Aula sobre variogramas e modelos aplicados a técnicas de interpolação.

1. MODELAGEM
VARIOGRÁFICA

2. Estatística espacial
 Estatística clássica
 variáveis independentes
 sem continuidade espacial
 Estatística espacial
 valores associados à localização no espaço e/ou no tempo
 distribuição contínua dos valores
 Geoestatística
 variáveis regionalizadas: fenômeno natural
 aspecto estrutural (determinístico)
 aspecto errático (casual)
 correlação espacial
 Procedimentos em geoestatística
 análise exploratória dos dados
 calculo do variograma experimental
 modelagem
 krigagem: estimativa e interpolação
 simulação

3. Geoestatística
 Metodologia para
 determinar se existe uma autocorrelação
espacial entre dois pontos amostrados
 quantificar o efeito da localização
espacial sobre a variabilidade amostral
 Baseia-se no pressuposto que pontos
mais próximos normalmente estão mais
relacionados entre si do que pontos
muito afastados.

4. A hipótse intrínsica
 A hipótese intrínsica estabelece que
a distribuição das diferenças entre
pares de valores obtidos em locais
de amostragem é a mesma em toda a
área, dependendo apenas da
distância e da orientação entre os
pontos.
 Em outras palavras, as diferenças
devem ser consistentes, NÃO
constantes por toda a área.

5. Variograma e krigagem
Geoestatística: variograma e krigagem.
 Variograma: descrição matemática da
relação entre a variância de pares de
observação (pontos de amostragem) e a
distância que separa essas observações
 Krigagem: a autocorrelação espacial pode
ser usada para estimar valores em
pontos não amostrados.

6. para a utilização do semivariograma as
seguintes suposições básicas são requeridas:
 a) as diferenças entre pares de valores de
amostras são determinadas apenas pela
orientação espacial relativa dessas amostras;
 b) o interesse é enfocado apenas na média e
na variância das diferenças, significando que
esses dois parâmetros dependem unicamente da
orientação (hipótese intrínseca);
 c) por conveniência assume-se que os valores
da área de interesse não apresentam tendência
que possa afetar os resultados e assim a
preocupação será apenas com a variância das
diferenças entre valores das amostras.

7.  Semivariograma mostra, pela análise estrutural, o
comportamento espacial da variável regionalizada ou
de seus resíduos, quando na presença de tendência:
 tamanho da zona de influência em torno de uma
amostra; toda amostra cuja distância ao ponto a
ser estimado for menor ou igual ao alcance,
fornece informações sobre o ponto
 anisotropia, quando os semivariogramas se mostram
diferentes para diferentes direções de linhas de
amostragem;
 continuidade, pela forma do variograma quando
para h=0 γ(h) já apresenta algum valor (efeito
pepita/nugget); pode ser atribuído à erros de
medição ou ao fato de que os dados não foram
coletados a intervalos suficientemente pequenos
para mostrar o comportamento espacial subjacente
do fenômeno em estudo.

8. Variograma

9. semivariograma experimental
 mínimo de 30 pares
 remoção de valores anômalos
 maior ∆h, a metade da maior distância existente entre
os pontos.
 grau de casualidade dos dados, E = Co/C
 E<0,15: componente aleatória pequena
 0,15 < E < 0,30: componente aleatória significante
 E > 0,30: componente aleatória muito significativa
 extremo do grau de casualidade é o modelo de pepita
pura, onde não ocorre covariância entre os valores e a
análise semivariográfica não se aplica
 iniciar com semivariograma omnidirecional
 semivariograma teórico
 modelagem: processo que envolve várias tentativas e
no qual a experiência pesa muito
 pode-se optar por um ajuste manual, mais sujeito à
erros, ou com o auxílio de algoritmos

10. Ajuste do variograma
experimental a um modelo
variográfico teórico
 Comparação visual
 Técnicas de ajuste automático:
Método dos mínimos quadrados
Critério AIC (Akaike Information
Criterion)
Critério Cressie
Critério Variowin, etc.
 Validação cruzada

11. Modelos variográficos
As funções
matemáticas
dos modelos
devem permitir
que a matriz de
covariâncias,
nele baseada,
possa ser
invertida, como
ocorre na
krigagem.
Somente certos
modelos podem
ser usados.

