Aplicações do Teorema de Pitágoras.ppt

COMPONENTE CURRICULAR
Ensino Fundamental ou Ensino Médio, Série
Tópico
MATEMÁTICA, 9º ANO, Teorema de Pitágoras e
suas aplicações
MATEMÁTICA
Ensino Fundamental, 9º ANO
Teorema de Pitágoras e suas
aplicações

Tópico
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Olá! Eu sou Pitágoras,
vivi entre 569 e 475 a.C.
e adoro mistérios da
Natureza e também
religião.
Sou filho do grande mercador de
Sirus, Mnesarchus, que vive a
vida viajando e se encontrando
com grandes sábios da Síria e da
Caldeia.
Memórias póstumas de
Pitágoras

Tópico
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Sou conhecido como prodígio, pois
desde pequeno a Filosofia me
encanta. Mas sou sempre muito bem
assessorado por dois grandes mestres
(Tales e Anaximandro) que me
instigam a pensar e descobrir os
encantos da Filosofia.
Pobre Tales!!! Conquistou
muita fama e respeito por
suas descobertas e
pensamentos, mas é uma
pena que ele já esteja um
pouco velhinho.

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Meu grande mestre,
Tales. O que temos para
hoje?
Hoje vamos falar
de triângulos!
Tudo bem para
você?

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Pitágoras, deves
ir ao Egito.
Lá tu podes
adquirir muitos
conhecimentos!
Que Egito
que nada!?
Não quero
saber de
Egito!!!

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Tales passou no Egito
quando jovem e agora fica
me perturbando para que
eu faça o mesmo. Mas
como ele é meu mestre,
tão sábio, deve saber o
que diz.
Os mistérios sagrados dos
egípcios me fascinaram.
Os sacerdotes diziam que
eu era divino, só porque
tinha um sinal, de
nascença, na perna. Que
estranho, não? Começaram
a dizer que eu tinha sido
favorecido pelo deus
Osíris.
Terminei indo
ao Egito!!!

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Por volta de 525 a.C., fui
feito prisioneiro dos
guerreiros Persas e levado
para a Babilônia - a mais rica
cidade do mundo, na época.
Lá aprendi muito com um tal
de Zaratustra (um dos
maiores filósofos da Babilônia)
e adquiri a maioria dos seus
conhecimentos de matemática
(modéstia à parte, mas adquiri
mais conhecimentos de
matemática do que o meu
velho mestre Tales).

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Voltei para Samos,
depois da Babilônia, e
causei grande modinha
devido às minhas calças e
posturas do Oriente. As
pessoas da cidade
passaram a olhar-me com
grande espanto.
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Depois,
conquistei um
bom número de
seguidores
(#Pitágoras) e
resolvi criar uma
escola chamada o
“Semi-Círculo”.
Ela ficou famosa
pois eu tive a
ideia de também
admitir mulheres
e onde nos
sentíamos irmãos
e trabalhávamos
como tal.

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Éramos vegetarianos,
não nos apegávamos aos
bens pessoais e era eu
quem ensinava aos meus
“irmãos” desde que
jurassem segredo.
Os “alunos” desta escola
eram fascinados pela
ideia de que tudo se
reduzia à Matemática e
também à mistura do
misticismo do Oriente
com o pensamento grego.

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.
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http://adelmomedeiros.com/imagens/eratostenes.jpg
Para terminar,
tenho mais um
fato que me
torna muito
orgulhoso. Fui
um dos primeiros
a pensar e
defender que a
Terra era
esférica.

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O Triângulo Retângulo
O triângulo ABC da figura
ao lado representa um
triângulo retângulo em A,
pois o ângulo Â é reto
(90º).
O lado oposto ao ângulo reto é chamado de HIPOTENUSA,
enquanto os outros dois são chamados CATETOS.
Triângulo que apresenta um ângulo reto (90º)

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Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das
mais importantes descobertas da Matemática. Com
ele pode-se descobrir a medida de um lado de um
triângulo retângulo, a partir da medida de seus
outros dois lados.
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http://celeimatica3.com.sapo.pt/9ano_trigonometria/media/9c6-12-01.PNG
A partir dele podemos determinar a altura de prédios, torres,
montanhas, largura de rios, dentre outras inúmeras aplicações.

