1. O documento apresenta um manual do professor para o ensino de matemática no ensino médio. 2. O manual é organizado por capítulos temáticos e inclui exemplos, exercícios resolvidos e propostos para auxiliar o professor. 3. O documento detalha a organização do manual com seções como abertura do capítulo, apresentação dos conteúdos, exercícios complementares e sugestões para a compreensão dos alunos.

1. Componente curricular: MA
TEMÁ
TICA
Conexões
com a
Organizadora: Editora Moderna
Obra coletiva concebida, desenvol
vida
e produzida pela Editora Moderna.
Editor responsável: F
abio Martins de Leonardo
E
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3
MAN
UAL DO
PROFESSOR

3. Organizadora: Editora Moderna
Obra coletiva concebida, desenvolv id a e prod uzi da p ela Ed i tora Mod erna.
Editor responsável: F
abio Mar tins de Leonardo
Licenciado em Matemática pela Unive r si dade d e São Paulo . E d i tor.
Componente curricular: MA
TEMÁ
TICA
Conexões
com a Matemática
3
Ensino M édio
3
a
edição
São Paulo, 2016
MANUAL DO PROFESSOR

4. 1 3 5 7 9 1
0 8 6 4 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código P
enal e Lei 9.61
0 de 1
9 de f
evereiro de 1
998.
T
odos os direitos reser vados
EDIT
ORA MODERNA L
TD
A.
Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho
São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904
V
endas e Atendimento: T
el. (0_ _1
1) 2602-551
0
Fax (0_ _1
1) 2790-1
50
1
www
.moderna.com.br
20
1
6
Impresso no Brasil
Dados Inter
nacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP
, Brasil)
Conexões com a matemática / organizadora Editora
Moderna ; obra coletiva concebida, desenvolvida e
produzida pela Editora Moderna ; editor
responsável Fabio Martins de Leonardo. —
3. ed. — São Paulo : Moderna, 20
1
6.
bra em 3 v
.
Bibliografia
“Componente curricular: Matemática”
.
1
. Matemática (Ensino médio) I. Leonardo, Fabio
r n
1
6-0
1
379 CDD-51
0.7
Índices para catálogo sistemático:
1
. Matemática : Ensino médio 51
0.7
Elaboração dos or
iginais
Alexandre Raymundo
Bac
harel e licenciado em Matemática pela Universidade
São Judas T
adeu de São Paulo. Prof
essor em escolas
particulares no Brasil e na T
urquia.
Dario Martins de Oliveira
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo.
Prof
essor em escolas particulares e públicas de São Paulo
por 20 anos. Editor
.
Débora Re ina Y
o ui
Licenciada em Matemática pela Universidade de São Paulo.
Editora.
Fabio Martins de Leonardo
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo.
Editor
.
Flávia Renata Pereira de Almeida Fu ita
Licenciada em Matemática pela Universidade de São Paulo.
Editora.
Juliana Ikeda
Licenciada em Matemática pela Universidade de São Paulo.
Editora.
Juliane Matsubara Barroso
Bac
harel e licenciada em Matemática pela P
ontifícia
Universidade Católica de São Paulo. Prof
essora em escolas
públicas e particulares de São Paulo por 1
0 anos. Editora.
Kátia T
akahashi
Licenciada em Ciências pelo Centro Universitário
Sant’
Anna. Prof
essora em escolas particulares de São Paulo
por 9 anos. Editora.
Luciana de Oliveira Gerzosc
hkowitz Moura
Mestre em Educação (área de concentração: Educação
– Opção: Ensino de Ciências e Matemática) pela
Universidade de São Paulo. Prof
essora em escola particular
de São Paulo.
Osvaldo Shigueru Nakao
Doutor em Engenharia Civil (área de concentração:
Engenharia de estruturas) pela Universidade de São Paulo.
Prof
essor da Escola P
olitécnica da Universidade de São
Paulo.
Edição de texto: Dario Martins de Oliveira, Débora Regina Y
ogui, Enrico Briese
Casentini, Juliana Ikeda
Assistência editor
ial: Roberto Paulo de Jesus Silva
Prepara ão de texto: ReCriar editorial
Gerência de design e produção gráfica:
n Sandra Botelho de Car valho Homma
Coordenação de produção: Everson de Paula
Suporte administrativo editor
ial: Maria de Lourdes Rodrigues (coord.)
Coordenação de design e pro etos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto gráfico: Mariza de Souza P
orto, Adriano Moreno Barbosa
Capa: Douglas Rodrigues José
F
oto: Refl
exão do céu azul na anela de vidro cur vilínea do prédio
Philippe Lejeanvre/Get
ty Images
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho
Edição de arte: Camila F
erreira Leite, Marcia Cunha do Nascimento
Editoração eletrônica: Grapho Editoração
Edição de infografi
a: Luiz Iria, Priscilla Bof
fo, Otávio Cohen
Coordenação de revisão: Adriana Bairrada
Revisão: Alessandra Abramo F
elix, Denise Ceron, Rita de Cássia Sam
Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron
P
esquisa iconográfica: Carol Böc
k, Marcia Sato
Coordenação de bureau Américo Jesus
T
ratamento de imagens: Denise F
eitoza Maciel, Marina M. Buzzinaro,
Rubens M. Rodrigues
Pré-impressão: Alexandre P
etreca, Everton L. de liveira, Fabio N. Precendo,
Hélio P
. de Souza Filho, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa
Coordenação de produção industr
ial: Viviane Pavani
Impressão e acabamento:

5. Apresentação
Esta coleção é o resultado de um trabalho coletivo motivado pelo
desejo de produzir uma obra de Matemática com uma linguagem
acessível ao aluno.
Este livro apresenta um projeto editorial que favorece a com-
preensão, incentiva a leitura e possibilita a atribuição de significado
aos conceitos matemáticos.
A sequência didática escolhida para a apresentação dos con -
teúdos inicia-se com uma situação contextualizada na abertura do
capítulo, sugerindo os conceitos com uma imagem. Em seguida,
explora a teoria, intercalada por exemplos, exercícios resolvi-
doseexercícios propostos, finalizando cada capítulo com uma lista
Autoavaliação
As seções Pesquisa e ação, Compreensão de texto e Sugestões de
leitura complementam e enriquecem a obra.
Com esta coleção, esperamos contribuir para o trabalho do
professor em sala de aula e oferecer uma ferramenta auxiliar ao
aprendizado do aluno.
Os editores

6. Organização da Coleção
Abertura do capítulo
   
  
   
  
  
Exercícios
complementares
 Aplicação 
  

 Aprofundamento 
    
   
 
 
  
 Desafio 
  
  
  
  
  

Apresentação
d s c nteúd s
   
 
 
   
 

    
  
   
  
  
   

 

7. Compreensão de texto
T
extos variados, extraídos de várias mídias, e questões
que exploram vários níveis de interpretação e
compreensão são recursos que o livro oferece para o
desenvol
vimento da competência leitora.
Nessa seção, os alunos encontram mais uma
oportunidade de desenvol
ver uma atividade em grupo.
Sugestões de leitura
Indica-se a leitura de livros ficcionais cujos
temas foram estudados no livro. As sugestões
propiciam o enriquecimento e a ampliação do
conhecimento, além do incentivo à leitura.
Pesquisa e ação
Diferentes atividades
práticas de
realização em grupo
relacionadas com
o tema abordado
no ca tulo,
envol
vendo a pesquisa
e a elaboração de um
produto final, que será
compartilhado com a
turma ou
com a escola.
Ícone de atividade
em grupo
Autoavaliação
Propõe atividades
cujassoluções
dependem unicamente
da boa compreensão
do con do. T
raz um
quadro que relaciona
cada questão com o
objetivo listado no in cio
do cap tulo, al m da
remissão das páginas
em que o conte do foi
explorado.

8. Sumário
Matemática financeira
1
Capítulo
1. Introdução ................................................................................................................... 10
2. axa percentual
T
T .......................................................................................................... 10
3. Juro simples ................................................................................................................ 14
4. Juro composto ............................................................................................................ 16
    
nos cálculos financeiros ............................................................................................. 20
Exercícios complementares ........................................................................................... 22
Autoavaliação ................................................................................................................. 24
Pesquisa e a ão ............................................................................................................... 25
Conceitos básicos e a reta
5
Capítulo
1. Ponto ......................................................................................................................... 100
Reta ............................................................................................................................110
3. Posição relativa entre duas retas no plano ..............................................................119
Probabilidade
2
Capítulo
1. Experimento aleatório, espaço amostral e evento ....................................................
2. Probabilidade ............................................................................................................... 30
3. Probabilidade condicional ........................................................................................... 37
4. Método binomial .......................................................................................................... 40
Exercícios complementares ............................................................................................ 43
Autoavaliação .................................................................................................................. 45
Compreensão de texto ..................................................................................................... 46
Análise de dados
3
Capítulo
1. Noções de a i a .................................................................................................. 49
2. Distribuição de frequências
Representações gráficas
4. Frequência relativa e probabilidade .......................................................................... 69
Exercícios complementares 71
Autoavaliação ................................................................................................................. 75
Compreensão de texto .................................................................................................... 76
Medidas estatísticas
4
Capítulo
1. Medidas de tendência central .................................................................................... 78
2. Medidas de dispersão ................................................................................................. 88
Exercícios complementares ........................................................................................... 94
Autoaval ação ................................................................................................................. 96
Pesquisa e ação ............................................................................................................... 97
Compreensão de texto .................................................................................................... 98

9. Circunferência
6
Capítulo
Cônicas
7
Capítulo
Números complexos
8
Capítulo
Polinômios e equações polinomiais
9
Capítulo
1. Equações da circunferência ......................................................................................137
2. Posições relativas ..................................................................................................... 142
Exercícios complementares ......................................................................................... 149
Autoavaliação ............................................................................................................... 150
Pesquisa e ação .............................................................................................................. 151
Compreensão de texto .................................................................................................. 152
   ........................................................................................................ 154
2. lipse ......................................................................................................................... 156
3. Parábola .................................................................................................................... 160
4. Hipérbole .................................................................................................................. 163
Exercícios complementares ......................................................................................... 167
Autoavaliação ............................................................................................................... 169
Compreensão de texto .................................................................................................. 170
1. Números complexos ..................................................................................................172
        .......................................176
3. Representação geométrica de um número complexo .............................................178
4. Forma trigonométrica de um número complexo .....................................................181
         ............................. 182
Exercícios complementares ......................................................................................... 188
Autoavaliação ............................................................................................................... 189
     ........................................................................ 190
    .................................................................................... 194
3. Equações polinomiais ou algébricas 199
Exercícios complementares ......................................................................................... 204
Autoavaliação 206
Sugestões de leitura ...................................................................................................... 207
Respostas ........................................................................................................................ 211
Lista de siglas ................................................................................................................ 221
Bibliografia .................................................................................................................... 222
4. Distância entre ponto e reta ..................................................................................... 125
5. Inequações do 1
o
grau com duas incógnitas ............................................................ 127
6. Área de uma super f cie triangular: uma aplicação na Geometria anal tica ......... 129
Exercícios complementares ......................................................................................... 132
Autoavaliação ............................................................................................................... 135

