0233 apostila - geometria

1

Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

Prof. José Carlos Morilla

Santos
2009


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1 CÁLCULO VETORIAL .................................................................................................. 4
1.1 Segmentos Orientados ........................................................................................... 4
1.2 Vetores ................................................................................................................... 4
1.2.1 Soma de um ponto com um vetor .................................................................... 5
1.2.2 Adição de vetores ............................................................................................ 5
1.2.3 Diferença de vetores ........................................................................................ 6
1.2.4 Módulo, Direção e Sentido ............................................................................... 6
1.2.5 Produto de um número real por um vetor. ....................................................... 6
1.2.6 Espaço vetorial. ............................................................................................... 7
1.2.7 Exercícios. ....................................................................................................... 7
1.3 Dependência e Independência Linear. ................................................................... 8
1.3.1 Definições ........................................................................................................ 8
1.3.2 Exercícios. ....................................................................................................... 9
1.4 Base ....................................................................................................................... 9
1.4.1 Adição entre vetores ...................................................................................... 10
1.4.2 Multiplicação por um escalar.......................................................................... 11
1.4.3 Exercícios ...................................................................................................... 11
1.4.4 Ortogonalidade. ............................................................................................. 12
1.4.5 Exercícios. ..................................................................................................... 13
1.5 Mudança de Base................................................................................................. 13
1.5.1 Mudança de Base Ortornormal. ..................................................................... 14
1.5.2 Exercícios. ..................................................................................................... 14
2 PRODUTOS ENTRE VETORES E ESCALARES ...................................................... 15
2.1 Ângulo entre dois vetores. .................................................................................... 15
2.2 Produto Escalar. ................................................................................................... 16
2.2.1 Cossenos diretores ........................................................................................ 16
2.2.2 Projeção de um vetor ..................................................................................... 17
2.2.3 Propriedades do Produto Escalar. ................................................................. 17
2.2.4 Exercícios. ..................................................................................................... 18
2.3 Orientação no espaço V3. ..................................................................................... 19
2.4 Produto Vetorial .................................................................................................... 19
2.4.1 Vetores Canônicos......................................................................................... 21
2.4.2 Exercícios ...................................................................................................... 23
2.5 Produto Misto ....................................................................................................... 23
2.5.1 Propriedades do Produto Misto...................................................................... 24

3

2.5.2 Exercícios ...................................................................................................... 25
2.6 Duplo produto vetorial. ......................................................................................... 26
2.6.1 Exercícios ...................................................................................................... 26
3 GEOMETRIA ANALÍTICA .......................................................................................... 27
3.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas ............................................................... 27
3.1.1 Exercícios ...................................................................................................... 27
3.2 Retas e Planos ..................................................................................................... 28
3.2.1 Estudo da Reta. ............................................................................................. 28
3.2.1.1 Equações Paramétricas da Reta. ............................................................ 28
3.2.1.2 Exercícios ................................................................................................ 29
3.2.2 Equações do Plano ........................................................................................ 29
3.2.2.1 Equações Paramétricas do Plano ........................................................... 32
3.2.2.2 Exercícios ................................................................................................ 34
3.3 Posição relativa de retas e planos ........................................................................ 35
3.3.1 Posição relativa entre duas retas. .................................................................. 35
3.3.2 Exercícios ...................................................................................................... 36
3.4 Posição relativa entre uma reta e um plano. ........................................................ 37
3.4.1 Exercícios ...................................................................................................... 39
3.4.2 Posição relativa entre planos. ........................................................................ 40
3.4.3 Exercícios ...................................................................................................... 41


4

1 CÁLCULO VETORIAL

1.1 Segmentos Orientados
Chamamos de segmento orientado a Figura 3- Segmentos Opostos
um segmento de reta que possui sua
Dizemos que dois segmentos são
origem em um ponto e sua extremidade
equipolentes quando eles possuem o
em outro.
mesmo comprimento, a mesma direção e
Tome-se, por exemplo, o segmento o mesmo sentido.
mostrado na figura 1.

Figura 4 - Segmentos Equipolentes

Figura 1- Segmento de reta orientado

Na figura 1 o segmento de reta
1.2 Vetores
representado tem sua origem no ponto A
Chama-se de vetor ao segmento de
e sua extremidade no ponto B.
reta orientado que possui sua origem em
Dizemos que um seguimento é nulo um ponto e extremidade em outro. Na
quando sua origem coincide com sua figura 5, o segmento AB é chamado de
extremidade (A≡B). vetor AB e indicado por AB.

Dado um segmento AB, diz-se que o
segmento BA é o seu oposto.

Figura 5- Vetor AB

Sempre que designarmos um vetor
Figura 2- Segmentos Opostos este terá em sua designação uma seta,
orientada para a direita, sobre o símbolo
Dados dois segmentos orientados AB
de sua designação.
e CD, como os mostrados na figura 3,
dizemos que eles têm a mesma direção Dois vetores AB e CD são iguais se e
quando os segmentos AB e CD são
somente se, os dois segmentos
paralelos ou coincidentes.
orientados que os representam forem
Com relação ao seu sentido, dizemos equipolentes.
que dois segmentos possuem o mesmo
sentido quando, além de terem a mesma
direção possuem a mesma orientação.
Quando a orientação é oposta, dizemos
que os segmentos são opostos.
Figura 6- Vetores iguais (AB = CD)


5

Dado um vetor v = AB, o vetor BA é
chamado de oposto de AB e se indica por
-AB ou por - v .

Figura 7- Vetores Opostos
Figura 8– Soma de vetores

Podemos dizer, então que o vetor
1.2.1 Soma de um ponto com um w é soma do vetor u com o vetor v .
vetor Podemos escrever então que:
Dado um ponto A e um vetor v ,
existe um único ponto B tal que u+v=w
B-A=v. O ponto B é chamado de Graficamente, podemos usar a
soma do ponto A com o vetor v e se regra do paralelogramo:
indica por A+ v .

As propriedades abaixo são
imediatas:

• A+0=A
• (A-v)+v=A
• Se A+ v =B+v então A=B
• Se A+ u =A+v então u=v
• A+(B-A)=B

Figura 9– Regra do Paralelogramo

1.2.2 Adição de vetores Na figura 10, o vetor AD
Consideremos dois vetores u e v e representa a soma entre os vetores
um ponto qualquer A. Quando se toma o u; v e w.
ponto A, e a ele se soma o vetor u C
obtemos um segundo ponto, que aqui
vamos chamar de B. Quando se soma ao
B
ponto B o vetor v , encontramos um
terceiro ponto, que chamaremos de C. D
Podemos dizer que existe um terceiro
vetor w que ao ser somado ao ponto A
encontramos o ponto C.
A
Figura 10– Soma entre vetores


6

1.2.3 Diferença de vetores Dizemos que um vetor é unitário
Consideremos dois vetores u e v , quando seu módulo for igual a um.

|u|=1
como os mostrados na figura 11, o vetor
k u+ -v é chamado de diferença entre
u ev. De maneira análoga, a direção e o
sentido do vetor u são, por definição, a
Na figura 11, quando se toma o direção e o sentido de qualquer dos
ponto A e a ele se soma o vetor u , representantes de u .
obtemos o ponto B. Quando se soma ao
ponto A o vetor v , encontramos um Chama-se versor de um vetor não
terceiro ponto, que chamaremos de D. nulo v , o vetor unitário de mesmo sentido
v.

