Tensão
Vetor Tensão
Tensor Tensão
Componentes
Simetria
Tensões Principais
Máxima Tensão Cisalhante
Representação Gráfica de Mohr
Equações do Movimento
Condições de Contorno
Equação de Equilíbrio para pequenas Deformações
A Revolução Francesa. Liberdade, Igualdade e Fraternidade são os direitos que...
Mecânica dos Sólidos - Unidade 03
1. Mecˆanica dos S´olidos I – MAC-005
Unidade 03
Luis Paulo S. Barra
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecˆanica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
v. 14.11
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 1 / 33
2. Livro Texto
Livro texto:
I Introduction to Continuum Mechanics
I W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl
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3. Programa
1 Tens˜ao
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4. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 4 / 33
5. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 4 / 33
6. Vetor Tens˜ao
Nas unidades anteriores consideramos a descric¸ ˜ao cinm´etica do movimento de um
meio cont´ınuo
N˜ao foram consideradas as forc¸as que causam o movimento ou deformac¸ ˜ao
Nesta unidade, vamos considerar formas de descrever as forc¸as no interior do
corpo idealizado como cont´ınuo
As forc¸as s˜ao consideradas como
I Forc¸as de superf´ıcie, atuando em superf´ıcies1 separando os corpos
I Forc¸as de corpo, devido a campos gravitacionais ou forc¸as eletrost´aticas
1reais ou imaginarias
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7. Vetor Tens˜ao
Vamos considerar um meio cont´ınuo mostrado na Figura abaixo. Imagine um plano S
que passa por um ponto arbitr´ario P com normal n.
O plano divide a corpo em duas partes, I e II.
Considere na parte I uma resultante F atuando no entorno de uma regi˜ao A
contendo P
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8. Vetor Tens˜ao
O vetor tens˜ao ´e definido como o limite da raz˜ao F=A quando A ! 0
tn = lim
A!0
F
A
:
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9. Vetor Tens˜ao
O vetor tens˜ao ´e definido como o limite da raz˜ao F=A quando A ! 0
tn = lim
A!0
F
A
:
Ac¸ ˜ao e reac¸ ˜ao:
tn = tn
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 6 / 33
10. Vetor Tens˜ao
O vetor tens˜ao ´e definido como o limite da raz˜ao F=A quando A ! 0
tn = lim
A!0
F
A
:
Ac¸ ˜ao e reac¸ ˜ao:
tn = tn
Em uma superf´ıcie qualquer de normal n
em P:
t = lim
S!0
F
S
:
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11. Vetor Tens˜ao
Princ´ıpio da Tens˜ao de Cauchy
t = t(x; t; n)
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12. Vetor Tens˜ao
Princ´ıpio da Tens˜ao de Cauchy
t = t(x; t; n)
Mais especificamente:
t(x; t; n) = T(x; t)n:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 7 / 33
13. Vetor Tens˜ao
Princ´ıpio da Tens˜ao de Cauchy
t = t(x; t; n)
Mais especificamente:
t(x; t; n) = T(x; t)n:
Tensor Tens˜ao
Seja T a transformac¸ ˜ao tal que :
tn = Tn
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14. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
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15. Tensor Tens˜ao
Considerando a segunda lei
de Newton aplicada ao
tetraedro ao lado:
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16. Tensor Tens˜ao
Considerando a segunda lei
de Newton aplicada ao
tetraedro ao lado:
X
F = te1 (A1) + te2 (A2) + te3 (A3) + tn(An) = ma:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 8 / 33
17. Tensor Tens˜ao
Considerando a segunda lei
de Newton aplicada ao
tetraedro ao lado:
X