10. C
a
p
í
t
u
l
o
1 Matemática financeira
Há mais de 90 tributos em vigor no Brasil, entre impostos, taxas
e contribuições. Em 2015, o país ultrapassou pela primeira vez os
S
anual do Instituto Brasileiro de Planejamento e Tributação (IBPT),
41,37% de toda a renda da população economicamente ativa foi usada
para pagar tributos naquele ano. O país aplica regras específicas
para o pagamento de imposto de renda e imposto sobre o patrimônio
(como o IPTU e o IPV
A). Já o imposto sobre consumo é o que mais pesa
no bolso. Uma das razões é que nem todos os consumidores sabem
que parte do valor pago na compra de um produto é tributo.
IMPOSTO SOBRE CONSUMO
A taxa de tributos embutidos no valor de cada produto varia. Os itens considerados supérfluos, como perfumes importados,
ou prejudiciais à saúde, como bebidas alcoólicas e cigarros, são mais caros, pois, no preço, estão incluídos impostos e contribuições.
T
odos os produtos devem trazer na nota fiscal a porcentagem de impostos embutidos no preço ou o valor aproximado dos tributos.
EVOLUÇÃO DOS TRIBUTOS
Observe no gráfico abaixo, a evolução dos tributos de 2005 a 2015.
2005 2015
LIVRO
BICICLE T
A
Salário mínimo
R$ 788,00
População
0
PIB
R t
R 1
2 e
R$ 5,904 trilhões
T
ributos arrecadados
R$ 732.968.195.326,06
6
R
R$ 2.008.802.036.434,90
45,93%
15,52%
PERFUME
IMPORT
ADO
TELEVISOR
44,94%
78,99%
VIDEOGAME
CARRO 1.0
35,27%
72,18%
MEDICAMENTOS
TÊNIS
IMPORT
ADO
33,87%
58,59%
COMPUT
ADOR
BOLA DE FUTEBOL
24,30%
46,49%
I
L
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R
P
ARA QUE SERVEM
OS TRIBUTOS
No Brasi , existem três
tipos de tributos:
mpostos, cuja arrecadação
serve para financiar serviços
públicos, embora não exista
uma destinação específica.
axas
T
T , que são cobradas para
custear serviços específicos,
como co eta e ixo.
Contribuições, que também
têm destinação específica,
como o PIS – um fundo para
trabalhadores de baixa renda.
Se julgar necessário, explicar aos alunos que a população economicamente ativa é composta de pessoas de
10 a 65 anos de idade que foram classificadas como ocupadas ou desocupadas na semana de referência da pesquisa.
R
e
p
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o
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A
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8
.
8

11. Objeti
vos do capítulo

que en
volvam taxa
percentual
 Analisar e aplicar os
regimes de juro simples
e de juro composto
Fontes: Ministério da F
azenda. Carga
tributária no Brasil – 2014. Disponível em:
<http://idg.receita.fazenda.gov.br/dados/
receitadata/estudos-e-tributarios-e-
aduaneiros/estudos-e-estatisticas/carga-
tributaria-no-brasil/29-10-2015-carga-
tributaria-2014>; Instituto Brasileiro de
Planejamento e T
ributação. Estudo sobre os
dias trabalhados para pagar tributos – maio
2015. Disponível em: <www.ibpt.com.
br/img/uploads/novelty/estudo/2140/
TUD DIA TRABALHAD EDI A 2015.
pdf>; Instituto Brasileiro de Planejamento
e T
ributação. Impostômetro. Disponível em:
<www.impostometro.com.br>.
Acessos em: 18 abr
. 2016.
O QUE P
AGAMOS
Em 2015, a cada R$ 100,00 que o brasileiro recebeu trabalhando, mais de R$ 41,00 foram gastos com impostos.
de dessa parcela (ou 23,28% do total de rendimentos) foi destinada a impostos sobre o
* Dados relativos a 2014.
DE ONDE VEM O DINHEIRO ARRECADADO*
Entre os tributos em vigor no país, alguns são cobrados pelo governo federal,
outros pelos estados e uma parte é arrecadada pelos municípios.
T
ri
governo federal:
68,47%
T
ributos dos
governos estaduais:
25,35
T
ributos dos
governos mun c pa s:
6,19%
Outros
tributos
federais
INSS
(Instituto
Nacional
do Seguro
Social)
IR
(Imposto de
Renda, pessoa
física e jurídica)
Cofins
(Contribuição
para o F nan-
ciamento da
Seguridade
Social)
ICMS
(Imposto sobre
a Circulação de
Mercadorias e
Serviços)
IPV
A
(Imposto sobre
a Propriedade
de Veículos
Automotores)
Outros tributos
estaduais
1
5
1 51%
1
1 %
5 3%
%
3%
6
1 68%
%
6
1 8
8 %
5 9%
5 89%
8 %
5 9%
%
4%
4%
0 5 %
4
,
,
IPTU
(Imposto Predial e
T
erritorial Urbano)
ISS
(Imposto
sobre Serviços)
Outros
FGTS
(Fundo de Garantia
do T
empo de Serviço)
I
L
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S
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8
.
9

12. Exemplos
25% de 200 5
2 5
1 0 0
2 0 0 0, 2 5 2 0 0 5 0
8 5
2 0 0 8 5
2 0 0
b) 120% de 60 5
1 2 0
1 0 0
8 5
6 0 6 0
c) 30% de 40% de 75 5
3 0
1 0 0
4 0
1 0 0
7 5 7 5 9
5 8 8
3 0 
Algumas das aplicações mais importantes da ideia de taxa percentual são as que
envolvem transa ões mercantis (compra e venda), as quais, basicamente, podem
erar acréscimos, descontos, lucros ou pre uízos.
Ref lita
    
um número se quisermos 500%
desse número?
desse número?
1 Introdução
T
omar consciência dos tributos que compõem os preços das mercadorias, dos
serviços públicos ou privados e das contribuições a que estamos sujeitos a prestar
é um direito de todo cidadão. Isso só é possível em um governo que tenha como
princípio de sua gestão a transparência administrativa.
O conhecimento de operações financeiras simples, como cálculo de emprésti-
mos, financiamentos, descontos, taxas de juro e rendimento de investimentos, é
de grande importância para o exercício pleno da cidadania.
Acompanhe o seguinte problema, que envolve cálculo de juro.
Hoje, as dívidas de Marcelo somam R$ 5.226,00. Daqui a 3 meses, ele recebe-
rá uma indenização cujo valor permitirá quitar a sua dívida acrescida dos juros.
Segundo seus cálculos, quando receber a indenização, seu déficit, em decorrência
dos juros, passará a R$ 5.670,21. O que Marcelo deve fazer: pedir um empréstimo
(a ser pago após 3 meses, com juro simples de 2,6% ao mês) para quitar as dívidas
hoje, ou esperar os 3 meses e quitá-las com o dinheiro da indenização?
Esse problema apresenta uma situação do cotidiano em que o conhecimento
de operações financeiras auxilia na tomada da melhor decisão. Neste capítulo,
vamos estudar recursos matemáticos que podem ser empregados para resolver
problemas desse tipo, como os mecanismos que regem as taxas de juro simples e
de juro composto.
Explore
      
alguns produtos que estejam
em promoção, como descrito
na situação ao lado (“Leve 5e
pague3”). Anote o valor do
produto da promoção e o valor
do produto unitário, fora da
promoção. Vale a pena comprar
V
V
os produtos da promoção?
Qual é o valor do desconto
oferecido?
     
e pesquisem no Código de
r
direitos básicos do consumidor
.
F
açam uma apresentação para
a turma.
respostas pessoais
T
axa percentual, u porcentagem, é uma forma usada para expressar a
razão entre um número real e o número 100, que indicamos por: %
Obser vações
        er centum, que significa “
divisão por 100”
.
              
alguma coisa”
.
Caso os alunos não encontrem
no comércio promoções na razão
5 para3, convém orientá-los paraque
trabalhem com outras razões que
porventura achem, por exemplo,
“leve3 e pague 2”.
2 T
axa percentual
É comum encontrarmos no comércio promoções como “Leve 5 e pague 3”. Esse
tipo de promoção equivale a um desconto para o consumidor
, que pode ser de-
terminado da seguinte forma: nessa promoção, não se paga por 2 das 5 unidades
compradas, isto é, há um desconto de
2
5
. Essa fração é equivalente a
4 0
1 0 0
; por
isso, dizemos que o desconto nessa promoção é de
4 0
1 0 0
ou de 40 .
Observe que o desconto foi representado de duas formas distintas: na forma
fracionária e na forma percentual. No exemplo dado, 40% corresponde à repre-
sentação na forma de taxa percentual
  
5 0 0
1 0 0
5 8
5 0 0
x
  
1 5
1 0 0
0
, 0 0 1 5
5 8
0 0 1 5
1 5
x
Portanto, devemos multiplicar um número
      
    
R
e
p
r
o
d
u
ç
ã
o
p
r
o
i
b
i
d
a
.
A
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1
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4
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C
ó
d
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9
d
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f
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v
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i
r
o
d
e
1
9
9
8
.
10

13. 2.1 Aumentos e descontos sucessivos
São comuns as situações em que o valor de uma mercadoria se altera mediante
aumentos ou descontos sucessivos. V
amos acompanhar a situação a seguir para
entender como isso funciona.
Uma mercadoria cujo valor inicial
0
V
V é R$ 100,00 passa por dois aumentos su-
cessivos, um de 5% e outro de 12%, e depois sofre um desconto de 10%. V
amos
determinar o novo valor
f
V
V da mercadoria.
Inicialmente, calculamos o valor após o primeiro aumento:
V
1
V
V 5 1 (1 1 0,05) 5 1 1,05 5 105,00
O se undo aumento incide sobre R$ 105,00, e não mais sobre R$ 100,00:
2
5 105 (1 1 0,12)
2
5 105 1,12 5 117,60 (valor após o segundo acréscimo)
Finalmente, o desconto é calculado sobre R$ 117,60. Então:
f
V
V 5 117,60 (1 0,10)
f
V
V = 117,60 0,90 5 105,84 (valor após todas as variações)
Portanto, o novo valor V
V é R$ 105,84.
f
Podemos calcular
f
V
V de outro modo. Veja:
f
V
V 5 100 (1 0,05) (1 1 0,12) (1 0,10)
f
V
V = 100 1,05 1,12 0,90 5 105,84
Aqui, novamente, o segundo modo apresenta o cálculo em apenas uma etapa.
Logo, podemos dizer que, quando o valor inicial sofre variações sucessivas de
taxas i
1
i
2
i
3
i
n
o valor final é assim determinado:
Note, na situação anterior
, que os dois aumentos e o desconto elevam o preço
da mercadoria para R$ 105,84, o que equivale a um aumento de 5,84% sobre o
valor inicial. A taxa de 5,84% é o que denominamos taxa acumulada
De modo geral, a taxa acumulada é dada por:
i
acumulada
5 (1 ∞ i
1
) (1 ∞ i
2
) (1 ∞ i
3
) … (1 ∞ i
n
)
Assim:
1
acumulada
5 (1
1
) (1
2
) (1
3
) … (1 )
Acompanhe a resolução de um problema.
O preço de uma mercadoria era R$ 100,00 e sofreu acréscimo de 20%. V
amos
determinar o novo valor da mercadoria.
Primeiro, calculamos: 20% de 100 5
2 0
1 0 0
100 5 0,2 100 5 20 (acréscimo)
Depois, somamos o valor inicial ao acréscimo:
R$ 100,00 1 R$ 20,00 5 R$ 120,00 (novo valor)
Outro modo de determinar o valor da mercadoria, após sofrer o acréscimo
de20%, é efetuando o cálculo:
V 5 100 1 0,2 100 5 100 (1 1 0,2) 5 100 (1,2) 5 120
Portanto, o novo valor é R$ 120,00.
Observe que o segundo modo apresenta o cálculo com apenas uma etapa. Esse
modo pode ser assim generalizado:
Sendo V
V o valor final da mercadoria, que é obtido pelo acréscimo ou pelo des
f
conto de uma taxa percentual (representada por
i ), aplicada sobre o valor inicial
(representado por
0
V
V ), temos:
Ref lita
A mercadoria que sofre um
aumento e um desconto à
mesma taxa percentual apresenta
um valor final maior
, menor ou
igual ao valor inicial? Explique
sua resposta.
f
5
0
(1 6 )
f
V
V 5
0
V
V (1 6 i
1
) (1 6 i
2
) (1 6 i
3
) … (1 6 i
n
)
Obser vações
representa a taxa percentual e
i
deve ser utilizado na forma de
número decimal. Por exemplo,
25% corresponde a 0,25.
       
