O que é um vetor na matemática segundo Gentil, o iconoclasta

Pelo que temos constatado não é difícil encontrar
alunos que tenham cursado a disciplina álgebra linear e que,
ao término, não sabem o que é um vetor.
Dentre algumas possíveis explicações para este
paradoxo gostaria de destacar uma em especial: o
condicionamento. Com efeito, muitos alunos chegam nesta
disciplina condicionados, por seus estudos anteriores, a
imaginar que um vetor é um ente que possui módulo, direção e
sentido. Se isto é verdade na física na matemática é
integralmente falso.
Insistimos: na matemática um vetor não possui
módulo, não possui direção, não possui sentido.
Isto se deve a que as deﬁnições deste ente (vetor) são distintas
nestas duas disciplinas. Embora, através de um malabarismo os
vetores da física possam ser incluídos entre os vetores da
matemática (como um caso especial), os vetores desta última vão
muito mais além.Aprincípio são “pontos” em um espaço abstrato; e
pontos não possuem nem módulo (comprimento), nem direção e
nem sentido.
Alguns vetores da matemática:
Para estes vetores não existe módulo, direção e sentido.
Gentil, o iconoclasta
Contracapa

ÁLGEBRA LINEAR
(COMENTADO)
1a
edi¸cão
Boa Vista-RR
Edi¸cão do autor
2016

Prefácio
Via de regra o que se faz em um prefácio é discorrer sobre o conteúdo
da obra. Nos dispensamos deste of´ıcio em razão de que o leitor, se assim o
desejar, pode apreciar o conteúdo deste livro a partir do (extenso) sumário,
dado logo a seguir. Aproveito este prefácio para fazer algumas elucubra¸cões
incluindo a Matemática em si, as quais julgo de alguma relevância.
Este livro não nasceu de notas de sala de aula; é um livro de “fundo de
quintal”, escrito em minha própria casa (a “uma mãos”, isto é, “eu e eu”),
confesso que uma das motiva¸cões para escrevê-lo foi meu v´ıcio em rela¸cão
ao processador de texto LATEX 2ε e, em especial, pelo ambiente de figuras
pspicture o qual utilizo como uma verdadeira terapia − em razão disto
existe neste livro um número excessivo de figuras.
Resumindo: pode-se dizer que tomei a decisão de escrever este livro como
um pretexto para desenhar figuras no LATEX 2ε.
Por outro lado, existem dezenas e dezenas de livros de Álgebra Linear
em português (sem falar nos estrangeiros) dispon´ıveis para alunos e inte-
ressados nesse importante ramo da matemática, sendo assim uma pergunta
pertinente seria: por que mais um?
Respondo invocando uma analogia com a impressão
digital. Assim como a impressão digital é única os in-
div´ıduos são únicos, em particular os autores são únicos,
o que implica dizer que suas obras são únicas; isto é, den-
tre as centenas de livros de Álgebra Linear não existem
dois iguais − ou ainda: todos os livros são distintos dois
a dois; portanto o presente livro é único no sentido em
que reflete minha individualidade.
Ademais, acreditamos − por várias razões − que o aluno de matemática
deva ter à sua disposi¸cão mais que um livro da disciplina que esteja apren-
dendo. É dentro deste contexto que situa-se esta obra, ou seja: nela o aluno
terá mais uma op¸cão para auxiliá-lo no seu aprendizado.
Por outro lado, acontece com as várias obras (livros) sobre um mesmo
assunto o mesmo que acontece no universo da música; para uma mesma
can¸cão podem existir dezenas de interpreta¸cões diferentes executadas por
músicos distintos, não vejo nenhum mal nisto, pelo contrário é até salutar
no sentido de nos disponibilizar um maior número de op¸cões.
Um aspecto relevante a ser ressaltado é quanto as demonstra¸cões matemá-
ticas. Existem autores que preferem as demonstra¸cões mais curtas e ele-
gantes; não é o meu caso, explico: para minha aprecia¸cão particular prefiro
as mais curtas e elegantes, não obstante, como autor, digo, quando estou
transmitindo uma ideia ao estudante a´ı é diferente no sentido de que a
demonstra¸cão mais curta nem sempre é a mais didática e compreens´ıvel ao
aluno.
3

