Sintese

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Sintese

  1. 1. MECANISMOS APOSTILA INTRODUÇÃO À SÍNTESE CINEMÁTICA DE MECANISMOS DE BARRAS 2007 Professor Carlos Lima
  2. 2. V – INTRODUÇÃO À SÍNTESE CINEMÁTICA DE MECANISMOS DE BARRAS CAPÍTULO I – SÍNTESE CINEMÁTICA 1.1 SÍNTESE CINEMÁTICA É a determinação (criação, geração, desenvolvimento) de mecanismos que devem atender certas especificações de movimento. A síntese cinemática é composta de três etapas seqüenciais: síntese de tipo, de número e dimensional. 1.2 SÍNTESE DE TIPO É a escolha do tipo de mecanismo a ser usado na solução do problema. Podem ser usados mecanismos de barras, de cames, de engrenagens, de correias, mecanismos compostos, etc. 1.3 SÍNTESE DE NÚMERO É o estudo da mobilidade baseado no número de barras (ou elementos) e no número e classe de pares cinemáticos. Em função do tipo de mecanismo escolhido, pode-se ter apenas pares inferiores ou pares inferiores e pares superiores, de diferentes classes. 1.4 SÍNTESE DIMENSIONAL É a determinação das dimensões das partes componentes – comprimentos e ângulos – necessárias para criar um mecanismo capaz de efetuar a transformação de movimento desejada.
  3. 3. CAPÍTULO II – MECANISMOS DE QUATRO BARRAS 2.1 CLASSIFICAÇÃO DOS MECANISMOS DE QUATRO BARRAS Os mecanismos de quatro barras são classificados em: - Quadriláteros articulados - Biela manivela - Biela manivela invertido 2.1.1 Quadrilátero articulado Quadrilátero articulado é o mecanismo de quatro barras que estão ligadas entre si apenas por pares cinemáticos de rotação. Em função das relações dimensionais entre as barras, estas apresentam comportamentos cinemáticos diferentes. A 2 B C 3 4 D Figura 2.1 – Exemplo de um quadrilátero articulado 2.1.2 Biela manivela É o mecanismo formado por quatro elementos em que um deles (corrrediça ou pistão) executa um movimento de translação pura em relação ao chassi, enquanto outro (manivela) executa um movimento de rotação pura (normalmente completa). A 2 B 3 C 4 Figura 2.2 – Exemplo de um mecanismo biela manivela 2.1.3 Biela manivela invertido a) Biela manivela invertido tipo I: É aquele em que a corrediça executa um movimento de rotação em relação ao chassi (parcial ou completa). A corrediça, portanto, é o elemento de saída. A 2 B 3 C 4 A B C 2 3 4 e
  4. 4. Figura 2.3 – Exemplos de mecanismos biela manivela invertido tipo I O primeiro exemplo mostra a corrediça com excentricidade em relação ao centro de oscilação do elemento 4. No segundo, a excentricidade é nula. b) Biela manivela invertido tipo II: É aquele em que a corrediça executa movimento plano geral, ou seja, não está ligada diretamente ao chassi, sendo, portanto, o elemento acoplador. A 2 3 B 4 D A D B 2 3 4 e Figura 2.4 – Exemplos de mecanismos biela manivela invertido Tipo II A Figura 2.4 também mostra no primeiro exemplo a corrediça com excentricidade em relação ao centro de oscilação do elemento 4. No segundo, a excentricidade é nula. 2.2 CRITÉRIO DE GRASHOFF PARA O QUADRILÁTERO ARTICULADO O tipo de movimento executado por um mecanismo de quatro barras articuladas (quadrilátero articulado) pode ser reconhecido aplicando o critério de Grashoff para esse mecanismo. O critério de Grashoff pode ser apresentado da seguinte maneira: Quando a soma dos comprimentos das barras menor e maior é menor ou igual a soma dos comprimentos das outras duas, o mecanismo é classificado da seguinte maneira: a. mecanismo manivela balancim: se a barra menor for o elemento de entrada (acionador); A B C D 2 3 4 Figura 2.5 – Mecanismo manivela balancim b. mecanismo dupla manivela: se a barra menor for a barra fixa (chassi);
  5. 5. A B C 3 2 4 Figura 2.6 – Mecanismo dupla manivela c. mecanismo duplo balancim: se nenhuma das condições expostas em a ou b ocorrer. A B C D 2 3 4 Figura 2.7 – Mecanismo duplo balancim Portanto, de acordo com o critério de Grashoff, o quadrilátero articulado classifica-se em manivela balancim, dupla manivela e duplo balancim. O mecanismo manivela balancim caracteriza-se por apresentar o elemento de entrada (que é o menor) com rotação completa, enquanto o elemento de saída executa apenas um movimento de balanço ou oscilação. O mecanismo dupla manivela caracteriza-se por apresentar rotações completas para o elemento de entrada e para o elemento de saída, sendo que o elemento menor é o chassi. O mecanismo duplo balancim caracteriza-se por apresentar balanços ou oscilações para o elemento de entrada e para o elemento de saída. No processo de síntese deve-se evitar a condição ambígua em que a soma dos comprimentos das barras menor e maior é igual à soma dos comprimentos das outras duas, pois o funcionamento do mecanismo pode apresentar comportamento diferente do previsto, em função de posições críticas que poderá assumir, e que serão abordadas a seguir (posições limites e pontos mortos). 2.3 POSIÇÕES LIMITES Para o quadrilátero articulado e o biela manivela posição limite do elemento de saída é a posição em que o ângulo entre o acoplador e o elemento
  6. 6. de entrada forma 180o ou 360o. Numa posição limite o elemento de entrada e o acoplador estão alinhados. Para o biela manivela invertido as posições limites são determinadas através das tangentes externa e interna aos círculos determinados pelos lugares geométricos do par de ligação entre o elemento de entrada e o acoplador e do par de ligação entre o acoplador e o elemento de saída (biela manivela invertido tipo I) ou da excentricidade do elemento de saída (biela manivela invertido tipo II). 2.3.1 Quadrilátero articulado As posições limites determinam o ângulo de balanço (oscilação) do balancim. 3 A 2 B 4 1 4 θ 3 B 2 A D θ =θ −θ 4 42 41 Figura 2.8 – Posições limites para o quadrilátero articulado 2.3.2 Biela manivela 2 4 θ D C 4 A figura 2.9 mostra um mecanismo biela manivela, com excentricidade, em suas duas posições limites. As posições limites determinam o curso (deslocamento permitido) da corrediça (S = S2 – S1). A B2 C2 B1 C1 S1 S2 S = S2 – S1 Figura 2.9 – Posições limites para o mecanismo biela manivela 2.3.3 Biela manivela invertido As posições limites dos mecanismos biela manivela invertido tipo I e tipo II são determinadas da mesma maneira. São estabelecidas a partir das tangentes externa e interna aos círculos (ou parte deles) determinados pelos lugares geométricos descritos respectivamente pelos pontos B (par de ligação entre o elemento de entrada e o acoplador) e C (par de ligação entre acoplador e saída, no caso do tipo I ou da extremidade da excentricidade da corrediça no caso do tipo II).
