Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Odontologia de Piracicaba

A escolha do método
estatístico

Profa. Dra. Liv...
“A notícia boa é que a estatística
está se tornando mais fácil e
acessível.
A notícia ruim é que a estatística
está se tor...
Figueira CV, 2006

Para outros...

“Estatística é a arte de torturar
os dados até que eles digam o
que se quer ouvir”
Mill...
Jim Borgman, New York Times, 27 April 1997

4
Testes estatísticos mais comuns
Número e tipo de grupos
Independentes
(não pareados)
2 grupos

Dependentes
(pareados)
Inde...
Estudo cruzado duplo-cego
• Controle negativo: H2O
• Controle positivo: 1.5% Sacarose

• Controle negativo: sem dentifríci...
Estatística experimental
Desmineralização dental (% perda de dureza)
Tratamento A:

Tratamento B:

21,5%

18,9%

23,6%

24...
Estatística experimental
Inferência estatística: determina a
probabilidade de estimar se uma real
diferença entre tratamen...
Variação do acaso: toda variação devido a fatores
não controláveis. Pode ser medida através do
desvio em relação a média

...
Efeito de 2 dentifrícios na concentração de
F no fluido do biofilme
(µM F, média, n=56)

Dentifrício A
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Dentifrício B
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Concentração de F no fluido do
biofilme dental exposto a 2 dentifrícios

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Eliminando o outlier…

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Transformação sugerida pelo pacote
estatístico: inversa

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Delineamento inteiramente aleatorizado

Esquema da análise de variância:
Fonte de
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Resíduo
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Controle

70 ppm F

140 ppm F

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Estatística experimental
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rejeitar ou n...
Delineamento inteiramente aleatorizado

Hipóteses:
H0 = t1 = t2 = ... = tI = 0
Ha = ti ≠ 0

Estatística experimental

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“In relation to any experiment we may speak of…
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Nível de significância de 5% significa que
aceitamos errar em 1 a cada 20 casos
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Repetição

Proporciona uma estimativa do erro
experimental (variabilidade), permitindo a
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Repetição
n=30
Tratamento A:

Tratamento B:

20, 24, 25, 21, 23,
25, 20, 23, 26, 20,
24, 25, 20, 24, 25,
22, 24, 23, 21, 2...
Repetição
n=3
Tratamento A:

Tratamento B:

20

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Média

23

Média

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DP

2,6

DP

3,0

Repetição
n=3
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Poder estatístico
Erro tipo II (β): probabilidade de erro ao não
rejeitar a hipótese de nulidade quando ela é de
fato fals...
Delineamento inteiramente aleatorizado

Esquema da análise de variância:
Fonte de
variação
Tratamento
Resíduo
Total

Graus...
Princípios básicos da
experimentação
1. Repetição
2. Aleatorização
3. Cegamento
4. Controle local (blocos estatísticos)

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Aleatorização = sorteio!

Aleatorização no Excel

Exemplo:
Dividir 16 espécimes em 4 tratamentos
(cada um com 4 espécimes)...
Classificar pela coluna
“Aleatório”

ATENÇÃO: Para que o sorteio seja
feito corretamente, apenas as
colunas “Tratamento” e...
Ao classificar por um
número aleatório,
automaticamente o
tratamento ficará
aleatorizado!

Portanto, os espécimes
1, 6, 7 ...
Aleatorização com restrição
A distribuição dos espécimes entre os
tratamentos é feita de modo restrito, para
evitar que al...
RealizandoRealizando-se a
aleatorização sem restrição,
as diferenças entre durezas
dos espécimes distribuídos
aos 4 níveis...
Vieira, S. Estatística experimental. 2.ed. 1999

Cegamento
Estudo cego: o pesquisador não tem acesso
à identificação de qu...
Delineamento aleatorizado em
blocos
Utiliza os princípios da repetição,
aleatorização e controle local
Exemplo: avaliar o ...
Delineamento aleatorizado em blocos

