Apostila de algebra linear

Fortaleza, Fevereiro/2010
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
APOSTILA DE Álgebra Linear
Realização:

II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear
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Sumário
1. Matrizes .......................................................................................................................................................... 3
1.1. Operações com matrizes ............................................................................................................................. 4
1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz...................................................................................... 5
1.3. Questões ..................................................................................................................................................... 6
2. Determinantes ................................................................................................................................................ 7
2.1. Regra de Chió.............................................................................................................................................. 8
2.2. Teorema de Laplace .................................................................................................................................... 9
2.3. Questões ....................................................................................................................................................10
3. Sistemas Lineares ...........................................................................................................................................11
3.1. Método do escalonamento.........................................................................................................................11
3.2. Regra de Cramer ........................................................................................................................................13
3.3. Questões ....................................................................................................................................................13
4. Vetores...........................................................................................................................................................14
4.1. Adição de Vetores ......................................................................................................................................15
4.2. Multiplicação por escalar ...........................................................................................................................15
4.3. Questões ....................................................................................................................................................16
5. Operações com vetores..................................................................................................................................16
5.1. Módulo.......................................................................................................................................................16
5.2. Produto escalar (ou produto interno) .........................................................................................................16
5.3. Produto vetorial (ou produto externo)........................................................................................................17
5.4. Questões ....................................................................................................................................................19
6. Espaços vetoriais ............................................................................................................................................19
6.1. Questões ....................................................................................................................................................21
7. Subespaços vetoriais ......................................................................................................................................22
7.1. Questões ....................................................................................................................................................24
8. Interseção, união e soma de subespaços........................................................................................................25
8.1. Interseção ..................................................................................................................................................25
8.2. Soma..........................................................................................................................................................26
8.3. União .........................................................................................................................................................27
8.4. Questões ....................................................................................................................................................27
9. Combinação linear..........................................................................................................................................27
9.1. Questões ....................................................................................................................................................28
10. Subespaços gerados ...................................................................................................................................29
10.1. Questões ....................................................................................................................................................30
11. Dependência e Independência Linear.........................................................................................................31
11.1. Questões ....................................................................................................................................................32
12. Base de um espaço vetorial........................................................................................................................33
12.1. Questões ....................................................................................................................................................36
13. Dimensão ...................................................................................................................................................36
13.1. Questões ....................................................................................................................................................37
14. Mudança de base .......................................................................................................................................38
14.1. A inversa da matriz de mudança de base ...................................................................................................39
14.2. Questões ....................................................................................................................................................40

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1. Matrizes
Sejam m e n inteiros positivos. Chama-se matriz m × n (sobre R) qualquer lista ordenada de m-n
números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Os números que constituem uma matriz são chamados
de termos da matriz.
Uma matriz A, m × n, pode ser denotada como se segue:
A =
a11 ⋯ a1n
⋮ ⋱ ⋮
am1 ⋯ amn
Ou, simplesmente, A = (aij), onde 1 < 𝑖 < 𝑚 e 1 < 𝑗 < 𝑛. Notamos que os índices i e j indicam a
posição que o termo ocupa na matriz. O termo aij está na i-ésima linha e na j-ésima coluna.
Seja A = (aij ) uma matriz n × n. Chama-se diagonal principal, ou simplesmente diagonal da matriz A,
a lista ordenada (a11, a22, . . . , ann ). Chama-se diagonal secundária da matriz A, a lista ordenada
(a1n, a2(n−1), an1). A soma dos índices dos termos da diagonal secundária é sempre igual a n+1.
 Igualdade de Matrizes:
Sendo A = (aij), e B = (bij ), matrizes, A e B são iguais, se e somente se, aij = bij para quaisquer
valores de i e de j.
 Tipos de Matrizes:
o Chama-se matriz linha toda matriz 1 × 𝑛, ou seja, toda matriz constituída de uma só linha.
o Chama-se matriz coluna toda matriz 𝑚 × 1, ou seja, toda matriz constituída de uma só
coluna.
o Chama-se matriz nula aquela cujos termos são todos nulos.
o Uma matriz 𝑚 × 𝑛 chama-se quadrada se 𝑚 = 𝑛.
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular superior se todos os termos que ficam
abaixo da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 > 𝑗.
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular inferior se todos os termos que ficam
acima da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 < 𝑗.
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se diagonal se todos os termos fora da diagonal
principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 ≠ 𝑗.
o Chama-se matriz identidade 𝑛 × 𝑛 a matriz diagonal 𝑛 × 𝑛 cujos termos da diagonal principal
são todos iguais a 1. Ela é denotada por 𝐼 𝑛 ou simplesmente por I.
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 para quaisquer que sejam i
e j, isto é, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são iguais.
o Exemplos:
2 −1
−1 0
,
5 1 3
1 0 2
3 2 1
, 𝐼 𝑛, toda matriz diagonal.
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se anti-simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 para quaisquer que
sejam i e j, ou seja, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são
números reais simétricos e os termos da diagonal são todos nulos.

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o Exemplos:
0 1
−1 0
,
0 4 8
4 0 −1
−8 1 0
, matriz quadrada nula.
1.1. Operações com matrizes
 Adição de Matrizes:
Sejam A = (aij ), e B = (bij ) matrizes m × n. Definimos a soma das matrizes A e B como sendo a
matriz A + B = (cij), em que cij = aij + bij. Ou seja, somar A com B consiste em somar termos
correspondentes.
Propriedades (1): Para quaisquer matrizes m × n, A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ), as seguintes
propriedades são válidas:
o Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C;
o Comutatividade: A + B = B + A;
o Elemento neutro: A + O = A, onde O é a matriz m × n nula;
o Matriz oposta: A + (-A) = O, onde −A = (aij ). Chamamos (–A) de matriz oposta de A;
o Multiplicação de um escalar por uma matriz: Sejam x ∈ R e A = (aij ) uma matriz
m × n. Definimos o produto da matriz A pelo escalar x como x. A = (x. aij). Isto é,
multiplicar x por A consiste em multiplicar x por todos os termos de A.
Propriedades (2): Para quaisquer que sejam as matrizes m × n, A = (aij ) e B = (bij ) e os números
reais x e y, valem as seguintes propriedades:
o x.(A + B) = x.A + x.B (Distributiva para escalar)
o (x + y).A = x.A + y.A (Distributiva para matrizes)
o x.(y.A) = (xy).A (Associativa)
o 1.A = A (1 é o escalar que representa o elemento neutro dessa operação)
 Multiplicação de Matrizes:
Seja A = (aij ) uma matriz m × n. Denotaremos por Ai a i-ésima linha de A e Aj
a j-ésima coluna de A.
Isto é:
𝐴𝑖 = 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑛 e 𝐴 𝑗
=
𝑎1𝑗
𝑎2𝑗
⋮
𝑎 𝑚𝑗
Sejam A = (aij) uma matriz m × n e B = (bjk ) uma matriz n × p. Definimos o produto da matriz A pela
matriz B como A. B = C = (cij ) = aij bjk
n
j=1 .
Observação 1: O produto A.B é uma matriz m × p;
Observação 2: O termo de A.B que se situa na i-ésima linha e na j-ésima coluna é Ai. Bk
.
Observação 3: Quando existe uma matriz A−1
tal que A. A−1
= I, dizemos que A é uma matriz
invertível, e chamamos A−1
de matriz inversa de A.

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 Propriedades:
o Se A é uma matriz m × n, então A. In = Im . A. Isso indica que a matriz identidade é o
elemento neutro para a multiplicação de matrizes.
o Se A é uma matriz m × n e B e C são matrizes n × p, então A(B + C) = AB + AC, ou
seja, a multiplicação se distribui à esquerda em relação à soma de matrizes.
o Para as mesmas matrizes A, B e C, temos (A + B) = BA + CA, ou seja, a multiplicação
se distribui à direita em relação à soma de matrizes.
o Seja A uma matriz m × n, B uma matriz n × p e x ∈ ℝ, então x. (AB) = A(x. B).
o Se A, B e C são, respectivamente, matrizes m × n, n × p e p × q, então A(BC) =
(AB)C (comutatividade).
 Transposição de Matrizes:
Seja A uma matriz m × n, definimos a transposta de A como sendo a matriz n × m At
= (bji ), em que
bji = aij.
Exemplo:
2 3 4 5
−1 0 2 1
𝑡
=
2 −1
3 0
4 2
5 1
Propriedades: Sejam x um número real, A e B matrizes m × n e C uma matriz n × p. Então valem as
seguintes propriedades:
o At t
= A
o (A + B)t
= At
+ Bt
o (xA)t
= x(A)t
o (BC)t
= Ct
Bt
1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz
Seja A uma matriz m × n. Chama-se operação elementar com linhas de A qualquer uma das
operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A;
Multiplicação de uma linha de A por um número real não nulo;
Substituição de Ai por Ai + xAj, em que j ≠ i e x é um número real qualquer.
Exemplo:
3 0 3 12
2 1 −1 3
1
3
𝐴1
1 0 1 4
2 1 −1 3
𝐴2−2𝐴1 1 0 1 4
0 1 −3 −5
A primeira operação acima consistiu em multiplicar a primeira linha por 1/3 e a segunda operação em
substituir a segunda linha por ela mais (-2) vezes a primeira (A2 − 2A1).

