Apresentação da Espiral de Tesla modificada para circunferências concêntricas com o objetivo de mostrar propriedades matemáticas relativas a composição e formação de séries, múltiplos, números primos e compostos.

1. Autor: Jonas Floripe Ginani Filho
SLIDES PRODUZIDOS PARA O BLOG: jfgf2011.blogspot.com

2. 3. Resumo biográfico de Tesla
4. O que é espiral de Tesla
5. O que mostra a espiral de Tesla
6. A espiral modificada com 12 setores
7. A espiral modificada com 6 setores
8. Como se distribuem os números nas circunferências
9. A sequência de trincas nos setores
10. Os primos, semiprimos e primos gêmeos
11. Os múltiplos de 2
12. Os múltiplos de 3
13. Os múltiplos de 4
14. Os múltiplos de 5
15. Os múltiplos de 6 e 12
16. Os múltiplos de 7
17. Os múltiplos de 8
18. Os múltiplos de 9
19. Os múltiplos de 10, 11 e 13
20. Algumas considerações
21. Dados finais
LISTA DE
SLIDES

3. Tesla nasceu na aldeia de Smiljan no território hoje pertencente à
Croácia, em 10/07/1856. Faleceu em 07/01/1943 em Nova
York/EUA. Iniciou seus estudos universitários no Instituto
Politécnico em Graz, na Áustria e na Universidade de Praga quando
ficou fascinado com eletricidade. A partir daí, iniciou sua carreira
como engenheiro eletricista e inventor brilhante na área da
eletricidade.
Trabalhou para Thomas Edison, inventor da lâmpada, de quem
divergiu sobre corrente contínua e corrente alternada. Acabou
vencendo a disputa, pois a corrente alternada, sua criação, era
muito melhor. Apesar de ser famoso pelas suas invenções no
campo da eletricidade, como gênio, trabalhou também em outras
áreas. A espiral que leva seu nome é um estudo na área da Teoria
dos Números, mas que pode ter aplicabilidade em outros campos.
3

4. A ESPIRAL DE TESLA:
Mapa atribuído a Nikola Tesla, encontrado
(2015?) numa loja de antiguidades em Fênix,
Estados Unidos. A Espiral oferece um
entendimento visual de como todos os números
são auto-organizáveis em 12 posições e, a partir
desta disposição, permite ver os números como
padrões, a formação dos compostos, primos,
múltiplos, divisores, formação de séries
(progressões aritméticas) entre outras
particularidades.
4

5. PRIMOS E SEMIPRIMOS
E PRIMOS GÊMEOS
2X e 10X
3X e 9X
4X e 8X
6X e 12X
Obs.: 5X, 7X, 11X e 13X mostrados
em outros slides.
Original de Tesla
5

6. PRIMOS, SEMIPRIMOS
E PRIMOS GÊMEOS
2X e 10X
Tabuada do 2 e 10
3X e 9X
Tabuada do 3 e 9
4X e 8X
Tabuada do 4 e 8
6X e 12X
Tabuada do 6 e 12
6
A disposição na forma de
circunferências concêntricas foi
aplicada nesta apresentação para
facilitar a compreensão das
propriedades observadas e
explicadas nos slides seguintes.
Os raios das circunferências
formarão a série:
12, 24, 36, 48, ...
Esta série também origina a
famosa trinca de Tesla:
3(1+2), 6(2+4), 9(3+6),
3(4+8=12=1+2), ...
Outros múltiplos, além dos
mostrados ao lado, serão
apresentados na sequência.

7. 7
14
8
2
17
11
5
Na disposição de circunferências
concêntricas com razão de
crescimento do raio 6, também se
verificam as mesmas propriedades,
apenas se modificam as figuras
traçadas pelos múltiplos. As
estrelas que representam os
múltiplos de 5 e 7, por exemplo,
passam a ser espirais e os sentidos
trocados.
Para seguir a linha da espiral de 12,
a apresentação trabalhará com
circunferências com 12 números.
Os raios das circunferências
formarão a série:
6, 12, 24, 36, ...
Esta sequência de crescimento
dos raios continuam dando a
trinca:
6, 3(1+2), 6(2+4), 9(3+6), 3, ...
6X
1,7,4,...
2,8,5,...
3,9,6,...4,1,7,...
5,2,8,...
6,3,9,...
5X
7X
PRIMOS, SEMIPRIMOS
E GÊMEOS
2X
3X e 9X
4X, 8X e 10X
5X – Todos setores
7X – Todos setores
12X
11X e 13X – Todos setores