(valorização/acréscimo),
usamos 1 1 i na fórmula.
i
      
(depreciação/decréscimo),
usamos 1 i na fórmula.
i
Obser vações
    
no valor inicial, temos:
i
acumulada
. 0
    
no valor inicial, temos:
i
acumulada
, 0
Chamando de
0
V
V o valor inicial
da mercadoria e de V
V o valor final,
após um aumento e um desconto,
ambos à mesma taxa percentual i, temos:
V
V 5
0
V
V (1 1 i ) (1 i ) 5
0
V
V (1 i
2
)
Como 0 , i
2
, temos: 1 i
2
, 1
Se multiplicarmos o valor
0
V
V por um
número menor que 1, o novo valor será
menor que
0
V
V . Portanto, o valor final da
mercadoria será menor que o valor inicial.
R
e
p
r
o
d
u
ç
ã
o
p
r
o
i
b
i
d
a
.
A
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.
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8
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C
ó
d
i
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P
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n
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L
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i
9
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1
0
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1
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e
v
e
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e
1
9
9
8
.
11

14. Exercícios propostos
Registre as respostas em seu caderno
Exercícios resolv idos
Se em um ônibus de 40 lu ares há 24 passa eiros
sentados, qual é a porcentagem de lugares vazios?
2. (UFSCar -SP) A companhia de eletricidade infor -
mou que, para cada hora de um mês de 30 dias,
um bairro ficou, em média, 0,2 hora sem energia
elétrica em algumas ruas. No mesmo período,
uma residência localizada nesse bairro totalizou
18 horas sem energia elétrica. Em relação ao
total de horas que alguma parte do bairro ficou
sem eletricidade, o número de horas que essa
a) 3,6% c) 12% e) 33,3%
b) 9% d 12,5%
3. Se o consumo mensal de energia elétrica de uma
residência passou de 120 kWh para 156 kWh,
qual foi a taxa percentual de aumento?
4. Dos produtos de uma far mácia, 10% são de uso
contínuo e, destes, 50% exigem receita médica.
Qual é a taxa percentual dos produtos da farmácia
que são de uso contínuo e exigem receita médica?
5. No primeiro dia de sua liquidação anual, uma
loja de eletrodomésticos vendeu 40% do estoque
de deter minado produto; no segundo dia, vendeu
25% do restante. Que porcentagem do estoque do
produto não foi vendida?
6. A valorização de uma ação foi de 38% em dois
meses. Qual foi sua valorização no segundo mês
se, no primeiro mês, a valorização foi de 15%?

p
p




Em países de economia instável, observa-se o
fenômeno da inflação, que basicamente é a perda
do valor de compra de sua moeda.
a) Se em um país a inflação mensal é de 5%, qual
a taxa de inflação trimestral?
b) Uma inflação de 44%, acumulada em 2 anos,
corresponde a que inflação média ao ano?
Com relação à dengue, o setor de vigilância sa-
nitária de deter minado município registrou as
seguintes informações quanto ao número de casos
positivos:
   
mente a janeiro, houve
aumento de 10%;
  
te a fevereiro, houve -
dução de 10%.
q 

Discuta com um colega e respondam:
Esses dados indicam que, nesse município, houve
aumento ou diminuição nos casos positivos da
doença no período considerado? De quanto?
9. Reúna-se com um colega e respondam à questão.
UFRJ Das 100 pessoas que estão em uma sala,
99% são homens. Quantos homens devem sair
para que a porcentagem de homens na sala passe
a ser 98%?
  
50 homens
E
D
S
O
N
G
R
A
N
D
S
O
L
/
P
U
L
S
A
R
I
M
A
G
E
N
S
Mosquito Aedes aegypti
transmissor da dengue.
R1. Entre os especialistas do mercado automobilístico, é consenso que um
au-
tomóvel zero-quilômetro sofre uma depreciação de 15% ao ano nos
3
pri-
meiros anos, estabilizando-se em um patamar inferior a esse nos anos
seguintes. Se hoje um veículo zero-quilômetro custa R 34.000,00, qual
será seu valor daqui a 3 anos, segundo a opinião desses especialistas?
 Resolução
Como a taxa de depreciação é constante nos 3 anos, temos:
f
V
V 5 34.000 (1 0,15)
3
5 34.000 (0,85)
3
5 20.880,25
Portanto, o valor do veículo será R $ 20.880,25 daqui a 3 anos.
R2. O preço de um produto teve aumento total de 61% por causa de dois
aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, qual foi a taxa
percentual do segundo aumento?
 Resolução
61% é a taxa acumulada que corrigiu o preço do produto. Então:
(1 1
acumulada
) 5 (1 1 i
1
) (1 1 i
2
)
(1 1 0,61) 5 (1 1 0,15) (1 1 i
2
) V i
2
5 0,4
Portanto, a taxa percentual do segundo aumento foi 40%.
Obser vações
    n aumentos iguais à
taxa i temos:
5 (1 1 i )
n
    n descontos iguais à
taxa i, temos:
V
V 5 V
V (1 i )
n
R
e
p
r
o
d
u
ç
ã
o
p
r
o
i
b
i
d
a
.
A
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.
1
8
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d
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o
P
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n
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L
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i
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1
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f
e
v
e
r
e
i
r
o
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e
1
9
9
8
.
12

15. Exercícios resolv idos
R3. Um produto tem preço de custo de R $ 160,00 e é
vendido por R$ 200,00. Qual é a porcentagem
do
lucro sobre o preço de custo? E sobre o preço
devenda?
 Resolução
Sendo L
v
P
P
c
P
P , temos:
L 5 200 160 V L 5 40
Portanto, o lucro é R$ 40,00.
A porcenta em do lucro sobre o preço de
L
c
P
P
4 0
1 6 0
5
A porcentagem do lucro sobre o preço de
venda é:
L
v
P
P
4 0
2 0 0
5 0
2.2 Lucro e prejuízo
De maneira geral, podemos entender lucro como o ganho obtido em uma
operação comercial, que é gerado pela diferença entre o preço de venda de de
terminada mercadoria e seu preço de custo (compra). Caso uma mercadoria seja
vendida por um preço menor que seu custo, diz-se que ela gerou prejuízo, o que
também pode ser entendido como lucro negativo
Sendo P
P o preço de venda,
v
P
P o preço de compra e
c
L o lucro, podemos representar:
Obser vação
Se
v
P
P
P
c
L , 0, dizemos que houve prejuízo
.
Obser vação
Em uma operação comercial, o lucro pode ser
calculado como uma porcentagem tanto do preço
de custo quanto do preço de venda. Quando, no
enunciado de um problema, não se menciona se
o lucro se refere ao custo ou ao preço de venda,
admitimos que deve ser calculado sobre o preço
de custo.
L 5 P
v
P
P
c
P
P
10. Um automóvel custou R$ 20.000,00. Por quanto
deve ser vendido para que haja um lucro de 6%
sobre o preço de custo?
11. Comprei um terreno pelo valor de R $ 34.500,00
e o vendi por R$ 38.640,00. Qual foi a taxa de
lucro que obtive em relação ao valor de compra
do terreno?
12 Arrependida da compra de uma esteira ergométri-
ca, Débora vendeu-a para Ana Paula com prejuízo
de 15% em relação ao preço pago na loja. Em
seguida, Ana Paula vendeu-a para Fer nando por
R 1.955,00, obtendo lucro de
15% sobre o preço
R$ 21.200 00

que pagou. Quantos reais Fer nando pagaria a
mais se tivesse comprado na mesma loja em que
Débora com rou?
13. Um comerciante compra um produto por R $ 28,00
a unidade e o revende com lucro igual a 20%
do preço de venda. Qual é o preço de venda do
produto? E se o lucro fosse de 20% do preço de
custo?
14. Um vendedor repassa seus produtos ao consumi-
dor com lucro de 60% em relação ao preço de venda.
Qual é a taxa de lucro do comerciante em relação
ao preço de custo?
R$ 45,00
R$ 35,00; R$ 33,60

R4. Um objeto, ao ser renegociado, foi vendido por
$ 10.000,00, com prejuízo de 20% sobre o preço
de compra original. Por quanto o objeto havia
sido comprado?
 Resolução
Do enunciado, temos:
v
P
P 5 P
c
P
P P
c
P
P 0,2 5 (1 0,2) P
c
P
P V
v
P
P 5 0,8
c
P
P
Como
v
5 10.000, então:
10.000 0,8
c
P
P V
c
P
P 5 12.500
Portanto, o objeto havia sido comprado por
R$ 12.500,00.
R5. Ao vender uma mercadoria, um indivíduo teve
lucro de 40% em relação ao preço de venda. Qual
foi a porcentagem do lucro em relação ao preço
de custo?
 Resolução
Do enunciado, temos:
L
v
P
P
v
P
P
L
V 0
Sabendo que L 5 P
v
P
P
c
P
P , vamos escrever
c
P
P
em função de
v
P
P
0,4
v
P
P 5
v
P
P P
c
P
P V
c
P
P 5 0,6 P
v
P
P
Como queremos saber
L
c
P
P
, calculamos:
L
c
P
P
v
P
P
v
P
P
6 7 %
5 5
0 4 4
6
Logo, em relação ao preço de custo, a porcen-
tagem do lucro é próxima de 67%.
Exercícios propostos
Registre as respostas em seu caderno
R
e
p
r
o
d
u
ç
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o
p
r
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i
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i
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a
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1
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f
e
v
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r
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r
o
d
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1
9
9
8
.
13

16. M(t)
t
C
0
t
A
D
L
S
O
N
S
E
C
C
O
Ref lita
aplicação em regime de juro
simples cresce, em cada período,
a uma razão aditiva constante.
Ocapital aplicado e os montantes
nos períodos seguintes ao
da aplicação formam uma
progressão aritmética, mostrada
no gráfico abaixo. Qual é a razão
dessa progressão?
3 Juro simples
Quando se aplica ou se pede emprestado um valor em dinheiro (
capital),
geralmente se recorre a uma instituição financeira. Juro é a remuneração que
serecebe da instituição no caso de uma aplicação ou a quantia que deve ser paga
a ela no caso de um empréstimo.
Ao se aplicar um capital por determinado tempo, a certa taxa de juro cons-
tante, o montante (soma do capital investido mais o juro relativo ao período de
investimento) pode crescer ou diminuir segundo dois regimes: o de juro simples
ouo de juro composto.
No regime de juro simples, o juro incide apenas sobre o capital investido, e
omontante resgatado nesse regime depende do capital, do tempo de aplicação
e da taxa de juro. Para compreender esse regime, acompanhe a resolução do
problema de Marcelo apresentado na introdução deste capítulo.
De acordo com a situação, Marcelo deve optar entre pedir um empréstimo
de R$5.226,00 (a ser pago após 3 meses, com juro simples de 2,6% ao mês) para
quitar as dívidas hoje, ou esperar para pagar a dívida no valor de R$ 5.670,21 após
os 3meses, com o dinheiro da indenização que vai receber
.
No empréstimo, o juro cobrado após 1 mês é dado por: J 5 5.226 0,026 q 135,88
No sistema de juro simples, para calcular o juro cobrado após 3 meses, basta
multiplicar por 3 o juro cobrado após 1 mês: J 5 5.226 0,026 3 q 407,63
O montante que deverá ser pago, após 3 meses do empréstimo, será:
M q R$ 5.226,00 1 R$ 407,63 5 R$ 5.633,63
Logo, a melhor opção é pedir o empréstimo e pagá-lo com o valor da indeni-
zação (R$ 5.670,21), economizando aproximadamente R$ 36,58.
De modo geral, sendo o capital,
C i a taxa percentual de juro,
i o tempo de
t
investimento, J o juro após
J t períodos e
t M o montante, temos:
M
        C i
      períodos: C i
Assim, podemos escrever:
Para o cálculo do juro, o tempo e a taxa devem sempre estar na mesma uni-
dade. Por exemplo, se a taxa é mensal, o tempo deve ser contado em mês. Em
cálculos contábeis, aplica-se o ano comercial com 360 dias, sendo 12 meses de
30 dias cada um.
Dessas i ualdades, concluímos que:
M 5 1 8 i t V 5 C (1 1 8 t )
J 5 C t M 5 C 1 J
15. A o f a z e r u m a p o l t r o n a , u m t a p e c e i r o g a s t a
R$ 97,00 com material e 12 horas de trabalho.
Para calcular o preço de venda, ele acrescenta, ao
valor gasto com material, R $ 15,00 por hora de
trabalho. Um comerciante compra as poltronas
desse tapeceiro e as revende com acréscimo de
75% para pagamento a prazo.
a) Qual é o valor cobrado pelo comerciante para
a venda a prazo de uma dessas poltronas?
b) Para o pagamento à vista, o comerciante dá um
desconto de 10% do valor da poltrona a prazo.
Qual é a porcentagem de lucro do comerciante
para pagamento à vista?
R$ 484,75