Ademais, uma demonstra¸cão compacta não raro esconde (camufla) a
interrela¸cão dos conceitos envolvidos, muitas vezes não mostra como as
ideias estão interconectadas (imbrincadas); assim é que, por exemplo, uma
demonstra¸cão de apenas três linhas em livros congêneres, aqui deliberada-
mente a fazemos até em uma página inteira − dando ênfase à articula¸cão
dos conceitos envolvidos. Concordo integralmente com o pensamento do
matemático Chaitin, expresso a seguir
Se uma prova é “elegante” , se for o resultado de duzentos anos de
enjoado polimento, ela será tão inescrutável como uma direta revela¸cão
divina, e será imposs´ıvel adivinhar como alguém poderia tê-la descoberto
ou inventado. Ela não lhe fornecerá nenhum insight, nada, provavel-
mente nada em absoluto. (Gregory Chaitin/Metamat!)
Ainda com respeito à filosofia adotada neste livro, despendemos um es-
for¸co considerável no sentido de conduzir o aluno à compreensão das sutilezas
(imbrica¸cões) envolvidas num assunto abstrato como a Álgebra Linear −
da´ı o subt´ıtulo do livro “Comentado”−; existe uma grande diferen¸ca entre
operar e compreender; por exemplo, o fato de alguém operar um controle
remoto, celular ou software computacional, não significa que este alguém
tenha compreensão dos mecanismos subjacentes à sua opera¸cão, exatamente
da mesma forma muitas vezes acontece no que diz respeito à prática da
matemática. Óbvio, ninguém precisa saber como funciona internamente um
celular para usufruir de seus benef´ıcio; penso que é diferente para um estu-
dante de matemática, qui¸cá futuro professor, é a este que esta observa¸cão
se destina.
Alguns pré-requisitos ao estudo deste livro, como por exemplo, matrizes,
corpos e técnicas de demonstra¸cões matemáticas, foram reunidos em um
cap´ıtulo − o último do livro − denominado de “Consultas”, para consultas
e referências.
Uma justificativa: Fazer a diagrama¸cão de um livro com textos ape-
nas não é dif´ıcil, bastante dif´ıcil é a diagrama¸cão de um livro com muitas
fórmulas e figuras, como é o caso do presente. Como se não bastasse, por
razões didáticas, muitas vezes mi vi na situa¸cão de for¸car a que a explica¸cão
de um determinado contexto ficasse em uma única página, ao invés de em
duas páginas separadas; assim é que, para não desperdi¸car espa¸cos em
branco, em algumas páginas tomei a decisão de colocar (registrar) algu-
mas informa¸cões (“pensamentos”) notadamente nas áreas da matemática,
f´ısica e filosofia − a escolha destes pensamentos reflete de certo modo min-
has inclina¸cões metaf´ısicas atuais, assim é que as julgo de alguma relevância.
Boa Vista-RR, 20 de fevereiro de 2016.
4

Sumário
1 ESPAÇ OS VETORIAIS 9
1.1 Introdu¸cão: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Espa¸cos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Produto de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2.2 Primeiras Propriedades num Espa¸co Vetorial . . . . . 43
1.2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.4 Subespa¸cos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.2.5 Soma de Subespa¸cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.2.6 Combina¸cões Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.2.7 Espa¸cos Vetoriais Finitamente Gerados . . . . . . . . 72
1.2.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2 BASE E DIMENSÃO 79
2.1 Dependência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1.2 Propriedades da Dependência Linear . . . . . . . . . . 89
2.2 Base de um Espa¸co Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.3 Dimensão de um Espa¸co Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.3.1 Dimensão da Soma de dois Subespa¸cos . . . . . . . . . 102
2.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.5 Mudan¸ca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
• Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3 TRANSFORMAÇ ÕES LINEARES 127
3.1 No¸cões sobre Transforma¸cões, Fun¸cões . . . . . . . . . . . . . 127
3.2 Transforma¸cões Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Uma transforma¸cão linear especial . . . . . . . . . . . . . . 141
3.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5

