Ilhéus . 2012
Irene Mauricio Cazorla (Org.)
Pedagogia . Módulo 5 . Volume 3
METODOLOGIA DO
ENSINO DA MATEMÁTICA
Universidade Estadual de
Santa Cruz
Reitora
Profª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro
Vice-reitor
Prof. Evandro Sena F...
Ficha Catalográfica
1ª edição | Julho de 2012 | 476 exemplares
Copyright by EAD-UAB/UESC
Projeto Gráfico e Diagramação
Jam...
Coordenação UAB – UESC
Profª. Drª. Maridalva de Souza Penteado
Coordenação Adjunta UAB – UESC
Profª. Dr.ª Marta Magda Dorn...
DISCIPLINA
METODOLOGIA DO ENSINO
DA MATEMÁTICA
EMENTA
OBJETIVO
Fundamentos teórico-epistemológicos do ensino da Matemática...
OS AUTORES
Profª. Drª. Aida Carvalho Vita
Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora
Adjunta da UESC. Pesquisa...
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Visando dar uma visão panorâmica do ensino da Matemática nos
anos iniciais do Ensino Fundamenta...
SUMÁRIO
NÚMERO
E OPERAÇÕES
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
•	 elaborar situações nas quais seus estuda...
1	 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE NÚMEROS
Muitas pessoas dizem não gostar de discutir quando o assunto é
Matemática e ...
maneira significativa. Assim, o professor dos anos (séries) iniciais pode
favorecer tais aprendizagens, buscando a ampliaç...
Figura 1 – Exemplo de atividade de seriação com o software ITS.
b)	 Classificação: é uma operação lógica que organiza a re...
c)	 Quantificadores: expressam relação de quantidade de objetos,
identificando onde há mais ou menos objetos, associam ele...
d)	 Contagem: é importante que a criança adquira o senso numérico
e a capacidade para distinguir pequenas quantidades, com...
f)	 Reconhecimento: significa reconhecer as diversas representações
associadas ao número. Na Figura 7, a criança deve reco...
h)	 Cardinalidade: é o reconhecimento do número de elementos que
compõem o conjunto, isto é, a identificação da quantidade...
Decimal e constituição do conceito de número natural.
A esse respeito, o número pode ser considerado a síntese
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partir de estruturas cognitivas mais simples que se...
dimensões qualitativas relacionadas ao processo de quantificação.
Quando a criança está diante de um conjunto de elementos...
Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN
(BRASIL, 2000) enfatizam que, no ensino fundamental, o conhecime...
0.000.000, 70 sextilhões) e muito pequenos, como a massa de um próton
(0,00000000000000000000000000167 gramas). Por isso p...
Figura 13 – Os dedos das mãos como origem do Sistema de Numeração Decimal. Fonte: UAB/UESC
Figura 14 – Correspondência um ...
Na China, algumas mulheres calculavam o seu ciclo menstrual atando,
sucessivamente, a cada dia um pequeno cordão nas vinte...
Outras práticas de contagem e registro utilizavam
cordas.
A civilização Inca nasceu aproximadamente no
início do século XI...
Os quipus também serviam de representações de calendários,
fatos religiosos, estatísticos e para a transmissão de mensagen...
ser encontrados em Peixoto, Santana e Cazorla (2006) e em
Nunes, Soledade e Reis (1998).
3.3 Do ábaco aos algoritmos
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algarismo, dois algarismos, três algarismos, ou com quantos
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longo processo de constituição do homem na sua relação com o meio
onde vive. E concluímos que o surgimento do ábaco consti...
corresponde uma ordem. Por exemplo, o número 1.223.456 possui 7
ordens e 3 classes.
1.223.456 (um milhão, duzentos e vinte...
Centena Dezena Unidade
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Valor relativo do 7 700 70 7
7 7 unidades 7 unidades
7 0 7 dezenas 70 unidades
7 0 0 7...
especialmente complexa, a da composição aditiva, que a
criança precisa compreender.
As atividades de contagem mais comuns ...
um algoritmo é uma norma executável, um conjunto de
instruções, para obter uma solução para certo tipo de
problema.
Por ex...
Algumas propriedades das operações que auxiliam no cálculo mental:
1)	 Comutativa:
Na adição, a ordem das parcelas não alt...
5.2 Algumas estratégias de cálculo mental
Na soma, podemos:
Resolver uma soma: 34 + 25:
a)	 Primeiro decompomos o 34 = 30 ...
Na multiplicação, podemos:
a)	 Decompor um dos fatores e usar a
propriedade distributiva. Por exemplo: 7 x 15
7 x 15 =
(7 ...
culos de multiplicação e divisão por meio
de estratégias pessoais. Utilização de es-
timativas para avaliar a adequação de...
interpretação e resolução do algoritmo da adição pelos nossos alunos. Vamos
exemplificar esta técnica utilizando a soma da...
b)	 Subtração
Além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com
a subtração, é preciso também que a criança ap...
d)	Agora, na casa das dezenas, temos
12 bolinhas e podemos retirar 3;
e)	 Finalmente, das 6 centenas
retiramos 4 e obtemos...
Muitas vezes trabalhamos com as operações de adição e de
subtração como sendo operações inversas ou contrárias. Na verdade...
a)	 Composição: são situações que apresentam partes e um todo.
Exemplo 1: Lia tem duas caixas de bombons. Na primeira tem ...
Exemplo 2: Maria tinha R$ 12,00 e comprou uma boneca por R$ 4,00.
Com quantos reais Maria ficou?
Para a categoria transfor...
Veja a seguir como fica o diagrama da comparação colocado no
contexto do exemplo 3:
Observe que o diagrama da comparação i...
Neste exemplo têm-se duas transformações que vão se juntar para
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Para a categoria composição de relações, o diagrama fica no
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inerentes ao Campo Aditivo. O Quadro 1, a seguir, indica alguns deles
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Figura 21 – Desempenho geral dos estudantes baianos.
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Figura 22 - Desempenho geral por ano escolar dos estudantes do Sul da Bahia.
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Santana (2010) aponta erros comet...
Figura 24 - Exemplo de erro ao efetuar a operação.
Observe que o estudante parece compreender as relações que
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estudante à reflexão através da interpretação da situ...
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7.4 Sugestões para o trabalho com adição e subtração
•	 Ajude o estudante a entender a situação antes de buscar a operação...
ATIVIDADES
1)	 O Brasil tem uma extensão territorial de 8.547.403 km2
(quilômetros
quadrados).
a)	 Quantos algarismos tem ...
Figura 28 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.
a)	 Como você trabalharia esse erro com seu alun...
c)	 Vivian tem R$ 67,00 e Cláudio tem R$ 12,00 a menos que ela.
Quantos reais tem Cláudio?
d)	 Telma e Marilene arrecadara...
envolvidos. Seguindo a classificação dada por Vergnaud (1982), podemos
ter situações de: composição, transformação, compar...
CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com a resposta
dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
CENTURION...
aprendizagem do estudante? Tese (doutorado em Educação Matemática).
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2010.
S...
Suas anotações
..............................................................................................................
ESPAÇO E
FORMA
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
yy analisar e discutir situações nas quais seus...
1	 	INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE FORMAS
Examinando a maneira como o ser humano realiza suas tarefas
no dia a dia enc...
procedimentos/processos para efetuá-las e
revertê-las;
•	 comparar as formas e posições dos objetos,
a fim de estabelecer ...
são mais conhecidas, experimentadas.
Nos anos iniciais, todas estas experiências passam a ser
exploradas intencionalmente ...
desenvolve a ponto de nos permitir perceber as características das formas
que habitam o espaço e transformá-las de modo in...
adequada para explorar/investigar uma situação. Por exemplo, para saber
quantas pirâmides podem ser construídas com uma fo...
as formas e suas posições no espaço, bem como utilizá-las
de modo consciente para:
•	 posicionar e localizar objetos;
•	 a...
Exemplo 1: dizemos: seu lado esquerdo é o lado onde
está situado seu coração.
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sem perder sua totalidade. A imagem mental que fazemos
de um lugar que conhecemos bem na infância e que traz à
lembrança e...
intuitivas para nossos alunos. E a partir delas estimular a identificação
de propriedades do espaço e forma que permitem a...
Ainda não é uma representação convencional, mas sem dúvida ela
sabia o que estava fazendo ao escrever. Mais tarde, ele vai...
Metodologia da matematca2
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  1. 1. Ilhéus . 2012 Irene Mauricio Cazorla (Org.) Pedagogia . Módulo 5 . Volume 3 METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA
  2. 2. Universidade Estadual de Santa Cruz Reitora Profª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro Vice-reitor Prof. Evandro Sena Freire Pró-reitor de Graduação Prof. Elias Lins Guimarães Diretora do Departamento de Ciências da Educação Profª. Emilia Peixoto Vieira Ministério da Educação
  3. 3. Ficha Catalográfica 1ª edição | Julho de 2012 | 476 exemplares Copyright by EAD-UAB/UESC Projeto Gráfico e Diagramação Jamile Azevedo de Mattos Chagouri Ocké João Luiz Cardeal Craveiro Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho Capa Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho Impressão e acabamento JM Gráfica e Editora Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESC Obra desenvolvida para os cursos de Educação a Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC (Ilhéus-BA) Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Ilhéus- Itabuna, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhéus-Bahia. www.nead.uesc.br | uabuesc@uesc.br | (73) 3680.5458 Pedagogia | Módulo 5 | Volume 3 - Metodologia do Ensino da Matemática Metodologia do ensino da matemática / Elaboração de conteúdo: Aida Carvalho Vita ... [et al.]. – Ilhéus, BA: Editus, 2012. 175 p. : il. (Pedagogia – módulo 5 – volume 3 – EAD) ISBN: 978-85-7455-295-8 1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Matemática – Metodologia. I. Vita, Aida Carvalho. II. Série. CDD 510.7 593
  4. 4. Coordenação UAB – UESC Profª. Drª. Maridalva de Souza Penteado Coordenação Adjunta UAB – UESC Profª. Dr.ª Marta Magda Dornelles Coordenação do Curso de Pedagogia (EAD) Profª. Drª. Maria Elizabete Souza Couto Elaboração de Conteúdo Profª. Drª. Aida Carvalho Vita Profª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana Profª. Ma. Genigleide Santos da Hora Profª. Drª. Irene Mauricio Cazorla Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho Peixoto Prof. Dr. Marcos Rogério Neves Instrucional Design Profª. Ma. Marileide dos Santos de Oliveira Profª. Ma. Cibele Cristina Barbosa Costa Profª. Drª. Cláudia Celeste Lima Costa Menezes Revisão Prof. Me. Roberto Santos de Carvalho Coordenação Fluxo Editorial Me. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho EAD . UAB|UESC
  5. 5. DISCIPLINA METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA EMENTA OBJETIVO Fundamentos teórico-epistemológicos do ensino da Matemática. Estudo de conteúdos matemáticos direcionados para a aquisição de competências básicas necessárias à vivência no cotidiano: conteúdos, percursos metodológicos, uso das tecnologias e avaliação. O raciocínio lógico-matemático e situações problemas - geometria, cálculo mental e operações fundamentais. A Matemática: estudos, pesquisas e diferentes usos sociais e o significado matemático. Carga horária: 75 horas, sendo 60 h para estudos e discussão teórico-práticos, e mais 15 h para elaboração e apresentação de oficinas. Em seguida, as refle- xões e aprendizagens das oficinas serão socializadas entre os colegas. A partir do estudo sobre os conteúdos deste módulo, você poderá ser capaz de: • explicar e utilizar conceitos e métodos matemáticos para propor e resolver situações-problema junto com seus estudantes; • planejar atividades de ensino favoráveis ao desenvolvimento de competências do raciocínio lógico-matemático; • aperfeiçoar sua habilidade de registro escrito e domínio de estratégias de cálculo mental para resolução de problemas envolvendo aritmética; • aperfeiçoar sua habilidade de registro e uso de estratégias para modelagem e resolução de problemas geométricos; • analisar e discutir de maneira crítica os diferentes usos sociais e significados do conhecimento matemático; • contribuir para a compreensão da Matemática como uma linguagem que ajuda a compreender o mundo em que o estudante está inserido; • criar condições para que seus estudantes compreendam a importância da Matemática na formação para a cidadania.
