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09 - Limites de funções reais
O papel dos limites de funções
Limites no infinito
Idéia intuitiva de Limite
Propriedades dos limites
Limite de uma função real
Um limite lundamental
Limites infinitos
O papel dos Limites de funções reais
O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em
toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há
uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:
Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais
Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os
últimos, a Teoria de Limites é fundamental.
O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio
físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo
que está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos
estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, ...
Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que
4 somente é possível através de métodos numéricos que utilizam fortemente
as idéias de limites e continuidade. Na verdade, este cálculo depende do
Teorema do Valor Intermediário (apresentado no final) que é uma
consequência do estudo de continuidade de funções.
Idéia Intuitiva de Limite
Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um
ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R-{1} R definida por:
x²-1
f(x)=
x-1
Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais
simples:
f(x) = x + 1
Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1,
ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função
se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se
aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por
valores x>1 (à direita de 1).
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Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da
função f, para valores x à esquerda e à direita de x=1.
Pela esquerda de x=1 Pela direita de x=1
x 0 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 1 x 2 1,5 1,2 1,1 1,01 1,001 1
f(x) 1 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 2 f(x) 3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2
Neste caso, dizemos L=2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o
que denotaremos por:
Limx 1 f(x) = 2
Este resultado pode ser visto através da análise gráfica de f, cujo esboço
vemos na figura abaixo:
Limite de uma função real
Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto
x=c que pertence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que:
1. O limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da
função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à
direita de c) maiores do que c. Em símbolos:
Limx c+ f(x) = Ld
2. O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da
função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à
esquerda de c) menores que c. Em símbolos:
Limx c_ f(x) = Le
3. Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à
direita Ld, diz-se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é
Ld=Le=L. Com notações simbólicas, escrevemos:
Limx c f(x) = L
O que significa que, para qualquer e>0 e arbitrário, existe um d>0, que
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depende de e, tal que
|f(x)-L|< e
para todo x satisfizando 0 <|x-a|<d.
4. No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de
ambos existirem porém com valores diferentes, diremos que a função
não tem limite no ponto em questão.
O próximo resultado afirma que uma função não pode se aproximar de dois
limites diferentes ao mesmo tempo e ele é denominado o teorema da
unicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então ele
deverá ser único.
Unicidade do Limite: Se Lim f(x)=A e Lim f(x)=B quando x tende ao ponto c,
então A=B.
Demonstração: Se e>0 é arbitrário, então existe d'>0 tal que
|f(x)-A| < e/2
sempre que 0<|x-a|<d'. Como também temos por hipótese que existe d">0
tal que
|f(x)-B| < e/2
sempre que 0<|x-a|<d" e tomando d=min{d',d"}>0, temos que:
|f(x)-A| < e/2 e |f(x)-B| <e/2
sempre que 0<|x-a|<d e pela desigualdade triangular, temos:
|A-B| = |A-f(x)+f(x)-B| < |A-f(x)| + |f(x)-B|
e como e>0 é arbitrário, temos:
|A-B| < e
então |A-B| = 0, o que garante que A=B.
Exercício: Se |z|<e para todo e>0, mostre que z=0.
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Limites Infinitos
Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamento
numérico desta função através das tabelas abaixo.
Comportamento de f à esquerda de x=0
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
f(x) -1 -10 -100 -1000 -10000
Quando x 0, por valores maiores que zero (x 0+) os valores da função
crescem sem limite.
Comportamento de f à direita de x=0
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
f(x) 1 10 100 1000 10000
Quando x 0, por valores menores que zero (x 0_) os valores da função
decrescem sem limite.
Observamos que próximo de x=0, o comportamento da função é estranho.
Baseado neste exemplo, podemos afirmar que quando x tende a 0 esta
função não tem os valores se aproximando de um limite bem definido.
Ao analisar o comportamento numérico de f(x)=1/x², nas proximidades de
x=0, observamos que:
Comportamento de f à esquerda de x=0
x 1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
f(x) 1 100 10000 1000000 100000000
Comportamento de f à direita de x=0
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x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
f(x) 1 100 10000 1000000 100000000
Observamos pelas tabelas, que se x 0, por
valores maiores ou menores do que 0, os
valores da função crescem sem limite.
Assim, podemos afirmar, por este exemplo
que, quando x 0 esta função tem os valores
se aproximando de um limiar (inf=infinito= ).
Neste caso, dizemos que não existe o limite
de f(x)=1/x² no ponto x=0, mas denotamos
tal fato por:
Limx 0 1/x²=+
Por causa desta notação costuma-se dizer que algumas funções têm limites
infinitos e por causa deste limite, dizemos também que o gráfico desta
função tem uma assíntota vertical, que é uma reta cuja equação é dada por
x=0, neste caso.