16. (Fuvest-SP) Um lojista sabe que, para não ter
prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve
ser no mínimo 44% superior ao preço de custo.
Mas prepara a tabela de preços de venda acres-
centando 80% ao preço de custo, porque sabe
que o cliente gosta de obter algum desconto no
momento da compra. Qual é o maior desconto que
pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela,
de modo que não tenha prejuízo?
a) 10% d) 25%
b) 15% e) 36%
c) 20%
ternat va c
A progressão aritmética formada é
A
(C C 1 j C 1 2j
2 , C 1 j
3 , ...), em que C é
o capital aplicado inicialmente e é o juro
ao fim de um período.
A razão é dada por:
A
(C 1 j ) C 5 j
Portanto, a razão dessa P
A é o valor do
juro ao fim de um período.
R
e
p
r
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1
9
9
8
.
14

17. Exercício resolv ido
Exercícios propostos
Registre as respostas em seu caderno
Obser vação
mês” por a.m. e “ao dia” por a.d.
onsiderando o ano comercial,
temos:
a.a.
5 12
a.m.
5 360
a.d.
R . Um investidor aplica R $ 1.000,00 a jur o simples de 2% ao mês.
Deter minar a taxa equivalente ao ano, o juro recebido após 1 mês e
após 2anos, e o montante recebido após 8 meses.
 Resolução
          
a. a
5 12
a. m
V
a. a
5 12 2 5 24
             
  
J 5 C t
J 5 R$ 1.000 0,02 1 V J 5 R$ 20,00
            
     
J 5 C i t
J 5 R$ 1.000 0,24 2 V J 5 R$ 480,00
           
    
5 $ 1.000 0,02 8 V J 5 R$ 160,00
    
M 5 C 1 J V M 5 R$ 1.000 1 R$ 160 V M 5 R$ 1.160,00
17.    $      
ples de 24% a.a.
a)         
b)   

    
      n de anos
n
   
c)        
prazo n     
18. Durante quanto tempo um capital aplicado a juro
        
cada mês, deve per manecer investido para que
       
19. Um investidor aplicou na mesma data, por 3 meses
e a juro simples, os capitais de R $ 110.000,00 e
d e R $                                  
        
6% a.m. e rendeu, de juro, R $ 10.200,00 a mais
          
 
Carina aplicou, no início do ano, 25% de suas
       
          
         
  
R$ 3.440,00
M 5 2.000 1 480n
V
er resolução no Guia do professor
.
3 anos e 4 meses
4% a.m.
a)            
  $      
 
b)       
21.       
   $ 2.000,00 mais uma parcela
   $      
         
R$    
R$ 25.000,00
23,5%
a)          


b)       
a parcela de R$ 4.500,00 para que a taxa de
      
 
6,25%
5 meses
M
A
R
G
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A
R
R
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S
H
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a
.
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9
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0
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1
9
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v
e
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r
o
d
e
1
9
9
8
.
15

18. Exercícios resolv idos
R7. Com um capital de R$ 1.500,00 foi feita uma aplicação que rende juro
composto de 1,2% ao mês. Qual será o saldo (montante) dessa aplica-
ção após 6 meses se, durante esse período, não houver nenhuma outra
movimentação na conta?
 Resolução
Aplicando a ór mula do juro composto, temos:
M
1 , 2
1
1 5 0 0 1
⎛
⎛ ⎞
⎞
6
V M 5 1.500 (1,012)
6
Utilizando uma calculadora, obtemos M q R$ 1.611,29.
V
amos detalhar os cálculos feitos na coluna do juro composto ao final de cada
mês. Para isso, considere o capital investido , a taxa de juro composto
C
C e o
i período
e aplicação t
    M
1
5 C 1 C i V M
1
5 C (1 1 i )
    M
2
5 M
1
1 M
1
i 5 M
1
(1 1 i ) V M
2
5 C (1 1 i ) (1 1 i ) 5 C (1 1 i )
2
    M
3
5 M
2
1 M
2
5 M
2
(1 1 i ) V M 5 C (1 1 i )
2
(1 1 i ) 5 C (1 1 i )
3

  meses:
t
t
5 M
t 1
1 M
t 1
i 5 M
t 1
(1 1 i ) V
V 5 C (1 1 i
t 1
(1 1 i ) 5 C (1 1 i )
t
Então, podemos calcular o montante resultante dessa aplicação da seguinte forma:
M 5 C 1 1 i
t
M(t)
t
C
0
t
A
D
L
S
O
N
S
E
C
C
O
Ref lita
Para valores de t naturais,
t
a aplicação em regime
de juro composto cresce,
emcada período, a uma razão
multiplicativa constante.
Ocapital aplicado e os montantes
nos períodos seguintes ao
da aplicação formam uma
progressão geométrica, mostrada
no gráfico abaixo. Qual é a razão
dessa progressão?
Período Juro simples Juro composto
início M
0
5 1.000 M
0
5 1.000
após 1 mês M 5 1.000 1 1.000 0,02 1 V M 5 1.020 M 5 1.000 1 1.000 0,02 V M 5 1.020
após 2 meses M
2
5 1.000 1 1.000 0,02 2 V M
2
5 1.040 M
2
5 1.020 1 1.020 0,02 V M
2
5 1.040,40
após 3 meses M
3
5 1.000 1 1.000 0,02 3 V M
3
5 1.060 M
3
5 1.040,40 1 1.040,40 0,02 V M
3
q 1.061,21
após 4 meses M
4
5 1.000 1 1.000 0,02 4 V M
4
5 1.080 M
4
q 1.061,21 1 1.061,21 0,02 V M
4
q 1.082,43
após 5 meses M
5
5 1 1 1 0,02 5 V M
5
5 1.1 M
5
q 1.082,43 1 1.082,43 0,02 V M
5
q 1.104,08
após t meses
t M 5 1 (1 1 0,02t)
t M 5 1 (1 1 0,02)
4 Juro composto
No regime de juro composto, o rendimento obtido ao final de cada período
de aplicação é incorporado ao capital inicial, dando origem ao montante. Dessa
forma, calcula-se o juro sempre sobre o resultado da aplicação anterior
, o que
chamamos de “juro sobre juro”. Essa é a modalidade de remuneração mais em-
pregada pelas instituições financeiras.
Os cálculos envolvidos na resolução de problemas de juro composto em geral
são trabalhosos; por isso, recomenda-se usar uma calculadora.
Acompanhe, na tabela abaixo, a evolução do montante gerado pelo investi-
mento de R$ 1.000,00 à taxa de 2% ao mês sob os dois regimes de capitalização
estudados.
Obser vação
egime e capita ização é o
méto o pe o qua o capita é
remuner
Destacam-se o Regime de
capitalização simples e o Regime
de capitalização composto.
A progressão geométrica formada é
A
(C C (1 1 i ), C (1 1 i )
2
C (1 1 i )
i
3
,...),
emque C é o capital aplicado
inicialmente e i é a taxa de juro ao fim
i
de cada período.
A razão é dada por:
A
C
i
)
1
5 1
1
Portanto, a razão dessa PG é 1 1 i
R
e
p
r
o
d
u
ç
ã
o
p
r
o
i
b
i
d
a
.
A
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d
e
1
9
9
8
.
16

19. Ref lita
Considerando a situação dada
no exercício R9, qual é o menor
valorda taxa de juro que a
aplicação deveria ter para que
a decisãode pagar em 30 dias
nãofosse desvantajosa?
Obser vação
Satisfeitas as condições de
existência dos logaritmos, são
válidas as seguintes propriedades:
 
a
(b c) 5 log
a
1 log
a
c
l o g
a
b
 
a
b
a
5 a 8 log
a
b
b
a
a
c
c
5
l o g
g
g
Exercícios propostos
Registre as respostas em seu caderno
22 Quanto Mariana deveria aplicar hoje em um
investimento que rende juro composto à taxa de
10% a.a para ter um montante de R $13.310,00
daqui a 3 anos?
23. (UEL-PR) Um empresário comprou um aparta-
mento com intenção de investir seu dinheiro.
R$ 10.000,00
Sabendo-se que esse imóvel valorizou 12% ao
ano, é correto afir mar que seu valor duplicou em,
aproximadamente:
(Dados: log
10
q 0,30 e log
10
7 q 0,84)
a) 3 anos. d) 6 anos e 7 meses.
b) 4 anos e 3 meses. e) 7 anos e 6 meses.
c) 5 anos.
alternativa e
R8. Uma dívida contraída a juro composto aumenta 69% em 2 meses. Qual
é a taxa mensal de uro?
 Resolução
É importante perceber que 69% é a taxa acumulada em 2 meses
para essa dívida.
(1 1 0,69) 5 (1 1 i
a .m .
)
2
V 1 1
a .m .
5 V i
a .m .
5 30%
R9. Uma loja oferece as seguintes alter nativas para o pagamento de uma
mercadoria:
           
            
Considerando que um consumidor tenha dinheiro para comprar a
mercadoria à vista e que esse dinheiro possa ser aplicado em uma ins-
tituição financeira à taxa de 0,8% a.m., qual é a opção mais vantajosa
para comprar nessa loja? Explique.
 Resolução
Sendo P
P o preço de tabela da mercadoria e
t v
P
P seu preço à vista, temos:
P
v
P
P 5 0,97 P
t
P
P (desconto de 3% sobre o preço de tabela)
t
O valor à vista da mercadoria pode ser aplicado e produzir um mon-
tante, após 1 mês, de:
M 5 0,97 P
t
P
P (1 1 0,008) V M 5 0,97776 P
t
P
P
Logo, o valor do resgate seria insuficiente para saldar o cheque
ré-datado, ois: 0,97776
t
P
P , P
t
P
P
Portanto, é mais vantajoso para o consumidor pagar a mercadoria à vista.
R10. O valor de uma máquina sofre depreciação anual de 25%. Se ela custa
hoje R$ 2.000,00, daqui a quantos anos valerá metade do que vale hoje?
(Adotar
(
( : log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48)
 Resolução
Aplicando a fór mula do juro composto, a definição e as propriedades
operatórias os ogaritmos, temos:
1.000 5 2.000 (1 0,25)
t
V (0,75)
t
5
1
2
V t 5 log
0,75
1
2
⎛
⎛ ⎞
⎞
V
l og
1
2
l og (0
, 7 5)
l og
1
2
l g
3
4
l og 1 l og 2
l og 3 l og 4
⎛
⎛ ⎞
⎞ ⎛
⎛ ⎞
⎞
⎛
⎛ ⎞
⎞
⎝ ⎠
V
l og 1 l og 2
l o l o
l og 1 l og 2
l l og 2
2
5
2
Adotando log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48, temos:
0
, 3 0
0
,1 2
2
, 5
t 5
2
5 5
Logo, a máquina terá seu valor reduzido à metade em 2 anos e meio,
contados a partir de hoje.
V
amos representar por i o valor da taxa de
i
juro da aplicação.
O valor à vista da mercadoria pode ser
aplicado e produzir um montante, após
1mês, de: M 5 0,97 P (1 1 i )
i
Para que o consumidor não tenha
desvantagem em aplicar o valor
àvista,devemos ter:
0,97 P 8 (1 1 i > P
1 1 i >
1
0
, 9 7
V i >
i
0
, 0 3
0
, 9 7
3 1 %
q
Portanto, a taxa procurada é
0
, 0 3
0
, 9 7
 
Esse tipo de questão é recorrente no
cotidiano. Em uma economia como a
brasileira, geralmente é mais vantajoso
opagamento à vista. Esse tipo de
situação-problema leva os alunos a refletir
nas decisões de sua economia e a exercer
sua cidadania.
R
e
p
r
o
d
u
ç
ã
o
p
r
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i
b
i
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a
.
A
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1
9
9
8
.
17

20. V P
D
i
t
5
1
4.1 Atualização f inanceira
Já vimos que certo capital, aplicado por um período t, a juro composto, tem
seu valor calculado pela fórmula M 5 8 (1 1 i )
t
. Agora, acompanhe a situação.
Um capital de R$ 500,00, aplicado, rende juro composto de 2% a.m. e produz
os montantes a seguir
.
   
