geometria analitica

1. Problemas de distância
Determine a distância entre os pontos A(1,-3,4) e o ponto B(0,-1,3).
Solução:
Você pode determinar a distância entre os pontos A e B como o módulo do
vetor AB, ou seja,

 AB
B)
d(A,  
4
3
,
3
1
,
1
0 





AB
u.c.
(-1)
B)
d(A, 2
6
)
1
(
2 2
2





 
1,2,-1
-

1
1
2
: 



 z
y
x
r
Solução:
Problema 1
Determine a distância entre o ponto P(4,1,3) e a reta r dada a seguir.
Problema 2
Comece verificando se que o ponto P pertence à reta r, ou seja,
(V)
1
3
1
1
2
4 



 Daí, o ponto P  r. Logo, .
c
.
u
0
)
r
,
P
(
d 

2. Determine a distância entre o ponto P(1,2,3) e a reta r dada a seguir.
Problema 3
Você pode determinar a distância do ponto P a
reta r, como a altura de um paralelogramo cujos
lados podem ser representado pelos vetores,
r
v
 
AP , onde A é um ponto da reta r.
Considere então A(2,-1,1), assim,  
2
,
3
,
1
AP 


Lembre-se de que a área desse paralelogramo é dada por:
h
b
S 

r
r
v
|
v
AP
|
h 




b
S
h 

Você pode utilizar vetores: Assim,
r
r
v
|
v
AP
|
)
r
,
P
(
d 




1
1
2
: 



 z
y
x
r
Então,  
1
,
1
,
1
vr 

3
1
2
3
1 

1
1
1
1
1
 
3
1
),
1
(
2
,
2
3
AP
vr 








 
4
,
3
,
1 

Logo,
.
.
3
26
3
16
9
1
)
,
( c
u
r
P
d 



Solução:
Observe que o ponto P não pertence à reta r.

3. Determine a distância entre o ponto P(1,2,3) e ao plano  dado a seguir.
Problema 4
0
1
2
: 


 z
y
x

Solução:
Você pode determinar a distância do ponto P
ao plano , como o módulo da projeção do
vetor AP na direção do vetor normal do plano
, onde A é um ponto do plano .
Lembre-se de que:   




 u
u
v
proj
w v
u



 

|
u
|
|
u
v
|
|
proj
| v
u









 |
u
v
| 




Assim,
|
n
|
|
n
AP
|
)
,
P
(
d





 

|
u
|
|
u
v
|
|
|
u
|
u
v
| 




 



Considerando A(0,0,1) tem-se:  
2
,
2
,
1
AP 

 
1
,
2
,
1
n 


Daí,    
1
,
2
,
1
2
,
2
,
1
n
AP 

 
 
7
2
4
1 


 6
1
4
1
|
| 




n

Logo,
|
n
|
|
n
AP
|
)
,
P
(
d





 

.
c
.
u
6
7


4. Determine a distância entre a reta r e ao plano  dados a seguir.
Problema 5
1
1
2
: 



 z
y
x
r 0
1
2
: 


 z
y
x

Solução:
A distância entre a reta r e plano  é definida como a menor distância
entre os pontos da reta r e ao plano  .
 
1
,
1
,
1
vr 

 
1
,
2
,
1
n 


Assim, 0
1
.
1
2
.
1
1
.
1 



 
n
vr


Daí, a reta r é secante ao plano .
Você deve começar verificando a posição relativa entre a reta r e plano  .
Logo a distância da reta r ao plano  é igual a
zero.

5. Determine a distância entre a reta r e ao plano  dados a seguir.
Problema 6
1
1
2
: 



 z
y
x
r 0
1
: 

 y
x

Solução:
 
1
,
1
,
1
vr 

 
0
,
1
,
1
n 



Assim, 0
0
.
1
)
1
.(
1
1
.
1 




 
n
vr


Você deve começar verificando a posição relativa entre a reta r e plano  .
Daí, ou r está contida em , ou r é paralela ao plano .
Considere então um ponto da reta r, por exemplo, P(2,-1,1) e verifique se
esse ponto pertence ao plano .
0
1
)
1
(
2 


 (F)
0
2 
 Daí, o ponto P não pertence ao plano .
Assim, a reta r é paralela ao plano . Observe então que: )
,
P
(
d
)
,
r
(
d 


, onde P é um ponto qualquer da reta r.
Então,
|
n
|
|
n
AP
|
)
,
P
(
d
)
,
r
(
d







 

 
0
,
2
,
0
AP 


 
0
,
1
,
1
n 



   
0
,
1
,
1
0
,
2
,
0
n
AP 



 
 
2
0
2
0 



2
0
1
1
|
| 




n

Logo,
|
n
|
|
n
AP
|
)
,
r
(
d





 

u.c.
2
2
2


Considere um ponto A de , A(2,1,1) e P(2, -1, 1).