F = te1 (A1) + te2 (A2) + te3 (A3) + tn(An) = ma:
Sendo:
n = n1e1 + n2e2 + n3e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 8 / 33
18. Tensor Tens˜ao
Considerando a segunda lei
de Newton aplicada ao
tetraedro ao lado:
X
F = te1 (A1) + te2 (A2) + te3 (A3) + tn(An) = ma:
Sendo:
n = n1e1 + n2e2 + n3e3
Podem ser obtidas as relac¸ ˜oes :
A1 = n1An; A2 = n2An; A3 = n3An
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 8 / 33
19. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
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20. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
Uma vez que:
tei = tei = T ei
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21. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
Uma vez que:
tei = tei = T ei
tn = T n
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22. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
Uma vez que:
tei = tei = T ei
tn = T n
e fazendo o limite quando os lados do tetraedro tendem a zero:
n1T e1 n2T e2 n3T e3 + T n = 0
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23. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
Uma vez que:
tei = tei = T ei
tn = T n
e fazendo o limite quando os lados do tetraedro tendem a zero:
n1T e1 n2T e2 n3T e3 + T n = 0
Logo:
T n = T(n1e1 + n2e2 + n3e3)
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24. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
Uma vez que:
tei = tei = T ei
tn = T n
e fazendo o limite quando os lados do tetraedro tendem a zero:
n1T e1 n2T e2 n3T e3 + T n = 0
Logo:
T n = T(n1e1 + n2e2 + n3e3) = n1T e1 + n2T e2 + n3T e3
O que mostra que T ´e linear, portanto um tensor de segunda ordem.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 9 / 33
25. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 10 / 33
26. Componentes do Tensor Tens˜ao
A partir de t = Tn, as componentes de t est˜ao relacioanadas com T e n da seguinte
forma:
ti = Tijnj
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 10 / 33
27. Componentes do Tensor Tens˜ao
A partir de t = Tn, as componentes de t est˜ao relacioanadas com T e n da seguinte
forma:
ti = Tijnj
ou de uma forma mais conveniente aos c´alculos,
[t] = [T][n]:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 10 / 33
28. Componentes do Tensor Tens˜ao
A partir de t = Tn, as componentes de t est˜ao relacioanadas com T e n da seguinte
forma:
ti = Tijnj
ou de uma forma mais conveniente aos c´alculos,
[t] = [T][n]:
Uma vez que:
te1 = T e1 = T11e1 + T21e2 + T31e3
te2 = T e2 = T12e1 + T22e2 + T32e3
te3 = T e3 = T13e1 + T23e2 + T33e3
percebe-se que:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 10 / 33
29. Componentes do Tensor Tens˜ao
A partir de t = Tn, as componentes de t est˜ao relacioanadas com T e n da seguinte
forma:
ti = Tijnj
ou de uma forma mais conveniente aos c´alculos,
[t] = [T][n]:
Uma vez que:
te1 = T e1 = T11e1 + T21e2 + T31e3
te2 = T e2 = T12e1 + T22e2 + T32e3
te3 = T e3 = T13e1 + T23e2 + T33e3
percebe-se que:
T11 ´e a componente normal ou tens˜ao normal;
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 10 / 33
30. Componentes do Tensor Tens˜ao
A partir de t = Tn, as componentes de t est˜ao relacioanadas com T e n da seguinte
forma:
ti = Tijnj
ou de uma forma mais conveniente aos c´alculos,
[t] = [T][n]:
Uma vez que:
te1 = T e1 = T11e1 + T21e2 + T31e3
te2 = T e2 = T12e1 + T22e2 + T32e3
te3 = T e3 = T13e1 + T23e2 + T33e3
percebe-se que:
T11 ´e a componente normal ou tens˜ao normal;
T12 e T13 s˜ao as componentes tangenciais ou tens˜oes cisalhantes.
...