  6. 6. OS AUTORES Profª. Drª. Aida Carvalho Vita Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática Inclusiva. E-mail: aida2009vita@gmail.com Profª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática. E-mail: eurivalda@hotmail.com Profª. Ma. Genigleide Santos da Hora Mestre em Educação pela UFBA. Professora Assistente da UESC. Pesquisa na área de Educação Inclusiva. E-mail: gshora@terra.com.br Profª. Drª. Irene Mauricio Cazorla Doutora em Educação Matemática pela UNICAMP. Professora Titular da UESC. Pesquisa na área de Educação Estatística. E-mail: icazorla@uol.com.br Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho Peixoto Doutoranda em Difusão do Conhecimento pela Universidade Federal da Bahia (UFBA). Mestre em Matemática pela UFBA. Professora Assistente da UESC. Realiza pesquisa na área de Educação Inclusiva e Divulgação e Popularização da Ciência. E-mail: jurema@uesc.br Prof. Dr. Marcos Rogério Neves Doutor em Educação Matemática pela UFSCar. Professor Adjunto da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática. E-mail: marcos_neves2001@yahoo.com.br
  7. 7. APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Visando dar uma visão panorâmica do ensino da Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, recorremos às recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997). Assim, estruturamos a disciplina em três blocos de conteúdos conceituais e procedimentais da Matemática, a saber: Números e Operações, Espaço e Forma (Geometria) e Tratamento da Informação (Estatística), apresentados em quatro unidades, com atividades que integram os conteúdos na solução de problemas situados no contexto escolar, nos quais os estudantes tenham uma participação ativa na construção de seus conhecimentos.
  8. 8. SUMÁRIO
  9. 9. NÚMERO E OPERAÇÕES OBJETIVOS Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: • elaborar situações nas quais seus estudantes utilizem o pensamento aritmético, bem como utilizar esquemas para a resolução de situa- ções pertencentes aos campos conceituais das estruturas aditivas; • explorar ideias sobre os campos conceituais das estruturas aditivas, bem como os aspectos históricos sobre os números naturais e formas de calcular para fins de planejamento de aulas; • discutir sobre a importância pedagógica da análise dos erros dos estudantes ao resolverem situações-problema; • explorar a análise de erros como estratégia pedagógica para au- xiliar o planejamento, ação e avaliação de aulas e atividades que promovam o desenvolvimento do pensamento aritmético. 1ªunidade
  10. 10. 1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE NÚMEROS Muitas pessoas dizem não gostar de discutir quando o assunto é Matemática e isso acontece, entre tantos motivos, por lembrarem-se de certas aprendizagens escolares, em situações nas quais, via de regra, não conseguiram perceber as aplicações possíveis desses conhecimentos e sua utilidade para a vida, ligando tudo isso a uma percepção de complexidade dessa ciência. Esta primeira percepção da complexidade da Matemática muitas vezes nos faz perder de vista o fato de que suas ideias e formas de pensamento mais elementares surgiram da reflexão sobre as atividades humanas comuns do dia a dia que envolvem contagem, medição e cálculo. Enquanto ciência, a Matemática acumulou conhecimentos bastante sofisticados que são estudados por cientistas; mas, se observamos o dia a dia das pessoas a nossa volta, perceberemos que este está repleto de ideias e formas de raciocínio que compõem a base desta ciência. O pedreiro, a cozinheira, o vendedor, a costureira e outros profissionais necessitam interpretar e utilizar quantidades, valores e medidas, mesmo sem dominar os registros escritos associados aos números. Nesse sentido, podemos observar que, quando crianças, nascemos em um meio onde já se elaboraram ideias sobre números e suas funções. As residências das pessoas costumam ser numeradas; calçados e vestimentas também; telefones e correspondências utilizam números; as coisas têm preço; os relógios e calendários controlam o tempo; em brincadeiras infantis são feitas contagens; enfim, antes mesmo de alcançarmos a idade escolar, vivemos em um mundo repleto de números e o mesmo ocorre com as ideias matemáticas sobre espaço e forma, que são a base da geometria. A reflexão sobre estas experiências é fundamental para uma boa aproximação do estudante com os conteúdos da matemática escolar, de Módulo 5 I Volume 3 15UESC Número e Operações 1Unidade
  11. 11. maneira significativa. Assim, o professor dos anos (séries) iniciais pode favorecer tais aprendizagens, buscando a ampliação e consolidação desses saberes cotidianos relacionados à Matemática. O ato de lidar com a noção de quantidade exige do sujeito certas competências e habilidades, formas de raciocínio lógico, as quais são interconectadas com o desenvolvimento do conceito de número, das relações entre os números e suas operações. 2 A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO A aprendizagem do conceito de número natural começa a ocorrer desde os primeiros anos de vida, quando nossa mente começa a diferenciar os objetos no mundo. Uma das habilidades mais básicas que desenvolvemos nesta etapa é observar regularidades (padrões) em coleções de objetos, de modo a perceber e agrupar aqueles que têm a mesma cor ou mesmo formato. Conforme a criança se desenvolve, outras habilidades vão se desenvolvendo como as capacidades de contagem, seriação, classificação, entre outras. Estas capacidades vão se aperfeiçoando e se articulando de modo a constituir as condições necessárias para que as habilidades de quantificação e operação numéricas se consolidem. Assim, aquelas atividades de classificação e seriação que realizamos com as crianças desde a educação infantil são fundamentais para estimular as condições necessárias à construção do conceito de número nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Vejamos alguns exemplos de atividades baseadas em imagens do software livre Sistema Tutorial Inteligente (ITS), desenvolvido pela equipe do Prof. Lorenzo Moreno Ruiz, da Universidad de La Laguna, Espanha (PEIXOTO; CAZORLA; VITA, 2011). a) Seriação: consiste em ordenar ou seriar uma coleção de objetos, segundo uma determinada relação. Por exemplo, na Figura 1, a criança deve analisar qual é a constituição da série e escolher qual será o próximo elemento: 16 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  12. 12. Figura 1 – Exemplo de atividade de seriação com o software ITS. b) Classificação: é uma operação lógica que organiza a realidade que nos cerca, é o momento no qual a criança separa objetos em classes. Nesse processo estão as relações de pertinência e de inclusão de classes. Na Figura 2 solicita-se que as crianças formem dois grupos, um composto por pássaros e outro por comida. Figura 2 - Exemplo de atividade de classificação com o software ITS. Módulo 5 I Volume 3 17UESC Número e Operações 1Unidade
  13. 13. c) Quantificadores: expressam relação de quantidade de objetos, identificando onde há mais ou menos objetos, associam elementos e os representam com seus indicadores. Por exemplo, na Figura 3, solicitar à criança que assinale em qual dos dois conjuntos há menos borboletas. Figura 3 - Exemplo de atividade com quantificadores com o software ITS. Outra forma de quantificação faz referência à aplicação de quantificadores básicos de uma coleção de objetos (todos, nenhum, alguns, nada, pouco, [...]), como no exemplo da Figura 4. Figura 4 - Exemplo de atividade de quantificação com o software ITS 18 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  14. 14. d) Contagem: é importante que a criança adquira o senso numérico e a capacidade para distinguir pequenas quantidades, como no exemplo da Figura 5. Figura 5 - Exemplo de atividade com contagem com o software ITS. e) Correspondência termo a termo: é o processo no qual são relacionados os objetos com o que lhes é correspondente, como no exemplo da Figura 6. Figura 6 - Exemplo de uma atividade de correspondência com o software ITS. Módulo 5 I Volume 3 19UESC Número e Operações 1Unidade
  15. 15. f) Reconhecimento: significa reconhecer as diversas representações associadas ao número. Na Figura 7, a criança deve reconhecer a escrita numérica e a escrita na língua materna, neste caso, em português. Figura 7 - Exemplo de atividade de reconhecimento com o software ITS. g) Ordinalidade: é a capacidade de definir um conjunto de valores no qual cada valor, exceto o primeiro, tem um único antecessor, e cada valor, exceto o último, tem um único sucessor, conforme Figura 8. Figura 8 - Exemplo de atividade com ordenação com o software ITS. 20 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  16. 16. h) Cardinalidade: é o reconhecimento do número de elementos que compõem o conjunto, isto é, a identificação da quantidade. Figura 9 - Exemplo de atividade com cardinalidade com o software ITS. Quando a criança, espontaneamente ou estimulada pelo professor, brinca de contar, de agrupar objetos pelas semelhanças, elaborando um sistema de classificação, de comparar tamanho, largura ou altura dos objetos, ela está construindo o conceito de número, bem como de suas representações. Daí, o professor dos anos (séries) iniciais deve proporcionar situações diversificadas com materiais variados para trabalhar as relações matemáticas, fazendo com que os alunos progridam em seu conhecimento matemático. Assim, a criança interage com o meio ambiente através da sua inteligência, da sua noção de quantidade e da sua representação dos sistemas de numeração. Inicialmente explora o local, manipulando objetos, materiais e brinquedos, depois passa a organizá-los e, finalmente, consegue trabalhar mentalmente com as ideias numéricas, elaborando seu conhecimento. É por volta dos sete anos que a criança chega à ideia operatória do número, mas apoiando-se em duas capacidades lógicas do raciocínio: classificação e seriação. Essas capacidades colaboram para percepção dos agrupamentos de base dez que estruturam o Sistema de Numeração Módulo 5 I Volume 3 21UESC Número e Operações 1Unidade
  17. 17. Decimal e constituição do conceito de número natural. A esse respeito, o número pode ser considerado a síntese coordenada e reversível das estruturas cognitivas que percebem e operam a classificação (com inclusão hierárquica) e a seriação, num sistema único (PIAGET, 1978). Figura 10 – Ordem e inclusão de classe. Fonte: Elaborado pelos autores. A partir desta síntese, a criança pode tanto focalizar mentalmente agrupamentos como a dezena e a centena, quanto decompor mentalmente esses agrupamentos para considerar uma a uma as unidades que os constituem. A partir da abstração das quantidades, ocorre uma fusão dos dois sistemas de classes e de relações num único sistema - o chamado sistema dos números naturais - o qual elimina as limitações próprias dos procedentes. As investigações a respeito da construção do número pela criança mostram que a gênese do número engendra ao mesmo tempo os números cardinais e os números ordinais. Portanto o número não é um dado primitivo correspondente a uma intuição inicial, mas constrói-se na interação com o mundo, com as 22 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  18. 18. coisas, com as situações-problema, com a cultura, de modo operatório a partir de estruturas cognitivas mais simples que se aperfeiçoam, articulam e coordenam, num processo gradativo que se desenvolve ao longo de todos os anos iniciais. A Figura 11 organiza alguns elementos importantes neste processo. Figura 11 – Mapa conceitual da formação do conceito de número. Fonte: Elaborado pelos autores com base nas ideias de Kamii (1995) e Zunino (1995). Para a construção do conceito de número nos anos iniciais, com toda sua operacionalidade, são necessárias ainda aprendizagens de Módulo 5 I Volume 3 23UESC Número e Operações 1Unidade