1
5 500 (1 0,02) M
1
5 510,00
   M
2
5 8 (1 1 0,02)
2
V M
2
5 5
   
3
5 500 (1 1 0,02)
3
V M
3
q 530,60

  meses:
t M
t
5 8 (1 1 i )
t
Observe que, ao projetarmos o valor de uma aplicação ou de uma dívida, de-
vemos multiplicar o valor presente pelo fator (1 1 i )
t
V
amos analisar agora o que ocorre na situação inversa, ou seja, a de uma dívida
cujo valor já está calculado com juro composto embutido, que vence daqui a um
tempo, mas tem seu pagamento antecipado. Observe.
Uma loja vende um aparelho de som por R$ 505,62 para pagamento com cheque
pré-datado para 60 dias. Se a loja está cobrando juro de 6% ao mês no crediário,
qual é o preço à vista do aparelho?
Para saber o preço à vista, devemos atualizar seu preço monetariamente, isto é,
devemos calcular o valor presente do aparelho. Para isso, devemos “tirar” o juro
embutido no preço final da mercadoria.
Utilizando M 5 C (1 1 i )
t
, temos:
505,62 5 8 (1 1 0,06)
2
4
Portanto, o preço à vista do aparelho é R$ 450,00.
Observe que agora, para trazer o valor da mercadoria para o presente (preço à
vista), dividimos o valor no futuro pelo fator (1 1 i )
t
. Normalmente, nesta etapa do
estudo, alteramos a classificação de montante (
M ) para dívida (D) e de capital(C )
para valor presente (
VP ). Assim, temos: D 5 VP (1 1 )
t
Logo, o valor presente é dado por:
24. Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado a juro com-
posto à taxa de 2% ao mês. Ao completar 2 meses
de aplicação, o montante foi retirado e aplicado a
juro simples à taxa de 5% ao mês. Se, após certo
prazo, o montante final era R $ 1.950,75, qual foi
o prazo da segunda aplicação?
2 . Certo capital duplica em 2 meses de aplicação no
regime de uro composto. Qual é, aproximadamen-
te, a taxa mensal de juro desse investimento?
26. Em 3 anos, o crescimento do setor agroindustrial
de certa região foi 700%. Qual foi a taxa de cres-
cimento média por ano? Se a taxa de crescimento
no primeiro ano foi 25% e a do segundo foi 100%,
qual foi a taxa de crescimento no terceiro ano?
5 meses

 
27. Em uma loja, as vendas de 2017 foram 40%
superiores em relação às de 2016. Em relação
a 2017, as vendas de 2016 foram inferiores em
que porcentagem, aproximadamente?
28. Um investidor aplicou R $ 4.000,00 em um fundo
de ações que lhe causou um prejuízo, no primei-
ro mês, de 40% sobre o total do investimento.
Na tentativa de recuperar o dinheiro perdido,
aplicou o montante da primeira aplicação por
um prazo de 60 dias a uma taxa de 20% a.m.
Esse investidor conseguiu recuperar o dinheiro
investido? Após a segunda aplicação, qual foi
a taxa percentual do montante em relação aos
R$4.000,00 aplicados?
q 
 
R
e
p
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o
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u
ç
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1
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1
9
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v
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r
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r
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d
e
1
9
9
8
.
18

21. Exercícios propostos
Registre as respostas em seu caderno
Exercícios resolv idos
A soma da entrada com as demais parcelas
atualizadas monetariamente (descontado o
juro) for nece o valor da compra à vista:
x 5
1 0 6 5
6 0 0
2
1 )
(1,065)
2
x 1 1,065x 1 x 5 (1,065)
2
600
3,199225x 5 680,535
x q 212,72
Logo, cada parcela do financiamento é de,
aproximadamente, R$ 212,72.
T
R
A
M
A
/
K
K
S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
Qual é a taxa mensal de juro cobrada pela loja nes-
se plano de pagamento? 5 . 1 2 5
U se 5
32. No dia 15/7/2017, João contraiu uma dívida, com
a promessa de quitá-la em 15/7/2018, m i n

29. Um imóvel, no valor total de R $ 364.000,00, vai
ser pago em 3 parcelas anuais iguais, sendo a
primeira à vista. Qual é o valor de cada parcela,
se está sendo cobrado uro de 20% ao ano na
segunda e na terceira parcelas?
30. Um ventilador que custa R$ 100,00 à vista é vendi
do em uma loja em 2 parcelas iguais de R $ 60,00,
sendo a primeira no ato da compra e a segunda a
vencer em 30 dias. Qual é a taxa mensal de jur
cobrada pela loja?
31. Um aparelho de TV custa R$
R
R 800,00 à vista, ou zer
de entrada e mais 2parcelas iguais de R$ 430,00
com vencimentos em 30 e 60dias após a compra.
R$ 144.000,00

R11. Uma loja vende uma bicicleta por R$
300,00 à vis-
ta, ou por R$ 50,00 de entrada e mais 2 pagamen
tos mensais de R$ 135,00. Qual é a taxa mensal
de juro no planoa prazo? U s a r 5
 Resolução
No esquema da situação trazemos o valor de
todas as parcelas para o presente:
Portanto, a taxa de juro no plano a prazo é de,
aproximadamente, 5% a.m.
R12. Uma compra de R$ vai ser paga em par -
celas mensais e iguais, sendo a primeira à vista.
Deter minar o valor de cada parcela sabendo que
a loja cobra juro de 6,5% a.m.
 Resolução
Observe o esquema:
Nesse caso, temos:
5 0
1 3 5 1 3 5
3 0 0
2
1 1 5
1 1 1
Fazendo (1 1 i ) 5 k, temos:
5 0
1 3 5
2
1 3 5
5
k k
50k
2
27k 27 5 0
k 5
6
7) 6 . 1 2 9
2 5 0
Logo, k q 1,05 ou k q 20,51 (não serve).
Logo, 1 1 i q 1,05, ou seja, i q0,05.
consu , ouv a , a
loja e propôs pagar R$ 400,00 de entrada e mais
2 prestações mensais e iguais. Sabendo que a loja
opera com taxa de juro composto de 5% ao mês,
qual deve ser o valor de cada prestação para que
os dois planos sejam equivalentes? q R$ 292,68
60 dias
135
1 3 5
2
1 i
1 3 5
1 i
30 dias
no ato
135
50
x
0 6 5
2
1
,
60 dias
x
30 dias
no ato
x
x
um único pagamento de R $ 208.080,00. Nessa
quantia já está incluso o juro composto corres-
pondente aos 12 meses, à taxa mensal de 2%.
Ho e, ele entrou em contato com o credor
, mos-
trando interesse em liquidar sua dívida no dia
15/5/2018, desde que a dívida se a recalculada
com a retirada do uro correspondente aos 2 meses
de antecipação. Supondo que o credor concorde
o
o
nd
da f
foi até
t a
com João, quanto ele terá de pagar?
33. Em um comercial de televisão, o garoto-propa-
ganda anun
u cia:
R$ 200.000,00
AMANHÃ É O DIA DO REFRIGERADOR.
LEVE SEU REFRIGERADOR POR R$ 400,00
AGORA E MAIS R$600,00 DAQUI A 2 MESES
OU TRAGA SUA PROPOST
A PARA ANÁLISE!
E
N
Á
G
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C
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E
L
H
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9
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1
9
9
8
.
19

22. 1
6
4
2
5
7
8
9
50.000,00
50.500,00
Período
mês
Montante (R$)
na aplicação A
50.000,00
Montante (R$)
na aplicação B
1
2
4
5
6
7
0
B
F
órmula
Números que in icam
as linhas da planilha.
Campo que mostra a
fórmula associada à célula.
Letras que indicam as
colunas da planilha.
Campo que mostra a
célula selecionada.
B3 é a célula que está
na coluna B e na linha 3.
3
B3 50000*(110,01*A3
8
10 8
Para preencher a coluna A,
digitamos 0, 1 e 2,
identicando, assim, os
primeiros meses.
Selecionamos essas três
células e, com o cursor
na quina da seleção e
com o botão esquerdo
do mouse clicado,
e
arrastamos a seleção
para preencher os
meses seguintes.
Para preencher a coluna B com os montantes ao m de cada
mês, basta selecionar a célula B3 e arrastar a seleção para baixo,
assim como foi feito na coluna A. Esse procedimento copia a
fórmula da célula B3 para as células B4, B5, B6, B7, …,
substituindo A3, respectivamente, por A4, A5, A6, A7, …
Para calcular o montante da aplicação A
(regime de juro simples) ao m do 1º mês,
digitamos, na célula correspondente,
a fórmula:
550000*(110,01*A3)
[Calcula o valor de: 50.000 (1 1 0,01 1)]
v r A3
taxa mensal
capital inicial
…
5
O uso de planilhas eletrônicas
nos cálculos financeiros
Além da calculadora, as planilhas eletrônicas são muito usadas para auxiliar nos
cálculos relacionados a operações financeiras. V
amos acompanhar dois exemplos
de problemas resolvidos empregando planilhas.
a) Lorena tem R$ 50.000,00 e duas opções para investir esse dinheiro:
            
             
Qual das aplicações é mais vantajosa para Lorena?
V
amos analisar
, com o auxílio de uma planilha eletrônica, o que acontece
com o montante no decorrer do tempo em cada uma das aplicações.
I
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:
A
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C
C
O
1
6
4
2
5
7
8
9
50.000,00
50.500,00
51.000,00
51.500,00
52.000,00
52.500,00
53.000,00
53.500,00
Período
(mês)
Montante (R$)
na aplicação A
50.000,0
50.450,00
Montante (R$)
na aplicação B
1
2
3
4
5
6
7
0
D
C
F
órmula
3
C3 50000*(10,009^A3)
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
Assim como fizemos para a coluna B,
arrastamos a seleção da célula C3 para
as outras células da coluna.
Para calcular o montante da aplicação B
(regime de juro composto) ao fim do
1º mês, digitamos, na célula
correspondente, a fórmula:
50000*(1 + 0,009)^A3
Calcula o valor de: 50.000 (1  0,009) ]
valor da célula A3
taxa mensal
capital inicial
…
…
Ao apresentar os exemplos, discutir
as dificuldades e até que ponto seria
trabalhoso resolver ambos os problemas
realizando os cálculos um a um sem o
auxílio da planilha eletrônica.
O estudo deste item é opcional.
Se possível, levar os alunos à sala de
informática da escola ou pedir que, em
casa, reproduzam os procedimentos em
uma planilha eletrônica.
Caso opte por não estudar este tópico,
verificar a necessidade de explicar aos
alunos como funciona uma planilha
eletrônica no Pesquisa e ação
deste capítulo.
Comentar com os alunos que, na planilha, os resultados
aparecem arredondados para a segunda casa decimal.
R
e
p
r
o
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ç
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o
p
r
o
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b
i
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A
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0
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1
9
9
8
.
20