8. Cálculo da sequência de termos
dos setores que constituem uma
Progressão Aritmética (PA) de
razão 12:
Setor do 12:12; 12+12=24; 24+12=36;...
Setor do 11: 11; 11+12=23; 23+12=35;...
Setor do 10: 10; 10+12=22; 22+12=34;...
Setor do 9: 9; 9+12=21; 21+12=33; ...
Setor do 8: 8; 8+12=20; 20+12=32; ...
...
Setor do 1: 1; 1+12=13; 13+12=25; ...
Para saber a localização de
qualquer número natural
basta dividi-lo por 12 e o
resto indicará o setor em que
estará. A fórmula do termo
geral de uma PA dará a
posição e circunferência em
que o número se colocará.
(*) Para o 55 temos como
resto 7 o que o coloca no
setor (seta) do 7.
Para saber sua posição na
sequência temos que:
an=a1+(n-1).r => 55=7+(n-
1).12 o que dá a posição e
circunferência (n) = 5
Para o 65538 temos como
resto 6 colocando-o no setor
6.
Sua posição na sequência é:
an=a1+(n-1).r => 65538=6+(n-
1).12 o que dá a posição e
circunferência (n) = 5462
(*)
1
2
3 4
5
Cinco circunferências traçadas: 1, 2, 3, 4 e 5
8

9. 5,8,2, 5,...
(*)
7,1,4,7,...
3,6,9,3,...
2,5,8,2,...
(*)
1,4,7,1,...
6,9,3,6,...
3,6,9,3,...
4,7,1,4,...8,2,5,8,...
9,3,6,9,...
1,4,7,1,...
2,5,8,2,...
Cálculo da sequência de
trincas dos setores:
Setor do 12: 12=1+2=3; 24=2+4=6;
36=3+6=9; ...
Setor do 11: 11=1+1=2; 23=2+3=5;
35=3+5=8; ...
Setor do 10: 10=1+0=1; 22=2+2=4;
34=3+4=7; ...
Setor do 9: 9; 21=2+1=3; 33=3+3=6; ...
Setor do 8: 8; 20=2+0=2; 32=3+2=5; ...
Setor do 7: 7; 19=1+9=10=1+0=1;
31=3+1=4; ...
Setor do 6: 6; 18=1+8=9; 30=3+0=3; ...
Setor do 5: 5; 17=1+7=8; 29=2+9=11
11=1+1=2; ...
Setor do 4: 4; 16=1+6=7; 28=2+8=10
10=1+0=1; ...
Setor do 3: 3; 15=1+5=6; 27=2+7=9; ...
Setor do 2: 2; 14=1+4=5; 26=2+6=8; ...
Setor do 1: 1; 13=1+3=4; 25=2+5=7; ...
(**)
(**)
(*): Cada setor (seta) tem o oposto
formado pela mesma sequência de
trincas alterando apenas a ordem dos
algarismos que a formam.
Ex.: setor do 1: 1,4,7,1,4,7,...
setor do 7: 7,1,4,7,1,4,...
(**) A sequência de trincas se
mantêm mesmo quando se
subdivide os setores em partes
menores. Por exemplo se entre os
setores tivéssemos subdivisões em
10 partes colocando números
decimais. Assim, ao invés de setores
1 e 2 teríamos setores:
1,0; 1,1; 1,2; 1,3;...; 1,9; 2,0; ...
As trincas quando têm seus
algarismos somados, originam
sempre os valores 3, 6 e 9.
Trinca (1, 4, 7): 1+4+7=12=1+2=3
Trinca (2,5,8): 2+5+8=15=1+5=6
Trinca (3,6,9): 3+6+9=18=1+8=9
"Se você conhecesse apenas
a magnificência do 3, 6 e 9,
então você teria a chave
para o universo“.
Nikola Tesla
9

