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DERIVADAS FUNDAMENTAIS
Vamos estudar algumas regras que nos permitirão calcular a derivada
de uma função f(x) . A demonstração dessas regras pode ser feita com
a aplicação da definição . Vejamos algumas derivadas fundamentais:
Derivada da função constante
Se “c” é uma função constante e f(x) = c, para todo “x” real, então
f’(x) = 0
f(x) = c ⇒ f’(x) = 0
Exemplos:
f(x) = 8 ⇒ f´(x) = 0 ; f(x) = 3
1
− ⇒ f´(x) = 0 ; f(x) = 3
1
− ⇒ f´(x)= 0
Derivada da função potência
Se f(x) = xn
, com “n” ∈ R , então f’(x) = n . x n - 1
Fórmula: f(x) = xn
⇒ f’(x) = n . xn - 1
Exemplos: f(x) = x ⇒ f’(x) = 1. x1 - 1
= 1.x x0
= 1
f(x) =x7
⇒ f’(x) = 7.x7 – 1
= 7 x6
- f(x) = x- 4
⇒ f’(x) = - 4.x- 4 - 1
= -4 x- 5
⇒ f’(x) = 5
5
4
x
−
- f(x) = x 5
3
−
⇒ f’(x) = 5
3
− . x 1
5
3
−−
⇒ f’(x) = 5
3
− . x 5
8
−
⇒ f’(x) =
5
8
5
3
x
−
⇒ f’(x)
= 5 8
5
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x
−
- f(x) = 4
x ⇒ f(x) = x 4
1
⇒ f’(x) = 4
1
. x 1
4
1
−
⇒ f’(x) = 4
1
. x 4
3
−
⇒
f’(x) =
4
3
4
1
x
⇒ f’(x) = 4 3
4
1
x
− -
- f(x) = 3
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x
⇒ f(x) = x–3
⇒ f’(x) = -3.x–3-1
⇒ f’(x) = -3.x–4
⇒
f’(x) = 4
3
x
−
Derivada do produto de uma constante por uma potência
Se g(x) = c . f(x), com “c” igual a uma constante e f(x) derivável, então
g’(x) = c . f’(x)
Exemplos:
- g(x) = 5x3
⇒ g’(x) = 5.3. x
3 - 1
= 15 x
2
- f(x) =
12
3
2
x ⇒ g’(x) =
112
.12.
3
2 −
x ⇒ g’(x) = 11
8x
Propriedades Operatórias
Sejam u(x) e v(x) duas funções tais que u’(x) e v’(x) exista; então são válidas as
seguintes propriedades:
a) Derivada da soma e da diferença de funções
Se f(x) = u(x) + v(x), então f’(x) = u’(x) + v’(x)
De modo análogo tem-se que se:
Se f(x) = u(x) - v(x), então f’(x) = u’(x) - v’(x)
(F)
Donde se conclui que:
“Se as funções u(x) e v(x) são deriváveis, a derivada da soma ou da diferença
é igual à soma ou à diferença das derivadas de cada uma das funções”
Vejamos alguns exemplos:
1) Dada a função: f(x) = 3x4
+ 5 x3
- x2
+ x, calcular f’(x).
f(x) = 3x4
+ 5 x3
- x2
+ x ⇒ f’(x) = 4.3.x4-1
+3.5.x3-1
-2.x2-1
+1.x1-1
⇒ f’(x) = 12x3
+ 15x2
- 2x + x0
⇒ f’(x) = 12x3
+ 15x2
- 2x + 1
2) Dada a função: f(x) = 3x-3
- 2x-5
+ x-2
, calcular f’(x).
f(x) = 3x-3
- 2x-5
+ x-2
⇒ f’(x) = -3.3.x-3-1
–(-5).2.x-5-1
+(-2).x-2-1
⇒ f’(x) = -9x-4
+ 10x-6
- 2x-3
3) Dada a função: 453
)( −
−+= ttttf , calcular f’(t)
Solução:
55 4
2
5
5
4
2
521413
45
1
3453
4
5
1
3)´(
4
5
1
3)´(
4
5
1
3)´().4(
5
1
3)´(
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5
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1
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1
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ttf
t
t
ttf
ttttfttttf
ttttfttttf
++=⇒++=
⇒++=⇒−−+=
⇒−+=⇒−+=
−−−−
−−
−−
4) Dada a função: x
xxxf
2
)()( 253
−+−= −
, calcular f’(t)
35 34
2
3
5
34
2
3
5
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1
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2
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1
5
2
3253
2
5
23
)(
2
5
23
)(2.