  19. 19. dimensões qualitativas relacionadas ao processo de quantificação. Quando a criança está diante de um conjunto de elementos de igual forma, tamanho e cor, como, por exemplo, uma coleção de tampinhas de garrafas plásticas, ela procede automaticamente para contagem, agrupamento, separação entre outros. Através desses movimentos, ela pode conferir a dualidade, cardinalidade e ordinalidade, correspondência um a um etc. Contudo, o que acontece quando precisamos quantificar grandezas contínuas, como, por exemplo: comprimento, área, volume, tempo? Neste caso, a criança recorre à comparação, mas a inclusão hierárquica, por exemplo, não fica mais evidente. Portanto é importante explicitar as nuances da formação do conceito de número, quando estamos diante de conjuntos ou grandezas não enumeráveis. Estas tensões entre qualidade versus quantidade e entre o discreto (aquilo que podemos contar ou enumerar) e o contínuo (aquilo que medimos) podem ser encontradas no trabalho de Brolezzi (1997). A Figura 12 ilustra a diferença entre o número discreto, aquilo que resulta do processo de contagem, e o número contínuo, aquilo que resulta das medidas. No caso das grandezas como comprimento, área, massa etc., é necessária a criação de unidades de referência, que permitem ao homem tratar essas quantidades da mesma forma. Figura 12 – Tensões entre quantidade/qualidade, contínuo/discreto. Fonte: Elaborado pelos autores. 24 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  20. 20. Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 2000) enfatizam que, no ensino fundamental, o conhecimento de números é construído pelo aluno quando ele trabalha com situações em que o número aparece como instrumento na resolução de problemas e também como objeto de estudo em si mesmo, quando observam suas propriedades, relações e o modo como o conceito de número foi historicamente construído. Assim, o aluno perceberá a existência de diversas representações de números em função dos diferentes problemas que a humanidade teve que enfrentar: números naturais, inteiros positivos e negativos, números racionais e irracionais. Também quando se deparar com situações– problema, envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão, ele irá ampliar seu conceito de número. O trabalho com as operações deve se concentrar na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando os diferentes tipos: exato e aproximado, mental e escrito. Napróximaseção,apresentaremosumavisãohistóricadainvenção do número pelo homem e do surgimento dos sistemas de numeração, em especial do sistema de numeração decimal e as operações fundamentais. 3 A INVENÇÃO DOS NÚMEROS, SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS A necessidade de contar, possivelmente, começou com o desenvolvimento das atividades humanas. Quando o homem deixou de ser nômade para se fixar na terra, desenvolvendo a agricultura e o pastoreio, era necessário o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras representações de quantidades, como os entalhes nas pedras, desenhos, formas de calendário etc. No mundo atual, convivemos com muitos números. Para que nossa sociedade se desenvolva, precisamos lidar com números muito grandes, como o número de estrelas do universo (70.000.000.000.000.00 Módulo 5 I Volume 3 25UESC Número e Operações 1Unidade
  21. 21. 0.000.000, 70 sextilhões) e muito pequenos, como a massa de um próton (0,00000000000000000000000000167 gramas). Por isso precisamos de um sistema de numeração que seja adequado nos dias de hoje, como o sistema de numeração que usamos. Esse sistema de numeração é chamado indo-arábico ou Sistema de Numeração Decimal. Ele foi criado no século III a.C. e é utilizado até hoje. Para falar sobre o sistema de numeração, temos dois focos: um deles é compreender sua formação, fazendo um breve histórico da contagem, passando pela importância dos ábacos e outro é descrever suas características e como trabalhar com os alunos suas operações e o cálculo mental. 3.1 O homem aprendeu a contar Registros históricos revelam que o homem contava utilizando a correspondência um a um (biunívoca) recorrendo a diversos artefatos, como pedrinhas, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação. Os livros didáticos sempre ilustram a correspondência um a um com a história de pastores contando o seu rebanho, associando uma pedrinha a cada ovelha a ser contada. A palavra que usamos hoje, cálculo, é deriva- da da palavra latina calculus, que significa pedrinha. Fonte: http://matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm Mas como surgiram os símbolos numéricos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, usados hoje? Segundo Duarte (2001), a origem da base decimal do atual sistema de numeração está na utilização dos dedos da mão (Figura 13), através do estabelecimento de uma relação de correspondência um a um entre cada dedo e cada elemento da coleção a ser contada (Figura 14). 26 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  22. 22. Figura 13 – Os dedos das mãos como origem do Sistema de Numeração Decimal. Fonte: UAB/UESC Figura 14 – Correspondência um a um ou biunívoca Fonte: Ideia elaborada pelos autores baseado em Imenes (1988) / UAB-UESC. Além dos dedos, o homem também utilizou as falanges e articulações para contar. Segundo Ifrah (2000), uma técnica comum praticada na China, Índia e Indochina era contar usando cada falange como uma unidade, começando numa das mãos pela falange inferior do dedo mindinho e terminando na falange superior do polegar (pode-se também começar pela falange superior do anular e terminar na falange do polegar). É possível contar de 1 a 28 com as duas mãos (Figura 15). Módulo 5 I Volume 3 27UESC Número e Operações 1Unidade
  23. 23. Na China, algumas mulheres calculavam o seu ciclo menstrual atando, sucessivamente, a cada dia um pequeno cordão nas vinte e oito falanges de suas mãos. Figura 15 – Técnica de contagem utilizando as falanges das duas mãos. Fonte: modelo Ifrah (2000) - UAB/UESC. Uma prática também muito antiga (o mais antigo método para memorizar quantidades) e utilizada em diversas partes do mundo foi a do entalhe. Tratava-se de pegar pedaços de madeira ou ossos, e nesses eram feitos riscos para representar quantidades. Figura 16 – Modelos de entalhe utilizados para registrar quantidades.Fonte: Ifrah (2000). 28 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  24. 24. Outras práticas de contagem e registro utilizavam cordas. A civilização Inca nasceu aproximadamente no início do século XII e surpreendeu a muitos por seu alto grau de conhecimento e prosperidade, pois embora não tivesse conhecimento da roda, nem da tração animal e nem mesmo da escrita como é conhecida hoje, desenvolveu um método muito prático e eficiente para contar: o cordão com nós, denominado quipu (palavra inca que significava nó). Este dispositivo consistia numa corda principal onde eram atados vários cordões de diferentes cores e mais finos do que a corda e, dessa forma, eram feitos nós nesses cordões de diferentes tipos e a intervalos regulares para representar os números. Os homens que cuidavam desses registros eram chamados de quipucamayocs, que quer dizer “guardiães de nós” (Figura 17). Figura 17 – Quipus e quipucamayocs da civilização Inca.Fonte: Ifrah (2000). Por exemplo, para representar o número 3.643, faziam-se três nós na parte superior do cordão, dava-se um intervalo e faziam-se seis nós, dava-se então outro intervalo e faziam-se quatro nós e, finalmente, três nós na parte inferior da corda. Era dessa forma que os incas registravam as quantidades. Módulo 5 I Volume 3 29UESC Número e Operações 1Unidade
  25. 25. Os quipus também serviam de representações de calendários, fatos religiosos, estatísticos e para a transmissão de mensagens. A cor de uma cordinha podia significar uma ideia abstrata, por exemplo, o branco expressava a pureza, a paz ou o dinheiro; o amarelo, o ouro, o sol ou a eternidade; o vermelho, o sangue, o fogo e a guerra. Mas a utilidade principal era a contagem e os incas usavam a base decimal nesse processo. O uso de cordões com nós não foi exclusivo dos incas. Em diferentes regiões, outros povos utilizavam sistemas análogos desde a Antiguidade. 3.2 Aperfeiçoando a contagem e o cálculo À medida que os cálculos foram se tornando cada vez mais complexos, ocupar a mão ou qualquer outro recurso não era tarefa prática e possível, em algumas regiões. A saída para este problema, ao que tudo indica, foi a criação do ábaco (do grego abax, tabuleiro de areia). Sua forma variou durante o tempo e com os povos. Os primeiros ábacos eram pequenas bandejas cheias de areia, nas quais se faziam os cálculos ou desenhos de figura. Antes e durante o Império Romano, usaram-se frequentemente estes tabuleiros. Com o tempo, as bandejas de areia foram substituídas por um painel de madeira, pedra ou metal contendo sulcos, nos quais deslizavam pequenas pedras que representavam números. As mais antigas tábuas de contar foram perdidas devido aos materiais perecíveis usados na sua construção. Assim, os antigos foram observando a necessidade de se criar tábuas portáteis e mais duráveis do que as mais antigas. A Figura 18 apresenta alguns exemplos de ábacos utilizados por romanos, chineses e japoneses. Mais detalhes podem Figura 18 - Ábaco de bolso romano, ábaco chinês (suan-pan) e ábaco japonês (soroban). Fontes: 1: http://andria-unisc-abaco.blogspot. com/2009_09_01_archive.html; 2: http://www.topolewski.de/pascal/ jufo2003/image/chinesischer-abakus.gif; 3: http://www.cs.nott.ac.uk/~ef/ ComputerXHistory/EarlyHistory/1956- Soroban1170.htm 30 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  26. 26. ser encontrados em Peixoto, Santana e Cazorla (2006) e em Nunes, Soledade e Reis (1998). 3.3 Do ábaco aos algoritmos O surgimento do ábaco constituiu uma etapa intermediária antes do sistema de numeração decimal utilizado hoje; pois, por muitos anos, o homem fez seus cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos serviam apenas como forma de registro e não eram utilizados para realização de cálculos. Segundo Ifrah (2000), da queda do Império Romano ao final da Idade Média, a prática das operações aritméticas, mesmo as mais elementares, não estava ao alcance de qualquer um. Apenas uma casta muito privilegiada de especialistas, através de longos estudos, tinha o domínio do uso complicado dos velhos ábacos romanos. Uma multiplicação que hoje uma criança faz com facilidade podia exigir destes especialistas várias horas de um trabalho delicado. Um comerciante desta época que quisesse saber o montante de suas receitas e despesas era obrigado a recorrer aos serviços de um destes especialistas do cálculo. Mas o sistema de numeração indo-arábico, criado pelos hindus e difundido pelos árabes, não visava apenas registrar quantidades como os sistemas dos romanos e dos gregos, mas também suprir as necessidades do cálculo. Além disso, uma característica fundamental deste sistema é a noção de valor posicional, que já estava presente no ábaco, pois apenas com dez algarismos podem-se representar infinitas quantidades. Eles criaram também um símbolo para representar a coluna vazia do ábaco, símbolo este que gerou o que hoje se conhece como zero. Neste sistema, ao combinarmos a escrita dos algarismos, podemos escrever diferentes números com um Em 1949, Joaquim Lima de Moraes, deficiente visual, adaptou o Soroban para uso de cegos, após apren- der a técnica ensinada por imigrantes japoneses, abrasileirando o termo para Sorobã. O soroban adap- tado é composto por uma moldura dividida por uma linha horizontal e vinte e um eixos verticais. É re- vestido internamente por uma borracha compresso- ra, cuja função é deixar as contas fixas; além disso, foram adicionados pontos e traços com a função de se- parar as ordens, classes e facilitar a leitura tátil. você sabia? Figura 19 – Soroban adaptado comercializado pela Bengala Branca Importação e Comér- cio Ltda. Fonte: Peixoto, Santana e Ca- zorla (2006). Módulo 5 I Volume 3 31UESC Número e Operações 1Unidade