  7. 7. Estas posições limites permitem determinar o ângulo de oscilação (balanço) do elemento de saída (ângulo C1DC2 na figura 2.10). 2 C2 Figura 2.10 – Mecanismo biela manivela invertido tipo I nas suas duas posições limites 2.4 PONTOS MORTOS Pontos mortos são as posições do mecanismo que impedem o avanço do movimento do elemento de entrada. Portanto, naqueles mecanismos que apresentam posições de ponto morto, o elemento de entrada não dá uma rotação completa. Há necessidade de inverter-se o sentido de giro do elemento de entrada para que o mecanismo prossiga seu movimento. 2.4.1 Quadrilátero articulado No quadrilátero articulado ocorrem posições de ponto morto apenas nos mecanismos duplo balancim. A figura 2.11 apresenta um exemplo de mecanismo duplo balancim nas suas duas posições de ponto morto. Nesse caso, o elemento de entrada atua somente na região determinada pelo ângulo interno B1AB2. Já o elemento de saída irá atuar entre as duas posições limites (determinadas anteriormente), passando pelas posições C1D e C2D tanto quando girando num sentido quanto noutro. A B1 B2 D C1 C2 2 3 4 A D B1 C1 B2 3 4
  8. 8. Figura 2.11 – Quadrilátero articulado (duplo balancim) nas suas posições de ponto morto 2.4.2 Mecanismo biela manivela No mecanismo biela manivela os pontos mortos indicam as posições até onde o elemento de entrada pode atuar (já que não é possível uma rotação completa). A figura 2.12 mostra um exemplo desse mecanismo nessas posições. A B1 3 4 C1 C2 B2 2 Figura 2.12 – Mecanismo biela manivela nas suas posições de ponto morto 2.4.3 Mecanismo biela manivela invertido Para o biela manivela invertido (tanto tipo I quanto tipo II) ocorrerão pontos mortos se a soma do comprimento da manivela e a excentricidade da guia da corrediça for maior que o comprimento do chassi (elemento fixo). Nesse caso, os pontos de cruzamento entre o círculo determinado pelo lugar geométrico da ligação entre elemento de entrada e acoplador e o círculo de excentricidade determinam os limites de funcionamento do mecanismo. É importante observar-se que o mecanismo biela manivela invertido poderá comportar-se, em termos de elemento de entrada e elemento de saída, como qualquer quadrilátero articulado, dependendo das relações dimensionais. Assim, um biela manivela invertido poderá ter seu elemento de entrada realizando rotações completas, enquanto o elemento de saída realiza apenas uma rotação parcial (comportando-se como um manivela balancim), ou o elemento de entrada e o elemento de saída realizando rotações completas (semelhante ao dupla manivela), ou , ainda, o elemento de entrada e o elemento de saída realizando apenas rotações parciais (como o duplo balancim) e necessitando inversão de sentidos de giro. A B C 2 3 4 Região de funcionamento do elemento de entrada D
  9. 9. Figura 2.13 – Mecanismo biela manivela invertido com indicação de suas Posições de ponto morto 2.5 ÂNGULO DE TRANSMISSÃO Além dos cuidados quanto às posições limites e aos pontos mortos, no projeto de mecanismos de barras é igualmente importante que não ocorram acelerações demasiadamente elevadas e que o movimento seja relativamente suave e isento de impactos e solavancos. É indispensável que este exame seja realizado enquanto o mecanismo está na fase de projeto. A qualidade do movimento de um mecanismo de quatro elementos pode ser examinada à luz do critério do ângulo de transmissão. 2.5.1 Quadrilátero articulado O ângulo de transmissão μ de um quadrilátero articulado é por definição o ângulo entre a direção do movimento absoluto VC do elemento de saída DC e a direção do movimento relativo VCB do acoplador (biela) BC relativamente ao elemento condutor AB. b m B 2 3 C μ μ 4 a c 2 θ A D C VCB VC d Figura 2.14 – ângulo de transmissão no quadrilátero articulado É fácil ver que este ângulo (figura 2.14) é o mesmo que formam entre si os elementos 3 e 4. A qualidade do movimento depende do mínimo ângulo de transmissão min μ . A força transmitida pelo acoplador 3 ao elemento de saída 4 é mais eficaz se o ângulo de transmissão é 90o. Entretanto, durante a rotação do elemento condutor, o valor do ângulo de transmissão varia. É importante que o desvio do ângulo de transmissão do seu valor ideal 90o seja o menor possível. Pequenos valores do ângulo de transmissão (μ 〈 15o ) produzem acelerações excessivamente elevadas, ruído, vibrações e impactos em mecanismos de alta velocidade. Por isso, um valor 40o min μ 〉 deve ser empregado para esses mecanismos. Como o valor mínimo (e também o máximo) do ângulo de transmissão representa um valor crítico no projeto de um mecanismo de quatro barras, é