Dois vetores são ditos paralelos
quando estes possuem a mesma direção.

1.2.5 Produto de um número real por
Figura 11– Diferença entre vetores um vetor.
Observa-se, então, que existe um Chamamos de produto de um

0, ao vetor s tal que:
número real, diferente de zero, por vetor
vetor k que somado ao vetor v fornece o
v
vetor u . Podemos, então, escrever
• |s |=|a|×|v|
v+k=u k=u-v
• A direção s é paralela à de
Assim, podemos dizer que o vetor v
k é a diferença entre o vetor u e o vetor • Se a>0, o sentido de s é
v. mesmo de v
• Se a<0, o sentido de s é
OBS:- A diferença entre o vetor v oposto ao de v
e o vetor u , será igual a -k. • Se a = 0 ou v for nulo, o
resultado é um vetor nulo.
v - u = -k
O produto de a por vse indica por
av . O produto (1/a) v se indica
1.2.4 Módulo, Direção e Sentido simplesmente por v/a.
Dado um vetor u , todos os seus
representantes têm o mesmo
comprimento; assim, o comprimento de
qualquer representante de u é chamado

|u|. O módulo de um vetor depende da
de módulo do vetor u e é indicado por

unidade de comprimento utilizada.
Figura 12– Produto de um número real por um
O módulo de um vetor, também, é vetor
chamado de Norma do vetor.

7

1.2.6 Espaço vetorial. 3. Dados os vetores u e v , conforme
Chama-se espaço vetorial ao a figura 15, determine o vetor x tal
conjunto de vetores munidos de pelo que u+v+x=0.
menos duas operações que respeitam as
propriedades da adição e do produto de
um número real por um vetor. Os
espaços vetoriais são estudados na
Álgebra Linear.

Figura 15

OBS:- É comum se usar o termo escalar 4. Determine a soma dos vetores
para designar um número real, em indicados na figura 16.
contraposição a um vetor. Assim, quando D
se multiplica um vetor por um número
real é comum ser dito que este vetor será
C
multiplicado por um escalar. Não se deve
(a)
confundir este produto com Produto
Escalar que será visto mais à frente. A B
D

1.2.7 Exercícios.
C
1. Para a figura 13, onde DC = 2AD,
(b)
exprimir D – B em função de A – B
e C – B. A B

B E D

F C
(c)
A D C
A B
Figura 13

2. Para a figura 14, AD é a bissetriz
do ângulo A. Exprimir D – A em
função de B – A e C – A.

A

B C
D
(d)
Figura 14 Figura 16


8

5. Dados os vetores u e v , da figura 1.3 Dependência e Independência
17, determinar: Linear.
O vetor resultante da soma entre Sejam n vetores v1 , v2 ,......., vn
u ev; (n≥1) e a1,a2,........,an números reais.
O vetor resultante da diferença Chama-se combinação linear dos
entre u e v ; vetores v1 , v2 ,......., vn ao vetor:
O vetor resultante do produto de
a1 v1 +a2 v2 +…+an vn = u
u por um escalar igual a -5/3.
Se u é combinação linear dos
vetores v 1 , v 2 ,......., v n , diz-se, também,
que u é gerado por estes vetores.

Dados n vetores v 1 , v 2 ,......., v n
(n≥1), dizemos que eles são linearmente
Figura 17
dependentes (LD) se existem escalares

0 e (C, D) um representante
6. Se (A, B) é representante de a1,a2,........,an, não todos nulos, tais que:

0, prove que se AB // CD,
u n
de v ai vi =0
existe um número real λ tal que i=1
u v·.
ou seja,

7. Determine x a1 v1 a v2 an vn 0

2x-3u=10 x+v Quando os vetores v1 , v2 ,......., vn
não são linearmente dependentes,
8. No sistema a seguir, resolva o dizemos que eles são linearmente
sistema nas incógnitas x e y independentes (LI).

x+2y=u Pode-se, então, verificar que os
3x-y=2u+v vetores v1 , v2 ,......., vn , são linearmente

0. Mostre que
dependentes quando o vetor resultante

|v|
v de sua combinação linear for nulo.
9. Seja v é um
vetor unitário (versor de v) Pode-se dizer, ainda que; dados
os vetores v1 , v2 ,......., vn , se um deles é
combinação linear dos outros, então eles
são linearmente dependentes.

1.3.1 Definições

dependente se v 0.
I. Um único vetor v é linearmente

II. Dois vetores u e v são linearmente
dependentes se eles forem
paralelos a uma mesma reta.

9

Se u e v são linearmente 1.3.2 Exercícios.
dependentes, então, existe escalares a e
b tais que:
10. Prove que se o conjunto de
b vetores u, v, w é linearmente
au+bv= 0 u = -a v
independente, então o conjunto
Desta forma, os dois vetores possuem u+ v+ w, u-v,3v também é
a mesma direção, ou seja, eles são linearmente independente.
paralelos.
11. Prove que se o conjunto de

u; v e w
u v, u - v também é LI.
vetores u,v é LI, então
III. Três vetores são
linearmente dependentes se eles
forem paralelos a um mesmo
plano. 12. Prove que se o conjunto de

u + v , u + w , v+ w
vetores u, v , w é LI, então o
Se u; v e w são linearmente conjunto
dependentes, então, existe escalares a; b também é LI.
e c tais que:

b c
au + bv+cw = 0 u= - v+ - w
a a
1.4 Base
b c
Os vetores - ve - w são Uma base no espaço é uma terna
a a
coplanares com v e w, portanto, u e1 , e2 , e3 formada por três vetores
também é coplanar com eles. linearmente independentes. Veja a figura
19.
Devemos lembrar que o vetor
e1
resultante da soma entre dois vetores é
coplanar com eles. Isto pode ser
observado na figura 18.
e2

R
e3
u
Figura 19
v
Para todo vetor v, gerado a partir
Figura 18 de e1 , e2 , e3 , existem escalares
a1 ,a2 ,a3 tais que:

IV. Qualquer sequência de elementos a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 = v
com quatro, ou mais, vetores é
Ou seja, o vetor v é combinação linear
linearmente dependente.
dos vetores e1 , e2 , e3 .