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Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidas
dos catetos (b e c).
a2 = b2 + c2
5
a
c
b
C
B
A
4
3
+ a2
b2
c2
b = 4
c
=
3
Exemplo: sabendo-se que os catetos b e c valem,
respectivamente, 4 e 3, determine o valor da hipotenusa a.

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Diagonal de um quadrado
O triângulo ADC é retângulo em D.
Podemos aplicar então o teorema de
Pitágoras:
Como determinar a medida da diagonal do quadrado
ABCD, da figura abaixo, com aresta medindo a?
A B
C
D
d
a
a a
a
Aplicações

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Altura de um triângulo equilátero
O triângulo ABH é retângulo em H.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
A
B C
h
H
a a
a
a
a
Aplicações
Como determinar a medida da altura de um triângulo
equilátero de aresta medindo a?

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Diagonal de um paralelepípedo
Como determinar a diagonal principal (D) de um paralelepípedo
cujas arestas medem a, b, c?
Temos que o triângulo BEH é retângulo em E e sua hipotenusa
mede D, mas para calculá-la precisamos encontrar o valor de d.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
O cubo é um caso particular do paralelepípedo
em que a = b = c = a; assim:
A
B C
I
E F
H
H
D
d
a
b
c
A
B C
D
I
F
H
G
E
d
a
a
a

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Triângulo inscrito numa semicircunferência
Dizemos que um triângulo está inscrito numa semicircunferência
quando um dos seus vértices pertence à semicircunferência e os
outros dois vértices são extremidades de um diâmetro.
Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é
TRIÂNGULO RETÂNGULO.
A
B
O
C
A
B
O
C

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13
12
5
Os Ternos pitagóricos
Ternos pitagóricos são ternos de números inteiros
positivos a, b e c que obedecem à relação a2 = b2 + c2.
Vamos lá! Agora é com você...
Tente pensar em um terno pitagórico.
Os mais conhecidos são:
5
4
3

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Classificação dos triângulos quanto aos ângulos
conhecendo-se as medidas de seus três lados.
Considere um triângulo com lados medindo a, b e c,
sendo o lado a o maior lado.
Se a2 = b2 + c2, o triângulo é RETÂNGULO.
Se a2 > b2 + c2, o triângulo
é OBTUSÂNGULO.
Se a2 < b2 + c2, o triângulo
é ACUTÂNGULO.
20

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No Egito, os antigos egípcios utilizavam
uma corda com 13 nós igualmente
espaçados que era dividida em 12 partes
iguais para marcação das áreas dos
territórios na agricultura, mas com a
cheia anual do Rio Nilo, estas marcações
eram desfeitas e eles novamente
remarcavam.
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Egito Antigo
Usando essa corda, os egípcios construíram
um triângulo particular cujos lados mediam
3, 4 e 5 unidades, formando um ângulo reto
entre os dois lados menores. A construção
de pirâmides de base quadrada é uma das
muitas aplicações do conhecimento
geométrico dos antigos egípcios, que usavam
um processo prático para obter “cantos”
retos (ângulos de 90º).

Tópico
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(UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática,
escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:
Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos romboides, boca trapezoide,
corpo retangular, seios esferoides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
“Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa.”
………………………………………………………………………..
(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)
Exercício 01

Tópico
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A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao
Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:
A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de
hipotenusa.”
B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar
de hipotenusa.”
C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar
de quadrado da hipotenusa.”
D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me
chamar de quadrado da hipotenusa.”.
Exercício 01 (continuação)
Como vimos, este primeiro exercício pede nada mais do
que o enunciado do Teorema de Pitágoras:
(hipotenusa)2 = (cateto1)2 + (cateto2)2
D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me
chamar de quadrado da hipotenusa.”.

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Uma piscina retangular mede 24 m de comprimento por 18 m de
largura. Nadando na diagonal dessa piscina, um atleta consegue
nadar ida e volta em um total de
A) 54 m.
B) 56 m.
C) 58 m.
D) 60 m.
E) 62 m.
Exercício 02
D) 60 m.

