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Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
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EMENTA 
Desenvolvimento e aplicação ...
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
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 Movimentos curvilíneos MCU e MCUV ...
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(b) α = 2 rad/s2; t = 3 s; ; Pontos ...
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  D a   D A  v 
    
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 2 2 2 AC  0.35  0.2  0.2  AC...
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2 2 2 2 
2 0.2 0.1 0.2236 R R N T R ...
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2 A A       t  ...
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2.293 ˆ 2.2932 ˆ 1.599 ˆ C 
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   eˆ 15 0.8165 iˆ 0.40...
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22. A h...
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
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2.4 0.8 
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5 c c c 
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
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2 2 8.667 3.33 
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2 2.67 A A ...
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
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2. O movimento de um corpo é dado p...
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
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ˆEA   n 
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0.4 ˆ 0.4 ˆ 0.2 ˆ 9...
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A 
A A A A A A 
A 
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cos ˆ ˆ A r OA  r    i  r  s...
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A engrenagem B está girando no sent...
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Movimento de um corpo decomposto em...
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 Exemplos resolvidos 
1. A engrena...
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  1. 1. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 1 EMENTA Desenvolvimento e aplicação das equações vetoriais que relacionam as várias grandezas cinemáticas envolvidas no estudo dos movimentos de sólidos. Classificação dos movimentos do sólido. Aplicação dos princípios e equações cinemáticas nos movimentos de dispositivos compostos por vários sólidos e vínculos. OBJETIVOS GERAIS  Desenvolver no aluno uma visão factível da mecânica, criando no mesmo uma "intuição" correta dos fenômenos mecânicos.  Capacitar o estudante de engenharia a entender e resolver problemas que envolvam a cinemática dos sólidos e dispositivos, que são comuns no exercício da profissão de engenheiro. OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Estabelecer os conceitos básicos sobre Cinemática do Sólido. Preparar os alunos para entender os dispositivos mecânicos comuns à vida do Engenheiro.  Fornecer ferramentas aos estudantes para entender e acompanhar em bom nível as disciplinas específicas do curso, em especial aquelas ligadas à cinemática de dispositivos, vibrações e outras.  CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. Cinemática da Partícula; (a) Vetor Posição; (b) Vetor Velocidade; (c) Vetor Aceleração; i. aceleração tangencial; ii. aceleração normal; 2. Cinemática do Sólido; (a) Classificação dos Movimentos; (b) Movimento de Translação; i. equações vetoriais de velocidade e aceleração; (c) Movimento Plano; (d) Rotação com Eixo Fixo; i. equações vetoriais de velocidade e aceleração; (e) Movimento Plano em geral; i. equações vetoriais de velocidade e aceleração; (f) Centro Instantâneo de Rotação; (g) Movimento Geral;  BIBLIOGRAFIA Básica BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São Paulo: Makron, 1994. HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. 8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004. KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de Janeiro: LTC,2004. FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica Geral.Edgar Blucher, 2005. GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003 KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros. Edgar Blucher, 2000. SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica. Addison Wesley, 2008. Cinemática dos Sólidos,Unip, Versão 2, 2009.  Vetor Posição: r  x iˆ  y  ˆj  z kˆ   Vetor velocidade média m v  : m r v t       Vetor Velocidade instantânea: dr v dt     Vetor aceleração média: m v a t       Vetor Aceleração instantânea: dv a dt     Aplicação: Lançamento Oblíquo:  Eixo x: MU: 0 0x x  x  v  t  Eixo y: MUV: 2 0 0 2 y t y  y  v  t  g  0y y v  v  g  t  Decomposição da velocidade inicial 0 v  : 0 0 0 0 cos x y v  v   v  v  sen  Tempo de subida: 0y s v t g   Alcance:   2 0 2 m v x sen g    Altura máxima: 0 2 2 y v h g 
  2. 2. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 2  Movimentos curvilíneos MCU e MCUV MCU R N a  a   MCUV R N T a  a  a    e N v a   perpendiculares Função angular horária  t    0  t    t   2 0 0 1 2  t    t    t Velocidade angular  t   t   cte   0  t    t 2 2 0    2  Velocidade linear v t  v   r Aceleração angular  t   t   0  t   cte Aceleração resultante R cp a  a 2 2 R cp T a  a  a Aceleração tangencial 0 T a  T T dv a a r dt     Aceleração centrípeta e Força centrípeta 2 2 cp cp cp v a a R F m a R        Cinemática dos Corpos Rígidos Movimentos:  Translação.  Rotação sobre um eixo fixo.  Movimento Geral sobre um plano  Movimento sobre um ponto fixo  Movimento Geral qualquer.  Translação B A BA r  r  r    B A v  v   B A a  a    Rotação sobre um eixo fixo 0 1rev  2 rad 360