Definição: Seja f uma função definida para todo x em I, exceto
possivelmente no ponto x=a em I um intervalo aberto contendo a. Diz-se que
f tem limite infinito, quando x se aproxima de a, o que é denotado por:
limx a f(x)=+
se, para todo número real L>0,existir um d>0 tal que se 0<|x-a|<d, então
f(x) > L
De modo similar, g(x)=-1/x² apresenta um
gráfico com todos os valores da imagem no
intervalo (- ,0). O comportamento de g
próximo de x=0 é similar ao de f(x)=1/x²,
porém os valores são negativos. Neste caso,
dizemos que não existe limite no ponto x=0,
no entanto representamos tal resultado por:
Limx 0 -1/x²=+
Definição: Se o limite de f(x) tende a infinito, quando x a pela esquerda e
também pela direita, dizemos que o limite de f(x), quando x a é infinito e
escrevemos:
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limx af(x) =+
Analogamente, a expressão matemática:
limx af(x)=-
significa que f(x) tende a - , se x a pela esquerda e também pela direita.
Limites no Infinito
Analisaremos agora o comportamento de h(x)=1/x, quando x cresce
arbitrariamente (x ) ou quando x decresce arbitrariamente (x - ).
Comportamento de h para x pequenos
x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000
h(x) -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001
Comportamento de h de h para x grandes
x 1 10 100 1000 10000 100000
h(x) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
Pelas tabelas observamos que:
Limx + h(x) = 0
Limx - h(x) = 0
e quando construimos o gráfico de h, observamos que existe uma reta
(assíntota) horizontal que é a reta y=0, que nunca toca a função mas se
aproxima dela em + e em - .
Temos então uma definição geral, englobando tal situação:
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Definição: Seja f uma função definida para todos os valores do intervalo (a,
). Escrevemos:
quando, para todo e>0, existe um número real M>0 tal que |f(x)-L|<e sempre
que x>M.
Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal.
Definição: Dizemos que a reta y=L é uma assíntota horizontal do gráfico de f
se
ou
Propriedades dos limites
Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças,
produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos
propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais
elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos x a.
1. Se f(x)=C onde C é constante, então
Lim f(x) = Lim C = C
2. Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então
Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b
3. Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e
além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:
a. Lim(f ± g)(x) = [Lim f(x)] ± [Lim g(x)] = A ± B
b. Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B
c. Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A
d. Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An
e. Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.
f. Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)
4. Se acontecer uma das situações abaixo:
i. Lim f(x) = 0
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ii. Lim f(x)>0 e n é um número natural
iii. Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar
então
Observações sobre as propriedades:
1. As propriedades que valem para duas funções, valem também para um
número finito de funções.
2. As propriedades 3-a, 3-b e 3-e estabelecem que se existem os limites
das parcelas, então, existirá o limite da operação, mas a recíproca
deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir
sem que existam os limites das parcelas.
Teorema do anulamento: Se f é uma função limitada e g é uma função tal
que Lim g(x)=0, quando x a, então:
Lim f(x)·g(x) = 0
Este resultado útil para podermos obter cálculos com limites.
Teorema do Confronto (regra do sanduiche): Se valem as desigualdades
f(x)<g(x)<h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez
em x=a e se
Lim f(x) = L = Lim h(x)
então:
Lim g(x) = L
Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades:
cos(x) < sen(x)/x < 1
então, quando x 0:
1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1
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Observações: Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites, são
válidas também para limites laterais e para limites no infinito.
Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas,
que são denominadas expressões indeterminadas,
nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de
cada caso.
Um Limite Fundamental
Estudaremos agora um limite fundamental que é utilizado na obtenção da
derivada da função seno.
Limx 0sen(x)/x =1
A derivada da função f(x)=sen(x) no ponto x=a, pode ser obtida pelo limite
f'(a)=Limx a (sen(x)-sen(a))/(x-a)
mas
sen(x)-sen(a) = 2 sen[(x-a)/2].cos[(x+a)/2]
então
f'(a)=Lim 2 sen[(x-a)/2].cos[(x+a)/2]/(x-a)
f'(a)=Lim cos[(x+a)/2].sen[(x-a)/2]./[(x-a)/2]
Com x=a+2u, reescreveremos a última expressão como:
f'(a)=Lim cos(a+u).sen(u)/u=Lim cos(a+u).Lim sen(u)/u
e quando u 0, segue que:
f'(a)=cos(a)
De um modo geral, a derivada da função seno é a função cosseno e
escreveremos:
sen'(x) = cos(x)
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Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 05/abr/2005.
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