Projeto gráfico de cames

MECANISMOS CAPÍTULO 3
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3. CAMES
Os cames desempenham um papel muito importante na maquinaria moderna e são
extensivamente usadas em motores de combustão interna, máquinas operatrizes, computadores
mecânicos, instrumentos e muitas outras aplicações. Um came pode ser projetado de duas
maneiras: (a) partindo-se do movimento desejado para o seguidor, projetar o came para dar este
movimento, ou (b) partindo-se da forma do came, determinar que características de
deslocamento, velocidade e aceleração serão obtidas pelo contorno do came.
O primeiro método é um bom exemplo de síntese. De fato, projetar um mecanismo de came
para o movimento desejado é uma aplicação de síntese que sempre poderá ser resolvida.
Entretanto, depois de projetada o came, pode ser difícil a sua fabricação. Esta dificuldade de
fabricação é eliminada no segundo método, fazendo o came simétrico e usando para o contorno
formas que possam ser geradas. Este é o tipo usado na indústria automobilística onde os cames
devem ser produzidos com precisão e a baixo custo. .
Será abordado somente o projeto de cames com movimento específico. Para os tipos
empregados em automóveis onde o contorno é especificado, o leitor deverá consultar
publicações especializadas. Os cames com movimento especificado podem ser projetados
graficamente e em certos casos, analiticamente. Será abordado em primeiro lugar o método
gráfico.
3.1. Classificação e nomenclatura dos cames. A equação de mobilidade de Grübler (Eq.
1.3) pode ser usada para uma grande variedade de mecanismos contendo cames. Na prática, a
maioria dos cames são encontrados em mecanismos simples tipo came-seguidor, os quais
contém apenas três peças, as duas peças relativas o came e ao seguidor e o suporte. O
material desse capítulo tratará apenas de sistemas came-seguidor contendo três peças; esses
são frequentemente referidos simplesmente como mecanismo came. Mecanismos came podem
ser classificados pelo tipo do came ou pela sua forma, movimento, ou localização do seguidor. O
mecanismo came mais simples e mais frequentemente utilizado é o came de disco rotativo com
seguidor alternativo ou oscilante. Muitos outros tipos de cames são comumente utilizados e
serão discutidos mais tarde nesse capítulo. A Fig. 3.1 mostra um came de disco com seis
arranjos diferentes de seguidor.
Figura 3.1 Arranjos comuns de mecanismo came-seguidor

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A Fig. 3.1a mostra um came de disco com seguidor alinhado tipo ponta de agulha. O
seguidor é considerado como sendo alinhado (ou radial) visto que sua linha de centro passa
pelo centro de rotação do came. Esse tipo de seguidor é de interesse teórico, mas, não é de
grande importância prática porque geralmente produz altas tensões de contato. A Fig. 3.1b
mostra um came de disco com seguidor de rolete alinhado. A Fig. 3.1c mostra um came de disco
com seguidor de rolete deslocado. Em cada um dos mecanismos came-seguidor das Figuras
3.1a, b e c, o came gira enquanto o seguidor se desloca com movimento alternativo. A Fig. 3.1d
mostra um came de disco com seguidor oscilante de rolete. A Fig. 3.1e mostra um came de
disco com seguidor alternativo de face plana. Nesse caso, não há necessidade de distinção
entre seguidor alinhado ou deslocado porque eles são cinematicamente equivalentes; qualquer
eixo seguidor paralelo ao mostrado produzirá o mesmo movimente de saída. Entretanto, pode
ser necessário alterar o comprimento da face do seguidor quando o seguidor é deslocado. A Fig.
3.1f mostra um came de disco com seguidor oscilante de face plana. Muitos outros arranjos de
came-seguidor são possíveis.
Figura 3.2 Nomenclatura do came
A Fig. 3.2 mostra a nomenclatura usada para descrever um mecanismo came típico. O
ponto de traçado é o ponto no seguidor que corresponde ao ponto de contato de um seguidor
tipo ponta de agulha fictício. O ponto de traçado de um seguidor com rolete é o centro do rolete.
A curva primitiva é o caminho do ponto de traçado relativo o came. O círculo básico é o menor
círculo tangente o came sobre o centro de rotação do came. O ângulo de pressão é o ângulo
entre a direção de movimento do ponto de traçado e a normal comum (a linha de ação) das
superfícies de contato. O ângulo de pressão é uma medida das propriedades da força
instantânea de transmissão do mecanismo. O passo é a distância entre as duas posições
extremas do seguidor.
3.2. Came de Disco com Seguidor Radial (Projeto Gráfico). A Fig. 3.3 mostra um came
de disco com um seguidor radial de face plana. Quando o came gira com velocidade angular
constante na direção indicada, o seguidor se desloca para cima de uma distância aproximada de
25 mm, de acordo com a escala marcada na haste, durante meia-volta do came. O movimento
de retorno é o mesmo. A fim de determinar graficamente o contorno do came, será necessário
inverter o mecanismo e manter o came estacionário enquanto o seguidor gira ao seu redor. Isto
não afetará o movimento relativo entre o came e o seguidor e o procedimento é o seguinte:
1. Girar o seguidor em torno do centro do came no sentido oposto ao da rotação do came.
2. Deslocar o seguidor radialmente de acordo com o indicado na escala para cada ângulo
de rotação.
3. Desenhar o contorno do came tangente ao polígono formado pelas várias posições da
face do seguidor.

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Figura 3.3 Came de disco com seguidor radial de face plana
Infelizmente, para este último passo, não há um processo gráfico para determinar o ponto
de contato entre o came e o seguidor. Este ponto deve ser determinado a olho empregando-se a
curva francesa. O comprimento da face do seguidor deve ser determinado por tentativas.
Ocasionalmente pode ser escolhida uma escala de deslocamentos combinada com o raio
mínimo do came de modo a se obter um contorno com uma ponta ou aresta. Esta aresta pode
ser eliminada modificando-se a escala de deslocamentos ou aumentando-se o raio mínimo do
came.
A Fig. 3.4a mostra o mesmo tipo de came com um seguidor de rolete. Com este tipo de
seguidor o centro do rolete se deslocará com o movimento desejado. Os princípios de
construção são idênticos aos do seguidor de face plana com exceção de que o contorno do
came é tangente às várias posições do rolete. Na Fig. 3.4a pode-se ver, também, que a linha de
ação entre o came e o seguidor não pode estar ao longo do eixo do seguidor, exceto quando
este estiver em repouso (sem movimento de subida ou retorno). Isto produz uma força lateral no
seguidor e pode causar uma deflexão ou quebra de sua haste. O ângulo existente entre a linha
de ação e a linha de centros do seguidor é conhecido por angulo de pressão e seu valor máximo
deve ser o menor possível, especialmente em mecanismos de pequeno porte. Atualmente, esse
valor máximo é de 30°
. Embora seja possível medir o ângulo de pressão máximo na construção
gráfica de um came, muitas vezes é difícil determiná-lo analiticamente. Por esta razão será
apresentado, mais adiante, um nomograma para determinação do ângulo de pressão máximo
em projetos analíticos de cames. O ângulo de pressão é constante para qualquer seguidor radial
de face plana. O seguidor mostrado na Fig. 3.3 tem a face perpendicular ao eixo da haste, de
modo que o ângulo de pressão é zero e a força lateral exercida sobre o seguidor é desprezível
quando comparada com a existente nos seguidores com rolete. Pode-se reduzir o ângulo de
pressão aumentando-se o raio mínimo do came de modo que a trajetória do seguidor em
relação o came seja maior para a mesma elevação. Isto equivale a aumentar o comprimento de
um plano inclinado para a mesma elevação, a fim de reduzir o ângulo de inclinação do plano.
Também, num came com seguidor de rolete, o raio de curvatura da superfície primitiva deve ser
maior do que o raio do rolete, caso contrário a superfície do came se tornará pontiaguda.

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Figura 3.4o came de disco com seguidor radial centrado de rolete
Figura 3.4b Came de disco com seguidor radial deslocado de rolete
Às vezes, as hastes dos seguidores de face plana ou de rolete são deslocadas lateralmente
ao invés de serem radiais conforme mostrado nas Figuras 3.3 e 3.4a. Isto é feito por razões
estruturais, ou no caso do seguidor de rolete, com a finalidade de reduzir o ângulo de pressão
no curso de elevação. Deve-se notar, entretanto, que embora o ângulo de pressão seja reduzido
durante o curso de elevação, no curso de retorno ele será aumentado. A Fig. 3.4b mostra um
came com o seguidor deslocado, com a mesma escala de deslocamento e o mesmo raio mínimo
usado na Fig. 3.4a. Se a direção do movimento de um seguidor deslocado, de face plana, for
paralela a uma linha radial do came, resultará na mesmo came obtida com um seguidor radial.
Entretanto, o comprimento da face do seguidor deve ser aumentado devido ao deslocamento
haste.

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3.3. Came de Disco com Seguidor Oscilante (Projeto Gráfico). A Fig. 3.5 mostra um
came de disco com um seguidor de face plana oscilante. Usando o mesmo princípio de
construção empregado para o came de disco com seguidor radial, gira-se o seguidor em torno
do came. Ao mesmo tempo o seguidor deve ser girado em torno de seu centro de rotação,
segundo os deslocamentos angulares correspondentes a cada posição indicada na escala. Há
diversas maneiras de se girar o seguidor em torno de seu centro. O método indicado na Fig. 3.5
é usar a intersecção de dois arcos de circunferências (por exemplo, o ponto 3') para determinar
um ponto da face do seguidor em sua nova posição, após girar em torno de seu centro e em
torno do came. O primeiro desses dois arcos tem como raio a distância do centro do came até a
posição 3 da escala de deslocamento e, como centro de curvatura, o centro de rotação do came.
O segundo arco é traçado com centro de curvatura situado no centro de rotação do seguidor
após ter girado até a posição 3 e usando para o raio a distância do centro do seguidor até a
escala de deslocamento. A intersecção desses dois arcos será o ponto 3'. Devido ao número
infinito de retas que podem passar pelo ponto 3', é necessário ter-se uma informação adicional
para determinar a posição correta da face do seguidor correspondente ao ponto 3'. Conforme
mostrado na figura, isto foi conseguido por uma circunferência tangente ao prolongamento da
face do seguidor na posição zero. Na figura, houve coincidência dessa circunferência com o
diâmetro externo do cubo do seguidor. Essa circunferência é, então, traçada em cada posição
do centro do seguidor. Para se determinar a posição 3 da face do seguidor traça-se uma reta
que passa pelo ponto 3' e é tangente à circunferência do cubo do seguidor em sua posição 3.
Repetindo-se este processo, obtém-se um polígono formado pelas diversas posições da face do
seguidor. A partir deste polígono desenha-se o contorno do came.
Figura 3.5 Came de disco com seguidor oscilante de face plana
A Fig. 3.6 mostra um came de disco com seguidor oscilante de rolete. O procedimento para
a determinação dos pontos 1', 2', 3' etc. é semelhante ao indicado na Fig. 3.5. Entretanto, neste
caso, estes pontos são as posições do centro do rolete determinadas pela rotação do seguidor
em torno do came. Traçam-se as circunferências correspondentes a cada posição do rolete e o
contorno do came é tangente a essas circunferências. Deve-se notar que num projeto real
seriam usadas divisões menores de modo a minimizar o erro do contorno do came. Deve-se
mencionar também que o mesmo procedimento pode ser empregado no projeto de um came
com seguidor oscilante de rolete, como o usado para um came com seguidor radial deslocado.
Embora a maioria dos cames em uso seja dos tipos já mencionados, há muitos outros,
alguns dos quais encontram grande aplicação. Nas seções seguintes serão abordados três
desses tipos.