  3. 3. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 3 dr v dt    ds v s BP BP r sen dt         d v r sen dt      v  r   sen Velocidade angular:    kˆ   Como o ângulo entre r  e   é , lembrando da propriedade do módulo do produto vetorial:  r  r   sen  r   sen  v    v  r      dv d d dr a a r r dt dt dt dt                    d a r v dt           Aceleração angular: d dt        kˆ  kˆ   kˆ      a  r   r         Rotação de uma placa em torno de um eixo fixo: Sendo   kˆ  ˆ v  r v  k r      Como kˆ  r v  r   a  r   r        a   kˆr   kˆ  kˆr       a   kˆr 2  kˆ kˆr    kˆkˆr   u v w  u wv u v w          kˆkˆr   kˆ  r kˆ kˆ kˆr    kˆkˆr   r   a  kˆr 2  r     Aceleração tangencial: ˆ T T a  k r a   r    Aceleração normal 2 2 N N a    r a   r   Resumo: Rotação com eixo fixo: 1. Todos os pontos apresentam trajetórias circulares. 2. Todos os pontos apresentam a mesma velocidade angular, e esta tem a direção do eixo de rotação: ˆ ˆ d e e dt          A direção do vetor velocidade angular é ortogonal ao plano formadopelo movimento do ponto P, possui a direção do eixo de rotação do sólido. O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita: o ponto P, deslocando-se no sentido anti-horário, acompanha-se o sentido do movimento de P ao longo de sua trajetória circular, com os quatro dedos da mão direita; com exceção do polegar que indicará seu sentido, apontando para o ponto A. 3. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração angular, e esta tem a direção do eixo de rotação: ˆ ˆ d e e dt          4. O vetor velocidade instantânea no ponto P é dado por: P P P dr v v r r P A dt              5. O vetor aceleração do ponto P é dado por: dv a v a dt           P P a  r    r       a  P A  P A      Exemplos Resolvidos 1. Ache os vetores velocidade e a aceleração dos pontos 1.1 Os discos indicados para cada caso, em cada instante de tempo. O disco parte do repouso em t = 0s. (a) α = 2 rad/s2; =4rad/s, t = 3 s; Pontos A e B. B
  4. 4. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 4 (b) α = 2 rad/s2; t = 3 s; ; Pontos A e B, C e D.  Ponto B: 0.2 cos30 ˆ 0.2 30 ˆ B r    i   sen  j  0.173 ˆ 0.1 ˆ B r   i   j  2 2 ˆ rad k s           0 0 2 3 6 rad t s           6 ˆ rad k s           6 ˆ 0.173 ˆ 0.1 ˆ B B B v  r v   k   i   j           ˆ ˆ 6 0.173 ˆ ˆ 6 0.1 ˆ ˆ B j i v k i k j           0.6 ˆ 1.038 ˆ B m v i j s             B BT BN a  a  a     B B B a  r  v      BT B a  r    2 ˆ 0.173 ˆ 0.1 ˆ BT a   k   i   j        ˆ ˆ 2 0.173 ˆ ˆ 2 0.1 ˆ ˆ BT j i a k i k j           2 0.2 ˆ 0.346 ˆ BT m a i j s             BN B a  v    6 ˆ  0.6 ˆ 1.038 ˆ BN a   k    i   j         ˆ ˆ 6 0.6 ˆ ˆ 6 1.038 ˆ ˆ BT j i a k i k j            2 0.828 ˆ 3.6 ˆ BN m a i j s             0.2 ˆ 0.346 ˆ 0.828 ˆ 3.6 ˆ BT BN B a a a    i   j    i   j      2 1.028 ˆ 3.254 ˆ B m a i j s             1.2 O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular  = 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2. No instante ilustrado, o ponto E está descendo. Pedem-se: (a) o vetor velocidade angular. (b) o vetor aceleração angular. (c) a velocidade do ponto D. Pontos x y z (x,y,z) A 0 0.203 0 (0,0.203,0) B 0 0 0.152 (0,0,0.152) D 0.178 0 0 (0.178,0,0) BA  A BBA  0,0.203,00,0,0.152   BA  0,0.203,0.152  BA  0 iˆ  0.203 ˆj 0.152kˆ   2 2 2 BA  0  0.203  0.152  BA  0.254   0 ˆ 0.203 ˆ 0.152 ˆ ˆ ˆ 0.254 0.254 0.254 BA e e i j k BA        eˆ  0 iˆ  0.8 ˆj 0.599 kˆ   eˆ  5 0 iˆ  0.8 ˆj 0.599 kˆ     0 iˆ  4 ˆj  2.977 kˆrad s    eˆ  4 0 iˆ  0.8 ˆj 0.599 kˆ     0 iˆ 3.202 ˆj  2.397 kˆ rad s2       0 iˆ  4 ˆj  2.977 kˆrad s  AD  D A AD  0.178,0,00,0.203,0   AD  0.178,0.203,0  AD  0.178 iˆ 0.203 ˆj 0 kˆ  v   AD    v  0 iˆ  4 ˆj  2.977 kˆ0.178 iˆ 0.203 ˆj  0 kˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 4 2.977 0 4 0.178 0.203 0 0.178 0.203 i j k i j v     0.608 ˆ 0.533 ˆ 0.712 ˆ m v i j k s               z x y B A C 0.203 m 0.152 m 0.178 m D E 30° B C D 45° 60°
  5. 5. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 5   D a   D A  v       ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 3.202 2.397 0 3.202 0.178 0.203 0 0.178 0.203 i j k i j   D A       D A  0.487 iˆ 0.427 ˆj 0570 kˆ    D DA v D r   D A  v                     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 4.002 2.997 0 4.002 0.608 0.533 0.712 0.608 0.533 i j k i j  v           v  4.447 iˆ 1.822 ˆj  2.433 kˆ     D a   D A  v     0.487 ˆ 0.427 ˆ 0 570 ˆ 4.447 ˆ 1.822 ˆ 2.433 ˆ a i j k i j k                 2 4.934 ˆ 1.395 ˆ 3.003 ˆ m a i j k s               2. No problema anterior, determine a velocidade e a aceleração no vértice D, supor que a velocidade angular é  = 5 rad/s e aumenta à razão de 20 rad/s2.   0 iˆ  4 ˆj  2.977 kˆrad s    eˆ  20 0 iˆ  0.8 ˆj 0.599 kˆ     0 iˆ 16 ˆj 11.98 kˆ rad s2     v  0 iˆ  4 ˆj  2.977 kˆ0.178 iˆ 0.203 ˆj  0 kˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 4 2.977 0 4 0.178 0.203 0 0.178 0.203 i j k i j v     0.608 ˆ 0.533 ˆ 0.712 ˆ m v i j k s               AD  0.178 iˆ 0.203 ˆj 0 kˆ  v   AD    v  0 iˆ  4 ˆj  2.977 kˆ0.178 iˆ 0.203 ˆj  0 kˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 4 2.977 0 4 0.178 0.203 0 0.178 0.203 i j k i j v     0.608 ˆ 0.533 ˆ 0 712 ˆ m v i j k s                  D D a   D A  v       ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 16 11.98 0 16 0.178 0.203 0 0.178 0.203 i j k i j   D A       D A  2.4319 iˆ  2.13244 ˆj  2.848 kˆ     D     D A  v     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 4.002 2.997 0 4.002 0.608 0.533 0.712 0.608 0.533 i j k i j  v           v  4.447 iˆ 1.822 ˆj  2.433 kˆ     D a   D A  v     2.4319 ˆ 2.13244 ˆ 2.848 ˆ 4.447 ˆ 1.822 ˆ 2.433 ˆ a i j k i j k                2 6.8789 ˆ 0.31044 ˆ 0.415 ˆ m a i j k s               3. A peça rígida mostrada na figura consiste de um eixo ABC soldado a uma placa retangular DEFH. O conjunto gira uniformemente a uma velocidade angular de 9 rad/s, em torno do eixo ABC. Sabendo que o movimento quando visto de C é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do vértice F. Pontos P x y z P(x,y,z) A 0 0.1 0 (0,0.1,0) B 0.175 0 0.1 (0.175,0,0.1) C 0.35 -0.1 0.2 (0.35,-0.1,0.2) D 0.35 0 0 (0.35,0,0) F 0 0 0.2 (0,0,0.2) AC  C  A AC  0.35,0.1,0.20,0.1,0   AC  0.35,0.2,0.2  AC  0.35 iˆ 0.2 ˆj  0.2 kˆ 