6. Determine a distância entre os plano  e  dados a seguir.
Problema 7
0
1
: 

 y
x

Solução:
Você deve começar verificando a posição relativa entre os planos  e  .
0
4
2
2
: 

 y
x

 
0
,
1
,
1
n 



 
0
,
2
,
2
n 



Observe que os vetores normais dos planos  e  são paralelos.
Assim, esses planos podem ser paralelos ou coincidentes.
Considere um ponto do plano β, por exemplo, M(2,0,1) e verifique se
esse ponto pertence ao plano α.
0
1
0
.
2
2 


Ou seja, substitua as coordenadas de M
na equação do plano α. (F)
0
1

Logo, os planos  e  são paralelos.
Observe então que: )
,
M
(
d
)
,
(
d 

 
Considere um ponto A de α, A(1,0,0)
 
1
0
1 



,
,
MA  
0
,
1
,
1
n 



   
0
1
1
1
0
1 ,
,
,
,
n
MA 








1
0
0
1 





|
n
|
|
n
MA
|
)
,
M
(
d
)
,
(
d








 

u.c.
2
2
2
1


, onde M  β.

7. Em cada item, determine a distância entre as retas r e s.
Problema 8
Solução:
Você deve começar verificando a posição relativa entre essas retas.
 
1
,
3
,
2
vr 


 
1
,
3
,
2
vs 


Observe que esses vetores são paralelos, daí essas retas são
paralelas ou coincidentes.
Considere um ponto da reta r, por exemplo, P(2,-1,1) e verifique se esse
ponto pertence à reta s.
Logo, as retas r e s são coincidentes.
R
t
,
t
z
t
-1
y
2t
-
2
x
r
a











1
3
:
)
2
3
2
2
: 


 z
y
-
x
s
(V)
1
1
1 





2
1
3
2
1
2
2





-
Portanto, 0
)
s
,
r
(
d 

8. b)
R
t
,
t
z
t
-1
y
2t
-
2
x
r 










1
3
:
z
y
-
x
s 

3
2
:
Solução:
Você deve começar verificando a posição relativa das retas r e s.
 
1
,
3
,
2
vr 


 
1
,
3
,
2
vs 


Observe que esses vetores são paralelos, assim essas retas são
coincidentes ou paralelas.
Considere um ponto da reta r, por exemplo, P(2,-1,1) e verifique se esse
ponto pertence à reta s.
(F)
1
3
1
1 



 Daí, as retas r e s são paralelas.
1
3
1
2
2



-
Observe então que: )
s
,
P
(
d
)
s
,
r
(
d 
Considere um ponto A de s, por exemplo
A(0,0,0), daí,
, onde P  r.
|
v
|
|
v
AP
|
)
s
,
P
(
d
)
s
,
r
(
d
s
s






 
1
,
1
,
2
AP 



 
1
,
3
,
2
vs 


1
2
1
1
2 


3
2
1
3
2 


 
2
6
,
2
2
,
3
1 







s
v
AP

 
4
,
0
,
2 

.
.
14
5
2
1
9
4
16
0
4
)
,
( d
u
s
r
d 






9. c)
R
t
,
t
z
t
-1
y
2t
-
2
x
r 










1
3
:   R
h
h
X
s 

 ),
0
,
1
,
1
(
2
,
2
,
0
:
Solução:
Você deve começar verificando a posição relativa das retas r e s.
 
1
,
3
,
2
vr 


 
0
,
1
,
1
vs 

Observe que esses vetores não são paralelos, assim as retas r e s podem
ser concorrentes ou reversas.
Considere um ponto R da reta r e um ponto S da reta s, por exemplo:
R(2,-1,1) e S(0,2,2). Daí,
 
1
,
3
,
2
SR 



Então,
1
3
2
0
1
1
1
3
2
SR
,
v
,
v s
r









 


3
2
1
1
3
2


0
)
3
0
2
(
3
0
2 











 
SR
,
v
,
v s
r


Logo as retas r e s são concorrentes em
um ponto P.
Portanto, 0
)
s
,
r
(
d 

10. d)
R
t
,
t
z
t
-1
y
2t
-
2
x
r 










1
3
: z
y
x
:
s 

Solução:
Você deve começar verificando a posição relativa das retas r e s.
 
1
,
3
,
2
vr 


 
1
,
1
,
1
vs 

Observe que esses vetores não são paralelos, assim as retas r e s podem
ser concorrentes ou reversas.
Considere um ponto R da reta r e um ponto S da reta s, por exemplo:
R(2,-1,1) e S(3,3,3). Daí,
2
4
1
1
1
1
1
3
2
SR
,
v
,
v s
r










 


4
1
1
1
3
2



4
)
6
8
1
(
4
3
4 













 
SR
,
v
,
v s
r


Daí, as retas r e s são reversas.
 
2
,
4
,
1
SR 




Observe então que a distância entre r e s é igual à altura do
paralelepípedo.

11. A distância entre r e s é igual à altura do paralelepípedo.
Lembre-se de que, o volume desse
paralelepípedo pode ser calculado com,








SR
,
v
,
v
V s
r


h
S
V base 

Assim,










SR
,
v
,
v
h
S s
r
base


base
s
r
S
SR
,
v
,
v
h










s
r
s
r
v
v
SR
,
v
,
v
h 












Então,
s
r
s
r
v
v
SR
,
v
,
v
)
s
,
r
(
d 












 
1
,
3
,
2
vr 


 
1
,
1
,
1
vs 
 4
SR
,
v
,
v s
r 






 


Daí,
3
2
1
3
2 

1
1
1
1
1
 
5
,
3
,
2
v
v s
r 




Logo, .
.
38
4
25
9
4
4
)
,
( d
u
s
r
d 