  10. 10. importante conhecer a técnica de determinar as posições em que este ângulo torna-se mínimo (ou máximo). Considere-se a figura 2.14 No triângulo ABD a2 + d 2 − 2ad cosθ = m 2 2 No triângulo b2 + c2 − 2bc cosμ = m2 a2 + d 2 − ad = b + c − bc 2 cosθ 2 2 2 cosμ 2 O mínimo de μ é determinado pela condição sen θ 2 = ad d 0 ou 0 θ = 2 μ d sen μ bc donde sen 0 0o ou 180o 2 2 2 θ = ⇒ θ = θ = O mecanismo dupla manivela apresenta-se, exemplificadamente, como na figura 2.15. C max μ A D B min μ θ2 = 180o B A D C Figura 2.15 – Mecanismo dupla manivela nas posições de ângulo de transmissão máximo e mínimo O mecanismo manivela balancim apresenta-se como na figura 2.16. A B C μmax D A B C D μmin Figura 2.16 – Mecanismo manivela balancim nas posições de ângulo de transmissão máximo e mínimo 2.5.2 Biela manivela De acordo com a definição do ângulo de transmissão, o ângulo entre o movimento absoluto VC (movimento absoluto da corrediça) e o movimento relativo VCB é igual ao ângulo que a biela BC forma com a normal ao eixo da corrediça C. A B e E a b μ μ θ2
  11. 11. Figura 2.17 – Ângulo de transmissão no mecanismo biela manivela BF = BE + EF = a + e 2 senθ No triângulo BCF: BF = bcosμ donde b = a + e 2 cosμ senθ A condição para que μ seja mínimo é cos θ 2 = a d 0 ou 0 θ = 2 μ d sen μ b donde cos 0 90o ou 270o 2 2 2 θ = ⇒ θ = θ = 2.5.3 Biela manivela invertido a) Tipo I No mecanismo biela manivela invertido tipo I o ângulo de transmissão é mantido constante. O mecanismo pode ser construído com um valor qualquer do ângulo. Logo, como o valor ideal é 90o, este valor será sempre adotado, a não ser que restrições construtivas conduzam a outro valor. D C A B μ = 90o Figura 2.18 – Ângulo de transmissão no mecanismo biela manivela invertido tipo I b) Tipo II O ângulo de transmissão deste mecanismo é definido na figura 2.18. B μ A D Figura 2.18 – Ângulo de transmissão no mecanismo biela manivela invertido tipo II Os valores limites são obtidos pelo processo gráfico descrito na figura 2.19.
  12. 12. w2 max μ B y2 x y1 A C D w1 k1 k2 z2 z1 min μ Figura 2.19 – Determinação dos ângulos de transmissão máximo e mínimo para o mecanismo biela manivela invertido tipo II Este processo adota o seguinte procedimento: a) Dado o mecanismo, toma-se A como centro e raio AB, traçando-se um arco de circunferência x até interceptar a conexão fixa (chassi) AD em Z1 e Z2. b) Com centro em D e raios respectivamente iguais a DZ1 e DZ2 traçam-se os arcos y1 e y2 até interceptarem a guia da corrediça (linha que passa por BC) em w1 e w2. c) Em w1 traça-se uma reta k1 perpendicular a BC. d) Em w2 traça-se uma reta k2 perpendicular a BC. e) Unir D a w1 e D a w2. f) Medir os ângulos k1w1D = min μ k2w2D = max μ CAPÍTULO III – MÉTODOS DE SÍNTESE DE MECANISMOS Em um grande número de problemas de síntese de mecanismos os elementos de entrada e de saída devem mover-se de uma determinada maneira. Exemplos típicos que mostram as aplicações práticas de mecanismos de barras são: mecanismos de guia (retilíneo ou segundo uma curva prescrita), mecanismos de retorno rápido, mecanismos de velocidade constante, mecanismos de barras com períodos de repouso, mecanismos de barras substituindo cames, especialmente em aplicações de grande potência e alta velocidade, mecanismos de barras substituindo engrenagens. A seguir serão abordadas três técnicas gráficas para sintetizar um mecanismo para diferentes posições prescritas dos elementos de entrada e de saída: o método dos polos, o
  13. 13. método da inversão e o método da sobreposição. Estas técnicas serão empregadas para sintetizar: quadrilátero articulado e biela manivela. 3.1 MÉTODO DOS POLOS A síntese para duas e três posições pode ser realizada empregando-se as propriedades de um polo. B1 B2 A D C1 P12 C2 Figura 3.1 – Método dos polos – propriedades de um polo Na figura 3.1 AB1C1D e AB2C2D representam duas posições do quadrilátero articulado. O polo P12 correspondente a estas duas posições obtém-se localizando o ponto de interseção das mediatrizes das cordas B1B2 e C1C2. O sub-índice 12 do polo P12 identifica o polo correspondente às posições AB1 e AB2 do elemento condutor AB e DC1 DC2 do elemento de saída DC. 3.1.1 Propriedades do polo a) Como o polo P12 está situado sobre as mediatrizes B1B2 e C1C2, P12 representa o centro de rotação comum dos pontos B1, B2 e C1,C2. b) Como P12 é o centro comum de rotação, os pontos B1,B2 e C1,C2 estão situados sobre duas circunferências concêntricas de raios respectivamente iguais a P12B1 e P12C1, tendo P12 como centro.
