ser observado que todo elemento de B
é também elemento de A. Assim, a relação entre estes dois
conjuntos pode ser:
• A ⊂ B (A contém B)
• B ⊃ A (B está contido em A)
• A ⊄ 10 (A não contém o elemento 10)
Da mesma forma, A o conjunto de números pares de 1 a 7 e B
o conjunto de números 1, 2, 3, 5 e 7. Pela notação entre
chaves:.
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2, 3, 5, 7}
Para estes conjuntos, pode-se afirmar:
• C = A ∪ B (A união B)
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• D = A ∩ B (A interseção B)
D = {2}
Para estas propriedades, verifica-se que a união representa a
adição de conjuntos, sendo portanto interpretado como A e B.
Da mesma forma, a interseção representa a seleção de
elementos comuns, que estão contidos nos conjuntos A ou B.

5
22.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS AARRIITTMMÉÉTTIICCAASS BBÁÁSSIICCAASS
2.1 Adição_________________________________________
Adição é uma das operações básicas da aritmética. Na sua
forma mais simples, a adição combina dois números (termos,
somandos ou parcelas), em um único número, a soma.
Adicionar mais números corresponde a repetir a operação.
A adição com expressões numérica pode ser representada de
duas formas:
Observação:
Da mesma forma, a adição pode ser realizada para expressões
algébricas, sendo que neste caso a adição é feita entre
variáveis iguais.
(3a+5b)+(6a+3b)
Propriedades da Adição______________________________
Comutativa:
A ordem das parcelas não altera a soma, isto é, trocando a
ordem das parcelas o resultado é o mesmo:

6
• se x + y = z, logo y + x = z
2+4=6 logo 4+2=6
a+b = b+a
Associativa:
Na adição de três ou mais números, pode-se substituir duas
parcelas quaisquer pela sua soma. Ou seja, o agrupamento
das parcelas não altera o resultado:
• se (x + y) + z = w, logo x + (y + z) = w
(20+8)+14=42 logo 20+(8+14)=42
(a+b)+c = a+(b+c)
Elemento neutro da adição:
O zero é chamado "elemento neutro" da adição, pois o 0 (zero)
não altera o resultado das demais parcelas:
• x + y = z, logo x + y + 0 = z
(34+22) = 56 logo (34+22+0) = 56
Anulação:
A soma de qualquer número e o seu oposto é zero.
2.2 Subtração_______________________________________
A subtração é uma operação matemática que indica quanto é
um valor numérico (minuendo) se dele for removido outro valor
numérico (subtraendo).
A adição com expressões numérica pode ser representada de
duas formas:

7
Assim, a subtração é o mesmo que a adição por um número de
sinal inverso. É, portanto, a operação inversa da adição.
Observação:
A subtração, como a adição, pode ser realizada para
expressões algébricas, sendo feita entre variáveis iguais.
(3a+5b)-(6a+3b)
Propriedades da Subtração___________________________
Propriedade fundamental da subtração:
A diferença é o número que, somado ao subtraendo, resulta no
minuendo:
• 45-25 = 22, logo 25+22 = 45
a-b = c ou b+c = a
Elemento neutro:
O zero é chamado "elemento neutro" da subtração, pois não
altera a diferença, em qualquer posição:
• x-0 = x, y-0 = y, e x-0-y = x-y, sendo x diferente de y
18-0 = 18
Anulação:
Quando o minuendo é igual ao subtraendo, a diferença será 0
(zero).

8
2.3 Multiplicação____________________________________
A multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma
quantidade finita de números iguais. O resultado da
multiplicação de dois números é chamado produto. Os números
sendo multiplicados são chamados de coeficientes, fatores ou
operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador
Propriedades da Multiplicação________________________
Comutativa:
A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim,
• se x.y = z, logo y.x = z
Associativa:
O agrupamento dos fatores não altera o resultado. Assim,
• s.(x.y).z = w, logo x.(y.z) = w

9
Distributiva:
Um fator colocado em evidência numa soma dará como
produto a soma do produto daquele fator com os demais
fatores. Assim,
• x.(y+z) = (x.y)+(x.z)
Elemento neutro:
O um é chamado "elemento neutro" da multiplicação, pois não
altera o resultado dos demais fatores. Assim,
• se x.y = z, logo x.y.1 = z
Elemento opositor:
O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico.
Assim,
• -1.x = -x e -1.y = -y, para y diferente de x
Anulação:
O fator 0 (zero) anula o produto. Assim,
• x.0 = 0, e y.0 = 0, com x diferente de y
2.4 Divisão_________________________________________
A divisão é a operação matemática que determina a
quantidade de vezes (quociente) que um número (divisor) está
contido dentro de outro número (dividendo). A divisão é a
operação inversa da multiplicação.

