Mat logaritmos

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Mat logaritmos

  1. 1. GUIDG.COM – PG. 129/6/2011 – MAT – Matemática básica Logaritmos: Definições e Propriedades1 – Esse estudo requer um entendimento de vários conceitos de Matemática básica, exceto logaritmos.2 – A teoria de logaritmos surge (e se fundamenta) a partir do estudo de Potenciação, Radiciação e Equações Exponenciais,portanto é necessário o conhecimentos e domínio das téncicas vistas nesses assuntos.3 – Se houver dúvidas quanto aos significados dos símbolos consulte o arquivo Notação Matemática no site.4 – Este arquivo é apenas um guia de propriedades com demonstrações, não serve como material didático completo. # Definição, Propriedades, demonstração e exemplos se possível. Surge no inicio do século 17 a teoria de Logaritmos, visto que seu objetivo é a simplificação de cálculos matemáticos. Antes de trabalhar com logaritmos, é importante entender a leitura e o significado dos símbolos. log b a = c log – é o símbolo de Logaritmo, indica a operação.A0 a – logaritmando ou anti-logaritmo. b – base. c – é o Logaritmo, o seu valor numérico. Lê-se: O logaritmo de a na base b é igual a c. Ou ainda: O logaritmo de a na base b é c. * Importante: entenda que o logaritmo é um número, independente da forma que esta apresentado. * Logaritmo do grego “logos” razão e “aritmos” números, significando razão entre números. Particularidades e aplicações no cálculo: ln a = loge a ln – é o logaritmo de base e = 2,718281... , também chamado logaritmo neperiano ou logaritmo natural. e – é o número de Euler, é conhecido por outros nomes também. log a = log10 aA1 Logaritmo decimal: Como o uso dos logaritmos de bases decimais tornou-se frequente no cálculo, os matemáticos optaram por omitir a base, aliviando a notação (ou seja para não ficar repetindo a escrita). Portanto quando o logaritmo não apresentar base, sua base será 10. Vejamos agora o significado do cologaritmo, sua demonstração e definição. colog b A = @ log b A Demonstração: f g 1f ff ff f colog b A = @ log b A = log b A = log b @1 A
  2. 2. GUIDG.COM – PG. 2 f g 1f ff ff f log b = log b 1 @ log b A A = 0 @ log b A Portanto a definição: “O cologaritmo é o oposto do logaritmo, ou o cologaritmo é o inverso do logaritmando”. *Importante: o cologaritmo não é o inverso do logaritmo, ou seja: b c@ 1 colog b A ≠ log b A b c@ 1 1 1 log Aff ff b log b A = fffff= logfff= 1 A fffff= log A b fffff fffff fffff ffff ffff f fff f fffff fffff fffAf log b A ffffff ff ff f fff fA f f ff log A A logA b Logaritmos, definição, Equivalência fundamental e condição de existência: X` a 1 log a = c ^ b c = a b 8 a>0 , b>0 , b ≠1 ` a Z 2 (1) O logaritmo de a na base b é igual à c, se e somente se, b elevado à c for igual à a.B0 (2) Para todo a maior que zero, b maior que zero e b diferente de um. É importante entender que a, b e c pertencem ao conjunto dos números Reais, mas: a e b devem ser maiores que zero, e não iguais a zero. b tem que ser diferente de um. Caso contrario chega-se a absurdos. log b a é o mesmo que escrever b = a . c * Quanto a equivalência fundamental, dizemos que escrever Consequências da definição. Abaixo resumimos as consequências imediatas da definição seguido de suas breves demonstraçõe em C1, C2, C3... C1) log b 1 = 0 . C2) log b b = 1C0 . b c C3) loga a b = b . C4) a loga b = b . C5) loga b = log a c ^ b = c Vamos as propriedades dos logaritmos: A definição e a condição de existência são sempre aplicadas. * Para os teoremas admita as letras maiúsculas e minusculas como números Reais.P0 * As demonstrações são apresentadas a seguir em P1, P2, P3... P1) log c AA B = log c A + log c B ` a
  3. 3. GUIDG.COM – PG. 3 f g Af ff ff f P2) logc = log c A@ log c B B b c = n A log b A n P3) log b A logfff fffAf fffff fffff fC f P4) logB A = ^ C>0 , C ≠1 log C B 1 P5) log b A = fffff ffff ffff ffff log A b P6) log b AA log A c = log b c 1f P7) log b x A = flog b A ff . x 1ª Consequência da definição: log b 1 = c ^ c = 0 A pergunta que se faz aqui, é porque c = 0 ? Aplicando a equivalência fundamental temos: b =1 cC1 Mas pelas propriedades de potenciação temos que x 0 = 1 para x ≠ 0 . Então b = 1 0 Ou seja qualquer número elevado à zero é um, desde que este número seja diferente de zero, caso contrario chega-se a uma forma indeterminada (neste momento não trataremos de indeterminações). Então: b =1=b c 0 c=0 Aqui aplica-se a propriedade do cancelamento das bases. Ou seja quando numa equação as bases forem iguais podemos igualar os expoentes. 2ª Consequência da definição: log b b = c ^ c = 1 b =b cC2 c=1 Portanto quando o logaritmando for igual a base, o logaritmo será 1.