  14. 14. c) Como B1C1 = B2C2, os ângulos B1P12C1 e B2P12C2 são iguais, ou seja, o acoplador forma, no polo, ângulos iguais nas duas posições. d) Como B1C1 = B2C2, o ângulo compreendido pelas cordas B1B2 e C1C2 no polo P12 são iguais, isto é, B1P12B2 = C1P12C2. Isto pode ser verificado da seguinte forma: B1P12C1 = B1P12B2 + B2P12C1 B2P12C2 = B2P12C1 + C1P12C2 igualando e simplificando os termos iguais, verifica-se a propriedade. e) Da propriedade anterior pode-se afirmar que: 1 B1P12B2 = 2 1 C1P12C2 2 donde: B1P12A = C1P12D ou seja, os elementos de entrada e de saída formam no polo ângulos iguais. f) Da propriedade anterior, ao B1P12C1 subtraindo-se B1P12A e somando-se C1P12D obtem-se AP12D, ou seja, B1P12C1 = AP12D, o que significa que o acoplador e o chassi formam no polo ângulos iguais. Das duas últimas propriedades conclui-se que elementos opostos formam no polo ângulos iguais. Estas propriedades são empregadas para o processo de síntese para duas e três posições usando o método dos polos. 3.1.2 Síntese para duas posições usando o método dos polos a) Quadrilátero articulado Enunciado: Sintetizar um quadrilátero articulado em que o elemento condutor 2 (AB) gira num determinado sentido de um ângulo θ12 e o elemento de saída 4 (CD) gira de um ângulo ϕ12 também num sentido escolhido. Metodologia de solução: 1) Escolher adequadamente os centros fixos A e D, determinando a posição do chassi 2) Escolher arbitrariamente o comprimento do elemento de saída DC e traçá-lo na sua posição inicial DC1 3) Representar o ângulo de giro do elemento de saída ϕ12, determinando a posição DC2 deste elemento 4) Determinar a mediatriz m de C1C2 (observe-se que a reta m passa por D) 5) Sobre a mediatriz m posicionar arbitrariamente o polo P12 6) Traçar uma reta z passando por P12e A 7) Traçar a reta P12x de modo que: AP12x = C1P12D, ou seja, empregando a propriedade que o elemento de entrada e o elemento de saída formam no polo ângulos iguais 8) Por A traçar a reta y tal que o ângulo zAy = θ12/2. Este ângulo é medido no sentido contrário ao de rotação proposto para o elemento de entrada. A reta y corta a reta P12x em B1
  15. 15. 9) Unir A, B1, C1 e D, colocando pares de rotação nestes pontos. O quadrilátero articulado AB1C1D satisfaz as exigências do projeto. Após ter sido realizado o processo de síntese, deve-se atentar para dois aspectos importantes. A existência ou não de pontos mortos (classificar o mecanismo segundo Grashoff) e o valor do ângulo de transmissão mínimo, μmin. Este valor deve estar dentro de limites toleráveis. Como exemplo do emprego da metodologia, admita-se dadas as condições: - ângulo de giro do elemento de entrada θ12 = 60o no sentido horário. - ângulo de giro do elemento de saída ϕ12 = 30o no sentido horário. Escolhe-se um comprimento qualquer para o chassi, determinando os pares A e D. Admita-se AD = 32 mm. Localizam-se, então, os pontos A e D. Escolhe-se um comprimento para o elemento de saída CD e representa-se-o na posição inicial (1). Esse comprimento não deve fugir muito do comprimento admitido para o chassi, para que, pelo menos naquelas medidas que são passíveis de escolha, as dimensões não sejam díspares. Nesse caso, adote-se um comprimento CD = 32 mm. Determina-se, então, a posição inicial C1D do elemento de saída em relação ao chassi AD. 12 12 ϕ θ A D P12 C1 m C2 z B1 y x Figura 3.2 – Método dos polos : síntese do quadrilátero articulado para duas posições Posicionar o elemento de saída na sua posição final (2), através do seu giro ϕ12 = 30o, sentido horário, determinando o ponto C2. Determinar a mediatriz m de C1C2 e sobre esta mediatriz situar aleatoriamente o polo P12. Unir P12 a A, através da reta z, e por P12 traçar a reta x de modo que xP12A = C1P12D. Por A traçar a reta Ay tal que o ângulo zAy = θ12/2 = 30o, sentido anti-horário (contrário ao sentido de giro do elemento de entrada). A reta y corta a reta x em B1. Unir os pontos A, B1, C1 e D, colocando pares de rotação nestes pontos, obtendo-se, assim, um quadrilátero que atende o movimento especificado.
  16. 16. Classifica-se, então, o quadrilátero articulado obtido e calculam-se os ângulos de transmissão mínimo e máximo. Deve-se observar que existem infinitas soluções, na medida em que comprimentos e posições podem ser variados, gerando, cada vez, uma nova solução. Das várias soluções que possam ter sido obtidas, escolhe-se aquela que apresentar as melhores características de funcionamento. b) Biela manivela Enunciado: Sintetizar um mecanismo biela manivela em que o elemento condutor 2 (AB) gira num determinado sentido de um ângulo θ12 e o elemento de saída 4 (C – corrediça) desloca-se de uma distância s12 também num sentido escolhido, com uma excentricidade e em relação ao centro de rotação da manivela.. Metodologia de solução: 1) Traçar duas retas q1 e q2 paralelas entre si e distantes e (excentricidade) uma da outra. Sobre uma delas (q2, por exemplo) marcar arbitrariamente o ponto A (centro de rotação da manivela). 2) Por A traçar a reta n perpendicular as retas q1 e q2. Traçar a reta y1 paralela a n e distante s12/2 dela, medido no sentido contrário ao deslocamento da corrediça. 3) Por A traçar a reta k formando com a reta de referência n um ângulo θ12/2. Este ângulo é medido no sentido contrário ao de rotação do elemento condutor, a partir de n. Esta reta k corta a reta y1 no polo P12. 