23. Exercícios propostos
Registre as respostas em seu caderno
1
3
4
2 50.000,00
50.500,00
51.000,00
Período
(mês
Montante (R$)
na aplicação A
Montante (R$)
na aplicação B
1
2
3
50.000,00
50.450,00
50.904,05
25
26
61.500,00 61.442,21
23
27
62.000,00 61.995,19
28
62.500,00 62.553,15
25
26
0
F
órm
…
5
11
120
4
118
119
121 120
118 117
8
…
P r v pr n p r l
ao m de cada período, digitamos, em B2,
a fó
f
f rmula: 2700/(1 0,0097)^A2
Em seguida, selecionamos essa célula e
arrastamos a seleção até B121.
2.700
(1 0,0097)
700/
2 (1 A
A2
B2 Fórmula
b) Para comprar uma casa, Juliana deu uma entrada correspondente a 10% do
valor do imóvel e fez um financiamento para o restante da dívida, a uma taxa
fixa de0,97% ao mês, a ser pago em 10 anos, com prestações mensais fixas
de R$2.700,00. Qual é o valor do imóvel à vista?
V
amos usar uma planilha eletrônica para calcular o valor presente de cada
uma das 120 parcelas mensais (equivalentes a 10 anos de pagamento). Em
se-
guida, basta adicionar esses valores para calcular o valor presente da dívida
e, então, calcular o valor do imóvel considerando que a dívida equivale a
90 de seu valor
.
Portanto, o valor do imóvel de Juliana à vista é R$ 212.167,72.
34. Luana está juntando dinheiro para fazer uma
viagem, que custará R$ 4.200,00. Ela vai aplicar
seu dinheiro em uma poupança, com rendimen-
to de 0,6% ao mês. Sabendo que hoje aplicou
R$ 1.000,00 e que ao fim de cada mês ela de-
positará na poupança R$ 200,00, após quanto
tempo, no mínimo, na conseguirá juntar a
a
quantia necessária para fazer a viagem? (Resolva
35. Everton fez um empréstimo de R $ 50.000,00 em
uma instituição financeira, a juro de 8% ao mês
sobre o saldo devedor
. Ao fim de cada mês após
o empréstimo, ele pagou R$ 3.000,00 à institui-
ção, a fim de diminuir a dívida. Porém, devido ao
crescimento acelerado da dívida, contatou a ins-
tituição, após 38 meses, para renegociar a
dívida.
Calcule, usando uma planilha eletrônica, quanto
era a dívida de Everton nessa data. R$ 270.315,95
Com os dados da planilha preenchidos, é possível com-
parar os montantes no decorrer do tempo para as duas
aplicações. Preenchendo apenas o começo da planilha,
acharemos, erroneamente, que a aplicação A é sempre
mais vantajosa.
Mas,arrastando a seleção das fórmulas para um número
maior de meses, veremos que a partir do 25
o
mês a apli-
caçãoB passa a ser mais vantajosa que a aplicação A.
Portanto, deve-se considerar o tempo em que Lorena
deixará esse capital aplicado. Caso esse tempo seja infe-
rior a 25 meses, a aplicação A será mais vantajosa; caso
seja superior ou igual a 25 meses, a aplicação B será mais
vantajosa.
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1
3
4
5
119
120
2.674,06
2.648,37
2.622,93
.5 7,7
864,30
856,00
Perío
í
í do
(mês)
a
V
V lor presente
da parcela (R$
R
R )
190.950,95
V
a
V
V lor presente
total da dívida (R$
R
R )
212.167,72
a
V
V lor total do
imóvel (R$
R
R )
2
3
4
118
119
12
1
C
F
F rm
r
r l
l
2
2 MA(B2:B121)
117
Assim, calculados os valores presentes de todas as parcelas, gitamos
em uma célula da planilha, na célula C2, por exemplo, a ó
f
f rmula:
OMA(B2:B121)
(Adiciona os valores das células B2 a B121)
Essa soma representa o valor total da dív
í
í ida no presente.
122
122
122
…
Para lcular o valor total
do imóvel à vista, digitamos,
em outra c lula, a fó
f
f rmula:
C2/0,90
(Calcula a razão entre o
valor da cél la C2 e 0,90)
Essa razão o
f
f rne e o valor
à vista do imóvel.
omentar com
os alunos que,
na planilha,
os resultados
aparecem
arredon ados
para a segunda
casa decimal.
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9
8
.
21

24. Exercícios complementa res
Registre as respostas em seu caderno
1. (Mackenzie-SP) O setor de recursos humanos de uma
empresa entrevistou candidatos a empregos, sendo
2
3
a razão entre o número de aprovados e o de repro-
vados. Dos entrevistados, foram aprovados:
a 30% 32% 36% d 40% 45%
2. Antes de colocar certo produto à venda, um comer -
ciante aumentou seu preço em 20%. Se o desconto
no
ato da venda também for de 20%, que porcentagem
do preço inicial o comprador pagará pelo produto?
3. O preço original de um objeto de R 260,00 sofreu dois
aumentos sucessivos: um de 20% e outro de 30%.
a) O novo valor do objeto é 50% maior que o original?
b) Qual é o novo valor e qual é a taxa acumulada pelos
dois aumentos?
4. Em uma sessão de ginástica de uma academia, 25%
dos presentes são do sexo feminino. Se 3 moças se
retirarem, a porcentagem passará a ser 20%. Quantas
moças continuarão na sessão de ginástica?
5. Fuvest-SP Um reservatório com 40 c de capacidade
já contém 30 c de uma mistura gasolina/álcool com
18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma
nova mistura gasolina/álcool de modo que a mistura
resultante tenha 20% de álcool. A porcentagem de
álcool nessa nova mistura deve ser de:
a) b) c) 24 d) 26% e) 28%
6. (PUC) Em uma indústria é fabricado certo produto ao
custo de R$ 9,00 a unidade. O proprietário anuncia a
venda desse produto ao preço unitário de reais, para
x
que possa, ain a que an o ao compra or um es-
conto de 10% sobre o preço anunciado, obter um lucro
de 40% sobre o preço unitário de custo. Nessas con-
dições, o valor é:
x
a 24 18 16 14 e 12
7. Em um período em que a inflação é 25%, qual será a
perda do poder aquisitivo da moeda?
8. Um contrato estabelece a aplicação, a juro simples,
de
3
de um capital à taxa de 6% a.m., durante 2
me-
ses; o restante à taxa de 4,5% a.m., também a juros
simples, durante 3 meses. Para que todo o capital em
uma mesma aplicação tivesse em 3 meses a mesma
rentabilidade, qual deveria ser a taxa anual?
9. (Faap-SP) Um investimento de R $ 24.000,00 foi apli-
cado parte a juro simples de 1,8% ao mês e parte a 3%
ao mês. Se o juro mensal é igual a R $ 480,00, quais
são as partes correspondentes do investimento?
alternativa d

não
   
moças
alternativa d
alternativa d


R$ 20.000,00; R$ 4.000,00
Aplicação
10. (UFC-CE) Uma pessoa, dispondo de 60.000 reais,
aplica parte dessa quantia no banco A, a uma taxa de
juro simples de 5% ao ano. O restante é aplicado no
banco B, a uma taxa de juro simples de 7% ao ano.
Depois de 1 ano verificou-se que as quantias aplica-
das tiveram o mesmo rendimento. Pode-se afir mar
,
corretamente, que a quantia aplicada no banco A, em
reais, foi:
a) 19.000 c) 27.000 e) 35.000
b 20.000 d 30.000
11. Em 1
o
de abril de deter minado ano, um artigo que
custava R$ 250,00 teve seu preço diminuído em p % de
seu valor
. Em 1
o
de maio do mesmo ano, o novo preço
foi diminuído em p % do seu valor
, passando, então,
a R$ 211,60. Utilizando uma calculadora, deter mine
o valor de p
12. Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, a juro compos-
to com taxa de 1,4% ao mês, para pagar uma dívida
de R$ 3.600,00 da ui a 3 meses? E uma dívida de
R$ 8.700,00 daqui a 5 meses?
13. (FGV) No regime de juro composto, a taxa de juro
anual que produz um montante 44% superior ao
capital inicial, no prazo de aplicação de 2 anos, é:
a) 20% b) 21,5% c) 21% d) 20,5% e) 22%
14. (FGV) Uma aplicação financeira rende juros de 10%
ao ano, compostos anualmente.
alternativa e
8
q $ 3.452,94;
q $ 8.115,77
alternativa a
x 2 5 11
log x 0,30 0,70 1,04
15. Uma mercadoria é vendida em 3 parcelas iguais de
R$ 320,00, sem entrada. Se a taxa de juro do finan-
ciamento or 5% ao mês, qual será o valor aproximado
dessa mercadoria para pagamento à vista? q R$ 871,44
Utilizando para os cálculos as aproximações for ne-
cidas na tabela, pode-se afir mar que uma aplicação
de R $ 1.000,00 seria r esgatada no montante de
R$ 1.000.000,00 após:
a) mais 1 século d)
2
e sécu o
b) 1 século e)
3
4
de século
c)
4
5
de século
alternativa e
Aprofundamento
16. (Vunesp) Uma loja vende um produto no valor de
R$ 200,00 e oferece duas opções de pagamento aos
clientes: à vista, com 10% de desconto, ou em 2
pres-
tações mensais de mesmo valor
, sem desconto, a
primeira sen o paga no momento a compra. A taxa
mensal de juro embutida na venda a prazo é:
a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% e) 90%
alternativa d
R
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1
9
9
8
22

25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17. Observe os gráficos abaixo. Um deles representa
a
aplicação de R$ 300,00 a juro composto, e o outro,
a
aplicação desse mesmo valor a juro simples.
1 . Em deter minado ano, nos meses de janeiro, fevereiro
e março, as taxas de inflação foram, respectivamente,
de 1,2%, 0,8% e 1,3%. Qual foi a taxa de inflação
acumulada nesse primeiro trimestre? E qual deve
ser
a taxa máxima de inflação de abril para que a taxa
acumulada no quadrimestre seja de, no máximo, 4%?
19. (Enem) Considere que uma pessoa decida investir uma
deter minada quantia e que lhe sejam apresentadas
três possibilidades de investimento, com rentabili
dades líquidas garantidas pelo período de um ano,
confor me descritas:
Investimento A: 3% ao mês
Investimento B: 36% ao ano
Investimento C: 18% ao semestre
As rentabilidades, para esse investimento, incidem so-
bre o valor do período anterior
. O quadro fornece algu-
mas aproximações para a análise das rentabilidades:
q  q 
V
alor (real)
300
600
900
1.200
0
1 2 3 T
em o (meses)
a) No regime de juro composto, qual será o montante
após 3 meses?
b) Após que mês é menos vantajoso o regime de juro
simples?
R$ 2.400,00
após o 1 mês
c) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade
anual é maior que as rentabilidades anuais dos
investimentos B e C.
d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade
de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do
investimento A e de 18% do investimento C.
e escolher o investimento C, pois sua rentabilidade
de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36%
ao ano dos investimentos A e B.
20. (Enem) Arthur deseja comprar um terreno de Cléber
,
que lhe oferece as seguintes possibilidades de paga
mento:
        $ 55.000,00.
         
R$
R
R 
30.000,00, e mais uma prestação de R$ 26.000,00
para dali a 6 meses.
         
R$
R
R 
20.000,00, mais uma prestação de R$ 20.000,00,
para dali a 6 meses e outra de R $ 18.000,00 para
dali a 12 meses da data da compra.
         