12. Dados
1ª. Variável: cádmio (example.dat/GEOEAS)
2ª. Variable: valor de cádmio+100
As coordenadas X e Y são as mesmas para ambas as variáveis
ID X Y Cd Cd100
1 288 311 11.5 111.5
2 285.6 288 8.5 108.5
3 273.6 269 7 107
4 280.8 249 10.7 110.7
5 273.6 231 11.2 111.2
6 276 206 11.6 111.6
7 285.6 182 7.2 107.2
8 288 164 5.7 105.7
9 292.8 137 5.2 105.2
10 278.4 119 7.2 107.2
11 360 315 3.9 103.9
12 355.2 291 9.5 109.5
13 367.2 272 8.9 108.9
14 367.2 250 11.5 111.5
15 352.8 226 10.7 110.7
16 350.4 203 8.3 108.3
…
60 ...

13. Distribuição dos pontos
tem as mesmas
coordenadas.
Valores não.
1 1 . 5
8 . 5
7 . 0
1 0 . 7
1 1 . 2
1 1 . 6
7 . 2
5 . 7
5 . 2
7 . 2
3 . 9
9 . 5
8 . 9
1 1 . 5
1 0 . 7
8 . 3
6 . 1
6 . 7
6 . 2
0 . 0
5 . 5
4 . 0
7 . 0
5 . 3
1 1 . 6
9 . 0
1 4 . 5
1 2 . 1
0 . 9
0 . 0
3 . 2
1 . 2
1 . 7 1 . 2
7 . 6
1 1 . 6
8 . 7
5 . 8
3 . 8
1 0 . 4
1 0 . 0
7 . 1
4 . 4
1 0 . 4
1 . 6
1 5 . 0
3 . 4
6 . 8
1 0 . 8
1 4 . 9 9 . 9 1 1 . 6 6 . 5 1 0 . 1 1 1 . 8 1 1 . 0 1 6 . 7 1 1 . 6 6 . 99 . 9
3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
1 1 1 . 5
1 0 8 . 5
1 0 7 . 0
1 1 0 . 7
1 1 1 . 2
1 1 1 . 6
1 0 7 . 2
1 0 5 . 7
1 0 5 . 2
1 0 7 . 2
1 0 3 . 9
1 0 9 . 5
1 0 8 . 9
1 1 1 . 5
1 1 0 . 7
1 0 8 . 3
1 0 6 . 1
1 0 6 . 7
1 0 6 . 2
1 0 0 . 0
1 0 5 . 5
1 0 4 . 0
1 0 7 . 0
1 0 5 . 3
1 1 1 . 6
1 0 9 . 0
1 1 4 . 5
1 1 2 . 1
1 0 0 . 9
1 0 0 . 0
1 0 3 . 2
1 0 1 . 2
1 0 1 . 7 1 0 1 . 2
1 0 7 . 6
1 1 1 . 6
1 0 8 . 7
1 0 5 . 8
1 0 3 . 8
1 1 0 . 4
1 1 0 . 0
1 0 7 . 1
1 0 4 . 4
1 1 0 . 4
1 0 1 . 6
1 1 5 . 0
1 0 3 . 4
1 0 6 . 8
1 1 0 . 8
1 1 4 . 9 1 0 9 . 9 1 1 1 . 6 1 0 6 . 5 1 1 0 . 1 1 1 1 . 8 1 1 1 . 0 1 1 6 . 7 1 1 1 . 6 1 0 6 . 91 0 9 . 9
3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
C d
C d 1 0 0

14. Determinação de h
Maior “h”: metade da maior
distância entre pontos
E-W: 492-254= 238
N-S: 315-118 = 197
Maior distância = (2382
+ 1972
)1/2
= 309
Maior “h” = 150
Extensão do menor “h”?
Extensão do intervalo x número de
pares no intervalo

15. h = 2 (extensão = 75)

16. h = 75 (extensão = 2)

17. h = 15 (extensão = 10)

18. h = 10 (extensão = 15)

19. Nuvem variográfica
direção NE-SW

21. h = 5 (extensão = 30)

22. Krigagem para a estimativa de
um ponto (Xo)
















−γ
−γ
−γ
=
















µ
λ
λ
λ
⋅
















−γ−γ−γ
−γ−γ−γ
−γ−γ−γ
1
)xx(
:
)xx(
)xx(
:
01...11
1)xx(...)xx()xx(
:::::
1)xx(...)xx()xx(
1)xx(...)xx()xx(
0n
02
01
n
2
1
nn2n1n
n22212
n12111
)xx()zzVar( 0i
n
1i
i0
*
0
2
K −γλ+µ=−=σ ∑=
Esta equação pode ser expressa também em termos de covariância
γ(h) = C(0) - C(h)
Cálculo da variância(desvio padrão) associada(o) ao valor
obtido por estimativa