10

Podemos então escrever o vetor v ou seja:
como sendo:
u+v = a1 +b1 ,a2 +b2 ,a3 +b3
3

ai ei = v Quando se usa a notação
i=1 matricial, podemos escrever:

Os escalares a1 ,a2 ,a3 são a1 b1 a1 +b1
chamadas de componentes, ou u v = a2 + b2 = a2 +b2
coordenadas, de v em relação à base a3 b3 a3 +b3
e1 , e2 , e3 .
OBS:- Quando se tem um vetor v em um
Reciprocamente, a uma terna plano, suas componentes podem ser
a1 ,a2 ,a3 de números reais, existe um definidas como as coordenadas (v1; v2)
único vetor cujas coordenadas são de um sistema de coordenadas
a1 ,a2 e a3. retangulares ou cartesianas. Assim, o
vetor v será representado simplesmente
Fixada uma base e1 , e2 , e3 , é por
costume se representar o vetor v por
meio da terna a1 ,a2 ,a3 ou ainda, por v = v1 ,v2
meio da matriz coluna:
A figura 20 mostra o vetor v e suas
a1 componentes.
a2
a3

Escrevemos, então:
a1
v = a1 ,a2 ,a3 ou v = a2
a3

Deste ponto em diante, o uso de
coordenadas será muito freqüente; é
conveniente, então, que as operações
entre vetores sejam feitas diretamente
em coordenadas, assim, faremos o
estudo de algumas destas operações:

Figura 20
1.4.1 Adição entre vetores
Se u = a1 ,a2 ,a3 e v = b1 ,b2 ,b3
então:
Quando é feita a soma entre dois
u+v = a1 +b1 ,a2 +b2 ,a3 +b3 vetores no plano, o vetor resultante tem
componentes iguais à soma entre as
De fato, se u=a1 e1 +a2 e2 +a3 e3 e componentes em cada direção. A figura
v=b1 e1 +b2 e2 +b3 e3 , então: 21 mostra a soma entre dois vetores
v e w.
u+v= a1 +b1 e1 + a2 +b2 e2 + a3 +b3 e3

11

linearmente independentes se e somente
se:

1.4.3 Exercícios
13. Determine o vetor X, tal que 3
3X-2V
= 15(X - U).

Figura 21 14. Determine os vetores X e Y tais
que:

1.4.2 Multiplicação por um escalar.
Se um vetor = é
multiplicado por um escalar λ, então:
, 15. Determine as coordenadas da
extremidade do segmento
= orientado que representa o vetor V
=(3;0;-3), sabendo
sabendo-se que sua
De fato, se o origem está no ponto P = (2
(2;3;-5).
produto fica:
16. Quais são as coordenadas do
ponto P’, simétrico do ponto P =
(1;0;3) em relação ao ponto M =
(1;2;-1)? (Sugestão: o ponto P’ é
1)?
tal que o vetor - )

17. Verifique se o vetor U é
Quando se usa a notação combinação linear de V e W:
matricial, podemos escrever:
V = (9,-12,
12,-6)
= W = (-1,7,1)
1,7,1)
U = (-4,
4,-6,2)

Com estes conceitos é possível 18. Verifique se o vetor U é
reexaminar o conceito de dependência e combinação linear de V e W:
independência linear.
V = (5,4,
(5,4,-3)
Os vetores = e W = (2,1,1)
= são linearmente U = (-3,
3,-4,1)
dependentes se e somente se 19. Quais dos seguintes vetores são
forem proporcionais a . paralelos?

Os vetores = ,
= e = são U = (6,-4,-2) W = (15,-10,5)
V = (-
-9,6,3)

12

1.4.4 Ortogonalidade. |u + v|2 =|u|2 + |v|2
O conceito de ortogonalidade de
vetor, com retas e planos se define de Fica:
2
modo natural, usando os mesmos x1 +x2 2 + y1 +y2 =x2 +y2 +x2 +y2
1 1 2 2
conceitos para os segmentos orientados
que representam o vetor. Desta forma é Ao se efetuar o produto notável no
possível definir: lado esquerdo da igualdade e
fazendo-se as simplificações
I. Um vetor u 0 é ortogonal à reta r possíveis, encontramos:
(ao plano π) se existe um
representante (A,B) de u tal que o x1 x2 + y1 y2 = 0
segmento AB é ortogonal a r ( a π).
Da mesma forma que foi feito no plano,
II. Os vetores u e v são ortogonais se para dois vetores no espaço R3,
um deles é nulo, ou caso contrário, podemos escrever:
admitirem representantes
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 =0
perpendiculares.

V. Uma base E = e1 , e2 , e3 é
III. Os vetores u e v são ortogonais se e
somente se: ortonormal se os vetores e1 , e2 , e3

|u + v|2 =|u|2 + |v|2
são unitários e dois a dois ortogonais.

Para provar esta proposição basta
lembrar o teorema de Pitágoras.
Tomando um ponto O qualquer, u e v são
ortogonais se e somente se os pontos O;
O+u e O+u+v, são vértices de um
triângulo retângulo. Isto pode ser
observado na figura 22.

O+u+v
u+v
v
Figura 23
u
O+u O
Figura 22
VI. Se E = e1 , e2 , e3 é base ortonormal
IV. Outra forma de mostrar a e u=xe1 +ye2 +ze3, então:
ortogonalidade é lembrando que, no
plano, os vetores u e v podem ser |u|= x2 +y2 +z2
escritos:
u=x1 i+y1 j
v=x2 i+y2 j

Assim a expressão:

13

1.4.5 Exercícios. Mostre que f 1 , f2 , f 3 é LI e
portanto base de V3.
20. Para a base E = e1 , e2 , e3 ,
26. Calcule as coordenadas do vetor
verifique se os vetores u e v são
v= 1,1,1 da base E na base F do
LI ou LD.
exercício anterior.
a. u= 1,2,3 , v= 2,1,1
1 7 1
b. u= 1,7,1 , v= , ,
2 2 2
1.5 Mudança de Base
21. Para a base E = e1 , e2 , e3 , A escolha de uma base conveniente
verifique se os vetores u ; v e w pode, muitas vezes, ajudar a resolver um
são LI ou LD. problema qualquer.