10
Propriedades da Divisão_____________________________
Divisor neutro:
Qualquer número dividido por 1 (um) terá como quociente o
próprio número dividido.
Anulação:
Qualquer número dividido por ∞ (infinito) ou -∞ (menos infinito)
será sempre zero.
Indeterminação:
As divisões 0÷0 e ∞÷∞ não têm um quociente determinado;
sendo que qualquer número pode ser usado como solução.
Divisão por zero:
O resultado de uma divisão de um número não-nulo por 0
tende ao infinito e o resultao de 0 dividido por 0 é
indeterminado.
Observação:
O resto de uma divisão nunca pode ser um número maior ou
igual ao divisor.
Representação______________________________________
Sendo a o "dividendo" e b o divisor, a representação da
operaçào de divisão pode ser:
• como uma fração:
b
a
• com uma barra:
b
a
• com o sinal de divisão: ba ÷
• usando dois pontos: ba :

11
• usando o sinal de inverso: 1−⋅ ba
Divisibilidade_______________________________________
Sejam algumas divisões:
É possível observar que nem sempre a divisão resulta no
quociente zero, ou seja, nem sempre a divisão é exata.
Quando isso ocorre, diz-se que é uma divisão com resto:
2.5 Potenciação_____________________________________
Exponenciação ou potenciação é uma operação a usada em
aritmética para indicar a multiplicação de uma dada base por
ela mesma, tantas vezes quanto indicar o expoente.
Nesse caso, a base seria a e o expoente n, sendo n um
número natural maior do que 1.
A exponenciação é representada por um número e o expoente
sobrescrito (por exemplo, 2³), ou com um circunflexo separando
a base do expoente (2^3).

12
Expoente Um e Zero_________________________________
Analisando um número qualquer com expoente zero ou um:
• qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo:
• qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1:
Expoentes Fracionários______________________________
Seja expressão,
Esta pode ser usada para provar que:
Para que essa expressão seja válida para números racionais,
devemos ter:

13
Ou, de forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o
denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o
expoente do radicando:
Expoentes Decimais______________________________
No caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em
fração e depois em raiz.
Indeterminações____________________________________
Na exponenciação, é possível chegar à formas de
indeterminação:
Potências cujo expoente não altera o resultado__________
Potências de 0
Como visto, a matemática julga ser indeterminado o valor da
potência: 0
0
, mas as outras potências cuja base é 0 e cujo
expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0.
Potências de 1
As potências de 1 são as potências de base 1, dados por 1
n
,
sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de n, 1
n
será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a
1.

14
Potências de 10
Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois
usamos um sistema decimal.
10
6
= 1000000 (igual a um milhão, 1 seguido de 6 zeros).
Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para
descrever números muito grandes ou pequenos em notação
científica:
299792458 = 2,99792458 × 10
8
≅ 2.998 × 10
8
(velocidade da
luz no vácuo, em metros por segundo)
Os prefixos do sistema internacional de unidades também são
utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por
exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa 10
3
= 1000, logo, um
quilómetro é igual a 1000 metros.
Potências de 2
Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por
exemplo, existem 2
n
valores possíveis para uma variável que
ocupa n bits da memória.
1 kilobyte = 2
10
= 1024 bytes

15
33.. RREEGGRRAA DDOOSS SSIINNAAIISS
3.1 Adição e Subtração_______________________________
Sinais iguais
Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal.
Sinais diferentes
Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior.
Exemplos:
3.2 Multiplicação e Divisão____________________________
Sinais iguais
Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo.
Sinais diferentes
Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo.
Exemplos:

16
44.. SSEEQQÜÜÊÊNNCCIIAA DDEE OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS
Regra:
As expressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas
obedecendo a seguinte ordem de operação:
1º Potenciação e Radiciação;
2º Multiplicação e Divisão;
3º Adição e Subtração.
Por sua vez, essas operações são assim realizadas:
1º Parênteses;
2º Colchetes;
3º Chaves.

