Números Complexos
Ao final dessa aula você
saberá:
 O que é um número complexo e sua
representação algébrica
 O que é um número imaginário...
O que é umO que é um númeronúmero
complexocomplexo??
É todo númeroÉ todo número zz escrito na formaescrito na forma a + bi...
O que é o “O que é o “ii”?”?
É aÉ a unidade imagináriaunidade imaginária, sendo, sendo ii22
= - 1= - 1..
Dessa forma podem...
O que é um númeroO que é um número
imaginário puroimaginário puro??
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Logo, temos que o conjuntos dos
Números Reais é um subconjunto
dos Números Complexos.
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SoluçãoSolução
m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i
m = 0m = 0 e n – 1 = 3e n – 1 = 3  n = 4n = 4
Como representamos o
conjugado de um número
complexo?
Sendo o número complexo z = a + bi, seu
conjugado é representado por...
Como calculamos as
potências de i?
Usando as regras de potência já conhecidas.
 i0
= 1
 i1
= i
 i2
= - 1
 i3
= i2
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Exemplo:
(PUC-MG) O número complexo (1 + i)10
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igual a:
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Tente fazer sozinho!
(Vunesp) Se a, b, c são números inteiros
positivos tais que c = (a + bi)2
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Solução
c = (a + bi)2
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c = a2
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– 14i = a2
+ 2abi – b2
– 14i
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ComoComo somamossomamos ouou
subtraímossubtraímos númerosnúmeros
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BastaBasta somarsomar (ou subtrair)a...
Como multiplicamos
números complexos?
Basta aplicar a propriedade distributiva.
Exemplo:
(5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i...
Como dividimos
números complexos?
Basta multiplicar o numerador e o denominador
pelo conjugado do denominador.
Exemplo:
( ...
Tente fazer sozinho!
(Cefet-MG) O valor da expressão quando
x = i (unidade imaginária) é :
a) (i + 1) b) – (i – 1) c)
d) e...
Solução
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1
...
Como representamos um
número complexo no
gráfico?
Basta representar a parte real no eixo x
e a parte imaginária no eixo y....
O que é o módulo de
um número complexo?
É a distância entre a origem e o ponto que
corresponde a esse número.
Sendo z = a ...
Como calculamos o
módulo de um número
complexo?
Usando a fórmula .
Exemplo:
22
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( ) 243131
31
22
==+=+=
+=
z
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Tente fazer sozinho!
(UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor
de é:
a) b) c)
d) e)
b
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22 21+
Solução
( )
2
10
20
10
20
91
164
31
42
22
22
===
+
+
=
−+
+
==
b
a
b
a
Resposta: letra B.
O que é argumento de um
número complexo?
É o ângulo que o módulo do número
faz com o eixo x.
ρ
x
y
b
a
P (a,b)
θ
ρ
θ
ρ
θ
a...
Tente fazer sozinho!
(URRN) Se z = , então o argumento de z é:
a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º
( )
i
i
−
+
1
1
2
Solução
( )
( )
( )
i
ii
ii
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i
i
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1
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1
1
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...
( )
( )
( )
( ) 2
2
2
2
2
1
cos
2
2
2
2
2
1
−
=
−
=
==
θ
θsen
sen
cos
45º135º
Logo, o argumento é 135º.
Resposta: letra E.
Como escrevemos a forma
trigonométrica de um número
complexo?
( )θθρ seniz += cos
iz 232 +=Exemplo:
( )
º30
2
1
4
2
2
3
4
...
Tente fazer sozinho!
(Cefet-PR) A forma algébrica do complexo
ize
izd
izc
izb
iza
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2
3
2
33
)
2
3
2
33
)
2
3
2
33
)
...
Solução
( )
2
1
º30º210
2
3
º30cosº210cos
º210
6
7
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6
7
6
7
cos3
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−=−=
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
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

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2
33
32
3
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=−
=
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a
a
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32
1
−=
=−
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b
b
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θ
i
2
3
2
33
−−Logo, a forma algébrica é
Resposta: letra C.
Como multiplicamos
complexos na forma
trigonométrica?






