O documento descreve o triângulo de Pascal, incluindo suas propriedades e fórmulas matemáticas. O triângulo é formado de forma recursiva e contém números importantes como combinações, números naturais, triangulares e quadrados. Blaise Pascal estudou profundamente o triângulo e suas relações com a teoria das probabilidades.
2. Propriedades
O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações
entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o seu nome.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
3. Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são
formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. Como
exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).
Sendo n o número de linhas e k o número de colunas dessa linha onde o número
está (não se conta com o topo do triângulo, pois numa sucessão definida por
recorrência tem que existir uma condição inicial, tal é 1).
Tal fórmula prova-se por indução matemática em n.
5. Fórmulas
Uma outra consequência é a soma dos elementos de uma linha.
Pascal ao constatar este resultado particularizou o método da indução para um
determinado valor e disse que o mesmo sucederia para os restantes.
A 20ª consequência que Blaise Pascal retirou do triângulo foi a seguinte:
6. Também esta fórmula pode ser demonstrada usando o método da indução.
Com as 20 consequências que Pascal retirou do triângulo, foi-lhe possível chegar ao
resultado
Usando o método da indução, ele chegou ainda à conclusão que
ou seja, ao número de combinações de n elementos k a k.
Também mostrou que as linhas do triângulo correspondem aos coeficientes da
potência de a na expansão de
Pascal relaciona o triângulo aritmético com a teoria das probabilidades da qual foi
também pioneiro.
7. • Relação de Stifel
Podemos somar dois números quaisquer de
uma linha e veremos que o resultado irá estar
debaixo do segundo número.
8. Outras propriedades do triângulo
de Pascal
É de realçar que o triângulo é simétrico. Por isso os elementos equidistantes aos extremos do
triângulo iguais, ou seja em linguagem matemática, nCp= nCn-p com n, pÎN0, n³p.
Encontramos também os números naturais aqui, na 2ª diagonal. Quando um deles for primo (isto é,
apenas divisível por ele próprio e por 1 então todos os elementos dessa linha, excluindo o 1, são
divisíveis por ele.
Temos como exemplo na linha 7: 1 7 21 35 35 21 7 1
como 7 é primo então 7, 21 e 35 são divisíveis por ele.
9. Como Pascal observou, a soma de cada linha é uma potência de 2.
Assim temos
Linha 0: 20=1
Linha 1: 21=2
Linha 2: 22=4
Linha 3: 23=8
...
Podemos verificar também que existem potências de 11, neste triângulo.
Linha 0: 110=1(100)=1
Linha 1: 111=1(101)+1(100)=10+1=11
Linha 2: 112=1(102)+2(101)+1(100)=100+20+1=121
Linha 3: 113=1(103)+3(102)+3(101)+1(100)=1000+300+30+1=1331
Linha 4: 114=1(104)+4(103)+6(102)+4(101)+1(100)=14641
...
Concluímos assim que:
a maior potência de cada soma corresponde a linha que estamos a considerar;
os coeficientes das potências são os elementos da linha em questão;
a potência de 11 corresponde à maior potência apresentada na soma, ou seja, o número da linha.
10. Na 3ª diagonal encontramos os números triangulares, estes pertencem à categoria dos números figurados (descobertos
por matemáticos das escolas pitagóricas) pois formam figuras geométricas, neste caso triângulos como é exemplificado:
É de notar que estes números são alternadamente dois ímpares dois pares, podendo ser alcançados através de
sucessões por recorrência através da fórmula T(n)= n(n+1)/2 (a partir dos n-1 elementos conseguimos alcançar o
elemento n).
Como a partir dos números triangulares se podem obter os números hexagonais H(n)=n(2n-1), é possível vê-los aqui
também.
11. Esta diagonal contém ainda os números quadrados, pois se somarmos o primeiro elemento ao segundo (1+3)
obtemos o 4 que é um número quadrado, ao somarmos o segundo ao terceiro elemento (3+6) ficamos com o número
9, também ele um número quadrado, e assim por diante. Para além do que estamos habituados a fazer (a2) podemos
também representar estes números sobre a forma geométrica
Na 4ª diagonal podemos observar mais alguns números figurados tais como os números tetraédricos (1, 4, 10, 20, 35, 56,
84, 120, ...). Estes, de acordo com os esquemas anteriores também representam formas geométricas, neste caso um
tetraedro (pirâmide regular com base triangular).
A sua fórmula é:
sendo o seu termo geral:
12. Blaise Pascal
Blaise Pascal (nasceu em Clermont-Ferrand, 19 de Junho de 1623 — Paris, 19 de Agosto de 1662)
foi um físico, matemático, filósofo moralista e teólogo francês.
Contribuições à Matemática
Pascal continuou a influenciar a matemática ao longo de sua vida. Seu Traité du triangle
arithmétique ("Tratado sobre o Triângulo aritmético") de 1653 descreveu uma apresentação
tabular conveniente para os coeficientes binomiais, agora chamado triângulo de Pascal. O
triângulo também pode ser representado:
13. Em 1654, solicitado por um amigo interessado em problemas de jogo, ele correspondeu-se com
Fermat sobre o assunto, e desta colaboração nasceu a teoria matemática das probabilidades. O
amigo era o Chevalier de Méré, e o problema específico foi o de dois jogadores que querem
terminar um jogo mais cedo e, dadas as atuais circunstâncias do jogo, querem dividir as apostas de
forma justa, com base na chance que cada um tem de ganhar o jogo a partir desse ponto. A partir
desta discussão, a noção de valor esperado foi introduzida. Pascal mais tarde (nos seus Pensées)
usou um argumento probabilístico, a Aposta de Pascal para justificar a crença em Deus e uma vida
virtuosa. O trabalho realizado por Fermat e Pascal para o cálculo de probabilidades estabeleceu os
fundamentos importantes para a formulação de Leibniz do cálculo infinitesimal.
Depois de uma experiência religiosa em 1654, Pascal praticamente desistiu do trabalho em
matemática.
14. Alunos
Bruno T. Nº 02
Eduardo S. Nº 04
Lucas B. Nº 06
Ronner M. Nº 14