17
55.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM FFRRAAÇÇÕÕEESS
Para adicionar ou subtrair frações, deve-se proceder da
seguinte maneira:
• Reduzir as frações ao mesmo denominador, isto é calcular
o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores;
• Adicionar ou subtrair os numeradores e conservar o
denominador comum;
• Simplificar resultado sempre que possível.
Exemplos:
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)________________________
Para entender o que é mínimo múltiplo comum, deve-se saber
achar os múltiplos de um número.
Exemplo:
Quais são os múltiplos de 2?
São todos os números que resultam da multiplicação de um
número natural por 2.

18
E quando é dado um número como saber se esse número será
múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, e assim por diante? Basta fazer a
operação inversa à multiplicação: divisão.
Regras:
Múltiplo de 2
Todo número múltiplo de 2 tem que terminar em par, então
será múltiplo de 2.
Múltiplo de 3
Todo número múltiplo de 3, a soma de seus algarismos deve
resultar em um número múltiplo de 3
Múltiplo de 5
Todo número múltiplo de 5 termina em 0 ou 5.
Outros Múltiplos
Para descobrir se um número é múltiplo de outros números,
deve-se utilizar a divisão pelo múltiplo a ser verificado. Se essa
operação der exata (resto igual a zero) é por que ele será
múltiplo deste número.
Exemplo:
O número 1232 será múltiplo de 2, 3 e 5?

19
• 1232 termina em par, então ele será múltiplo de 2;
• somando os algarismos do número 1232 tem-se:
1+2+3+2 = 8,
8 não é múltiplo de 3, então 1232 também não vai ser
múltiplo de 3;
• 1232 termina em 2, assim não é múltiplo de 5.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC):
Cálculo do MMC pelo menor múltiplo
O cálculo o MMC de 2 ou mais números consistem em achar o
menor múltiplo comum (tirando o zero) entre esses números.
MMC(15, 20) = ?
Devemos em primeiro lugar acharmos os múltiplos de 15 e
depois de 20.
M(15) = 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
M(20) = 20, 40, 60, 80, 100, ...
Observando os seus múltiplos vemos que o menor múltiplo
comum é o 60, portanto:
MMC(15, 20) = 60
Cálculo do MMC utilizando a fatoração
Outro método para achar o MMC de números consiste em
dividir os números por números primos
Número primo é aquele número que é divisível apenas por um
e por ele mesmo. Como 2, 3, 5, 7, 11.... É interessante
ressaltar que o único número par primo é o 2, os outro são
todos ímpares.
MMC(15, 20) = ?

20
Para calcular MMC(15,20) utilizando a fatoração no processo
de decomposição simultânea, utiliza-se:
Observa-se que foram divididos os números 15 e 20 apenas
por números primos em seqüência. Então, multiplicando-se os
números primos 2, 2, 3, 5 é obtido o MMC dos números 15 e
20:
2 x 2 x 3 x 5 = 60 então o MMC(15,20) = 60
5.2 Multiplicação____________________________________
Para multiplicar frações, deve-se proceder da seguinte
maneira:
• Multiplicar os numeradores entre si;
• Multiplicar os denominadores entre si;
• Simplificar a fração resultante sempre que possível.
Observação:
Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os fatores
comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuar a
operação.
Exemplos:

21
5.3 Divisão_________________________________________
Para dividir frações, deve-se proceder da seguinte maneira:
• Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda
fração;
• Simplificar a fração resultante sempre que possível.
Exemplos:
5.4 Potenciação_____________________________________
Para elevar uma fração a um determinado expoente, deve-se
proceder da seguinte maneira:
• Elevar o numerador e o denominador a esse expoente.
Exemplos:

22
5.4 Radiciação_____________________________________
Para obter a raiz de uma fração, deve-se proceder da seguinte
maneira:
• Extrair a raiz do numerador e do denominador.
Exemplos:

23
66.. PPRROODDUUTTOOSS NNOOTTÁÁVVEEIISS
Os Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação
entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão
ser calculados usando-se a propriedade distributiva, como
mostram as regras a seguir.
6.1 Quadrado da Soma de Dois Termos_________________
Regra:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro pelo
segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:

24
6.2 Quadrado da Diferença de Dois Termos______________
Regra:
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado
do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro
pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
6.3 Quadrado da Soma e Diferença de Dois Termos_______
Regra:
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo
termo.