  6. 6. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 6  2 2 2 AC  0.35  0.2  0.2  AC  0.45   0.35 ˆ 0.2 ˆ 0.2 ˆ ˆ ˆ 0.45 0.45 0.45 AC e e i j k AC        eˆ  0.778 iˆ 0.444 ˆj  0.444kˆ   eˆ  9 0.778 iˆ 0.444 ˆj  0.444 kˆ     7.002 iˆ 3.996 ˆj 3.996 kˆrad s  AF  F  A AF  0,0,0.20,0.1,0   AF  0,0.1,0.2  ˆ AF  0 iˆ 0.1 ˆj  0.2 k  F v   AF    v  7.002iˆ 3.996 ˆj 3.996 kˆ0 iˆ 0.1 ˆj  0.2 kˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 7.002 3.996 3.996 7.002 3.996 0 0.1 0.2 0 0.1 i j k i j v       0.3996 ˆ 1.4 ˆ 0 7 ˆ F m v i j k s                  F a   F  A  v       0    F  A  0      F     F  A  v     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 7.002 3.996 3.996 7.002 3.996 0.3996 1.4 0.7 0.3996 1.4 F i j k i j  v           8.39 ˆ 3.304 ˆ 11.399 ˆ F  v   i   j  k     0 F F a   F  A  v       2 8.39 ˆ 3.304 ˆ 11.399 ˆ m a i j k s              4. No problema anterior, use  = 9 rad/s e decresce à razão de 13.5 rad/s2, encontre a velocidade e aceleração do vértice H. 5. Sabe-se que a força de atrito estática entre o bloquinho B e a placa será vencida e o bloco deslizará quando sua aceleração alcançar 3 m/s2. Se a placa parte do repouso em t = 0 s e acelera uniformemente à razão de 4 rad/s2, determine o instante t e a velocidade angular da placa quando o bloco começar a escorregar; r = 200 mm. 2 2 2 3 R N T R m a a a a s     2 4 0.2 0.8 T T T m a r a a s        2 2 2 2 2 3 9 0.8 2.891 N T N N m a a a a s        2 2.891 3.801 0.2 N N a rad a r r s         0     t 3.801 3.801 0 4 0.95 4    t t  st  s 6. O bloquinho B repousa sobre a placa horizontal que gira em torno de um eixo fixo. A placa parte do repouso em t = 0 e acelera à razão constante de 0.5 rad/s2. Sabendo-se que r = 200 mm, determinar o módulo da aceleração total do bloco quando: (a) t = 0 s. (b) t = 1 s e (c) t = 2 s. 2 2 R N T a  a  a 2 0.5 0.2 0.1 T T T m a r a a s        0   0rad s 2 0 0 0 N N t  a   ra  2 0.1 R T R m a a a s    t 1 0 0 0.5 1 0.5 rad t s           2 2 2 1 0.5 0.2 0.05 N N N rad t a r a a s          2 0.1 T T m a r a s     2 2 2 2 2 0.05 0.1 0.118 R R N T R R m a a a a a a s         0 0.1 2 63.43 0.05 T N a tg tg arctg a          t  2 2 0.1 T T m a r a s     0 0 0.5 2 1 rad t s           2 2 2 2 1 0.2 0.2 N N N rad t a r a a s          B A  α N a  R a  T a  
  7. 7. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 7 2 2 2 2 2 0.2 0.1 0.2236 R R N T R R m a a a a a a s         0 0.1 1 26.56 0.2 2 T N a tg tg arctg a                 7. A peça rígida mostrada na figura consiste de um eixo AB soldado a uma placa retangular DEBC. O conjunto gira uniformemente a uma velocidade angular constante de 10 rad/s, em torno do eixo AB. Sabendo que o movimento quando visto de B é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do vértice E. Pontos P x y z P(x,y,z) A 0 0.225 0 (0,0.225,0) B 0.5 0 0.3 (0.5,0,0.3) C 0 0 0.3 (0,0,0.3) D 0 0 0 (0,0,0) E 0.5 0 0 (0.5,0,0) AB  B  A AB  0.5,0,0.30,0.225,0   AB  0.5,0.225,0.3  AB  0.5 iˆ 0.225 ˆj  0.3 kˆ   2 2 2 AB  0.5  0.225  0.3  AB  0.625m   0.5 ˆ 0.225 ˆ 0.3 ˆ ˆ ˆ 0.625 0.625 0.625 AB e e i j k AB        eˆ  0.8 iˆ 0.36 ˆj  0.48kˆ   eˆ 10 0.8 iˆ 0.36 ˆj  0.48 kˆ     8 iˆ 3.6 ˆj  4.8 kˆrad s  BE  E  BBE  0.5,0,00.5,0,0.3   BE  0,0,0.3  BE  0 iˆ  0 ˆj 0.3kˆ  E v  BE    v  8iˆ 3.6 ˆj  4.8 kˆ0iˆ  0 ˆj 0.3 kˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 8 3.6 4.8 8 3.6 0 0 0.3 0 0 i j k i j v      1.08 ˆ 2.4 ˆ 0 ˆ E m v i j k s              a  E  B  E  B       0    F  A  0      E     E  B  v     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 8 3.6 4.8 8 3.6 1.08 2.4 0 1.08 2.4 E i j k i j  v      11.52 ˆ 5.184 ˆ 23.088 ˆ E  v   i   j   k        0 E E v a   E  B     E  B         2 11.52 ˆ 5.184 ˆ 23.088 ˆ E m a i j k s               8. Atividade 1: Encontre a velocidade e a aceleração do ponto C considerando que a velocidade angular é 10 rad/s e decresce a taxa de 20 rad/s2. 9. O rotor de um motor elétrico tem freqüência de 1800 rpm quando é desligado. O rotor pára após executar 625 voltas. Supondo movimento uniformemente retardado, pedem-se: (a) a aceleração angular do rotor. (b) o tempo total do movimento. 1800 1800 30 60 f  rpm f  Hz f  Hz 0 0 0  188.5 2 2 30 60 rad f s            3926.99   2 n  2 625 1250 rad N a  R a  T a  
  8. 8. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 8  2 2 2 0 0 0 2 2                   2 2 2 4.524 60 3600 1.44 2 1250 2500 rad s                       0 188.5 0 188.5 4.524 41.67 4.524     t     t t  t  s 10. Atividade 1: Suponha que um rotor de um motor execute 2400 rpm em 4 s quando ligado e quando o rotor é desligado ele retorna ao repouso em 40 s. Assumindo que a aceleração do movimento é uniforme, determine o número de voltas dado pelo rotor: (a) quando é ligado até atingir 2400 rpm. (b) estando em 2400 rpm, até parar. 11. Na figura, o disco B inicialmente em repouso, é posto em contato com o disco A que gira inicialmente no sentido horário com freqüência 450 rpm. Após o contato, ocorre escorregamento com as superfícies, durante 6 s e durante os quais, os discos apresentam acelerações angulares diferentes, mas ambas constantes. Ao término do escorregamento, o disco A apresenta freqüência constante de 140 rpm. Pedem-se: (a) as acelerações angulares de cada disco. (b) a velocidade final do ponto de contato. Determinando a freqüência angular inicial e final do disco A: 0 0 0 0 450 2 2 47.12 60 A A A A rad f s           140 2 2 14.66 60 Af Af Af Af rad f s           Disco A: MCUVR: desacelera de 450 rpm a 140 rpm. Depois fica com MCU a 140 rpm:  MCUVR: 2 14.66 47.12 14.66 47.12 6 5.41 6 A A A rad s              MCU: 14.66 0.08 1.17 PA Af A PA PA m v r v v s        Disco B possui os movimentos: 1. Parte do repouso e acelera uniformemente por 6 s. MCUVA. 2. Mantem movimento uniforme. MCU.  MCU: Neste segundo movimento, as velocidades tangenciais de B e A serão iguais: 1.17 PA PB PB m v v v s     MCUVA: 1.17 1.17 0.12 0.12 PB Bf B Bf Bf v   r      9.75 Bf rad s   Ou seja, parte do repouso e atinge essa velocidade angular Bf  em 6 s: 0 0 f f B B B B B B t t             2 9.75 0 1.63 6 B B rad s       12. Na polia dupla, ligadas por fios inextensíveis, suspensos pelos blocos A e B, os fios não escorregam sobre a polia. O bloco A parte no instante t = 0 s, com aceleração constante aA = 300 mm/s2 e velocidade inicial vA = 240 mm/s, ambas de baixo para cima. Determine: (a) o número de revoluções executadas pela polia em t = 3 s. (b) a velocidade e a posição de B em 3 s. (c) a aceleração do ponto D da polia em t = 0.  Polia menor: 0.3 0.12 A A T T A A A A A a a r r       2 2.5 A rad s   0 0 0 0 0 0.24 0.12 A A A A A A A v v r r       0 2.0 A rad s   2 0 0 1 2 A A     t    t 2 0 0 1 2 A A       t    t A 120 mm B 80 mm