Hipóteses:
H0 = t1 = t2 = ... = tI = 0
Ha = ti ≠ 0

Delineamento aleatorizado em bloc...
Delineamento aleatorizado em blocos

A variabilidade devido aos blocos
(voluntários, p.ex.) pode ser estimada,
diminuindo ...
Delineamento cruzado
Fase 1

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grupo 1
Voluntários
grupo 2
Voluntários
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Experimentos fatoriais
Derivam do interesse em testar o efeito de
dois ou mais tipos de tratamentos no
mesmo experimento. ...
Experimentos fatoriais
A combinação de tratamentos resultantes é o resultado
da interação dos fatores a serem testados. No...
Delineamento fatorial
Hipóteses:
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Ha = Ai ≠ 0
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Efeito de 2 dentifrícios na concentração de F no
fluido do biofilme em função da freqüência de
exposição a sacarose
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Experimentos em parcelas
subdivididas
Ocorrem quando os tratamentos não são distribuídos
nas unidades experimentais da mes...
Delineamento em parcelas subdivididas
Modelo matemático:
Yij = µ + Ai + bj + Bk + Ai*Bk + eijkl
Onde:
Yij = valor da variá...
Delineamento fatorial
Esquema da análise de variância:
Fonte de
variação

Graus de
liberdade

Soma de Quadrados Quadrado m...
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Obrigada
pela atenção!!!

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A escolha do método estatístico profa. dra. lívia maria andaló tenuta (unicamp)