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 10 / 33
31. Componentes do Tensor Tens˜ao
Tens˜ao Cisalhante Resultante
A tens˜ao cisalhante resultante na face de normal n1 ´e dada por:
= T21e2 + T31e3
tendo como m´odulo:
jj =
q
T2
21 + T2
31
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32. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 12 / 33
33. Simetria do Tensor Tens˜ao
Fazendo o equil´ıbrio de momento angular do elemento diferencial, vamos mostrar que
o tensor de tens˜oes ´e geralmente um tensor sim´etrico 2
X
(MA)3 = T21(x2x3)
x1
2
!
T12 (x1x3)
x2
2
!
+ (T21 + T21) (x2x3)
x1
2
!
(T12 + T12) (x1x3)
x2
2
!
= I333
2A simetria do tensor de tens˜oes n˜ao ´e v´alida se h´a momentos distribu´ıdos por unidade de volume,
como no caso de s´olidos diel´etricos anisotr´opicos polarizados
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 12 / 33
34. Simetria do Tensor Tens˜ao
X
(MA)3 = (T21 T12) x1x2x3 = I333
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 13 / 33
35. Simetria do Tensor Tens˜ao
X
(MA)3 = (T21 T12) x1x2x3 = I333
E como:
I33 =
1
12
(densidade)x1x2x3
12
h
(x1)2 + (x2)2
i
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 13 / 33
36. Simetria do Tensor Tens˜ao
X
(MA)3 = (T21 T12) x1x2x3 = I333
E como:
I33 =
1
12
(densidade)x1x2x3
12
h
(x1)2 + (x2)2
i
No limite, quando xi ! 0 :
(T21 T12) = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 13 / 33
37. Simetria do Tensor Tens˜ao
X
(MA)3 = (T21 T12) x1x2x3 = I333
E como:
I33 =
1
12
(densidade)x1x2x3
12
h
(x1)2 + (x2)2
i
No limite, quando xi ! 0 :
(T21 T12) = 0
Logo:
T12 = T21
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 13 / 33
38. Simetria do Tensor Tens˜ao
X
(MA)3 = (T21 T12) x1x2x3 = I333
E como:
I33 =
1
12
(densidade)x1x2x3
12
h
(x1)2 + (x2)2
i
No limite, quando xi ! 0 :
(T21 T12) = 0
Logo:
T12 = T21
E analogamente:
T13 = T31
T23 = T32
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 13 / 33
39. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 14 / 33
40. Tens˜oes Principais
Devido `a simetria:
existem pelo menos 3 direc¸ ˜oes principais (autovetores) mutuamente ortogonais
definindo planos principais;
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 14 / 33
41. Tens˜oes Principais
Devido `a simetria:
existem pelo menos 3 direc¸ ˜oes principais (autovetores) mutuamente ortogonais
definindo planos principais;
nestes planos atuam apenas tens˜oes normais (autovalores);
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 14 / 33
42. Tens˜oes Principais
Devido `a simetria:
existem pelo menos 3 direc¸ ˜oes principais (autovetores) mutuamente ortogonais
definindo planos principais;
nestes planos atuam apenas tens˜oes normais (autovalores);
dentre estas tens˜oes tem-se a m´axima e a m´ınima tens˜ao normal.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 14 / 33
43. Tens˜oes Principais
Devido `a simetria:
existem pelo menos 3 direc¸ ˜oes principais (autovetores) mutuamente ortogonais
definindo planos principais;
nestes planos atuam apenas tens˜oes normais (autovalores);
dentre estas tens˜oes tem-se a m´axima e a m´ınima tens˜ao normal.