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Sejam A e B matrizes m × n. Dizemos que A é linha-equivalente a B se B pode ser obtida a partir de A
através de operações elementares com linhas. (No exemplo anterior, notamos que a primeira matriz é
linha-equivalente à terceira)
Matriz na forma escada:
Seja A uma matriz m × n. Dizemos que A é uma matriz na forma escada, se as seguintes condições
são satisfeitas:
As possíveis linhas nulas ficam abaixo das possíveis linhas não nulas.
O primeiro termo não nulo de cada linha não nula é igual a 1.
Os demais termos da coluna à qual pertence o primeiro termo não nulo de uma linha não nula são
todos nulos.
A coluna à qual pertence primeiro termo não nulo de uma linha não nula fica à direita do primeiro
termo não nulo da linha anterior, isto é, se p é o número de linhas não nulas e se o primeiro termo não
nulo da i-ésima linha não nula ocorre na ki-ésima coluna, então k1 < k2 < ⋯ < kp.
Exemplos:
1 0 1 4
0 1 −3 5
,
1 0 0 −1
0 0 1 5
0 0 0 0
,
1 −2 0 0
0 0 1 3
0 0 0 0
, O, I.
Teorema: Toda matriz m × n é linha-equivalente a uma matriz na forma escada.
Exemplo:
2 3 −1
−4 0 2
1 1 3
1
2
A1 1 3/2 −1/2
−4 0 2
1 1 3
A2+4A1
A3−A1
1 3/2 −1/2
0 6 0
0 −1/2 7/2
1
6
A2
1 3/2 −1/2
0 1 0
0 −1/2 7/2
A1−
3
2
A2
A3+
1
2
A2
1 0 −1/2
0 1 0
0 0 7/2
1
7
A3 1 0 −1/2
0 1 0
0 0 1
A1+
1
2
A3 1 0 0
0 1 0
0 0 1
1.3. Questões
1) Se A =
1 −2
3 −6
e B =
4 2
2 1
, calcule AB e BA.

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2) Se A=
3 −2
−4 3
, ache B, de modo que B2
= A.
3) Suponha que A≠0 e AB=AC onde A,B,C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.
a) B=C?
b) Se existir uma matriz Y, tal que YA=I, onde I é a matriz identidade, então B=C?
4) Diz-se que as matrizes A e B são comutativas se AB = BA. Encontre todas as matrizes
x y
z w
que
sejam comutativas com
1 1
0 1
5) Seja A =
2 2
3 −1
.
a) Encontre A2 e A3 .
b) Se f x = x3
− 3x2
− 2x + 4 , encontre f A
c) Se g x = x2
− x − 8, encontre g(A)
6) Para cada uma das matrizes a seguir, encontra uma matriz na forma escada, à qual a matriz dada
é linha equivalente.
a)
2 1 5
6 3 15
b)
2 0 −2 0
0 2 −1 0
c)
2 1 5
1 −3 6
d)
1 2 1 0
−1 0 3 5
1 −2 1 1
e)
2 −1 3
1 4 2
1 −5 1
4 16 8
f)
0 2 0 2
1 1 0 3
3 −4 0 2
2 −3 0 1
7) Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução,
que (𝐴𝐵𝐴−1
) 𝑛
= 𝐴𝐵 𝑛
𝐴−1
para todo inteiro positivo n.
2. Determinantes
Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Seu cálculo é feito
somando os termos ligados pelas diagonais paralelas à diagonal principal, e subtraindo deste valor a soma
dos produtos dos termos ligados pelas setas paralelas à diagonal secundária:

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Temos que:
det A = (a11 ∙ a22 ∙ a33 + a12 ∙ a23 ∙ a31 + a21 ∙ a32 ∙ a13) − (a13 ∙ a22 ∙ a31 + a12 ∙ a21 ∙ a33 + a23 ∙ a32
∙ a11)
Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n, e x um escalar qualquer, essas são algumas das
propriedades dos seus determinantes:
o det(x ∙ A) = xn
∙ det A
o det A = det⁡(At
)
o Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante
desta matriz será zero.
o Se A tem duas filas iguais, então detA = 0
o Se permutarmos duas linhas ou colunas de A, então o determinante muda de sinal.
o Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det AB = detA. det⁡B
Observação 1: O determinante de uma matriz triangular ou diagonal é o produto dos termos de sua
diagonal principal.
Observação 2: O determinante permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são
precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.
A. A−1
= I, aplicando determinante dos dois lados, temos:
det A. A−1
= detI
detA. det A−1
= 1
det A−1
=
1
det A
Assim, se o determinante da matriz A for nulo, a matriz inversa não pode existir.
2.1. Regra de Chió
Através dessa regra é possível diminuir de n para (n − 1) a ordem de uma matriz quadrada A sem
alterar o valor do seu determinante.
A regra prática de Chió consiste em:
1) Escolher um elemento aij = 1 (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o
elemento 1).
2) Suprimir a linha i e a coluna j do elemento aij = 1, obtendo-se o menor complementar do
referido elemento.

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3) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam
nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas.
4) Multiplicar o determinante obtido no item anterior por (−1)i+j
onde i e j designam as ordens da
linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1 do primeiro item.
Exemplo:
det 𝐴 =
1 5 7
2 4 3
3 2 4
=
4 − 5.2 3 − 2.7
2 − 3.5 4 − 3.7
. (−1)1+1
=
−6 −11
−13 −17
= 6.17 − 13.11 = −41
2.2. Teorema de Laplace
Chama-se de menor complementar (Dij) de um elemento aij de uma matriz quadrada A o determinante
que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem a seguir:
A =
2 0 3
5 7 9
3 5 1
, podemos escrever:
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A. Pela definição, D23 será igual ao
determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:
D23 =
2 0
3 5
= 2.5 − 3.0 = 10
Chama-se de cofator de um elemento aij de uma matriz o seguinte produto:
cof aij = (−1)i+j
. Dij
Assim, por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior é igual a:
cof a23 = (−1)2+3
. D23 = (−1)5
. 10 = −10
Observações sobre o teorema:
o O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma
fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
o Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já
conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só
recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. Seu uso
possibilita diminuir a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de
4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem.
o Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha
ou coluna) que contenha mais zeros, para que seu produto seja nulo.

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2.3. Questões
1) Dadas as matrizes A =
1 2
1 0
e B =
3 −1
0 1
, calcule
a) det 𝐴 + det 𝐵
b) det(A + B)
2) Sejam A e B matrizes do tipo n × n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas:
a) det(AB) = det(BA)
b) det A’ = det A
c) det(2A) = 2 det A
d) det(A²) = (det A)²
3) Calcule o det A, onde:
a) A =
3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
b) A =
i 3 2 −i
3 −i 1 i
2 1 −1 0
−i i 0 1
4) Prove que
𝑎1 0 0 0
𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4
𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4
𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4
= 𝑎1
𝑏2 𝑏3 𝑏4
𝑐2 𝑐3 𝑐4
𝑑2 𝑑3 𝑑4
5) Mostre que det
1 1 1
a b c
a² b² c²
= a − b b − c (c − a).
6) Verdadeiro ou falso?
a) Se det A = 1, então A-1 = A.
b) Se A é uma matriz triangular superior e A-1 existe, então também A-1 será uma
matriz triangular superior.
c) Se A é uma matriz escalar n × n da forma kIn, então det A = kn
.
d) Se A é uma matriz triangular, então det A = a11+. . . +ann .
7) Calcule
a2
(a + 2)2
(a + 4)2
(a + 2)2
(a + 4)2
(a + 6)2
(a + 4)2
(a + 6)2
(a + 8)2
.

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8) Mostre que
cos2a cos2
a sen2
a
cos2b cos2
b sen2
b
cos2c cos2
c sen2
c
= 0.
3. Sistemas Lineares
 Definição 1: Seja 𝑛 um inteiro positivo. Chama-se equação linear a 𝑛 incógnitas toda equação
do tipo 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 em que 𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎 𝑛, 𝑏 são constantes reais e 𝑥1, 𝑥2, ...,
𝑥 𝑛 são incógnitas. Chamamos cada 𝑎𝑖 de coeficiente de 𝑥𝑖 e 𝑏 de termo independente da
equação.
 Definição 2: Sejam 𝑚 e 𝑛 inteiros positivos. Chama-se sistema linear a 𝑚 equações e 𝑛
incógnitas todo sistema com m equações lineares, todas às mesmas n incógnitas.
Denotaremos o sistema citado como se segue:
a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ⋯ + a2nxn = b2
⋮
a31x1 + a32x2 + ⋯ + a3nxn = b3
Chama-se solução do sistema toda lista ordenada (x1, x2, … , xn) de números reais que satisfaz a
todas as equações do sistema linear e chama-se conjunto solução do sistema o conjunto constituído de
todas as soluções.
Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível
indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos.
3.1. Método do escalonamento
O método do escalonamento consiste em transformar uma matriz qualquer em uma matriz na
forma escada através de operações elementares com linhas. O objetivo disso é resolver sistemas lineares.
Para tanto, devemos saber que cada sistema linear tem duas matrizes correspondentes: uma chamada
matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema e outra chamada matriz completa do sistema.
Listemos a seguir as matrizes referentes a um sistema genérico:
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn
Matriz incompleta
Matriz completa

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Se A é a matriz dos coeficientes, X =
x1
x2
⋮
xn
e B =
b1
b2
⋮
bm
, então o sistema pode ser representado
(matricialmente) pelas seguintes equações:
A1. X = b1
A2. X = b2
⋮
Am . X = bm
O método do escalonamento para resolver um sistema linear cuja matriz completa é C consiste
em encontrar uma matriz C’, tal que C’ seja linha-equivalente a C e o sistema cuja matriz é C’ já explicite o
seu conjunto solução. Para tanto, essa matriz deverá estar na forma escada.
Exemplo: Resolvamos o sistema
2x + 3y − z = 6
−4x + 2z = −1
x + y + 3z = 0
, que tem a seguinte matriz completa:
2 3 −1 6
−4 0 2 −1
1 1 3 0
Devemos operar essa matriz com linhas, de maneira a deixar a matriz dos coeficientes na forma
escada.
2 3 −1 6
−4 0 2 −1
1 1 3 0
→
1 3/2 −1/2 3
−4 0 2 −1
1 1 3 0
→
→
1 3/2 −1/2 3
0 6 0 11
0 −1/2 7/2 3
→
1 3/2 −1/2 3
0 1 0 11
0 −1/2 7/2 3
/6 →
→
1 0 −1/2 1/4
0 1 0 11/6
0 0 7/2 −25/12
→
1 0 −1/2 1/4
0 1 0 11/6
0 0 1 −25/42
→
1 0 0 −1/21
0 1 0 11/6
0 0 1 −25/42
Assim, o sistema inicial é equivalente a
x = −1/21
y = 11/6
z = −25/42
. Portanto, está resolvido.
Observações:
o Um sistema linear AX = B chama-se homogêneo se B = O. Isto é, se todos os termos
independentes são nulos. Neste caso, uma solução óbvia é a trivial, composta apenas de
zeros. (Por exemplo, para n = 3, a solução trivial é (0,0,0).)
o Se, num sistema linear homogêneo, o número de incógnitas é maior do que o número de
equações, ele admite solução não trivial.
o Se m = n, então o sistema linear AX = B tem uma única solução, então A é linha-
equivalente a In.