5
2
3)(
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2
1
(.
5
2
).3()(.2)(
2
)(
2
)()(
xxx
xf
xx
x
xfxxxxf
xxxxfxxxxf
x
xxxf
x
xxxf
++=
⇒++=⇒++=⇒
−−+−−=⇒−+−=
⇒−+−=⇒−+−=
−−
−
−−−
−−
−
−
−−
Derivada de um produto de funções
Se f(x) = u(x) . v(x), então f’(x) = u’ . v + v’ . u
De modo mais simples, podemos escrever:
y = u . v ⇒ y’ = u’ . v + v’ . u
(F)
Vejamos alguns exemplos:
- 1) Calcular a derivada de (2 + 5x).(7 – 3x)
Resolução:
Fazendo y = (2 + 5x).(7 – 3x) , temos :
u = (2 + 5x), logo u’ = 5
v = (7 – 3x), temos v’ = –3
Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que:
y’ = u’ . v + v’ . u ⇒ y’ = 5 . (7 – 3x) + (–3) . (2 + 5x) ⇒
y’ = 35 – 15x – 6 – 15x ⇒ y’ = –30x + 29
- 2) Calcular a derivada de f(x) = x (3x – 1).(x + 2)
Resolução:
Preparando a função, temos
f(x) = x (3x – 1).(x + 2 ⇒ f(x) = (3x2
– x).(x + 2)
Transformando, temos:
u(x) = 3x2
– x ⇒ u’(x) = 6x – 1
v(x) = x + 2 ⇒ v’(x) = 1
Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que:
y = u . v ⇒ y’ = u’ . v + v’ . u
y’ = (6x – 1).( x + 2) + 1 . (3x2
– x) ⇒ y’ = 6x2
+ 12x – x – 2 + 3x2
– x
y’ = 9 x2
+ 10x – 2
Derivada de um quociente de funções
Se )(
)(
)(
xv
xu
xf = , com v(x) ≠ 0,
então 2
)().(')().('
)('
v
xuxvxvxu
xf
−
=
De modo mais simples, podemos escrever:
v
u
y = ⇒ 2
'.'.
'
v
uvvu
y
−
= (F)
Vejamos alguns exemplos:
- 1) Dada a função
3
1
)(
2
−
+
=
x
x
xf , calcular f’(x)
Resolução:
Sabemos que: 2
'.'.
'
v
uvvu
y
−
=
Fazendo:
u = x2
+ 1 vem que: u’ = 2x
v = x – 3 vem que: v’ = 1
Aplicando-se a fórmula vem:
2
2
2
)3(
)1).(1()3).(2(
'
'.'.
'
−
+−−
=⇒
−
=
x
xxx
y
v
uvvu
y
⇒
−
−−−
= 2
2
)3(
13.2.2
'
x
xxxx
y
Efetuando-se as operações vem que:
96
16
'
96
162
' 2
2
2
22
+−
−−
=⇒
+−
−−−
=
xx
xx
y
xx
xxx
y
Derivada da potência de uma função
Consideremos a função f(x) = [g(x)]n
, com n ∈ R.
