1. O documento apresenta os métodos geométricos auxiliares de mudança de diedros de projeção, definindo a nomenclatura dos novos planos de projeção e projetando pontos e figuras neles. 2. São mostrados exemplos de transformação de segmentos de reta, planos e figuras geométricas de sua projeção original para uma nova projeção, mantendo ou alterando características como inclinação, cota e afastamento. 3. O método permite determinar a visualização geométrica de objetos através de mud

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Métodos Geométricos Auxiliares I
Mudança de Diedros de Projecção
© antónio de campos, 2010

2. GENERALIDADES
Quando se utiliza o método da mudança do diedro de projecção é
necessário designar os planos de projecção e as projecções novas dos pontos
com uma nomenclatura específica.
O plano xy (o Plano Horizontal de Projecção) passa a ser designado por plano
1, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A1,
como normalmente o é.
O plano xz (o Plano Frontal de Projecção) passa a ser designado por plano 2,
com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A2, como
normalmente o é.
O plano yz (o Plano Perfil de Projecção) passa a ser designado por plano 3,
com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A3, como
normalmente o é.
Os novos planos que vão substituir planos existentes passam a ser
designados por plano 4, plano 5, etc.; com a projecção de um ponto A nesses
planos a serem identificados como A4, A5, etc., respectivamente.

3. A relação entre um novo plano de projecção e um existente deve sempre ser
de ortogonalidade entre os dois planos.
x
plano 2
plano 1
α
A
B
C
A2
B2
C2
C1
A1
B1
C4
A4
B4
plano 4
x’

4. O método da mudança do diedro de projecção desenvolve-se com as partes
seguintes:
1 – Escolher o plano a ser substituído;
2 – Escolher a posição do novo plano de projecção a ser introduzido;
3 – Manter a projecção do objecto sobre o plano de projecção que se
mantém, mantendo as restectivas coordenadas;
4 – Determinar a nova projecção do objecto sobre o novo plano de
projecção a ser introduzido, com novas coordenadas.

5. TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA
OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA HORIZONTAL
Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a
transformação num segmento de recta horizontal.
x
plano 2
plano 1
A
B
A2
B2
A1
B1
x
2
1
A1
A2
B1
B2
plano 4
A4
B4

6. TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA
OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA FRONTAL
Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a
transformação num segmento de recta frontal.
x
plano 2
plano 1
A
B
A2
B2
A1
B1
x
2
1
A1
A2
B1
B2
plano 4
A4
B4

7. TRANSFORMAÇÃO DE UMA RECTA HORIZONTAL
NUMA RECTA DE TOPO
Pretende-se transformar a de recta horizontal h numa recta de topo.
x
plano 2
plano 1
A
A2
A1
x
2
1
plano 4
h2
h2
h1
h1
h
A1
A2
A4
≡ (h4)

8. É dado um
segmento de
recta oblíquo
[AB], sendo A (1;
2; 4) e B (-3; 1;
2).
Determina a V.G.
do segmento de
recta [AB],
transformando-o
num segmento de
recta horizontal
com 2 cm de cota.
x
2
1
y ≡ z
A1
A2
B1
B2

9. É dado um
segmento de
recta oblíquo
[AB], sendo A (1;
2; 4) e B (-3; 1;
2).
Determina a V.G.
do segmento de
recta [AB],
transformando-o
num segmento de
recta frontal com
3 cm de
afastamento.
x
2
1
y ≡ z
A1
A2
B1
B2

10. É dada uma recta
frontal f, que
passa pelo ponto A
(2; 3) e faz um
ângulo de 30º
(a.d.) com o Plano
Horizontal de
Projecção.
Transforma a
recta f numa
recta vertical.
x
2
1
A1
A2
f1
f2

11. É dada uma recta
horizontal h, com
3 cm de cota e
faz um ângulo de
45º (a.e.) com o
Plano Frontal de
Projecção.
Transforma a
recta h numa
recta de topo.
x
2
1
h2
h1
A1
A2

12. É dada uma recta
oblíqua r, que passa
pelo ponto R (2; 1).
A projecção
horizontal da recta r
faz um ângulo de 25º
(a.d.) com o eixo x.
A projecção frontal
da recta r faz um
ângulo de 35º (a.d.)
com o eixo x.
Desenha as
projecções de um
segmento de recta
[RS], com 4 cm de
comprimento, situado
no 1.º diedro e contido
na recta r.
x
2
1
R1
R2
r1
r2
P1
P2
S1
S2

13. TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO VERTICAL NUM
PLANO FRONTAL
Pretende-se determinar a V.G. de um triângulo contido num plano vertical α,
via a transformação do plano α num plano frontal.
x
plano 2
plano 1
α
fα
hα
A
B
C
A1
B1
C1
B2
C2
A2
x
hα
fα
A1
A2
B1
B2
C1
C2
plano 4
x’
A4
B4
C4
2
1

14. TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO DE TOPO NUM
PLANO HORIZONTAL
Pretende-se a transformação de um plano de topo γ num plano horizontal.
x
plano 2
plano 1
γ
fγ
hγ
x
fγ
hγ
plano 4
x’
(h4γ)
2
1

15. É dado um
triângulo [PQR],
contido num plano
de topo, sendo P
(2; 3; 1), Q (-2; 4;
4) e R (1; 3).
Determina a V.G.
do triângulo.
x
2
1
y ≡ z
P1
P2
Q1
Q2
fα
hα
R1
R2

16. É dado um rectângulo
[ABCD], contido num
plano vertical γ. O
plano γ faz um diedro
de 60º (a.e.) com o
Plano Frontal de
Projecção.
A diagonal [AC] está
contida no β1,3, sendo
que A tem 2 cm de
cota e C tem 6 cm de
afastamento.
O lado [AB] do
polígono é vertical e
o lado [BC] é
horizontal.
Desenha as
projecções do
rectângulo e
determina a sua V.G.
x
2
1
hγ
fγ
≡ i1
i2
A1
A2
C1
C2
≡ B1
B2
≡ D1
D2

17. É dado um plano
vertical δ, que faz um
diedro de 30º (a.d.)
com o Plano Frontal
de Projecção.
São dados dois
pontos A (1; 4) e B
(2; 0), pertencentes
ao plano δ.
Os pontos A e B são
vértices de um
triângulo equilátero
[ABC], contido no
plano δ.
Desenha as
projecções do
triângulo,
construindo a figura
em V.G., após
transformar o plano
δ num plano frontal
com 2 cm de
afastamento.
x
2
1
hδ
fδ
A1
A2
B1
B2
C1
C2

18. É dado um plano θ,
definido por duas
rectas, r e s,
concorrentes no
ponto P (1; 3).
As projecções da
recta r são paralelas
entre si, e a sua
projecção horizontal
faz um ângulo de 40º
(a.d.) com o eixo x.
A recta s é passante,
e a sua projecção
frontal está
coincidente com a
projecção frontal de
r.
De que plano se
trata?
Transforma o plano θ
num plano horizontal
com 2,5 cm de cota.
x
2
1
P1
P2
r1
r2 ≡ s2
s1
Trata-se de um plano de topo (um
plano projectante frontal), pois as
projecções frontais das duas
rectas estão coincidentes.
R1 ≡ R2
F1
F2