Equac¸ ˜ao Caracter´ıstica:
3 I12 + I2 I3 = 0
onde
I1 = T11 + T22 + T33
I2 =
95. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 14 / 33
96. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 15 / 33
97. M´axima Tens˜ao Cisalhante
Em relac¸ ˜ao `as direc¸ ˜oes principais:
2666666664
t1
t2
t3
3777777775
=
2666666664
T1 0 0
0 T2 0
0 0 T3
3777777775 2666666664
n1
n2
n3
3777777775
=
2666666664
n1T1
n2T2
n3T3
3777777775
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 15 / 33
98. M´axima Tens˜ao Cisalhante
Em relac¸ ˜ao `as direc¸ ˜oes principais:
2666666664
t1
t2
t3
3777777775
=
2666666664
T1 0 0
0 T2 0
0 0 T3
3777777775 2666666664
n1
n2
n3
3777777775
=
2666666664
n1T1
n2T2
n3T3
3777777775
Ou de forma mais compacta:
t = n1T1e1 + n2T2e2 + n3T3e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 15 / 33
99. M´axima Tens˜ao Cisalhante
Em relac¸ ˜ao `as direc¸ ˜oes principais:
2666666664
t1
t2
t3
3777777775
=
2666666664
T1 0 0
0 T2 0
0 0 T3
3777777775 2666666664
n1
n2
n3
3777777775
=
2666666664
n1T1
n2T2
n3T3
3777777775
Ou de forma mais compacta:
t = n1T1e1 + n2T2e2 + n3T3e3
A componente normal, Tn, pode ser obtida:
Tn = n t = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 15 / 33
100. M´axima Tens˜ao Cisalhante
E a magnitude da tens˜ao cisalhante, Ts, deve satisfazer a relac¸ ˜ao:
T2
s = jtj2 T2
n
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 16 / 33
101. M´axima Tens˜ao Cisalhante
E a magnitude da tens˜ao cisalhante, Ts, deve satisfazer a relac¸ ˜ao:
T2
s = jtj2 T2
n
que expandida fornece:
T2
s = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
n21
T1 + n22
T2 + n23
T3
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 16 / 33
102. M´axima Tens˜ao Cisalhante
E a magnitude da tens˜ao cisalhante, Ts, deve satisfazer a relac¸ ˜ao:
T2
s = jtj2 T2
n
que expandida fornece:
T2
s = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
n21
T1 + n22
T2 + n23
T3
2
Observamos que Ts = 0, que ´e o valor m´ınimo da tens˜ao cisalhante, em
(n1; n2; n3) = (1; 0; 0)
(n1; n2; n3) = (0; 1; 0)
(n1; n2; n3) = (0; 0; 1)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 16 / 33
103. M´axima Tens˜ao Cisalhante
E a magnitude da tens˜ao cisalhante, Ts, deve satisfazer a relac¸ ˜ao:
T2
s = jtj2 T2
n
que expandida fornece:
T2
s = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
n21
T1 + n22
T2 + n23
T3
2
Observamos que Ts = 0, que ´e o valor m´ınimo da tens˜ao cisalhante, em
(n1; n2; n3) = (1; 0; 0)
(n1; n2; n3) = (0; 1; 0)
(n1; n2; n3) = (0; 0; 1)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 16 / 33
104. M´axima Tens˜ao Cisalhante
Usando a restric¸ ˜ao n21
+ n22
+ n23
= 1 pode-se obter, por exemplo:
T2
s = f (n1; n2)
e a determinac¸ ˜ao dos valores m´aximos pode ser feita satisfazendo:
@
T2
s
@n1
= 0 e
@
T2
s
@n2
= 0
Pode ser mostrado que o valor m´aximo da tens˜ao cisalhante ´e:
(Ts)max =
T1 T3
2 =
(Tn)max (Tn)min
2
e ocorre em planos definidos pelo vetor normal:
n =
p
2
2
e1
p
2
2
e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 17 / 33
105. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 18 / 33
106. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Sejam e1, e2 e e3 as direc¸ ˜oes principais de T e sejam T1; T2; T3 as tens˜oes principais.