  1. 1. Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Odontologia de Piracicaba A escolha do método estatístico Profa. Dra. Livia M. A. Tenuta litenuta@fop.unicamp.br Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Odontologia de Piracicaba A escolha do método estatístico - Probabilidades, hipóteses e delineamentos - 1
  2. 2. “A notícia boa é que a estatística está se tornando mais fácil e acessível. A notícia ruim é que a estatística está se tornando mais fácil e acessível.” Hofacker, 1983 Para muitos, estatística é... 2
  3. 3. Figueira CV, 2006 Para outros... “Estatística é a arte de torturar os dados até que eles digam o que se quer ouvir” Mills, 1993, Susin & Rösing, 1999 3
  4. 4. Jim Borgman, New York Times, 27 April 1997 4
  5. 5. Testes estatísticos mais comuns Número e tipo de grupos Independentes (não pareados) 2 grupos Dependentes (pareados) Independentes (não pareados) 3 ou mais grupos Dependentes (pareados) Paramétrico Não paramétrico Teste t para amostras independentes Teste de MannWhitney Teste t para amostras dependentes Teste de Wilcoxon ANOVA Teste de KruskalWallis ANOVA medidas repetidas Teste de Friedman Susin C. Basic statistical analysis for dental research. In: Rode SM, Dias KRHC, França CM. Handbook of scientific methodology. IADR latinoamericana, 2009 Métodos de regressão mais comuns Tipo de observações Dados contínuos Dados categóricos Independentes Regressão linear Regressão logística dicotômica, multinomial e ordenada Dependentes Regressão linear com erro padrão ajustado para o agrupamento das observações Regressão logística condicional e extensões Susin C. Basic statistical analysis for dental research. In: Rode SM, Dias KRHC, França CM. Handbook of scientific methodology. IADR latinoamericana, 2009 5
  6. 6. Estudo cruzado duplo-cego • Controle negativo: H2O • Controle positivo: 1.5% Sacarose • Controle negativo: sem dentifrício • Controle ativo: 1.5% Lactose • Controle ativo: MFP/SiO2 • Experimental: Zero CalR • Experimental: MFP/CaCO3 Pesquisa científica Pergunta (???) – curiosidade científica! Delineamento experimental adequado para testar a pergunta Variáveis resposta que ajudem a explicar o fenômeno 6
  7. 7. Estatística experimental Desmineralização dental (% perda de dureza) Tratamento A: Tratamento B: 21,5% 18,9% 23,6% 24,4% 39,7% 26,7% 29,5% 19,4% 32,7% 17,8% Média 29,4% Média 21,4% Diferença estimada entre A e B: 8% Estatística experimental Existe uma real diferença entre os tratamentos A e B? Para descobrir, o experimento deveria ser repetido infinitas vezes! 7
  8. 8. Estatística experimental Inferência estatística: determina a probabilidade de estimar se uma real diferença entre tratamentos existe Nível de significância (p): probabilidade de erro ao afirmar que há diferença entre os tratamentos Estatística experimental Desmineralização dental (% perda de dureza) Tratamento A: Tratamento B: 21,5% 18,9% 23,6% 24,4% 39,7% 26,7% 29,5% 19,4% 32,7% 17,8% Média DP 29,4% 7,3% Média DP 21,4% 3,9% 8
  9. 9. Variação do acaso: toda variação devido a fatores não controláveis. Pode ser medida através do desvio em relação a média ANOVA Análise da variância Quanto da variabilidade observada é devido ao acaso ou a um real efeito do tratamento 9
  10. 10. Efeito de 2 dentifrícios na concentração de F no fluido do biofilme (µM F, média, n=56) Dentifrício A 5,5 Dentifrício B 11,4 Efeito de 2 dentifrícios na concentração de F no fluido do biofilme (µM F, média ± DP, n=56) Dentifrício A 5,5 ± 4,5 Dentifrício B 11,4 ± 21,0 10
  11. 11. Concentração de F no fluido do biofilme dental exposto a 2 dentifrícios 11
  12. 12. Eliminando o outlier… 12
  13. 13. Transformação sugerida pelo pacote estatístico: inversa 13