3.3 Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.4 Isomorfismo entre espa¸cos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇ ÃO LINEAR 185
4.1 Matriz de uma Transforma¸cão Linear . . . . . . . . . . . . . . 185
4.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.2 Opera¸cões com Transforma¸cões Lineares . . . . . . . . . . . . 203
4.3 Matriz da Transforma¸cão Composta . . . . . . . . . . . . . . 208
4.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.4 Espa¸co Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4.5 Matrizes Semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.6 Transforma¸cões do Plano no Plano . . . . . . . . . . . . . . . 237
5 ESPAÇ OS COM PRODUTO INTERNO 257
5.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.2 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.3 Normas e Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.4 Ângulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.5 Ortogonaliza¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.6 Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.6.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
5.7 Operadores Autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5.7.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.8 Espa¸cos Vetoriais Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
5.8.1 Espa¸cos Hermitinianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6 AUTOVALORES E AUTOVETORES 321
6.1 Vetor Próprio e Valor Próprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
6.1.1 Propriedades dos vetores próprios e valores próprios . 326
6.1.2 Polinômio Caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
6.2 Diagonaliza¸cão de matrizes e operadores . . . . . . . . . . . . 341
6.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6.2.2 Diagonaliza¸cão de operadores autoadjuntos . . . . . . 349
6.2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
6.3 Aplica¸cões da Diagonaliza¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
6.3.1 Potências de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
6.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
6

7 FORMAS BILINEARES E QUADRÁTICAS 371
7.1 Formas Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
7.1.1 Matriz de uma forma bilinear . . . . . . . . . . . . . . 374
7.1.2 Formas bilineares simétricas . . . . . . . . . . . . . . . 379
7.1.3 Formas bilineares antissimétricas . . . . . . . . . . . . 383
7.1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
7.2 Formas Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.2.1 Diagonaliza¸cão de formas quadráticas . . . . . . . . . 393
7.2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
7.2.3 Redu¸cão de formas quadráticas . . . . . . . . . . . . . 395
7.3 Classifica¸cão de Cônicas e Quádricas . . . . . . . . . . . . . . 398
7.3.1 Se¸cões cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
7.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
7.3.3 Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
8 CONSULTAS 419
8.1 Opera¸cões em um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
8.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
8.3 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
8.3.1 Matrizes Invers´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
8.4 Elementos de Lógica & Demonstra¸cões . . . . . . . . . . . . . 429
8.4.1 Opera¸cões Lógicas sobre Proposi¸cões . . . . . . . . . . 430
8.4.2 Técnicas (Engenharia) de Demonstra¸cão . . . . . . . . 434
∗ ∗ ∗
Gentil, O Iconoclasta, Nasceu em Boa Vista-RR, em 1960,
é graduado em engenharia eletrônica (UFPA/1986) e é mestre
em matemática (UFSC/1997). Atualmente é professor do de-
partamento de matemática da Universidade Federal de Ro-
raima. Até o presente momento conta com oito livros publi-
cados.
7

Livros Publicados (Enderê¸cos de acesso)
1- Novas Seqüências Aritméticas e Geométricas
Bras´ılia-DF: Thesaurus, 2000; 448 p. ISBN: 85-7062-200-X
Nota: Não temos o arquivo eletrônico deste livro, apenas impresso.
Visite nosso site: www.profgentil.com.br
2- O TAO DA MATEMÁTICA (Uma Constru¸c~ao Matemática de Deus)
Rio de Janeiro: LetraCapital, 2011; 500 p. ISBN: 978-85-7785-096-9
ebah
https://goo.gl/2nRS8x
slideshare
https://goo.gl/FbuJHV
scribd
https://goo.gl/0HDswb
3- Exuma¸c~ao e Julgamento de Deus
Taguatinga-DF: Editora Kiron, 2012; 197 p. ISBN: 978-85-8113-054-5
ebah
https://goo.gl/sTLFvv
slideshare
https://goo.gl/ppNBaE
scribd
https://goo.gl/JbUw6h
4- Espa¸cos Métricos (com aplica¸c~oes)
Taguatinga-DF: Editora Kiron, 2013; 628 p. ISBN: 978-85-8113-125-2
ebah
https://goo.gl/OOaBBk
slideshare
https://goo.gl/R6MfVj
scribd
https://goo.gl/yfqclG
5- O DEUS QUÂNTICO (Um Deus pra homem nenhum botar defeito,
mesmo que esse homem seja um ateu)
Manaus-AM: Grafisa, 2014; 235 p. ISBN: 978-85-99122-40-2
ebah
https://goo.gl/Gj36Wj
slideshare
https://goo.gl/JoPzzX
scribd
https://goo.gl/A0Pnbc
6- Programando a HP 50g (Com Programa¸c~ao Simbólica) 2.a Edi¸cão
Manaus-AM: Grafisa, 2015; 364 p. ISBN: 978-85-99122-41-9
ebah
https://goo.gl/M9zz9u
slideshare
https://goo.gl/lr8k0a
scribd
https://goo.gl/nUCVW7
7- Fundamentos dos Números (Tudo o que você gostaria de saber
sobre os números mas n~ao tinha a quem perguntar)
Publica¸cão Eletrônica, 2016; 514 p. ISBN: 978-85-63979-08-7
ebah
https://goo.gl/8YVCPB
slideshare
https://goo.gl/Ah5m0g
scribd
https://goo.gl/mkl0PG
8

