Conjuntos Finitos e Infinitos - Axioma de Peano - Princípio de Indução - Relação de Ordem

1. Conjuntos Finitos e Infinitos
Gl´aucio Terra
glaucio@ime.usp.br
Departamento de Matem´atica
IME - USP
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 1/1

2. Axiomas de Peano
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 2/1

3. Axiomas de Peano
(N1) s : N → N é injetiva e o complementar da
sua imagem contém apenas um elemento,
denotado pelo símbolo “1”.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 2/1

4. Axiomas de Peano
(N1) s : N → N é injetiva e o complementar da
sua imagem contém apenas um elemento,
denotado pelo símbolo “1”.
(N2) Seja S ⊂ N; então S = N se, e somente se:
1. 1 ∈ S;
2. n ∈ S ⇒ s(n) ∈ S.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 2/1

5. 1o. Princípio da Indução
TEOREMA Seja P : N → {0, 1}. Se (i) P(1) = 1 e
(ii) P(n) = 1 ⇒ P s(n) = 1, então ∀n ∈ N,
P(n) = 1.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 3/1

6. Princípio da Definição por
Recorrência
Seja X um conjunto. Queremos definir uma
função f : N → X. Suponha que seja dado o
valor f(1) e, para todo n ∈ N, uma regra para se
definir f s(n) supondo-se definido f(n). Então
existe uma única f : N → X nestas condições.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 4/1

7. Soma de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 5/1

8. Soma de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:
• n + 1
.
= s(n);
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 5/1

9. Soma de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:
• n + 1
.
= s(n);
• n + s(m)
.
= s(m + n).
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 5/1

10. Produto de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 6/1

11. Produto de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:
• n · 1
.
= n;
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 6/1

12. Produto de Números Naturais
Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:
• n · 1
.
= n;
• n · s(m)
.
= n · m + n.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 6/1

13. Relação de Ordem em N
DEFINIÇÃO Sejam n, m ∈ N.
m < n · ≡ · ∃p ∈ N/n = m + p
m n · ≡ · m = n ou m < n
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 7/1

14. Teorema da Boa Ordenação
TEOREMA Seja A ⊂ N não-vazio. Então A
possui um menor elemento.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 8/1

15. 2o. Princípio da Indução
TEOREMA Seja P : N → {0, 1}. Suponha que,
para todo n ∈ N, (k < n ∧ P(k) = 1) ⇒ P(n) = 1.
Então ∀n ∈ N, P(n) = 1.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 9/1

16. Princípio da Definição por
Recorrência
Seja X um conjunto. Queremos definir uma
função f : N → X. Suponha que seja dado o
valor f(1) e uma regra para se definir f(n)
supondo-se definidos os valores f(m) para todo
m < n. Então existe uma única f : N → X
nestas condições.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 10/1

17. Conjuntos Finitos
DEFINIÇÃO Diz-se que um conjunto X é finito se
X = ∅ ou se existir n ∈ N e uma bijeção
f : In → X. Neste caso, diz-se que X tem n
elementos.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 11/1

18. Conjuntos Finitos
TEOREMA Seja A ⊂ In. Suponha que existe
f : A → In bijeção. Então A = In.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 12/1

19. Conjuntos Finitos
TEOREMA Seja A ⊂ In. Suponha que existe
f : A → In bijeção. Então A = In.
COROLÁRIO Seja A um conjunto. Se existem
bijeções f : A → In e f : A → Im, então m = n.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 12/1

20. Conjuntos Finitos
COROLÁRIO Sejam A e B conjuntos finitos,
ambos com n elementos. Seja f : A → B. São
equivalentes:
1. f é injetiva;
2. f é sobre;
3. f é bijetiva.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 13/1

21. Conjuntos Finitos
COROLÁRIO Sejam A e B conjuntos finitos,
ambos com n elementos. Seja f : A → B. São
equivalentes:
1. f é injetiva;
2. f é sobre;
3. f é bijetiva.
COROLÁRIO Seja A um conjunto. Se A é finito,
não existe bijeção entre A e uma parte própria
de A.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 13/1

22. Conjuntos Finitos
TEOREMA Sejam X um conjunto finito com n
elementos e A ⊂ X. Então A é finito e tem
m n elementos.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 14/1

23. Conjuntos Finitos
TEOREMA Sejam X um conjunto finito com n
elementos e A ⊂ X. Então A é finito e tem
m n elementos.
COROLÁRIO Seja f : X → Y . Tem-se:
1. Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito.
2. Se X é finito e f é sobre, então Y é finito.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 14/1

24. Conjuntos Finitos
TEOREMA Sejam X um conjunto finito com n
elementos e A ⊂ X. Então A é finito e tem
m n elementos.
COROLÁRIO Seja f : X → Y . Tem-se:
1. Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito.
2. Se X é finito e f é sobre, então Y é finito.
COROLÁRIO X ⊂ N é finito se, e somente se, for
limitado, i.e. se existir p ∈ N tal que
(∀n ∈ X)n p.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 14/1

25. Conjuntos Finitos
TEOREMA Sejam X um conjunto finito com n
elementos e A ⊂ X. Então A é finito e tem
m n elementos.
COROLÁRIO Seja f : X → Y . Tem-se:
1. Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito.
2. Se X é finito e f é sobre, então Y é finito.
COROLÁRIO X ⊂ N é finito se, e somente se, for
limitado, i.e. se existir p ∈ N tal que
(∀n ∈ X)n p.
COROLÁRIO N não é finito.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 14/1

26. Conjuntos Enumeráveis e
não-Enumeráveis
DEFINIÇÃO Um conjunto X se diz infinito se não
for finito; X se diz enumerável se for finito ou se
existir uma bijeção N → X.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 15/1

27. Conjuntos Enumeráveis e
não-Enumeráveis
TEOREMA Seja X um conjunto. São
equivalentes:
1. X é infinito;
2. existe f : N → X injetiva;
3. existe uma bijeção entre X e uma parte
própria de X.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 16/1

28. Conjuntos Enumeráveis e
não-Enumeráveis
TEOREMA Seja X ⊂ N. Então X é enumerável.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 17/1

29. Conjuntos Enumeráveis e
não-Enumeráveis
TEOREMA Seja X ⊂ N. Então X é enumerável.
COROLÁRIO Seja f : X → Y . Tem-se:
1. Se Y é enumerável e f injetiva, então X é
enumerável.
2. Se X é enumerável e f é sobre, então Y é
enumerável.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 17/1

30. Conjuntos Enumeráveis e
não-Enumeráveis
TEOREMA N × N é enumerável.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 18/1

31. Conjuntos Enumeráveis e
não-Enumeráveis
TEOREMA N × N é enumerável.
COROLÁRIO O produto cartesiano de dois
conjuntos enumeráveis é um conjunto
enumerável.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 18/1

32. Conjuntos Enumeráveis e
não-Enumeráveis
TEOREMA N × N é enumerável.
COROLÁRIO O produto cartesiano de dois
conjuntos enumeráveis é um conjunto
enumerável.
COROLÁRIO Seja (Xi)i∈N uma família
enumerável de conjuntos enumeráveis. Então
∪i∈NXi é enumerável.
Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 18/1