  9. 9. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 9 2 0 0 1 2 A A       t    t 2 1 2 3 2.5 3 2       2.75 17.25 17.25 2  rad  rev        Polia maior: 0 0 2.0 A B rad s    2 2.5 A B rad s    0 2 2.5 3 B B B B     t    9.5 B rad s   9.5 0.18 1.71 B B B B B m v r v v s         2 0 0 1 2 B B       t    t 2 1 2 3 2.5 3 17.25 2        rad 17.25 0.18 3.10571 B B B B s    r s   s  m  Aceleração em D: 2 2.5 TD D B D A rad a r s      2.5 0.18 TD D B TD a   r a    2 0.45 TD m a s  2 0 2 ND D B D A rad a r s      2 2 2 0.18 0.72 ND ND m a a s     2 2 RD TD ND a  a  a 2 2 2 0.45 0.72 0.849 RD RD m a a s      0.45 0.72 D D T N a tg tg a        arctg0.625  32 13. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular  = 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2. No instante ilustrado, o ponto C está subindo. Pedem-se: (a) a velocidade no ponto C. (c) a aceleração do ponto C. Pontos x y z (x,y,z) A 0 0.56 0 (0,0.56,0) B 0 0 0.8 (0,0,0.8) C 0.56 0 0 (0.56,0,0) BA  A BBA  0,0.56,00,0,0.8   BA  0,0.56,0.8  BA  0 iˆ  0.56 ˆj 0.8kˆ   2 2 2 BA  0  0.56  0.8  BA  0.976   0 ˆ 0.56 ˆ 0.8 ˆ ˆ ˆ 0.976 0.976 0.976 BA e e i j k BA        eˆ  0 iˆ  0.573 ˆj 0.819kˆ Como o ponto C está subindo (horário):    eˆ  5 0 iˆ  0.573 ˆj 0.819 kˆ     0 iˆ  2.865 ˆj  4.095 kˆrad s    eˆ  4 0 iˆ  0.573 ˆj 0.819 kˆ     0 iˆ  2.292 ˆj 3.276 kˆ rad s2     AC  C  A AC  0.56,0,0 0,0.56,0   AC  0.56,0.56,0  AC  0.56 iˆ 0.56 ˆj  0 kˆ  C v   AC    0 ˆ 2.865 ˆ 4.095 ˆ 0.56 ˆ 0.56 ˆ 0 ˆ C v   i   j   k   i   j   k  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 2.865 4.095 0 2.865 0.56 0.56 0 0.56 0.56 C i j k i j v       TD a  ND a  D RD a   z x y B A C 0.56 m 0.80 m 0.56 m D E
  10. 10. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 10 2.293 ˆ 2.2932 ˆ 1.599 ˆ C m v i j k s              C C a   AC  v      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 2.292 3.276 0 2.292 0.56 0.56 0 0.56 0.56 i j k i j   AC          AC 1.8346 iˆ 1.8346 ˆj 1.2835kˆ   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 2.865 4.095 0 2.865 2.293 2.293 1.599 2.293 2.293 C i j k i j  v      13.97 ˆ 9.389 ˆ 6.569 ˆ C  v    i   j   k   C C a   AC  v      1.8346 ˆ 1.8346 ˆ 1.2835 ˆ 13.97 ˆ 9.389 ˆ 6.569 ˆ C a i j k i j k               2 12.1354 ˆ 11.2236 ˆ 7.8525 ˆ C m a i j k s               14. O conjunto ilustrado é constituído por um disco soldado a um eixo vertical e gira no sentido anti-horário a partir do repouso. A aceleração angular é constante e de valor α = 1 rad/s2. Um bloco apoia-se no disco a 0.35 m do eixo e não escorregará em relação ao mesmo até que sua aceleração total atinja 6.5 m/s2. Pedem-se: (a) a aceleração 1.0 s após o início do movimento do disco. (b) o instante que o bloco deslizará.    ˆj 1 ˆj   0 1 0   ˆj    t ˆj  1 t ˆj                       r  0.35 iˆ  v  r          ˆ 1 ˆ 0.35 ˆ 1 0.35 ˆ ˆ k v t j i v t j i              v  0.35 t kˆ    aT aN a  r  v        a  1 ˆj 0.35 iˆ1 t  ˆj 0.35 t  kˆ      ˆ ˆ 1 0.35 ˆ ˆ 0.35 ˆ ˆ k i a j i t t j k           a  0.35kˆ 0.35 t2  iˆa  0.35 t 2  iˆ0.35kˆ     a t 1  0.3512  iˆ 0.35 kˆ    2 1 0.35 ˆ 0.35 ˆ m a t i k s              0.35 ˆ 0.35 2 ˆ 2 2 T N a    k   t  i a  a  a     2 2 2 2 2 2 2 0.35 0.35 T N a  a  a a      t 2 4 6.5  0.12250.1225 t 4 42.250.1225  0.1225 t 4 4 42.1275 0.1225 42.1275 0.1225  t  t  4 t  343.897 t  4.31s 15. O sistema ilustrado é composto por duas rodas A e B de raios iguais a 30 mm, que giram em torno de eixos fixos e por um anel C, encaixado entre as mesmas. O anel tem raio interno 72 mm e raio externo 76 mm (espessura 4 mm). Não ocorre escorregamento entre as superfícies de contato. A roda superior A, gira com freqüência constante f = 400 rpm no sentido anti-horário. Pedem-se: (a) a velocidade do anel C; (b) a velocidade angular da roda inferior B. (c) as acelerações dos pontos das rodas em contato com o anel. 6.667 400 400 2 41.887 60 A A A A A rad f rpm f Hz f s          ext ext ext A A C A A C C C A C r v v r r r         30 41.887 16.534 76 C C rad s       int int int C B C B B C C B C B r v v r r r         y z B 0.35 m A x ˆj kˆ ˆi B A C x y z
  11. 11. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 11 72 16.534 39.682 30 B B rad s      2 ˆ 41.8872 0.03 ˆ NA A A NA a   r  ja    j   2 0 52.635 ˆ TA RA NA m a a a j s                  2 ˆ 39.6822 0.03 ˆ NB B B NB a   r   j a     j   2 0 47.239 ˆ TB RB NB m a a a j s                 16. Na figura estão representaas duas engrenagens A e B, com eixos fixos e com raios rA = 800 mm e rB = 384 mm, respectivamente. A engrenagem A parte do repouso, acelera uniformemente no sentido horário e atinge freqüência de rotação 120 rpm em 5 s, que matém daí por diante. Pedem-se: (a) a aceleração angular das engrenagens; (b) a velocidade angular final da engrenagem B; (c) a velocidade final do ponto pertencente à engrenagem B, que faz contato com a engrenage, A. (d) a aceleração do ponto citado no item anterior, nas mesmas condições.  0 2 120 0 120 60 A A A    f  rpm f  Hz  12.566 2 4 A A Af rad f s          0 12.566 0 5 Af A A A A t t                  2 2.51 A rad s     o negativo é devido ao sentido horário. A A B A A B B B A B r v v r r r         800 12.566 26.17 384 B B rad s      26.17 ˆ B rad k s            0 26.17 0 5 Bf B B B B t t                 2 5.236 B rad s    26.17 0.384 10.049 B B B B B m v r v v s        10.049 ˆ B m v j s          0 BT BR BN a  a  a     2 2 2 10.049 262.98 0.384 N N N B B B B B v m a a a r s      2 262.98 ˆ BN m a i s          ^ 17. O sistema ilustrado é formado por uma plca de dimensões 0.20 x 0. 40 m soldada ao eixo fixo AB; no instante ilustrado, o sistema gira em torno do eixo fixo com velocidade angular de 15 rad/s, que decresce a taxa de 7 rad/s2. Quando obsevada de um ponto B, a placa gira no sentido anti-horário. Para o instante ilustrado, pedem-se: (a) a velocidade do ponto C; (b) a aceleração do ponto C. Pontos x y z (x,y,z) A 0 0.1 0 (0,0.1,0) B 0.4 -0.1 0.2 (0.4,-0.1,0.2) C 0.4 0 0.2 (0.4,0,0.2) AB  B  A AB  0.4,0.1,0.20,0.1,0   AB  0.4,0.2,0.2  AB  0.4 iˆ 0.2 ˆj  0.2 kˆ   2 2 2 AB  0.4  0.2  0.2  AB  0.4899   0.4 ˆ 0.2 ˆ 0.2 ˆ ˆ ˆ 0.4899 0.4899 0.4899 AB e e i j k AB           eˆ  0.8165 iˆ 0.4082 ˆj 0.4082kˆ Anti-horário: y x