  14. 14. Delineamento inteiramente aleatorizado Esquema da análise de variância: Fonte de variação Tratamento Resíduo Total Graus de liberdade Soma de Quadrados Quadrado médio F I–1 Variabilidade devido ao tratamento SQ tratamento GL trat. QM tratamento QM resíduo I (J – 1) Por diferença SQ resíduo GL resíduo - IJ – 1 Variabilidade total - - I = número de níveis do tratamento J = número de repetições Delineamento inteiramente aleatorizado Modelo matemático: Yij = µ + ti + eij Onde: Yij = valor da variável testada sob o i-ésimo nível de tratamento µ = média geral do experimento para a variável ti = efeito do i-ésimo nível de tratamento eij = erro aleatório 14
  15. 15. Controle 70 ppm F 140 ppm F 280 ppm F Estatística experimental Teste de hipóteses: regra de decisão para rejeitar ou não uma hipótese estatística com base nos elementos amostrais H0 (hipótese nula): hipótese que será testada estatisticamente Ha (hipótese alternativa): suposição que o pesquisador quer estudar 15
  16. 16. Delineamento inteiramente aleatorizado Hipóteses: H0 = t1 = t2 = ... = tI = 0 Ha = ti ≠ 0 Estatística experimental Ao rejeitar H0, com nível de significância de 5%, por exemplo, o pesquisador automaticamente aceita sua hipótese alternativa 16
  17. 17. “In relation to any experiment we may speak of… the “null hypothesis,” and it should be noted that the null hypothesis is never proved or established, but is possibly disproved, in the course of experimentation. Every experiment may be said to exist only in order to give the facts a chance of disproving the null hypothesis.” Fisher RA Estatística experimental Desmineralização dental (% perda de dureza) Tratamento A: Tratamento B: 21,5% 18,9% 23,6% 24,4% 39,7% 26,7% nível de 29,5% 19,4% significância 32,7% 17,8% de 5% Média 29,4% Média Diferem ao 21,4% Erro tipo I (α): probabilidade de erro ao se rejeitar a hipótese de nulidade quando ela é verdadeira, ou seja, probabilidade de apontar um falso positivo 17
  18. 18. Trabalhando com probabilidades... Nível de significância de 5% significa que aceitamos errar em 1 a cada 20 casos Correlação entre variáveis: se eu tiver 10 variáveis e for estudar a correlação entre elas, tenho 45 comparações (10*(10-1)/2 = 45) Em 5% delas, posso ver uma correlação significativa por mero acaso! 0,05* 45 = 2,25! Hofacker CS, 1983 Erro tipo II (β): probabilidade de erro ao não rejeitar a hipótese de nulidade quando ela é de fato falsa, ou seja, probabilidade de apontar um falso negativo É função do: a) número de repetições b) variabilidade dos dados c) real diferença entre os grupos 18
  19. 19. Repetição Proporciona uma estimativa do erro experimental (variabilidade), permitindo a estimativa do efeito dos tratamentos. Repetição n=3 Tratamento A: Tratamento B: 20 17 24 22 25 24 Média 23 Média 21 Teste t comparando A e B: p=0,48 19
  20. 20. Repetição n=30 Tratamento A: Tratamento B: 20, 24, 25, 21, 23, 25, 20, 23, 26, 20, 24, 25, 20, 24, 25, 22, 24, 23, 21, 23, 26, 19, 24, 25, 20, 24, 25, 19, 25, 25 15, 22, 26, 16, 23, 24, 15, 24, 24, 17, 22, 24, 17, 22, 24, 17, 16, 22, 24, 23, 24, 17, 22, 24, 17, 22, 24, 14, 24, 25 Média 23 Média 21 Teste t comparando A e B: p=0,0137 Repetição n=3 Tratamento A: Tratamento B: 20 10 24 13 25 16 Média 23 Média 13 Diferença entre A e B = 10 Teste t comparando A e B: p=0,0123 20
  21. 21. Repetição n=3 Tratamento A: Tratamento B: 20 10 24 13 25 16 Média 23 Média 13 DP 2,6 DP 3,0 Repetição n=3 Tratamento A: Tratamento B: 13 5 21 10 35 24 Média DP 23 11,1 Média 13 DP 9,9 Teste t comparando A e B: p=0,31 21
  22. 22. Poder estatístico Erro tipo II (β): probabilidade de erro ao não rejeitar a hipótese de nulidade quando ela é de fato falsa, ou seja, probabilidade de apontar um falso negativo Poder do teste estatístico: Capacidade do teste em apontar diferenças quando elas realmente existem Erro tipo II (β) = 10% Poder = 1 – β = 90% 22