  27. 27. algarismo, dois algarismos, três algarismos, ou com quantos algarismos desejarmos. Exemplo: 3; 45; 367; 2.489; 256.387. Este sistema proporcionou um grande avanço no desenvolvimento dos cálculos, pois facilitou operar sem o uso do ábaco. O sistema de numeração adotado hoje descende dele. Mas deixar de lado o ábaco e operar com os algoritmos não foi algo fácil, nem aconteceu da noite para o dia. Foi um longo processo que encontrou forte resistência na Europa onde os símbolos arábicos eram conhecidos como “pagãos”. A contenda entre os abacistas (defensores ferrenhos dos números romanos e dos cálculos com fichas) e os “algoristas” (defensores do cálculo por algarismo de origem hindu) durou vários séculos. Apesar da vitória dos novos métodos de cálculo, o uso do ábaco ainda era ensinado no século XVIII, e as pessoas ainda conferiam os cálculos feitos por escrito na tábua de fichas (ábaco romano). Só após a Revolução Francesa (1.789), final do século XVIII, os algarismos indo-arábicos se estabeleceram, ficando evidente o triunfo do cálculo moderno na Europa ocidental. 3.4 Consolidação do Sistema de Numeração Decimal (SND) O grande avanço dado com a criação do sistema decimal com algarismos arábicos foi a transposição de um contexto concreto, e necessariamente finito, representado pelo ábaco, para uma representação com símbolos escritos. Foi, sem dúvida, um passo importante que possibilitou representar e operar com quantidades quaisquer, mas que só foi possível depois de séculos de emprego difundido do ábaco pelos homens (CARDOSO, 1992). Assim, podemos observar que o sistema de numeração que hoje utilizamos surgiu por meio de um Al Khawarizmi, matemático muçulmano do século IX, foi um dos responsáveis pela divulgação do sistema de numeração indo-arábico na Europa. Seus trabalhos de aritmética, álgebra e geometria influenciaram o Ocidente e deles surgiram termos como algoritmo e algarismo. Leonardo de Pisa, matemático italiano conhecido como Fibonac- ci, também exerceu forte influência para a aceitação destes novos métodos de cálculo quando escreveu, em 1202, um tratado cha- mado Líber Abaci (Tratado do ábaco), que contradito- riamente ao título ensinava métodos e processos de cálculo através dos nume- rais indo-arábicos. Fonte: Ifrah (2000). Maiores detalhes recomen- damos a leitura de Ifrah (2000) e Boyer (1996). você sabia? leitura recomendada 32 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  28. 28. longo processo de constituição do homem na sua relação com o meio onde vive. E concluímos que o surgimento do ábaco constituiu uma etapa intermediária antes de surgir o SND utilizado hoje, pois, por muitos anos, o homem fez seus cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos serviam apenas como forma de registro, mas esses não eram utilizados para a realização de cálculos. 4 O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL (SND) Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e de regras utilizado para escrever números (CENTURION, 1994). Essas normas permitem operar quantidades de forma organizada, chegando a resultados consistentes. O SND usado atualmente tem características peculiares: • é posicional, um mesmo algarismo, em diferentes posições, assume diferentes valores: 123 é diferente de 321; • as trocas são feitas a cada agrupamento de dez (por isso dizemos que a base é dez), dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena e assim por diante; • o símbolo zero representa a ausência de quantidade; • é multiplicativo: para representar o valor de cada algarismo em 564, recorremos a uma multiplicação 5 x 100, 6 x 10 e 4 x 1; • é aditivo: a quantidade representada por 564 é 500 + 60 + 4; usa dez símbolos para representar qualquer quantidade. 4.1 O valor posicional, ordens e classes No SND, utilizamos os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, denominados de algarismos, para representar as quantidades. Também agrupamos de 10 em 10 para fazer contagens. O princípio posicional permite representar diversas quantidades, utilizando apenas 10 símbolos. Para compreender melhor o conceito de número e facilitar sua leitura, eles são separados em ordens e classes. A cada algarismo Módulo 5 I Volume 3 33UESC Número e Operações 1Unidade
  29. 29. corresponde uma ordem. Por exemplo, o número 1.223.456 possui 7 ordens e 3 classes. 1.223.456 (um milhão, duzentos e vinte e três mil, quatrocentos e cinquenta e seis unidades). 1 2 2 3 4 5 6 1ª ordem: 6 unidades 2ª ordem: 5 dezenas 3ª ordem: 4 centenas 4ª ordem: 3 unidades de milhar = 3000 unidades 5ª ordem: 2 dezenas de milhar = 20 000 unidades 6ª ordem: 2 centenas de milhar = 200 000 unidades 7ª ordem: 1 unidade de milhão = 1 000 000 unidades O quadro a seguir apresenta a decomposição do número 1.223.456 e a organização das ordens e classes, até a 3ª classe. 3ª classe: milhões 2ª classe: milhares 1ª classe: unidades simples 9ª ordem: 8ª ordem: 7ª ordem: 6ª ordem: 5ª ordem 4ª ordem: 3ª ordem: 2ª ordem: 1ª ordem: centena de milhão dezena de milhão unidade de milhão centena de milhar dezena de milhar unidade de milhar centena simples dezena simples unidade simples 1 2 2 3 4 5 6 1.000.000 200.000 20.000 3.000 400 50 6 4.2 Valor relativo e valor absoluto A característica de valor posicional no nosso sistema de numeração está relacionada com o que chamamos de valor relativo ou valor absoluto dos algarismos em um número. No número 777, por exemplo, o algarismo 7 ocupa três posições distintas, portanto três valores relativos: 7, 70 e 700. 34 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  30. 30. Centena Dezena Unidade Número 7 7 7 Valor relativo do 7 700 70 7 7 7 unidades 7 unidades 7 0 7 dezenas 70 unidades 7 0 0 7 centenas 700 unidades 7 7 7 O quadro a seguir é conheci- do pelos professores das séries iniciais do Ensino Fundamen- tal como QVL (Quadro Valor de Lugar). Geralmente, utilizam as quatro primeiras ordens: unida- de, dezena, centena e unidade de milhar, o que possibilita ex- plorar os agrupamentos e trocas de uma ordem para outra. 4.3 Por que ensinar o sistema de numeração às crianças? Para Nunes et al. (2005), a resposta está no fato de que sem um sistema de numeração é impossível trabalhar com quantidades. Os sistemas de numeração permitem registrar quantidades de maneira mais exata do que a percepção, bem como permite lembrar quantidades quando necessário. Os sistemas de numeração ampliam a capacidade de raciocinar sobre quantidades, logo são necessários para que os alunos venham desenvolver sua inteligência no âmbito da matemática, usando instrumentos que a sociedade lhes oferece. Entretanto as autoras enfatizam que ensinar os sistemas de numeração tem apresentado vários obstáculos, principalmente na relação entre o desenvolvimento da criança e a complexidade da representação numérica usando um sistema de numeração, pois há uma ideia Figura 20 – Quadro Valor de Lugar (QVL). Fonte: http://3.bp.blogspot.com/_7HGlxI3gfRk/SMUj1sdtysI/ AAAAAAAAAdk/-e1VfhoX_Ic/s1600-h/1.JPG você sabia? Módulo 5 I Volume 3 35UESC Número e Operações 1Unidade
  31. 31. especialmente complexa, a da composição aditiva, que a criança precisa compreender. As atividades de contagem mais comuns entre crianças consistem em contar objetos, estabelecendo uma correspondência um a um entre um objeto e um rótulo numérico que o designa. A compreensão do sistema numérico decimal requer mais do que a simples contagem de elementos; requer lidar simultaneamente com o valor absoluto e o valor relativo dos números. Essa habilidade está ausente na contagem de objetos (SPINILLO, 1994). Ou seja, os números não são apenas uma sequência de palavras, como uma lista de compras, na qual um item não tem relação com o outro. Na sequência de números, cada item é igual ao anterior mais 1; 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1 etc. E cada número pode ser composto através da soma de dois números que o precedem: 7 = 6 + 1 ou 5 + 2 ou 4 + 3. Portanto a sequência numérica supõe uma organização, denominada composição aditiva. Além disso, este sistema tem uma organização de natureza multiplicativa: 20 indica 2 dezenas ou 2 x 10; 30 = 3 x 10; 40 = 4 x 10. Essa organização multiplicativa significa que as unidades contadas podem ter valores diferentes: podem ser unidades simples, dezenas, centenas, unidades de milhar etc. Assim, para que uma criança compreenda o SND, ela precisa compreender a ideia de que existem unidades de valores diferentes no sistema e que as unidades podem ser somadas formando uma quantia única (NUNES et al, 2005). 5 COMO OPERAMOS COM ALGORITMOS? Algoritmo, segundo Pais (2006), é um dispositivo utilizado para a resolução de situações-problema com a intenção de simplificar o cálculo. Ou, simplesmente, Embora crianças menores sejam capazes de contar objetos usando a sequên- cia numérica, é a partir dos 6 anos que a maioria das crianças resolve problemas de contagem de dinheiro no mercadinho; porém, mesmo em crianças de 7 anos, podem-se observar dificuldades na compreen- são da composição aditiva (NUNES et al, 2005). Neste contexto, o papel do professor é promover a aprendizagem das ideias matemáticas envolvidas no SND, propondo ativida- des diversas (com material concreto, fichas, gudes, com dinheiro em situações de compras etc.) Exemplo: a contagem de dinheiro com notas de di- ferentes valores promove a compreensão da composi- ção aditiva. atenção 36 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  32. 32. um algoritmo é uma norma executável, um conjunto de instruções, para obter uma solução para certo tipo de problema. Por exemplo, quando queremos fazer um bolo, seguimos uma receita com uma série de etapas, tais como: primeiro bata bem o açúcar, a manteiga e os ovos, em seguida acrescente a farinha, o leite e o fermento e coloque no forno por 30 minutos. Esta sequência de etapas, que faz parte de uma instrução a ser seguida, é um algoritmo. Na aritmética, você conhece os algoritmos (contas) usuais das quatro operações fundamentais. 5.1 Cálculo mental e algoritmos Muitas vezes nos deparamos com pessoas que fazem conta de cabeça, sendo que algumas delas não foram sequer escolarizadas. Essas pessoas aprenderam na vida prática, como por exemplo, no comércio, nas transações bancárias etc., propriedades e estratégias matemáticas, devido às necessidades impostas pelas atividades que desempenham. Assim, devem realizar cálculos rapidamente e tomar decisões. Estas experiências são importantes e devem ser levadas em consideração na sala de aula; pois, quando isto acontece, aproveita-se a oportunidade para fazer a interação entre o conhecimento matemático informal e o formal organizado, explicitar conhecimentos implícitos, desvelar propriedades e relações. Alguns alunos fazem cálculos de cabeça porque foram estimulados de alguma forma para isso, outros têm mais dificuldade. Mas o professor deve prover os meios para que seu aluno utilize o cálculo mental, utilizando as propriedades das operações. Algoritmo é o processo de cálculo, ou de resolução de um grupo de problemas semelhan- tes, em que se estipulam, com generalidades e sem restrições, regras formais para obtenção do resulta- do ou da solução de um problema (Novo dicionário Aurélio, 1ª edição, Editora Nova Fronteira). Módulo 5 I Volume 3 37UESC Número e Operações 1Unidade
  33. 33. Algumas propriedades das operações que auxiliam no cálculo mental: 1) Comutativa: Na adição, a ordem das parcelas não altera a soma 3 + 9 = 9 + 3 = 12 Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto: 3 x 4 = 4 x 3 = 12 Genericamente: se a e b representam números naturais, então: a + b = b + a e a x b = b x a 2) Associativa: Na adição, associando de maneiras diferentes as parcelas a soma não se altera (1 + 3) + 6 = 4 + 6 = 10 1 + (3 + 6) = 1 + 9 = 10, logo (1 + 3) + 6 = 1 + (3 + 6) Na multiplicação, associando de maneiras diferentes os fatores, o produto não se altera (3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60 3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60 Genericamente: se a, b e c representam quaisquer números naturais, então (a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c) 3) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração 3 x (4 + 3) = 3 x 4 + 3 x 3 3 x (4 – 3) = 3 x 4 – 3 x 3 Genericamente: se a, b e c são números naturais, vale: a x (b + c) = a x b + a x c a x (b – c) = a x b – a x c 4) Distributiva da adição em relação à divisão (70 + 5) : 5 = 70 : 5 + 5 : 5 = 24 + 1 = 25 Genericamente: se a, b e c são números naturais com c ≠ 0 vale: (a+b) : c = a:c + b:c 38 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  34. 34. 5.2 Algumas estratégias de cálculo mental Na soma, podemos: Resolver uma soma: 34 + 25: a) Primeiro decompomos o 34 = 30 + 4 e o 25 = 20 + 5; b) Depois comutamos; c) Em seguida associamos; d) Por fim somamos, obtendo o resultado 59. 34 + 25= (30 + 4) + (20 + 5) = (30 + 20) + (4 + 5) = 50 + 9 = 59 Na subtração, podemos: a) Resolver uma subtração fazendo uma adição. Por exemplo: 34 – 25 25 para 30 = 5 30 para 34 = 4 5 + 4 = 9 b) Arredondar e fazer a compensação. Por exemplo: 62-38 62 – 38 = (62 – 40) + 2 = 2 + 2 = 24 c) Decompor o subtraendo (valor que será subtraído). Por exemplo: 23 – 18 23 – 18= (23–10) – 8= 13 – 8 = 5 d) Alterar o minuendo para evitar o “empresta um”. Por exemplo: 500 - 365 500 – 365 (499 – 365) + 1 = 134 + 1 = 135 e) Agrupar as parcelas em unidades, dezenas e centenas. Por exemplo: 29 - 15 29 – 15 = (20 – 10) + (9 – 5) = 10 + 4 = 14 Módulo 5 I Volume 3 39UESC Número e Operações 1Unidade