  12. 12. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 12    eˆ 15 0.8165 iˆ 0.4082 ˆj  0.4082 kˆ    12.2475 iˆ 6.123 ˆj  6.123kˆrad s    eˆ  7 12.2475 iˆ 6.123 ˆj  6.123 kˆ     85.7325 iˆ  42.861 ˆj  42.861 kˆ rad s2     AC  C  A AC  0.4,0,0.2 0,0.1,0   AC  0.4,0.1,0.2  AC  0.4 iˆ 0.1 ˆj  0.2 kˆ  C v   AC    12.2475 ˆ 6.123 ˆ 6.123 ˆ 0.4 ˆ 0.1 ˆ 0.2 ˆ C v  i   j   k   i   j   k  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123 0.4 0.1 0.2 0.4 0.1 C i j k i j v       0.61232 ˆ 0 ˆ 1.225 ˆ C m v i j k s               C C a   AC  v      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 85.7325 42.861 42.861 85.7325 42.861 0.4 0.1 0.2 0.4 0.1 i j k i j   AC           AC  4.2861 iˆ 0 ˆj 8.571 kˆ   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123 0.61232 0 1.225 0.61232 0 C i j k i j  v        7.5 ˆ 18.7534 ˆ 3.7492 ˆ C  v    i   j  k   C C a   AC  v      4.2861 ˆ 0 ˆ 8.571 ˆ 7.5 ˆ 18.7534 ˆ 3.7492 ˆ C a i j k i j k               2 3.2139 ˆ 18.7534 ˆ 12.3202 ˆ C m a i j k s               18. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular constante de  = 5 rad/s. No instante considerado o ponto C está descendo. Pedem-se: (a) o vetor velocidade angular. (b) a velocidade do ponto C na forma vetorial. (c) a aceleração do ponto C na forma vetorial. Pontos x y z (x,y,z) A 0 0.203 0 (0,0.203,0) B 0 0 0.152 (0,0,0.152) C 0.178 0.203 0 (0.178,0.203,0) D 0.178 0 0 (0.178,0,0) BA  A BBA  0,0.203,00,0,0.152   BA  0,0.203,0.152  BA  0 iˆ  0.203 ˆj 0.152kˆ   2 2 2 BA  0  0.203  0.152  BA  0.254   0 ˆ 0.203 ˆ 0.152 ˆ ˆ ˆ 0.254 0.254 0.254 BA e e i j k BA        eˆ  0 iˆ  0.8 ˆj 0.599 kˆ   eˆ  5 0 iˆ  0.8 ˆj 0.599 kˆ     0 iˆ  4 ˆj 3 kˆrad s    eˆ  0    AC  C  A AC  0.178,0.203,00,0.203,0   AC  0.178,0,0  AD  0.178 iˆ  0 ˆj  0 kˆ  v   AD    v  0 iˆ  4 ˆj 3kˆ0.178 iˆ  0 ˆj  0 kˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 4 3 0 4 0.178 0 0 0.178 0 i j k i j v   z x y B A C 0.203 m 0.152 m 0.178 m D E
  13. 13. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 13 0 ˆ 0.53 ˆ 0.71 ˆ m v i j k s                  C a   C  A    v       C  A  0   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 4.0 3 0 4.0 0 0.53 0.71 0 0.53 C i j k i j  v        4.43 ˆ 0 ˆ 0 ˆ C  v    i   j  k     C C a   C  A  v     0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 4.43 ˆ 0 ˆ 0 ˆ a i j k i j k               2 4.43 ˆ m a i s           19. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular constante de  = 5 rad/s. No instante ilustrado, o ponto C está descendo. Pedem-se: (a) o vetor velovidade angular. (b) a velocidade do ponto E na forma vetorial. (c) a aceleração do ponto E na forma vetorial. Pontos x y z (x,y,z) A 0 0.5 0 (0,0.5,0) B 0 0 0.5 (0,0,0.5) E 0.4 0.1 0 (0.4,0.1,0) BA  A BBA  0,0.5,00,0,0.5   BA  0,0.5,0.5  BA  0 iˆ  0.5 ˆj 0.5 kˆ   2 2 2 BA  0  0.5  0.5  BA  0.707   0 ˆ 0.5 ˆ 0.5 ˆ ˆ ˆ 0.707 0.707 0.707 BA e e i j k BA        eˆ  0 iˆ  0.707 ˆj 0.707 kˆ   eˆ  5 0 iˆ  0.707 ˆj 0.707 kˆ     0 iˆ 3.535 ˆj 3.535 kˆrad s    eˆ  0    AE  E  A AE  0.4,0.1,0 0,0.5,0   AC  0.4,0.4,0  AE  0.4 iˆ 0.4 ˆj  0 kˆ  E v   AE    0 ˆ 3.535 ˆ 3.535 ˆ 0.4 ˆ 0.4 ˆ 0 ˆ E v   i   j   k   i   j   k  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 3.535 3.535 0 3.535 0.4 0.4 0 0.4 0.4 E i j k i j v      1.414 ˆ 1.414 ˆ 1.414 ˆ E m v i j k s                 E E a   E  A  v      E  A  0   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 3.535 3.535 0 3.535 1.414 1.414 1.414 1.414 1.414 E i j k i j  v          10 ˆ 5 ˆ 5 ˆ C  v    i   j   k     E E a   E  A  v     0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 10 ˆ 5 ˆ 5 ˆ E a i j k i j k               2 10 ˆ 5 ˆ 5 ˆ E m a i j k s               20. Uma pedra de esmeril, de formato cilíndrico, com raio R = 0.45 m, gira com freqüência constante f0 = 1800 rpm; quando se desliga o motor elétrico do esmeril, a pedra gasta 10 s até parar; considerando movimento uniformemente variado, pedem-se: (a) a aceleração angular α da pedra; (b) a velocidade de um ponto P da borda da pedra quando a freqüência é 1800 rpm; (c) a aceleração de um ponto P da borda da pedra, quando a freqüência é 1800 rpm. z x y B A C 0.4 m 0.1 m G D 0.1 m 0.4 m 0.2m 0.2m D E F
  14. 14. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 14 30 0 0 1800 1800 2 188.5 60 rad f rpm f Hz f s          0 0 188.5 t t 10                 2 18.85 rad s     188.5 0.45 84.82 P P P m v r v v s        2 2 2 188.5 0.45 15989.1 PN PN PN m a r a a s        0 é cte PT a   PR PN PT PR PN a  a  a a  a      21. Dois discos de raios RB = 45 mm e RA = 20 mm estão em contato sem escorregar. O disco A(inferior) parte do repouso e acelera de forma uniforme com aceleração αA = 3 rad/s2. Para o instante em que a velocidade angular do disco A atinge valor A = 20 rad/s, pedem-se: (a) a aceleração angular do disco B. (b) a velocidade angular do disco B. (c) a velocidade de um ponto na borda do disco B. (d) a aceleração de um ponto na borda do disco B. Disco A: MCUVA: A A0 A     t  6.67 20 20 0 3 3    t t  s Disco B: A A B A A B B B A B R v v R R R         20 20 8.89 45 B B rad s      B B0 B     t  2 1.33 8.89 8.89 0 6.67 6.67 B B rad s      20 0.02 0.4 A A A A A B m v R v v v s         2 1.33 0.045 0.05985 BT B B BT BT m a R a a s        2 2 2 0.4 3.55 0.045 N N N B B B B B v m a a a R s      2 2 BR BN BT BR BN BT a  a  a a  a  a    2 2 2 3.55 0.05985 3.56 BR BR m a a s     22. O disco de raio R = 80 mm parte do repouso e acelera de maneira uniforme, atingindo a velocidade angular  = 30 rad/s em 10 voltas. Pedem-se: (a) a aceleração angular do disco; (b) o tempo gasto nessas 10 voltas iniciais. Disco: MCUVA: 2 0 1 2    t    t  62.832   2 10  20 rad 2 2 2 2 0    2  30  0  2 62.831 2 2 30 7.16 2 62.831 rad s      0     t30  07.16 t z y R x A PB B PA 80 mm