4) Escolher arbitrariamente a posição inicial da corrediça sobre a paralela de q1 e q2 que não contém A (q1, neste caso), determinando o ponto C1. Unir P12 a C1. 5) Por P12 traçar a reta z formando um ângulo C1P12 z = θ12/2 medido no sentido contrário ao de rotação da manivela. 6) Escolher sobre a reta z arbitrariamente um ponto B1. 7) Unir os pontos A, B1 e C1 e colocar pares de rotação nestes pontos e uma corrediça em C1 cujo eixo, neste caso, coincida com q1, resultando, assim, num mecanismo capaz de atender as especificações desejadas de movimento. Deve-se verificar se a solução encontrada é uma boa solução: A manivela pode dar uma volta completa? O ângulo de transmissão mínimo é adequado? A título de exemplo para este caso, admita-se estabelecidas as seguintes condições: y1 n - ângulo de rotação do elemento k de entrada θ12 = 60o no sentido horário - deslocamento da corrediça s12 P12 = 20 mm, afastando-se do centro de rotação da manivela para a direita q1 - excentricidade e = 10 mm, com a linha de ação da corrediça situada abaixo e do centro de rotação q2 da manivela. A -s12/2 C1 z B1
  17. 17. Figura 3.3 – Método dos polos: síntese do mecanismo biela manivela para duas posições Então: Traçar as duas retas q1 e q2 paralelas entre si e distantes e = 10 mm, marcando, sobre a reta q1, o centro A de rotação da manivela. Por A traçar a reta n perpendicular a q1 e q2. Traçar, ainda, a reta y paralela a n e afastada desta s12/2 = 10 mm para a esquerda (sentido contrário ao de movimento proposto para a corrediça). Por A traçar a reta k fazendo com n, em A, ângulo igual a θ12/2 = 30o medido no sentido anti-horário (contrário ao de rotação proposto para a manivela). No cruzamento de k e y marcar P12. Escolher, arbitrariamente, sobre a paralela q2 (aquela de q1 e q2 que não contém A) a posição inicial da corrediça, C1. Unir, então, P12 a C1. Por P12 traçar a reta z, fazendo com P12C1 ângulo igual a θ12/2 = 30o medido no sentido anti-horário (contrário ao de rotação da manivela). Escolher arbitrariamente, sobre a reta z, o ponto B1. Unir A, B1 e C1, colocando pares de rotação nestes pontos e uma corrediça em C1, que transladará sobre a guia colocada em q2. 3.1.3 Síntese para três posições a) Quadrilátero articulado Enunciado: Sintetizar um quadrilátero articulado em que o elemento condutor 2 (AB) gira num determinado sentido de um ângulo θ12 enquanto o elemento de saída 4 (CD) gira de um ângulo ϕ12 também num sentido escolhido e a seguir o elemento condutor 2 gira de um novo ângulo, definido em relação à posição inicial como θ13, enquanto o elemento de saída 4 gira de um ângulo ϕ13 em relação à sua posição inicial, também de sentidos definidos. Metodologia de solução: 1) Escolher adequadamente os centros fixos A e D, determinando a posição do chassi. 2) Escolher arbitrariamente o comprimento do elemento de saída DC e traçá-lo na sua posição inicial DC1. 3) Por D traçar as retas y1 e y2 formando ângulos respectivamente iguais a ϕ12/2 e ϕ13/2 com o chassi AD. Estes ângulos são medidos no sentido contrário ao sentido de rotação proposto para o elemento de saída, a partir do chassi. 4) Pelo ponto A traçar as retas x1 e x2 formando ângulos respectivamente iguais a θ12/2 e θ13/2 com AD. Estes ângulos são medidos no sentido contrário ao sentido de rotação proposto para o elemento de entrada, a partir do chassi. 5) Localizar os polos P12 e P13 nos pontos de interseção das retas x1,y1 e x2,y2 respectivamente. 6) Unir P12 a C1 e P13 a C1.
  18. 18. 7) Por P12 traçar a reta z1 tal que se tenha a igualdade angular z1P12A = C1P12D. 8) Por P13 traçar a reta z2 tal que se tenha a igualdade angular z2P13A = C1P13D. 9) As retas z1 e z2 cortam-se em B1. 10) Unir A, B1, C1 e D e colocar pares de rotação nestes pontos. O quadrilátero articulado formado é o mecanismo desejado. Também aqui deve-se examinar os pontos mortos, posições limites e ângulo de transmissão. Como exemplo do emprego da metodologia, admita-se que são dadas as condições: - ângulos de giro do elemento de entrada θ12 = 60o e θ13 = 100o no sentido horário. - ângulos de giro do elemento de saída ϕ12 = 20o e ϕ13 = 45o no sentido anti-horário. Então: Escolhe-se um comprimento qualquer para o chassi, determinando os pares A e D. Admita-se AD = 50 mm. Localiza-se, então os pontos A e D. Escolhe-se um comprimento para o elemento de saída CD e representa-se-o na posição inicial (1). Esse comprimento deve ser compatível com o comprimento admitido para o chassi, para que, pelo menos naquelas medidas que são passíveis de escolha, as dimensões não sejam díspares. Adote-se, então, um comprimento CD = 40 cm. P13 P12 B1 A D C1 y1 y2 x1 x2 Figura 3.4 – Método dos polos: síntese do quadrilátero articulado para três posições Por D traçar as retas y1 e y2 fazendo com o chassi ângulos respectivamente iguais a ϕ12/2 = 10o e ϕ13/2 = 22,5o medidos no sentido horário a partir do chassi (sentido contrário ao proposto para o deslocamento do elemento de saída). Por A traçar as retas x1 e x2 formando com o chassi ângulos respectivamente iguais a θ12/2 = 30o e θ13/2 = 50o medidos no sentido anti-horário (contrário ao sentido de giro do elemento de entrada). No cruzamento das retas x1, y1 e x2, y2 marcar respectivamente os polos P12 e P13. Unir P12 e P13 a C1.