  4. 4. GUIDG.COM – PG. 4 3ª Consequência da definição: b cC3 loga a b = c ^ c = b ac = a b c=b 4ª Consequência da definição: * Esta consequência e muito importante, veja a demonstração: a log a b = c ^ c = b (1) Definindo loga b = y temos: ay = c Por decorrência da definição, a equação acima pode ser reescrita como:C4 (2) loga c = y Igualando (1) à (2), temos: loga b = loga c 5ª Consequência da definição: * Esta consequência já foi aplicada na 4ª consequência, mas para esclarecimento veja a demonstração: loga b = loga c ^ b = c (1) Definindo loga c = y , temos: loga b = yC5 ay = b Mas y = loga c , então: Logo, com a 4ª consequência temos: c=b A primeira propridade chamase Prostaférese,que significa a tranformação de um produto numa soma, veja: logc A A B = logc A + logc B ` aP1 “O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos” Demonstração partindo do lado direito da igualdade. Admita x como um número Real, e que possamos escrever x como:
  5. 5. GUIDG.COM – PG. 5 x = log c A + log c B c x = c logc A + logc B c x = c logc A A c logc B Aplicando a quarta consequência (C4) no lado direito da igualdade: c x = AA B Agora aplicando a equivalência fundamental (B0): log c AA B = x ` a logc AA B = x = logc A + logc B ` a Portanto * Segundo método de demonstração, partindo do lado esquerdo da igualdade. Apenas para esta primeira propriedade, e como forma de exemplo, demonstraremos uma outra maneira ficando a cargo do estudante escolher qual achar melhor. Este método pode também ser aplicado as demais propriedades como princípio de demonstração. logc A A B = logc A + logc B ` a Admita x como um número Real e que x possa ser escrito como o logaritmo do produto de dois outros números: α: logc A A B = x ` a Então aplicando B0: β: c x = A A B Mas: X log A = y [ c y = AP1* γ: Z c logc B = z [ c z = B Então comparando β com γ, temos: c x = AA B c x = c y Ac z cx =cy +z x=y+ z Agora aplica-se em α os resultados obtidos em γ, e encerra-se a demonstração: logc AA B = x = y + z ` a logc AA B = logc A + logc B ` aP2 A segunda propriedade consiste da trasformação de uma diferença num quociente:
  6. 6. GUIDG.COM – PG. 6 f g Af ff ff f logc = logc A @ logc B B “O logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos” *Importante: jamais altere a ordem “logaritmo do númerador menos o logaritmo do denominador”. Demonstração. Admita x como um número Real e que possamos escrever x como: x = log c A@ log c B c x = c logc A @ logc B c x = c logc A A c@ logc B b c 1 c = c x logc A A ffff ffff fff fff logc B c Af c x = ff fff B Aplicando a equivalência fundamental temos: f g Af ff ff f log c =x B f g Af ff ff f Portanto logc = x = logc A @ logc B B Esta propriedade decorre imediatamente da primeira propriedade (P1). b c = nA log b A n log b A Demonstração: A = AA A A A … (n vezes A) n Então, aplicando P1: log b AA AA A … = log b A + log b A + log b A + … (u seja, a soma enésima do log b A ) ` a b c log b AA AA A … = n log b A = nA log b A = n log b AP3 ` a Portanto, Exemplo numérico: b c log3 3 = log3 3 A 3 A 3 A 3 = log3 3 + log3 3 + log3 3 + log3 3 = 4 log3 3 4 ` a log3 3 = ? 3 =3 x x=1 4 log3 3 = 4.1 = 4 4 Veja que não foi necessário saber o valor de 3 para descobrirmos o valor do logaritmo. Essa é a importância da