23. Modelagem da variável Cd pelo
Variowin

24. Modelagem da variável Cd100
pelo Variowin

25. Krigagem da variável Cd e respectivo mapa de desvios
padrão dos valores estimados pela krigagem
Modelo adotado: exponencial, de acordo com a
indicação da qualidade do ajuste calculado pelo Variowin
3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
- 0 . 5 0
0 . 5 0
1 . 5 0
2 . 5 0
3 . 5 0
4 . 5 0
5 . 5 0
6 . 5 0
7 . 5 0
8 . 5 0
9 . 5 0
1 0 . 5 0
1 1 . 5 0
1 2 . 5 0
1 3 . 5 0
1 4 . 5 0
3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
1 . 6 5
1 . 7 5
1 . 8 5
1 . 9 5
2 . 0 5
2 . 1 5
2 . 2 5
2 . 3 5
2 . 4 5
2 . 5 5
2 . 6 5
2 . 7 5
2 . 8 5
2 . 9 5
3 . 0 5
C D

26. Krigagem da variável Cd100 e respectivo mapa de
desvios padrão dos valores estimados pela krigagem
Modelo adotado: exponencial, de acordo com a
indicação da qualidade do ajuste calculado pelo Variowin
3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
9 9 . 5
1 0 0 . 5
1 0 1 . 5
1 0 2 . 5
1 0 3 . 5
1 0 4 . 5
1 0 5 . 5
1 0 6 . 5
1 0 7 . 5
1 0 8 . 5
1 0 9 . 5
1 1 0 . 5
1 1 1 . 5
1 1 2 . 5
1 1 3 . 5
1 1 4 . 5
3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
1 . 6 5
1 . 7 5
1 . 8 5
1 . 9 5
2 . 0 5
2 . 1 5
2 . 2 5
2 . 3 5
2 . 4 5
2 . 5 5
2 . 6 5
2 . 7 5
2 . 8 5
2 . 9 5
3 . 0 5
C d 1 0 0

27. Escolha do modelo linear (default do
SURFER) para a variável Cd
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0
L a g D is ta n c e
0
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
2 0
Variogram
D ir e c tio n : 0 .0 T o le r a n c e : 9 0 .0
C o lu m n D : C d

28. Escolha do modelo linear (default do
SURFER) para a variável Cd100
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0
L a g D is ta n c e
0
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8
2 0
Variogram
D ir e c tio n : 0 .0 T o le r a n c e : 9 0 .0
C o lu m n E : C d 1 0 0

29. Krigagem da variável Cd e respectivo mapa de desvios padrão
dos valores estimados pela krigagem
Modelo adotado: linear (SURFER)
3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
3 . 5
4
4 . 5
5
5 . 5
6
6 . 5
7
C d : m o d e lo lin e a r

30. Krigagem da variável Cd100 e respectivo mapa de desvios
padrão dos valores estimados pela krigagem
Modelo adotado: linear (SURFER)
3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
3 . 5
4
4 . 5
5
5 . 5
6
6 . 5
7
3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
9 9 . 0
1 0 0 . 0
1 0 1 . 0
1 0 2 . 0
1 0 3 . 0
1 0 4 . 0
1 0 5 . 0
1 0 6 . 0
1 0 7 . 0
1 0 8 . 0
1 0 9 . 0
1 1 0 . 0
1 1 1 . 0
1 1 2 . 0
1 1 3 . 0
1 1 4 . 0
1 1 5 . 0
1 1 6 . 0
1 1 7 . 0
C d 1 0 0 : m o d e lo lin e a r

31. CONCLUSÕES
 O aspecto geral dos dois mapas para a variável Cd,
resultantes da krigagem, é praticamente o mesmo.
 Idem em relação à variável Cd100
 No primeiro caso, tendo sido ajustado o melhor modelo
(exponencial), o resultado, para ambas as variáveis, com
relação ao intervalo de valores de desvios padrão é o mesmo
(1,65-3,05), independentemente da escala dos valores em
Cd e Cd100.
 Quando, porem, é adotado um modelo que não reflete o
comportamento espacial dos dados (modelo linear), os desvios
padrão se apresentam com valores maiores (0-7), para
ambas as situações.
 Os menores valores de desvio-padrão estão, sempre,
associados aos locais com pontos de amostragem.

32. Isso porque:
 O semivariograma mostra a medida do
grau de dependência espacial entre
valores e é uma medida da variabilidade
em relação à distância. A krigagem usa
essas informações para encontrar os
pesos ótimos a serem associados às
amostras que irão estimar um ponto.
 A variância da krigagem é independente
dos valores dos pontos usados para
obter os estimadores Zi* e mede
somente a configuração espacial dos
dados. Sendo a krigagem baseada
apenas no variograma, que é global, os
valores da variância independe dos
valores locais dos pontos de
amostragem.