  15. 15. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 15 30 4.19 7.16 t  t  s 22. A haste ABCD gira apoiada nas articulações A e D; no instante ilustrado, a velocidade angular da barra é 95 rad/s, que decresce à taxa de 380 rad/s2. E o ponto C está subindo. Pedem-se: (a) a velocidade do ponto B, para o instante ilustrado; (b) a aceleração do ponto B, no instante ilustrado. Pontos x y z (x,y,z) A 0 0.2 0.12 (0,0.2,0.12) B 0.3 0.2 0.12 (0.3,0.2,0.12) D 0.3 0 0 (0.3,0,0) DA  ADDA  0,0.2,0.120.3,0,0   DA  0.3,0.2,0.12  DA  0.3 iˆ  0.2 ˆj  0.12 kˆ   2 2 2 DA  0.3  0.2  0.12  DA  0.38   0.3 ˆ 0.2 ˆ 0.12 ˆ ˆ ˆ 0.38 0.38 0.38 DA e e i j k DA            eˆ  0.789 iˆ  0.5263 ˆj  0.3158 kˆ Anti-horário:    eˆ  95 0.789 iˆ  0.5263 ˆj  0.3158 kˆ     75 iˆ 50 ˆj 30 kˆrad s    eˆ  380 75 iˆ 50 ˆj 30 kˆ     28500 iˆ 19000 ˆj 11400kˆ rad s2     AB  B  A AB  0.3,0.2,0.120,0.2,0.12   AB  0.3,0,0  AB  0.3 iˆ  0 ˆj  0 kˆ  B v   AB     75 ˆ 50 ˆ 30 ˆ 0.3 ˆ 0 ˆ 0 ˆ B v   i   j   k   i   j   k  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 75 50 30 75 50 0.3 0 0 0.3 0 B i j k i j v    0 ˆ 9 ˆ 15 ˆ B m v i j k s              B B a   AB  v      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 28500 19000 11400 28500 19000 0.3 0 0 0.3 0 i j k i j   AB         AB  0 iˆ 3420 ˆj 5700kˆ   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 75 50 30 75 50 0 9 15 0 9 B i j k i j  v       1020 ˆ 1125 ˆ 675 ˆ B  v    i   j   k   B B a   AB  v      0 ˆ 3420 ˆ 5700 ˆ 1020 ˆ 1125 ˆ 675 ˆ B a i j k i j k               2 1020 ˆ 4545 ˆ 5025 ˆ B m a i j k s               23. O sistema de engrenagens ilustrado, deve suspender o bloco alçando-o por 6.10 m. A engrenagem A parte do repouso e, mantendo aceleração angular constante, atinge a freqüência de 120 rpm em 5 s, mantendo-se constante após atingí-la. Pedem-se: (a) o número de rotações da engrenagem; (b) o tempo gasto na operação.  Engrenagem A: A D z x 300 mm 200 mm C 120 mm B 76.2 381 76.2 457 Em mm B A
  16. 16. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 16 0 120 0 2 2 60 A A A       f     12.566 A rad s   2 12.566 2.513 5 A A A rad t s            A A B A A B B B A B r v v r r r         0.0762 12.566 2.095 0.457 B B rad s      N o MUV o  de B percorrido em 5s será: 2 2 0 2 B B      2 2 2 2 0 2.095 0 2 2 0.419 B               0 5.2375 B iB   rad s  r  0 0 0.381 5.2375 2 B B s   s  m 6.1 0.381 i i B B B B B B B s s r r       16.01 B   rad 2 2.095 0.419 5 B B B rad t s            Faltam: 0 6.1 6.1 2 4.1 B s    m Nesses 4.1 m a engrenagem B percorre em velocidade angular constante; o tempo gasto será de: 4.1 2.095 0.381 B B Bi s v r t t           4.1 5.1365 2.095 0.381 t  t  s  A polia A gastará 5 s em MUVA e 5.1365 s em MU: 12.566 A rad s   12.566 5.1365 A A A   t   64.546 AMU   rad Em MUV: 0 2 1 2 AMUV A A    t    t 2 1 0 2.513 5 31.4125 2 AMUV AMUV   t     rad 64.546 31.4125 AMU AMUV     95.9585 AMU AMUV     rad 95.9585 2 2 AMU AMUV rev         15.27 2 AMU AMUV rev        5 5.1365 T MUV MU t  t t    10.1365 T t  24. A polia ilustrada na figura possui raio R = 0.32 m e é acionada por um motor elétrico, com o intuito de suspender o bloco A. Quando a polia apresenta freqüência de rotação f0 = 120 rpm, o motor é desligado. Mesmo assim, o bloco ainda sobe h = 0.80 , antes de parar. Pedem-se: (a) a aceleração angular da polia; (b) o tempo gasto até parar. 0 0 0 120 2 2 12.566 60 rad f s           0.8 2.5 0.32 h h R rad R          2 2 2 2 0 0 2 2 F F                   2 2 2 0 12.566 31.58 2 2.5 rad s         0     t0 12.56631.58 t 12.566 0.397 31.58 t  t  s 25. A figura figura ilustra uma correia que move-se entre duas polias A e B, de raios RA = 0.06 m e RB = 0.02 m, respectivamente, sem que ocorra escorregamento entre as superfícies em contato. A velocidade da correia aumenta uniformemente, desde v1 = 0.8 m/s até v2 = 2.4 m/s, em 5 s. Pedem-se: (a) a aceleração angular de cada polia; (b) o número de voltas efetuadas por cada uma das polias, nos 5 s. R A RA
  17. 17. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 17 2.4 0.8 0.32 5 c c c v m a a a t s         A c A A A A A A a a a a R R       2 0.32 5.33 0.06 A A rad s     B c B B B B B B a a a a R R       2 0.32 16 0.02 B B rad s     B B B B B B v v R R     2.4 120 0.02 B B rad s     0 0 0 0 B B B B B B v v R R     0 0 0.8 40 0.02 B B rad s     0 0 2 2 2 2 2 2 B B B B B B B B                   2 2 120 40 400 2 16 B B   rad         63.7 400 2 B  rev    A A A A A A v v R R     2.4 40 0.06 A A rad s     0 0 0 0 A A A A A A v v R R     0 0 0.8 13.33 0.06 A A rad s     0 0 2 2 2 2 2 2 A A A A A A A A                   2 2 40 13.33 133.42 2 5.33 A A   rad        21.2 133.42 2 A  rev     26. Uma polia dupla, de raios R1 = 1.5 m e R2 = 0.8 m, gira sob ação de dois blocos A e B, conforme ilustrado. O bloco A apresenta aceleração aA = 4 m/s², com velocidade inicial (em t = 0 s), vA0 = 5 m/s. Considerando o intervalo de tempo de 2 s, pedem-se: (a) o número de voltas da polia; (b) as correspondentes velocidade e percurso do bloco B; (c) a aceleração centrípeta de um ponto da borda mais externa da polia (R1 = 1.5 m). 0 5 4 2 13 A A A A A m v v a t v v s          1 1 A A A A v v R R     13 8.667 1.5 A A rad s     0 0 0 1 0 1 A A A A v v R R     0 0 5 3.33 1.5 A A rad s     1 1 A A A A a a R R     2 4 2.67 1.5 A A rad s     0 0 2 2 2 2 2 2 A A A A A A A A                   v RB v R2 R1