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Figura 3.6 Came de disco com seguidor oscilante de rolete
3.4. Came de Retorno Comandado (Projeto Gráfico). Em um came de disco com
seguidor radial, frequentemente é necessário que o retorno do seguidor seja comandado pelo
came e não sob a ação da gravidade ou de uma mola. A Fig. 3.7 mostra um mecanismo deste
tipo em que o came comanda o movimento do seguidor não somente durante a elevação como
também no curso de retorno. Necessariamente, o movimento de retorno deve ser o mesmo que
o de elevação, porém, no sentido oposto. Esso came também é chamada de came de diâmetro
constante.
Figura 3.7 Came de retorno comandado

41
Este tipo de came pode também ser projetado com o emprego de dois seguidores de rolete
no lugar dos seguidores de face plana. Se for necessário ter-se um movimento de retorno
independente do movimento de elevação, devem-se usar dois discos, um para a elevação e
outro para o retorno. Esses cames duplos podem ser usados com seguidores de rolete ou de
face plana.
3.5. Came Cilíndrico (Projeto Gráfico). Este tipo de came encontra muitas aplicações,
particularmente em máquinas operatrizes. Talvez o exemplo mais comum, entretanto, seja a
alavanca niveladora do molinete de vara de pescar. A Fig. 3.8 mostra um desenho onde o
cilindro gira em torno de seu eixo e aciona um seguidor que é guiado por uma ranhura existente
na superfície do cilindro.
Figura 3.8 Came cilíndrico
3.6. Came Invertido (Projeto Gráfico). Às vezes é vantajoso inverter o papel do came e do
seguidor e deixar que o seguidor comande o came. Esta inversão encontra aplicação em
máquinas de costura e outros mecanismos de natureza semelhante. A Fig. 3.9 mostra o esboço
de um came de placa onde o braço oscila, causando um movimento alternativo do bloco por
ação de um rolete dentro da ranhura do came.
Figura 3.9 Came invertido

42
3.7. Curvas de Deslocamento de Cames. Antes de se determinar o contorno de um came
é necessário selecionar o movimento segundo o qual se deslocará o seguidor, de acordo com as
exigências do sistema. Se a velocidade de operação deve ser baixa, o movimento pode ser
qualquer um dos movimentos comuns, por exemplo, parabólico (aceleração e desaceleração
constantes), parabólico com velocidade constante, harmônico simples ou cicloidal.
O movimento parabólico possui a mais baixa aceleração teórica para valores determinados
de elevação do seguidor e a rotação do came, dentre os movimentos citados, e por esta razão
tem sido empregado em muitos contornos de cames. Entretanto, em trabalhos a baixas
velocidades isto tem pouco significado. O movimento parabólico pode ou não ter intervalos
iguais de aceleração e desaceleração, dependendo das exigências do problema. O movimento
parabólico também pode ser modificado para incluir um intervalo de velocidade constante entre
a aceleração e a desaceleração; este movimento é muitas vezes denominado de velocidade
constante modificada.
O movimento harmônico simples apresenta uma vantagem de, ao empregar um seguidor
radial de rolete, proporcionar um ângulo de pressão máximo menor do que no movimento
parabólico com intervalos de tempo iguais ou no movimento cicloidal. Isto permitirá que o
seguidor tenha apoios menos rígidos e maior trecho em balanço. Também menos potência será
necessária para operar o came. Por estas razões, o movimento harmônico simples é o preferido
entre os outros tipos.
Depois de selecionar o movimento do seguidor, é necessário determinar-se a escala de
deslocamentos e marcá-la sobre a haste do seguidor, conforme mostrado na Fig. 3.3. As
elevações podem ser calculadas, porém, são determinadas com mais facilidade graficamente,
plotando-se uma curva deslocamento-tempo.
Plotando-se o gráfico deslocamento-tempo é necessário determinar primeiro o ponto de
inflexão se o movimento for parabólico ou uma modificação deste. Para os movimentos
harmônico simples e cicloidal, o ponto de inflexão é determinado automaticamente pelo método
de geração da curva. O ponto de inflexão de um movimento parabólico estará no meio da escala
de deslocamentos e da escala de tempos, se os intervalos forem iguais. A determinação dos
pontos de inflexão de um movimento parabólico modificado é um pouco mais complicada, como
será visto a seguir.
Consideremos um ponto deslocando-se com movimento uniforme modificado, onde parte do
repouso com aceleração constante, em seguida passa a ter velocidade constante e finalmente
chega ao repouso com desaceleração constante. Os pontos de inflexão podem ser
determinados especificando-se os intervalos de tempo ou de deslocamento correspondentes a
cada tipo de movimento. A Fig. 3.10 indica uma construção gráfica para determinar os pontos de
inflexão A e B quando são dados os intervalos de tempo. A Fig. 3.11 mostra a construção para
intervalos de deslocamento. Das relações S = ½At2
, V = At e S = Vt, é possível provar a validade
da construção mostrada nas Figuras 3.10 e 3.11.
Figura 3.10

43
Figura 3.11
Depois que os pontos de inflexão foram determinados, como por exemplo na Fig. 3.11, o
trecho OA de aceleração constante da curva do deslocamento pode ser construído conforme
indicado na Fig. 3.12, onde o deslocamento L (correspondente a S1 da Fig. 3.11) está dividido
no mesmo número de partes da escala de tempo, neste caso quatro. O trecho desacelerado BC
da curva na Fig. 3.11 será construído de modo semelhante para o deslocamento S3 e o
correspondente intervalo de tempo.
Figura 3.12
A Fig. 3.13 mostra o movimento harmônico simples [S = r (1 - cos ωrt)] para um
deslocamento L com seis divisões na escala do tempo. Nesta figura deve-se notar que se o
came gira de meia-volta enquanto o seguidor se move segundo o deslocamento L, a velocidade
angular ωr do raio girante r se iguala à velocidade angular ω do came e a equação do
deslocamento do seguidor pode ser escrita como S = r (1 - cos ωt) = r (1 - cos θ). Se o came
gira somente de um quarto de volta para o deslocamento L, ωr = 2ω e S = r (1 - cos 2θ).
Portanto, pode-se ver que a relação entre ωr e ω é expressa por
seguidor
do
L
elevação
a
para
came
do
rotação
de
ângulo
o
r
180
/ =
ϖ
ϖ
Figura 3.13 Movimento harmônico simples
Um came circular (excêntrica) proporcionará um movimento harmônico simples a um
seguidor radial de face plana porque o ponto de contato entre estas duas peças e o centro
geométrico do came estarão sempre na direção do movimento do seguidor.

44
A Fig. 3.14 mostra a construção para o movimento cicloidal














−
=
β
θ
π
π
β
θ
2
2
1
sen
L
S
para um deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. O raio do circulo gerador é L/2π.
A circunferência deste círculo é dividida no mesmo número de partes que a escala de tempo,
neste caso seis. Os seis pontos marcados na circunferência são projetados horizontalmente
sobre o diâmetro vertical do círculo. Estes pontos são então projetados paralelamente à diretriz
OA até as linhas correspondentes marcadas no eixo do tempo.
Figura 3.14 Movimento cicloidal
Paro cames de alta velocidade, a seleção do movimento do seguidor deve ser baseada não
só nos deslocamentos, mas também nas forças que atuam sobre o sistema como resultado do
movimento selecionado. Por muitos anos o projeto de cames dizia respeito somente ao
movimento de um seguidor em um curso determinado, durante um certo tempo. As velocidades
eram baixas de modo que as forças de inércia eram insignificantes. Com a tendência de uso de
velocidades mais altas nas máquinas, entretanto, tornou-se necessário considerar as
características dinâmicas do sistema e selecionar um contorno de came que minimizasse o
carregamento dinâmico.
Como um exemplo da importância do carregamento dinâmico, consideremos o movimento
parabólico. Em relação às forças de inércia este movimento pareceria ser desejável por causa
de sua baixa aceleração. Entretanto, não se pode ignorar o fato de que a aceleração cresce de
zero a seu valor constante quase que instantaneamente, resultando em uma alta taxa de
aplicação da carga. Determina-se a taxa de variação da aceleração pela terceira derivada do
deslocamento, conhecida por "jerk" ou segunda aceleração. Portanto, o "jerk" ou a segunda
aceleração, é uma indicação da característica de impacto do carregamento: pode-se dizer que o
impacto tem a segunda aceleração igual ao infinito. A falta de rigidez e as folgas do sistema
também tendem a aumentar o efeito da carga de impacto. No movimento parabólico onde a
segunda aceleração é infinita, este impacto ocorre duas vezes durante o ciclo e tem o efeito de
uma pancada súbita no sistema, que poderá ocasionar vibrações indesejáveis bem como danos
estruturais.
Como um modo de evitar o "jerk" infinito e seu efeito prejudicial em cames, um sistema de
projeto de cames foi desenvolvido por Kloomok e Muffley, que utiliza três funções analíticas: (a)
cicloide (e meia-cicloide), (b) harmônico (e meio-harmônico) e (c) polinômio de oitavo grau. Os
diagramas de deslocamento, velocidade e aceleração dessas funções estão representados nas
Figuras 3.15, 3.16 e 3.17. As curvas têm derivadas contínuas em todos os pontos
intermediários. Portanto, a aceleração varia gradualmente e a segunda aceleração é finita. Evita-
se o "jerk" infinito nos extremos igualando-se as acelerações. Deve-se notar que as velocidades
serão concordantes porque não podem aparecer descontinuidades na curva de deslocamento
em função do tempo. Como um exemplo, quando após um repouso seguir uma elevação, a
aceleração nula no final do repouso é igualada selecionando-se uma curva que tenha
aceleração nula no início da elevação. A aceleração exigida no final da elevação é determinada
pela condição subsequente. Se imediatamente se segue um retorno, a elevação pode terminar
com um valor moderadamente alto de desaceleração porque este valor pode ser igualado
exatamente por uma curva que tenha a mesma desaceleração no início do retorno.