Cap´ıtulo 1
ESPAÇOS VETORIAIS
Quando o esp´ırito se apresenta à cul-
tura cient´ıfica, nunca é jovem. Aliás é
bem velho, porque tem a idade de seus
preconceitos. Aceder à ciência é reju-
venescer espiritualmente, é aceitar uma
brusca muta¸cão que contradiz o passado.
(Gaston Bachelard)
1.1 Introdu¸cão:
Pelo que tenho constatado não é dif´ıcil encontrar alunos que tenham
cursado a disciplina álgebra linear e que, ao término, não sabem o que é um
vetor.
Dentre algumas poss´ıveis explica¸cões para este paradoxo gostaria de
destacar uma em especial: o condicionamento∗. Com efeito, muitos alunos
chegam nesta disciplina condicionados, por seus estudos anteriores, a imagi-
nar que um vetor é um ente que possui módulo, dire¸cão e sentido. Se
isto é verdade na f´ısica na matemática é integralmente falso. Reitero: na
matemática um vetor não possui módulo, não possui dire¸cão, não possui
sentido.
Isto se deve a que as defini¸cões deste ente (vetor) são distintas nestas duas
disciplinas. Embora, através de um malabarismo os vetores da f´ısica possam
ser incluidos entre os vetores da matemática (como um caso especial), os
vetores desta última vão muito mais além. A princ´ıpio são “pontos” em um
espa¸co abstrato; e pontos não possuem nem módulo (comprimento), nem
dire¸cão e nem sentido.
∗
Ou os preconceitos, da cita¸cão em ep´ıgrafe.
9

Esta abstra¸cão na defini¸cão matemática (de vetor) implica numa maior
flexibilidade e, por conseguinte, os vetores da matemática resultam de uma
potência − em termos de aplicabilidade − muito maior que os da f´ısica.
Pouco a pouco, procuro liberar suavemente o
esp´ırito dos alunos de seu apego a imagens privile-
giadas. Eu os encaminho para as vias da abstra¸cão,
esfor¸cando-me para despertar o gosto pela abstra¸cão.
Enfim, acho que o primeiro princ´ıpio da educa¸cão
cient´ıfica é, no reino intelectual, esse ascetismo que
é o pensamento abstrato. Só ele pode levar-nos a dominar o conhecimento
experimental. (Bachelard/A forma¸cão do esp´ırito cient´ıfico)
Creio mesmo que muitos autores de livros de Álgebra Linear contribuem
para refor¸car o condicionamento (adestramento) dos alunos em verem um
vetor com os atributos citados. Mesmo no “plano” e no “espa¸co” (R2 e R3)
não é necessário que se veja um vetor com módulo, dire¸cão e sentido; estes
atributos são perfeitamente dispensáveis, tanto isto é verdade que escreve-
mos o presente livro sobre vetores sem utilizar uma única “seta vetorial”.
Claro, poderia-se argumentar: usa-se setinhas para facilitar o entendimento
do aluno, para tornar algo abstrato em algo concreto, etc. Mesmo assim cre-
mos que os malef´ıcios desta postura são maiores que os benef´ıcios, mesmo
porque é precisamente a capacidade de abstra¸cão que deve ser desenvolvida
no aluno e não seus sentidos: visão, tato, audi¸cão, etc.
Estamos integralmente de acordo com o eminente Bachelard.
Enfatizamos:
θ
Os vetores da f´ısica pos-
suem módulo, dire¸cão e sentido.
Os vetores da matemática não
possuem módulo, não possuem
dire¸cão, não possuem sentido.
Por exemplo, como veremos, são vetores da matemática:
(3, 2) ,
Ponto do R2
1 0 0
1 0 3
,
Matriz
p(x) = 2 + 3 x − x2 ,
Polinômio
00110100
Código binário
10