  35. 35. Na multiplicação, podemos: a) Decompor um dos fatores e usar a propriedade distributiva. Por exemplo: 7 x 15 7 x 15 = (7 x 10) + (7 x 5) = 70 + 35 = 105 b) Utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em relação a soma. Por exemplo: 32 x 5 (30 + 2) x 5 = 30 x 5 + 2 x 5 = 150 + 10 = 160 Na divisão, podemos: a) Fazer simplificações sucessivas. Por exemplo: 512 : 32 512 : 32 = 256 : 16 = 128 : 8 = 64 : 4 = 32 : 2 = 16 b) Decompor e utilizar a propriedade distributiva. Por exemplo: 75 : 5 75 : 5 = (70 + 5) : 5 = 70 : 5 + 5 : 5 = 24 + 1 = 25 As habilidades para fazer estimativas e cálculo mental dão autoconfiança aos alunos e os tornam mais autônomos, permitindo que avaliem as situações e tomem decisões quanto à importância do cálculo exato. Os PCN (BRASIL, 2000), em relação aos procedimentos sobre números e operações no primeiro ciclo, enfatizam a necessidade da [...] utilização da decomposição das escritas numéricas para a realização do cálculo mental exato e aproxima- do. Cálculos de adição e subtração por meio de estra- tégias pessoais e algumas técnicas convencionais. Cál- : 2 : 2 : 2 : 2 40 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  36. 36. culos de multiplicação e divisão por meio de estratégias pessoais. Utilização de es- timativas para avaliar a adequação de um resultado e uso de calculadora para desen- volvimento de estratégias de verificação e controle de cálculos (BRASIL, 2000, p. 72, grifo nosso). E, no segundo ciclo, reforçam a ênfase no cálculo mental, acrescentando operações com racionais na forma decimal. 5.3 Algoritmos e operações: um olhar diferenciado Nosso objetivo, nesta etapa, é o de mostrar maneiras diferentes de realizar as operações, sempre que possível, relacionando os algoritmos com o sistema de numeração decimal. a) Adição A técnica operatória ou algoritmo da adição sugere que se escrevam as parcelas uma abaixo da outra e que se adicione da direita para a esquerda. Vocês já pensaram por que se faz isto? Será que poderíamos começar da esquerda para a direita? A técnica do “vai um” (Adição com reserva) Esta técnica é utilizada com o objetivo de facilitar a Recomendamos ler os livros de Carraher; Carraher; Schliemann (2003) e Kamii; Declark (1995), constantes nas referências. Algoritmo Operações Realizadas 2 5 3 1 = 2000 + 500 + 30 + 1 + 4 2 6 7 = 4000 + 200 + 60 + 7 6 7 9 8 2000 + 500 + 30 + 1 leitura recomendada Módulo 5 I Volume 3 41UESC Número e Operações 1Unidade
  37. 37. interpretação e resolução do algoritmo da adição pelos nossos alunos. Vamos exemplificar esta técnica utilizando a soma das parcelas 3.456 e 1.795. A compreensão desta técnica usual de fazer adição exige a compreensão do sistema de numeração decimal. Sem compreender o que significa os símbolos 3456 e 1795 é impossível entender o processo do “vai um”. Ele se apoia na ideia de agrupamento. É comum na adição com reserva (ou transporte) dizermos “vai um”. Na verdade, o transporte é de uma dezena, uma centena etc. Para compreender melhor a técnica do “vai um”, vamos efetuar a adição de 1.345 + 1.487 (CENTURION, 1994, p. 157). 3 4 5 6 + 7 9 5 1 5 2 5 1 6 + 5 = 11 = 10 + 1,fica uma unidade, vai uma dezena 1 + 5 + 9 = 15 dezenas = 1 centena e 5 dezenas, vai uma centena 1 + 4 + 7 = 12 centenas = 1 milhar e 2 centenas, vai um milhar 1 + 3 + 1 = 5 milhares 1 1 1 3 4 5 + 1 4 8 7 8 2 3 2 Algoritmo Operações realizadas 2000 + 700 + 100 + 20 + 10 + 2 2000 + 800 + 30 + 2 2832 1000 + 300 + 40 + 5 1000 + 400 + 80 + 7 2000 + 700 + 120 + 12 10 + 2 100 + 20 800 30 Agrupamos uma dezena e uma centena Aplicamos a proprie- dade associativa da adição. Escrevemos o número no sistema posicional de numeração, onde valem os princípios aditivo e multiplicativo. 42 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  38. 38. b) Subtração Além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com a subtração, é preciso também que a criança aprenda a subtrair. Vamos compreender o processo da subtração utilizando o ábaco. Começamos por um exemplo simples, subtraindo 142 de 563: Representamos o número 563 no ábaco. A seguir, das três unidades subtraímos 2, das 6 dezenas subtraímos 4 e das 5 centenas subtraímos 1. É importante perceber a relação existente entre o que fazemos com o ábaco e o que fazemos com os símbolos do nosso sistema de numeração. A compreensão desta técnica apóia-se na compreensão do nosso sistema numérico. Agora vamos subtrair 431 de 725: a) Representamos o 725 no ábaco: b) A seguir, das 5 unidades subtraímos 1: c) Na casa das dezenas, onde temos 2 bolinhas, não podemos retirar 3 por isso desagrupamos uma centena, convertendo-a em dez dezenas: 5 6 3 5 6 3 1 4 2 5 6 3 -1 4 2 4 2 1 No algoritmo 7 2 5 4 3 1 - 7 2 5 4 3 1 - 4 7 2 5 4 3 1 1 - 4 6 Módulo 5 I Volume 3 43UESC Número e Operações 1Unidade
  39. 39. d) Agora, na casa das dezenas, temos 12 bolinhas e podemos retirar 3; e) Finalmente, das 6 centenas retiramos 4 e obtemos 294. 6 O CAMPO CONCEITUAL ADITIVO Geralmente, trabalhamos na escola com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão sem fazer maiores relações com os problemas matemáticos que envolvem tais operações. O pesquisador francês Gérard Vergnaud estudou essas operações de modo a trabalhar os conceitos envolvidos nos problemas matemáticos e relacionados com tais operações. Esse pesquisador desenvolveu a Teoria dos Campos Conceituais (TCC) que é uma “teoria cognitivista que [...] tem uma forte herança da teoria de Piaget e, também, alguns pontos da teoria de Vygotsky” (SANTANA, 2010, p. 24). Para Vergnaud (1982, 1996), o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas, ou de maneira mais simples, o Campo Aditivo é, ao mesmo tempo, o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias adições ou subtrações, e o conjunto dos conceitos e teoremas que permite analisar essas situações como tarefas matemáticas. O Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas ou o Campo Multiplicativo é definido no mesmo sentido do aditivo sendo que as operações são as de multiplicação e divisão. Antes de estudar sobre a classificação das situações-problema de aditivas, elabore seis situa- ções-problema de adição e/ou subtração. Siga o estilo dos que geralmente você trabalha em sua sala de aula. Essa atividade deverá ser postada. A atividade tem por objetivo mapear as categorias que você utiliza na sua prática pedagógi- ca. Ao final desta unidade, retome as situações-problema que você elaborou e verifique se trabalha com todas as categorias. sugestão de atividade 7 2 5 4 3 1 1 - 9 4 6 7 2 5 4 3 1 1 - 6 2 9 4 44 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  40. 40. Muitas vezes trabalhamos com as operações de adição e de subtração como sendo operações inversas ou contrárias. Na verdade, elas fazem parte de um mesmo Campo Conceitual, o das Estruturas Aditivas, ou seja, essas operações apresentam relações, propriedades, dificuldades e contextos que as fazem pertencer a um mesmo universo de estudo. Nós, enquanto pesquisadores, procuramos caracterizar esse Campo Conceitual, tecendo considerações a respeito dos diferentes tipos de situações-problema que envolvem, especificamente, a adição e a subtração. Neste texto, adotamos os termos situação-problema e situação como sinônimos. Usamos as duas formas para nos referirmos aos problemas matemáticos em questão. Como colocamos anteriormente, para a Teoria dos Campos Conceituais (TCC), o Campo Aditivo é compreendido como o conjunto das situações-problema cujo tratamento implica uma ou várias adições ou subtrações, bem como o conjunto dos conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações como tarefas matemáticas. Além disso, as situações são classificadas em seis categorias. De acordo com Magina (2001), tal classificação foi feita baseada em relações matemáticas e nas relações psicológicas que a criança precisa fazer para compreender as situações. Colocamos a seguir seis categorias de situação-problema aditiva, que foram inicialmente definidas por Vergnaud (1982), e que foram redefinidas por Santana (2010). Tal classificação consiste nas seguintes categorias: a) composição; b) transformação; c) comparação; d) composição de várias transformações; e) transformação de uma relação; e f) composição de relações. Para que você possa entender a que estamos nos referindo, na sequência apresentamos as definições e exemplos de cada uma das categorias. Módulo 5 I Volume 3 45UESC Número e Operações 1Unidade
  41. 41. a) Composição: são situações que apresentam partes e um todo. Exemplo 1: Lia tem duas caixas de bombons. Na primeira tem bombons de chocolate e na segunda tem bombons de morango. Veja, abaixo, um desenho das caixas de bombons de Lia. Quantos bombons Lia tem ao todo? Segundo a TCC, podemos trabalhar com diagramas que facilitam a compreensão da situação. Observe como fica o diagrama para o exemplo 1: O diagrama indica as partes que se juntam para determinar o todo. Neste exemplo, as partes são os seis bombons de chocolate e quatro de morango, que vão compor ao todo dez bombons. b) Transformação: nessa categoria são classificadas as situações que têm um estado inicial, uma transformação e um estado final. Primeira caixa Bombons de chocolate Segunda caixa Bombons de morango Composição Parte 6 + ? Todo Parte 4 46 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  42. 42. Exemplo 2: Maria tinha R$ 12,00 e comprou uma boneca por R$ 4,00. Com quantos reais Maria ficou? Para a categoria transformação, o diagrama tem o formato que aparece a seguir, colocado no contexto do exemplo 2: Observe que o diagrama evidencia um estado inicial que passa por uma transformação para chegar a outro estado que chamamos de final. Na categoria transformação, sempre ocorre uma mudança num determinado tempo. No exemplo 2, o estado inicial é R$ 12,00, e a transformação negativa é R$ 4,00, e o estado final (quantidade de reais que Maria ficou) será R$ 8,00. c) Comparação: nessa categoria, são classificadas as situações nas quais é estabelecida uma relação entre duas quantidades, uma denominada de referente e a outra de referido. Exemplo 3: Observe o desenho abaixo e responda: Quantos anos tem Carlos? Transformação Estado inicial 12 -4 ? Estado final Módulo 5 I Volume 3 47UESC Número e Operações 1Unidade
  43. 43. Veja a seguir como fica o diagrama da comparação colocado no contexto do exemplo 3: Observe que o diagrama da comparação indica uma relação entre referente e referido. Na categoria comparação, sempre é feita uma relação entre duas quantidades. Neste exemplo, a idade de Taís é de 5 anos (referente), Carlos tem 7 anos a mais que Tais (relação), dessa forma, Carlos tem 12 anos (referido). d) Composição de várias transformações: são situações nas quais são dadas transformações e se busca uma nova transformação a partir da composição das transformações dadas. Exemplo 4: Marta saiu de casa, gastou R$ 7,00 para almoçar e depois gastou R$ 5,00 para jantar. Quanto Marta gastou ao todo? Para a categoria composição de várias transformações, o diagrama fica no formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama, usamos o exemplo 4: Comparação Referente 6 Relação+7 ?Referido Composição de várias transformações Transformação -7 + -5Transformação ? Transformação 48 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  44. 44. Neste exemplo têm-se duas transformações que vão se juntar para dar lugar a uma única transformação, sendo que a transformação é o gasto de R$ 7,00, a outra transformação é o gasto de R$ 5,00 e a transformação resultante ou única é de R$ 12,00. e) Transformação de uma relação: são situações nas quais é dada uma relação, e se busca uma nova, que é gerada a partir da transformação da relação dada. Exemplo 5: Saulo devia R$ 8,00 a Glebson, pagou R$ 5,00. Quanto ele deve agora? Para a categoria transformação de uma relação, o diagrama fica no formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama usamos o exemplo 5: Neste exemplo, é dada uma relação e uma transformação que ocorreu nessa relação gerando uma nova relação. A primeira relação estabelecida entre Saulo e Glebson é um débito de R$ 8,00, ocorrendo uma transformação com o pagamento de R$ 5,00, ficando a nova relação de débito no valor de R$ 3,00. f) Composição de relações: duas ou mais relações se compõem para dar lugar a outra relação. Exemplo 6: Observe a imagem a seguir e responda: Quantas figurinhas Ana deve ao todo? Transformação de uma relação Relação -8 +5 ? Relação Módulo 5 I Volume 3 49UESC Número e Operações 1Unidade