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3.2. Regra de Cramer
A regra de Cramer é utilizada para a resolução de um sistema linear a partir do cálculo de
determinantes. Vamos considerar aqui um sistema linear Ax = B, sendo x uma matriz de incógnitas.
Seja A uma matriz invertível n × n e seja B ∈ ℝn
. Seja Ai a matriz obtida substituindo a i-ésima
coluna de A por B. Se x for a única solução de Ax = B, então
xi =
det⁡(Ai)
det⁡(A)
para i = 1,2, … , n
Com i variando até n, é possível encontrar as matrizes-solução do sistema, e descobrir se ele é
possível determinado (quando há somente uma matriz-solução), possível indeterminado (infinitas
matrizes-solução) ou impossível (nenhuma solução).
Exemplo: Considerando o sistema de equações:
x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 2x2 + x3 = 6
x1 + 2x2 + 3x3 = 9
Solução:
det A =
1 2 1
2 2 1
1 2 3
= −4
det A1 =
5 2 1
6 2 1
9 2 3
= −4 det A2 =
1 5 1
2 6 1
1 9 3
= −4 det A3 =
1 2 5
2 2 6
1 2 9
= −8
Portanto:
x1 =
−4
−4
= 1 x2 =
−4
−4
= 1 x3 =
−8
−4
= 2
Então temos como solução a matriz x =
1
1
2
e o sistema é possível determinado.
3.3. Questões
1) Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) única solução, (ii)
nenhuma solução, (iii) mais de uma solução.
a)
𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 1
b)
𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 2
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
2) Ache as soluções dos problemas dados ou prove que não existem soluções

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c)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 3𝑦 + 7𝑧 = 0
3𝑥 − 2𝑦 + 8𝑧 = 4
d)
x − y + 2z = 4
3x + y + 4z = 6
x + y + z = 1
e)
2x − y + 5y = 19
x + 5y − 3z = 4
3x + 2y + 4z = 25
f)
x + 3y + z = 0
2x + 7y + 4z = 0
x + y − 4z = 0
3) Dado o sistema:
1 2
1 0
0 −1
2 −1
1 2
3 4
2 −1
4 −3
𝑥
𝑦
𝑧
𝑤
=
2
2
4
8
a) Encontre uma solução dele sem resolvê-lo (atribua valores para x, y, z e w).
b) Resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matriz-solução.
c) Resolva também o sistema homogêneo associado.
d) Verifique que toda matriz-solução obtida em (b) é a soma de uma matriz-solução
encontrada em (c) com a solução particular que você encontrou em (a).
4) Dado o sistema linear:
3𝑥 + 5𝑦 + 12𝑧 − 𝑤 = −3
𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 − 𝑤 = −6
2𝑦 + 2𝑧 + 𝑤 = 5
a) Discuta a solução do sistema.
b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que
torne o sistema impossível.
5) Dê o conjunto solução do seguinte sistema linear:
𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 − 8𝑥4 = 1
𝑥1 + 4𝑥2 + 13𝑥3 − 3𝑥4 = 1
−2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 + 21𝑥4 = −2
3𝑥2 + 8𝑥3 + 5𝑥4 = 0
4. Vetores
Um vetor é definido por três características: intensidade, direção e sentido. Força, deslocamento
e velocidade são representados por vetores, mas um vetor pode ser bem mais do que isso. Ao longo do
curso de Álgebra Linear, o seu conceito será desenvolvido de forma bem mais ampla. Soluções de
sistemas lineares poderão, por exemplo, ser representadas por vetores.

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Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apresentar uma origem e uma extremidade.
Os segmentos orientados cuja origem é o ponto (0,0) são chamados de vetores no plano, e são muito
mais fáceis de trabalhar. Para representá-lo, basta indicar o par ordenado que corresponda à sua
extremidade, pois já conhecemos seu ponto inicial. A definição segue para vetores no espaço, caso em
que a origem dos vetores é o ponto (0,0,0), e assim por diante.
De tal forma, para representar um vetor V = OP com ponto inicial na origem, usa-se usualmente
a notação de coordenadas V = (a, b, c), mas também existe a notação de matriz coluna V =
a
b
c
e matriz
linha V = a b c .
Com essas notações, a soma de vetores e a multiplicação do vetor por um escalar são operações
que ficam bem mais simples.
4.1. Adição de Vetores
Propriedades:
o Associatividade: A + B + C = A + B + C, ∀ A, B, C ∈ ℝn
o Comutatividade: A + B = B + A, ∀ A, B ∈ ℝn
.
o Elemento neutro:
o Seja O o vetor nulo. Então A + O = A, para qualquer A ∈ ℝn
. Assim, O é o elemento neutro
em relação à operação de adição, o qual chamaremos de elemento nulo de ℝn
.
o Elemento oposto:
o Dado A = a1, a2, … , an , denotaremos por – A o vetor (−a1, −a2, … , −an). Então
A + (−A) = O. Chamaremos (−A) de elemento oposto a A.
o Considerando que: A − B = A + −B e as quatro propriedades anteriores, teremos três
propriedades conseqüentes:
1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐶 ⟹ 𝐵 = 𝐶
2. 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 ⟹ 𝐴 = 𝐶 − 𝐵
3. 𝐴 + 𝐴 = 𝐴 ⟹ 𝐴 = 𝑂
Exemplo:
Sendo v = 1,2 e w = (3,5), temos:
v + w = 1,2 + 3,5
v + w = (4,7)
Do mesmo modo, 2v = (2,4).
4.2. Multiplicação por escalar
Sejam A = (a1, a2, … , an) ∈ ℝn
e λ ∈ ℝ. Definimos a multiplicação de A por λ como sendo:
λ ∙ A = (λa1, λa2, … , λan)

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A seguir as propriedades de vetores:
1. Associativa na adição:
2. Comutativa:
3. Existência de elemento neutro na adição:
4. Existência de elemento oposto:
5. Distributiva por vetor:
6. Distributiva por escalar:
7. Associativa na multiplicação:
8. Existência de elemento neutro na multiplicação:
4.3. Questões
1) Determine o vetor X, tal que , para vetores V e U dados.
2) Determine os vetores X e Y, tal que e para vetores V e U
dados.
5. Operações com vetores
5.1. Módulo
Seja , definimos o módulo ou a norma de um vetor como sendo:
Observação: para , note que o módulo de um vetor é o seu comprimento. Chamaremos de
vetor unitário todo vetor cuja norma é 1.
5.2. Produto escalar (ou produto interno)
Sejam e dois vetores não nulos nos reais. Considere os vetores
A+B e A - B.
Temos que se, e somente se , pois as diagonais de um paralelogramo só são
iguais se o paralelogramo é um retângulo. Como consequência dessa condição podemos observar que:

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𝐴 ⊥ 𝐵 ⟺ 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + … + 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 0
Esta condição é necessária para que dois vetores sejam perpendiculares.
Sejam 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛 ) e 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏 𝑛 ) dois vetores quaisquer em ℝ 𝑛
. O produto escalar é
definido como a multiplicação termo a termo e a soma dos produtos:
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + … + 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛
Assim, dois vetores não nulos 𝐴 e 𝐵 em ℝ 𝑛
são perpendiculares apenas se 𝐴 ∙ 𝐵 = 0.
Propriedades do produto escalar:
i. 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ 𝑛
ii. 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶, para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ 𝑛
iii. 𝐴 ∙ 𝜆𝐵 = 𝜆 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝜆𝐴 ∙ 𝐵, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ 𝑛
e qualquer 𝜆 ∈ ℝ
iv. 𝐴 ∙ 𝐴 ≥ 0, para qualquer 𝐴 ∈ ℝ 𝑛
e 𝐴 ∙ 𝐴 = 0 ⟺ 𝐴 = 𝑂
A norma (ou módulo) de um vetor pode ser caracterizada pelo produto escalar: 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴, como é
provado a seguir:
𝐴 ∙ 𝐴 = 𝑎1 𝑎1 + 𝑎2 𝑎2 + … + 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛
𝐴 ∙ 𝐴 = 𝑎1
2 + 𝑎2
2 + … + 𝑎 𝑛
2
𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴
5.3. Produto vetorial (ou produto externo)
Consideremos dois vetores em 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) e 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3). Queremos encontrar um vetor 𝐶, em
ℝ3
, de preferência não nulo, de tal forma que C seja simultaneamente perpendicular a A e a B.
Devemos ter 𝐶. 𝐴 = 0 e 𝐶. 𝐵 = 0. Se 𝐶 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), então:
𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑦 + 𝑎3 𝑧 = 0
𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑏3 𝑧 = 0
Tentaremos resolver este sistema. Para isso, começaremos multiplicando a primeira equação por 𝑏2, a
segunda por −𝑎2 e, em seguida, somaremos as duas equações.
A seguinte equação é obtida:
𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 . 𝑥 = 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 . 𝑧
Depois, multiplicando a primeira equação do sistema acima por −𝑏1, a segunda por 𝑎1 e, em seguida,
somando as duas equações, chegamos a:

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Enfim, temos as seguintes equações:
Agora fica fácil visualizar os valores das variáveis. Se x assumir o valor do coeficiente de z na primeira
equação, y assumi o valor do coeficiente de z na segunda equação, basta que z assuma o valor dos
coeficientes de x e de y (que são iguais) para as equações serem verdadeiras. O conjunto-solução é:
Há mais soluções do sistema. Contudo, esta é especialmente chamada de produto vetorial de A por B e
será denotado por 𝐴 × 𝐵.
Note que 𝐴 × 𝐵 é o determinante formal:
em que
Observe ainda que: , visto que cada gerador (pois temos os
três vetores que formam a base de ) está num eixo diferente, x, y ou z.
Nós o chamamos de determinante formal uma vez que não é um determinante formado só por números.
A primeira linha é constituída de vetores.