Processar s´ımbolos não é o mesmo que processar significado
Um outro aspecto relevante que o aluno deve se dar conta é o de que, em
matemática, processar s´ımbolos não é o mesmo que processar significados.
É o que se dá com um número significativo de estudantes: processam
(manipulam) s´ımbolos, mas não os significados por trás dos s´ımbolos.
Uma analogia: o fato de alguém usar (operar) um controle remoto ou
um celular não significa que este alguém compreenda como estes objetos
funcionam, entre operar e compreender existe uma enorme distância.
Um desafio a engenheiros e f´ısicos
Apenas para contextualizar, sinceramente creio que nenhum engenheiro,
ou f´ısico, é capaz de resolver a seguinte equa¸cão do primeiro grau:
2 x + 1 = 7 (1.1)
tomando-se como conjunto universo os naturais, isto é, N = { 0, 1, 2, 3, . . . }.
Claro, até por inspe¸cão chega-se à solu¸cão correta: x = 3. Entretanto,
quando digo resolver significa que, partindo-se da equa¸cão, deve-se chegar
ao resultado x = 3.
2 x + 1 = 7 ⇒ · · · ⇒ x = 3 (?)
E não apenas isto, mas também justificar (provar) todos os passos inter-
mediários.
Neste conjunto não contamos com oposto aditivo e inverso multiplicativo.
Os iniciantes não estão preparados para o verdadeiro rigor
matemático; só veriam nisso vãs e fastidiosas sutilezas, perder´ıamos
nosso tempo se quiséssemos, cedo demais, torná-los mais exigentes.
(Poincaré/A Ciência e a Hipótese)
2 x+1=7
x = 3
A calculadora HP50g resolve a equa¸cão 2 x + 1 = 7 em
fra¸cões de segundos − Por sinal, equa¸cões muito mais com-
plexas que esta. Um computador processa s´ımbolos mas
não significado. O cérebro da maioria de indiv´ıduos que
lida com a matemática apenas processa (manusea) s´ımbolos
− tal como a HP50g.
Quando, no ensino fundamental, o professor afirma, por exemplo, que
“mais vezes menos dá menos” e que “sinais diferentes, subtrai e dá-se o sinal
do maior ” ele está simplesmente dando um comando de programa¸cão aos
alunos; programando-os, tal qual um engenheiro programou a calculadora
HP.
11

1.2 Espa¸cos Vetoriais
A abstra¸cão desobstrui o esp´ırito, o
torna mais leve e dinâmico.
(Gaston Bachelard)
Assim como um engenheiro, ou um arquiteto, constrói suas estruturas,
igualmente os matemáticos constroem as suas. Daremos in´ıcio agora ao
estudo de uma das estruturas mais importantes da matemática: Espa¸co
Vetorial.
Os espa¸cos vetoriais constituem os objetos de estudo da álgebra linear.
Um espa¸co vetorial não é um conjunto mas sim uma estrutura (p. 19),
e, para construirmos uma de tais estruturas, iremos necessitar de algumas
ferramentas; mais precisamente de quatro ferramentas, quais sejam:
1a ) Um conjunto V ;
2a ) Um corpo K; (p. 420)
3a ) Uma opera¸cão sobre os elementos de V , a qual chamaremos de adi¸cão
e denotaremos por + ; assim:
+ : V × V −→ V
(u, v) −→ u + v
4a ) Uma opera¸cão entre um número de K e um elemento de V , a qual
chamaremos de multiplica¸cão por escalar e denotaremos por · ; assim:
· : K × V −→ V
(λ, u) −→ λ · u
Este é apenas o primeiro passo para a constru¸cão da nossa estrutura. Um
segundo passo é que estas opera¸cões satisfa¸cam alguns requisitos, a saber:
− Exigências (axiomas) para a adi¸cão:
Para quaisquer u, v e w, elementos de V , devemos ter:
A1) u + v = v + u (Comutativa)
A2) (u + v) + w = u + (v + w) (Associativa)
A3) Existe em V um elemento, denotado por 0, detentor da seguinte
propriedade: ∗
u + 0 = u; ∀ u ∈ V. (Elemento neutro)
(Elemento oposto)
A4) Para todo elemento u de V existe um outro elemento de V , denotado
por −u, detentor da seguinte propriedade:
u + (−u) = 0
∗
Importante: Escolhemos o “zero em negrito” para representar o vetor nulo (que
está em V ), com o objetivo de distingui-lo do número 0 (que está em K).
12