  45. 45. Para a categoria composição de relações, o diagrama fica no formato apresentado a seguir, para fazer esse diagrama usamos o exemplo 6: Neste exemplo, são dadas três relações que se compõem para dar lugar a uma outra relação. A primeira relação é um débito de 4 figurinhas, a segunda relação é um débito de 3 figurinhas e a terceira, um débito de 6 figurinhas. Ao compor essas relações tem-se no total um débito de 12 figurinhas. É possível observar que, nessas seis categorias, podem ser trabalhadas as operações de adição e/ou subtração, bem como conceitos Composição de relações Relação -4 + ? Relação + -3Relação -6Relação 50 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  46. 46. inerentes ao Campo Aditivo. O Quadro 1, a seguir, indica alguns deles em cada tipo de situação. Quadro 1 - Alguns conceitos envolvidos nas categorias de situações-problema Categorias de situações Conceitos Composição Compor, juntar, parcela, total Transformação Transformação de medida, transformação temporal Comparação Comparar, relação entre medidas Composição de várias transformações Composição de medidas, transformação total Transformação de uma relação Transformação de relação Composição de relações Composição de relações Fonte: construção dos autores. Fique por dentro. Análise da qualidade das aprendizagens relacionadas ao campo aditivo No ano de 2009, realizamos, no estado da Bahia, um estudo diagnóstico com 5807 estudantes do 2º ao 5º ano do Ensino Fundamental. Pesquisamos sobre o Campo Aditivo, com a finalidade de repensar as condições de ensino, de maneira que se torne mais acessível à compreensão da criança. Assim, desenvolvemos uma pesquisa que denominamos de PEA (Pesquisa das Estruturas Aditivas) e trabalhamos em oito regiões distintas do Estado. Os resultados gerais revelam um quadro preocupante, em relação ao domínio desse Campo Conceitual pelos estudantes. Vejam os gráficos a seguir que indicam o desempenho geral dos estudantes de cada ano escolar em cinco categorias. Observe, na Figura 21, que os estudantes de todos os anos escolares apresentam melhores desempenhos nas situações de composição (C) e transformação de uma relação (TR), seguida pela transformação (T). Uma possível explicação para esse de- sempenho pode ser encontrado em Santos (2006). Essa autora realizou uma análise de livros didáticos utilizados nos anos iniciais do Ensino Fundamental de escolas pú- blicas de municípios do Sul da Bahia. Dentre seus principais resultados concluiu que as situações-problema mais abordadas pelos livros didáticos são as de composição, sendo que a maior parte dos livros adotados nem chegam a abordar as situações de transformação e de comparação. Acreditamos que o livro seja o maior apoio do professor e dessa forma tem influência direta em seu trabalho, o que justificaria o melhor desempenho dos estudantes na categoria composição. Contudo, outros es- tudos podem ser realizados para se identificar os reais fatores que influenciam esse desempenho dos estudantes. Módulo 5 I Volume 3 51UESC Número e Operações 1Unidade
  47. 47. Figura 21 – Desempenho geral dos estudantes baianos. Legenda: C= composição; T= transformação; CP = comparação; TR = transformação de uma relação; CT = composição de várias transformações. Na Região Sul da Bahia, coletamos dados em nove municípios envolvendo 969 es- tudantes, sendo 212 do 2º ano; 233 do 3º ano; 263 do 4º ano e 261 do 5º ano. A Figura 22 mostra o desempenho geral por ano escolar. Observa-se que nenhum dos anos escolares alcançou a média 50% de acerto. 52 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  48. 48. Figura 22 - Desempenho geral por ano escolar dos estudantes do Sul da Bahia. Esses resultados se referem às respostas dadas pelos estudantes num teste compos- to por 18 situações-problemas de adição e de subtração que envolvem as categorias apresentadas acima, e essas situações são similares às que colocamos como exemplo para cada uma das categorias. Diante desse contexto é possível afirmar que os resultados trazem indícios de que se faz necessário planejar ações que visem sanar possíveis dificuldades que estejam ocorrendo no ensino e também na aprendizagem do Campo Aditivo. Baseados nesses e em outros estudos, bem como no trabalho que estamos desenvolvendo com profes- sores dos anos iniciais da Região Sul da Bahia, colocamos a seguir algumas sugestões para o trabalho com essas operações. Fonte: Santana (2010). 7 OS ERROS COMO PONTO DE PARTIDA PARA A APRENDIZAGEM 7.1 O papel do erro no processo de aprendizagem Muitasvezes,abordamosoerrodoestudante,numacertaatividade, como um fator de punição, ou seja, se o estudante erra, apontamos como aquele que não aprende, não tem atenção, tem dificuldades, não tem base. Contudo precisamos analisar os erros e usá-los como ferramenta de aprendizagem. Cury (2007) defende a ideia de que a análise de erros pode ser uma metodologia de ensino. Para a autora isso pode acontecer quando essa análise leva os estudantes a questionarem as suas próprias soluções Módulo 5 I Volume 3 53UESC Número e Operações 1Unidade
  49. 49. e, mais do que isso, conduzi-los a uma aprendizagem. Defendemos a mesma ideia da autora. Santana (2010) aponta erros cometidos pelos estudantes dos anos iniciais ao resolver situações-problema aditivas. A autora coloca que dentre os possíveis erros cometidos por esses estudantes, podemos ter: alguns ligados ao cálculo numérico que são os relacionados às operações a serem realizadas; e os erros ligados ao cálculo relacional que são aqueles atrelados às relações de pensamento que os estudantes precisam fazer para a compreensão da situação-problema. Vejamos alguns exemplos. 7.2 Erro no cálculo numérico A Figura 23 a seguir traz um exemplo de erro ao armar a operação. Figura 23 - Exemplo de erro ao armar a operação. Fonte: acervo de pesquisa dos autores. Observe que o estudante escolheu a operação correta, o que nos leva a pensar que ele compreende as relações que compõem a estrutura da situação apresentada. Contudo ele ainda não compreende as regras do sistema de numeração decimal e as do algoritmo da subtração. O professor, enquanto mediador, poderá conduzir o estudante a refletir sobre a maneira como ele registrou a operação e sobre as impossibilidades de retirar 13 de 9, ou seja, o valor maior (13) ser retirado do menor (9), além de a unidade ter sido colocada como dezena. A Figura 24 a seguir apresenta a resolução feita por outro estudante para a mesma situação (mudança apenas nos nomes). Problema 13. Roger tem R$ 9,00. Everton tem R$ 13,00. Quem tem menos reais? Quantos reais a menos? Ele tem 8 reais RespostaResolução - 9 13 8 54 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  50. 50. Figura 24 - Exemplo de erro ao efetuar a operação. Observe que o estudante parece compreender as relações que compõem o problema, mas ele erra ao efetuar a operação. O professor pode trabalhar o erro com esse estudante, levando-o a refletir sobre o resultado apresentado. Uma maneira de levar o estudante a uma reflexão é pedir a ele que adicione R$5,00 a R$9,00. Fazendo isso, o estudante poderá encontrar o valor que Cláudio possui. Contudo, se o estudante faz tal operação, pode perceber que a sua subtração está incorreta. 7.3 Erro no cálculo relacional A Figura 25 traz um exemplo de erro no cálculo relacional. O estudante trocou a operação, isto é, ao invés de adicionar ele subtraiu. Figura 25 – Exemplo de erro no cálculo relacional. Observe que o estudante não compreende que Igor tem mais Igor tem 4 balões a mais que ela. Quantos balões tem Igor? Igor tem 5 baloes RespostaResolução 9 -4 5 Problema 5. Bruna e Igor têm balões. Veja o desenho abaixo. Os balões de Bruna. Problema 13. Leila tem R$ 9,00. Cláudio tem R$ 13,00. Quem tem menos reais? Quantos reais a menos? Leila tem menos que Claudio 5 reais RespostaResolução 13 - 9 05 1 3 Módulo 5 I Volume 3 55UESC Número e Operações 1Unidade
  51. 51. balões que Bruna. Num exemplo como esse, o professor pode conduzir o estudante à reflexão através da interpretação da situação-problema. Se o estudante compreende que Igor tem mais balões, ele poderá compreender que 5 balões são menos que 9, e assim poderá verificar que a operação correta é a adição. Outro procedimento com o uso da operação inversa, que ocorre com frequência, é quando esse uso vem atrelado ao uso de palavras-dica que fazem parte do enunciado da situação. Os estudantes costumam fazer associações como: se tem “ganhar” é de mais; se tem “perder” é de menos. A Figura 26 a seguir apresenta um exemplo do possível uso da palavra-dica. Observe que o estudante adicionou ao invés de subtrair. Acreditamos que o estudante possa ter escolhido a operação inversa influenciado pela presença da palavra “mais”. Essa nossa afirmativa é decorrente das entrevistas realizadas com os estudantes. Figura 26 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa. A Figura 27, a seguir, apresenta outro procedimento com erro no cálculo relacional. Observe que o estudante não registrou nenhuma Mário tem 5 carrinhos a mais que Pedro. Quantos carrinhos tem Pedro? Pedro tem 13 carrinhos. RespostaResolução 8 +5 13 3º) Mário e Pedro têm carrinhos de brinquedo. Veja na ilustração os carrinhos de Mário. Carrinhos de Mário 56 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  52. 52. operação. Ele colocou o total de gudes de Artur como resposta. Esse tipo de procedimento inviabiliza uma análise mais profunda das relações que o estudante possa ter feito para colocar essa resposta. Diante desse tipo de procedimento, o professor precisa questionar o estudante para que ele possa expor a compreensão que teve da situação e só assim o professor poderá intervir de maneira a alcançar a aprendizagem do estudante. Figura 27 - Erro no cálculo relacional com repetição do enunciado. Por fim, deixamos para o professor alguns pontos para a sua reflexão: • precisamos analisar o ensino dos conceitos aditivos, pois eles ultrapassam o algoritmo da adição e da subtração e chegam a conceitos como compor, transformar, comparar, dentre outros; • o ensino de resolução de situações-problema precisa ser iniciado com a interpretação das mesmas. O papel do professor tangencia a mediação entre a situação colocada e a interpretação que o estudante deve fazer. Com a compreensão da situação fica mais fácil escolher a operação a ser realizada; • o uso de situações desafiadoras e que sejam ligadas ao cotidiano do estudante o faz ter maior interesse em interpretar e resolver, isto é, o estudante se envolve e se concentra mais quando a situação desperta o seu interesse. Sabendo que Artur tem 6 gudes a mais que Everton. Com quantas gudes ficou Everton? 14 RespostaResolução Problema 8. Artur e Everton participaram de um jogo de gudes. No final do jogo, Artur ficou com as gudes que estão desenhadas abaixo. As gudes que ficaram com Artur Módulo 5 I Volume 3 57UESC Número e Operações 1Unidade
  53. 53. 7.4 Sugestões para o trabalho com adição e subtração • Ajude o estudante a entender a situação antes de buscar a operação a ser realizada. Evite responder ou incentivar a colocação de perguntas como: “é de mais ou de menos?”; “é para somar ou para diminuir?”. Ao fazer essa pergunta, o estudante busca apenas fazer uma “conta” sem entender o contexto da situação apresentada. • Incentive o estudante a responder a situação e compreender se a resposta dada é coerente com o que foi solicitado na situação. • Diversifique as situações apresentadas para os estudantes, usando situações que tenham, por exemplo: opções de escolha; contextos diferentes; figuras, e que as informações que essas figuras trazem precisem ser utilizadas dentro da resolução; e que as situações sejam próximas da realidade do estudante. • Busque trabalhar com as seis categorias de situações-problema aditivas. Esse tipo de trabalho favorece o desenvolvimento das habilidades do estudante no que se refere às operações de adição e subtração. Finalmente, disponibilizamos os nossos endereços eletrônicos para que o professor possa entrar em contato com nossa equipe, seja para esclarecer suas dúvidas, nos apresentar sugestões, discutirmos sobre pontos apresentados aqui, ou ainda para se integrar a equipe do PEA. Também, nos colocamos à disposição para discutirmos pontos sobre o ensino e a aprendizagem de outros conteúdos matemáticos. 58 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  54. 54. ATIVIDADES 1) O Brasil tem uma extensão territorial de 8.547.403 km2 (quilômetros quadrados). a) Quantos algarismos tem esse número? ________________ b) Quantas classes tem esse número? ____________________ c) Qual o algarismo da centena simples? ____________________ d) Qual o algarismo da unidade de milhar? ___________________ e) Qual o algarismo da centena de milhar?___________________ f) Qual o valor posicional do algarismo da dezena de milhar? _________________________ g) Qual o valor absoluto do algarismo de dezena simples? _________________________ h) Escreva este número por extenso: ______________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 2) Pesquise os sistemas de numeração das civilizações egípcia, romana e mesopotâmica. Depois, descreva suas características, comparando suas semelhanças e diferenças. 3) Quais dos aspectos históricos abordados sobre os números naturais vocêlevariaparaasaladeauladosanosiniciaisdoEnsinoFundamental? Que abordagem metodológica você utilizaria para trabalhá-los com os alunos? 4) Observe as figuras a seguir que corresponde a resposta dada por um estudante do 3º ano do Ensino Fundamental ao resolver uma situação aditiva que envolve conceitos de transformação. ATIVIDADES Módulo 5 I Volume 3 59UESC Número e Operações 1Unidade