u= 1,-1,2 Consideremos, então, duas bases:

v= 0,1,3 E = e1 , e2 , e3

w= 4,-3,11 , F = f 1 , f2 , f 3

f 1 , f2 , f 3
22. Para uma mesma base E, sendo
De tal sorte que os vetores
u= 1,-1,3 possam ser combinações lineares de
e1 , e2 , e3 , ou seja;
v= 2,1,3
f1 =a11 e1 +a21 e2 +a31 e3
w= -1,-1,4 ,
f2 =a12 e1 +a22 e2 +a32 e3
Ache as coordenadas de: f3 =a13 e1 +a23 e2 +a33 e3
a. u+v
Com os escalares aij é possível
b. u-v
construir a matriz M:
c. u+2v-3w
a11 a12 a13
23. Com os dados do exercício M= a21 a22 a23
anterior, verifique se u é a31 a32 a33
combinação linear de v e w. A esta matriz, dá-se o nome de
Matriz Mudança da Base E para base F.
24. Escreva t= 4,0,13 , como
combinação linear dos vetores u; v Para provar isto, vamos tomar um
e w do exercício 22. vetor, que na base E é escrito como :
v = x1 e1 +x2 e2 +x3 e3 . Seja, agora, o
25. Sejam: mesmo vetor escrito na base F como
v = y1 f1 +y2 f2 +y3 f3.
f1= 2e1 - e2
Como F pode ser escrita como
f2= e1 - e2 + 2 e3 sendo combinação linear de E, podemos,
então, escrever:
f3= e1 + 2 e3

14

v = y1 a11 e1 +a21 e2 +a31 e3 Quando as bases são ortonormais,
a matriz transposta é igual à matriz
+y2 a12 e1 +a22 e2 +a32 e3 inversa, ou seja:

+y3 a13 e1 +a23 e2 +a33 e3 . M-1 = Mt M×Mt =I
O vetor v pode então ser escrito À matriz que respeita a condição
como: -1 t
onde M = M , dá-se o nome de Matriz
v= y1 a11 +y2 a12 +y3 a13 e1 Ortogonal.

Assim, se E é uma base
+ y1 a21 +y2 a22 +y3 a23 e2
ortonormal, para que F, também, seja
+ y1 a31 +y2 a32 +y3 a33 e3 ortonormal é necessário e suficiente que
a matriz de mudança de E para F seja
Assim, as coordenadas x1; x2 e x3 ortogonal.
podem ser escritas como:
Como o determinante de uma
x1=y1 a11 +y2 a12 +y3 a13 matriz é igual ao determinante de sua
matriz transposta, podemos escrever:
x2=y1 a21 +y2 a22 +y3 a23
t
det M =det M
x3=y1 a31 +y2 a32 +y3 a33
t t
det M M =det M ×det M
As três expressões acima, podem
ser escritas na forma matricial que é: det M Mt =det M 2 =1
x1 a11 a12 a13 y1
det M =±1
x2 a21 a22 a23 y2
x3 a31 a32 a33 y3 Para que duas bases sejam
ortonormais, a matriz mudança de base
Note-se, então que a matriz dos
entre elas deve ser ortogonal e o
coeficientes aij é a matriz que relaciona
determinante desta matriz pode ser igual
as coordenadas do vetor v na base E
a 1 ou -1.
com as coordenadas deste mesmo vetor,
na base F. Assim sendo, esta matriz é
chamada de Matriz Mudança de Base.
1.5.2 Exercícios.
De uma maneira geral, podemos
escrever:
27. Dadas as bases E; F e G, onde:
X=M×Y
e1 = 2f1 + f3 g1 = e1 - e2
1.5.1 Mudança de Base Ortornormal.
Sejam E e F duas bases
e 2 = f1 - f 2 g2 = e2 - e3
ortonormais e seja a matriz M a matriz
mudança de base de E para F.
e 3 = f1 + f 3 g3 = e3 + e1

Determinar as matrizes mudanças
de base entre elas.

15

28. Dada a base E e sejam: 2 PRODUTOS ENTRE VETORES E
ESCALARES
f1= e1 - e2 -e3
2.1 Ângulo entre dois vetores.
f2= e1 + 2 e2 - e3 Consideremos dois vetores, não
nulos u e v, com origem em O e
f3= 2e1 + e2 + 4e3 extremidades em P e Q,

a. Verificar se f1 , f2 , f3 é uma
respectivamente, como os mostrados na
figura 24.
base.
P
b. Achar a matriz mudança de
base entre elas.
c. Sendo, na base E, o vetor
u θ Q
v= 3,-5,4 , achar as
coordenadas deste vetor na v
base F. O
29. Dadas as base E e F tais que: Figura 24

f1= e1 - 3e2 Nesta figura, θ é a medida em
radianos (ou graus) do ângulo POQ que
f 2 = e2 + e3 é o ângulo entre os vetores u e v.

f 3 = e1 - 2 e2 Vamos procurar uma expressão que
nos forneça θ em função de u e v. Para
Sendo o vetor v= 3,4,-1 , na base isto, vamos fixar uma base ortonormal
E, achar as coordenadas deste i;j;k , e sejam os vetores u e v dados
vetor na base F. por suas coordenadas

30. Sendo X = M × Y , provar que u= x1 ;y1 ;z1
-1
Y=M ×X
v= x2 ;y2 ;z2
31. Sabendo-se que a matriz mudança
Aplicando-se a lei dos cossenos
de base de F para E é:
ao triângulo POQ, resulta
2 1 1

QP =|u|2 +|v|2 -2|u||v| cos θ
1 -1 0 2
0 0 1
e de F para G é Sabemos que:

QP = OP - OQ =|u - v|2
1 1 1 2 2
-1 0 0
0 -1 1
2 2
determinar as coordenadas do vetor QP = x1 -x2 ,y1 -y2 ,z1 -z2
v= 4g1 + 2g2 + g3 em relação à base 2 2
E e a base F. QP = x1 -x2 2 + y1 -y2 + z1 -z2 2


16

2 desde que estas coordenadas se refiram
QP =x2 +y2 +z2 +x2 +y2 +z2 -2 x1 x2 +y1 y2 +z1 z2
1 1 1 2 2 2
a uma base ortonormal.
Lembrando que:
Podemos, então, determinar o
x2 +y2 +z2 +x2 +y2 +z2 =|u|2 +|v|2
1 1 1 2 2 2
ângulo θ por meio de:

|u||v|
Podemos escrever: u v
cos θ
|u||v| cos θ x1 x2 +y1 y2 +z1 z2
x1 x2 +y1 y2 +z1 z2

x2 +y2 +z2 · x2 +y2 +z2
cos θ
Esta expressão nos permite
1 1 1 2 2 2
calcular cos θ, pois

|u|= x2 +y2 +z2 |v|= x2 +y2 +z2
Por ser um produto, podemos
1 1 1 e 2 2 2 escrever:

|u| |v|
Assim, podemos calcular cos θ u v
cos θ
por:
x1 x2 +y1 y2 +z1 z2

x2 +y2 +z2 · x2 +y2 +z2
cos θ
1 1 1 2 2 2 2.2.1 Cossenos diretores
Fixada uma base ortonormal
i;j;k , chama-se de cossenos diretores
2.2 Produto Escalar. do vetor v os cossenos dos ângulos que
Vamos definir um produto entre dois v forma com os vetores da base.
vetores cujo resultado é um escalar. Por
Chamando se α; β e γ os ângulos
isso ele é chamado de Produto Escalar.
que v forma i; j e k, respectivamente, e