R$ 15.000,00 e o restante em 1 ano da data da
com-
pra, pagando R$ 39.000,00.
           
R$ 60.000,00.
Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia
se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista
(ou até um valor menor) em um investimento, com
rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os va-
lores à medida que as prestações da opção escolhida
fossem vencendo.
Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro
e das condições apresentadas, Arthur concluiu que
era mais vantajoso inanceiramente escolher a opção:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
alternativa d
n 1,03
n
1,093
6 1,194
9 1,305
12 1,426
A
D
L
S
O
N
S
E
Para escolher o investimento com a maior rentabili-
dade anual, essa pessoa deverá:
a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C,
pois suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.
b) escolher os investimentos A ou C, pois suas ren-
tabilidades anuais são iguais a 39%.
alternativa c
Desaf io
21. Um super mercado negocia com seus for necedores
150.000 unidades de deter minado produto. Na pri-
meira
semana de vendas, o público consumiu
2
3
das
unidades, com lucro unitário de 30% sobre o custo
para o supermercado; na semana seguinte, consumiu
todas as restantes, com lucro unitário de 15% sobre
o custo. Qual foi a taxa percentual média do lucro do
super mercado nessas vendas?
22. (Ibmec-SP) Se x reais forem investidos em deter mi-
nada aplicação, então o rendimento gerado por essa
aplicação e o imposto que irá incidir sobre esse ren-
dimento serão ambos iguais a x %. O maior valor de x
para o qual essa aplicação não gera prejuízo é:
a) R$ 50,00 d) R$ 125,80
b) R$ 83,33 e) R$ 161,80
c) $ 100,00

alternativa c
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9
8
.
23

26. Autoavaliação
Registre as respostas em seu caderno
6. Ao ser aplicado, um capital C aumentou em 4%
C
no primeiro mês. No segundo mês, houve um
desconto de 4% sobre o novo valor
, obtendo o
montante . Podemos dizer que:
a) houve lucro. c) é igual a
C M
M
M
b) houve prejuízo. d) é maior que
M C
7. No regime de , o juro incide apenas sobre
o capita investi o, e o montante resgata o nesse
regime epen e o capita , o tempo e ap icação
e da taxa de juro.
a) juro composto
b) aplicações sucessivas
c) juro simples
d) descontos sucessivos
8. o rendimento obtido ao fim de cada perío-
do de aplicação é incorporado ao capital inicial,
dando origem a um novo montante; a partir daí,
calcula-se o juro sempre sobre o resultado da
aplicação anterior
.
a) No regime de juro composto
b) No regime de juro simples
c) Em qualquer regime de capitalização
d) Não há regime de capitalização no qual
9. Uma loja vende um produto no valor de R $ 150,00
e oferece duas opções de pagamento aos clientes: à
vista com 10% de desconto ou, sem desconto, em
2 parcelas iguais, sendo uma no ato da compra e
outra 30 dias depois. A taxa de juro cobrada na
compra parcelada é:
a) 10% c) 18%
b) 15% d) 25%
10. O s a l á r i o l í q u i d o m e n s a l d e u m a p e s s o a é
R$ 3.000,00. Todo mês ela poupa 10% de seu
salário líquido e aplica esse valor em um fundo
que rende juros compostos à taxa de 2% ao mês.
O saldo dessa aplicação logo depois de ela fazer o
terceiro depósito é:
a) R$ 918,12 c) R$ 903,00
b) R$ 906,00 d) R$ 618,12
alternativa b
alternativa c
alternativa a
alternativa d
alternativa a
1. Em uma sala de aula, a razão entre o número de
meninos e o número de meninas é
3
5
. Em rela-
ção ao total de alunos na sala, a porcentagem de
meninas é:
a) 37,5%
b) 60%
c) 62,5%
d) 40%
2. Na composição do feijão, 22% são pr oteínas.
A massa de proteínas, em grama, existente em
300g de feijão é:
a) 66
b) 132
c) 156
d) 660
3. Ao comprar uma bicicleta de R $ 950,00 com des-
conto de 18%, o cliente pagará:
a) R$ 932,00
b) R$ 968,00
c) R$ 779,00
d) R$ 171
Após um aumento de 15%, um produto passou a
ser vendido por R$ 48,30. O preço desse produto,
antes do aumento, era:
a) R$ 33,30
b) R$ 42,00
c)
d) R$ 32,00
5. U m a p a r e l h o d e T V c u j o p r e ç o o r i g i n a l é
R$ 1.000,00 está sendo vendido por R $ 885,00.
Assim, a loja está oferecendo um:
a) aumento de 88,5%.
b) desconto de 88,5%.
c) aumento de 11,5%.
d) desconto de 11,5%.
alternativa c
alternativa a
alternativa c
t rn tiv
alternativa d
Se você não acertou al uma questão, consulte a tabela e verifique o que precisa estudar novamente.
Releia a teoria e refa a os exercícios correspondentes.
Retomada de conceitos
Objetivos do capítulo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Resolver problemas que envolvam
taxa percentual.
X X X X X X X X
Analisar e aplicar os regimes de juro
simples e de juro composto.
Páginas do livro referentes ao conceito 10 a 12 10 a 12 10 a 12 10 a 12 10 a 12 11 a 14 14 e 15 16 a 18 16 a 19 16 a 19
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9
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2
4

27. Planejamento financeiro
Pesquisa e ação
P rocedime ntos
1) Reúna-se com seus colegas em pequenos grupos e criem
um perfil familiar
. Para isso, vocês deverão considerar a
quantidade de adultos que possuem renda e a quanti-
dade de dependentes (crianças, adolescentes e adultos).
Por exemplo, é possível considerar uma família composta
de
dois
adultos que possuem renda e duas crianças, uma
de
3 anos e outra de 5 anos.
2) Em seguida, devem considerar a renda mensal dessa fa
mília. A renda mensal de uma família é composta pelas
rendas de todos os integrantes da família que recebem
algum tipo de remuneração.
3) A próxima etapa é fazer um levantamento dos gastos dessa
família. Nessa etapa, cada integrante do grupo deverá
levantar os dados de sua própria casa (valores astos com
á ua, luz, telefone fixo, telefone celular
, alu uel,
condomí-
nio, presta ão da casa própria etc.), para depois comparar
com os demais cole as e, untos, construírem um asto da
família criada pelo rupo. Lembrem: existem astosfixos
e existem astos ocasionais, como a compra de um eletro-
doméstico, por exemplo.
4) Após a coleta dos dados, o grupo deverá organizar
, usan-
do uma planilha eletrônica, as informações dos gastos da
família em uma tabela. Ao final, deverão avaliar se a renda
estimada inicialmente é suficiente para sustentar os gastos
dessa família ao longo de um mês.
5) Com todos os dados organizados (renda e gastos), o gru-
po deverá apresentar um gráfico mostrando os gastos
da família e avaliando o planejamento financeiro feito,
expondo-os para o restante da turma.
6 Ao final, o grupo deve escrever uma recomendação para a
saúde financeira dessa família inventada. Se a renda estiver
de
acordo com os gastos, deve elaborar uma mensagem
de
apoio. Caso contrário, deve orientar a família a economizar
para ajudar no planejamento financeiro.
7) V
ocê e os colegas de classe, com o professor
, poderão
organizar uma oficina sobre planejamento financeiro.
T
er uma vida financeira saudável e equilibrada pode parecer
simples, mas requer planejamento e cautela. E a receita para
isso não é nada complicada: basta que os gastos da amília
sejam menores ou iguais à renda familiar
. Mas como saber
se
a renda amiliar é su iciente para os gastos realizados ao
longo de um mês?
V
amos elaborar uma planilha de planejamento financeiro
para uma família. O controle financeiro se dá no equilíbrio
entre o consumo (gastos essenciais fixos, gastos variáveis e
gastos imprevistos) e a renda familiar
.
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28. C
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2 Probabilidade
feminino de 1999, nos Estados Unidos.
na pelo Campeon
n
nato
a Sul-Americano
o de
d
futebol femi
emi
minino de 1995, no B
Brasil.
feminino de 2015, no Canadá.
Jogadora da seleção b
brasileira Si
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ssi em pa ti
rtida contra
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rgen
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J
J
Jog ra
os jog
o os de fu
utebol vale
le a r
regra 8:
“Uma
m mo da será lançad
a a ao ar e a
a
a
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equipe q
q
q
que g
g
ganhar o so t
r
r eio decidirá
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a dire ão
o
o para a qual tacará no
primei
eiro tempo
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p da partid
i a.
A
A outra equipe
p efetu rá o tiro de
saída para ini
iciar a p rti a
A qui e q
que ganhar o sorteio
execut rá o tiro de saída
a para iniciar
o se u
g ndo tempo da p
partida.
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”
D
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D spon el em: <www
.
w cbf.com.br>.
m: nov
. 5.
5
Objeti
vos do capítulo
 Determinar o espaço
amostr
al, os e
v
entos
desse esp ç e calcular
o n ero de elementos
dessescon
juntos.
 Calcular a probabilidade
de ocorrência de
me
vento.
 Traba har com
situações-problema
queen
volvam a teoria
dasprobabilidades
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Se achar necessário, antes de estudar este capítulo,
revisar os conceitos de Análise combinatória vistos
no capítulo10 do volume do 2 ano.
26
26
26
2
26
2
2
2
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2
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2
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26

29. V
ocê já deve ter percebido que, nos jogos de futebol, antes de iniciar a partida,
o juiz pede aos capitães de cada equipe que escolham um lado da moeda (cara
ou coroa). Em seguida, a moeda é lançada para o alto, e o vencedor desse cara ou
coroa po e esco er o a o o campo para iniciar a parti a.
Esse método é usado para garantir que as duas equipes tenham a mesma chance
de escolha, já que só é possível obter um de dois valores: cara ou coroa.
A área da Matemática que investiga a chance de ocorrência de um evento é
denominada teoria das probabilidades e teve sua origem no século XVII, na
tentativa de responder a questões ligadas aos jogos de azar
.
Atualmente, a teoria das probabilidades é aplicada em múltiplos aspectos da
vida social e da pesquisa científica, como na previsão meteoroló ica, na análise
especulativa da economia mundial e do mercado financeiro ou no estabelecimento
dos possíveis efeitos colaterais dos medicamentos.
1
Experimento aleatório,
espaço amostral e evento
Analisando a situa ão em que uma moeda é lan ada pelo uiz em uma par-
tida de futebol, percebemos que, antes do lan amento, não é possível saber
com exatidãoqual será o resultado. Por isso, esse tipo de situa ão é chamado de
experimento aleatório
. São também classificados como experimentos aleatórios
o lan amento de um dado, a retirada de uma bola numerada em um bin o, o
sorteio de seis números em uma loteria, entre outros.
Os possíveis resultados no lançamento de uma moeda, denominados eventos
são cara ou coroa. O conjunto {cara, coroa} forma o espaço amostral desse
experimento.
No caso do lançamento de um dado cúbico per eito (ou honesto), é possível
apostar em qualquer dos números indicados em suas faces. Na face voltada para
cima, podem aparecer os números (eventos) 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Esses números formam
o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6} desse experimento aleatório.
Podemos definir esses conceitos da seguinte maneira:
Obser vação
Quando realizamos seguidos
lançamentos de um dado cúbico
perfeito (ou honesto), cada uma
de suas faces tem a mesma
chance de ficar voltada para cima.
Neste capítulo, salvo aviso em
contrário, consideraremos todos
os dados perfeitos. Isso também
é válido para moedas, baralhos,
bolinhas numeradas etc.
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Exemplos
a) No lançamento de um dado, um possível evento é: “o número apresentado
na face voltada para cima é par”. Nesse caso, o espaço amostral é
S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e o evento é E 5 {2, 4, 6}. O número de elementos dos
dois conjuntos é indicado, respectivamente, por n(
S) 5 6 e n(E)
E 3.
b) Quando se retira uma bola de uma urna contendo 50 bolas numeradas de
1
a
50, um possível evento é: “a bola retirada conter um número primo menor
que 20”. O espaço amostral desse experimento é S 5 {1, 2, ... , 50}, e o even-
to é E 5 {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. O número de elementos do conjunto
S é
S
n(S )550 e o do conjunto é n(
E E ) 5 8.
c) No sorteio de uma carta de um baralho de 52 cartas, um possível evento
é: “a carta sorteada ser de copas e com figura”. O espaço amostral desse
experimento é o conjunto S 5 {ás de copas, 2 de copas, ..., rei de copas, ás
de ouros, 2de ouros, ..., rei de ouros, ás de espadas, ..., rei de espadas, ásde
paus, ..., rei de paus}. O evento é o conjunto E 5 {valete de copas, dama
decopas, reide copas}. Nesse experimento, n(
S) 52 e n(E ) 5 3.
Experimento aleatório é todo experimento que, quando repetido várias
vezes e sob as mesmas condições, apresenta, entre as possibilidades, resulta-
dos imprevisíveis.
Espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os
resultados possíveis desse experimento.
Evento E
E
Ao iniciar este assunto, discutir
com os alunos o significado dos
termos acaso casual aleatório
chance e possibilidade
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27