Então f’(x) = n.[g(x)]n – 1
. g’(x). De uma forma mais simples,
podemos escrever: y = g n
y’ = n . g n – 1
. g’
1º Exemplo: Dada a função 2)( −= xxf , calcular f’(6)
Solução:
Transformando temos: 2
1
)2(2)( −=−= xxxf
Fazendo-se g(x) = (x – 2). Obtemos g’(x) = 1
Se ⇒−=⇒−=
−
1.)2.(
2
1
)(')2()(
1
2
1
2
1
xxfxxf
22
1
)('
)2(2
1
)(')2.(
2
1
)('
2
1
2
1
−
=⇒
−
=⇒−=
−
x
xf
x
xfxxf
Daí vem que:
4
1
)6('
2.2
1
)6('
42
1
262
1
)6(' =⇒=⇒=
−
= fff
2º Exemplo:
Dada a função f(x) = (2x + 1)4
, calcular f’(x)
Solução:
Fazendo-se g(x) = 2x + 1, e derivando-se, obteremos g’(x) = 2
Logo, temos:
y = g4
y’= 4 . g4 – 1
. g’
y’ = 4 . (2x + 1)4 – 1
. 2 y’ = 8 . (2x + 1)3
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  • 1. DERIVADAS FUNDAMENTAIS Vamos estudar algumas regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função f(x) . A demonstração dessas regras pode ser feita com a aplicação da definição . Vejamos algumas derivadas fundamentais: Derivada da função constante Se “c” é uma função constante e f(x) = c, para todo “x” real, então f’(x) = 0 f(x) = c ⇒ f’(x) = 0 Exemplos: f(x) = 8 ⇒ f´(x) = 0 ; f(x) = 3 1 − ⇒ f´(x) = 0 ; f(x) = 3 1 − ⇒ f´(x)= 0 Derivada da função potência Se f(x) = xn , com “n” ∈ R , então f’(x) = n . x n - 1 Fórmula: f(x) = xn ⇒ f’(x) = n . xn - 1 Exemplos: f(x) = x ⇒ f’(x) = 1. x1 - 1 = 1.x x0 = 1 f(x) =x7 ⇒ f’(x) = 7.x7 – 1 = 7 x6 - f(x) = x- 4 ⇒ f’(x) = - 4.x- 4 - 1 = -4 x- 5 ⇒ f’(x) = 5 5 4 x − - f(x) = x 5 3 − ⇒ f’(x) = 5 3 − . x 1 5 3 −− ⇒ f’(x) = 5 3 − . x 5 8 − ⇒ f’(x) = 5 8 5 3 x − ⇒ f’(x) = 5 8 5 3 x − - f(x) = 4 x ⇒ f(x) = x 4 1 ⇒ f’(x) = 4 1 . x 1 4 1 − ⇒ f’(x) = 4 1 . x 4 3 − ⇒ f’(x) = 4 3 4 1 x ⇒ f’(x) = 4 3 4 1 x − - - f(x) = 3 1 x ⇒ f(x) = x–3 ⇒ f’(x) = -3.x–3-1 ⇒ f’(x) = -3.x–4 ⇒ f’(x) = 4 3 x − Derivada do produto de uma constante por uma potência Se g(x) = c . f(x), com “c” igual a uma constante e f(x) derivável, então g’(x) = c . f’(x)
  • 2. Exemplos: - g(x) = 5x3 ⇒ g’(x) = 5.3. x 3 - 1 = 15 x 2 - f(x) = 12 3 2 x ⇒ g’(x) = 112 .12. 3 2 − x ⇒ g’(x) = 11 8x Propriedades Operatórias Sejam u(x) e v(x) duas funções tais que u’(x) e v’(x) exista; então são válidas as seguintes propriedades: a) Derivada da soma e da diferença de funções Se f(x) = u(x) + v(x), então f’(x) = u’(x) + v’(x) De modo análogo tem-se que se: Se f(x) = u(x) - v(x), então f’(x) = u’(x) - v’(x) (F) Donde se conclui que: “Se as funções u(x) e v(x) são deriváveis, a derivada da soma ou da diferença é igual à soma ou à diferença das derivadas de cada uma das funções” Vejamos alguns exemplos: 1) Dada a função: f(x) = 3x4 + 5 x3 - x2 + x, calcular f’(x). f(x) = 3x4 + 5 x3 - x2 + x ⇒ f’(x) = 4.3.x4-1 +3.5.x3-1 -2.x2-1 +1.x1-1 ⇒ f’(x) = 12x3 + 15x2 - 2x + x0 ⇒ f’(x) = 12x3 + 15x2 - 2x + 1