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A seleção de curvas para atender a exigências particulares é feita de acordo com os
seguintes critérios:
1. A cicloide proporciona aceleração nula nos extremos dos trechos da curva. Portanto,
pode ser combinada com dois repousos em cada extremidade. Como o ângulo de pressão é
relativamente grande e sua aceleração retorna a zero desnecessariamente nos extremos, duas
cicloides não devem ser usadas em sequência.
2. O harmônico proporciona os menores picos de aceleração e os menores ângulos de
pressão das três curvas. Portanto, é a curva preferida quando as acelerações no início e no fim
do trecho podem ser igualadas com as acelerações do trecho vizinho. O meio-harmônico pode
ser usado onde uma elevação à velocidade constante precede uma aceleração, porque a
aceleração do ponto médio é zero. O meio-harmônico pode ser combinado com meia-cicloide ou
com um meio-polinômio.
3. O polinômio de oitavo grau tem uma curva de aceleração assimétrica e proporciona um
pico de aceleração e ângulos de pressão intermediários entre o harmônico e a cicloide.
Figura 3.15 Características do movimento cicloidal.
S = deslocamento (mm); V = velocidade (mm/grau); A = aceleração (mm/grau2
)

46
Figura 3.16 Características do movimento harmônico
)
Nas Figuras 3.15, 3.16 e 3.17, as unidades de velocidade e aceleração são dadas em
milímetros por grau e milímetros por grau quadrado, respectivamente. A unidade de graus ao
invés de segundos foi selecionada para tornar desnecessário considerar a velocidade angular do
came até que o movimento do seguidor seja selecionado. Para obter a velocidade e a
aceleração em termo do tempo, a velocidade das curvas V (mm/s) = (180/π)ωV (mm/grau), onde
ω é a velocidade do came (rad/s). De maneira similar, A (mm/s2
) = (180/π)2
ω2
A (mm/grau2
).

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Figura 3.17 Características do movimento polinomial de oitavo grau
)
Exemplo 3.1. Um seguidor de rolete deverá se deslocar, com elevação e retorno, sem repouso, durante
um ciclo. Devido à operação realizada pelo mecanismo, parte da elevação deverá ser feita com
velocidade constante. Determine as curvas dos movimentos a serem usadas. Referindo-se à Fig. 3.18a:
AB: Use a meia-cicloide C-1 a fim de proporcionar aceleração nula no início do movimento e em B,
onde será feita a ligação com o trecho de velocidade constante.
BC: Velocidade constante.
CD: Use o meio harmônico H-2 que se ligará em C ao trecho de velocidade constante, com
aceleração nula, e proporcionará um ângulo de pressão mínimo durante o resto da curva.
DE: Use o polinômio P-2 para combinar a desaceleração do harmônico em D e proporcionar
aceleração nula no fim do retorno em E.

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Figura 3.18
Combinam-se as velocidades e as acelerações de modo a não apresentarem
descontinuidades. Estas curvas estão mostradas nas Figuras 3.18b e 3.18c. Na Fig. 3.18c,
pode-se ver que não há "jerk" ou segunda aceleração em qualquer instante do ciclo.
3.8. Curvas de Deslocamento de Cames – Métodos Avançados. A criação de perfis
suaves de cames sem descontinuidades em velocidade, aceleração, além de suas derivadas
mais altas, é crítica para a operação satisfatória de qualquer came. Na seção prévia foi
mostrado como segmentos de curvas simples como a cicloidal, a harmônica e a polinomial
podem ser colocadas juntas para fornecer curvas de aceleração contínua. Em adição, foi
discutida a importância da minimização de picos de aceleração e, consequentemente, a
minimização de cargas dinâmicas. Entretanto, em algumas aplicações de alta velocidade, os
métodos discutidos previamente podem não ser suficientes. Uma curva de aceleração contínua
deve ter uma curva de “jerk” descontínua, como mostrado na Fig. 3.19. Essas descontinuidades
tendem a induzir vibrações, o que pode resultar em ruído, e reduzir a precisão da operação.
Descontinuidades em derivadas mais altas podem produzir efeitos indesejáveis.
Figura 3.19

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Uma ampla variedade de métodos tem sido propostos para conduzir os problemas
mencionados acima. Uma extensão lógica dos métodos examinados na seção prévia é o uso de
polinômios algébricos de alto nível. Essas curvas polinomiais são muito versáteis, e, na maioria
dos casos, a determinação de coeficientes é direta. A maior desvantagem das curvas
polinomiais é que elas não possibilitam controle local do movimento. Uma outra extensão lógica
do material da seção prévia é a criação de outros tipos de curvas compostas. Talvez a mais
simples dessas é a chamada curva de aceleração trapezoidal mostrada na Fig. 3.20. Essa curva
produz perfis de velocidade e deslocamento suaves, e resulta em “jerk” finito. Segmentos
trapezoidais podem ser utilizados em composição com outros tipos de curvas para produzir
cames de perfil suave com boas propriedades de aceleração. Como uma outra extensão dessa
aproximação, é possível a construção de uma curva de “jerk” composta de segmentos retos.
Isso produz “jerk” contínuo e curvas suaves de aceleração, velocidade e deslocamento.
Figura 3.20 Curva de aceleração trapezoidal e plotagens geradas por
computador das curvas de deslocamento e velocidade correspondentes
Com o advento da calculadora programável e do computador digital, uma quantidade de
métodos numéricos tem sido desenvolvidos para criação e modificação de curvas de movimento
de cames. Na maioria dos casos, isso é um processo efetivo de suavização de partes
inaceitáveis de curvas de aceleração obtidas por outros métodos. Um número finito de pontos da
curva original de aceleração são selecionados e uma curva aproximada é definida a partir
desses pontos. Essa nova curva é então modificada pela movimentação de pontos ou adição de
pontos por onde a curva deve passar. Métodos populares desse tipo incluem diferenças finitas, o
método de Johnson, o método de integração finita e a técnica B-spline.
3.9. Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana (Projeto Analítico). A
abordagem deste problema permite que o contorno do came seja determinado analiticamente.
No método gráfico, os pontos de contato entre o came e o seguidor são desconhecidos e é difícil
determinar sua localização exata quando se desenha o contorno do came. Também o raio
mínimo do came, para evitar que seja pontiagudo, somente pode ser determinado por tentativas.
No método analítico, que foi desenvolvido por Carver e Quinn, essas desvantagens são
superadas e pode-se determinar três características valiosas do came: (a) equações
paramétricas do contorno do came; (b) raio mínimo do came para evitar pontas e (c) localização
do ponto de contato que determina o comprimento da face do seguidor. Dessas características,
a primeira tem pouca aplicação prática, mas as outras duas dão informações que possibilitam a
produção do came. O desenvolvimento dessas características é apresentado a seguir.
A Fig. 3.21 mostra um came com seguidor radial de face plana. O came gira com velocidade
angular constante. O ponto de contato entre o came e o seguidor tem coordenadas x e y e está
a uma distância l da linha de centro do seguidor. O deslocamento do seguidor em relação à
origem é dado pela seguinte equação:
R = C + f(θ) (3.1)
onde o raio mínimo do came é representado por C e f(θ) representa o movimento desejado para
o seguidor como uma função do deslocamento angular do came.

50
Figura 3.21
A equação para o comprimento de contato l pode ser facilmente determinada pela geometria
da Fig. 3.21. Dos triângulos mostrados,
R = y sen θ + x cos θ (3.2)
e
l = y cos θ - x sen θ (3.3)
O membro da direita da Eq. 3.3 é a derivada em relação a θ do membro da direita da Eq.
3.2. Portanto,
( )
[ ]
θ
θ
θ
f
C
d
d
d
dR
l +
=
=
e
( )
θ
'
f
l = (3.4)
Se o diagrama de deslocamento é dado por uma equação matemática S = f(θ), então R e l
são determinados facilmente das Equações 3.1 e 3.4. Da Eq. 3.4, pode-se ver que o
comprimento mínimo da face do seguidor independe do raio mínimo do came. Também, o ponto
de contato está na posição mais afastada da linha de centro do seguidor quando a velocidade
do seguidor é máxima. Quando o seguidor se afasta do centro do came com velocidade positiva,
l é positivo e o contato ocorre acima do eixo do seguidor da Fig. 3.21. Quando o seguidor se
move em direção ao centro do came, a velocidade é negativa e o valor negativo de l indica que
o contato se realiza abaixo do eixo do seguidor.
Para determinar as equações de x e y para o contorno do came, é necessário somente
resolver as Equações 3.2 e 3.3 simultaneamente, o que resulta
x = R cos θ - l sen θ
e
y = R sen θ + l cos θ
Substituindo os valores de R e l das Eqs. 3.1 e 3.4, respectivamente,
x = [C + f(θ)] cos θ - f ' (θ) sen θ (3.5)
y = [C + f(θ)] sen θ + f ' (θ) cos θ (3.6)