25
Exemplos:

26
77.. EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDOO 11ºº EE 22ºº GGRRAAUU
7.1 Equação do 1º Grau______________________________

27
88.. MMUUDDAANNÇÇAA DDEE UUNNIIDDAADDEE
seguinte maneira:
• Reduzir as frações ao mesmo denominador, isto é calcular
o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores;
• Adicionar ou subtrair os numeradores e conservar o
denominador comum;
• Simplificar resultado sempre que possível.
Exemplos:

28
99.. EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
9.1 Operações Aritméticas____________________________
01) Efetue as operações matemáticas de adição e subtração:
a) 0,1 + 50,43
b) 13,45 + 34,90
c) 2,09 + 3,09
d) 0,43 + 1,02
e) 34,04 + 2
f) 21,2 + 2 + 45,09
g) 45 – 34,9
h) 23 – 0,09
i) 34 – 20,8
j) 9,89 – 2,1
k) 134,10 – 18,56
02) Efetue as operações matemáticas de multiplicação e
divisão:
a) 2,4 x 3
b) 18,9 x 200
c) 3,55 x 3,2
d) 10,2 x 5,3
e) 6,09 x 4
f) 18 : 3,6
g) 8 : 1,25 5
h) 144,2 : 7
03) Escreva os seguintes números em notação científica:
a) 3400000
b) 700000
c) 12000
d) 5000000000
e) 2000

29
f) 150
g) 0,0001
h) 0,00014
i) 0,0000006
j) 0,06 8
k) 0,8
l) 0,010
m) 0,90
n) 0,00004
o) 0,444
p) 0,0008
q) 0,55
r) 329000
s) 45000000
t) 219000000
u) 459900000
v) 400000000
x) 455,9000
9.2 Regra dos Sinais e Seqüência de Operações__________
01) Calcular as expressões matemáticas:
a) (+5) + (-5) + (-2) – (+4) – (-2)
b) -1 +2 – 9 + 7 – 3 – 5 + 2
c) – (+1) + (+3) + (-4) – (+2) – (-7) + (-3)
d)-(+4-3)+(-7+2)-[(-1)+(-2+3)]
e) (-2) . (+3) – (-3) . (-8) + (-3) . (-4)
f) -5 . 3 – 9 . (-2) + (-5) . (-9) . 2 - 2 . (-2)
g) -1 - 3 . [-5+2 . (-1 - 9 .2) + 5] – (-1)
h) -5.(-3)–4.{-2.[-1+3.(-4.5-3.2)]-(-4)}+1
i) -5 . 3-9 : (-3)+(-5) . (-9) . 2-2 . (-2)
j) {[(-5.3) –9] :9-3)+(-5)} .(-9) .[2-2 .(-2)]

30
9.3 Operações com Frações___________________________
01) Simplificar as frações:
a) 12/18
b) 136/170
02) Qual dos números a seguir é o maior?
a) 25/16 b) 9/8 c) 43/32 d) 5/2 e) 9/4.
03) As frações 9/16 e 3/4 são equivalentes?
04) Calcular: as frações:
a) 3 + 1/5 : 7/2
b) (-1/2 + 7/8) : (-4/3)
c) (3/7 – 1/21 – 11/3) . (4 + 1/2)
d) (-5 -1/4) : (-3 + 1/8)
e) – 1 – 3/2 : (5/4) – 2 : (-3/4)
f) (2/9) : (7/4)
g) (-2/3) : (1/5)
h) (1/4) : (1/8)
i) (2/3) : (1/5)
j) (14/5) : (2/21)
k) 3 - 1/2 : 1/4
l) 8 + 1/2 : 1/6
m) (-1/2 + 4/5) : (-2/7)
n) (-1/4+ 1/8) : (1/2)
o) (2/7) : (7/4)
p) (3/10) : (4/5)
q) (5/6) : (4/7)
04) Determinar o MMC:
a) mmc (12,4)
b) mmc (36,144)
c) mmc (300, 180)

31
d) mmc (-78,130)
e) mmc (10,42,63,35)
f) mmc (2,5,13)
g) mmc (100,200,400)
h) mmc (20,50,130)
i) mmc (25,50,75)
j) mmc (30,32,63,90)
k) mmc (3,30,63,90)
l) mmc (4,42,80,120)
m) mmc (8,12,80,140)
n) mmc (5,10,15,150)
o) mmc (40,68,220,240)
p) mmc (225,625)
q) mmc (144,120)
r) mmc (625,1300)
s) mmc (480,840)

32
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS
[1] http://afrobras.org.br/images/stories/mat-basica.pdf
[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/
[3] http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/
[4]

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