10. PRIMOS, SEMIPRIMOS
E PRIMOS GÊMEOS
Número primo é um número natural
que só possui dois divisores: ele próprio
e um. Semiprimo é um número natural
que é o produto de dois números
primos, não necessariamente distintos.
Ex.: 35 = 3.5 e 25 = 5.5
Primos são denominados gêmeos
quando a diferença entre eles é de duas
unidades. Ex.: 5 e 7
Obs.: Definições válidas para o conjunto
dos Naturais.
O maior número primo de
Fermat (Fn = 22^𝑛
+1 )
conhecido é F4 = 65.537
(n=4).
Sua divisão por 12 dá
resto 5 o que o coloca no
setor (seta) 5 dos primos
e a soma dos seus dígitos
é 8.
Para saber sua colocação
no setor usa-se a fórmula
do termo geral de uma
PA:
an=a1+(n-1).r =>
65537=5+(n-1).12 o que
dá a posição (n) = 5462 no
setor, que também é a
circunferência a que
pertence.
Setores onde se localizam os primos com exceção do 2 e 3.
O 1, embora esteja no setor dos primos, não é primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
10

11. Os múltiplos de 2
formam um hexágono
não fechado com
crescimento no sentido
horário (espiral).
2X
Tabuada do 2
11

12. Os múltiplos de 3
formam um quadrado
não fechado com
crescimento no
sentido horário
(espiral).3X
Tabuada do 3
12

13. Os múltiplos de 4 formam
um triângulo não fechado
com crescimento no
sentido horário (espiral).
4X
Tabuada do 4
13

14. Os múltiplos de 5
formam uma estrela
irregular não fechada
com crescimento no
sentido horário.
5X
Tabuada do 5
14
Espiral com sentido anti-horário
formada com circunferências
concêntricas de seis setores.

15. 6X E 12X
Tabuada do 6
e do 12
Os múltiplos de 6 se
encontram nos
setores do 6 e 12 e
formam uma espiral
com crescimento no
sentido horário
ligando os valores.
(*) O setor (seta) do
12 também é onde
se encontram todos
os seus múltiplos
(12X).
(*)
15

16. 7X
Tabuada do 7
Os múltiplos de 7
formam uma estrela
irregular não fechada
com crescimento no
sentido anti-horário.
16
Espiral com sentido horário formada
com circunferências concêntricas de
seis setores.

17. 8X
Tabuada do 8
Os setores dos
múltiplos de 8 são os
mesmos do 4, mas os
valores saltam um
termo na série em cada
setor (seta).
Formam um triângulo
não fechado com
crescimento no sentido
anti-horário (espiral).
17

18. 9X
Tabuada do 9 63
Os múltiplos de 9 estão
nos mesmos setores
dos múltiplos de 3,
mas saltam dois
valores em cada série
do setor.
Formam também um
quadrado não fechado
com crescimento no
sentido anti-horário
(espiral).
18

19. 66
65
10X,
Tabuada do 10
11X
Tabuada do 11
13X
Tabuada do 13
Os múltiplos de 10 e
11 formam espirais
que crescem no
sentido anti-horário.
Os múltiplos de 13
formam espiral que
cresce no sentido
horário.
19

20. 20
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES:
Esta apresentação de slides não esgotou tudo o que a Espiral de Tesla pode
apresentar, tem muito mais conteúdo para ser estudado e aprofundado.
O objetivo aqui foi apenas despertar a curiosidade para a Teoria dos Números,
principalmente dos alunos do ensino médio. É possível mais aprofundamentos
no estudo da Espiral de Tesla, usando o artifício das circunferências
concêntricas ou não, inclusive utilizando ângulos e coordenadas polares.
Uma segunda parte deste trabalho poderá ser apresentada com este conteúdo
complementar futuramente.

21. 21
SLIDES PRODUZIDOS
PARA O BLOG:
jfgf2011.blogspot.com
O blog aborda assuntos de Matemática, Astronomia, Natureza, Humor, História e
Esportes, além de trabalhos e projetos realizados nas escolas em que atuei e atuo. É
mais um canal aberto de comunicação com os alunos e demais visitantes que
queiram se inteirar de outras experiências realizadas em escolas públicas.
Prof. Jonas
NATAL/RN/BR
MAIO DE 2018
FIM