51
O raio mínimo C para evitar uma ponta ou bico sobre a superfície do came pode ser
determinado analiticamente com facilidade. Uma ponta ocorre quando dx/dθ e dy/dθ forem
iguais a zero. Quando isto acontece, forma-se uma ponta no came conforme mostrado em x, y
na Fig. 3.22. Para demonstrar isto, consideremos que a linha de centro do seguidor tenha girado
de um ângulo θ e que o contato entre a face do seguidor e o came ocorra no ponto (x, y). Mais
adiante, quando o seguidor for girado de um pequeno ângulo dθ, o ponto de contato (x, y) não
mudará por causa da ponta, ficando ainda em x, y. Assim, pode-se ver que dx/dθ = dy/dθ = 0.
Figura 3.22
Diferenciando as Equações 3.5 e 3.6,
dx/dθ = - [C + f(θ) + f''(θ)] sen θ (3.7)
dy/dθ = [C + f(θ) + f''(θ)] cos θ (3.8)
As Equações. 3.7 e 3.8 podem se anular simultaneamente somente quando
C + f(θ) + f"(θ) = 0
Portanto, para evitar pontas,
C + f(θ) + f''(θ) > 0
A soma f(θ) + f"(θ) deve ser inspecionada para todos os valores de θ para determinar seu valor
algébrico mínimo. É necessário usar o valor mínimo de modo que C seja suficientemente grande
para assegurar que a Eq. 3.9 não se anule para qualquer valor de θ. Essa soma pode ser
positiva ou negativa. Se for positiva, C será negativo e não terá significado prático. Neste caso, o
raio mínimo será determinado pelo cubo do came ao invés de sê-Io pela função f(θ).
Pode-se determinar os pontos do contorno do came pelas Equações 3.5 e 3.6, que dão as
coordenadas cartesianas, ou calculando R e l para diversos valores de θ. Em geral, o segundo
método é mais fácil, mas em ambos os casos os pontos devem ser ligados com o auxílio de uma
curva francesa para a obtenção do contorno do came. Na prática, entretanto, raramente é
necessário desenhar o perfil do came em escala. Depois que o raio mínimo C tenha sido
determinado e os deslocamentos R tenham sido calculados, o came pode ser confeccionado.
Para tal, o comprimento da fresa deve ser maior do que o dobro do valor máximo de l. Durante a
usinagem, o eixo da fresa deve estar paralelo ao plano do came.
Exemplo 3.2. A fim de ilustrar o método de escrever as equações de deslocamento, consideremos as
seguintes condições: um seguidor de face plana é acionado em um deslocamento total de 37,5 mm. No
início do ciclo (deslocamento zero), o seguidor repousa durante π/2 radianos. Em seguida eleva-se de
37,5 mm com movimento cicloidal (Curva C-5 de Kloomok e Muftley) em π/2 radianos. Depois repousa
durante π/2 radianos e então retorna 37,5 mm com movimento cicloidal (C-6) em π/2 radianos. A Fig. 3.23
mostra um esboço do diagrama de deslocamento.

52
Figura 3.23
Para a ciclóide C-5 as curvas de Kloomok e Muffley fornecem








−
=
β
πθ
π
β
θ 2
2
1
sen
L
S
Deve-se mencionar, ao se escrever a relação S = f(θ), que o valor de S sempre deve ser medido a partir
do eixo das abscissas e o valor de θ a partir do eixo das ordenadas. Na equação precedente, entretanto,
na Fig. 3.23 θ é medido a partir do ponto A ao invés do ponto O. Portanto, reescrevendo a equação
usando θ conforme mostrado na Fig. 3.23:







 ′
−
′
=
β
θ
π
π
β
θ 2
2
1
sen
L
SAB
É possível transladar a origem do ponto A para o ponto O, substituindo a relação
2
π
θ
θ −
=
′
Portanto,


















−
−






−
=
β
π
θ
π
π
β
π
θ
2
2
2
1
2
sen
L
SAB
Substituindo L = 37,5 mm e β = π/2 radianos,
( )
π
θ
π
π
θ
π
2
4
4
75
2
75
−
−






−
= sen
SAB
Para a cicloide C-6





 ′
′
+
′
′
−
=
β
θ
π
π
β
θ
2
2
1
1 sen
L
SCD
onde
2
3π
θ
θ −
=
′
′
L = 75 mm
2
π
β =
Portanto,
( )
π
θ
π
π
θ
6
4
4
75
75
150 −
+
−
= sen
SCD

53
Deve-se observar que com as combinações de repouso e movimento cicloidal usadas, as
velocidades e as acelerações são igualadas nas extremidades de cada trecho não havendo, portanto,
segunda aceleração infinita em qualquer ponto do ciclo.
Exemplo 3.3. Como um exemplo de como são determinados o raio mínimo C e o comprimento da face
do seguidor, consideremos um seguidor radial de face plana que se eleva de 50 mm e retorna, com
movimento harmônico simples, durante meia-volta do came. Dois ciclos do seguidor ocorrem durante uma
volta do came.
É necessária somente uma equação de deslocamento (H-5) para especificar o movimento do
seguidor do começo ao fim do ciclo,








−
=
β
θ
π
cos
1
2
L
S
onde
L = 50 mm
e
β = π/2
Portanto,
S = f(θ) = 25 (1 – cos 2θ)
f’(θ) = 50 sen 2θ
e
f’’(θ) = 100 cos 2θ
Para determinar o raio mínimo, a soma C + f(θ) + f’’(θ) deve ser maior que zero. Substituindo os
valores de f(θ) e f’’(θ) e simplificando,
C + 25 + 75 cos 2θ > 0
A soma de 25 + 75 cos 2θ será mínima quando θ = π/2, logo
C + 25 – 75 > 0
ou
C > 50 mm
O comprimento da face do seguidor é determinado por
l = f’(θ) = 50 sen 2θ
lmin = 50 mm
Como o movimento é simétrico, o comprimento teórico da face do seguidor é o dobro de lmin, ou seja, 100
mm. Deve-se dar um acréscimo ao comprimento da face do seguidor para evitar que o contato se realize
na borda da face.
3.10. Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete (Projeto Analítico). A
determinação analítica da superfície primitiva de um came de disco com seguidor radial de rolete
não apresenta dificuldades. Na Fig. 3.24 a posição do centro do rolete em relação ao centro do
came é dada pela seguinte equação:
R = R0 + f(θ) (3.10)
onde R0 é o raio mínimo da superfície primitiva do came e f(θ) é o movimento radial do seguidor
em função do ângulo de rotação do came. Uma vez que se conhece o valor de R0 é fácil
determinar as coordenadas do centro do rolete a partir das quais o came pode ser delineado.

54
Figura 3.24
Figura 3.25
Kloomok e Muffley desenvolveram um método para verificar a existência de pontas em
cames deste tipo, considerando o raio de curvatura ρ da superfície primitiva e o raio do rolete Rr.
Estes valores são mostrados na Fig. 3.25 junto com o raio de curvatura ρc da superfície do
came. Se na Fig. 3.25 ρ for mantido constante e for aumentado Rr, ρ irá decrescer.
Continuando-se a aumentar Rr até atingir o valor de ρ, o raio de curvatura da superfície do came
ρc se reduzirá a um ponto e o came ficará pontiaguda, conforme indica a Fig. 3.26a.
Aumentando-se ainda o raio Rr a superfície do came fica rebaixada e o movimento realizado
pelo seguidor não será o desejado, conforme mostrado na Fig. 3.26b. Portanto, a fim de evitar o
aparecimento de uma ponta ou um rebaixo no perfil do came, o raio do rolete Rr deve ser menor
do que ρmin, onde ρmin é o valor mínimo do raio de curvatura da superfície primitiva em um
determinado trecho do came. Havendo diversos tipos de curvas sobre a superfície do came
pelas quais o seguidor irá passar, cada trecho deverá ser verificado separadamente. Como é
impossível haver um rebaixo numa parte côncava da superfície do came, somente as partes
convexas devem ser verificadas.
Figura 3.26
O raio de curvatura em um ponto de uma curva, expresso em coordenadas polares, é dado
por
( )
[ ]
( ) ( )
2
2
2
2
2
3
2
2
2 φ
φ
φ
ρ
d
R
d
R
d
dR
R
d
dR
R
−
+
+
=

55
onde R = f(φ ) e as duas primeiras derivadas são contínuas. Pode-se usar esta equação para
determinar o raio de curvatura da superfície primitiva do came. Para este caso, f(θ) = f(φ ). Da
Eq. 3.10,
R = R0 + f(θ)
dR/dθ = f’(θ)
d2
R/dθ 2
= f’’(θ)
Portanto,
( )
[ ]
( )
θ
θ
θ
ρ
f
R
f
R
f
R
′
−
+
+
= 2
2
2
3
2
2
)
(
2
(3.11)
A Eq. 3.11 pode ser calculada para determinar a expressão de ρ para um tipo particular de
movimento. Entretanto, a fim de evitar pontas e rebaixos no perfil do came, deve-se determinar
ρmin. Para se obter este valor mínimo, deve-se derivar a Eq. 3.11 com suas várias funções, o que
irá conduzir a equações transcendentais muito complexas. Por esta razão, são apresentados
três conjuntos de curvas que mostram os valores de ρmin /R0 em função de β para as diversas
relações de L/R0. Nestas curvas, β é o ângulo de rotação do came para cada trecho e L é a
elevação correspondente. A Fig. 3.27 apresenta as curvas para o movimento cicloidal, a Fig.
3.28, para o movimento harmônico simples e a Fig. 3.29, para o movimento polinomial de 8°
grau. Por meio dessas curvas pode-se determinar se ρmin é maior ou menor do que Rr.