  19. 19. Por P12 traçar a reta z1 tal que se tenha a igualdade angular z1P12C1 = AP12D Por P13 traçar a reta z2 tal que se tenha a igualdade angular z2P13C1 = AP13D No cruzamento das retas z1 e z2 posicionar B1. Unir A, B1, C1 e D, colocando pares de rotação e formando o mecanismo procurado. b) Biela manivela Enunciado: Sintetizar um mecanismo biela manivela em que o elemento condutor 2 (AB) gira num determinado sentido de ângulos θ12 e θ13 e o elemento de saída 4 (C – corrediça) desloca-se de distâncias s12 e s13 correspondentes as rotações da entrada, também num sentido escolhido, com uma excentricidade e em relação ao centro de rotação da manivela. Metodologia de solução: 1) Traçar duas retas q1 e q2 paralelas entre si e distantes e (excentricidade) uma da outra. Sobre uma delas (q2, por exemplo) marcar arbitrariamente o ponto A (centro de rotação da manivela). 2) Por A traçar a reta n perpendicular as retas q1 e q2. Traçar, a seguir, as retas y1 e y2 paralelas a n e distantes s12/2 e s13/2 dela, medidas no sentido contrário ao de deslocamento da corrediça. 3) Por A traçar as retas x1 e x2 fazendo com a reta n ângulos respectivamente iguais a θ12/2 e θ13/2 medidos no sentido contrário ao de rotação do elemento de entrada. As retas x1 e x2 cortam as retas y1 e y2 nos polos P12 e P13, respectivamente. 4) Escolher arbitrariamente a posição inicial da corrediça, C1, sobre a paralela de q1 e q2 que não contém A (q1, por exemplo). Unir, então, P12 a C1 e P13 a C1. 5) A partir dos polos P12 e P13 traçar as retas z1 e z2 formando ângulos respectivamente com P12C1 e P13C1 iguais a θ12/2 e θ13/2 medidos no sentido contrário ao de rotação do elemento de entrada. 6) No cruzamento de z1 e z2 marcar B1. 7) Unir A, B1 e C1 colocando pares de rotação nestes pontos e uma corrediça em C1, que irá deslocar-se ao longo de q1. Para exemplificar o uso da metodologia, admita-se dadas as condições: - ângulos de giro do elemento de entrada θ12 = 50o e θ13 = 90o no sentido horário. - deslocamentos da corrediça: s12 = 20 mm e s13 = 30 mm para a direita, afastando-se do centro de rotação da manivela. - excentricidade: 10 mm, com a linha de ação da corrediça situando-se abaixo do centro de rotação da manivela. Então:
  20. 20. Traçar duas retas q1 e q2 paralelas entre si e distantes e = 10 mm. Sobre a superior marcar arbitrariamente o ponto A (centro de rotação do elemento de entrada). e q1 q2 z2 B1 P12 z1 A y1 n -s12/2 -s13/2 P13 y2 C1 x1 x2 Figura 3.5 – Método dos polos: Síntese do mecanismo biela manivela para três posições Traçar por A a reta n perpendicular a q1 e q2. A seguir, traçar as retas y1 e y2 paralelas a n e distantes dela respectivamente s12/2 = 10 mm e s13/2 = 15 mm, medidas para a esquerda (sentido contrário ao de deslocamento previsto para a corrediça). Traçar por A as retas x1 e x2 fazendo com n ângulos θ12/2 = 25o e θ13/2 = 45o, medidos no sentido anti-horário (contrário a rotação do elemento de entrada). No cruzamento de x1 e y1 marcar P12 e no cruzamento de x2 e y2 marcar P13. Sobre a paralela inferior q2 escolher adequadamente o ponto C1 (posição inicial da corrediça, que deverá estar a direita de A para atender ao sentido de deslocamento estabelecido) e unir C1 a P12 e a P13. Por P12 traçar a reta z1 fazendo com P12C1 ângulo de 25o no sentido anti-horário e a reta z2 fazendo com P13C1 ângulo de 45o também no sentido anti-horário. No cruzamento de z1 e z2 assinalar B1. Unir A, B1 e C1, colocando-lhes pares de rotação e uma corrediça em C1, que deslizará ao longo da guia coincidente com q2. 3.2 MÉTODO DA INVERSÃO Considere-se inicialmente um quadrilátero articulado em duas posições quaisquer identificadas por AB1C1D e AB2C2D (figura 3.6). As barras de entrada e saída 2 e 4, respectivamente, giram no sentido horário de ângulos θ12 e ϕ12 para passarem da posição 1 para a posição 2. Na figura 3.6 a barra 1 é a fixa (chassi).
  21. 21. B1 B2 A D C2 C1 Figura 3.6 – Mecanismo do quadrilátero articulado em duas posições genéricas O princípio da inversão considera a barra de entrada 2 como a fixa, no lugar da barra 1. Então move a barra 1 de um ângulo θ12 no sentido anti-horário (contrário ao sentido de giro original) obtendo a posição AB1C2’D’ (figura 3.7). Compare-se as posições AB1C2’D’ (figura 3.7) e AB2C2D (figura 3.6) sobrepondo as duas figuras (figura 3.8). B1 D' B1 B2 -θ12 A D C2' C1 D' -θ12 A D C2 C2' C1 Figura 3.7 – Mecanismo do quadrilátero articulado e o método da inversão Figura 3.8 – O quadrilátero articulado na sua posição original e na sua posição de inversão Observa-se que as duas configurações são idênticas estruturalmente, sendo que a configuração da figura 3.7 (AB1C2’D’) aparece girada, como se AB2C2D fosse uma estrutura, de um ângulo θ12 no sentido anti-horário (contrário ao sentido de giro original).
  22. 22. Assim, a técnica da inversão permite localizar o ponto C2’ girando C2 em torno de A de um ângulo θ12 , no sentido contrário ao de rotação proposto. Além disso, C2’ está situado sobre um círculo de raio BC e centro em B1. Esta propriedade pode ser utilizada na síntese de mecanismos de quatro barras. 3.2.1 - Síntese para duas posições usando o método da inversão a) Quadrilátero articulado Para aplicar o método adote-se a seguinte hipótese: O mecanismo deve fazer com que as suas barras de entrada e saída girem, respectivamente, de ângulos θ12 e ϕ12 em sentidos determinados. 1. Selecionar arbitrariamente a posição do elemento fixo 1 (chassi), pares A e D. 2. Escolher um comprimento qualquer para o elemento de saída 4 e traçá-lo na posição inicial (DC1). 3. Com centro em D e raio DC1 traçar um arco com ângulo ϕ12 , determinando o ponto C2. DC2 indica o elemento de saída na sua posição final. 4. Com A como centro e AC2 como raio, traçar um arco de círculo localizando o ponto C2’, tal que ∠ C2AC2’ = - θ12 (ou seja, θ12 traçado no sentido contrário ao de rotação proposto para o elemento de entrada). 5. Traçar por A uma reta X qualquer. 6. Traçar a mediatriz Y à corda C1C2’. Esta mediatriz corta a reta X em B1. 7. Unir A, B1, C1, D e colocar pares de rotação nestes pontos, identificando a posição inicial do mecanismo procurado. Como exemplo de aplicação do método adote-se os seguintes dados: O elemento de entrada deve girar no sentido anti-horário de um ângulo de 50o, fazendo o elemento de saída girar no sentido horário de um ângulo de 30o. Admitir um chassi de 40mm. Isso localiza os pares A e D. A D C1 C2 B1 x y C2' ϕ12 -θ12