  23. 23. Delineamento inteiramente aleatorizado Esquema da análise de variância: Fonte de variação Tratamento Resíduo Total Graus de liberdade Soma de Quadrados Quadrado médio F I–1 Variabilidade devido ao tratamento SQ tratamento GL trat. QM tratamento QM resíduo I (J – 1) Por diferença SQ resíduo GL resíduo - IJ – 1 Variabilidade total - - I = número de níveis do tratamento J = número de repetições Poder estatístico Reviewer: What were criteria for sample size selection? Was it to reach estimated power (80%)? The sample size selection was based on a pilot study, made with 3 volunteers, who ingested the 550 µg F/g dentifrice, on fasting, after breakfast or after lunch, and we used the AUC of salivary F concentration as the response variable. In fact, we intended to determine the number of volunteers necessary to detect differences between the gastric content situations using the low F dentifrice, with 80% power. From this pilot study, a low standard deviation was observed between volunteers for each gastric content condition. Using the SAS System 8.01, considering the differences obtained from the mean of these treatments, we could reach 80% power if we used nine volunteers. For 11 volunteers, the power would increase to 90%. Considering that volunteers could be lost during the 9-phase study, we opted to select 11 volunteers. Actually, we could significantly reject H0 in the experiment, and therefore we haven’t worried in mention this in the text, but we added the power information in the text. 23
  24. 24. Princípios básicos da experimentação 1. Repetição 2. Aleatorização 3. Cegamento 4. Controle local (blocos estatísticos) Aleatorização Proporciona a todos os tratamentos a mesma probabilidade de serem designados a qualquer das unidades experimentais 24
  25. 25. Aleatorização = sorteio! Aleatorização no Excel Exemplo: Dividir 16 espécimes em 4 tratamentos (cada um com 4 espécimes) 25
  26. 26. Classificar pela coluna “Aleatório” ATENÇÃO: Para que o sorteio seja feito corretamente, apenas as colunas “Tratamento” e “Aleatório” devem ser selecionadas! 26
  27. 27. Ao classificar por um número aleatório, automaticamente o tratamento ficará aleatorizado! Portanto, os espécimes 1, 6, 7 e 8 devem receber o tratamento 1, e assim sucessivamente... 27
  28. 28. Aleatorização com restrição A distribuição dos espécimes entre os tratamentos é feita de modo restrito, para evitar que algum tratamento seja favorecido pela aleatorização. Exemplo: quando se conhece a dureza inicial de blocos dentais, é possível sorteá-los aos tratamentos de acordo com sua dureza E a média de dureza entre os grupos apresenta-se apresentahomogênea. 28
  29. 29. RealizandoRealizando-se a aleatorização sem restrição, as diferenças entre durezas dos espécimes distribuídos aos 4 níveis de tratamento são mais evidentes. Cegamento Estudo cego: o pesquisador não tem acesso à identificação de qual nível de tratamento se trata. 29
  30. 30. Vieira, S. Estatística experimental. 2.ed. 1999 Cegamento Estudo cego: o pesquisador não tem acesso à identificação de qual nível de tratamento se trata. Quando voluntários estão envolvidos, estes também não devem saber de qual tratamento estão participando – estudo duplo cego 30
  31. 31. Delineamento aleatorizado em blocos Utiliza os princípios da repetição, aleatorização e controle local Exemplo: avaliar o efeito do dentifrício fluoretado, em 2 níveis, na concentração de F na saliva, utilizando 14 voluntários como blocos estatísticos Delineamento aleatorizado em blocos Modelo matemático: Yij = µ + ti + bj + eijk Onde: Yij = valor da variável testada sob o i-ésimo nível de tratamento e no j-ésimo bloco µ = média geral do experimento para a variável ti = efeito do i-ésimo nível de tratamento bj = efeito do j-ésimo nível de voluntário eij = erro aleatório 31
