1) O documento discute modelagem gravitacional direta e inversão usando coordenadas esféricas e tesseroides. 2) É apresentado um algoritmo para calcular modelos a partir de dados gravitacionais usando plantação de sementes. 3) Software livre é desenvolvido para modelagem direta e inversão gravitacional com diferentes algoritmos de otimização.

1. Modelagem e inversão
em coordenadas esféricas
na gravimetria
Leonardo Uieda
Valéria C. F. Barbosa (Orientadora)

2. 1. Calcular grav
de um modelo (tesseroides)
2. Calcular modelo
a partir da gravidade
3. Software

3. Grav de um modelo

4. tesseroide

5. tesseroide coord.
locais

6. Integração numérica
Quadratura Gauss-Legendre
Integral
Soma de massas pontuais

7. Acurácia
Nº de massas pontuais
+
Distância massas / Distância obs.

8. gxy
h = 400 km
Massas:
2 x 2 x 2

9. gxy
h = 150 km
Massas:
2 x 2 x 2

10. gxy
h = 150 km
Massas:
30 x 30 x 30

11. Diminuir o erro
Erro grande

12. Diminuir o erro
Mais massas
Erro menor

13. Diminuir o erro
Mais massas
ou
Mais tesseroides

14. Diminuir o erro
Mais massas
ou
Mais tesseroides

15. Algoritmo
P
modelo

16. Algoritmo
P
modelo

17. P
d
L_lon
L_lat
L_r
Algoritmo

18. P
d
L_lon
L_lat
L_r
Algoritmo
if d/L_lon < r:
div_lon = True

19. P
d
L_lon
L_lat
L_r
Algoritmo
if d/L_lon < r:
div_lon = True

20. P
d
L_lon
L_lat
L_r
Algoritmo
if d/L_lat < r:
div_lat = True

21. P
d
L_lon
L_lat
L_r
Algoritmo
if d/L_r < r:
div_r = True

22. P
L_lat
L_lon
L_r
Algoritmo
if d/L_lon < r:
div_lon = True
d

23. P
d
L_lat
L_lon
L_r
Algoritmo
if d/L_lon < r:
div_lon = True

24. Algoritmo
P
d
L_lat
L_r
L_lon
if d/L_lon < r:
div_lon = True

25. Algoritmo
r determina nº de divisões.
tempo de computação
+
acurácia

26. r = 1

27. r = 2

28. r = 6

29. Casca esférica
Solução analítica
Discretiza casca em tesseroides
Diferença entre resultados = erro
… para vários r

30. r Erro

31. r Erro

32. Conclusão
r =
1 – potencial e g
6 – gradientes
Garante erro máximo de 0.5%

33. 1. Calcular grav
de um modelo (tesseroides)
2. Calcular modelo
a partir da gravidade
3. Software

34. Calcular modelo
a partir da grav.

35. Algoritmo de plantação
Gravidade + gradientes
Solução cresce em torno de sementes
Não resolve sistemas lineares
Cálculo eficiente da Jacobiana

37. dado predito
semente

42. Sintético: lineamentos

43. Chad
Braitenberg et al. (2011)

44. Braitenberg et al. (2011)

45. 10º
N
topo = 1 km
300 kg.m-3
8km
2º

46. gzz a 20 km

47. Sementes

48. obs. pred.

49. Conclusão
Capaz de recuperar lineamentos.
Investigando:
Geometria do mesh influencia o resultado.
Células alongadas – resultado alongado.
Células achatadas – resultado achatado.
Mesh - informação a priori.

50. 1. Calcular grav
de um modelo (tesseroides)
2. Calcular modelo
a partir da gravidade
3. Software

51. Software

52. Software para modelagem
Tesseroids: leouieda.com/tesseroids
Modelagem direta
(tesseroides e prismas)
Fatiando a Terra: fatiando.org
Modelagem direta (prisma, esfera,
tesseroide, prisma poligonal)
Visualização

53. Software para inversão
fatiando.inversion
Automatizar construção de
problemas inversos.
Reutilização, simplicidade, flexibilidade

54. Software para inversão
Γ(¯p)= φ(¯p) + μθ(¯p)
gamma = Misfit(...) + 0.01*Smoothness(...)

55. Software para inversão
Γ(¯p)= φ(¯p) + μθ(¯p)
gamma = Misfit(...) + 0.01*Smoothness(...)
dados, modelo interpretativo, etc

56. Software para inversão
Minimizar com Γ método de Newton
δ p=( AT A+μW )−1 [ AT (d−f ( p 0))−μW p 0]
gamma.config('newton', inital=p0).fit()

57. Software para inversão
Γ
Minimizar com método de Newton
δ p=( AT A+μW )−1 [ AT (d−f ( p 0))−μW p 0]
gamma.config('newton', inital=p0).fit()
gamma.config('levmarq', inital=p0).fit()

58. Software para inversão
Γ
Minimizar com método de Newton
δ p=( AT A+μW )−1 [ AT (d−f ( p 0))−μW p 0]
gamma.config('newton', inital=p0).fit()
gamma.config('levmarq', inital=p0).fit()
gamma.config('acor', bounds=[-3, 4]).fit()

59. Conclusões
Igual para ajuste de reta e inversão 3D.
Vários algoritmos:
Newton, Levemberg-Marquardt,
Steepest Descent, Ant Colony Optimization.
Fácil de implementar.
Optimizar quando necessário.

60. Atividades
2013-2014

61. Artigos
● The Leading Edge
“Geophysical tutorial: Euler deconvolution of
potential-field data”
doi:10.1190/tle33040448.1
● Ore Geology Reviews (Dionísio)
“Imaging iron ore from the Quadrilátero
Ferrífero (Brazil) using geophysical inversion
and drill hole data”
doi:10.1016/j.oregeorev.2014.02.011

62. Congressos
● Oral: EGU General Assembly
“Gravity inversion in spherical coordinates
using tesseroids”
github.com/leouieda/egu2014
● Poster: Scipy 2014
“Using Fatiando a Terra to solve inverse
problems in geophysics”
github.com/leouieda/scipy2014

63. Cronograma
2014-2015

64. Resultados
● Modelagem direta (refeitos e aprimorados)
● Sintéticos inversão (apresentado na EGU)
– Lineamentos
– Underplating
● Dado real inversão (GOCE)
– Região: lineamento Chad, África
– Baixar dados: TIM, EIGEN, EGG, ETOPO
– Corrigir topografia
– Inversão

65. Escrita
● Modelagem direta (fazendo): ~ 30/09
● Inversão: ~ 11/2014 – 01/2015
● Artigos sobre software

66. Todo material online
github.com/pinga-lab
github.com/leouieda