  23. 23. Figura 3.9 – Método da inversão: síntese do quadrilátero articulado Para duas posições b) biela manivela Para aplicar o método à síntese do biela manivela, admite-se que a corrediça deve apresentar uma excentricidade “e” e o mecanismo deve propiciar um deslocamento s12 da corrediça, enquanto a manivela gira de um ângulo θ12. 1. Traçar duas linhas paralelas q1e q2 distantes “e” entre si. 2. Posicionar arbitrariamente sobre uma destas linhas o centro de rotação A da manivela. 3. Posicionar arbitrariamente o ponto C1 sobre a outra linha. 4. Localizar C2 a partir de C1 tal que C1C2 =s12. 5. Localizar C2’ fazendo o ponto C2 girar ao redor de A do ângulo -θ12 (ângulo de giro da manivela no sentido oposto ao de rotação). 6. Unir C1 e C2’ e traçar a mediatriz y a esta linha. 7. Por A traçar uma reta x qualquer. No cruzamento de x e y marcar B1. 8. Unir A, B1e C1, colocando pares de rotação nesses pontos e uma corrediça em C1, que deslizará na guia coincidente com a paralela que contém C1. Como exemplo, considere-se uma excentricidade e = 8 mm, um deslocamento da corrediça de 20 mm para a direita, afastando-se do centro fixo, para uma rotação do elemento de entrada de 40o no sentido horário. A x y B1 Figura 3.10 – Método da Inversão: síntese do biela manivela para duas posições 3.2.2 - Síntese para três posições usando o método da inversão a) quadrilátero articulado C2' C1 C2 q1 q2 e −θ12
  24. 24. Na síntese de duas posições são feitas várias escolhas relativas à posição inicial da barra de saída, seu comprimento, a localização do ponto fixo A e a posição inicial da barra de entrada. Para sintetizar um mecanismo de quatro barras para três posições o método da inversão pode utilizar a escolha da posição inicial da barra de entrada ou a posição inicial da barra de saída. Para mostrar a aplicação do método de síntese de três posições através da inversão, admitir-se-á que o elemento de entrada gira no sentido horário, enquanto o elemento de saída gira no sentido anti-horário. 1. Escolher um comprimento arbitrário para o chassi, determinando A e D. 2. Escolher um comprimento adequado para o elemento de saída e traçá-lo na posição inicial DC1. 3. Determinar as posições 2 e 3 do elemento de saída, fazendo-o girar, a partir da posição inicial, dos ângulos ϕ12 e ϕ13, respectivamente. Localiza-se, assim os pontos C2 e C3. 4. Unir os pontos C2 e A pelo segmento AC2 e girá-lo em torno de A de um ângulo θ12 no sentido contrário ao de rotação proposto para o elemento de entrada, obtendo-se o ponto C2’. 5. Unir os pontos C3 e A pelo segmento AC3 e girá-lo em torno de A de um ângulo θ13 no sentido contrário ao de rotação proposto para o elemento de entrada, obtendo-se o ponto C3’. 6. Unir os pontos C1 e C2’ e os pontos C1 e C3’. 7. Traçar as mediatrizes XX’e YY’das cordas C1C2’ e C1C3’, respectivamente. 6. O ponto de intersecção das duas mediatrizes determina o ponto B1. 7. Unir A,B1,C1,D colocando pares de rotação nesses pontos. O quadrilátero articulado então obtido satisfaz as exigências de projeto. A solução poderia também ser obtida selecionando um comprimento adequado para o elemento de entrada e trabalhando com o setor de entrada para obter o ponto C1. Existem infinitas soluções que podem atender as três posições estabelecidas. Deve ser examinada a existência de pontos mortos ou posições limites no intervalo de interesse e examinados também os valores limites do ângulo de transmissão. A seguir é apresentado um exemplo de emprego do método. Dados: para o elemento de entrada: θ12 = 60o e θ13 = 80o ambos no sentido horário. Para o elemento de saída: ϕ12 = 40o e ϕ13 = 60o ambos no sentido anti-horário. Admitir o chassi com 50 mm e o elemento de saída com 40 mm. Utilizando a metodologia descrita, apresenta-se na figura 3.11 uma possível solução para o problema proposto.
  25. 25. C1 C2 y x C3 C3' C2' B1 A D Figura 3.11 – Método da inversão: síntese do quadrilátero articulado para três posições b) biela manivela Para aplicar o método, admitir-se-á que o elemento de entrada deve girar dos ângulos θ12 e θ13 num determinado sentido e a corrediça deve movimentar-se com os deslocamentos s12 e s13. 1. Traçar duas linhas paralelas q1e q2 distantes “e” entre si (excentricidade). 2. Escolher arbitrariamente a posição do ponto fixo A sobre uma das paralelas. 4. Posicionar arbitrariamente o ponto C1 sobre a segunda paralela (aquela que não contém A). Medir sobre essa paralela, a partir de C1, as distâncias C1C2 = s12 e C1C3 = s13 no sentido proposto para deslocamento da corrediça. 5. Unir A a C2 e A a C3. Determinar, então, os pontos C2’ e C3’ fazendo AC2 girar de um ângulo -θ12 (ângulo de giro de sentido contrário à rotação do elemento de entrada para passar da posição 1 à posição 2) e AC3 girar de um ângulo -θ13 (ângulo de giro de sentido contrário à rotação do elemento de entrada para passar da posição 1 à posição 3). 6. Traçar as cordas C1C2’ e C1C3’ e as mediatrizes X e Y a estas cordas. As mediatrizes X e Y cortam-se no ponto B1. 7. Unir A,B1,C1. Colocar pares de rotação em A,B1 e C1 e uma corrediça em C1 com eixo de translação sobre a paralela. O mecanismo obtido atende as condições de movimento estabelecidas. Existem, também neste caso, infinitas soluções. Para exemplificar o emprego do método, admita-se estabelecidos os seguintes dados: excentricidade = 12 mm, com a corrediça deslocando-se acima do centro de rotação da manivela; a corrediça deve aproximar-se do centro de rotação da manivela, pela direita, com os seguintes deslocamentos: s12 = 15 mm e s13 = 25 mm, enquanto, respectivamente, esta gira de θ12 = 45o e θ13 = 75o no sentido anti-horário.