Se n = n1e1 + n2e2 + n3e3 ´e o normal unit´ario a um plano, ent˜ao
2666666664
t1
t2
t3
3777777775
=
2666666664
T1 0 0
0 T2 0
0 0 T3
3777777775 2666666664
n1
n2
n3
3777777775
ou
t = n1T1e1 + n2T2e2 + n3T3e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 18 / 33
107. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
A componente normal ´e dada por
Tn = t n = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3
Se Ts denota a magnitude da tens˜ao
cisalhante total no plano, ent˜ao temos
T2
s = ktk2 T2
n
ou ainda
T2
s = n21
T2
1+n22
T2
2+n23
T2
3(n21
T1+n22
T2+n23
T3)
com
knk = 1 ) n21
+ n22
+ n23
= 1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 19 / 33
108. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
109. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
110. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
111. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
112. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
113. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
114. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
115. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
116. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
117. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
118. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
119. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
120. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
121. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
122. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
123. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
124. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33
125. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 21 / 33
126. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜ao da semi-circunferˆencia de raio R,com centro em (O1; 0):
(Tn O1)2 + T2
s = R2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 21 / 33
127. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜ao da semi-circunferˆencia de raio R,com centro em (O1; 0):
(Tn O1)2 + T2
s = R2
Que expandida fornece:
T2
n 2O1Tn + O21
+ T2
s = R2
onde O1 = T2+T3
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 21 / 33
128. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33
129. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33
130. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Lembrando que Tn = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3 e subtraindo 2Tn
T2+T3
2 dos dois membros:
T2
n Tn (T2 + T3) + T2
s = T2
1 n21
+ T2
2 n22
+ T2
3 n23
T1n21
+ T2n22
+ T3n23
(T2 + T3)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33
131. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Lembrando que Tn = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3 e subtraindo 2Tn
T2+T3
2 dos dois membros:
T2
n Tn (T2 + T3) + T2
s = T2
1 n21
+ T2
2 n22
+ T2
3 n23
T1n21
+ T2n22
+ T3n23
(T2 + T3)
= n21
T2
1 T1T2 T1T3
T2T3
n22
+ n23
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33
132. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Lembrando que Tn = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3 e subtraindo 2Tn
T2+T3
2 dos dois membros:
T2
n Tn (T2 + T3) + T2
s = T2
1 n21
+ T2
2 n22
+ T2
3 n23
T1n21
+ T2n22
+ T3n23
(T2 + T3)
= n21
T2
1 T1T2 T1T3
T2T3
n22
+ n23
= n21
T2
1 T1T2 T1T3+T2T3
T2T3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33
133. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Lembrando que Tn = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3 e subtraindo 2Tn
T2+T3
2 dos dois membros:
T2
n Tn (T2 + T3) + T2
s = T2
1 n21
+ T2
2 n22
+ T2
3 n23
T1n21
+ T2n22
+ T3n23
(T2 + T3)
= n21
T2
1 T1T2 T1T3
T2T3
n22
+ n23
= n21
T2
1 T1T2 T1T3+T2T3
T2T3
= n21
[T1 (T1 T2) T3 (T1 T2)] T2T3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33
134. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Lembrando que Tn = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3 e subtraindo 2Tn
T2+T3
2 dos dois membros:
T2
n Tn (T2 + T3) + T2
s = T2
1 n21
+ T2
2 n22
+ T2
3 n23
T1n21
+ T2n22
+ T3n23
(T2 + T3)
= n21
T2
1 T1T2 T1T3
T2T3
n22
+ n23
= n21
T2
1 T1T2 T1T3+T2T3
T2T3
= n21
[T1 (T1 T2) T3 (T1 T2)] T2T3
= n21
(T1 T2) (T1 T3) 2
T2T3
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33
135. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
T2
n 2Tn
T2 + T3
2
+ T2
s = n21
(T1 T2) (T1 T3) 2
T2T3
2
Somando membro a membro a equac¸ ˜ao acima com:
T2 + T3
2
2
=
T2
2
4 +
T2T3
2 +
T2
3
4
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 23 / 33
136. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
T2
n 2Tn
T2 + T3
2
+ T2
s = n21
(T1 T2) (T1 T3) 2
T2T3
2
Somando membro a membro a equac¸ ˜ao acima com:
T2 + T3
2
2
=
T2
2
4 +
T2T3
2 +
T2
3
4
obt´em-se:
Tn
T2 + T3
2
2
+ T2
s = n21
(T1 T2) (T1 T3) +
T2 T3
2
2
| {z }
R2n
1=0 | {z }
R2n
1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 23 / 33
137. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Analogamente pode-se obter:
Tn
T1 + T3
2
2
s = n22
+ T2
(T2 T1) (T2 T3) +
T1 T3
2
2
| {z }
R2n
2=0 | {z }
R2n