− Exigências (axiomas) para a multiplica¸cão:
Para quaisquer u e v em V e quaisquer λ e µ em K, devemos ter:
M1) λ · ( µ · u ) = (λ · µ) · u (Associativa)
M2) ( λ + µ ) · u = λ · u + µ · u (Distributiva)
M3) λ · ( u + v ) = λ · u + λ · v (Distributiva)
M4) 1 · u = u (elemento neutro)
∗ ∗ ∗
O matemático alemão Hermann Grassmann (1809 − 1877) é geralmente
creditado como o primeiro a introduzir a idéia de um espa¸co vetorial (apesar
de não o ter chamado assim), em 1844. Infelizmente, seu trabalho era muito
dif´ıcil de ler e não recebeu a aten¸cão que merecia. Uma pessoa que realmente
o estudou foi o matemático italiano Giuseppe Peano (1858 − 1932). Em seu
livro Calcolo geometrico, de 1888, Peano tornou claro o trabalho anterior
de Grassmann e descreveu os axiomas para um espa¸co vetorial da maneira
como hoje os conhecemos. A defini¸cão axiomática de um espa¸co vetorial
feita por Peano também teve pouca influência por muitos anos. A aceita¸cão
só veio em 1918, depois que Hermann Weyl (1885 − 1955) a repetiu em seu
livro Space, time, matter, uma introdu¸cão à teoria da relatividade geral
de Einstein.
Uma exegese da defini¸cão de Espa¸co Vetorial
A tripla (V, +, · ) é o que entendemos por um espa¸co vetorial. Ao constru-
irmos uma estrutura de espa¸co vetorial sobre um conjunto V , seus elementos
adquirem o status de vetores, independentemente de suas naturezas. Por
uma questão de conveniência (simplifica¸cão) usaremos da seguinte nota¸cão:
V = (V, +, ·)
Com isto queremos evocar na mente do aluno que V é o espa¸co vetorial
(estrutura) que foi construido (erigido) sobre o conjunto V .
Nota: Na verdade, ao longo deste livro, amiúde estaremos utilizando
(indistintamente) a mesma nota¸cão V tanto para o espa¸co vetorial quanto
para o conjunto subjacente à estrutura; entretanto, para que não se perca
de vista a diferen¸ca entre ambos é que ocasionalmente voltaremos − a nosso
critério − com a nota¸cão V para o espa¸co vetorial.
Estaremos, ademais, omitindo o “ponto” na multiplica¸cão por escalar;
digo, escreveremos λ u ao invés de λ · u.
− Os axiomas para espa¸co vetorial naturalmente se dividem em dois grupos;
os quatro primeiros dizem respeito somente à estrutura aditiva de V, os
quatro últimos referem-se à a¸cão do corpo de escalares sobre o espa¸co V.
13