  26. 26. A B1 C1 q1 q2 C3 C2 C2' C3' x y -θ13 -θ12 Figura 3.12 - Método da inversão: síntese do mecanismo biela manivela para três posições 3.3 MÉTODO DA SOBREPOSIÇÃO O método da sobreposição é um método particular que exige o traçado em duas folhas separadas. Numa delas traça-se um setor do mecanismo e na outra um segundo setor. A seguir, faz-se uma das folhas deslizar sobre a outra, até encontrar-se uma solução satisfatória. A seguir apresentam-se dois exemplos: um para o quadrilátero articulado e outro para o biela manivela, objetivando explicitar o método. 3.3.1 Síntese do quadrilátero articulado usando o método da sobreposição Admite-se estabelecidas as condições de rotação para o elemento de entrada e as correspondentes rotações para o elemento de saída. Escolhe-se um comprimento para o elemento de saída e, a partir de um ponto D (par de ligação entre o chassi e o elemento de saída) traça-se-o em todas as posições angulares requeridas, numa primeira folha de papel. A seguir adota-se um comprimento adequado para o acoplador e, na mesma folha, com raio igual ao comprimento escolhido para o acoplador e centro nas extremidades móveis do elemento de saída (pontos Ci) traçam-se circunferências que determinam o lugar geométrico dos pares de ligação entre o acoplador e o elemento de entrada (pontos Bi), construindo-se, assim, um setor para o mecanismo. Numa segunda folha de papel, a partir de um ponto A (par de ligação entre o chassi e o elemento de entrada) constrói-se o segundo setor do mecanismo, traçando-se segmentos de retas defasados entre si dos ângulos de rotação previstos para o elemento de entrada. Então, com centro em A e diversos raios, traçam-se arcos de circunferência que cortem todos os segmentos de reta. Estes arcos determinam, sobre os segmentos de reta, iguais comprimentos a
  27. 27. partir de A, identificando os possíveis lugares geométricos dos pares de rotação entre o elemento de entrada e o acoplador (pontos Bi). Desliza-se uma folha sobre a outra até fazer-se coincidir os correspondentes lugares geométricos de Bi, ou seja, B1 da circunferência com B1 do arco, B2 da circunferência com B2 do arco, e assim por diante, até coincidir-se todas as posições previstas. Podem ser obtidas diversas soluções. O número destas possíveis soluções será tanto maior quanto mais arcos forem traçados no segundo setor, ou seja, quanto menor for o incremento dado para os possíveis comprimentos do elemento de entrada. O método permite encontrar soluções para até 9 pontos de precisão. Entretanto, quanto maior o número de pontos de precisão, tanto mais difícil torna-se encontrar uma solução. Torna-se mais fácil encontrar uma possível solução se os valores dos deslocamentos angulares previstos para o elemento de entrada puderem apresentar uma pequena variação, ou seja, não fazer-se coincidir exatamente numa dada rotação, mas numa rotação bastante próxima a ela. Nas figuras 3.13 e 3.14 a seguir apresenta-se um exemplo para a construção dos dois setores que seriam empregados para obter um quadrilátero articulado que atenda as seguintes especificações de movimento: - para o elemento de saída: ϕ12 = 20o, ϕ13 = 35o, ϕ14 = 53o, ambos no sentido horário; - para o elemento de entrada: θ12 = 35o, θ13 = 65o, θ14 = 90o, ambos no sentido horário. Adotou-se para o elemento de saída um comprimento de 22mm e para o elemento acoplador um comprimento de 17,5 mm. Construídos os dois setores, como mostrado nas figuras, deslocando-se uma sobre a outra obtém-se soluções para o problema apresentado. C3 C4 D C1 C2 lugar geométrico de B1 lugar geométrico de B2 lugar geométrico de B3 lugar geométrico de B4 Figura 3.13 – Método da sobreposição – quadrilátero articulado: primeiro setor: elemento de saída e acoplador
  28. 28. lugar geométrico de B1 lugar geométrico de B2 A lugar geométrico de B3 lugar geométrico de B4 Figura 3.14 – Método da sobreposição –quadrilátero articulado: Segundo setor: elemento de entrada 3.3.2 Síntese do biela manivela usando o método da sobreposição Para a síntese do mecanismo biela manivela o processo é semelhante ao quadrilátero articulado. Estabelecidos os deslocamentos para a corrediça (linear) e para a manivela (angular), procede-se do seguinte modo. A partir de um segmento de reta que representa a guia por onde a corrediça irá transladar, situa-se a corrediça nas suas várias posições propostas. A seguir, com o comprimento arbitrado para a biela como raio e centro nas diversas posições estabelecidas para a corrediça, traçam-se circunferências que representarão o lugar geométrico do par de ligação entre a biela e o elemento de entrada. Isto estabelece o primeiro setor. Em outra folha, a partir de um ponto (par A de ligação entre o chassi e o elemento acionador), traçam-se segmentos de reta defasados entre si dos ângulos de rotação propostos para a manivela. Então, com centro em A e diversos raios, traçam-se arcos que cortarão todos os segmentos de reta. Isto forma o segundo setor. Deslizando-se uma folha sobre a outra, pode-se encontrar soluções para o problema proposto. Como exemplo, admita-se estabelecidos os seguintes deslocamentos para a esquerda da corrediça: s12 = 14 mm; s13 = 24 mm; s14 = 32 mm. Para o elemento de entrada: θ12 = 35o, θ13 = 65o, θ14 = 90o, ambos no sentido horário. Adotou-se um comprimento de 40 mm para a biela. A partir das condições de movimento estabelecidas, faz-se a construção de cada um dos setores e, a seguir, desliza-se um sobre o outro até encontrar uma solução adequada. As observações feitas para o quadrilátero articulado quanto ao número de posições possíveis e quanto a “flexibilização” dos pontos de cruzamento aplicam-se para o biela manivela.
  29. 29. C4 C3 C2 C1 lugar geométrico de B1 lugar geométrico de B2 lugar geométrico de B3 lugar geométrico de B4 Figura 3.15 – Método da sobreposição – biela manivela: primeiro setor: Corrediça e biela lugar geométrico de B1 lugar geométrico de B2 A lugar geométrico de B3 lugar geométrico de B4 Figura 3.16 – Método da sobreposição – biela manivela: segundo setor: manivela (elemento de entrada)

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