1) O documento apresenta exercícios sobre geometria da Terra e dos planetas, incluindo cálculos da excentricidade da Terra e da distância focal de uma elipse representando sua órbita. 2) É calculada a velocidade média e o tempo de transmissão de sinal de um satélite em órbita a 700km da Terra. 3) A distância de Mercúrio ao Sol é calculada usando a terceira lei de Kepler, relacionando os períodos de Mercúrio e da Terra.

1. Curso de Engenharia - UNIVESP
Disciplina Matemática
Bimestre 1
Exercícios da semana 4 - vídeoaulas 15 e 16
Exercícios da vídeoaula 15
1) Normalmente assumimos que a Terra é uma esfera para a maioria dos cálculos,
porém, sua forma é aproximadamente a de um elipsóide, que é uma forma
tridimensional gerada a partir da rotação de uma elipse  por um eixo de simetria,
como se vê na figura.
Sabendo que o semieixo equatorial da Terra tem aproximadamente 6378137 km, e
que seu semieixo polar tem aproximadamente 6356752 km, pede-se:
a) A excentricidade de  (lembre-se que a excentricidade é definida como c/a).
Sendo a2 – b2 = (a+b) . (a-b) => a2 - ab + ab - b2 => a2 – b2
No exercício:
a = hipotenusa
b = cateto vertical
c = cateto horizontal
como a excentricidade é c/a, basta achar o "c".
a2 = b2 + c2 => c2 = a2 - b2 => c2 = (a+b) . (a-b) => c2 = (6.378.137 +
6.356.752) . (6.378.137 - 6.356.752)
c2 = (12.734.889) . (21.385) => c = √272.335.601.256 =~ 521.858
Logo, c/a => 521.858 / 6378.137 => 0,081.
Resposta: 0,081

2. b) A equação de  considerando o referencial de eixos ortogonais indicado abaixo.
x2/a2 + y2/b2 = 1
2) Um estudante resolveu fazer um desenho (no chão) em escala da trajetória elíptica da
Terra em torno do Sol utilizando barbante e giz. Na construção ele utilizou um pedaço
de 2 metros de barbante para representar o eixo maior da elipse. Sabendo que a
excentricidade da trajetória da Terra em torno do Sol é 0,0167, qual terá sido a medida
da distância focal da elipse desenhada pelo estudante no chão? (dê sua resposta em
centímetros)
2a = 200cm  a = 100cm (lembrar que a=hipotenusa do triangulo retângulo formado entre o
ponto focal e o eixo vertical).
Como a excentricidade é dada, 0,0167 =
푐
푎
 c = 0,0167 . 100  c = 1,67cm
Distância focal = 2c  2 . 1,67  3,34
3) A Terra está a aproximadamente 150 milhões de quilômetros do Sol, e o ano terrestre
tem aproximadamente 365 dias. Sabendo que o ano em Mercúrio, que é o planeta
mais próximo do Sol, tem aproximadamente 88 dias terrestres, calcule a distância que
Mercúrio está do Sol utilizando a terceira lei de Kepler.
De acordo com a 3ª lei de Kepler “o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio
médio”.
Assim,
푇2
푟3 =
푇2
푟3 sendo T = tempo e r = raio.
(365)2
(150.106) 2 =
(88)2
푟3  r ≈ 58 milhões de quilômetros
Ou seja, a distância que o planeta Mercúrio está do sol é de aproximadamente 58
milhões de quilômetros.

3. Exercícios da vídeoaula 16
Dados: para os exercícios a seguir, considere a Terra como sendo uma esfera de raio 6370 km.
1) Sabendo que a distância entre as cidades de São Paulo e Moscou é de
aproximadamente 11806 km, calcule o menor ângulo do arco de circunferência
máxima que separa essas duas cidades.
Primeiro, achar o comprimento da terra que é dado por:
Raio da terra (r) = 6.370km
π ≈ 3,1415
Comprimeito da terra = 2r.π  40.022,71 km
Com uma regra de três podemos achar o menor ângulo entre São Paulo e moscou, da
seguinte maneira:
40.022,71 km --- 360º
11806 -------- x
x = 106°11’
2) O satélite Aqua da NASA está bem próximo da Terra. Sua órbita completa em torno da
Terra leva cerca de 100 minutos, e ele está a cerca de 700 km da superfície da Terra.
Determine sua velocidade média aproximada, em km/h, e o tempo aproximado que
leva um sinal emitido por esse satélite para chegar a Terra, em milisegundos.
r = raio da terra (6370km) + altura que se encontra o satélite (700km)
Comprimento da órbita = 2πr  C ≈ 44.422km
V =
44.422푘푚
5
3
ℎ표푟푎
 26.653,2 km/h
Tempo que o sinal chega na terra:
Velocidade do sinal: 300.000 km/s
Distância percorrida = 700km
Tempo =
푑
푣

700
300000
 ≈ 0,00233 s ou 2,33ms