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 24 / 33
138. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Analogamente pode-se obter:
Tn
T1 + T3
2
2
s = n22
+ T2
(T2 T1) (T2 T3) +
T1 T3
2
2
| {z }
R2n
2=0 | {z }
R2n
2
e
Tn
T1 + T2
2
2
+ T2
s = n23
(T3 T1) (T3 T2) +
T2 T1
2
2
| {z }
R2n
3=0 | {z }
R2n
3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 24 / 33
139. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac¸ ˜ao Gr´afica:
R2n
1 = n21
(T1 T2) (T1 T3) +
T2 T3
2
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 25 / 33
140. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac¸ ˜ao Gr´afica:
R2n
1 = n21
(T1 T2) (T1 T3) +
T2 T3
2
2
= n21
(T1 T2) [(T1T2) + (T2 T3)] +
T2 T3
2
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 25 / 33
141. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac¸ ˜ao Gr´afica:
R2n
1 = n21
(T1 T2) (T1 T3) +
T2 T3
2
2
= n21
(T1 T2) [(T1T2) + (T2 T3)] +
T2 T3
2
2
= n21
(T1 T2)2 + n21
(T1 T2) (T2 T3) +
T2 T3
2
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 25 / 33
142. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac¸ ˜ao Gr´afica:
R2n
1 = n21
(T1 T2) (T1 T3) +
T2 T3
2
2
= n21
(T1 T2) [(T1T2) + (T2 T3)] +
T2 T3
2
2
= n21
(T1 T2)2 + n21
(T1 T2) (T2 T3) +
T2 T3
2
2
Somando e subtraindo n41
(T1 T2)2 :
R2n1 = n21
(T1 T2)2 n41
(T1 T2)2 +
T1 T3
2 + n21
(T1 T2)
#2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 25 / 33
143. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33
144. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33
145. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33
146. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
O1C =
T2 T3
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33
147. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
O1C =
T2 T3
2
Desta forma:
R2n
1 = n21
(T1 T2)2 n41
(T1 T2)2 +
T1 T3
2 + n21
(T1 T2)
#2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33
148. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
O1C =
T2 T3
2
Desta forma:
R2n
1 = n21
(T1 T2)2 n41
(T1 T2)2 +
T1 T3
2 + n21
(T1 T2)
#2
= CB2
CD2
+
h
O1C + CD
i2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33
149. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
O1C =
T2 T3
2
Desta forma:
R2n
1 = n21
(T1 T2)2 n41
(T1 T2)2 +
T1 T3
2 + n21
(T1 T2)
#2
= CB2
CD2
+
h
O1C + CD
i2
= DB2
+ O1D2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33
150. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
O1C =
T2 T3
2
Desta forma:
R2n
1 = n21
(T1 T2)2 n41
(T1 T2)2 +
T1 T3
2 + n21
(T1 T2)
#2
= CB2
CD2
+
h
O1C + CD
i2
= DB2
+ O1D2
= O1B2
Analogamente para a variac˜ao das demais componentes.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33
151. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
152. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
153. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
154. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
155. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
156. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
157. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
158. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
159. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
160. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
161. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
162. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
163. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
164. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
165. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
166. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
167. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
168. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
169. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
170. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
171. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
172. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
173. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
174. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
175. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
176. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
177. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
178. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
179. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,
180. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33
181. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 28 / 33
182. Equac¸ ˜oes do Movimento
Vamos determinar as equac¸ ˜oes diferencias do movimento para qualquer meio
cont´ınuo. A hip´otese b´asica ´e que cada part´ıcula no cont´ınuo satisfaz as leis de
Newton.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 28 / 33
183. Equac¸ ˜oes do Movimento
Sejam B = Biei a forc¸a de corpo (peso pr´oprio), a densidade do material em xi, a a a
acelerac¸ ˜ao da part´ıcula em xi. Ent˜ao, em coordenadas cartesianas retangulares, as leis
de Newton tomam a forma:
te1 (x1 + x1; x2; x3) te1 (x1; x2; x3)
x1
!