  18. 18. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 18 2 2 8.667 3.33 11.99 2 2.67 A A   rad        11.99 1.91 2 A A  rev  rev       2 8.667 0.8 B B B v  R v   6.93 B m v s  B0 B0 2 B0 B0 2 v  R v  R 0 0 3.33 0.8 2.664 B B m v v s     2 2.67 0.8 B B B a  R a   2 2.136 B m a s  0 0 2 2 2 2 2 2 B B B B B B B B v v v v a s s a           2 2 6.93 2.664 9.58 2 2.136 B B s s m        0 2 2 2 1 5 16.67 1.5 A A A A cp cp cp v m a a a R s      27. As engrenagens ilustradas A, B e C, tem respectivamente raios RA = 0.24 m, RB = 0.16 m e RC = 0.32 m e apresentam eixos fixos. A engrenagem A gira com velocidade angular constante A = 5 rad/s, no sentido horário. Pedem-se: (a) as velocidades angulares das engrenagens B e C; (b) a aceleração de um ponto periférico da engrenagem A. 2 7.50 3.75 ; 4.5 B C rad rad m a s s s       Exercícios 1. Uma polia está conectada por cabos inextensíveis conforme mostra a figura. O movimento da polia é controlado pelo cabo C o qual tem uma aceleração constante de 9 in/s2 e uma velocidade inicial de 12 in/s, ambas para a direita.Determine: (a) o número de revoluções executados pela polia em 2 s. (b) a velocidade e a mudança na posição do corpo B após 2s. (c) a aceleração do ponto D da polia interior no instante t = 0s.  Solução: 0 0 0 0 12 3 4 D v  r       rad s 2 9 3 3 t D a  r       rad s    1 14 2.23 rev 2 rev rad  rad        0     t  432 10rad s 2 2 0 1 1 4 2 3 2 14 2 2    t    t        rad 5 10 50 B B B v  r  v   v  in s 5 14 70 B B B y  r  y   y  in    2 9 D t C a  a  in s          2 2 2 0 3 4 48 D n D D n D n a  r   a    a  in s  48 48 tan arctan 79.4 9 9        2 48 79.4 48 48.8 79.4 D D D in a sen a a sen s         RB RA RC
  19. 19. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 19 2. O movimento de um corpo é dado por:     3 2  t  t 9 t 15 t SI . Determine a posição angular, a velocidade angular e a aceleração angular nos instantes: (a) t = 0 s (b) t =3s. 3. No problema anterior, determine a posição angular e a aceleração nos instantes em que a velocidade angular se anula. 4. A cinta conecta as rodas do auto. O eixo B possui aceleração angular constante de 120 rad/s2 em sentido anti-horário, Ela está inicialmente em repouso, Determine a aceleração da cinta no ponto C, quando: (a) t = 0.5 s (b) t = 2s. 5. Uma série de componentes pequenos estão sendo movidos por um transportador. O cinto passa por uma polia tensora de 6 in de raio. No instante mostrado, a velocidade do ponto A é 15 in/s para a esquerda e sua aceleração vale 9 in/s2 para a direita. Determinar: (a) a velocidade angular e aceleração angular da polia, (b) a aceleração total da máquina componente em B. 15 2.5 6 B B B B B v rad v r r s         2 9 1.5 6 B B T T a rad a r r s         2 2 2 15 37.5 6 B B B B N N N v in a a a r s      2 2 B NB TB a  a  a 2 2 37.5 9 B a   2 38.6 B in a s  37.5 tan tan 9 B B N T a a      0 37.5 arctan 76.5 9     6. A vara dobrada ABCDE gira sobre uma linha que une os pontos A e E com uma velocidade angular constante de 9 rad/s. Sabendo que a rotação observada do ponto E é no sentido horário, determine a velocidade e a aceleração de C. Obs.: ˆ AE AC CE AE e AE            eˆ    AC     AC  AE CE      EC  CE     0 pois AE AC AE EC AE EC                            AC  EC     Logo, tanto faz escolher o ponto A ou E!!! A (0,0.4,0.2); C(0,0.15,0); E(0.4,0,0) AC r  C  A  (0,0.15,0) (0,0.4,0.2) AC r    0 ˆ 0.25 ˆ 0.2 ˆ AC r   i   j   k  ˆEA EA n EA    EA  A EEA  0,0.4,0.20.4,0,0   AE  0.4 iˆ  0.4 ˆj  0.2kˆ   2 2 2 AE  0.4  0.4  0.2  AE  0.6   0.4 ˆ 0.4 ˆ 0.2 ˆ ˆ 0.6 0.6 0.6 AE n    i   j   k  B TB a  NB a 
  20. 20. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 20 ˆEA   n  0.4 ˆ 0.4 ˆ 0.2 ˆ 9 0.6 0.6 0.6  i j k                6 iˆ  6 ˆj 3 kˆ  Cv  r     6 ˆ 6 ˆ 3 ˆ 0 ˆ 0.25 ˆ 0.2 ˆ C v    i   j   k   i   j   k  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 6 6 3 6 6 0 0.25 0.2 0 0.25 C i j k i j v        6  0.2  0.25 3 ˆ 1.2 ˆ 6  0.25 ˆ C v        i   j     k  0.45 ˆ 1.2 ˆ 1.5 ˆ  C v    i   j   k m s  C C a  v    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 6 6 3 6 6 0.45 1.2 1.5 0.45 1.2 C i j k i j a         12.6 ˆ 7.65 ˆ 9.9 ˆ 2 C a   i   j   k m s   7. A aceleração angular de um disco oscilando é definida pela relação:   k  Determine: (a) o valor de k para o qual  = 8 rad/s quando  = 0 e  = 4 rad quando  = 0. (b) a velocidade angular do disco quando  = 3 rad. (a) 4 s-2 (b) 5.29 rad/s 8. Resolva o problema 2 encontrando a posição angular e a aceleração angular quando a velocidade angular for nula. 9. No problema 6, determine a velocidade e a aceleração do ponto B. Assuma que a velocidade angular é 9 rad/s e aumenta a uma taxa de 45 rad/s2. 10. A Terra faz uma volta completa a cada 23h e 56 min. Sabendo que o seu raio é 3960 mi, determine a velocidade linear e a aceleração linear em um ponto sobre o equador. 11. O anel C possui raio interno de 55 mm e raio externo de 60 mm e está posicionado entre duas rodas A e B, cada uma de raio externo de 24 mm. Sabendo que a roda A gira com freqüência 300 rpm e que não ocorre deslizamento, determine: (a) a velocidade angular do anel C e da roda B. (b) a aceleração dos pontos A e B que estão em contato com C. A A A v   r A Cext C Cext v  v   r 2 2 A A C Cext A A C Cext   r   r    f  r    f  r 300 24 120 rpm 60 ext A A C C C C f r f f f r        int int 2 2 B B C C B B C C   r   r    f  r    f  r int 120 55 275 rpm 24 C C B B B B f r f f f r        2 2 A A A A A A v a r a r     300 2 2 0.024 60 A A A A v    f  r v     0.754 A m v s  2 2 0.754 23.7 0.024 A A m a a s     275 2 2 0.024 60 B B B B v    f  r v     0.6911 B m v s  2 2 B B B B B B v a r a r     2 2 0.6911 19.9 0.024 B B m a a s     12. Um cilindro A está se movendo para baixo a uma velocidade de 9 ft/s quando um breque é aplicado repentinamente no tambor. Sabendo que o cilindro se move 18 ft para baixo antes de parar, e, assumindo movimento com aceleração uniforme, determine: (a) a aceleração angular da roda. (b) o tempo que leva para o cilindro parar.