  7. 7. GUIDG.COM – PG. 7 propriedade. Chamamos esta propriedade de “Mudança de base” pois é justamente o que se faz, quando for útil trocarmos a base do logaritmo para a simplificação do cálculo. logfff fffAf fffff ffff fC ff logB A = ^ C>0 , C ≠1 logC B O logaritmo de A na base B é igual ao quociente do logaritmo de A na base C pelo logaritmo de B na base C. Ou seja escolhemos uma base qualquer (que seja útil) desde que seja maior que zero e diferente de um. Demonstração: Admita que possamos escrever um número x como a razão de dois logaritmos, isto é: logffff ffC A ffffff fffff x=P4 log C B Então utilizando as propriedades vistas anteriormente, chegamos à: x log C B = log C A C x logC B = C logC A C logC B = C logC A x B =A x Aplicando a equivalência fundamental: log B A = x logffff ffC A ffffff fffff Portanto, log B A = x = log C B * Consequência de P4, Mudança de base. Esta propriedade nos diz que ao invertermos o logaritmo a base troca de lugar com o logaritmando. f1 ff ffff ffff ffff f log b A = log A b Demonstração: log b A = xP5 logffff ffA A ffffff fffff =x log A b 1 ffffff fffff fffff =x log A b f1 ff ffff ffff ffff f Portanto, log b A = x = log A b
  8. 8. GUIDG.COM – PG. 8 * Consequência de P4, Mudança de base. Esta propriedade nos diz que dado um produto de dois logaritmos onde a base de um for igual ao logaritmando do outro, então podemos transformar este produto num único logaritmo. log b A A log A c = log b c Demonstração: log b A A log A c = xP6 logffff ffb c ffffff fffff Mas log c = A log b A Então substituindo: log fcff fffff ffbf f ff f ff log b A A =x log b A # x = log b c * Consequência de P4 Mudança de base. Esta propriedade é demonstrada com o mesmo principio das provas anteriores junto com a aplicação de P4. 1f ff f log bx A = log b A xP7 Demonstração: logffff fffffff 1f fffff 1f logffff 1f ffA ff ff ff f ff fff f f fffA f ff fffA f f ff f f ff ff f ff ff f ff f f ff f1 ff f 1ff f fbf ff f log bx A = x = = A log b = A = log b A log A b x log A b x fffff x log b b x fffff fffff fffff b log b A Exercício de fixação: fffff ffffff ffffff fffffff 15f 1 1 1 1 fffff ffffff ffffff ffffff ff fffff ffffff ffffff ffffff ff f Se + + + = , determine log 3 x e o valor de x : log x 3 logpw 3 w w w ww w x logpw 3 4w w w ww w x logpw 3 8w w w ww w x 8 Solução: Aplicando (P5) na equação dada: w w w w ww w w w w ww w w w w w ww 15f ff ff f log 3 x + log 3 px + log 3 px + log 3 p x = 4 8E1 8 Re-escrevendo as raízes como potência fracionária: 1f 1f 1f f ff f ff f ff 15f ff ff f log 3 x + log 3 x 2 + log 3 x 4 + log 3 x 8 = 8 Aplicando (P1): d 1f 1f e 1f f ff f ff f ff 15f ff ff f log 3 x A x A x A x 2 4 8 = 8
  9. 9. GUIDG.COM – PG. 9 Somando os expoentes: d e 15f ff ff ff 15f ff ff f log 3 x 8 = 8 Aplicando (P3): 15f ff ff f 15f ff ff f log 3 x = 8 8 Dividindo a equação por 15/8 : log 3 x = 1 Aplicando a (B) equivalência fundamental: 31 = x , assim x=3 .*Importante: O uso das cores nos quadros à esquerda é devido a quebra de página, a cor indica a continuação da explicaçãodo o assunto tratado que é indicado pelas abreviações: A0, B0, C0, P0...

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