56
Figura 3.27 Movimento cicloidal

57
Figura 3.28 Movimento harmônico

58
Figura 3.29 Movimento polinomial de 8°grau

59
Exemplo 3.4. Um seguidor radial de rolete deve mover-se com um deslocamento total de L = 15 mm
com movimento cicloidal, enquanto o came gira de β = 30°
. O seguidor repousa durante 45° e então
retorna com movimento cicloidal em 70°
. Verifique se o came apresenta ponta ou rebaixo para um raio de
rolete Rr de 6,25 mm e raio mínimo Ro da superfície primitiva de 37,5 mm.
L / Ro = 15 / 37,5 = 0,40
Será examinada apenas a elevação, devido ao seu ângulo β menor. Portanto, da Fig. 3.23, para L/Ro
= 0,40 e β = 30°,
ρmin / Ro = 0,22
e
ρmin = 0,22 x 37,5 = 8,25 mm
O came não terá ponta ou rebaixo, porque ρmin > Rr.
Conforme mencionado anteriormente, é importante considerar-se o valor do ângulo de
pressão, no projeto de cames com seguidores de rolete. É necessário manter o ângulo de
pressão máximo o menor possível e até hoje este máximo foi estabelecido arbitrariamente em
30°
. Entretanto, são usados ocasionalmente valores maiores quando as condições permitirem.
Embora seja possível desenhar o contorno do came e medir o ângulo de pressão máximo, é
preferível empregar os métodos analíticos. Há diversos métodos disponíveis, um dos quais foi
desenvolvido por Kloomok e MuffIey, pelo qual pode-se determinar analiticamente o ângulo de
pressão tanto para o seguidor radial de rolete como para o oscilante de rolete. Aqui será
abordado somente o caso do seguidor radial de rolete.
Para o came de disco e o seguidor radial de rolete mostrados na Fig. 3.30, o ângulo de
pressão OCA é denominado α e o centro do came, O. Supõe-se que o came está preparada e o
seguidor gira no sentido horário da posição C até C’ segundo um pequeno ângulo ∆θ. Da figura,
α’ = tg-1
(C’E / CE)
Figura 3.30

60
Quando ∆θ tende a zero, os ângulos OCE e ACC’ tendem para 90°
. Ao mesmo tempo o
segmento CD tende para o comprimento do arco CF, igual a R∆θ e ambos, CD e CF tendem
para CE. Portanto,
lim α’ = tg-1
[ (1/R) (dR/dθ) ]
∆θ → 0
Como os lados de α e α' se tornam, respectivamente, perpendiculares quando ∆θ tende a zero,
α' torna-se igual a α. Portanto,
α = tg-1
[ (1/R) (dR/dθ) ] (3.12)
Pode-se determinar uma expressão para α, em qualquer tipo de movimento, partindo-se da
Eq. 3.12. Entretanto, a determinação do ângulo de pressão máximo é quase sempre muito difícil,
porque leva a equações transcendentais complexas. Por isso, Kloomok e Muff1ey empregam
um nomograma desenvolvido por E. C. Varnun, apresentado na Fig. 3.31; β e L/Ro são
parâmetros já definidos anteriormente. Determina-se, usando-se o nomograma, o valor máximo
do ângulo de pressão para os três tipos de movimento.
Pontos na superfície do came também podem ser determinados pelo uso da Fig. 3.31. As
coordenadas do ponto C são dadas por
xC = R cos θ
(3.13)
yC = R sen θ
As coordenadas dos pontos de contato (ponto A) são obtidas da projeção do segmento de linha
CA e das distancias xC e yC como segue:
xA = xC + Rr cos (π – θ – α)
yA = yC – Rr sen (π – θ – α)
onde Rr é o raio do rolete. Simplificando essas equações com a utilização de relações
trigonométricas obtém-se
xA = xC – Rr cos (θ + α)
(3.14)
yA = yC – Rr sen (θ + α)
Figura 3.31 Nomograma para determinar o ângulo de pressão máximo

61
Exemplo 3.5. Um seguidor radial de rolete deve mover-se com um deslocamento total de 18,75 mm,
com movimento cicloidal enquanto o came gira de 45°
. O seguidor repousa por 30° e então retorna com
movimento cicloidal em 60°. Determine o valor de Ro para limitar o αmáx em 30°
. Será examinada somente
a elevação, devido ao seu ângulo β menor.
Para β = 45°e αmáx = 30°
,
L / Ro = 0,26 (da Fig. 3.31)
Portanto,
Ro = 18,75 / 0,26 = 72 mm
Se o espaço não permite tal valor de Ro, β pode ser aumentado e o came deve girar mais rápido para
conservar o mesmo tempo de elevação.
3.11. Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete (Projeto Analítico). Na Fig.
3.32 vê-se o início do traçado de um came de disco com seguidor oscilante de rolete. O ângulo
de elevação ψ é função do ângulo de rotação do came θ. Embora o came gire de θ para o
ângulo de elevação ψ, o raio R gira segundo o ângulo φ. Especificando-se valores de R e φ, é
possível obter-se o contorno do came.
Figura 3.32
Da Fig. 3.32 pode-se ver que
φ = θ - λ (3.15)
onde
λ = β - Γ (3.16)
O ângulo β é uma constante do sistema e pode-se obter sua equação usando-se o triângulo
OAO'. Assim,
0
2
2
0
2
2
cos
SR
l
R
S −
+
=
β (3.17)
onde S, Ro e l têm dimensões fixas.
O ângulo Γ é função de R; sua equação pode ser obtida do triângulo OBO’ como
SR
l
R
S
2
cos
2
2
2
−
+
=
Γ (3.18)
R2
= l2
+ S2
– 2 l S cos (ψ + Σ) (3.19)

62
O ângulo Σ é uma constante determinada a partir do triângulo OAO’ como
lS
R
S
l
2
cos
2
0
2
2
−
+
=
Σ (3.20)
e o ângulo ψ é o ângulo de elevação para um determinado ângulo de rotação do came θ.
Portanto, das equações precedentes, os valores de R e φ podem ser calculados a partir de
valores de θ e dos correspondentes ângulos de elevação ψ.
No projeto deste tipo de came, é necessário verificar se há rebaixos e conferir o ângulo de
pressão máximo. As equações do raio de curvatura e do ângulo de pressão podem ser obtidas
com mais facilidade pelo método de variáveis complexas de Raven. A Fig. 3.33 mostra o esboço
de um came de disco e um seguidor oscilante de rolete, com o raio de curvatura da superfície
primitiva ρ e o ângulo de pressão α. O ponto O é o centro do came, o ponto D é o centro de
curvatura e o ponto O', o centro de rotação do seguidor. A elevação angular do seguidor a partir
da horizontal é σ, que é dada pela equação
σ = σ0 + f(θ) (3.21)
onde f(θ) é a elevação angular desejada para o seguidor, a partir de um ângulo de referência σ0
(não mostrado na figura). Da Fig. 3.33, o ângulo de pressão α é dado por
α = σ - π/2 - γ (3.22)
Substituindo a Eq. 3.22 por σ
α = [σ0 + f(θ)] - π/2 - γ (3.23)
A fim de se obter uma expressão para o ângulo γ, determinam-se duas equações de posição,
independentes, para o ponto A, centro do rolete. A primeira equação é obtida seguindo-se o
trajeto (O-D-A) e a outra, seguindo-se o trajeto (O-B-O'-A).
Figura 3.33
A equação para o primeiro trajeto é dada por
R = re’δ
+ ρe’γ
= r (cos δ + i sen δ) + ρ (cos γ + i sen γ) (3.24)
A equação para o segundo trajeto é dada por
R = a + bi + leiσ
= a + bi +l(cos σ + i sen σ) (3.25)

63
Separando-se as partes reais e imaginárias das Eqs. 3.24 e 3.25,
r cos δ + ρ cos γ = a + l cos σ (3.26)
r sen δ + ρ sen γ = b + l sen σ (3.27)
Derivando as equações 3.26 e 3.27 em relação a θ,
θ
σ
σ
θ
γ
γ
ρ
θ
δ
δ
d
d
sen
l
d
d
sen
d
d
sen
r −
=
−
−
θ
σ
σ
θ
γ
γ
ρ
θ
δ
δ
d
d
l
d
d
d
d
r cos
cos
cos =
+
Para uma rotação infinitesimal do came, ρ pode ser considerado como constante. Assim, o
ponto D, o centro de curvatura do came no ponto de contato e r podem ser considerados como
fixos à came para um acréscimo de rotação dθ. Portanto, o valor de dδ é igual a dθ e como δ
diminui quando θ cresce, segue-se que dδ/dθ = - 1. Também, dσ/dθ = f’(θ). Portanto,
( ) σ
θ
θ
γ
γ
ρ
δ sen
f
l
d
d
sen
sen
r '
−
=
− (3.28)
( ) σ
θ
θ
γ
γ
ρ
δ cos
'
cos
cos f
l
d
d
r =
−
− (3.29)
Eliminando dγ/dθ nas Eqs. 3.28 e 3.29,
( )
( ) σ
θ
δ
σ
θ
δ
γ
cos
'
cos
'
f
l
r
sen
f
l
sen
r
tg
+
+
=
Os termos r cos δ e r sen δ podem ser calculados das Eqs. 3.26 e 3.27, dando
( )
[ ]
( )
[ ]
θ
σ
θ
σ
γ
'
1
cos
'
1
f
l
a
f
sen
l
b
tg
+
+
+
+
= (3.30)
que, quando substituída na Eq. 3.??, dará o ângulo de pressão α. Para se determinar αmax, será
necessário o emprego de gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley.
Para se calcular o raio de curvatura ρ, é necessário primeiro derivar a Eq. 3.27 em relação a
θ. Substituindo dγ/dθ da Eq. 3.26 e com o auxílio das Eqs. 3.19, 3.23 e 3.27, obtém-se a
seguinte equação para ρ:
( )
( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
θ
σ
σ
θ
θ
ρ
'
cos
1
2
2
2
3
2
2
lf
b
sen
a
f
bC
aC
f
D
C
D
C
−
+
+
−
+
+
+
= (3.28)
onde
C = a + l cos σ [1 + f’ (θ ) ]
D = b + l sen σ [1 + f’ (θ ) ]
Para evitar o rebaixo, ρ deve ser maior do que o raio do rolete. Portanto, é possível
determinar-se ρmin para cada posição do perfil do came. Para isso, é necessário o emprego de
gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley.
Uma vez que o raio de curvatura foi encontrado, pontos na superfície do came são
facilmente encontrados pela Fig. 3.33:
RS = reiδ
+ (ρ - Rr)eiγ
onde RS é o vetor que localiza o ponto de contato e Rr é o raio do rolete do seguidor.