vetores u e v ao número u · v (também
Chama-se produto escalar dos sendo v=xi+yj+zk, temos imediatamente:

cos α
pode ser escrito como u v) tal que: x

x2 +y2 +z2
• u×v=0 se u ou v forem iguais a

cos β
zero, ou
y

• u×v=|u||v| cos θ se u e v forem x2 +y2 +z2
diferentes de zero e θ o ângulo
cos γ
entre u e v. z

x2 +y2 +z2
• u×v=0 quando u e v forem
diferentes de zero e ortogonais.
Os cossenos diretores são as
Como|u||v| cos θ x1 x2 +y1 y2 +z1 z2 , coordenadas do versor de v. Temos,
podemos escrever: então:

u v = x1 x2 +y1 y2 +z1 z2 cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ=1


17

Como Multiplicando escalarmente por u e
sabendo que v2 ×u=0, encontramos:

v×u = λu×u = λ|u|2 = λ
u x1 i+y1 j+z1 k
|u|
x2 +y2 +z2
1 1 1

Assim, finalmente, é possível
y1 j
|u|
u x1 i z1 k
+ + escrever:
x2 +y2 +z2
1 1 1 x2 +y2 +z2
1 1 1 x2 +y2 +z2
1 1 1
v1 v×u u

Quando o vetor u não é unitário
encontramos:

v×u = λu×u = λ|u|2
Podemos então escrever que:

cos α i + cos β j + cos γ k
|u|
u

λ=
|u|2
v×u
Sejam E e F duas bases
ortonormais e M a matriz mudança de Assim, finalmente, é possível
base de E para F. Na matriz M cada escrever:
coluna j é formada pelos cossenos

|u|2
diretores de Fj em relação à base E; isto v×u
v1 = u
é:
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos 2.2.3 Propriedades do Produto
Escalar.
As propriedades do produto entre
números se aplicam no produto escalar:
2.2.2 Projeção de um vetor
Seja u um vetor unitário e v um a. u× v+w = u×v + u×w
vetor qualquer, com mostra a figura 25. O
vetor v pode ser expresso na forma b. u× λv = λu×v = λ u×v
v=v1 +v2 onde v1 é paralelo e v2 ortogonal
a u. c. u×v = v×u

v2 d. u×u=0 ↔ u=0
v

v1 OBS:- convém observar que u×v ≠ u×w.
O
Assim, não é possível cancelar u e
escrever v = w.
u

Figura 25

Sendo v1 paralelo a u podemos
escrever v1 λu e portanto v=λu +v2 .


18

2.2.4 Exercícios.
40. Determine u com módulo igual a
3√3, ortogonal a v= 2,3,-1 e a
32. Determinar a medida, em
radianos, do ângulo entre os w= 2,-4,6 .
vetores u= 2,0,-3 e v= 1,1,1 .
41. Dos vetores encontrados, no
33. Determinar a medida, em exercício anterior, qual aquele que
forma ângulo agudo com o vetor
radianos, do ângulo entre os
1,0,0 ?
vetores u= 1,10,200 e
v= -10,1,0 .
42. Determine os cossenos diretores
de v= 1,3,√6
34. Determinar a medida, em
vetores u= 3,3,0 e v= 2,1,-2 . 43. Sabendo-se que w= 1,-1,2 e
v= 3,-1,1 , determine a projeção
35. Determinar a medida, em de w na direção de v.
√3 1 44. Sabendo-se que w= 1,3,5 e
vetores u= , 2 ,0 e
2
√3 1
v= -3,1,0 , determine a projeção
v= , 2 ,√3 . de w na direção de v.
2

36. Para as situações mostradas; 45. Mostre que as diagonais de um
determine o valor de para que paralelogramo têm a mesma
u v. medida se e somente se o
paralelogramo é um retângulo.
d. u= ,0,3 e v= 1, ,3 .
e. u= , ,4 e v= 4, ,1 . 46. Mostre que se um triângulo é
f. u= ,-1,4 e v= ,-3,1 . isóscele, os ângulos da base são
congruentes (possuem a mesma
medida).
37. Mostrar que:

g. |u + v|2 =|u|2 +2 u×v + |v|2
47. Mostre que as bissetrizes de

h. u×v= 2 |u + v|2 -|u|2 -|v|2
1
ângulos adjacentes suplementares
são perpendiculares entre si.

38. Se e1 , e2 , e3 é uma base 48. Mostre que |u + v| |u|+ |v|

49. |u v| |u| |v|
3
ortonormal e u V , mostre que:

u = u×e1 e1 + u×e2 e2 + u×e3 e3
50. Das matrizes a seguir verifique
quais são ortogonais.
39. Prove que as diagonais de um 1 0 1
quadrado são perpendiculares i. 2 1 0
entre si. 0 1 -1

19

2.4 Produto Vetorial
1 0 1 Vamos definir um produto entre dois
j. 0 2 1 vetores, cujo resultado é um vetor. A este
0 1 1 produto damos o nome de Produto
Vetorial.
6/7 3 2
k. 2/7 6 3 Este produto tem aplicação, por
3/7 -2 6 exemplo, na Física: a força exercida
sobre uma partícula com carga unitária
mergulhada num campo magnético
1/3 2/3 2/3
uniforme é o produto vetorial do vetor
l. 2/3 -2/3 1/3
velocidade da partícula, pelo vetor campo
2/3 1/3 -2/3 magnético. Outro exemplo é possível
obter da Mecânica: uma força provoca
um movimento de rotação em um corpo
51. Determine as matrizes inversas através do produto vetorial entre a força e
o vetor de posição do ponto de aplicação,
das matrizes ortogonais do
tomado como referência o eixo de
exercício 50. rotação do corpo.

52. Seja E= i; j; k uma base Sejam V e W dois vetores no espaço.
1
Definimos o produto vetorial, v w,
√3
ortonormal. Sendo u= i+j-k ; como sendo o vetor com as seguintes
1 1 características:
√2 √6
v= j+k e w= 2i - j + k , a. Tem comprimento dado
provar que F= u; v; w é uma base numéricamente por:

|v w|=|v||w| sen θ
ortonormal e calcule as
coordenadas do vetor
a= 3i - 2j - k em relação à base ou seja, a norma de v w é
F. numéricamente igual à área do
paralelogramo determinado por v e w,
mostrado na figura 27.