  32. 32. Delineamento aleatorizado em blocos Hipóteses: H0 = t1 = t2 = ... = tI = 0 Ha = ti ≠ 0 Delineamento aleatorizado em blocos Esquema da análise de variância: Fonte de variação Graus de liberdade Soma de Quadrados Quadrado médio F Tratamento I–1 Variabilidade devido ao tratamento SQ tratamento GL trat. QM tratamento QM resíduo Blocos J–1 Variabilidade devido aos blocos SQ blocos GL blocos QM blocos QM resíduo (I – 1)(J – 1) Por diferença SQ resíduo GL resíduo - IJ – 1 Variabilidade total - - Resíduo Total I = número de níveis do tratamento J = número de blocos 32
  33. 33. Delineamento aleatorizado em blocos A variabilidade devido aos blocos (voluntários, p.ex.) pode ser estimada, diminuindo a variabilidade devido ao acaso (erro experimental) 33
  34. 34. Delineamento cruzado Fase 1 Fase 2 Fase 3 Voluntários grupo 1 Voluntários grupo 2 Voluntários grupo 3 Tratamento A Tratamento B Tratamento C Delineamentos de tratamentos 1. Fatorial 2. Parcelas subdivididas 34
  35. 35. Experimentos fatoriais Derivam do interesse em testar o efeito de dois ou mais tipos de tratamentos no mesmo experimento. Cada tipo de tratamento é referido como um fator. Experimentos fatoriais Exemplo: avaliar o efeito do dentifrício fluoretado, em 2 níveis, e da freqüência de exposição do biofilme dental a sacarose, em 4 níveis, na desmineralização dental. Fatorial 2 x 4 35
  36. 36. Experimentos fatoriais A combinação de tratamentos resultantes é o resultado da interação dos fatores a serem testados. No exemplo, há 8 combinações possíveis de tratamentos: 500 ppm F, exposição ao açúcar 2x/dia 500 ppm F, exposição ao açúcar 4x/dia 500 ppm F, exposição ao açúcar 6x/dia 500 ppm F, exposição ao açúcar 8x/dia 1100 ppm F, exposição ao açúcar 2x/dia 1100 ppm F, exposição ao açúcar 4x/dia 1100 ppm F, exposição ao açúcar 6x/dia 1100 ppm F, exposição ao açúcar 8x/dia Delineamento fatorial Modelo matemático: Yij = µ + Ai + Bj + Ai*Bj + eijk Onde: Yij = valor da variável testada sob o i-ésimo nível do fator A e jésimo nível do fator B µ = média geral do experimento para a variável Ai = efeito do i-ésimo nível do fator A Bj = efeito do j-ésimo nível do fator B Ai*Bj = efeito da interação A e B eij = erro aleatório 36
  37. 37. Delineamento fatorial Hipóteses: (1) H0 = A1 = A2 = ... = AI = 0 Ha = Ai ≠ 0 (2) H0 = B1 = B2 = ... = BJ = 0 Ha = Bj ≠ 0 (3) H0 = (A*B)ij = 0 Ha = (A*B)ij ≠ 0 Delineamento fatorial Esquema da análise de variância: Fonte de variação Graus de liberdade Soma de Quadrados Quadrado médio F A I–1 Variabilidade devido ao fator A SQ trat. A GL trat. A QM trat. A QM resíduo B J–1 Variabilidade devido ao fator B SQ trat. B GL trat. B QM trat. B QM resíduo (I – 1)(J – 1) Variabilidade devido a interação A*B SQ (A*B) GL (A*B) QM trat. A*B QM resíduo IJ (K– 1) Por diferença SQ resíduo GL resíduo - IJ – 1 Variabilidade total - - A*B Resíduo Total I = número de níveis do fator A J = número de níveis do fator B K = número de repetições 37
  38. 38. Variável resposta Não há efeito significativo B1 de A (A1 = A2) B2 Não há efeito significativo de B (B1 = B2) Não há efeito da interação Variável resposta A1 A2 Há efeito significativo de A (A2 > A1) B1 Não há efeito significativo B2 de B (B1 = B2) Não há efeito da interação Variável resposta A1 A2 Não há efeito significativo B1 de A (A1 = A2) Há efeito significativo de B B2 (B1 > B2) Não há efeito da interação Variável resposta A1 A2 Há efeito significativo de A (A2 > A1) B1 Há efeito significativo de B (B1 > B2) B2 Não há efeito da interação A1 A2 38
  39. 39. Variável resposta B1 diferença na grandeza da B2 A1 Variável resposta Interação devido a resposta A2 B1 Interação devido a B2 diferença na direção da resposta A1 A2 39