64
3.12. Cames de Contorno. A aplicação desse tipo de cames é principalmente em sistemas
mecânicos e computadorizados de controle. Um esquema é mostrado na Fig. 3.34. Com esse
tipo de came, os componentes rolam um sobre o outro sem deslizamento; isso facilita o projeto
por duas razões: (a) o ponto de contato P sempre estará na linha de centros e (b) ambas
superfícies rolarão uma sobre a outra através da mesma distância. Pelo uso desses fatores,
podem ser facilmente derivadas equações para a distância dos centros dos cames ao ponto de
contato.
Na Fig. 3.34, R2 e R3 são as distancias instantâneas dos centros dos cames ao ponto de
contato e C a distância fixa entre os centros. Se o came 2 gira de um pequeno ângulo dθ2 e o
came 3 de dθ3, o ponto de contato no came 2 se movimentará de R2dθ2, e no came 3 de R3dθ3.
Para rolamento puro,
R2dθ2 = R3dθ3
Também,
R2 + R3 = C
Portanto,
( )
3
2
2
1 θ
θ d
d
C
R
+
= (3.29)
Figura 3.34
e
( )
2
3
3
1 θ
θ d
d
C
R
+
= (3.30)
Esses cames podem ser usadas para gerar diversos tipos de funções, três das quais são
descritas a seguir:
1. Função quadrada. Para gerar a função quadrada,
2
2
3 θ
θ k
=
2
2
3
2 θ
θ
θ
k
d
d
=
e
2
3
2
2
1
θ
θ
θ
k
d
d
=
Portanto,

65
2
2
2
2
1
2
θ
θ
k
kC
R
+
=
e
2
3
2
1 θ
k
C
R
+
=
Das equações para R2 e R3, o contorno do came pode ser determinado, o qual gerará a
função quadrada especificada.
2. Função Logarítmica. Para gerar o logaritmo,
2
10
3 log θ
θ =
2
3 ln
303
,
2
1
θ
θ =
2
2
3
303
,
2
1
θ
θ
θ
=
d
d
e
2
3
2
303
,
2 θ
θ
θ
=
d
d
Portanto,
2
2
303
,
2
1 θ
+
=
C
R
e
2
2
3
303
,
2
1
303
,
2
θ
θ
+
=
C
R
A partir dessas equações, o contorno do came pode ser determinado, o qual gerará o
logaritmo fornecido. A operação inversa fornecerá o antilogaritmo.
3. Função Trigonométrica. Para ilustrar a geração de uma função trigonométrica,
consideremos
2
3 tanθ
θ =
2
2
2
3
sec θ
θ
θ
=
d
d
e
2
2
2
2
3
2
cos
sec
1
θ
θ
θ
θ
=
=
d
d
Portanto,
2
2
2
cos
1 θ
+
=
C
R
e
2
2
2
2
3
cos
1
cos
θ
θ
+
=
C
R

66
Com referência às equações de R2 e R3 desenvolvidas para as três funções, é evidente que
em (1), R2 = 0 quando θ2 = 0 e em (2), R3 = 0 quando θ2 = 0. Em (3), R3 = 0 quando θ2 = 90°
.
Quando um dos raios vai a zero, o resultado é um projeto impraticável. Com as funções
ilustradas, o fato que a escala de θ2 não pode começar em zero nos primeiros dois casos nem
estendido até 90° no terceiro caso, provavelmente não limitará a geração dessas funções.
Existem casos, entretanto, onde essas limitações se provarão uma desvantagem e quando
necessário algum meio deve ser encontrado para eliminar esse problema. Outro problema que
algumas vezes aparece no projeto de contorno de cames é que com certas funções o valor de
dθ3/dθ2 pode vir a ser igual a -1, o que leva os raios R2 e R3 a valor infinito. Ambos problemas
devem ser evitados caso eles vierem a ocorrer durante o range de trabalho da função. Isto pode
ser contornado por compensar a função através de uma constante que pode depois ser
subtraída por diferenciação. Como exemplo, consideremos a função
2
2
3 θ
θ sen
=
e
2
2
2
3
cos
2 θ
θ
θ
θ
sen
d
d
=
Portanto,
( )
1
cos
2
cos
2
2
2
2
2
2
+
=
θ
θ
θ
θ
sen
sen
C
R
e
2
2
3
cos
2
1 θ
θ
sen
C
R
+
=
Quando θ2 igual a zero, R2 = 0; quando θ2 igual a 135°
, dθ3/dθ2 = -1. Para evitar essas
condições, a função deverá se compensada com uma constante kθ2 como essa
2
2
2
'
3 θ
θ
θ k
sen +
=
e
k
sen
d
d
+
= 2
2
2
'
3
cos
2 θ
θ
θ
θ
Após a geração da nova função, kθ2 poderá ser subtraída para resultar a função original θ3 =
sen2
θ2.
Se grandes torques devem ser transmitidos, os cames podem ser substituídos por
engrenagens com a linha primitiva idêntica ao contorno dos cames. Essa substituição é possível
devido a ação de rolamento puro dos cames. Essas engrenagens são conhecidas como
engrenagens de contorno ou engrenagens não circulares. Uma fotografia de um par de
engrenagens não circulares é mostrada na Fig. 3.35.
Figura 3.35 Engrenagens não circulares

67
3.13. Cames Tridimensionais. Um esquema de came tridimensional é mostrado na Fig.
3.36, onde o deslocamento z do seguidor é uma função da rotação y e da translação x do came.
Um came tridimensional pode facilmente ser projetado para resolver a equação Q =
0,05a(h)1/2
, que expressa o fluxo através de um orifício (pé3
/s) em termos da área do orifício a
(pol.2
) e da pressão de coluna h (pé).
Figura 3.36 Came tridimensional
A tabela 3.1 foi desenvolvida para fornecer uma gama de valores para os parâmetros pelos
quais o came pode ser projetado.
TABELA 3.1. Fluxo Q (pé3
/s)
h
pé
a, pol.
2
1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.30 1.35 1.45 1.50
1 0.0500 0.0525 0.0550 0.0575 0.0600 0.0625 0.0650 0.0675 0.0700 0.0725 0.0750
4 0.1000 0.1050 0.1100 0.1150 0.1200 0.1250 0.1300 0.1350 0.1400 0.1450 0.1500
9 0.1500 0.1575 0.1650 0.1725 0.1800 0.1875 0.1950 0.2025 0.2100 0.2175 0.2250
16 0.2000 0.2100 0.2200 0.2300 0.2400 0.2500 0.2600 0.2700 0.2800 0.2900 0.3000
25 0.2500 0.2625 0.2750 0.2875 0.3000 0.3125 0.3250 0.3375 0.3500 0.3625 0.3750
36 0.3000 0.3150 0.3300 0.3450 0.3600 0.3750 0.3900 0.4050 0.4200 0.4350 0.4500
49 0.3500 0.3675 0.3850 0.4025 0.4200 0.4375 0.4550 0.4725 0.4900 0.5075 0.5250
A Fig. 3.37 mostra a orientação dos valores do parâmetro a em torno da circunferência do
came para o valor de a = 1.0 pol.2
tomada no topo do came. A Fig. 3.38 mostra uma seção axial
vertical através do came que se estende de a = 1.0 pol.2
até a = 1.3 pol.2
. As Fig. 3.39 e 3.40
mostram seções transversais do came para h = 25 pés e h = 49 pés, respectivamente. A seção
axial mostra Q como uma função de h e a seção transversal mostra Q como uma função de a. O
projeto do came pode ser completado pela geração de seções axiais e transversais adicionais.
Figura 3.37

68
Figura 3.38
Figura 3.38
Figura 3.39

69
A fabricação de um came tridimensional é muito difícil devido às exigências de precisão e de
acabamento manual. Depois de serem especificados os deslocamentos do seguidor para os
acréscimos desejados de rotação e de translação do came, funde-se um bloco com o formato
aproximado do came desejada. Usando-se uma ferramenta de corte, do mesmo tamanho e da
mesma forma do seguidor, coloca-se o fundido em uma fresadora de cames e usina-se a
superfície do bloco, em alguns pontos de referências, até chegar à superfície desejada sobre o
came tridimensional. Através de rotações e translações apropriadas do came e deslocando-se a
ferramenta de corte até chegar à elevação prevista para cada ponto da superfície desejada,
essa ferramenta simulará o movimento do seguidor em relação o came. Deste modo, pode-se
localizar com precisão um ponto na superfície do came. De acordo com Rothbart, às vezes, são
necessários 15000 pontos com a precisão de ±0,010 mm. Depois de marcados todos os pontos,
faz-se um acabamento manual com lima, seguido de um polimento com lixa de esmeril.
3.14. Métodos de Produção de Cames. O método gráfico de projeto de cames é limitado
para aplicações de baixa velocidade. A produção desse tipo de cames depende da precisão do
desenho do perfil e do método utilizado seguir esse desenho como modelo. Em um extremo, o
desenho do came é traçado em uma chapa de aço e o came recortado com uma serra fita. E
outro extremo, a produção do came é feita com uma fresadora, cujo movimento da ferramenta é
guiado por um traçador que se movimenta a partir de um desenho do perfil do came. O desenho
sobre o qual o traçador se move pode ser feito em escala muitas vezes maior que o tamanho
original do came de forma a melhorar a precisão da cópia. Em ambos os casos, o perfil do came
deve receber acabamento manual.
O projeto gráfico e o método resultante de produção não são suficientemente precisos para
a produção de cames de alta velocidade. Por essa razão, a atenção tem se voltado para o
projeto analítico de cames e para o método que este proporciona para a produção dos cames.
Se for possível calcular os deslocamentos do seguidor para pequenos incrementos de rotação
do came, o perfil do came pode ser gerado em uma fresadora ou numa furadeira radial com a
ferramenta assumindo o papel do seguidor. Se o seguidor for com rolete, o eixo da ferramenta
de corte deverá ser perpendicular ao plano do came e o diâmetro da ferramenta deverá ter o
mesmo diâmetro do rolete. Se o seguidor for de face plana, o eixo da ferramenta de corte deverá
ser paralelo ao plano do came. Em cada caso, a ferramenta de corte deve atuar com o
fornecimento da posição correta correspondente ao ângulo de rotação do came. Naturalmente,
quanto menores os incrementos no ângulo de rotação do came, melhor será seu acabamento.
Geralmente, são usados incrementos de 1°
, o que deixa pequenos ressaltos no perfil do came
que devem ser removidos manualmente. Máquinas automáticas controladas numericamente têm
sido desenvolvidas para a usinagem de cames com precisão de frações de um grau, com
avanços da ferramenta de corte da ordem de décimos ou centésimos de milímetro. Embora a
máquina opere com avanços discretos, os avanços são tão pequenos que proporcionam a
aparência de operação contínua. É esperado que o acabamento da superfície do came
produzido por esse tipo de máquina tenha qualidade suficiente para eliminar a necessidade de
acabamento manual. Esse tipo de máquina também produzirá cames com maior rapidez que
uma furadeira radial, quando ambas estiverem utilizando o mesmo incremento de ângulo de
rotação do came.
Nas discussões precedentes, foi assumido que o came sendo gerada seria o came a ser
utilizada na aplicação final. Quando muitas máquinas do mesmo modelo estão sendo produzidas
e muitas cópias de um came são necessárias, é geralmente mais prático gerar um came modelo
e usar esse modelo em uma máquina copiadora. O came modelo é frequentemente fabricada
em escala muitas vezes maior que o tamanho original.