+=





+=
22
cos3
33
cos2 21
ππππ
isenzeisenz
( )...
Como dividimos
complexos na forma
trigonométrica?






+=





+=
33
cos3
22
cos6 21
ππππ
isenzeisenz
( ) ( )...
Como calculamos uma
potência complexos na
forma trigonométrica?






+=
33
cos2
ππ
isenz
( ) ( )[ ]θθρ nisennz nn
+...
Tente fazer sozinho!
(UPF-RS) Quanto ao número complexo ,
a alternativa incorreta é:
a) Escrito na forma algébrica é z = 6...
Solução
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
b) O módulo de z é 6.
( )( )
( )( )
i
iii
ii
ii
i
i
z 6
2
12
11
6666
11
166...
c) O argumento de z é rad.
2
π
2
º90
1
6
6
0
6
0
cos
π
θ
ρ
θ
ρ
θ
==⇒







===
===
b
sen
a
i
i
z
−
+
=
1
66
d) Escrito na forma trigonométrica
tem-se:
e) z2
é um número real.
Resposta: letra D.
( )ππ seniz += cos6
( ) ( )º90º90cos...
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  1. 1. Números Complexos
  2. 2. Ao final dessa aula você saberá:  O que é um número complexo e sua representação algébrica  O que é um número imaginário puro e igualdade dos complexos  O que é conjugado  As potências de i  A representação trigonométrica de um número complexo  As operações matemática na forma algébrica e na forma trigonométrica
  3. 3. O que é umO que é um númeronúmero complexocomplexo?? É todo númeroÉ todo número zz escrito na formaescrito na forma a + bia + bi,, sendosendo “a”“a” a partea parte realreal ee “bi”“bi” a partea parte imagináriaimaginária. Também é chamado de número. Também é chamado de número imaginário.imaginário. Exemplos:Exemplos:  z = 3 + 5iz = 3 + 5i  z = 7iz = 7i  z = ½ + 4iz = ½ + 4i Formalmente, escrevemos a parte real assim: Re(z) = a. E a parte imaginária assim: Im(z) = b
  4. 4. O que é o “O que é o “ii”?”? É aÉ a unidade imagináriaunidade imaginária, sendo, sendo ii22 = - 1= - 1.. Dessa forma podemosDessa forma podemos calcularcalcular o valor dao valor da raiz de números negativosraiz de números negativos comcom índice paríndice par.. Exemplo:Exemplo: ii 636)36)(1(36 2 ==−=−
  5. 5. O que é um númeroO que é um número imaginário puroimaginário puro?? É um número complexo z = a + bi, cujaÉ um número complexo z = a + bi, cuja parte real é igual a zeroparte real é igual a zero, ou seja, a = 0., ou seja, a = 0. Exemplos:Exemplos:  z = 3iz = 3i  z = iz = i  z = -10iz = -10i Repare que um número real é um número complexo, com a parte imaginária igual a zero. Exemplo: 2+0i = 2
  6. 6. Logo, temos que o conjuntos dos Números Reais é um subconjunto dos Números Complexos. N Z Q R I C
  7. 7. Como sabemos se doisComo sabemos se dois númerosnúmeros complexoscomplexos sãosão iguaisiguais?? Sendo dois números complexos:Sendo dois números complexos: zz11 = a + bi e z= a + bi e z22 = c + di,= c + di, se a = c e b = d, entãose a = c e b = d, então zz11 = z= z22. Ou seja, dois complexos são iguais. Ou seja, dois complexos são iguais se as partes reais e imaginárias são iguais.se as partes reais e imaginárias são iguais. Exemplo:Exemplo: Calcular o valor de x e y na equação:Calcular o valor de x e y na equação: 3x + 7yi = 12 – 21i3x + 7yi = 12 – 21i 3x = 123x = 12  x = 4x = 4 7y = -217y = -21  y = -3y = -3
  8. 8. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! Determine m e n reais de modo queDetermine m e n reais de modo que m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i