  40. 40. Efeito de 2 dentifrícios na concentração de F no fluido do biofilme em função da freqüência de exposição a sacarose (µM F, média ± DP, n=14) Frequência exposição do biofilme à sacarose 2x 4x 6x 8x Dentifrício A Dentifrício B 5,6 ± 4,7 4,4 ± 1,3 5,1 ± 2,3 6,8 ± 7,2 7,2 ± 4,8 10,1 ± 12,8 8,2 ± 6,2 8,0 ± 6,4 Houve efeito significativo do fator dentifrício na concentração de F no fluido do biofilme dental (p<0,05) Experimentos em parcelas subdivididas Vieira, S. Estatística experimental. 2.ed. 1999 40
  41. 41. Experimentos em parcelas subdivididas Ocorrem quando os tratamentos não são distribuídos nas unidades experimentais da mesma forma, caracterizando tratamentos primários (parcelas) e secundários (subparcelas). Após o sorteio do tratamento principal às unidades experimentais de forma usual, o tratamento secundário é sorteado dentro de cada tratamento primário. Baseline surface microhardness 41
  42. 42. Delineamento em parcelas subdivididas Modelo matemático: Yij = µ + Ai + bj + Bk + Ai*Bk + eijkl Onde: Yij = valor da variável testada sob o i-ésimo nível do fator A, jésimo bloco e k-ésimo nível do fator B µ = média geral do experimento para a variável Ai = efeito do i-ésimo nível do fator A bj = efeito do j-ésimo bloco estatístico Bj = efeito do k-ésimo nível do fator B Ai*Bk = efeito da interação A e B eij = erro aleatório Delineamento fatorial Hipóteses: (1) H0 = A1 = A2 = ... = AI = 0 Ha = Ai ≠ 0 (2) H0 = B1 = B2 = ... = BJ = 0 Ha = Bj ≠ 0 (3) H0 = (A*B)ij = 0 Ha = (A*B)ij ≠ 0 42
  43. 43. Delineamento fatorial Esquema da análise de variância: Fonte de variação Graus de liberdade Soma de Quadrados Quadrado médio F A I–1 Variabilidade devido ao fator A SQ trat. A GL trat. A QM trat. A QM resíduo a Blocos J–1 Variabilidade devido aos blocos SQ blocos GL blocos QM blocos QM resíduo a (I – 1)(J – 1) Variabilidade da parcela SQ resíduo a GL resíduo a Resíduo a (A*bloco) Delineamento fatorial Esquema da análise de variância: Fonte de variação Graus de liberdade Soma de Quadrados Quadrado médio F A I–1 Variabilidade devido ao fator A SQ trat. A GL trat. A QM trat. A QM resíduo a Blocos J–1 Variabilidade devido aos blocos SQ blocos GL blocos QM blocos QM resíduo a (I – 1)(J – 1) Variabilidade da parcela SQ resíduo a GL resíduo a K–1 Variabilidade devido ao fator B SQ trat. B GL trat. B QM trat. B QM resíduo b A*B (I – 1)(K – 1) Variabilidade devido a interação A*B SQ (A*B) GL (A*B) QM trat. A*B QM resíduo b Resíduo b I(J – 1)(K– 1) Por diferença SQ resíduo b GL resíduo b - IJK – 1 Variabilidade total - - Resíduo a (A*bloco) B Total 43
  44. 44. 44
  45. 45. 45
  46. 46. “We have discussed the practice of using different data transformations within a 2-way ANOVA with our statistical adviser and he stated that this is not valid, since the comparisons are not then between data of the same type. Transformation is performed to deal with 1 or more of 3 problems: non-normality, non-homogeneity of variance and non-additivity. To my understanding, in a 2-way analysis, 'individualized' transformations, while solving the first two problems, would work against the third requirement of ANOVA, that treatment effects are additive. For instance, data in which treatment effect was multiplicative rather than additive are appropriately transformed to logs, since the treatment effects then become additive. But these could not then be compared with data that had not been transformed because they already fulfilled the ANOVA requirements. You would be comparing oranges and bananas.” “Sorry about the confusion induced by my last set of comments on the statistics. I think there might be still some sort of problem there, in that your comparison of the 30-min plaque solid data is on a somewhat different basis from the other comparisons. But I will discuss it when I next see our statistical advisor. I suspect that I put the question to him in a misleading way, combined with a misinterpretation of your analysis.” 46
  47. 47. Obrigada pela atenção!!! litenuta@fop.unicamp.br 47

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