70
Problemas
3.1. Um came de disco girando no sentido horário aciona um seguidor radial de face plana
segundo uma elevação total de 37,5mm, de acordo com os dados a seguir:
Ângulo de rotação
do came (graus)
Elevação (mm)
0 0,00
30 2,50
60 9,25
90 18,75
120 28,25
150 35,00
180 37,50
210 35,00
240 28,25
270 18,75
300 9,25
330 2,50
360 0,00
Desenhe o came usando um raio mínimo de 25 mm. Determine o comprimento da face do
seguidor (face simétrica). Depois de achar o comprimento da face, por tentativas, aumente 3 mm
em cada extremidade para assegurar um contato adequado.
3.2. Um came de disco gira no sentido anti-horário, comandando um seguidor radial de
rolete, segundo uma elevação total de 37,5 mm. Desenhe o came usando os dados de
movimento do problema 3.1 e empregando um raio mínimo de 25 mm. O diâmetro do rolete
deve ser 22 mm. Determine, por tentativas, o ângulo de pressão máximo e o local onde ocorre
este ângulo.
3.3. Um came de disco girando no sentido horário comanda um seguidor de face plana
deslocado segundo uma elevação total de 37,5 mm. Desenhe o came usando os dados de
movimento do problema 3.1. A linha de centro do seguidor é deslocada de 12,5 mm para a
esquerda, paralelamente à vertical que passa pelo centro do came. O raio mínimo do came deve
ser 25 mm. Determine o comprimento da face do seguidor (face simétrica). Depois de
determinar o comprimento da face, por tentativas, aumente 3 mm em cada extremidade para
assegurar um contato adequado.
3.4. Um came de disco gira no sentido anti-horário e aciona um seguidor de rolete
segundo uma elevação total de 37,5 mm. A linha de centro do seguidor é deslocada de 12,5 mm
para a direita, paralelamente à vertical que passa pelo centro do came. O raio mínimo deve ser
25 mm e o diâmetro do rolete, 22 mm. Desenhe o came empregando os dados de movimento do
problema 3.1. Por tentativas determine o ângulo de pressão máximo durante os cursos de
elevação e de retorno.
3.5. Um came de disco gira no sentido horário e aciona um seguidor oscilante de face
plana segundo um ângulo de elevação total de 20°
, de acordo com os dados a seguir.

71
do came (graus)
Ângulo do
seguidor (graus)
0 0,0
30 1,5
60 5,5
90 10,0
120 14,5
150 18,5
180 20,0
210 18,5
240 14,5
270 10,0
300 5,5
330 1,5
360 0,0
Desenhe o came usando um raio mínimo de 30 mm. O centro de rotação do seguidor deve estar
a 80 mm à direita e na horizontal que passa pelo centro do came, semelhante à Fig. 3.3. A
distância do centro do cubo do seguidor ao arco da escala de elevações angulares é de 70 mm.
Determine o comprimento da face do seguidor. Depois de achar o comprimento da face, por
tentativas, aumente 3 mm em cada extremidade para assegurar um contato adequado.
3.6. Um came de disco girando no sentido anti-horário aciona um seguidor oscilante de
rolete segundo um ângulo de elevação total de 20°
. Desenhe o came usando os dados de
movimento do problema 3.5 e um raio mínimo de 25 mm. O centro do cubo do seguidor deve
estar a 75 mm à direita e sobre a horizontal que passa pelo centro do came, semelhante à Fig.
3.4. O diâmetro do rolete mede 19 mm e a distância entre o centro do cubo do seguidor e o
centro do rolete é de 72 mm. Usando um furo de 16 mm, um cubo de 25 mm e um rasgo de
chaveta de 5 x 5 mm, desenhe o resto do seguidor em proporções razoáveis.
3.7. Um came de retorno comandado gira no sentido horário e aciona um seguidor de face
plana, tipo garfo, conforme mostrado na Fig. 3.5. Os dados para a elevação são os seguintes:
do came (graus)
Elevação (mm)
0 0,00
30 1,27
60 4,32
90 9,65
120 17,00
150 23,40
180 25,40
Desenhe o came empregando um raio mínimo de 25 mm. Usando proporções razoáveis
complete o esboço do seguidor.
3.8. Um came de retorno comandado gira no sentido anti-horário e aciona um seguidor,
tipo garfo, de roletes. Desenhe o came empregando os dados de movimento do problema 3.7
para a elevação. O raio mínimo deve ser 25 mm. O diâmetro dos roletes é de 19 mm. Usando
proporções razoáveis, complete o esboço do garfo que suporta os roletes.

72
3.9. Um seguidor oscilante de rolete move-se segundo um ângulo total de 60°e aciona um
came invertido, como a mostrada na Fig. 3.7. Os dados do movimento são os seguintes:
do came (graus)
Deslocamento do
came (mm)
0,0 0,0
4,5 1,5
16,0 6,0
30,0 12,5
44,0 19,0
55,5 23,5
60,0 25,0
O came deve deslocar-se para cima e para a direita a um ângulo de 45°
, quando o seguidor
girar no sentido anti-horário. O movimento do seguidor é simétrico em relação à linha de centro
vertical. A distância entre o centro do rolete e o centro de rotação do seguidor é de 75 mm e o
diâmetro do rolete é de 16 mm. O bloco do came mede 75 mm por 100 mm. Desenhe a ranhura
que deve existir no bloco do came.
3.10. Prove que é correto o método de determinação dos pontos de inflexão para intervalos
de tempo conhecidos, conforme indicado na Fig. 3.10.
3.11. Prove que é correto o método de determinação dos pontos de inflexão para
deslocamentos conhecidos, conforme mostrado na Fig. 3.11.
3.12. Prove que é correto o método de construção de movimento parabólico, conforme
mostrado na Fig. 3.12.
3.13. Trace o gráfico deslocamento-tempo para um seguidor que deve ter uma elevação
total de 37,5 mm. O movimento é iniciado com um trecho de aceleração constante em 67° de
rotação do came, passando à velocidade constante em 90°e desaceleração constante em 90°
:
o seguidor repousa em 22,5° e então retorna com movimento harmônico simples em 90°
. Use
uma abscissa de 100 mm de comprimento.
3.14. Trace o gráfico deslocamento-tempo para um seguidor que se eleva de 19 mm com
movimento harmônico simples em um quarto de volta do came, repousa durante 45°
, torna a se
elevar de 19 mm durante 90°
, repousa durante 22,5° e então retorna 38 mm com movimento
parabólico em um quarto de volta, seguindo-se um repouso de 22,5°
. Use uma abscissa de 160
mm de comprimento.
3.15. Trace o gráfico deslocamento-tempo para um seguidor que se eleva de 38 mm em
meia-volta do came de modo que nos primeiros 9,5 mm tenha aceleração constante, nos
próximos 19 mm velocidade constante e aceleração constante nos 9,5 mm restantes. O retorno
é um movimento harmônico simples em meia-volta do came. Use uma abscissa de 150 mm de
comprimento.
3.16. Trace o gráfico deslocamento-tempo para um seguidor que tem uma elevação total de
32 mm com aceleração constante durante 90° e desaceleração constante para 45° de rotação
do came. O seguidor retorna 16 mm com movimento harmônico simples durante 90°
, repousa
por 45° e retorna 16 mm com movimento harmônico simples em 90° de rotação do came. Use
uma abscissa de 160 mm de comprimento.
3.17. O seguidor radial de face plana, mostrado na Fig. 3.40, tem movimento de translação
alternativa sob a ação de um came de disco circular que gira em torno do eixo O2. (a) Determine
as expressões para o deslocamento R do seguidor e para a distância l entre o ponto de contato
e a linha de centro, em função do ângulo θ, do raio r e do deslocamento b. (b) Trace um gráfico
do deslocamento R em função do ângulo de rotação θ para uma volta do came. Chame de L a
distância entre as posições extremas do curso do seguidor. Determine o valor de L. (c)
Identifique o tipo de movimento realizado pelo seguidor.

73
Figura 3.40
3.18. Um seguidor radial é comandado por um came girando a 1 rad/s. O seguidor parte do
repouso e se eleva de 50 mm com movimento harmônico simples enquanto o came gira de
120°
. O seguidor repousa nos próximos 120°e então retorna com movimento harmônico simples
nos 120° restantes. Usando uma abscissa de 150 mm e intervalos de 30° para a rotação do
came, trace as curvas de deslocamento, velocidade, aceleração e segunda aceleração, no
mesmo eixo.
3.19. Partindo da equação do movimento harmônico simples, deduza a expressão do
deslocamento S da curva H-5 mostrada na Fig. 3.16.
3.20. Deduza expressões que permitam o uso das equações de Kloomok e Muffley na
determinação de velocidades e acelerações do seguidor quando a velocidade do came não for
constante.
3.21. Um seguidor deve ter movimento cíclico de acordo com o diagrama de deslocamento
mostrado na Fig. 3.41. As exigências para deslocamentos e velocidades são as seguintes:
Ponto A Ponto B Ponto C
S = L S = 0 S = L
V = 0 V = 0 V = 0
Recomende as curvas que devem ser usadas no diagrama de deslocamentos e a relação entre
β1 e β2 para combinar as acelerações no ponto B e nos pontos A e C.
Figura 3.41

74
3.22. Um seguidor partindo do repouso desloca-se de acordo com o gráfico mostrado na
Fig. 3.42 e repousa novamente. As exigências do movimento são as seguintes:
Ponto A Ponto B Ponto C
S = 0 S = L S = 0
V = 0 V = 0 V = 0
A = 0 A = A1 A = 0
Recomende as curvas que devem ser usadas no diagrama de deslocamento e a relação entre
β1 e β2 para combinar acelerações no ponto B.
Figura 3.42
3.23. Um seguidor partindo do repouso eleva-se com movimento acelerado, em seguida
passa a ter velocidade constante e depois desacelera até ficar em repouso, conforme indica a
Fig. 3.43. As exigências do movimento são as seguintes:
Ponto A Ponto B Ponto C Ponto D
S = 0 S = L1 S = L1 + L2 S = L1 + L2 + L3
V = 0 V = V1 V = V1 V = 0
A = 0 A = 0 A = 0 A = 0
Recomende as curvas que devem ser usadas no diagrama de deslocamento e a relação entre
β1, β2 e β3 para combinar velocidades nos pontos B e C.
Figura 3.43
3.24. No diagrama de deslocamento, mostrado na Fig. 3.16a, do exemplo 3.1, β1 é o ângulo
de rotação do came correspondente ao trecho AB, β2 o ângulo de BC, β3 o ângulo de CD e β4 o
ângulo de DE. Também L1 é a elevação do trecho AB, L2 a elevação de BC, L3 a elevação de
CD e L4 a elevação de DE. Determine a relação que deve existir entre β3 e β4 para combinar as
acelerações no ponto D.
3.25. Determine (a) a relação entre os ângulos β1 e β2 entre as elevações L1 e L2 para
combinar uma curva cicloidal C-1 com uma curva de velocidade constante e (b) a relação para
combinar uma curva de velocidade constante com uma curva C-4.

