Esta lista de exercícios de economia matemática cobre os capítulos 1 a 5 e 7 de dois livros-texto, abordando tópicos como operações com matrizes, determinantes, sistemas lineares e propriedades de equilíbrio em modelos econômicos. Os 14 exercícios propõem cálculos e demonstrações envolvendo estas noções.

1. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
Faculdade de Economia, Administração, Contabilidade e Atuária
FEA-PUC-SP
Campus Perdizes
1ª Lista de Exercícios de Economia Matemática I
Capítulos e seções de referência da bibliografia básica:
CHIANG and WAINWRIGTH:
Capítulos: 1º 2º 3º 4º 5º
Seções: única 2.1 e 2.7
3.1 a 3.5,
exceto 3.3
4.1 a 4.6,
exceto 4.3
5.1 a 5.8,
exceto 5.7
JEAN WEBER:
Capítulos: 7º
Seções: 7.1 a 7.5, 7.7
Exercícios:
1. Sejam













211
112
121
A ,












1
3
1
b e











1
1
3
c . Calcule Ab, A( b + c ), A b + A c ; compare os dois últimos resultados
e relacione-os.
2. Dadas as seguintes matrizes:
A 







2 4
1 5
B 






3 7
0 4














1
5
4
2
0
7
613
C D  











6 3 1
1 4 2
4 1 5
Calcule, quando for possível:
a) 2A + B; b) AB; c) BA; d) CD + C; e) C(D + I3 ); f) (D + I3 )C;
3. Quando se trata de dois números a e b, sabemos que ( a + b ) 2
= a2
+ b2
+ 2ab. Explique porque esse trinômio do quadrado
perfeito não é válido para duas matrizes A e B, ou seja, ( A + B ) 2
 A2
+ B2
+ 2AB. (Sugestão: compare os resultados dos
itens (b) e (c) do exercício anterior ) . Aplique a distributiva nas expressões dos itens (e) e (f) e discuta como se assemelham e
como se diferenciam ambos com/do item (d).
4. Denomina-se uma matriz A de idempotente quando A2
= A.
a) verifique que a matriz a seguir é idempotente: A =













321
431
422
b) utilizando o resultado do item anterior, determine A3
, A4
e A10
.

2. 5. Define-se o traço de uma matriz quadrada A como a soma dos elementos da sua diagonal principal: 

n
i
iin aAtraço
1
)( .
Pede-se:
a) determine o traço das matrizes do 1o. exercício, nos casos possíveis;
b) determine o traço da matriz A =







 
22
122
t
tt
sabendo que Det(A) = 0.
6. Considere as matrizes A = 




 
52
810
e B = 







613
74
. Verifique que Det(AB) = Det(A) Det(B).
7. Uma matriz A é denominada involutiva quando A2
= I.
a) verifique que a matriz A = 







10
01
é involutiva;
b) faça o mesmo com a matriz B =










b
bb
1
1 2
.
c) mostre que se A é involutiva, ( I – A )( I + A ) = 0.
d) considere uma matriz B, involutiva; calcule B2
, B3
, B4
, B5
; a partir dos resultados obtidos, sugira uma regra para o valor de
Bn
, quando n for par e quando n for ímpar. A partir dessa regra, interprete o nome involutiva.
8. Seja a matriz A =










101
110
010
. Mostre que A3
– 2A2
+ A = I.
9. Vimos em sala que os modelos econômicos lineares podem ser mais facilmente analisados no formato matricial AX = b,
cujas propriedades de equilíbrio podem ser discutidas a partir da solução x = A-1
b. Suponha que os conjuntos de equações a
seguir representem diferentes modelos econômicos. Identifique qual ou quais deles guardam a propriedade de existência e
unicidade de equilíbrio:











500
130
111
A














481
122
125
B











4113
120
131
C











5113
130
111
D
Modelo 1: A x = b; Modelo 2: B x = b; Modelo 3: C x = b; Modelo4: ( A D ) x = b.
10. Um dos sistemas lineares a seguir tem uma única solução determinada, outro tem muitas soluções indeterminadas e outro,
finalmente, não admite solução. Escreva os sistemas na forma matricial Ax = b e classifique-os, resolvendo-os por Cramer. Em
seguida, represente graficamente as duas retas de cada um dos sistemas, item a item, e relacione a sua classificação com o
comportamento geométrico dos pares de equações.
a)





34
532
yx
yx
b)





20106
1053
yx
yx
c)





254
3108
yx
yx

3. 11. Seja a matriz A =









 
01
01
110
a
a e o vetor











1
1
2
b e seja um modelo econômico linear A x = b. Determine os valores de
a que fazem com que o modelo tenha:
a) uma única solução e, portanto, exista e seja único seu equilíbrio;
b) tenha infinitos equilíbrios;
c) não tenha qualquer equilíbrio.
12. Repita o exercício anterior para o caso em que A =










 20
11
101
a
a e












1
0
1
b .
13. Escreva os sistemas abaixo em forma matricial Ax = b e resolva-os por Cramer:
a)
2 2
3 2 16
5 3 21
1 2
2 3
1 3
x x
x x
x x
 
 
 





b)
10 2 8
7 0
2 3 6 7
1 2 3
1 2 3
3 2 1
x x x
x x x
x x x
  
  
   





c)








3x2x6x4
1x2x3x
6xx5x2
123
321
321
d)








0x4x3x
0x2xx3
0xx2x15
123
321
321
14. Os sistemas a seguir ou não admitem solução ou admitem infinitas soluções e, neste caso, suas soluções são indeterminadas.
Classifique cada um desses sistemas em um dos dois casos citados e, em seguida, interpretando cada variável do sistema como
uma informação a ser descoberta e cada equação do sistema como uma informação disponível e conhecida, relacione a
informação total disponível em cada sistema com o tipo de solução do mesmo.
a)








182220
1626
2420
321
32
21
xxx
xx
xx
b)








161218
541012
10586
321
321
321
xxx
xxx
xxx
c)








70321840
183020
20101215
123
321
321
xxx
xxx
xxx
d)








0117
023
0215
32
321
321
xx
xxx
xxx