  55. 55. Figura 28 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa. a) Como você trabalharia esse erro com seu aluno? b) Você diria que o estudante respondeu corretamente a situação abaixo? Como você trabalharia com o estudante as diferenças entre o algoritmo e a resposta dada? Figura 29 - Exemplo de erro lógico. 5) Classifique as situações a seguir conforme a Teoria dos Campos Conceituais e resolva-as, utilizando os diagramas de Vergnaud. a) Geovana recebeu, na 1ª quinzena de janeiro, 478 mensagens no Orkut e na 2ª quinzena, 699. Qual o total de mensagens recebidas por Geovana durante todo o mês de janeiro? b) Josivan tinha 118 cadernos. Ganhou alguns e agora tem 205. Quantos cadernos ele ganhou? Problema 10. No final do jogo de gude, Paulo ficou com 14 gudes. Sabendo que Paulo tem 6 gudes a mais que Jonas. Com quantas gudes ficou Jonas? 8 gudes Jonas ficou. RespostaResolução 3 +5 8 Problema 3. Carine tinha sorvetes em seu isopor. Sua prima tomou alguns dos sorvetes de Carine. Veja o desenho. Sorvetes que Carine tinha. Sorvetes que Carine tem agora. Carine quer saber quantos sorvetes dela sua prima tomou. Carine tinha 13 sorvetes RespostaResolução 8 +5 13 60 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  56. 56. c) Vivian tem R$ 67,00 e Cláudio tem R$ 12,00 a menos que ela. Quantos reais tem Cláudio? d) Telma e Marilene arrecadaram uma quantia de dinheiro para comprar bandeirolas para enfeitarem suas ruas. Cada quilo de bandeirolas custa R$ 20,00. Veja os valores que elas já têm: Telma: R$ 160,00 Marilene: R$ 80,00 i. Quem pode comprar mais bandeirolas? ii. Quantos quilos de bandeirolas a mais ela pode comprar? e) Ana e Bete têm dinheiro para comprar sorvete. Bete tem R$ 4,00 a menos que Ana. Sabendo-se que Bete tem R$ 8,00, quantos reais tem Ana? f) Bianca guardou uma certa quantia do seu salário na caderneta de poupança. No mês seguinte, quando recebeu o salário de R$ 510,00, ela ficou com R$ 830,00. Quantos reais ela conseguiu guardar no mês anterior? g) Silvana devia R$150,00 a Alda. Pagou R$ 70,00. Quanto Silvana ficou devendo a Alda? h) Vivian saiu de casa com certa quantia, gastou R$ 6,00 em lanches, depois gastou R$ 3,00 em refrigerante. Quanto Vivian gastou ao todo? RESUMINDO Nesta unidade, abordamos a construção do conceito de número pela criança, alguns aspectos históricos relacionados com o surgimento do nosso sistema de numeração decimal e suas operações. Entendendo a Aritmética como a parte da Matemática que lida com números e suas propriedades, encontramos nas situações-problema uma forma acessível para a construção dos fatos básicos das operações, para a constituição de um repertório a ser utilizado no cálculo como bem explicita os PCN (BRASIL, 2000, p.72). Vimos também que as situações-problema aditivas podem ser classificadas segundo o seu grau de complexidade e os conceitos nelas RESUMINDO Módulo 5 I Volume 3 61UESC Número e Operações 1Unidade
  57. 57. envolvidos. Seguindo a classificação dada por Vergnaud (1982), podemos ter situações de: composição, transformação, comparação, composição de várias transformações, transformação de uma relação e composição de relações. Em geral trabalhamos com as situações-problema aditivas sem nos atentar que os conceitos e grau de complexidade nelas envolvidos vão além da resolução do algoritmo da adição ou da subtração. Faz-se necessário trabalhar os algoritmos, mas precisamos conduzir o aluno para a compreensão da situação e depois de compreender é que será definida qual operação será utilizada para a resolução. Além disso, o professor precisar auxiliar no desenvolvimento do senso crítico do aluno e, ao se tratar de resolução de situações-problema não é interessante apenas resolver, mas refletir sobre os resultados encontrados: o valor que estou colocando como resposta é coerente com o contexto e o que foi solicitado na situação? Questões como esta devem fazer parte das reflexões finais de resolução. REFERÊNCIAS BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1996. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1a a 4a série): Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental, 2. ed. Brasília, 2000. BROLEZZI, A. C. A Tensão entre o Discreto e o Contínuo na História da Matemática e no Ensino de Matemática. Tese de Doutorado. São Paulo: FEUSP, 1997. CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: CAEM-IME/USP, 1992. CARRAHER, T.; CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A. Na Vida Dez, na Escola Zero. 13. ed. São Paulo: Cortez, 2003. REFERÊNCIAS 62 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  58. 58. CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com a resposta dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. CENTURION, M. Número e operações. São Paulo: Cortez, 1994. DUARTE, N. O ensino de matemática na educação de adultos. 8. ed. São Paulo: Cortez, 2001. IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 2000. IMENES, L. M. A numeração indo-arábica. Coleção Vivendo a Matemática. São Paulo: Scipione, 1988. KAMII, C.; DECLARK, G. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. São Paulo: Papirus, 1995. KAMII,C.;LIVINGSTON,S.J.Desvendandoaaritmética:implicações da teoria de Piaget. Campinas, SP: Papirus, 1995. MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da Teoria dos Campos Conceituais. São Paulo: PROEM, 2001. NUNES et al. Educação Matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005. NUNES, A. F. V. B.; SOLEDADE C. B.; REIS, S. M. B. dos. Sorobã para deficientes visuais, cálculo direto para operações matemáticas. Salvador-BA: SUD/SEC, 1998. PAIS, L. C. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006. PEIXOTO, J. L. B.; SANTANA, E. R. dos S.; CAZORLA, I. M. Soroban uma ferramenta para a compreensão das quatro operações. Itabuna: Via Litterarum, 2006. PEIXOTO, J. L. B.; CAZORLA, I. M.; VITA, A. C. Inclusão na Escola: um bate-papo com os professores. Ilhéus: Editus; Itabuna: Via Litterarum, 2011. PIAGET, J. Introdução a la Epistemologia Genética. Volumen I: El Pensamiento Matemático. Buenos Aires: Paidos, 1978. SANTANA, E. R. S. Estruturas Aditivas: o suporte didático influencia a Módulo 5 I Volume 3 63UESC Número e Operações 1Unidade
  59. 59. aprendizagem do estudante? Tese (doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2010. SANTOS, M. S. Estruturas Aditivas: um olhar em livros didáticos do 2º ciclo do ensino fundamental. Monografia na Universidade Estadual de Santa Cruz. Ilhéus: UESC, 2006. SPINILLO, A. G. “O conhecimento matemático antes do ensino da matemática na escola”. In: A Educação Matemática em revista. Santa Catarina: SBEM, V. II, n. 3, p. 41-50, 1994. VERGNAUD, G. A Classification of Cognitive Tasks and Operations of Thought Involved in Addition and Subtraction Problems. In. Addition and Subtraction: a cognitive Perspective. New Jersey: Lawrense Erlbaun, 1982. p. 39-59. ______. A Teoria dos Campos conceituais. In. BRUN, J. Didáctica das matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996, p. 155-191. ZUNINO, D. L. de. A Matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995. 64 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  60. 60. Suas anotações ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ......................................................................................................................... Módulo 5 I Volume 3 65UESC Número e Operações 1Unidade
  61. 61. ESPAÇO E FORMA OBJETIVOS Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: yy analisar e discutir situações nas quais seus estudantes utilizem o pensamento geométrico, explicando e resolvendo situações- problema; yy elaborar e reelaborar estratégias baseadas em aprendizagens sobre a forma e a posição dos objetos no espaço (e no plano), bem como suas transformações; yy explorar os conceitos de intuição e representação, para fins de desenhar caminhos metodológicos; yy planejar, implementar e avaliar atividades e aulas que estimulem o desenvolvimento do pensamento geométrico. 2ªunidade
  62. 62. 1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE FORMAS Examinando a maneira como o ser humano realiza suas tarefas no dia a dia encontramos vários desafios que exigem raciocínios sobre as formas dos objetos e coisas. Até mesmo tarefas simples como decidir o melhor trajeto a ser percorrido com o carro, dispor os móveis em um cômodo, dispor roupas ou objetos em uma gaveta, ou mesmo escolher um recipiente adequado para acomodar um determinado volume, podem exigir escolhas que definirão o melhor aproveitamento do espaço em questão. Da mesma maneira, as atividades profissionais do pedreiro, da confeiteira, da costureira e muitas profissões necessitam interpretação e transformação das formas dos objetos para produzir formas novas, como por exemplo: projetar e executar as ações necessárias sobre os materiais disponíveis e construir uma casa, um bolo de aniversário decorado, um vestido. Cada campo da Matemática possui conhecimentos cujo estudo pode contribuir para desenvolvermos ainda mais modalidades específicas do nosso raciocínio que aprendemos com as tarefas do dia a dia. O raciocínio sobre o espaço, a forma e a posição das coisas é necessário para a maioria de nossas ações e na Matemática a organização desses conhecimentos corresponde ao campo das Geometrias. Quando falamos em pensamento geométrico (ou raciocínio geométrico) nos referimos aos modos e estratégias de pensar que têm como características essenciais as competências/capacidades de analisar objetos no espaço (e no plano) de modo a: • reconhecer e detalhar as características gerais (tipos) e específicas das formas (composição), bem como descrever os procedimentos/processos para construção/obtenção destas; • realizar e reconhecer os resultados de transformações na forma e na posição de objetos, bem como descrever os Módulo 5 I Volume 3 69UESC Espaço e forma 2Unidade
  63. 63. procedimentos/processos para efetuá-las e revertê-las; • comparar as formas e posições dos objetos, a fim de estabelecer as relações necessárias para compreensão/explicação de fenômenos e resolução de problemas. Outros aspectos do pensamento geométrico estão relacionados ao bloco de conteúdos ‘Grandezas e Medidas’, mas é necessário que o professor compreenda muito bem as características essenciais deste tipo de pensamento para não incorrer no erro comum de trabalhar apenas com números e medidas e deixar de lado as dimensões mais importantes do raciocínio sobre o espaço e a forma. Na prática, estas habilidades são estimuladas com mais vigor quando o professor constrói e analisa com seus estudantes situações- problema sobre a forma e a posição dos objetos, sem recorrer a medidas e cálculos numéricos. A capacidade de transformar o espaço intencionalmente começa a ser desenvolvida desde o nascimento e se potencializa nas atividades culturais das quais as crianças participam. Nas brincadeiras infantis como amarelinha, pula-corda e jogos de roda, por exemplo, são estimuladas percepções fundamentais sobre o espaço como as noções de lateralidade, direção, sentido, distância, trajeto, contorno, superfície, volume etc. A maneira como a cultura contribui para o desenvolvimento do raciocínio a partir das nossas experiências de exploração do mundo nos leva a perceber que a geometria da exploração do espaço é mais familiar para as crianças no início da escolaridade do que a geometria das formas geométricas planas. Desta maneira, mesmo não sendo formas idealmente planas, a fôrma usada para assar pizzas e a roda da bicicleta tornam-se modelos para a criança compreender o círculo, desenhado com o compasso, porque Atividades envolvendo cálculos e medidas nem sempre estimulam o desenvolvimento das habilidades essenciais do pensamento geométrico! atenção 70 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  64. 64. são mais conhecidas, experimentadas. Nos anos iniciais, todas estas experiências passam a ser exploradas intencionalmente pelo professor, com auxílio de várias formas de registro como desenhos, esquemas, mapas, maquetes com o objetivo de ampliar a capacidade das crianças identificarem as características dos objetos e do espaço que estão relacionadas a situações-problema do dia a dia e projetar as transformações na forma e na posição que forem necessárias para encontrar soluções. Assim, num primeiro momento, a cultura escolar pode interagir com as culturas dos estudantes e contribuir para prepará-los para suas atividades cotidianas. Num segundo momento,oprofessorpodeapoiar-senasformasdopensamento geométrico desenvolvidas para avançar nos estudos, rumo ao estudo da geometria mais sistemática e dedutiva – formação que se intensifica nos anos finais do Ensino Fundamental. 2 CONCEITOS BÁSICOS PARA CONSTRUÇÃO METODOLÓGICA Muitos pesquisadores conhecidos, como Jean Piaget, criaram modelos para explicar como nosso raciocínio se Nos Parâmetros Cur- riculares Nacionais os conteúdos essenciais da aprendizagem da Geometria estão organizados no bloco “Espaço e forma”. Vale a pena conhecer! Brasil (1997, 1998, 2002). Figura 30 - Crianças em brincadeira de roda. Fonte: http://0.tqn.com/d/houston/1/0/g/H/-/-/friendship- circle-clip-art.jpg Módulo 5 I Volume 3 71UESC Espaço e forma 2Unidade