75
3.26. Estabeleça as equações que relacionam as elevações L1 e L2 e os ângulos β1 e β2
para a combinação de: (a) movimento cicloidal com harmônico; (b) movimento cicloidal com
velocidade constante; (c) movimento harmônico com cicloidal; (d) movimento harmônico com
velocidade constante. A combinação deve ser feita quando as acelerações forem nulas.
3.27. Determine (a) a relação entre os ângulos β1 e β2 e entre as elevações L1 e L2 para
combinar um movimento cicloidal C-1 com o harmônico H-2 e (b) a relação para combinar uma
curva H-3 com uma C-4.
combinar um movimento harmônico H-1 com um cicloidal C-2 e (b) a relação para combinar uma
curva C-3 com uma H-4.
3.29. Determine (a) a relação entre os ângulos β1 e β2 e entre as elevações para combinar o
movimento harmônico H-1 com uma curva de velocidade constante e (b) a relação para
combinar uma curva de velocidade constante com uma curva H-4.
3.30. Um seguidor deve se deslocar com velocidade constante durante um trecho da
elevação e também do retorno. É possível combinar movimentos harmônicos com estas curvas
de velocidade constante e não resultar segunda aceleração infinita? Caso afirmativo, recomende
as curvas que devem ser usadas e esboce o diagrama de deslocamento mostrando as curvas.
combinar um movimento harmônico da curva H-5 com um movimento polinomial de oitavo grau
da curva P-2 e (b) a relação para combinar o movimento harmônico da curva H-2 com o
polinomial de oitavo grau da curva P-2.
3.32. Escolha uma combinação de movimentos cicloidal, harmônico e polinomial de oitavo
grau que não resulte segunda aceleração infinita.
combinar o movimento polinomial de oitavo grau da curva P-1 com o harmônico da curva H-6 e
(b) a relação para combinar o movimento polinomial de oitavo grau da curva P-1 com o
harmônico da curva H-3.
3.34. Escolha uma combinação de movimento harmônico com polinomial de oitavo grau que
não resulte segunda aceleração infinita.
3.35. Um seguidor se desloca com movimento harmônico H-1, elevando-se 25 mm em π/4
rad de rotação do came. O seguidor então se eleva de mais 25 mm com movimento cicloidal C-
2, para completar o curso de elevação. O seguidor repousa e retorna 25 mm com movimento
cicloidal C-3 e os 25 mm restantes com movimento harmônico H-4 em π/4 rad. (a) Determine os
ângulos de rotação do came para os movimentos cicloidais e para o repouso combinando
velocidades e acelerações. (b) Determine a equação para o deslocamento S em função de θ
para cada tipo de movimento, tendo como origem das abscissas o ponto O, origem dos eixos
coordenados, de modo que o deslocamento possa ser calculado para qualquer ângulo θ
usando-se a equação adequada.
Figura 3.44

76
3.36. No diagrama de deslocamento da Fig. 3.44, deseja-se obter uma elevação total de
37,5 mm com um seguidor radial de face plana combinando o movimento cicloidal C-1 com o
harmônico H-2. (a) Usando os dados do diagrama, determine o ângulo β2 referente ao
movimento harmônico, a fim de que haja continuidade de velocidades e de acelerações em B,
ponto de transição entre os dois movimentos. (b) Determine o comprimento máximo teórico da
face do seguidor necessário para os dois movimentos.
3.37. Um came de disco comanda um seguidor radial de face plana com movimento
harmônico simples. O seguidor se eleva e retorna durante uma volta do came. Sendo o
deslocamento total 50 mm e o raio mínimo 25 mm, determine as equações paramétricas (x e y)
do contorno do came. Elimine o parâmetro para obter a equação do contorno do came.
Determine o comprimento teórico da face do seguidor.
3.38. Um seguidor radial de face plana é acionado segundo um deslocamento total de 40
mm. O seguidor sobe 10 mm com aceleração constante durante 60°de rotação do came, 20 mm
com velocidade constante durante 60° e os restantes 10 mm com desaceleração constante
durante 60°
. O seguidor repousa em 45°e retorna com movimento harmônico simples quando o
came completa uma volta.
Para cada tipo de movimento escreva a equação do deslocamento S em função do ângulo β
de rotação do came, usando como origem o ponto O, origem dos eixos coordenados de modo
que o deslocamento possa ser calculado para qualquer ângulo β usando-se a equação
adequada. Calcule o raio mínimo C e o comprimento máximo de contato lmáx para cada tipo de
movimento. Especifique o raio mínimo do came e o comprimento da face do seguidor.
3.39. Um seguidor radial de face plana é acionado segundo um deslocamento total de 38
mm. O seguidor se eleva de 25 mm com aceleração constante durante 120°de rotação do came
e os restantes 13 mm com desaceleração constante durante 60°
. O seguidor retorna com
movimento harmônico simples em 90° e repousa durante o restante da revolução do came.
Complete a solução conforme o pedido do problema 3.38.
3.40. No desenho mostrado na Fig. 3.45, o came de disco é empregado para posicionar o
seguidor radial de face plana em um mecanismo de cômputo. O perfil do came deve ser
projetado para dar um deslocamento S ao seguidor, de acordo com a função S = kθ 2
, partindo
do repouso, quando o came girar no sentido anti-horário. Para 60°de rotação do came, a partir
da posição inicial, a elevação do seguidor é de 10 mm. Determine analiticamente as distâncias R
e I quando o came tiver girado de 45°a partir da posição inicial. Verifique a existência de pontas
no contorno do came durante a rotação de 60°
.
Figura 3.44

77
3.41. Um seguidor radial de rolete é acionado segundo um deslocamento total de 25 mm
com movimento harmônico simples durante meia-volta do came. O movimento de retorno é o
mesmo da elevação e também se realiza em meia-volta do came. Usando um raio mínimo R0 da
superfície primitiva de 38 cm e um diâmetro do rolete de 19 mm, determine as posições do
centro do rolete do seguidor utilizando intervalos de rotação de 15° para o came. Desenhe o
contorno do came e calcule os ângulos de pressão para determinar os pontos de contato.
3.42. Um seguidor radial de rolete se desloca com uma elevação total de 50 mm em
movimento cicloidal durante 180°de rotação do came. O seguidor repousa nos próximos 90°e
então retorna 50 mm com movimento cicloidal durante 90°de rotação do came. Usando um raio
mínimo R0 da superfície primitiva de 25 mm, calcule com um computador o deslocamento, a
velocidade, a aceleração e o ângulo de pressão do seguidor, utilizando intervalos de rotação de
10°para o came.
3.43. Um seguidor radial de rolete se desloca com uma elevação total de 19 mm com
movimento harmônico enquanto o came gira de 30°
. Verifique a existência de pontas na
superfície do came com raio do rolete de 6,25 mm e raio mínimo da superfície primitiva R0 igual
a 46,875 mm.
3.44. Um seguidor radial de rolete se desloca com elevação total de 6,5 mm com
. O raio Rr do rolete é 6,5 mm. Determine o
valor limite de R0 que ocasione um perfil pontiagudo durante esse movimento.
movimento cicloidal enquanto o came gira de 30°
. Determine o raio de curvatura ρ da superfície
primitiva quando θ for igual a 15°
. O raio Rr do rolete é 6,25 mm e R0 é 46,875 mm.
. Determine o valor de R0 para que o ângulo
de pressão máximo seja 30°
.
3.47. Usando a equação 3.12 e as expressões adequadas de R e dR/dθ, desenvolva a
equação de α para o movimento cicloidal. Utilizando os dados do exemplo 3.5 calcule o ângulo
de pressão α quando θ for igual a 22,5°
.
movimento cicloidal enquanto o came gira de 30°
. Supondo R0 = 38 mm, determine αmáx. Se αmáx
for muito grande e se as exigências de dimensões não permitirem o aumento de R0, faça outras
recomendações para limitar αmáx em 30°
.
3.49. Utilizando os dados de deslocamento do problema 3.5, calcule os valores de R e φ
para um came de disco com seguidor oscilante de rolete. O came gira no sentido anti-horário e
tem um raio mínimo de 25 mm. O diâmetro do rolete é 19 mm e a distância do centro do cubo do
seguidor até o centro do rolete mede 72 mm. O centro do cubo está situado a 75 mm à direita do
centro do came. Na posição inicial, o centro do rolete está na vertical que passa pelo centro do
came. Desenhe o came usando os valores calculados de R e φ e comprove-os graficamente.
3.50. No problema 3.49, ψ = 0,174(1 – cos θ) radianos, aproximadamente. Usando esta
expressão, calcule o ângulo de pressão na posição 3.
3.51. Usando a expressão de ψ como função de θ dada no problema 3.50 e utilizando os
dados do problema 3.49, calcule o ângulo de pressão para a posição inicial e comprove
graficamente.
3.52. Usando a expressão de ψ como função de θ do problema 3.50 e utilizando os dados
do problema 3.49, calcule o raio de curvatura para a posição 2.

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