+
te2 (x1; x2 + x2; x3) te2 (x1; x2; x3)
x2
!
+
te3 (x1; x2; x3 + x3) te3 (x1; x2; x3)
x3
!#
x1x2x3
+Bx1x2x3 = a x1x2x3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 29 / 33
184. Equac¸ ˜oes do Movimento
Fazendo x1, x2 e x3 tender a zero, obt´em-se:
@te1
@x1
+
@te2
@x2
+
@te3
@x3
+ B = a
3Equac¸ ˜ao de Cauchy do movimento
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 30 / 33
185. Equac¸ ˜oes do Movimento
Fazendo x1, x2 e x3 tender a zero, obt´em-se:
@te1
@x1
+
@te2
@x2
+
@te3
@x3
+ B = a
E lembrando que Tej = Tijei, chega-se a:
@Tij
@xj
ei + Biei = aiei
3Equac¸ ˜ao de Cauchy do movimento
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 30 / 33
186. Equac¸ ˜oes do Movimento
Fazendo x1, x2 e x3 tender a zero, obt´em-se:
@te1
@x1
+
@te2
@x2
+
@te3
@x3
+ B = a
E lembrando que Tej = Tijei, chega-se a:
@Tij
@xj
ei + Biei = aiei
Sob forma invariante a equac¸ ˜ao acima pode ser escrita como:
divT + B = a
e em componentes3:
@Tij
@xj
+ Bi = ai
3Equac¸ ˜ao de Cauchy do movimento
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 30 / 33
187. Equac¸ ˜oes do Movimento
Se a acelerac¸ ˜ao ´e nula: Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio
@Tij
@xj
+ Bi = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 31 / 33
188. Equac¸ ˜oes do Movimento
Se a acelerac¸ ˜ao ´e nula: Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio
@Tij
@xj
+ Bi = 0
Ou em forma invariante:
divT + B = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 31 / 33
189. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 32 / 33
190. Condic¸ ˜oes de Contorno
Se no contorno (fronteira) de um meio
cont´ınuo ´e aplicada alguma forc¸a
distribu´ıda em uma ´area, devemos
considerar as condic¸ ˜oes de contorno para
a tens˜ao na fronteira,
t = Tn
onde T ´e o tensor de tens˜oes avaliado no
contorno.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 32 / 33
191. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 33 / 33
192. Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio pequenas deformac˜oes
No caso de pequenas deformac˜oes a configurac˜ao deformada se confunde com a
original desta forma a equac˜ao:
@Tim
@xm
+ Bi = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 33 / 33
193. Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio pequenas deformac˜oes
No caso de pequenas deformac˜oes a configurac˜ao deformada se confunde com a
original desta forma a equac˜ao:
@Tim
@xm
+ Bi = 0
´e equivalente a:
@Tim
@Xm
+ 0Bi = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 33 / 33
194. Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio pequenas deformac˜oes
No caso de pequenas deformac˜oes a configurac˜ao deformada se confunde com a
original desta forma a equac˜ao:
@Tim
@xm
+ Bi = 0
´e equivalente a:
@Tim
@Xm
+ 0Bi = 0
ou ainda:
divT + f = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 33 / 33