2.3 Orientação no espaço V3.
h=|w|

Deste ponto em diante, w
consideraremos o espaço orientado de
enθs
|w|

tal maneira que a base seja composta
por três vetores ortonormais i,j,k . v

O θ |v |

Figura 27

b. Tem direção perpendicular à v e w

c. Tem o sentido dado pela regra da
mão direita (Figura 28): Se o
ângulo entre v e w é θ, giramos o
Figura 26
vetor v de um ângulo θ até que


20

coincida com w e acompanhamos mostram esta inversão de sinal. Além
este movimento com os dedos da disto, é possível observar que, q
quando se
mão direita, então o polegar vai faz o produto entre o vetor e a
apontar no sentido de v w. quantidade d, que “promove a rotaçrotação”
desta quantidade, tendo como centro de
VΛW rotação a extremidade do vetor , o
sentido desta rotação é o inverso do
encontrado no produto v w. Isto pode
ser observado na figura 30.

d=|v|s
enθ

w
V W

|w |
Figura 28
v
Isto pode ser entendido como θ
sendo o produto entre o vetor e a O |v |
quantidade h, que “promove a rotação”
Figura 30
desta quantidade, tendo como centro de
rotação a extremidade do vetor .
b. v w = 0 se, e somente se,
Observe-se, aqui, que o produto
se,
para qualquer λ, v = λw ou w =
w v fornece um vetor com sentido
oposto ao produto v w. Observe a λv. (se os veores forem
figura 29. paralelos θ=n
=nπ)
Esta propriedade é fácil de observar
quando se toma a definição de produto
V vetorial:
W

Assim o produto vetorial é nulo
quando um de seus vetores é nul ou
nulo
quando senθ é nulo. O seno de um
ângulo é nulo quando ele é igual a nnπ,
para qualquer n. Nesta situação os dois
vetores possuem a mesma direção.
WΛV
c. (v w) x v = (
(v w) x w = 0.
Figura 29

Para os vetores e sendo d. λ(v w) = (λv
v) w=v (λw).
um escalar, são válidas as seguintes
propriedades: e. v (w + u) = v
) w+v u

a. v w = - (w v) f. (v + w) u = v u + w u
(anticomutatividade). (Distributividade em relação à
soma de vetores).
Esta propriedade é fácil de ser
observada quando se toma a definição
de produto vetorial. As figuras 28 e 29

21

Estas propriedades são facilmente Com estas observações o produto
entendidas e serão demonstradas na de dois vetores v=v1 i+v2 j+v3 k e
forma de exercícios.
w=w1 i+w2 j+w3 k , fica:

2.4.1 Vetores Canônicos v w = v1 i+v2 j+v3 k w1 i+w2 j+w3 k
São vetores unitários, paralelos aos
eixos coordenados (x,y,z). Estes vetores v2 v3
v w = det w w3 i -
são indicados como: 2

v1 v3
i= 1,0,0 det w w3 j +
1

j= 0,1,0 v1 v2
det w w2 k
1
k= 0,0,1

Paralelos aos eixos x,y,z , v2 v3 v1 v3 v1 v2
respectivamente. v w = det w w3 ,-det w1 w3 ,det w1 w2
2

Desta maneira, qualquer vetor Uma maneira simples de montar os
v=v1 ,v2 ,v3 , pode ser escrito como sendo determinantes que constituem as
combinação linear de i,j,k : componentes do vetor resultante do
produto vetorial, é montar a seguinte
v=v1 ,v2 ,v3 = v1 ,0,0 + 0,v2 ,0 + 0,0,v3 matriz:

v=v1 1,0,0 +v2 0,1,0 +v3 0,0,1 vetores da base i j k
componentes de v v1 v2 v3
v=v1 i+v2 j+v3 k componentes de w w1 w2 w3

Note que a componente i do vetor
resultante é dada pelo determinante da
matriz dos cofatores de i.

i j k
v1 v2 v3
w1 w2 w3

Da mesma forma a componente j do
vetor resultante é dada pelo negativo do
Figura 31 determinante da matriz dos cofatores de
Pela definição e propriedades do j.
produto vetorial, podemos facilmente
i j k
encontrar:
v1 v2 v3
w1 w2 w3
i i= 0 j j= 0 k k= 0
Completando, a componente
i j= k j k= i k i= j

i= -k j= -i k= -j
componente k do vetor resultante é dada
j k i

22

pelo determinante da matriz dos 6

cofatores de k. 5

4

i j k 3 Q

v1 v2 v3 2
k
R
w1 w2 w3 1
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i
1
2
Façamos o seguinte exemplo: 4
3
P

Sejam dois vetores v e w, dados 5

por: v=i+2j-2k e w=3i+k. Determinar o
produto vetrorial v w. Figura 32

Para resolver o problema, vamos Podemos definir, então, dois
montar a matriz com os vetores da base vetores
e as componentes dos vetores. v = RP= (3-1; 2-0; 0-2) = (2; 2; -2)
w = RQ=(0-1; 4- 0; 3-2) = (-1; 4; 1)
vetores da base i j k
componentes de v 1 2 -2 Lembrando que o produto vetorial
componentes de w 3 0 1 é igual à área do paralelogramo cujos
lados são v e w; a área do triângulo PQR
As componentes do vetor resultante é a metade da área do paralelogramo
são dadas por: com lados determinados por v e w.
6

2 -2
det i=2 5

0 1 4

3
-2 1 Q

det j = -7 2
1 3 R k
1
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 1
i
det k = -6 2
3 0 3
4 P
5

Assim, o vetor resultante fica:
Figura 33

v w = 2i-7j-6k

|v w|, faremos:
Com estas componentes, o módulo Assim, para determinar o módulo
do vetor resultante fica:

|v w|= 22 + -7 2 + -6 2 vetores da base i j k
componentes de v 2 2 -2
|v w|= 89
componentes de w -1 4 1

As componentes do vetor resultante
Vamos agora, determinar a área do são dadas por:
triângulo P, Q, R, onde P = (3; 2; 0); Q =
(0; 4; 3) e R = (1; 0; 2). Veja a figura 32. 2 -2
det i = 10
4 1
-2 2
det j=0
1 -1


23

2 2 a. |v w|
det k = 10
-1 4
1 3
Assim, o vetor resultante fica: b. |3 v w|
4

v w = 10i+10k
58. Determine a área do
Com estas componentes, o módulo paralelogramo ABCD sendo:
do vetor resultante fica: AC=-i+j e AB=j+3k

|v w|= 102 + 10 2 =10√2 59. Resolva o sistema:

Com este valor, a área do triângulo x·(3i+2j)=6

A = 2 |v w| = 5√2
(A), fica: x (2j+3k)=2i
1

60. Determine o vetor x tal que:

2.4.2 Exercícios x (i+k)=-2i 2k e |x| √6

61. Prove que |v w|=|v| |w| se e
53. Dados vetores v=2i-3j+2k e
w=4i-j+2k, determinar:
somente se v w.
a. v w
b. O seno do ângulo entre
62. Calcule a distância do ponto C à
vew
reta R que passa por dois pontos
distintos A e B.
54. Sendo os vetores v=2i+j-3k e
w=4i+j-3k, determinar uma base
orotonormal e1 , e2 , e3 tal que 2.5 Produto Misto
e1 //v e e2 coplanar com v e w. O produto misto é um escalar obtido
pelo produto escalar entre um vetor u e o
vetor resultante de um produto vetorial
55. Sendo v=i+j e w=2i-j+3k, (v w), ou seja:
determinar determinar a área do R=(v w) × u
triângulo ABC onde B = A + v e C
= A + w. Para três vetores, dados por suas
coordenadas:
56. Calcule o momento em relação ao v=v1 i+v2 j+v3 k

ponto O da força f=-1i+3j+4k,
w=w1 i+w2 j+w3 k
aplicada ao ponto P tal que
OP=i+j+k. (o momento é o produto u=u1 i+u2 j+u3 k
vetorial entre o vetor posição e a
força) O produto misto, usando as
componentes dos vetores, é dado por:

π
57. A medida do ângulo, em radianos,
(v w) ×u=

|v|=1 e |w|=7, determinar
entre vew é 6
. Sendo
v2 v3 v1 v3 v1 v2
u1 i;u2 j;u3 k × det w w3 i-det w1 w3 j+det w1 w2 k
2


24

|u|senθ

v2 v3 v1 v3 v1 v2
=u1 ×det w w3 - u2 det w1 w3 +u3 det w1 w2 θ
2

u
vLw w
v1 v2 v3

|u|cosθ
(v w) ×u= det w1 w2 w3
u1 u2 u3

v
Para entendermos o produto misto,
vamos fazer o seguinte exemplo: Figura 34

Determinar o produto misto entre os O volume do paralelepípedo,
vetores: determinado por u, v e w é igual ao
u=2i-j+3k produto da área da base pela altura.
Sabendo-se que pela definição do

|v w|, o volume é dado por:
v=-i+4j+k produto vetorial a área da base é igual a
w=5i+j-2k

O produto misto R=(v w) ×u, fica: Volume = |v w|×h

altura é: h = |u| cosθ, o que implica:
-1 4 1 Mas, como vemos na figura 34, a
R=(v w) ×u = det 5 1 -2
2 -1 3
Volume =|v w|×|u| cosθ

R=(v w) ×u =-84 Que é o produto escalar entre u e
v w. Assim, o volume do paralelepípedo
OBS:- também é possível pode ser escrito como sendo:
encontrar o produto misto indicado por:
v,w,u . Volume = (v w)×u

2.5.1 Propriedades do Produto Misto.
Exemplo: Sejam v = 4i, w = 2i + 5j e
Uma propriedade importante do
U = 3i + 3j + 4k. O volume do
vetores u; v e w, o produto misto
produto misto é o fato de que; dados três
paralelepípedo com um vértice na origem
e arestas determinadas por u; v e w é
(v w) ×u é numéricamente igual ao dado por:

u; v e w. Isto pode ser observado na
volume do paralelepipedo formado por
4 0 0
Vol.=(v w)×u= det 2 5 0 =|80|= 80
figura 34 3 3 4

Por esta propriedade, é possível
saber se três vetores pertencem ao
mesmo plano. Estes vetores pertencem
ao mesmo plano quando o volume

zero; ou seja, dados três vetores u; v e w,
calculado pelo produto misto for igual a

eles estarão no mesmo plano quando:


25

(v w) ×u=0 2.5.2 Exercícios

v1 v2 v3
(v w) ×u= det w1 w2 w3 = 0 63. Calcule o volume do
u1 u2 u3 paralelepípedo da figura 35,
quando na base i,j,k as
Exemplo: componentes dos vetores são:

Verificar se os pontos P=(0;1;1), AB= 1, 0, 1 , BE= 1,1,1 e AD= 0, 3, 3
Q=(1;0;2), R=(1;-2;0) e S=(-2;2;-2)
são coplanares.

Com estes pontos podemos construir os
vetores:
PQ= 1-0, 0-1, 2-1 = 1,-1,1

PR= 1-0, -2-1, 0-1 = 1,-3,-1
Figura 35
PS= -2-0, 2-1, -2-1 = -2,1,-3
64. Determine u,v,w quando, em
Para que os pontos sejam coplanares, é uma base ortonormal,
necessário que os vetores traçados, u= -1, -3, 1 , v= 1,0,1 e w= 2, 1, 1
sejam coplanares, ou seja:
65. Calcule o volume de um
(PQ PR) × PS=0
paralelepípedo definido pelos
1 -1 1 vetores:
(PQ PR)×PS = det 1 -3 -1 = 0 u= 2, -2, 0 , v= 0,1,0 e w= -2, -1, -1
-2 1 -3
66. Calcule o volume do tetraedro
Com este resultado podemos afirmar que
ABCD dados:
os três pontos estão no mesmo plano.
AB= 1, 1, 0 , AC= 0,1,1 e AD= -4, 0, 0
Ainda é possível escrever as
seguintes propriedades do produto misto:

π
a. Quando v,w,u =0, os vetores 67. A medida do ângulo, em radianos,

u e a v. Sendo |u|=1, |v|=1
entre u e v é 6 e w é ortogonal a
são linearmente dependentes.

|w|=4, determinar u,v,w .
e
b. v,w,u = w,u,v = u,v,w
c. v,w,v = w,v,v = v,v,w = 0
d. v,w,u = - w,v,u 68. Ache a distância de um ponto D a
um plano π, que passa pelos
e. v1 +v2 ,w,u = v1 ,w,u + v2 ,w,u
pontos, não alinhados, ABC
Todas estas propriedades quando se conhece AB, AC e AD.
resultam das propriedades dos
determinantes.


26

2.6 Duplo produto vetorial. (u v) w; (u w) v e (v w) u
para

dos vetores u; v e w, ao vetor (v w) u.
Chama-se de duplo produto vetorial u= 2,0,0 , v= 1,1,1 e w= 3,2,-1

Como o produto vetorial não é
associativo, em geral,
(v w) u ≠ v (w u)

Como v w é ortogonal a v e a w e
(v w) u é ortogonal a u e a v, resulta
que o vetor resultante (v w) u e os
vetores v e w são paralelos a um mesmo
plano, isto é, são linearmente
dependentes.