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Como vimos, o produto vetorial de dois vetores já surgiu com uma propriedade importante: é um vetor
simultaneamente perpendicular aos dois vetores. Vejamos a seguir mais propriedades do produto
vetorial:
i. 𝐴 × 𝐵 = −(𝐵 × 𝐴) ∈ ℝ3
ii. 𝐴 × (𝜆𝐵) = 𝜆(𝐴 × 𝐵) = (𝜆𝐴) × 𝐵, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ3
iii. 𝐴 × 𝜆𝐴 = 0, para qualquer 𝐴 ∈ ℝ3
iv. 𝐴 × 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 + (𝐴 × 𝐶) e
(𝐵 + 𝐶) × 𝐴 = (𝐵 × 𝐴) + (𝐶 × 𝐴), para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3
v. (𝐴 × 𝐵) × 𝐶 = (𝐴. 𝐶)𝐵 − (𝐵. 𝐶)𝐴, para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3
vi. (𝐴 × 𝐵). (𝐴 × 𝐵) = (𝐴. 𝐴)(𝐵. 𝐵) − (𝐴. 𝐵)2
vii. Se A e B são dois vetores não nulos de ℝ3
e θ é a medida do ângulo formado por A e B, então:
𝐴 × 𝐵 = 𝐴 . 𝐵 . 𝑠𝑒𝑛θ
viii. (Produto misto) 𝐴. 𝐵 × 𝐶 =
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑐1 𝑐2 𝑐3
, em que 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), e
𝐶 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3)
5.4. Questões
1) Ache dois vetores mutuamente ortogonais e ortogonais ao vetor (5, 2, -1).
2) Calcule 𝑢. 𝑣, onde:
a) 𝑢 = (2, −3, 6) e 𝑣 = (8,2, −3)
b) 𝑢 = (1, −8,0,5) e 𝑣 = (3,6,4)
c) 𝑢 = (3, −5,2,1) e 𝑣 = (4,1, −2,5)
3) Sejam 𝑢 = (1, −2,5), 𝑣 = (3, 1, −2). Encontre:
a) 𝑢 + 𝑣
b) −6𝑢
c) 2𝑢– 5𝑣
d) 𝑢. 𝑣
4) Ache dois vetores mutuamente ortogonais de comprimento unitário, e ambos ortogonais ao vetor (2,-
1,3).
5) Determine o número real positivo c de maneira que os pontos (−1,1, 𝑐) e (−1,1, −𝑐) e a origem sejam
vértices de um triângulo retângulo em (0,0,0).
6) Sabendo que o ângulo entre os vetores (2, 1,-1) e (1,-1,m+2) é 60°, determine 𝑚.
7) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são (-1,-2,4), (-4,-2,0) e (3,-2,1).
6. Espaços vetoriais
Um espaço vetorial é um conjunto de vetores. As oito propriedades citadas acima devem ser satisfeitas,
além de duas operações: soma e multiplicação por escalar. Considerando dois vetores quaisquer de um

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espaço vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um
vetor de V por um escalar, o resultante também deve ser elemento de V.
Em resumo, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações:
 Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉;
 Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉.
Se uma dessas duas operações não for válida para um conjunto W, então é porque o conjunto não é um
espaço vetorial. Dizemos que um espaço vetorial é fechado em relação às duas operações (soma e
multiplicação por escalar). Para saber se um conjunto é um espaço vetorial, verifica-se se as duas
operações são válidas e depois se as oito propriedades dos vetores também são válidas.
Observação: O conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial. Deste modo, os vetores
desse espaço são matrizes 2x2.Tal conjunto é designado assim: 𝑉 = 𝑀 2,2 .
Exemplo: Seja o conjunto W = { 𝑎, 1 /𝑎 ∈ ℝ}. Com as duas operações de soma e multiplicação por
escalar definidas, verifique se W é um espaço vetorial.
Solução: Considere os elementos 3,1 e (5,1) ∈ 𝑊.
Assim,
i) Soma: 3,1 + 5,1 = (8,2) ∉ 𝑊
ii) Produto: 𝛼 3,1 = 3𝛼, 𝛼 ∉ 𝑊 𝑠𝑒 𝛼 ≠ 1, assim não é válido para todo 𝛼
Logo, W não é um conjunto fechado em relação a essas duas operações e, portanto, não é um espaço
vetorial.
Exemplo: Verifique se o conjunto ℝ3
é um espaço vetorial.
Solução: Sejam 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 , 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 e 𝑤 = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3) vetores de ℝ3
e 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.
i) Soma: 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) ∈ ℝ3
Multiplicação por escalar: 𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1, 𝛼𝑧1) ∈ ℝ3
ii)
1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2
= 𝑥2 + 𝑥1, 𝑦2 + 𝑦1, 𝑧2 + 𝑧1 = 𝑣 + 𝑢
2. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑥3, 𝑦3, 𝑧3
= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3, 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3, 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3
= 𝑥1 + (𝑥2 + 𝑥3 , 𝑦1 + (𝑦2 + 𝑦3), 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3)]
= 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)
3. ∃0 = 0,0,0 ∈ ℝ3
/ 𝑢 + 0 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 0,0,0 = 𝑥1 + 0, 𝑦1 + 0, 𝑧1 + 0
= 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
4. ∃ −𝑢 = −𝑥1, −𝑦1, −𝑧1 ∈ ℝ3
/ 𝑢 + −𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + −𝑥1, −𝑦1, −𝑧1
= 𝑥1 − 𝑥1, 𝑦1 − 𝑦1, 𝑧1 − 𝑧1
= 0,0,0 = 0
5. 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2
= 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝛼 𝑦1 + 𝑦2 , 𝛼 𝑧1 + 𝑧2
= (𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2, 𝛼𝑦1 + 𝛼𝑦2, 𝛼𝑧1 + 𝛼𝑧2)
= (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1, 𝛼𝑧1) + (𝛼𝑥2, 𝛼𝑦2, 𝛼𝑧2)
= 𝛼 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝛼 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2
= 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣
6. 𝛼 + 𝛽 𝑢 = 𝛼 + 𝛽 𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1, 𝛼𝑧1 = [ 𝛼 + 𝛽 𝑥1, 𝛼 + 𝛽 𝑦1, 𝛼 + 𝛽 𝑧1]
= [𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥1, 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦1, 𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧1]
= 𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1, 𝛼𝑧1 + (𝛽𝑥1, 𝛽𝑦1, 𝛽𝑧1)
= 𝛼 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝛽 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
= 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢
7. 𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 𝛼𝛽𝑥1, 𝛼𝛽𝑦1, 𝛼𝛽𝑧1 = [𝛼 𝛽𝑥1 , 𝛼 𝛽𝑦1 , 𝛼 𝛽𝑧1 ]
= 𝛼[(𝛽𝑥1), (𝛽𝑦1), (𝛽𝑧1)]
= 𝛼[𝛽 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 ]

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= 𝛼(𝛽𝑢)
8. 1𝑢 = 1 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 1𝑥1, 1𝑦1, 1𝑧1 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 𝑢
Exemplo: Considere em V = ℝ2
o produto por escalar usual, mas com a adição, a operação definida por:
𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 2𝑦2). Determine se V, com essas operações, é um espaço vetorial.
Solução:
i)
1. Soma: 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 2𝑦2) ∈ 𝑉
2. Produto por escalar: 𝛼 𝑥1, 𝑦1 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1) ∈ 𝑉
Logo, V é um espaço fechado em relação a essas duas operações. Portanto, temos que verificar as oito
propriedades.
ii)
1. Associativa na adição: 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 2𝑦2)
𝑣 + 𝑢 = 𝑥2, 𝑦2 + 𝑥1, 𝑦1 = (𝑥2 + 𝑥1, 𝑦2 + 2𝑦1)
Como 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 já não é satisfeita, não precisamos mais testar as outras propriedades. V não é
espaço vetorial.
Exemplo: O conjunto que contém um único objeto, com as operações definidas por:
𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 + 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜
 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜, com 𝛼 ∈ ℝ
Solução:
i) Da própria definição no enunciado, o conjunto é fechado em relação às operações de soma e
multiplicação por escalar e, portanto, não precisamos verificá-las;
ii) Substituindo 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 por 𝑥:
1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
𝑣 + 𝑢 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
⇒ 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
2.
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
⇒ 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤
3. Seja 𝑛 o vetor nulo. Logo, 𝑢 + 𝑛 = 𝑢 ⇒ 𝑥 + 𝑛 = 𝑥 ⇒ 𝑛 = 𝑥. Assim, existe vetor nulo, que
equivale ao próprio 𝑥.
4. Seja 𝑝 o vetor oposto. Logo, 𝑢 + 𝑝 = 𝑛 ⇒ 𝑥 + 𝑝 = 𝑥 ⇒ 𝑝 = 𝑥. Assim, existe vetor oposto, que
também equivale ao próprio 𝑥. O vetor oposto de 𝑢 é 𝑢.
5.
𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥 + 𝑥 = 𝛼𝑥 = 𝑥
𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
⇒  𝑢 + 𝑣 =  𝑢 +  𝑣
6.
 + 𝛽 𝑢 =  + 𝛽 𝑥 = 𝑥
 𝑢 + 𝛽𝑢 =  𝑥 + 𝛽𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
⇒ ( + 𝛽)𝑥 = 𝑎𝑢 + 𝛽𝑣
7.
 𝛽𝑢 =  𝛽𝑥 =  𝑥 = 𝑥
𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥 = 𝑥
 ⇒  𝛽𝑢 = β 𝑢
8. 1𝑢 = 1𝑥 = 𝑥 = 𝑢
6.1. Questões
1) Verifique que 𝑀 2,2 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 ∈ ℝ é um espaço vetorial com as operações.
2) Seja 𝐹 o conjunto de todas as funções reais, de variável real, ou seja 𝐹 = {𝑓: ℝ → ℝ}. O vetor soma
𝑓 + 𝑔, para quaisquer funções 𝑓 e 𝑔 em 𝐹 é definido por:
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
e para qualquer escalar 𝑟 ∈ ℝ e qualquer 𝑓 ∈ 𝐹 o produto 𝑟𝑓 é tal que:

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𝑟𝑓 𝑥 = 𝑟. 𝑓 𝑥
Mostre que 𝐹, com essas operações, é um espaço vetorial.
7. Subespaços vetoriais
Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só
que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V.
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não-vazio, será um subespaço vetorial de V se forem
válidas as mesmas duas operações de antes:
 Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉;
 Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉.
Se ambas as operações forem válidas em W, não é necessário verificar as oito propriedades dos vetores
para dizer que W é espaço vetorial, pois elas já são válidas em V, que contém W.
Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados triviais):
1. O conjunto formado somente pelo vetor nulo (a origem).
2. O próprio espaço vetorial: V é subconjunto de si mesmo.
Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de
multiplicação por escalar: quando 𝛼 = 0 ⇒ 𝛼𝑢 = 0.
Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que 𝑣 + 𝛼𝑢 ∈ 𝑊, para quaisquer
𝑣 𝑒 𝑢 ∈ 𝑉 e qualquer 𝛼 ∈ ℝ, em vez de checar as duas operações separadamente.
Exemplo: Em ℝ3
, os únicos subespaços são a origem, as retas e os planos que passam pela origem e o
próprio ℝ3
.
Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(3,3), ou seja, o conjunto das matrizes de ordem 3, e W o subconjunto das matrizes
triangulares superiores. W é subespaço de V?
Solução:
Está implícito que V é um espaço vetorial. Assim, verificamos as duas operações para W:
i)
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑑 𝑒
0 0 𝑓
+
𝑔 𝑕 𝑖
0 𝑗 𝑘
0 0 𝑙
=
𝑎 + 𝑔 𝑏 + 𝑕 𝑐 + 𝑖
0 𝑑 + 𝑗 𝑒 + 𝑘
0 0 𝑓 + 𝑙
∈ 𝑊
ii) 𝛼
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑑 𝑒
0 0 𝑓
=
𝛼𝑎 𝛼𝑏 𝛼𝑐
0 𝛼𝑑 𝛼𝑒
0 0 𝛼𝑓
∈ 𝑊
Logo, W é subespaço de V.
Observação: as matrizes triangulares inferiores formam um conjunto que também é subespaço, o que
também é o caso das matrizes diagonais e das simétricas.
Exemplo: Verifique se o conjunto-solução do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço de
𝑉 = 𝑀(3,1).
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
Solução: Temos o seguinte sistema:
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
𝑥
𝑦
𝑧
=
0
0
0

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Desta forma, estamos procurando, dentro do espaço vetorial 𝑀(3,1), os vetores que satisfazem o
sistema, isto é, o conjunto dos vetores-solução. Depois precisamos saber se esse conjunto é subespaço de
𝑀(3,1).
Assim, considere os vetores-solução:
𝑥1
𝑦1
𝑧1
e
𝑥2
𝑦2
𝑧2
i)
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
𝑥1
𝑦1
𝑧1
+
𝑥2
𝑦2
𝑧2
=
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
𝑥1
𝑦1
𝑧1
+
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
𝑥2
𝑦2
𝑧2
=
0
0
0
+
0
0
0
=
0
0
0
ii)
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
𝛼
𝑥1
𝑦1
𝑧1
= 𝛼
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
𝑥1
𝑦1
𝑧1
= 𝛼
0
0
0
=
0
0
0
O resultado de (i) e (ii) ainda pertence ao conjunto dos vetores-solução e, portanto, ele é subespaço de
𝑀(3,1).
Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ2
e 𝑊 = { 𝑥, 𝑥2
/ 𝑥 ∈ ℝ}. Verifique se W é subespaço de V.
Solução: Se escolhermos 𝑢 = 1,1 e 𝑣 = (2,4), temos 𝑢 + 𝑣 = (3,5) ∉ 𝑊. Logo, W não é subespaço.
Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛) e W o subconjunto de todas as matrizes em que 𝑎11 < 0. Verifique se W é
subespaço de V.
Solução:
i) A condição de soma é satisfeita, pois ainda gera uma matriz em que 𝑎11 < 0.
ii) Se fizermos 𝛼𝑀, com 𝛼 < 0, temos que 𝑎11 da nova matriz será maior que zero.
Assim, W não é subespaço.
Exemplo: Verifique se o conjunto solução do sistema linear não-homogêneo abaixo é um subespaço.
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
Solução:
Temos o seguinte sistema:
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
1
0
e os seguintes vetores-solução:
𝑥1
𝑦1
𝑧1
e
𝑥2
𝑦2
𝑧2
.
Assim,
i)
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
.
𝑥1
𝑦1
𝑧1
+
𝑥2
𝑦2
𝑧2
=
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
.
𝑥1
𝑦1
𝑧1
+
2 4 1
1 1 2
1 3 −1
.
𝑥2
𝑦2
𝑧2
=
1
1
0
+
1
1
0
=
2
2
0
O vetor dos termos independentes resultante
2
2
0
é diferente do vetor do sistema linear
1
1
0
.
Logo, o conjunto dos vetores-solução não é um subespaço de M(3,1).
Exemplo: Seja 𝑆 = 𝑥1, 𝑥2 / 𝑥2 = 2𝑥1 . Sendo S subconjunto de ℝ2
, verifique se S é subespaço de ℝ2
.
Solução:
i) 𝑐1, 2𝑐1 + 𝑐2, 2𝑐2 = 𝑐1 + 𝑐2, 2𝑐1 + 2𝑐2 = 𝑐1 + 𝑐2, 2(𝑐1 + 𝑐2) ∈ 𝑆
ii)  𝑐1, 2𝑐1 =  𝑐1, 2 𝑐1 ∈ 𝑆
Exemplo: Verifique se 𝑊 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
/ 𝑦 = −2𝑥 + 1 é subespaço de ℝ2
.
Solução:
i) 𝑊 = 𝑥, −2𝑥 + 1 / 𝑥 𝜖 ℝ . Como (0,0) ∉ 𝑊, pode-se concluir que o subconjunto 𝑊não é um
subespaço vetorial de ℝ2
.
Exemplo: Verifique se 𝑊 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3
/ 𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = 6 é subespaço de ℝ3
.
Solução:

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i) 𝑊 = 6 + 2𝑦 + 4𝑧, 𝑦, 𝑧 ; 𝑦, 𝑧 𝜖 ℝ . Tomando 𝑦 = 0 e 𝑧 = 0 temos (6,0,0). Como (0,0,0) ∉
𝑊, então 𝑊não é um subespaço vetorial de ℝ3
.
7.1. Questões
1) Mostre que os seguintes subconjuntos de ℝ4
são subespaços
a) W = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4
/ x + y = 0 e z – t = 0}
b) U = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4
/ 2x + y – t = 0 e z = 0}
2) Considere o subespaço S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)] de ℝ4
.
a) O vetor (
2
3
, 1, -1, 2) pertence a S?
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
3) Nos problemas que seguem, determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial:
a) 𝑉 = ℝ3
, 𝑊1 = 𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥0𝑦, 𝑊2 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑥 = 𝑦 = 𝑧} e 𝑊3 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑥 = 𝑦}
b) 𝑉 = ℝ2
; 𝑊 = {(𝑥, 𝑦); 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1};
4) Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ℝ3
?
a) (x,y,z), tais que z = x3
b) (x,y,z), tais que z = x + y;
c) (x,y,z), tais que z >= 0;
d) (x,y,z), tais que z = 0 e xy >= 0;
e) (x,y,z), tais que x = z = 0;
f) (x,y,z), tais que x = -z;
g) (x,y,z), tais que y = 2x + 1;
h) (x,y,z), tais que z2
= x2
+ y2
.
5) Determine se W é subespaço de ℝ3
ou não, onde W consiste nos vetores (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℝ3
para os quais:
a) a = 2b
b)a ≤ b ≤ c
c)ab = 0
d)a = b = c

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6) Seja W o conjunto de todos os vetores em ℝ4
de forma (x, x+y, y, 2x + 3y), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
W é um subespaço de ℝ4
?
7) Seja W o conjunto de todos os vetores do ℝ3
da forma (x, y, x2
+ y2
), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
?
8) Seja W o conjunto de todos os vetores ℝ4
da forma (x, y, x+1, 2x + y – 3), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
?
9) Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim:
i) Reescreva W apresentando seu vetor genérico;
ii) Verifique se W é subespaço vetorial de V.
a) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4
; 𝑥 = 𝑦 e 𝑧 = 2𝑡} sendo 𝑉 = ℝ4
;
b) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem 𝑛 × 𝑛, sendo 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛);
c) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
; 𝑦 ≤ 0} sendo 𝑉 = ℝ2
;
d 𝑊 = {(𝑎, 2𝑎, 3𝑎); 𝑎 ∈ ℝ} sendo 𝑉 = ℝ3
.
10) Considere o subespaço de ℝ3
gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(1,1,1). O espaço
gerado por esses vetores é igual ao ℝ3
? Por quê?
8. Interseção, união e soma de subespaços
8.1. Interseção
Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 sempre será subespaço de V.
Prova: Inicialmente observamos que 𝑊1 ∩ 𝑊2 nunca é vazio, pois ambos contêm o vetor nulo de V. Assim,
basta verificar as condições de soma e produto por escalar apresentadas anteriormente para os
subespaços. Suponha então 𝑤 𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2
 W1 é subespaço ↔
𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1
𝛼𝑣 ∈ 𝑊1
 W2 é subespaço ↔
𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊2
𝛼𝑣 ∈ 𝑊2
, deste modo →
𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2
𝛼𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2
, 𝑊1 ∩ 𝑊2 é a reta de interseção dos planos 𝑊1 e 𝑊2.

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Exemplo:
Seja 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛) e
𝑊1 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑊2 = {𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠}
, então
𝑊1 ∩ 𝑊2 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 .
8.2. Soma
Podemos construir um conjunto que contenha 𝑊1 e 𝑊2 e ainda é subespaço de V. Este conjunto será
formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W1 com vetores de W2.
𝑊1 + 𝑊2 = 𝑢 ∈ 𝑉 / 𝑢 = 𝑣 + 𝑤 𝑐𝑜𝑚 𝑣 ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2
Prova:
Dados:
𝑢 = 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2
𝑢′ = 𝑤′ + 𝑣′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣′ ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤′ ∈ 𝑊2
Temos que:
𝑢 + 𝑢′ = 𝑤 + 𝑣 + 𝑤′ + 𝑣′ = 𝑣 + 𝑣′ + 𝑤 + 𝑤′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2
𝛼𝑢 = 𝛼 𝑤 + 𝑣 = 𝛼𝑤 + 𝛼𝑣 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛼𝑤 ∈ 𝑊1 𝑒 𝛼𝑣 ∈ 𝑊2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝛼𝑢 ∈ 𝑊1 + 𝑊2
Caso os dois subespaços sejam retas não-colineares, a soma deles equivale ao plano formado por elas.
Se as parcelas 𝑊1 e 𝑊2 têm interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 , a soma 𝑊1 + 𝑊2 é dita soma direta e é denotada
por 𝑊1⨁𝑊2.