  • 3. 2) Dada a função: f(x) = 3x-3 - 2x-5 + x-2 , calcular f’(x). f(x) = 3x-3 - 2x-5 + x-2 ⇒ f’(x) = -3.3.x-3-1 –(-5).2.x-5-1 +(-2).x-2-1 ⇒ f’(x) = -9x-4 + 10x-6 - 2x-3 3) Dada a função: 453 )( − −+= ttttf , calcular f’(t) Solução: 55 4 2 5 5 4 2 521413 45 1 3453 4 5 1 3)´( 4 5 1 3)´( 4 5 1 3)´().4( 5 1 3)´( )´()( 5 4 1 5 1 tt ttf t t ttf ttttfttttf ttttfttttf ++=⇒++= ⇒++=⇒−−+= ⇒−+=⇒−+= −−−− −− −− 4) Dada a função: x xxxf 2 )()( 253 −+−= − , calcular f’(t) 35 34 2 3 5 34 2 3 5 3 4 1 2 1 1 5 2 132 1 5 2 3 2 1 5 2 3253 2 5 23 )( 2 5 23 )(2. 5 2 3)( .2). 2 1 (. 5 2 ).3()(.2)( 2 )( 2 )()( xxx xf xx x xfxxxxf xxxxfxxxxf x xxxf x xxxf ++= ⇒++=⇒++=⇒ −−+−−=⇒−+−= ⇒−+−=⇒−+−= −− − −−− −− − − −− Derivada de um produto de funções Se f(x) = u(x) . v(x), então f’(x) = u’ . v + v’ . u De modo mais simples, podemos escrever: y = u . v ⇒ y’ = u’ . v + v’ . u (F) Vejamos alguns exemplos: - 1) Calcular a derivada de (2 + 5x).(7 – 3x) Resolução:
  • 4. Fazendo y = (2 + 5x).(7 – 3x) , temos : u = (2 + 5x), logo u’ = 5 v = (7 – 3x), temos v’ = –3 Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que: y’ = u’ . v + v’ . u ⇒ y’ = 5 . (7 – 3x) + (–3) . (2 + 5x) ⇒ y’ = 35 – 15x – 6 – 15x ⇒ y’ = –30x + 29 - 2) Calcular a derivada de f(x) = x (3x – 1).(x + 2) Resolução: Preparando a função, temos f(x) = x (3x – 1).(x + 2 ⇒ f(x) = (3x2 – x).(x + 2) Transformando, temos: u(x) = 3x2 – x ⇒ u’(x) = 6x – 1 v(x) = x + 2 ⇒ v’(x) = 1 Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que: y = u . v ⇒ y’ = u’ . v + v’ . u y’ = (6x – 1).( x + 2) + 1 . (3x2 – x) ⇒ y’ = 6x2 + 12x – x – 2 + 3x2 – x y’ = 9 x2 + 10x – 2 Derivada de um quociente de funções Se )( )( )( xv xu xf = , com v(x) ≠ 0, então 2 )().(')().(' )(' v xuxvxvxu xf − = De modo mais simples, podemos escrever: v u y = ⇒ 2 '.'. ' v uvvu y − = (F) Vejamos alguns exemplos: - 1) Dada a função 3 1 )( 2 − + = x x xf , calcular f’(x) Resolução:
  • 5. Sabemos que: 2 '.'. ' v uvvu y − = Fazendo: u = x2 + 1 vem que: u’ = 2x v = x – 3 vem que: v’ = 1 Aplicando-se a fórmula vem: 2 2 2 )3( )1).(1()3).(2( ' '.'. ' − +−− =⇒ − = x xxx y v uvvu y ⇒ − −−− = 2 2 )3( 13.2.2 ' x xxxx y Efetuando-se as operações vem que: 96 16 ' 96 162 ' 2 2 2 22 +− −− =⇒ +− −−− = xx xx y xx xxx y Derivada da potência de uma função Consideremos a função f(x) = [g(x)]n , com n ∈ R. Então f’(x) = n.[g(x)]n – 1 . g’(x). De uma forma mais simples, podemos escrever: y = g n y’ = n . g n – 1 . g’ 1º Exemplo: Dada a função 2)( −= xxf , calcular f’(6) Solução: Transformando temos: 2 1 )2(2)( −=−= xxxf Fazendo-se g(x) = (x – 2). Obtemos g’(x) = 1 Se ⇒−=⇒−= − 1.)2.( 2 1 )(')2()( 1 2 1 2 1 xxfxxf 22 1 )(' )2(2 1 )(')2.( 2 1 )(' 2 1 2 1 − =⇒ − =⇒−= − x xf x xfxxf Daí vem que: 4 1 )6(' 2.2 1 )6(' 42 1 262 1 )6(' =⇒=⇒= − = fff
  • 6. 2º Exemplo: Dada a função f(x) = (2x + 1)4 , calcular f’(x) Solução: Fazendo-se g(x) = 2x + 1, e derivando-se, obteremos g’(x) = 2 Logo, temos: y = g4 y’= 4 . g4 – 1 . g’ y’ = 4 . (2x + 1)4 – 1 . 2 y’ = 8 . (2x + 1)3
  • 7. 2º Exemplo: Dada a função f(x) = (2x + 1)4 , calcular f’(x) Solução: Fazendo-se g(x) = 2x + 1, e derivando-se, obteremos g’(x) = 2 Logo, temos: y = g4 y’= 4 . g4 – 1 . g’ y’ = 4 . (2x + 1)4 – 1 . 2 y’ = 8 . (2x + 1)3