30. Exercícios resolv idos
1.1 Evento simples, evento cer to e evento impossível
T
odo subconjunto unitário do espaço amostral é denominado evento simples
ou evento elementar
Se um evento coincidir com o espaço amostral, será chamado de evento certo
Por exemplo, no lançamento de um dado, “obter um número natural menor
que7” é um evento certo.
Se um evento for o conjunto vazio, será chamado de evento impossível
Porexemplo, no lançamento de um dado, “obter um número maior que 6” é um
evento impossível.
R1. Lançando-se dois dados, um ver melho e um branco, e considerando as
faces voltadas ara cima, res onder às uestões.
a) Quantos elementos há no espaço amostral?
b) E m q u a n t o s c a s o s a s o m a d o s n ú m e r o s d a s f a c e s s u p e r i o r e s
émaiorque 8?
c) Em quantos casos o produto dos números das faces superiores
éiguala 28?
 Resolução
a) A tabela a seguir mostra todos os possíveis resultados.
Portanto, há 36 elementos no espaço amostral.
b) Observando a tabela, notamos que a soma é maior que 8 em 10
ca-
sos. Logo, o número de elementos que correspondem ao evento
“soma maior que 8” é igual a 10.
c Os únicos pares de números naturais cujo produto dos elementos
é 28 são (28, 1), (14, 2), (7, 4), (1, 28), (2, 14) e (4, 7). Uma vez que
nenhum desses pares ordenados pertence ao espaço amostral S,
o evento “produto igual a 28” não tem elementos, ou seja, trata-se
de um evento impossível.
R2. Cada um dos números 1, 2, 3 e 4 é escrito em um pequeno cartão,
sendo todos depositados em uma caixa. Se dois cartões são sorteados
aleatoriamente, um após o outro, determinar o espaço amostral quando
esse experimento é realizado:
a) com reposição dos cartões. b) sem reposição.
 Resolução
a) Se o experimento é realizado com reposição, os números 1, 2, 3 e
4 “participam” de ambos os sorteios, e o espaço amostral é dado
por S 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1),
(3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}.
dado branco
1 2 3 4 5 6
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1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) 3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
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28

31. Exercícios propostos
Registre as respostas em seu caderno
2. Se, no início de uma rodada de bingo da família
Silva, alguém disser “vai sair um número maior
que 3”, a chance de acerto é maior que a de erro:
sair um número maior que 3 é, nesse caso, um
acontecimento (evento) muito provável (não ocor -
re sempre, mas ocorre com frequência). Determine
quantos elementos têm esse evento e o espaço
amostral.
3. Em um jogo de baralho comum, com 52 cartas,
temos 13 cartas de ouros, 13 cartas de copas,
13 cartas de paus e 13 cartas de espadas. Se
alguém disser “vai sair um rei de ouros”, esta-
r á a p o s t a n d o e m u m a c o n t e c i m e n t o ( e v e n t o )
poucoprovável
87; 90
Obser vação
P
ara calcular o número de
combinações de n elementos
agrupados p a p, usamos a fórmula:
C
n
n p
!
) !
b) Se o experimento é realizado sem reposição, o número que foi sor -
teado em primeiro lugar não “participa” do segundo sorteio. Nesse
caso, o espaço amostral é diferente daquele do experimento com
reposição. Assim, o espaço amostral é dado por S 5 {(1, 2), (1, 3),
1, 4 , 2, 1 , 2, 3 , 2, 4 , 3, 1 , 3, 2 , 3, 4 , 4, 1 , 4, 2 , 4, 3 }.
R3. Uma caixa contém 2.000 lâmpadas, das quais 5 estão queimadas. Um
experimento consiste em escolher
, aleatoriamente, 5 lâmpadas dessa
caixa e verificar se estão queimadas ou não. Deter minar o número de
elementos do espaço amostral desse experimento.
 Resolução
Listar
, caso a caso, todos os elementos do espaço amostral desse expe-
rimento é impraticável, em razão do elevado número de possibilidades.
Porém, podemos utilizar a Análise combinatória para deter minar o
número de elementos desse espaço amostral.
T rata-se de um caso de combinação (pois a ordem em que as lâmpa-
das são sorteadas não é importante), no qual vamos deter minar de
quantas maneiras 5 lâmpadas podem ser selecionadas de um total
de 2.000lâmpadas disponíveis. Assim:
C
2.000, 5
2 . 0 0 0 ! 2 . 0 0 0
5 5
!
5 ! 1 . 9 9 5 !
5
1 . 9 9 5
1 . 9 9 5
5
1 9 9 9 1 9 9 8 1 9 9 7 1 9 9 6
q 2,65 1
14
Logo, o total de elementos desse espaço amostral é, aproximada-
mente, 2,65 10 .
A família Silva gosta
de jogar bingo em
casa sorteando ao
acaso números de
1
a 90. Consideran-
d o q u e o n ú m e r o
s o r t e a d o n a p r i -
meira r odada seja
um múltiplo de 5,
e s c r e v a o e s p a ç o
amostral e o even-
t o r e p r e s e n t a t i v o
dasituação.
S 5 {1, 2, 3, ..., 89, 90}; E 5 {5, 10, 15, ..., 85, 90}
Nesse caso, o número de elementos do evento
é muito menor que o número de elementos do
espaço amostral? Justifique sua resposta com
uma contagem.
4. Para o lançamento simultâneo de dois dados, um
azul e um vermelho, considerados ambos perfeitos,
determine o espaço amostral e os eventos corres-
pondentes a cada uma das situações a seguir
.
a) Sair o mesmo número em ambos os dados.
b) Sair soma 9.
c) Sair soma menor que 2.
d) Sair produto maior que 30.
e) Sair produto menor que 10.
) Sair soma maior que 1 e menor que 15.
g) Sair número par em ambos os dados.
h) Sair
, em um dos dados, o número 6 e, no outro
dado, um número múltiplo de 3.
5. E m u m a e m b a l a g e m , h á
500 parafusos. Um experi-
mento consiste em escolher
,
aleatoriamente, 3 parafusos
dessa embalagem e verificar
r
se eles estão de acordo com
as normas de qualidade.
Calcule o número de elemen-
tos do espaço amostral desse
experimento.
sim, pois n(E
(
( ) 5 1 e n(S) 5 52
{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
Ö
{(6, 6)}
S
{(6, 3), (3, 6), (6, 6)}
20.708.500
J
O
N
A
T
H
A
N
K
I
T
C
H
E
N
/
G
E
T
T
Y
M
A
G
S
O
I
V
I
Z
I
A
/
U
T
T
E
T
O
C
K
4. S 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), (2, 2), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (6, 6)}
a) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
e) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1),
(3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (6, 1)}
g) {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
R
e
p
r
o
d
u
ç
ã
o
p
r
o
i
b
i
d
a
.
A
r
t
.
1
8
4
d
o
C
ó
d
i
g
o
P
e
n
a
l
e
L
e
i
9
.
6
1
0
d
e
1
9
d
e
f
e
v
e
r
e
i
r
o
d
e
1
9
9
8
.
29

32. Exercícios resolv idos
Seja E um evento e
E S o espaço amostral finito, não vazio, de um experimento
S
aleatório. Como consequência da definição, temos:
0 < n(E ) < n(S)
0
n ( ) n
n ( )
n ( )
S S
S
S
n ( )
( )
E
0 < P(E)
E < 1
  E é um evento impossível, então
E P
(E ) 5 0.
  E é um evento certo, então
E P
(E ) 5 1.
2 Probabilidade
Acompanhe a situação a seguir
.
Suponha que um casal queira ter dois filhos. O primeiro filho poderá ser do sexo
masculino (M) ou do sexo feminino (F). O segundo também poderá ser de um dos
dois sexos. Sabendo que a chance de nascer um filho do sexo masculino é i ual a
de nascer um filho do sexo feminino, independentemente do sexo dos filhos já exis-
tentes, que chance existe de esse casal ter os dois filhos do sexo masculino (M, M)?
Podemos responder à questão determinando o espaço amostral S e o evento
S E
(dois ilhos do sexo masculino).
 S 5 M, M , M, F , F
, M , F
, F
 E 5 {(M, M)}
Note que n(E ) 5 1 e n(S ) 5 4.
Dizemos que a chance de nascerem dois filhos do sexo masculino é de 1 para
4,
ou seja,
1
4
Nessa situação, consideramos que, para cada evento simples, existe a mesma
chance de ocorrência. Quando adotamos esse critério em um espaço amostral
finito, esse espaço é denominado espaço amostral equiprovável
Obser vação
Em geral, a probabilidade é uma
medida de tendência, e não de
certeza.
Em um espaço amostral equiprovável , finito e não vazio, a probabilidade
de ocorrência de um evento E, indicada por
E P
(E ), é a razão entre o número de
elementos do evento, n(
E ), e o número de elementos do espaço amostral, n( ):
S
P
E
S
E
n ( )
n ( )
5
R4. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de a face superior
apresentar:
a) o número 3 (E
1
)?
b) um número menor que 7 (
2
)?
c) um número menor que 1 (
3
)?
d) um divisor da soma dos pontos de todas as faces do dado ( E
4
 Resolução
O espaço amostral S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} é equiprovável e n( S)
S
S 5 6.
a E
1
5 {3} é um evento simples e n( E
1
) 5 1; então, P E 5
1
6
b) E
2
5 {1, 2, 3, 4 , 5 , 6 } 5 S é um even to certo e n( E
2
5 6;
então, P E
c)
3
E
E 5 Ö é um evento impossível e n(
3
E
E ) 5 0; então, P E
0
6
0 .
d) O número total de pontos é: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 5 21
4
E 5 {1, 3} e n(E ) 5 então, P E
2
6
1
3
Ref lita
Qual é a soma das probabilidades
de todos os eventos simples no
ançamento e um a o?
Considerando P(n
(
( ) a probabilidade de
a face superior no lançamento de um
dado apresentar o número n, temos:
P(1) 1 P(2) 1 P(3) 1 P(4) 1 P(5) 1 P(6) 5
6 6 6 6
1
6 6 6
1
1 1 1 1 1
Comentário: Se considerar o momento
oportuno para a turma, essa questão
po e ser genera za a: a soma e to os
os eventos simples de um experimento
aleatório é sempre igual a 1.
R
e
p
r
o
d
u
ç
ã
o
p
r
o
i
b
i
d
a
.
A
r
t
.
1
8
4
d
o
C
ó
d
i
g
o
P
e
n
a
l
e
L
e
i
9
.
6
1
0
d
e
1
9
d
e
f
e
v
e
r
e
i
r
o
d
e
1
9
9
8
.
30