1. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÃO É UMA RELAÇÃO ENTRE DUAS GRANDEZAS TAL QUE A CADA VALOR DA PRIMEIRA, CORRESPONDE UM ÚNICO VALOR DA SEGUNDA.

2. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÃO TAMBÉM PODEMOS RELACIONAR ELEMENTOS DE DOIS CONJUNTOS NÃO VAZIOS, DE MANEIRA QUE A CADA ELEMENTO DO PRIMEIRO CONJUNTO, ASSOCIAMOS UM ÚNICO ELEMENTO DO SEGUNDO CONJUNTO CONSIDERADO. ESTAS RELAÇÕES TAMBÉM EXPRESSAM FUNÇÕES.

3. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS QUANDO ASSOCIAMOS A CADA PESSOA UM PAR DE LENTES DE CONTATO, HÁ UMA FUNÇÃO DO CONJUNTO DE PESSOAS NO CONJUNTO DE PARES DE LENTES DE CONTATO. CADA PESSOA USA UM ÚNICO PAR DE LENTES DE CONTATO. QUANDO ASSOCIAMOS A CADA FILHO A SUA MÃE BIOLÓGICA, HÁ UMA FUNÇÃO DO CONJUNTO DOS FILHOS NO CONJUNTO DAS MÃES, POIS CADA FILHO TEM UMA ÚNICA MÃE.

4. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXEMPLOS QUANDO ASSOCIAMOS A CADA NÚMERO NATURAL O SEU OPOSTO, HÁ UMA FUNÇÃO DO CONJUNTO N = {0, 1, 2, 3, ...} NO CONJUNTO Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. CADA NÚMERO NATURAL TEM UM ÚNICO OPOSTO QUE PERTENCE AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS.

5. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÃO NORMALMENTE ESCREVEMOS f : D -> B PARA INFORMAR QUE f LEVA OS ELEMENTOS DO CONJUNTO D EM ELEMENTOS DO CONJUNTO B . CHAMAMOS O CONJUNTO ORIGEM D DE DOMÍNIO DE f , OU SEJA, O CONJUNTO DOS VALORES QUE A VARIÁVEL INDEPENDENTE DE f PODE ASSUMIR. QUANDO O CONJUNTO D NÃO É EXPLICITADO, CONVENCIONA-SE TOMAR O MAIOR SUBCONJUNTO POSSÍVEL PARA O QUAL f ESTÁ DEFINIDO.

6. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÃO O CONJUNTO B É O CHAMADO CONTRADOMÍNIO DE f , E É LÁ QUE A FUNÇÃO f IDENTIFICA OS POSSÍVEIS VALORES PARA A VARIÁVEL DEPENDENTE. JÁ O CONJUNTO f (D) , CONSTITUÍDO DE TODOS OS POSSÍVEIS VALORES DE f(x) PARA x Є D , É CHAMADO DE IMAGEM DE f . ESSA DENOMINAÇÃO É BASTANTE GRÁFICA, POIS SE D e B FOREM SUBCONJUNTOS DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS R A IMAGEM DE f É A PROJEÇÃO DO GRÁFICO DE f SOBRE O EIXO DAS ORDENADAS.

7. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO É REPRESENTADO PELO SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL. O PLANO CARTESIANO ORTOGONAL É CONSTITUÍDO POR DOIS EIXOS x E y PERPENDICULARES ENTRE SI QUE SE CRUZAM NA ORIGEM. O EIXO HORIZONTAL É O EIXO DAS ABSCISSAS ( EIXO OX ), E O EIXO VERTICAL É O EIXO DAS ORDENADAS ( EIXO OY ). ASSOCIANDO A CADA UM DOS EIXOS O CONJUNTO DE TODOS OS NÚMEROS REAIS, OBTÉM-SE O PLANO CARTESIANO ORTOGONAL.

8. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

9. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO CADA PONTO P=(a,b) DO PLANO CARTESIANO É FORMADO POR UM PAR ORDENADO DE NÚMEROS, INDICADOS ENTRE PARÊNTESES, A ABSCISSA E A ORDENADA RESPECTIVA- MENTE. ESTE PAR ORDENADO REPRESENTA AS COORDE- NADAS DE UM PONTO. O PRIMEIRO NÚMERO INDICA A MEDIDA DO DESLOCA- MENTO A PARTIR DA ORIGEM PARA A DIREITA (SE POSITIVO) OU PARA A ESQUERDA (SE NEGATIVO).

10. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

11. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO O PRIMEIRO NÚMERO INDICA A MEDIDA DO DESLOCA- MENTO A PARTIR DA ORIGEM PARA A DIREITA ( SE POSITIVO ) OU PARA A ESQUERDA ( SE NEGATIVO ). O SEGUNDO NÚMERO INDICA O DESLOCAMENTO A PARTIR DA ORIGEM PARA CIMA ( SE POSITIVO ) OU PARA BAIXO ( SE NEGATIVO ). OBSERVE NO DESENHO QUE: ( a,b ) ≠ ( b,a ) SE a ≠ b .

12. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO OS DOIS EIXOS DIVIDEM O PLANO EM QUATRO REGIÕES DENOMINADAS QUADRANTES SENDO QUE TAIS EIXOS SÃO RETAS CONCORRENTES NA ORIGEM DO SISTEMA FORMANDO UM ÂNGULO RETO ( 90 GRAUS ). OS NOMES DOS QUADRANTES SÃO INDICADOS NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO, CONFORME A FIGURA A SEGUIR, COM AS CORES DA BANDEIRA DO BRASIL.

13. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Segundo quadrante Primeiro quadrante Terceiro quadrante Quarto quadrante Quadrante sinal de x sinal de y Ponto não tem não tem (0,0) Primeiro + + (2,4) Segundo - + (-4,2) Terceiro - - (-3,-7) Quarto + - (7,-2

14. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PRODUTO CARTESIANO DADOS DOIS CONJUNTOS A e B NÃO VAZIOS, DEFINIMOS O PRODUTO CARTESIANO ENTRE A e B , DENOTADO POR AxB , COMO O CONJUNTO DE TODOS OS PARES ORDENADOS DA FORMA ( x,y ) ONDE x PERTENCE AO PRIMEIRO CONJUNTO A E y PERTENCE AO SEGUNDO CONJUNTO B . AxB = { (x,y): x є A e y є B } OBSERVE QUE AxB ≠ BxA , SE A É NÃO VAZIO OU B É NÃO VAZIO. SE A=Ø OU B=Ø , POR DEFINIÇÃO: AxØ = Ø OU BxØ = Ø

15. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PRODUTO CARTESIANO SE A POSSUI m ELEMENTOS E B POSSUI n ELEMENTOS, ENTÃO AxB POSSUI mxn ELEMENTOS. EXEMPLO: DADOS A={a, b, c, d} e B={1, 2, 3}, O PRODUTO CARTESIANO AxB , TERÁ 12 PARES ORDENADOS E SERÁ DADO POR: AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

16. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PRODUTO CARTESIANO

17. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS RELAÇÕES NO PLANO CARTESIANO SEJAM A e B CONJUNTOS NÃO VAZIOS. UMA RELAÇÃO EM AxB É QUALQUER SUBCONJUNTO R de AxB .

18. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS RELAÇÕES NO PLANO CARTESIANO A RELAÇÃO MOSTRADA NA FIGURA ANTERIOR É: R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) } UMA RELAÇÃO R DE A EM B PODE SER DENOTADA POR R:A->B .

20. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO DE UMA RELAÇÃO AS RELAÇÕES MAIS IMPORTANTES SÃO AQUELAS DEFINIDAS SOBRE CONJUNTO DE NÚMEROS REAIS E NEM SEMPRE UMA RELAÇÃO ESTÁ DEFINIDA SOBRE TODO O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. PARA EVEITAR PROBLEMAS COMO ESTES, COSTUMA-SE DEFINIR UMA RELAÇÃO R:A->B , ONDE A e B SÃO SUBCONJUNTOS DE R , DA SEGUINTE FORMA:

21. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO DE UMA RELAÇÃO O CONJUNTO A É O DOMÍNIO DA RELAÇÃO R , DENOTADO POR DOM(R) E B É O CONTRADOMÍNIO DA RELAÇÃO R , DENOTADO POR CODOM(R) .

22. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE RELAÇÕES EM AxB: R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

23. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE RELAÇÕES EM AxB: R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

24. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE RELAÇÕES EM AxB: R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

25. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS RELAÇÕES INVERSAS SEJA R UMA RELAÇÃO DE A em B . A RELAÇÃO INVERSA DE R , DENOTADA POR R -1 , É DEFINIDA DE B em A POR: R-1 = { (y,x) Є BxA: (x,y) Є R } SEJAM A={a, b, c} e B={d, e, f} e R UMA RELAÇÃO EM AxB, DEFINIDA POR: R={(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f)} ENTÃO A RELAÇÃO INVERSA SERÁ: R-1={(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

26. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS OBSERVAÇÃO O GRÁFICO DA RELAÇÃO INVERSA R-1 É SIMÉTRICO AO GRÁFICO DA RELAÇÃO R, EM RELAÇÃO À RETA y=x (IDENTIDADE).

28. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROPRIEDADE REFLEXIVA UMA RELAÇÃO R É REFLEXIVA SE TODO ELEMENTO DE A ESTÁ RELACIONADO CONSIGO MESMO, OU SEJA, PARA TODO x Є A:(x,x) Є R , ISTO É, PARA TODO x Є A:xRx . EXEMPLO UMA RELAÇÃO REFLEXIVA EM A={a, b, c}, É DADA POR: R={(a,a),(b,b),(c,c)}

29. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROPRIEDADE SIMÉTRICA UMA RELAÇÃO R É SIMÉTRICA SE O FATO QUE x ESTÁ RELACIONADO COM y , IMPLICAR NECESSARIAMENTE QUE y ESTÁ RELACIONADO COM x , OU SEJA: QUAISQUER QUE SEJAM x Є A e y ЄA TAL QUE (x,y) ЄR , SEQUE QUE (y,x)Є R . EXEMPLO UMA RELAÇÃO SIMÉTRICA EM A={a, b}, É DADA POR: R={(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

30. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROPRIEDADE TRANSITIVA UMA RELAÇÃO R É TRANSITIVA SE x ESTÁ RELACIONADO COM y E y ESTÁ RELACIONADO COM z , IMPLICAR QUE x DEVE ESTAR RELACIONADO COM z , OUSEJA: QUAISQUER QUE SEJAM x Є A , y Є A e z ЄA SE (x,y) ЄR e (y,z) ЄR ENTÃO (x,z)Є R . EXEMPLO UMA RELAÇÃO TRANSITIVA EM A={a, b, c}, É DADA POR: R={(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

31. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS PROPRIEDADE ANTI-SIMÉTRICA SEJAM x Є A e y Є A . UMA RELAÇÃO R É ANTI-SIMÉTRICA SE (x,y) ЄR e (y,x) ЄR IMPLICA QUE x=y . ALTERNATIVAMENTE, UMA RELAÇÃO É ANTI-SIMÉTRICA: SE x E y SÃO ELEMENTOS DISTINTOS DO CONJUNTO A ENTÃO x NÃO TEM RELAÇÃO COM y OU (EXCLUSIVO) y NÃO TEM RELAÇÃO COM x , O QUE SIGNIFICA QUE O PAR DE ELEMENTOS DISTINTOS ( x,y ) DO CONJUNTO A PODERÁ ESTAR NA RELAÇÃO DESDE QUE O PAR ( y,x ) NÃO ESTEJA. EXEMPLO UMA RELAÇÃO ANTI-SIMÉTRICA EM A={a, b, c}, É DADA POR: R={(a,a),(b,b),(a,b),(a,c)}

32. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS IMAGEM DE UMA FUNÇÃO COMO NEM TODA RELAÇÃO É UMA FUNÇÃO, ÀS VEZES, ALGUNS ELEMENTOS PODERÃO NÃO TER CORRESPON- DENTES ASSOCIADOS PARA TODOS OS NÚMEROS REAIS E PARA EVITAR PROBLEMAS COMO ESTES, COSTUMA-SE DEFINIR O DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO f , DENOTADO POR Dom(f) , COMO O CONJUNTO ONDE ESTA RELAÇÃO f TEM SIGNIFICADO.

33. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS IMAGEM DE UMA FUNÇÃO CONSIDEREMOS A FUNÇÃO REAL QUE CALCULA A RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO REAL. DEVE ESTAR CLARO QUE A RAIZ QUADRADA DE -1 NÃO É UM NÚMERO REAL, ASSIM COMO NÃO SÃO REAIS AS RAÍZES QUADRADAS DE QUAISQUER NÚMEROS NEGATIVOS, DESSA FORMA O DOMÍNIO DESTA FUNÇÃO SÓ PODERA SER O INTERVALO [0, ∞ ], ONDE A RAIZ QUADRADA TEM SENTIDO SOBRE OS REAIS.

34. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS IMAGEM DE UMA FUNÇÃO COMO NEM TODOS OS ELEMENTOS DO CONTRADOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO f ESTÃO RELACIONADOS, DEFINE-SE A IMAGEM DE f , DENOTADA POR Im(f) , COMO O CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS DO CONTRADOMÍNIO QUE ESTÃO RELACIONADOS COM ELEMENTOS DO DOMÍNIO f , ISTÓ E: Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) } OBSERVE QUE, SE UMA RELAÇÃO R É UMA FUNÇÃO DE A em B , ENTÃO A É O DOMÍNIO E B É O CONTRADOMÍNIO DA FUNÇÃO E SE x É UM ELEMENTO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO f , ENTÃO A IMAGEM DE x É DENOTADA POR f(x) .

35. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÃO SOBREJETORA UMA FUNÇÃO É SOBREJETORA SE, E SOMENTE SE, O SEU CONJUNTO IMAGEM É ESPECIFICAMENTE IGUAL AO CONTRADOMÍNIO, Im = B.

36. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÃO INJETORA UMA FUNÇÃO É INJETORA SE OS ELEMENTOS DISTINTOS DO DOMÍNIO TIVEREM IMAGENS DISTINTAS.

37. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÃO BIJETORA UMA FUNÇÃO É BIJETORA SE ELA É INJETORA E SOBREJETORA.

38. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÕES CRESCENTE UMA FUNÇÃO f É CRESCENTE, SE QUAISQUER QUE SEJAM x E y NO DOMÍNIO DE f , COM x<y , TIVERMOS f(x)<f(y) . ISTO É, CONFORME O VALOR DE x AUMENTA, O VALOR DA IMAGEM DE x PELA FUNÇÃO TAMBÉM AUMENTA.

39. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÕES CRESCENTE SEJA A FUNÇÃO f:R->R DEFINIDA POR f(x)=8x+2. PARA OS VALORES : a=1 E b=2, OBTEMOS f(a)=10 E f(b)=18. COMO O GRÁFICO DE f É UMA RETA, a<b E f(a)<f(b) ENTÃO A FUNÇÃO É CRESCENTE.

40. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÕES DECRESCENTE UMA FUNÇÃO f É DECRESCENTE, SE PARA QUAISQUER x E y DO DOMÍNIO DE f , COM x<y , TIVERMOS f(x)>f(y) . ISTO É, CONFORME O VALOR DE x AUMENTA, O VALOR DA IMAGEM DE x PELA FUNÇÃO f DIMINUI.

41. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÕES DECRESCENTE SEJA A FUNÇÃO f:R->R DEFINIDA POR f(x)= -8x+2. PARA OS VALORES : a=1 E b=2, OBTEMOS f(a)= -6 E f(b)= -14. COMO O GRÁFICO DE f É UMA RETA, a<b E f(a)>f(b) ENTÃO A FUNÇÃO É DECRESCENTE.

42. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÃO PAR UMA FUNÇÃO REAL f É PAR SE, PARA TODO x DO DOMÍNIO DE f , TEM-SE QUE f(x)=f(-x) . UMA FUNÇÃO PAR POSSUI O GRÁFICO SIMÉTRICO EM RELAÇÃO AO EIXO VERTICAL OY . A FUNÇÃO f(x)=x² É PAR, POIS f(-x)=x²=f(x). OBSERVE O GRÁFICO.

43. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS FUNÇÃO IMPAR UMA FUNÇÃO REAL f É IMPAR SE, PARA TODO x DO DOMÍNIO DE f , TEM-SE QUE f(-x)= -f(x) . UMA FUNÇÃO IMPAR POSSUI O GRÁFICO SIMÉTRICO EM RELAÇÃO À ORIGEM DO SISTEMA CARTESIANO. A FUNÇÃO f(x)=5x É IMPAR, POIS f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x). OBSERVE O GRÁFICO.

46. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS SEJAM OS CONJUNTOS A={a,b,c,d,e} E B={2,4,6,8,10} E A RELAÇÃO R, MOSTRADA NO GRÁFICO. QUAIS SÃO AS FORMAS EXPLÍCITAS DA RELAÇÃO R E DA RELAÇÃO INVERSA R-1? R={(a,6),(b,2),(c,10),(d,4),(e,8)} R-1={(6,a),(2,b),(10,c),(4,d),(8,e)}

47. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS SEJAM OS CONJUNTOS A={1,2,3} E B={1,3,4,5} DE NÚMEROS REAIS E A RELAÇÃO DEFINIDA POR R={(x,y) Є AxB: y=2x-1}. QUAL DOS GRÁFICOS CARTESIANOS ABAIXO, REPRESENTA A RELAÇÃO R?. RESPOSTA: ALTERNATIVA A.

48. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS SEJAM OS CONJUNTOS A={1,3,4,5} E B={0,6,12,20} E A RELAÇÃO R={(x,y) Є AxB: y=x(x-1)} DEFINIDA SOBRE AxB. ESCREVA R DE FORMA EXPLICITA E CONSTRUA O GRÁFICO CARTESIANO DESTA RELAÇÃO. Forma explícita: R={(1,0),(3,6),(4,12),(5,20)}

49. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS SEJA A={1,2,3,5,7}. ANALISAR O GRÁFICO CARTESIANO DA RELAÇÃO R EM AxA E RESPONDER AS QUESTÕES PERTINENTES A ESTA RELAÇÃO.

54. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS SEJAM A={2,4,6,8} E B={1,3,5,7} E A RELAÇÃO R EM AxB APRESENTADA PELO SEU GRÁFICO CARTESIANO.

56. PROAB 2010 AULA 8 PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EXERCÍCIOS USANDO AS INFORMAÇÕES DO EXERCÍCIO ANTERIOR, APRESENTE O CONTRADOMÍNIO DA RELAÇÃO R E A INVERSA DA RELAÇÃO R, DENOTADA POR R-1. RESPOSTA: CoDom(R) = {1,3,5,7}. R = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)} R-1 = {(2,1),(4,3),(6,5),(8,7)}