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Exemplo: Seja 𝑊1 =
𝑎 𝑏
0 0
e 𝑊2 =
0 0
𝑐 𝑑
, onde a, b, c, d ∈ ℝ, então 𝑊1 + 𝑊2 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑀(2,2).
Esta é uma soma direta, pois 𝑊1 ∩ 𝑊2 =
0 0
0 0
= 0.
8.3. União
A união de dois subespaços 𝑊1 e 𝑊2, diferente da soma, é um conjunto que contém exatamente todos os
elementos de 𝑊1 e de 𝑊2. Deste modo, nem sempre a união de subespaços é um subespaço.
Exemplo:
𝑊1 = (𝑥, 0) / 𝑥 ∈ ℝ = 𝑥(1,0) / 𝑥 ∈ ℝ
𝑊2 = (0, 𝑦) / 𝑦 ∈ ℝ = 𝑦(0,1) / 𝑦 ∈ ℝ
W1 e W2 são retas que passam pela origem. Assim, 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 e 𝑊1 ∪ 𝑊2 é o feixe formado pelas
duas retas, que não é subespaço vetorial de ℝ3
. De fato, se somarmos os dois vetores 𝑣 𝑒 𝑤, vemos que
𝑣 + 𝑤 está no plano que contém 𝑊1 e 𝑊2, mas 𝑣 + 𝑤 ∉ 𝑊1 ∪ 𝑊2.
8.4. Questões
1) Sejam 𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4
|𝑥 + 𝑦 = 0 e 𝑧 − 𝑡 = 0} e 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4
|𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0}
subespaços de ℝ4
.
a) Determine 𝑊1 ∩ 𝑊2
b) Exiba uma base para 𝑊1 ∩ 𝑊2
c) Determine 𝑊1 + 𝑊2
d) 𝑊1 + 𝑊2 é soma direta? Justifique.
e) 𝑊1 + 𝑊2 = ℝ4
?
9. Combinação linear
Considere um conjunto de vetores qualquer, pertencente a um espaço vetorial V. Já foi mostrado que
somar estes vetores entre si em qualquer combinação resultará em um vetor pertencente a V. Também

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foi mostrado que multiplicar cada vetor por um escalar também gera um resultado pertencente a V, caso
contrário V não seria um espaço vetorial.
De fato, sejam 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉 e sejam os escalares 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛 ∈ ℝ. Então qualquer vetor 𝑣 da forma
𝑣 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + … + 𝑎 𝑛 𝑣𝑛
é um elemento do mesmo espaço vetorial V.
Por ter sido gerado pelos vetores primitivos 𝑣1, … , 𝑣 𝑛, o vetor 𝑣 é denominado o resultado de uma
combinação linear de 𝑣1, … , 𝑣 𝑛.
O conjunto de escalares {𝑎1, … , 𝑎 𝑛 } é arbitrário, mas sendo um conjunto de números reais, o vetor 𝑣
sempre pertencerá a V.
O vetor 𝑣 não é único, pois para cada combinação de escalares pode gerar um vetor 𝑣 diferente.
Exemplo: O vetor 𝑣 = (−4, −18,7) é combinação linear dos vetores 𝑣1 = 1, −3,2 e 𝑣2 = (2,4, −1), já
que 𝑣 pode ser escrito como 𝑣 = 2𝑣1 − 3𝑣2.
9.1. Questões
1) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3?
𝑥1 = 4,2, −3 , 𝑥2 = (2,1, −2) e 𝑥3 = (−2, −1,0)
a) (1,1,1)
b) 4,2, −6
c) −2, −1,1
d) (−1,2,3)
2) Escreva 𝐸 como combinação linear de 𝐴 =
1 1
0 −1
, 𝐵 =
1 1
−1 0
, 𝐶 =
1 −1
0 0
, onde:
a) 𝐸 =
3 −1
1 −2
b) 𝐸 =
2 1
−1 −2
3) Considere os vetores 𝑢 = (1, −3,2) e 𝑣 = (2, −1,1) em ℝ3
.
a) Escreva (1,7, −4) como combinação linear de 𝑢 e 𝑣.
b) Escreva (2, −5,4) como combinação linear de 𝑢 e 𝑣.
c) Para que valor de 𝑘 o vetor (1, 𝑘, 5) é uma combinação linear de 𝑢 e 𝑣?
d) Procure uma condição para 𝑎, 𝑏 e 𝑐 de modo que (𝑎, 𝑏, 𝑐) seja combinação linear de 𝑢 e 𝑣.
4) Determinar o valor de 𝑘 para que o vetor 𝑢 = (−1, 𝑘, −7) seja combinação linear de 𝑣1 = (1,3,2) e
𝑣2 = (2,4,1).

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10.Subespaços gerados
Um conjunto de vetores {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 } pode construir vetores 𝑣 por meio de combinação linear. Fazendo
todas as combinações possíveis (isto é, fazendo cada escalar ter todos os valores reais possíveis), o
conjunto constrói uma infinidade de vetores que compõem um conjunto expandido. Esse conjunto é um
subespaço vetorial. O conjunto 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 é chamado de conjunto de vetores de base, pois, em termos
formais, ele gerou o subespaço W, definido abaixo.
Definição: Um subespaço gerado por um conjunto de vetores 𝐵 = 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 é o conjunto de todos os
vetores V que são combinações lineares dos vetores 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉.
𝑊 = 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 = {𝑣 ∈ 𝑉 / 𝑣 = 𝑎1 𝑣1+. . . +𝑎𝑖 𝑣𝑖+. . . + 𝑎 𝑛 𝑣𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}
Obs.: A notação de colchetes informa que o conjunto W é o conjunto gerado por 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 . Não
confundir com o próprio conjunto gerador 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 . Ou seja, 𝑣1, 𝑣2 é um conjunto com infinitos
vetores formados da combinação destes dois e {𝑣1, 𝑣2} é um conjunto com apenas dois vetores.
e 𝑣 ∈ 𝑉 (sendo 𝑣 ≠ 0), então 𝑣 = {𝑎𝑣, 𝑎 ∈ ℝ} é a reta que contém o vetor 𝑣,
pois é o conjunto de todos os vetores com a mesma direção de 𝑣 que tem origem em (0,0).
Exemplo: Se 𝑣1, 𝑣2 ∈ ℝ3
são tais que 𝛼𝑣1 ≠ 𝑣2 qualquer que seja 𝛼 ∈ ℝ, então 𝑣1, 𝑣2 será o plano que
passa pela origem e contém 𝑣1 e 𝑣2:
A condição 𝛼𝑣1 ≠ 𝑣2 é importante para garantir que os dois vetores gerem um plano. Caso ela não seja
satisfeita, os vetores 𝑣1 e 𝑣2 seriam colineares, e não existira nenhuma combinação deles que pudesse
gerar um vetor que não pertencesse à reta que eles geram.

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Nota-se que um conjunto gerador de dois elementos que um é combinação linear do outro equivale a um
conjunto gerador com apenas um desses dois elementos.
Assim, se 𝑣3 ∈ 𝑣1, 𝑣2 , então 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 = 𝑣1, 𝑣2 , pois todo vetor que pode ser escrito como
combinação linear de 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 é uma combinação linear apenas de 𝑣1 e 𝑣2, já que 𝑣3 é combinação
linear de 𝑣1 e 𝑣2.
Exemplificando:
Seja 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} tal que 𝑣3 = 𝑝𝑣1 + 𝑞𝑣2.
Um elemento qualquer do conjunto gerado por B é da forma:
𝑣 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + 𝑎3 𝑣3 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + 𝑎3(𝑝𝑣1 + 𝑞𝑣2)
= 𝑎1 + 𝑝𝑎3 𝑣1 + 𝑎2 + 𝑞𝑎3 𝑣2 = 𝑏1 𝑣1 + 𝑏2 𝑣2
, 𝑣1 = (1,0) e 𝑣2 = (0,1).
Assim, 𝑉 = 𝑣1, 𝑣2 , pois dado 𝑣 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉, temos 𝑥, 𝑦 = 𝑥 1,0 + 𝑦(0,1), ou seja, 𝑣 = 𝑥𝑣1 + 𝑦𝑣2.
Exemplo: Seja 𝑣1 =
1 0
0 0
e 𝑣2 =
0 1
0 0
, então 𝑣1, 𝑣2 =
𝑎 𝑏
0 0
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ ℝ
Observa-se que se em um conjunto gerador existir algum vetor que é combinação linear de outros
elementos do próprio conjunto gerador, esse elemento é inútil. Eliminá-lo do conjunto gerador não
modifica o conjunto gerado. Tal propriedade pode ser verificada lembrando que a combinação linear é
uma soma de vetores, e que a parcela da soma do vetor que é gerado por outros pode ser substituída
pelos próprios vetores que o geram.
Assim, qualquer elemento do conjunto gerado por B pode ser escrito como combinação linear de apenas
𝑣1 e 𝑣2. Surge então a necessidade de verificar quando um vetor é combinação linear de outros.
10.1. Questões
1) Quais dos seguintes conjuntos de vetores é um conjunto gerador de ℝ4
?
a) {(1,0,0,1); (0,1,0,0); (1,1,1,1); (0,1,1,1)}
b) {(1, −1,0,2); (3, −1,2,1); (1,0,0,1)}
c) {(0,0,1,1); (−1,1,1,2);(1,1,0,0); (2,1,2,1)}
2) Resolva o seguinte sistema, usando a Regra de Cramer:
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 𝑦 = 3
𝑦 − 5𝑧 = 4