Plano de
vL w
v, w e
(v w) u w
u

(vLw)Lu

v

Figura 36

2.6.1 Exercícios

69. Determine u (v w) e (u v) w
quando
u= 1,3/2,1/2 , v= 6,-2,-4 e w= 1/7,2/7,3/7

70. Determine u (w v) e (u w) v
quando
u= 1,3,1 , v= 6, 2,-4 e w= 7,‐2,‐3

71. Prove que

u (v w) = (u w)v - (v w)u

72. Usando a relação do exercício
anterior, determine os produtos

27

3 GEOMETRIA ANALÍTICA

3.1 Sistemas de Coordenadas
Cartesianas
Um sistema de coordenadas
cartesianas no espaço é um conjunto
formado por um ponto 0 e por uma base
e1 , e2 , e3 . Indica-se o sistema por
0,e1 , e2 , e3 onde 0 é a origem do
sistema e as retas orientadas que
passam pela origem têm os sentidos dos
Figura 37
vetores e1 , e2 , e3 e denominam-se,
respectivamente: eixo das abscissas; Algumas propriedades são fáceis de
eixo das ordenadas e eixo das cotas. serem verificadas:

Fixando-se um sistema de a. Se P= x1 ,y1 ,z1 e
coordenadas 0,e1 , e2 , e3 , denominam- Q= x2 ,y2 ,z2 , então:
se coordenadas de um ponto P em
relação a esse sistema, as coordenadas P-Q= x1 - x2 ,y1 - y2 ,z1 - z2
do vetor 0P em relação à base
e1 , e2 , e3 .
b. Se P= x1 ,y1 ,z1 e v= a,b,c ,
Na situação descrita, as
então:
coordenadas do vetor 0P são:
P+v= x+a,y+b,z+c
0P xe1 + y e2 + z e3

Desta forma, x; y e z são as
coordenadas do ponto P. 3.1.1 Exercícios

Assim, a cada ponto P do espaço 73. Para P= 1,3,-3 ; Q= 0,1,-4 e
corresponde um único terno ordenado (x,
v= -1,4,0 , determine em
y, z) de números reais que são
denominados, respectivamente a coordenadas:
abscissa a ordenada e a cota de P. c. QP;
d. P+v;
Normalmente, os sistemas de
e. Q+2QP
coordenadas considerados são
ortogonais em que a base é ortonormal.
74. Determine as coordenadas do
A base utilizada é aquela formada pelos
ponto médio M do segmento de
vetores canônicos i, j, k (veja item extremidade P= -1,4,7 e
2.4.1) que formam o sistema 0,i, j, k . Q= 0,1,1 .

75. Mostre que em sistema
ortonormal, os pontos A= 1,0,1 ,


28

B= -1,0,2 e C= 1,1,1 são A figura 38 mostra uma reta,
vértices de um triângulo retângulo. paralela ao plano formado eixos x e z.

76. Mostre que em sistema
ortonormal, os pontos A= 1,2,-1 ,
B= 0,1,1 e C= 2,0,0 são vértices
de um triângulo equilátero.

77. Como se reconhece por meio de
suas coordenadas um ponto do
eixo das abscissas; um ponto do
eixo das ordenadas e um ponto do
eixo das cotas? Como se Figura 38
reconhecem pontos de cada um
dos planos ordenados (x,y); (x,z) e
(y,z). A figura 39 mostra uma reta
qualquer e sua equação.

3.2 Retas e Planos

3.2.1 Estudo da Reta.
Seja uma reta r que passa pelo
ponto A e que tem a direção de um vetor
não nulo v. Para que um ponto P
qualquer do espaço pertença á reta r é
necessário e suficiente que os vetores
PA e v sejam linearmente dependentes; Figura 39
isto é que exista um número real tal que:

PA=λv

Para cada ponto P de r temos um 3.2.1.1 Equações Paramétricas da
valor para λ, assim é possível escrever: Reta.

P-A=λv P=A+λv Sejam, 0,i, j, k um sistema de
coordenadas, um ponto genérico
que é conhecida como equação vetorial P= x,y,z , pertencente a uma reta r; um
da reta.
ponto A= x0 ,y0 ,z0 , que sabidamente
Se a reta for conhecida por dois pertence a r e um vetor v= a,b,c , não
pontos distintos A e B, a direção de r será nulo, de direção paralela a r. Da equação
dada pela direção do vetor B-A (BA). vetorial da reta r, podemos escrever:
Nesta situação a equação da reta fica:
P=A+λ B-A
P=A+λ B-A
x,y,z = x0 ,y0 ,z0 +λ a,b,c


29

x=x0 +λa 83. Dar a equação da reta
x-1
=y -z na
y=y0 +λb 2
forma vetorial.
z=z0 +λc

que são as equações paramétricas de 84. Faça um esboço das retas dadas
uma reta. a seguir:
a. (x; y; z) = (-3 + 3t; 3/2 -1/2 t;
No caso da geometria do plano, o 4 - 2t)
b. (x; y; z) = (2t; t; 3/2 t)
sistema de referência fica 0,i, j , as c. (x; y; z) = (1 + t; 2; 3 + 2t)
coordenadas dos pontos e do vetor d. (x; y; z) = (1; 2 + 2t; 5/2 +
ficam, respectivamente, P= x,y , 3/2 t)
A= x0 ,y0 e v= a,b ; as equações
paramétricas podem ser escritas como:
3.2.2 Equações do Plano
x=x0 +λa
Sabemos que no plano a equação
y=y0 +λb
geral de uma reta é ax+by+c=0 e para
conhecê-la é necessário conhecer um de
3.2.1.2 Exercícios seus pontos e sua inclinação. Lembra-se,
aqui, que a reta também pode ser
conhecida se conhecermos dois de seus
pontos.
78. Determinar as equações
paramétricas da reta que passa y

inclinação
pelo ponto A= 1,1,1 e tem a Ponto

direção do vetor v= 2,3,4 .

79. Dar as equações paramétricas da
reta que passa pelos pontos
x
A= 1,1,1 e B= 2,3,5 .

80. Escrever as equações das retas Figura 40

que contêm a diagonal do No espaço um plano é o conjunto

equação ax+by+cz+d=0; para a; b; c R;
paralelogramo de vértices dos pontos P=(x;y;z) que satisfazem a
A= 1,-1,2 , B= 2,3,-4 , C= 2,1,-1
que é chamada equação geral do
e D= 1,1,-1 .
plano.

81. Dar a equação vetorial da reta que Existe uma analogia entre uma
passa pelo ponto P= 1,1,1 e é reta no plano e um plano no espaço. No
paralela ao vetor v= 3,1,-1 plano, a equação de uma reta é
determinada se forem dados sua
inclinação e um de seus pontos.
82. Fornecer as equações
paramétricas e equações vetoriais No espaço, a inclinação de um
dos eixos coordenados. plano é caracterizada por um vetor
perpendicular a ele, chamado vetor
normal ao plano. Desta forma, a
equação de um plano é determinada se


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