  9. 9. SoluçãoSolução m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i m = 0m = 0 e n – 1 = 3e n – 1 = 3  n = 4n = 4
  10. 10. Como representamos o conjugado de um número complexo? Sendo o número complexo z = a + bi, seu conjugado é representado por: Exemplos:  z = 5 + 3i   z = - 8i  iz 35−= iz 8= biaz −=
  11. 11. Como calculamos as potências de i? Usando as regras de potência já conhecidas.  i0 = 1  i1 = i  i2 = - 1  i3 = i2 . i = (- 1) . i = - i  i4 = i2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1  i5 = i3 . i2 = (- i) . (- 1) = i Note que a partir do expoente 4, os resultados começam a repetir.
  12. 12. Exemplo: (PUC-MG) O número complexo (1 + i)10 é igual a: a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i) [(1 + i)2 ]5 = [1 + 2i + i2 ]5 = [1 + 2i - 1]5 = [2i]5 = 32.i5 = 32i  letra C
  13. 13. Tente fazer sozinho! (Vunesp) Se a, b, c são números inteiros positivos tais que c = (a + bi)2 – 14i, em que i2 = -1, o valor de c é: a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7
  14. 14. Solução c = (a + bi)2 – 14i c = a2 + 2abi + b2 i2 – 14i = a2 + 2abi – b2 – 14i c + 0i = (a2 – b2 ) + (2ab – 14)i 2ab – 14 = 0  ab = 7 Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7 Como c é positivo, temos que: c = 72 – 12 = 49 – 1 = 48 Resposta: letra A.
  15. 15. ComoComo somamossomamos ouou subtraímossubtraímos númerosnúmeros complexoscomplexos?? BastaBasta somarsomar (ou subtrair)as(ou subtrair)as partes reaispartes reais ee asas partes imagináriaspartes imaginárias.. Exemplos:Exemplos:  (3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i(3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i  (7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i(7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i
  16. 16. Como multiplicamos números complexos? Basta aplicar a propriedade distributiva. Exemplo: (5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i – 6 = 4 + 19i
  17. 17. Como dividimos números complexos? Basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo: ( )( ) ( )( ) i i ii ii ii i i 29 19 29 4 29 194 425 615410 2525 2532 25 32 += + = = + −++ = +− ++ = − +
  18. 18. Tente fazer sozinho! (Cefet-MG) O valor da expressão quando x = i (unidade imaginária) é : a) (i + 1) b) – (i – 1) c) d) e) 1 1 3 2 − − x x ( ) 2 1+i ( ) 2 1−i ( ) 2 1−− i
  19. 19. Solução ( ) ( ) ( ) i ii ii i iiii i x x −= − = + − = −+ − + = −− − = −− −− = − − = − − 1 2 12 11 22 11 12 1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 3 2 3 2 Logo, a resposta é B, pois – (i - 1) = -i +1 = 1-i
  20. 20. Como representamos um número complexo no gráfico? Basta representar a parte real no eixo x e a parte imaginária no eixo y. Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i P2 x y P1 3 2 1 -1
  21. 21. O que é o módulo de um número complexo? É a distância entre a origem e o ponto que corresponde a esse número. Sendo z = a + bi, temos: ρ x y b a P (a,b) ρ=z
  22. 22. Como calculamos o módulo de um número complexo? Usando a fórmula . Exemplo: 22 baz +== ρ ( ) 243131 31 22 ==+=+= += z iz