  65. 65. desenvolve a ponto de nos permitir perceber as características das formas que habitam o espaço e transformá-las de modo intencional. Estas teorias organizam conhecimentos muito úteis para o professor, uma vez que ajudam a compreender as características dos conhecimentos matemáticos e a planejar atividades que potencializem as aprendizagens mais significativas. Neste curso, a título de introdução, estudaremos a forma, a partir do pressuposto de que a mente lida com o espaço utilizando dois conceitos centrais: representação e intuição. Estes conceitos constituem uma síntese de ideias presentes nos modelos piagetiano, vygotskyano e na Teoria dos Registros de Representação Semiótica e serão aqui introduzidos para nos permitir uma primeira aproximação didática com os fenômenos ligados a aprendizagem da geometria. O objetivo de discutirmos esses conceitos é nos preparar para uma ação mais imediata em nossas aulas, criando esquemas metodológicos que nos auxiliem a problematizar situações de exploração do espaço e da forma. A partir dos conceitos de intuição e representação também podemos situar melhor algumas questões relativas ao significado e ao sentido e às noções de concreto e abstrato em Matemática. 2.1 Representação e intuição Definimos representação como a capacidade de produzir registros sobre coisas que percebemos através de nossos sentidos. Esses registros podem ser imagens formadas apenas nas nossas mentes ou serem concretizadas em registros feitos de várias formas, utilizando nossa língua materna (descrições orais ou escritas) ou formas gráficas tridimensionais (esculturas, maquetes, modelos geométricos) e planas (desenhos, esquemas, mapas etc.). Utilizamos as representações para nos referirmos aos conceitos e ideias matemáticas, de modo a registrar as características que consideramos importante para poder manipular o objeto ou lidar com ele em nossa mente, raciocinar sobre ele, tirar conclusões. Por isso, é uma aprendizagem escolar importante saber selecionar a representação mais 72 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  66. 66. adequada para explorar/investigar uma situação. Por exemplo, para saber quantas pirâmides podem ser construídas com uma folha de cartolina pode ser mais interessante utilizar sua planificação do que a figura sólida. Nossa intuição é uma mistura de percepção e entendimento, formada por um conjunto de conhecimentos que ajuda a dar significado às nossas percepções de modo mais ou menos imediato e consciente. Exemplos: • Quando cai um objeto no chão, longe da nossa vista, ouvimosobarulhoe,àsvezes,identificamosimediatamente o que caiu. O que ouvimos evoca em nossa mente algum conhecimento que temos e que está ligado à audição. • Quando tentamos adivinhar (sem olhar) qual objeto está escondido dentro de uma sacola, nossas mãos tocam o objeto e nossas mentes evocam imagens e conhecimentos ligados ao nosso tato. Nos dois casos é fácil perceber que nossa intuição mobiliza rapidamente conhecimentos ligados às nossas experiências sensoriais e, quando não encontra conhecimentos que ajudam a compreender o que estamos percebendo, fica difícil até formar alguma imagem ou entender o que está acontecendo. Então, num segundo momento, conscientemente, nos esforçamos para procurar em nossas mentes algo que ajude na compreensão. Quanto mais ricas (em variedade e detalhes) são as nossas experiências sensoriais e quanto mais as evocamos e utilizamos de modo consciente, mais se desenvolve nossa intuição. Intuição e representação são competências que devem ser estimuladas no trabalho com todos os conteúdos de Matemática em qualquer nível de ensino. No início deste capítulo, falamos em “pensamento geométrico” e com estes novos conceitos que estamos abordando podemos falar em “intuição geométrica” e em “representação do espaço”. Agora também podemos destrinchar as competências gerais do pensamento geométrico em habilidades (mais específicas). Desta forma, o pensamento é caracterizado em vários níveis, pelas habilidades de intuir e representar Módulo 5 I Volume 3 73UESC Espaço e forma 2Unidade
  67. 67. as formas e suas posições no espaço, bem como utilizá-las de modo consciente para: • posicionar e localizar objetos; • analisar movimentos de pessoas e objetos; • orientar-se, utilizando como referência as posições dos objetos; • planejar e realizar transformações na forma e na posição dos objetos; • para dimensionar (mensurar) o espaço e objetos; • perceber e utilizar com criatividade as regularidades da forma e posição; • criar modelos para interpretar fenômenos e resolver situações-problema; • comunicar suas ideias geométricas, utilizando diversas linguagens. Da mesma forma em que falamos em “intuição e representação geométrica”, podemos falar em “intuição e representação numérica” ou “intuição e representação aritmética” como competências que caracterizam o raciocínio numérico/aritmético. Discutiremos melhor a extensão dos conceitos básicos de intuição e representação para outras áreas da Matemática nos encontros presenciais. Por ora, vamos nos concentrar em entender como os conhecimentos matemáticos adquirem significado e sentido para nós e porque temos dificuldades em aprender certas coisas. 2.2 Significado e sentido Quando mostramos o significado de uma operação para a criança, fazemos como o dicionário faz com palavras. Significado: 1) Expressão ou palavra conhecida que é equiva- lente ou substitui o ter- mo; 2) Sinônimo conheci- do; 3) Noção ou conceito. 74 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  68. 68. Exemplo 1: dizemos: seu lado esquerdo é o lado onde está situado seu coração. Exemplo 2: também dizemos que a corda dá a volta em torno da criança. Exemplo 3: Dizemos: Três vezes um é a mesma coisa que somar um mais um, mais um. Representamos: 3 x 1 = 1 + 1 + 1 Para um conhecimento fazer sentido, além do indivíduo compreender seu significado é preciso que ele aceite que sua lógica é válida (não é absurda) e reconheça os contextos de validade e aplicação dos conhecimentos. Inicialmente, tudo que contraria a intuição não faz muito sentido. Isto é, tudo que nossa percepção capta, mas que não conseguimos compreender, dificilmente vai fazer sentido para nós. Para dar sentido as coisas, fazemos uso de nossas capacidades de intuir e representar. 2.3 Concreto e abstrato Essa definição de concreto nos indica que a característica fundamental do que é concreto é apresentar- se tal como na realidade, ou seja, para ser concreto não é preciso ser palpável, mas sim evocar ou representar o objeto Sentido Valor pessoal que o indi- víduo atribui a um conhe- cimento. Se é pessoal, as motivações e todas as vi- vências e aprendizagens influenciam esse processo de valoração. saiba mais Quanto mais ricas (em va- riedade e detalhes) são as nossas experiências sen- soriais e quanto mais as evocamos e utilizamos de modo consciente, mais se desenvolve nossa intuição e, a partir dela amplia-se nossa capacidade de atri- buir sentido ao que apren- demos. Concreto Diz-se de coisa ou de re- presentação que se apre- senta de modo comple- to, tal como lhe é próprio apresentar-se na sua rea- lidade existencial. Figura 31 - Crianças em brincadeira de corda. Fonte: http://blogs.elpais.com/.a/6a00d8341bfb1653ef0162f e4b3314970d-800wi Módulo 5 I Volume 3 75UESC Espaço e forma 2Unidade
  69. 69. sem perder sua totalidade. A imagem mental que fazemos de um lugar que conhecemos bem na infância e que traz à lembrança experiências positivas pode ser bastante concreta, mesmo que este lugar já nem exista mais. Podemos lembrar propriedades como cheiro, cor, temperatura, textura e até sabores. Estamos mais acostumados a traduzir a palavra “concreto” como sendo sempre algo em sua forma material, palpável, o que, aliás, não está errado porque é um dos significados que a palavra possui e que está presente nos dicionários. Contudo, para o ensino de Matemática, esta definição é limitada porque não deixa clara a relação com o processo de abstrair, que em muitos dicionários é descrito como o processo de separar mentalmente para tomar em consideração uma propriedade que não pode ter existência fora do todo concreto ou intuitivo em que aparece (por exemplo, abstrair a cor ou a forma de um objeto). A operação de abstrair implica lidar mentalmente com as propriedades do objeto sem a necessidade de que ele esteja presente. A imagem do lugar da infância que demos como exemplo pode ser examinada mentalmente e podemos realizar várias tarefas cognitivas sobre ela, sem a necessidade de ir até o lugar. Podemos nos concentrar, por exemplo, em tentar comparar as dimensões daquele lugar com as da nossa sala de aula ou podemos tentar focalizar a forma como nos movíamos naquele espaço. Essas operações constituem abstrações e estão muito ligadas às imagens que somos capazes de formar e ao grau de concretude que elas assumem para nós. Estes conceitos nos ajudam a avançar em relação a um mito muito comum na educação hoje em dia: o mito de que no ensino de matemática sempre deve estar presente o “concreto” material. A partir dos conceitos de intuição e representação, podemos ampliar essa ideia do concreto de modo a abranger as representações do espaço que são Abstrato Que designa ideias, quali- dades, estados, ações, que isolamos do que é concre- to e utilizamos para operar mentalmente ou através de registros e linguagens. 76 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática
  70. 70. intuitivas para nossos alunos. E a partir delas estimular a identificação de propriedades do espaço e forma que permitem ao estudante construir ideias matemáticas e conceitos mais abstratos. Assim, na contextualização das ideias exploradas em sala de aula, é fundamental o apelo às vivências dos alunos e ao uso de representações que sejam intuitivas para eles. Podemos utilizar vários materiais “concretos”, mas nosso objetivo é ampliar a capacidade de abstração do aluno para que ele lide com o concreto como referência, dentro da sua mente. Lembrar de uma brincadeira como amarelinha e desenhá-la pode ser tão concreto para a criança quanto estar pulando sobre o desenho riscado no chão. Podemos perceber que algumas crianças em situações espontâneas de resolução de problemas aritméticos representam as operações da forma que é para elas mais intuitiva, porque faz mais sentido. A mesma criança que fez o desenho anterior, mais tarde representa a operação da seguinte forma: Figura 32 - Criança e os montinhos de gude. Figura 33 - Criança e os montinhos de gude. Módulo 5 I Volume 3 77UESC Espaço e forma 2Unidade
  71. 71. Ainda não é uma representação convencional, mas sem dúvida ela sabia o que estava fazendo ao escrever. Mais tarde, ele vai ser capaz de usar o sinal “+” de modo significativo. Em vários momentos da aprendizagem da Matemática, os estudantes vão recorrer às representações que tornam o problema mais fácil de compreender. Observando as representações mais intuitivas para eles e o uso que fazem, podemos ter indícios da qualidade das aprendizagens e oferecer meios para que eles avancem e sejam capazes de construir e utilizar representações diversas com qualidade cada vez maior. 2.4 A importância da experimentação e da problematização Com base nos conceitos que vimos, o professor pode perceber a importância de promovermos na escola a reflexão sobre o espaço vivido/ experimentado pelo estudante. Quando estimulamos a exploração consciente sobre o espaço e a experimentação de movimentos, disposição de objetos e transformações da forma, favorecemos a ligação entre experiência e os conhecimentos sistematizados, desenvolvendo melhor a intuição e o pensamento geométrico. Para dar suporte às reflexões, o professor pode questionar as característicasdoespaçoedaforma.Aesseprocessodeelaborarperguntas que motivem o estudante a explorar seus conhecimentos chamamos de problematização. Ela pode ser feita mesmo antes de o estudante experimentar o espaço, serve para atiçar sua intuição e verificar como ela antecipa a experiência. Também pode ser feita após a exploração do espaço, de modo a provocar a reflexão sobre aspectos tanto percebidos, quanto os pouco evidentes. Ainda como suporte ao processo de aprendizagem, o professor pode recorrer às várias formas de representação possíveis em nossa língua materna (descrições orais ou escritas) ou formas gráficas tridimensionais (esculturas, maquetes, modelos geométricos) e planas (desenhos, esquemas, mapas etc.). 78 EADPedagogia Metodologia do Ensino da Matemática

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