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11. Dependência e Independência Linear
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (freqüentemente indicado por LI) quando
nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros (lembrar o conceito de
combinação linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto de vetores é dito
linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros.
Sejam V um espaço vetorial e 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉.
Dizemos que o conjunto 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 ou que os vetores 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 são linearmente independentes (LI) se a
equação
𝑎1 𝑣1+. . . + 𝑎 𝑛 𝑣𝑛 = 0
admitir apenas a solução trivial, isto é: 𝑎1 = . . . = 𝑎 𝑛 = 0
Se existir algum 𝑎𝑗 ≠ 0, dizemos que 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 ou que os vetores 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 são linearmente
dependentes (LD).
Em outras palavras, o conjunto 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 é LD se, e somente se um destes vetores for combinação linear
dos outros.
Prova:
Sejam 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 LD e 𝑎1 𝑣1+. . . +𝑎𝑗 𝑣𝑗 +. . . + 𝑎 𝑛 𝑣 𝑛 = 0. Suponha que 𝑎𝑗 ≠ 0 (para ser LD).
Então 𝑣𝑗 =
−1
𝑎 𝑗
𝑎1 𝑣1+. . . +𝑎𝑗−1 𝑣𝑗−1 + 𝑎𝑗+1 𝑣𝑗+1+. . . + 𝑎 𝑛 𝑣 𝑛 .
Portanto, 𝑣𝑗 é combinação linear.
Por outro lado, se tivermos 𝑣1, … , 𝑣𝑗 , … , 𝑣 𝑛 tal que para algum 𝑗
𝑣𝑗 = 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑏𝑗−1 ∙ 𝑣𝑗−1 + 𝑏𝑗+1 ∙ 𝑣𝑗+1 + ⋯ + 𝑏 𝑛 ∙ 𝑣 𝑛
Então, 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯ − 𝑣𝑗 + ⋯ + 𝑏 𝑛 ∙ 𝑣 𝑛 = 0
Logo, 𝑏𝑗 = −1 e, portanto, V é LD.
A Independência Linear tem uma interpretação geométrica útil:
i) Seja 𝑉 = 𝑅2
e 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉. 𝑣1, 𝑣2 é LD se e somente se 𝑣1 e 𝑣2 estiverem na mesma reta quando
colocados com seus pontos iniciais na origem 𝑣1 = 𝜆 ∙ 𝑣2 *são pararlelos:

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ii) Seja 𝑉 = 𝑅3
e 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 e 𝑉. 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 é LD se estes 3 vetores estiverem no mesmo plano quando
colocados com seus pontos iniciais na origem:
Exemplo: Os vetores 1 (2,2,0)v 

, 2 (0,5, 3)v  

e 3 (0,0,4)v 

são LI ou LD?
Solução: Verificando a expressão 1 2 3(2,2,0) (0,5, 3) (0,0,4) (0,0,0)a a a   
1 1
1 2 2
2 3 3
2 0 0
2 5 0 0
3 4 0 0
a a
a a a
a a a
   
 
     
      
Logo, como o sistema admite somente a solução trivial, os vetores são LI.
11.1. Questões
1) Considere dois vetores (𝑎, 𝑏) e (𝑐, 𝑑) no plano. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0, mostre que eles são LD. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠
0, mostre que eles são LI.
2) Para quais valores de 𝑎 o conjunto de vetores {(3,1,0); (𝑎2
+ 2,2,0)} é LD?
3) Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes.
a) 𝑡2
− 2𝑡 + 3, 2𝑡2
+ 𝑡 + 8 e 𝑡2
+ 8𝑡 + 7

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b) 𝑡2
− 1, 𝑡 + 1 e 𝑡 + 2
4) Ache as relações lineares não triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores.
a) (2,1,1), 3, −4,6 e (4, −9,11) ∈ ℝ3
b) (2,1), (−1,3) e (4,2) ∈ ℝ2
c) (1,0,2,4), 0,1,9,2 e (−5,2,8, −16) ∈ ℝ4
R4
d) (1,4), 3, −1 e (2,5) ∈ ℝ2
5) Verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI: {(1,2𝑥, −𝑥2
), (2, −𝑥, 3𝑥2
), (3, −4𝑥, 7𝑥2
)}.
12. Base de um espaço vetorial
Considere um espaço vetorial V. Admita a existência de um subconjunto B desse espaço (não
necessariamente um subespaço) tal que B gere V por combinação linear. Notar que para um espaço
particular V, B não é único, vários conjuntos B distintos podem gerar V. De fato, o próprio V pode gerar
ele mesmo. Porém, é mais simples trabalhar com conjuntos menores, e é de interesse resumir um grande
conjunto V em um pequeno conjunto B. Foi verificado acima que dentro de B quaisquer elementos
formados por combinações lineares dos outros são “inúteis”. Ou seja, se B for um conjunto LD, existe pelo
menos um vetor “inútil”, que pode ser eliminado para tornar B menor e mais simples. O processo pode
continuar até que B se torne LI. Se B é LI, e ainda consegue gerar V (Lembre-se que a eliminação de
elementos LD de um conjunto gerador não modifica o conjunto gerado) é denominado base.
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto LI gerador deste espaço. É também a maneira mais
simples de “resumir” o espaço.
Condições:
i) {𝑣1, … , 𝑣 𝑛} é LI
ii) 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 = 𝑉 (O conjunto gera V) Atenção! Todo conjunto LI de um vetorial V é base de um
subespaço gerado por ele.
Exemplo: Prove que {(1,1),( 1,0)}B   é base de 2
R
Solução:
i) (1,1) ( 1,0) (0,0)a b     ( , ) (0,0) 0a b a a b B       é LI
ii) (1,1) ( 1,0) ( , )a b x y    

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2
( , ) ( , ) gera
a b x b y x
a b a x y B R
a y
     
     
 
Exemplo: Prove que {(0,1),(0,2)} Não é base de
2
R
Solução:
i)
(0,1) (0,2) (0,0)
(0, 2 ) (0,0) 2
a b
a b a b
   
       
Mas como 𝑎 e 𝑏 não são necessariamente zero, o conjunto é LD.
Exemplo: 1,0,0 , 0,1,0 não é base de ℝ3
. É LI, mas não gera todo ℝ3
, isto é, 1,0,0 , 0,1,0 ≠ ℝ3
𝑎 ∙ 1,0,0 + 𝑏 ∙ 0,1,0 = 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑎, 𝑏, 0 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⟹ 𝑧 = 0
Como o ℝ3
não é composto apenas de pontos com a coordenada z nula, os dois vetores não podem ser
base.
Exemplo: 𝑉 = 𝑀 2,2 .
1 0
0 0
;
0 1
0 0
;
0 0
1 0
;
0 0
0 1
é uma base de 𝑉.
Observação: Existem espaços que não tem base finita, principalmente quando trabalhamos com espaços
de funções. Então, precisaremos de um conjunto infinito de vetores para gerar o espaço. Isto não implica
que estamos trabalhando com combinações lineares infinitas, mas sim, que cada vetor do espaço é uma
combinação linear finita daquela “base infinita”. Ou seja, para cada vetor dado, podemos escolher uma
quantidade finita de vetores da base para escrevê-lo. Por exemplo, o conjunto de todos polinômios de
coeficientes reais formam um espaço vetorial. Uma base naturalmente definida é {1, 𝑥, 𝑥2
, 𝑥3
, . . . }, que é
infinita, pois não há restrição para o grau do polinômio. Porém, para formar um polinômio particular é
possível utilizar um número finito de elementos da base.
Teorema: Sejam 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 vetores não nulos que geram um espaço vetorial 𝑉. Dentre estes vetores
podemos extrair uma base de 𝑉.
Prova:
i) Se 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 são LI, eles cumprem as condições para uma base e não temos mais nada a fazer.

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ii) Se 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 são LD, então existe uma combinação linear deles com algum coeficiente diferente de zero,
dando o vetor nulo: 𝑥1 ∙ 𝑣1 + … + 𝑥 𝑛 ∙ 𝑣 𝑛 = 0
Por exemplo, seja 𝑥 𝑢 ≠ 0, então:
𝑣 𝑛 = −
𝑥1
𝑥 𝑛
∙ 𝑣1 −
𝑥2
𝑥 𝑛
∙ 𝑣2 − ⋯ − −
𝑥 𝑛−1
𝑥 𝑛
∙ 𝑣 𝑛−1.
Ou seja, 𝑣 𝑛 é uma combinação linear de 𝑣1, … , 𝑣 𝑛−1 e, portanto 𝑣1, … , 𝑣 𝑛−1 ainda geram 𝑉.
Se 𝑣1, … , 𝑣 𝑛−1 ainda for LD, podemos prosseguir da mesma forma até chegar a um subconjunto
𝑣1, … , 𝑣𝑟 com 𝑟 ≤ 𝑛 que ainda geram 𝑉, ou seja, formaremos uma base.
Isto é, de um espaço gerador qualquer é possível retirar elementos “inúteis” até que ele se torne uma
base. Veremos agora uma propriedade curiosa dos espaços vetoriais: o número de elementos de
qualquer base de um espaço vetorial particular é constante, independe da base escolhida. Este número é
uma propriedade inerente à natureza do espaço.
Teorema: Seja um espaço vetorial 𝑉 gerado por um conjunto de vetores 𝑣1, … , 𝑣 𝑛. Então, qualquer
conjunto LI tem no máximo "𝑛" vetores.
Prova: Como 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 = 𝑉, então podemos extrair uma base para 𝑉. Seja {𝑣1, … , 𝑣𝑟} com 𝑟 ≤ 𝑛, esta
base. Considere agora 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤 𝑚 , 𝑚 vetores de 𝑉, com 𝑚 > 𝑛.
Então, existem constantes tais que:
(𝑖)
𝑤1 = 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2+. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟
𝑤2 = 𝑎21 ∙ 𝑣1 + 𝑎22 ∙ 𝑣2+. . . +𝑎2𝑟 ∙ 𝑣𝑟
⋮
𝑤 𝑚 = 𝑎 𝑚1 ∙ 𝑣1 + 𝑎 𝑚2 ∙ 𝑣2+. . . +𝑎 𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟
Consideremos agora uma função linear de 𝑤1, … , 𝑤𝑛 dando zero:
(𝑖𝑖)0 = 𝑥1 ∙ 𝑤1 + 𝑥2 ∙ 𝑤2+. . . +𝑥 𝑚 ∙ 𝑤 𝑚
Substituindo (𝑖) em (𝑖𝑖), temos:
0 = 𝑥1 ∙ 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2+. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟 +. . . +𝑥 𝑚 ∙ 𝑎 𝑚1 ∙ 𝑣1 + 𝑎 𝑚2 ∙ 𝑣2+. . . +𝑎 𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟
0 = 𝑎11 ∙ 𝑥1 + 𝑎21 ∙ 𝑥2+. . . +𝑎 𝑚1 ∙ 𝑥 𝑚 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1 + 𝑎2𝑟 ∙ 𝑥 𝑟 +. . . +𝑎 𝑚𝑟 ∙ 𝑥 𝑚 ∙ 𝑣𝑟
Como 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 são LI, então os coeficientes dessa equação devem ser nulos:

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𝑎11 ∙ 𝑥1+. . . 𝑎 𝑚1 ∙ 𝑥 𝑚 = 0
⋮
𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1+. . . 𝑎 𝑚𝑟 ∙ 𝑥 𝑚 = 0
Temos então um sistema linear homogêneo com 𝑟 equações e 𝑚 incógnitas 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 e, como
𝑟 ≤ 𝑛 < 𝑚, ele admite uma solução não trivial, ou seja, existe uma solução com algum 𝑥𝑖 não nulo.
Portanto 𝑤1, … , 𝑤 𝑚 são LD.
12.1. Questões
1) Quais são as coordenadas de x = (1,0,0) em relação à base β = {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)}?
13. Dimensão
A dimensão de um espaço vetorial 𝑉 é definida como o número de vetores de uma base de 𝑉 e é
denotada por 𝑑𝑖𝑚 𝑉. Se 𝑉 não possui base, 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 0.
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos e o número de bases
para cada espaço vetorial é infinito.
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ2
= 2, pois toda base do ℝ2
tem dois vetores, como { 1,0 ; 0,1 } ou { 1,1 ; 0,1 }.
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ 𝑛
= 𝑛.
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 2,2 = 4.
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 𝑚, 𝑛 = 𝑚𝑥𝑛.
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑃𝑛 = 𝑛 + 1 (polinômios de grau n).
Exemplo: dim 0 = 0, pois a origem é apenas um ponto.
Observação: Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço vetorial de
dimensão finita.
Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser
completado de modo a formar uma base de V.
Prova: Seja 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 e 𝑣1, … , 𝑣𝑖 vetores LI, com 𝑖 ≤ 𝑛.
i) Se 𝑣1, … , 𝑣𝑖 = 𝑉, então 𝑖 = 𝑛 e o conjunto forma uma base.
ii) Se existe 𝑣𝑖+1 ∈ 𝑉 tal que 𝑣𝑖+1 ∉ 𝑣1, … , 𝑣𝑖 , isto é, 𝑣𝑖+1 não é uma combinação linear de 𝑣1, … , 𝑣𝑖,
então {𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1} é LI. Se 𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1 = 𝑉, então {𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1} é a base procurada. Caso
contrário, existe 𝑣𝑖+2 ∉ 𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1 e {𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1, 𝑣𝑖+2} é LI. Se 𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1, 𝑣𝑖+2 = 𝑉,

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nossa prova está concluída. Se não, prosseguimos analogamente. Como não poderemos ter mais do
que n vetores LI em V, então após um número finito de passos teremos obtido uma base de V.
Teorema: Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V.
Prova: Se não formasse uma base, poderíamos completar o conjunto até formá-la e dessa forma teríamos
uma base com mais do que n vetores em V, o que é um absurdo.
Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤
𝑑𝑖𝑚𝑉 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉. Além disso:
dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim⁡(𝑈 ∩ 𝑊)
Para permitir uma interpretação geométrica, consideramos o espaço tridimensional ℝ3
. A dimensão de
qualquer subespaço S de ℝ3
só poderá ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos:
i) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 0, então 𝑆 = {0}. Ou seja, o subespaço é a origem (apenas um ponto);
ii) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 1, então S é uma reta que passa pela origem;
iii) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 2, então S é um plano que passa pela origem;
iv) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 3, então S é o próprio ℝ3
.
13.1. Questões
1) Ilustre com um exemplo a proposição: “se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem
dimensão finita então dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim⁡(𝑈 ∩ 𝑊)”.
2) Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes 2 × 2. Qual a dimensão desse espaço?
3) Resolva a questão anterior considerando o espaço das matrizes 3 × 3. E qual seria a dimensão de um
espaço de matrizes 𝑛 × 𝑛?
4) Seja V o espaço das matrizes 2 × 2, e seja W o subespaços gerado por
1 −5
−4 2
,
1 1
−1 5
,
2 −4
−5 7
,
1 −7
−5 1
Encontre uma base e a dimensão de W.
5) Considere o subespaço de ℝ4
gerado pelos vetores 𝑣1 = (1, −1,0,0), 𝑣2 = (0,0,1,1),
𝑣3 = −2,2,1,1 e 𝑣4 = (1,0,0,0).
a) O vetor (2, −3,2,2) pertence a [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4]? Justifique.
b) Exiba uma base para [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4]. Qual a dimensão?
c) 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4 = ℝ4
? Por quê?

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14. Mudança de base
Sejam 𝛽 = {𝑢𝑖, … , 𝑢 𝑛 } e 𝛽′ = {𝑤𝑖, … , 𝑤𝑛 } duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V de
dimensão 𝑛. Dado 𝑣 ∈ 𝑉, podemos escrevê-lo como:
(i)
1 1
1 1
...
...
n n
n n
v x u x u
v y w y w
  

  
  
  
Devemos relacionar 𝑣 𝛽 =
𝑥1
…
𝑥 𝑛
com 𝑣 𝛽′ =
𝑦1
…
𝑦𝑛
.
Já que {𝑢1, … 𝑢 𝑛 } é base de V, podemos escrever os vetores 𝑤𝑖 como combinação linear dos vetores 𝑢𝑖:
(ii)
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
n n n nn n
w a u a u a u
w a u a u a u
w a u a u a u
   
    


    
   
   
   
Substituindo (ii) na segunda equação de (i), temos:
1 1 ... n nv y w y w  
  
= 1y ( 11 1 21 2 1... n na u a u a u  
  
) + ... + ny ( 1 1 2 2 ...n n nn na u a u a u  
  
)
11 1 1 1 1 1( ... ) ... ( ... )n n n nn n na y a y u a y a y u      
 
Mas 1 1 ... n nv x u x u  
  
, e, como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos:
1 11 1 1
1 1
...
...
...
n n
n n nn n
x a y a y
x a y a y
  


   
↔
𝑥1
…
𝑥 𝑛
=
𝑎11 … 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑛1 … 𝑎 𝑛𝑛
𝑦1
…
𝑦𝑛
A matriz dos coeficientes está atuando como uma matriz de mudança de base, pois transforma o vetor
𝑣 𝛽′ =
𝑦1
…
𝑦𝑛
em outro 𝑣 𝛽 =
𝑥1
…
𝑥 𝑛
, numa segunda base. Assim:
𝑎11 … 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑛1 … 𝑎 𝑛𝑛
= 𝐼 𝛽
𝛽′
Esta é a matriz de mudança de base da base 𝛽′para a base 𝛽.
Uma vez obtida 𝐼 𝛽
𝛽′
, podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor 𝑣 em relação à base 𝛽
multiplicando a matriz pelas coordenadas de 𝑣 em relação à base 𝛽′ (ambas as bases supostamente
conhecidas).

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𝑣 𝛽 = 𝐼 𝛽
𝛽′
𝑣 𝛽′
Observação: Note que a matriz 𝐼 𝛽
𝛽′
é obtida de (ii) transpondo a matriz dos coeficientes.
Questão: Calcule 𝑣 𝛽 de 𝑣 = (5, −8) para 𝛽 = { 2, −1 ; 3,4 } e 𝛽′
= { 1,0 ; 0,1 }.
Solução 1:
i) Inicialmente, procurando 𝐼 𝛽
𝛽′
, então colocamos 𝛽′em função de 𝛽:
w1 = 1, 0 = a11 2, −1 + a21 3, 4 = 2a11 + 3a21, −a11 + 4a21
w2 = 0, 1 = a12 2, −1 + a22 3, 4 = 2a12 + 3a22, −a12 + 4a22
𝑎11 =
4
11
; 𝑎12 =
−3
11
; 𝑎21 =
1
11
; 𝑎22 =
2
11
Dessa forma,
  11 12
21 22
4 3
11 11
1 2
11 11
a a
I
a a



 
  
    
   
  
ii)      
4 3
5 411 115, 8 5, 8
1 2 3 1
11 11
I

 


 
     
                    
  
Isto é, (5, 8) 4(2, 1) 1(3,4)    ;
Solução 2: Basta resolver o sistema: (5, 8) (2, 1) (3,4)a b   

2 3 5
4 8
a b
a b
 

   

4
1
a
b


 
Observação: O cálculo feito da matriz de mudança de base só é vantajoso quando se trabalha com vários
vetores, para não ter que resolver um sistema de equações a cada vetor.
14.1. A inversa da matriz de mudança de base

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Um fato importante é que a matriz 𝐼 𝛽
𝛽′
é invertível e 𝐼 𝛽
𝛽′ −1
= 𝐼 𝛽′
𝛽
. Dessa forma, podemos usá-la
para encontrar 𝑣 𝛽′ pois 𝑣 𝛽′ = 𝐼 𝛽′
𝛽
𝑣 𝛽 .
14.2. Questões
1) Se [𝐼] 𝛼
𝑎′
=
1 1 0
0 −1 1
1 0 −1
, ache [𝑣] 𝑎′ onde [𝑣] 𝛼 =
−1
2
3
.
2) Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base [𝐼] 𝛼
𝛼
?
3) Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam 𝛽 e 𝛽′ duas bases de V tais
que 𝛽 =
1 0
0 0
,
0 1
0 0
,
0 0
0 1
e 𝛽′
=
1 0
0 0
,
1 1
0 0
,
1 1
0 1
.
a) Ache [𝐼] 𝛽
𝛽′
.
b) Mostre que 𝐼 𝛽
𝛽′ −1
= 𝐼 𝛽′
𝛽
.
4) Uma elipse em uma base cartesiana está rotacionada em um ângulo de 45° e sua base é formada pelos
vetores {(1,0); (0,1)}. Ache a matriz de mudança de base para uma nova base onde os vetores sejam
respectivamente (−1,1) e (2,2).

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