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(PMST1101/009 – 2012) Em um dos efeitos
visuais, para promover o início de vendas dos
apartamentos, um feixe retilíneo de luz
parte do topo do prédio e atinge o solo em
um determinado ponto, conforme indicado na
figura. Desse modo, pode-se concluir,
corretamente, que a altura do prédio, em
metros, indicada por h na figura, é:
A) 22.
B) 24.
C) 25.
D) 28.
E) 30.
Exercício 03
B) 24.

Tópico
suas aplicações
Na figura, a medida aproximada, em
metros, do comprimento AB da
escada, é
A) 11.
B) 13.
C) 15.
D) 17.
E) 19.
Exercício 04
B) 13.

Tópico
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Exercício 05
A) 5,5.
B) 5,2.
C) 4,8.
D) 4,4.
E) 4,0.
D) 4,4.

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(PMES1301/001-2013) Dois carros
partem, no mesmo instante, das
cidades Campo Verde e Porto Grande,
com destino a Vitória do Sul, pelo
caminho mais curto.
Considerando que eles mantêm a
mesma velocidade, é correto afirmar
que o carro que chegará primeiro e a
distância que o outro carro estará
nesse momento da cidade de destino
são, respectivamente,
A) carro 2 e 24 km
B) carro 2 e 22 km.
C) carro 1 e 20 km.
D) carro 1 e 22 km.
E) carro 2 e 20 km.
Exercício 06
E) carro 2 e 20 km.

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Extras
VÍDEOS
Mão na Forma - O Barato do Pitágoras:
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=6965
O Legado de Pitágoras - Desafiando Pitágoras - Parte 1
O Legado de Pitágoras - Desafiando Pitágoras - Parte 2
ATIVIDADES PRÁTICAS
Quebra-cabeças Pitagóricos: http://www.mat.ufmg.br/~elaine/Aperfeicoamento/Pitagoras.pdf
O Teorema de Pitágoras e as relações métricas no triângulo retângulo com material emborrachado:
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Lamas.pdf
SITES ÚTEIS
Brasil Escola: http://www.brasilescola.com/
Só Matemática: http://www.somatematica.com.br/

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LIVRO
Pitágoras e o seu Teorema:
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/05/livro-pitagoras-e-seu-teorema.html
LEITURA RECOMENDADA
Teorema de Pitágoras:
http://cejarj.cecierj.edu.br/Material_Versao7/Matematica/Mod0/Matematica_Unidade_10_Seja.pdf
SIMULAÇÕES
Teorema de Pitágoras:
http://www.noas.com.br/skoool-brasil/simulacoes/matematica/simulacao-do-teorema-de-pitagoras/index.html
Triângulo de Pitágoras:
http://www.skoool.pt/content/los/maths/pythagoras_theorem1/launch.html
QUIZ
http://educacao.uol.com.br/quiz/2012/05/24/teorema-de-pitagoras.htm
LISTA DE EXERCÍCIOS
https://joaodemeira.wikispaces.com/file/view/TeoremadePitagoras.pdf
Extras

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Bibliografia
• ALMOULOUD, Saddo Ag e BASTIAN, Irma Verri. O teorema de Pitágoras: uma abordagem enfatizando
o caráter necessário/suficiente. In: Educação Matemática em revista. Ano 10. n. 14. São Paulo: SBEM,
2003.
• BASTIAN, Irma Verri. O teorema de Pitágoras. Dissertação (mestrado). São Paulo: PUC, 2000. 187 p.
Disponível em
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/mydownloads_01/singlefile.php?cid=4&lid=1480.
Acesso: agosto/2015.
• JAHN, Ana Paula e BONGIOVANNI, Vincenzo. O teorema de Pitágoras segundo a dialética ferramenta-
objeto. IN: Revemat – Revista Eletrônica de Educação Matemática. V 3.7, p.78-83, USC, 2008.
• <http://educar.sc.usp.br> Acesso em 04/08/2015.
• <http://pt.wikipedia.org> Acesso em 04/08/2015.
• <http://www.ciencia-cultura.com> Acesso em 04/08/2015.
• <http://www.coladaweb.com/fisica> Acesso em 04/08/2015.
• <http://www.infoescola.com> Acesso em 04/08/2015.
• <http://www.mundoeducacao.com.br> Acesso em 04/08/2015.
• <http://www.somatematica.com.br> Acesso em 04/08/2015.

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