  21. 21. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 21 9 12 0.75 A A A A A A A A v rad v r r s         2 2 0    2  18 24 rad 0.75 s s r r         2 2 2 2 12 0 12 2 24 3 48 rad s          2 0 0 1 2     t    t 2 1 24 0 12 3 2    t   t 2 2 3 t 24t  48  0t 8 t 16  0 2 4 8 64 64 4 2 2 b b a c t t t s a              13. Uma polia e dois pesos são conectados por uma corda inextensível. O peso A tem uma aceleração constante de 300 mm/s2 e uma velocidade inicial de 240 mm/s, ambos dirigidos para cima. Determine: (a) o número de revoluçõe executados pela polia em 3 s. (b) a velocidade e a posição do peso B após 3s. (c) a aceleração do ponto D na borda da polia, em t = 0s. 14. Uma chapa circular está inicialmente em repouso. Sabendo que r = 200 mm e que a placa possui aceleração angular constante de 0.3 rad/s2, determine a magnitude da aceleração total no ponto B quando: (a) t = 0, (b) t = 2 s, (c) t = 4 s. 15. O anel B tem um raio interno r2 e externo r3. A barra A de raio r1 gira com velocidade angular constante A. Não há escorregamento entre as superfícies. Determine as relações entre os raios r1, r2, r3 e A para: (a) a velocidade angular do anel B; (b) a aceleração dos pontos entre a barra A e o anel B que estão em contato. 16. Um disco circular de raio r = 0.16 m gira em relação a um eixo fixo O com velocidade angular  = 2 rad/s e aceleração angular  = 3 rad/s2 com sentidos indicados na figura. Determine os valores instantâneos da velocidade e da aceleração no ponto A da figura. A O  x y 4 r r
  22. 22. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 22 cos ˆ ˆ A r OA  r    i  r  sen  j   2 1 cos 1 cos 4   sen    2 1 1 4 sen         15 0.968 4 sen  sen  0.25 ˆ 0.968 ˆ A r  r   i  r   j  0.16 0.25 ˆ 0.16 0.968 ˆ A r    i    j  0.04 ˆ 0.15488 ˆ A r   i   j    kˆ  2kˆ   A A v  r    2 ˆ 0.04 ˆ 0.15488 ˆ A v    k   i   j          ˆ ˆ 2 0.04 ˆ ˆ 2 0.15488 ˆ ˆ A j i v k i k j               0.08 ˆ 0.30976 ˆ 0.30976 ˆ 0.08 ˆ A A v    j   i v    i   j     kˆ  3 kˆ    A A A a  r  v      3 ˆ 0.04 ˆ 0.15488 ˆ A a   k   i   j  2 kˆ0.30976 iˆ 0.08 ˆj  0.12 ˆ ˆ 0.4646 ˆ ˆ A a   k i   k  j  ˆ ˆ ˆ ˆ 0.6194 k i  0.16 k  j 0.12 ˆ 0.4646  ˆ A a   j   i  0.6194 ˆj  0.16 iˆ 0.12 ˆ 0.4646 ˆ A a   j   i  ˆ ˆ 0.6194 j 0.16 i 0.3046 ˆ 0.739 ˆ A a   i   j  17. Para testar a resistência de um adesivo, é colocado um bloco de massa m = 0.3 kg em um disco que gira a partir do repouso em t = 0 s com aceleração angular uniforme  = 2 rad/s2. Se a fita se solta depois de 3 s do movimento do disco, quantas voltas o disco execuitará? 18. A correia acoplada ao conjunto de polias faz girar o sistema aumentando sua velocidade angular. Num certo instante, a velocidade da correia é 1.5 m/s e a aceleração total do ponto A é 75 m/s2.Para esse instante, determine: (a) a velocidade angular e a aceleração angular da polia B. (b) a aceleração total do ponto B. (c) a aceleração do ponto C. 19. O ponto A da polia está na posição angular  = 0 em t = 0s. O disco tem velocidade angular inicial 0 = 0.1 rad/s em t = 0 e é acelerado com uma aceleração angular constante  = 2 rad/s2. Determine a velocidade e a aceleração do ponto A, no instante t = 1 s, em função dos vetores unitários ˆi e ˆj . 20. Uma fita magnética utilizada para gravar dados em um computador consiste no sistema indicado. Se a velocidade v da fita é constante e a magnitude da aceleração do ponto A é 4/3 a aceleração do ponto B, determine o raio de A. 21. As características de um sistema de engrenagens é ilustrado a seguir:
  23. 23. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 23 A engrenagem B está girando no sentido horário, com 300 rev/min, quando um torque é aplicado na engrenagem A, em t = 2 s, forçando-a a girar no sentido anti-horário com uma aceleração angular  que varia com o tempo conforme o gráfico indicado, durante 4 s. Determine a velocidade da polia B, quando t = 6 s. 23. A potência de um motor elétrico quando ligado o faz girar a 3300 rpm em 6 s, e quando é desligado ele retorna ao repouso em 80 s. Assumindo aceleração uniforme, determine o número de revoluções dado pelo motor quando: (a) é ligado e atinge a máxima rotação; (b) é desligado a partir da máxima rotação até atingir o repouso. 24. Assumindo que a Terra gira em torno de seu eixo em 23h e 56 min e seu raio é aproximadamente 6400 km, determine a velocidade de rotação sobre um ponto da superfície do Equador. E num ponto na latitude de 400 N? 25. No sistema de polias abaixo, o disco B está em repouso quando é colocado em contato com o disco A que está girando no sentido horário a 450 rpm. Após 6 s de deslizamento, cada disco tem uma aceleração angular constante e o disco A possui uma freqüência de 140 rpm no sentido horário. Determine a aceleração angular de cada disco durante o período de deslizamento.  Movimento Plano Geral Um movimento plano geral pode ser considerado como a soma de uma translação e de uma rotação: Movimento geral = Translação + Rotação
  24. 24. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 24 Movimento de um corpo decomposto em uma translação e uma rotação:  Velocidade absoluta e relativa: B A B/A v  v  v    : B v  velocidade absoluta do ponto B. : A v  translação da placa com A. / : B A v  velocidade relativa associada à rotação da placa ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com origem em A e de orientações fixas. Denotando por : / : B A r  vetor de posição de B em relação a A: B/A r  B  A    kˆ : velocidade angular em relação aos eixos de orientações fixas. / / ˆ B A B A v   k r   / ˆ B A B A v  v  k r    Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A. Observe que: / / B A B A B A v v v tg v l l         / / cos cos A A B A B A v v v v      cos A v l     Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide figura), teremos: Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B. A B A/B v  v  v    Observe que: A/B B/A A/B B/A v  v  v  v  l      O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que a velocidade angular  da barra em sua rotação ao redor de B é a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os casos é medida pela derivada temporal do ângulo : d dt      Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade angular  de um corpo rígido animado de movimento plano é independente do ponto de referência. A maior parte dos mecanismos mecânicos constam não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo, esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter a mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto, se os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade relativa das partes em contato.
  25. 25. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 25  Exemplos resolvidos 1. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é de 1.2 m/s para a direita. Determinar: (a) a velocidade angular da engrenagem, (b) as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem. Como a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior, seu centro A percorrerá uma distância igualao comprimento da circunferência exterior, 2r1, para cada rotação completa da engrenagem. Como 1 ver = 2 rade, quando A rola para a direita, (xA > 0), a engrenagem gira em sentido horário ( < 0), escrevemos: A 1 x  r  1 1 A A dx d r v r dt dt         1 1.2 8 0.150 A v rad r s          ˆ 8 ˆ rad k k s          O rolamento é decomposto em dois movimentos: um de translação do centro A e outro de rotação ao redor deste centro. Na translação, todos os pontos da engrenagem deslocam-se com a mesma velocidade va. Na rotaça, cada ponto P da engrenagem se desloca ao redor de A com velocidade: P AP v  r    AP r  P  A  Aqui PA r  é o vetor de posição de P em relação a A. Assim, a velocidade da cremalheira superior é a velocidade do ponto B: R B B A AB v  v v  v v      B A AB v  v  r     1.2 ˆ  8 ˆ 0.1 ˆ B v   i    k   j  ˆ 1.2 ˆ 0.8 ˆ ˆ i B v i k j        1.2 ˆ 0.8 ˆ 2.0 ˆ B B m v i i v i s                Velocidade do ponto D: D A AD v  v  r     1.2 ˆ  8 ˆ  0.15 ˆ D v   i    k    i    ˆ 1.2 ˆ 8 0.15 ˆ ˆ j D v   i    k i  1.2 ˆ 1.2 ˆ D m v i j s            2 2 1.2 1.2 2.88 1.7 D D m v v s              tan 1  45 1.2 ˆ 1.2 ˆ 1.7 45 D D m m v i j v s s                     2. No sistema esboçado, a manivela AB possui uma velocidade angular constante de 2000 rpm (freqüência f) no sentido horário. Determinar para a posição da manivela indicada na figura: (a) a velocidade angular da biela BD. (b) a velocidade do pistão P. 1 100 2000 2000 60 3 f  rpm f  Hz f  Hz 200 2 209.45 3 rad rad f s s         0.0762 209.45 AB AB AB v  r  v  
  26. 26. Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori Notas de aula 01 – 1° Bimestre 26 0 15.95 50 AB m v s    Movimento da Biela BD: Aplicando a lei dos senos: 40 40 0.0762 0.0762 0.203 0.203 sen sen sen sen         sen  0.241  arcsen0.241 13.96 Observe que a velocidade vD do ponto D, onde a biela se une ao pistão, deve ser horizontal. Decompondo o movimento de BD: Movimento plano de BD= Translação + rotação D B DB v  v  v    Fazendo o diagrama vetorial dessa relação: 53.9 50 76.1 D DB B v v v sen sen sen      15.9 15.9 50 53.9 50 76.1 76.1 D DB DB v v v sen sen sen sen sen          12.5 DB m v s        76.1° 15.9 53.9 13.2 76.1 D D m v sen v sen s      

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