  23. 23. Tente fazer sozinho! (UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor de é: a) b) c) d) e) b a 3 2 5 22 21+
  24. 24. Solução ( ) 2 10 20 10 20 91 164 31 42 22 22 === + + = −+ + == b a b a Resposta: letra B.
  25. 25. O que é argumento de um número complexo? É o ângulo que o módulo do número faz com o eixo x. ρ x y b a P (a,b) θ ρ θ ρ θ a b sen = = cos
  26. 26. Tente fazer sozinho! (URRN) Se z = , então o argumento de z é: a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º ( ) i i − + 1 1 2
  27. 27. Solução ( ) ( ) ( ) i ii ii ii i i i i i i z +−= − = + − = +− + = − = − −+ = − + = 1 2 22 11 22 1)1( 12 1 2 1 121 1 1 2 ρ θ ρ θ a e b sen == cos ( ) 21111 22 =+=+−=ρ
  28. 28. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 cos 2 2 2 2 2 1 − = − = == θ θsen sen cos 45º135º Logo, o argumento é 135º. Resposta: letra E.
  29. 29. Como escrevemos a forma trigonométrica de um número complexo? ( )θθρ seniz += cos iz 232 +=Exemplo: ( ) º30 2 1 4 2 2 3 4 32 cos 416412232 2222 =⇒        === === ==+=+=+= θ ρ θ ρ θ ρ b sen a ba Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)
  30. 30. Tente fazer sozinho! (Cefet-PR) A forma algébrica do complexo ize izd izc izb iza éisenz 2 3 2 33 ) 2 3 2 33 ) 2 3 2 33 ) 2 33 2 3 ) 2 33 2 3 ) : 6 7 6 7 cos3 −= +−= −−= −= −−=       += ππ
  31. 31. Solução ( ) 2 1 º30º210 2 3 º30cosº210cos º210 6 7 ,3cos 6 7 6 7 cos3 −=−= −=−= ===⇒+=       += sensen isenz isenz π θρθθρ ππ
  32. 32. 2 33 32 3 cos −= =− = a a a ρ θ 2 3 32 1 −= =− = b b b sen ρ θ i 2 3 2 33 −−Logo, a forma algébrica é Resposta: letra C.
  33. 33. Como multiplicamos complexos na forma trigonométrica?       +=      += 22 cos3 33 cos2 21 ππππ isenzeisenz ( ) ( )[ ]21212121 cos... θθθθρρ +++= isenzz Exemplo:       +=             ++      += 6 5 6 5 cos6. 2323 cos3.2. 21 21 ππ ππππ isenzz isenzz
  34. 34. Como dividimos complexos na forma trigonométrica?       +=      += 33 cos3 22 cos6 21 ππππ isenzeisenz ( ) ( )[ ]2121 2 1 2 1 cos θθθθ ρ ρ −+−= isen z z Exemplo:       +=             −+      −= 66 cos2 3232 cos 3 6 2 1 2 1 ππ ππππ isen z z isen z z
  35. 35. Como calculamos uma potência complexos na forma trigonométrica?       += 33 cos2 ππ isenz ( ) ( )[ ]θθρ nisennz nn += cos. Exemplo:       +=             +      = 3 2 3 2 cos4 3 .2 3 .2cos2 2 22 ππ ππ isenz isenz
  36. 36. Tente fazer sozinho! (UPF-RS) Quanto ao número complexo , a alternativa incorreta é: a) Escrito na forma algébrica é z = 6i b) O módulo de z é 6. c) O argumento de z é rad. d) Escrito na forma trigonométrica tem-se: e) z2 é um número real. i i z − + = 1 66 2 π ( )ππ seniz += cos6
  37. 37. Solução a) Escrito na forma algébrica é z = 6i b) O módulo de z é 6. ( )( ) ( )( ) i iii ii ii i i z 6 2 12 11 6666 11 166 1 66 == + −++ = +− ++ = − + = 6660 222 ==+=z
  38. 38. c) O argumento de z é rad. 2 π 2 º90 1 6 6 0 6 0 cos π θ ρ θ ρ θ ==⇒        === === b sen a i i z − + = 1 66
  39. 39. d) Escrito na forma trigonométrica tem-se: e) z2 é um número real. Resposta: letra D. ( )ππ seniz += cos6 ( ) ( )º90º90cos6cos isenisenz +=+= θθρ ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] 360.136 º180º180cos36 º90.2º90.2cos6 cos 2 2 22 −=+−= =+= =+= =+= iz isenz isenz nisennz nn θθρ

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