Observe que no axioma M4) 1 é o elemento neutro da multiplica¸cão no
corpo, a multiplica¸cão de espa¸co vetorial é uma outra multiplica¸cão − no
mais das vezes não tem nada a ver com a primeira −, portanto este elemento
não teria a obriga¸cão de continuar sendo o elemento neutro de uma outra
opera¸cão, se isto acontece deve ser por decreto (axioma).
Quando K = R (resp.: K = Q, K = C), o espa¸co vetorial diz-se real
(resp.: racional, complexo).
O quadro amarelo a seguir resume o essencial da defini¸cão de espa¸co
vetorial.
A1) u + v = v + u
A2) (u + v) + w = u + (v + w)
A3) u + 0 = u; ∀ u ∈ V.
A4) ∀ u ∈ V, ∃ − u ∈ V : u + (−u) = 0
M1) λ · ( µ · u ) = (λ · µ) · u
M2) ( λ + µ ) · u = λ · u + µ · u
M3) λ · ( u + v ) = λ · u + λ · v
M4) 1 · u = u
V = (V, +, ·)
Uma observa¸cão importante é a de que não devemos colocar o “carro
na frente dos bois ” e chamar os elementos de um conjunto de vetores antes
de construirmos − sobre este conjunto − a estrutura de espa¸co vetorial.
Oportunamente estaremos exemplificando este aspecto.
Adendo: Podemos dizer que um espa¸co vetorial é uma obra (estrutura)
de “engenharia matemática” cuja planta esbo¸camos assim:
V
V ×V
V
V
K×V
K V
(u, v) r
ru+v
+
·(λ, u) r
rλu
V = (V, +, ·)
14

Adendo: Antes de prosseguir em nossos estudos, uma observa¸cão que jul-
gamos de alguma relevância: Em matemática existe uma conven¸cão tácita
de que só devemos criar novos s´ımbolos em casos estritamente necessários.
Em consequência deste acordo é que em muitos contextos matemáticos um
mesmo s´ımbolo pode ter significados distintos. Por exemplo, na exigência
M1), isto é:
M1) λ · ( µ · u ) = (λ · µ) · u
Estes três s´ımbolos dizem respeito à mesma
multiplica¸cão (escalar por vetor).
Este s´ımbolo diz respeito a uma outra multiplica¸cão
(entre escalares e dá-se no corpo K)
Na exigência,
M2) ( λ + µ ) · u = λ · u + µ · u
Estes dois s´ımbolos dizem respeito a adi¸cões
distintas. A primeira adi¸cão se dá entre nu-
meros, a segunda se dá entre vetores.
∗ ∗ ∗
Uma das contribui¸cões definitivas do século dezenove foi o recon-
hecimento de que a matemática não é uma ciência natural, mas uma
cria¸cão intelectual do homem. Bertrand Russel escreveu no Interna-
tional Monthly em 1901: ‘O século dezenove, que se orgulha da inven¸cão
do vapor e da evolu¸cão, poderia derivar um t´ıtulo mais leg´ıtimo à fama
da descoberta da matemática pura.’
Pelo fim do século era geralmente reconhecido mesmo por não-
matemáticos que a matemática é pensamento postulacional, em que de
premissas arbitrárias são tiradas conclusões válidas. Que os postulados
sejam ou não verdadeiros num sentido cient´ıfico é indiferente.
(Curso Moderno de Filosofia/Denis Huisman e André Vergez)
Nem você nem eu nem ninguém sabemos o que faz um matemático
vingar. Não é uma questão de inteligência. Conhe¸co matemáticos mais
hábeis que eu, mas que não tiveram sorte. Considere dois mineiros: um
talvez seja perito em geologia, mas é o mineiro ignorante quem acha as
pepitas douradas. (Louis J. Mordell/matemático britânico)
15

− Exemplos de Espa¸cos Vetoriais
Exemplo 1: O espa¸co vetorial R2.
Para a constru¸cão do nosso primeiro exemplo de espa¸co vetorial tomare-
mos como conjunto V o conjunto de pares ordenados de números reais:
R2
= (x, y): x, y ∈ R
cuja versão geométrica é vista a seguir:
R
R
0
s(x, y)
Observe que, até o presente momento, não podemos dizer que um par
ordenado (a, b) seja um vetor; não, não é! (a, b) é apenas − e tão somente
− um elemento do conjunto R2; ou, se preferirmos, um ponto do plano.
Precisamos trabalhar um pouco mais para conferir a este ponto o status de
vetor. Com este desiderato em mente, tomemos para o corpo de escalares
os números reais, isto é, fa¸camos K = R.
Tomemos dois elementos u = (a, b) e v = (c, d) em R2 e um escalar
(número) λ em R e vamos definir a soma de pares ordenados e a multiplica¸cão
por escalar do seguinte modo:
u + v = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (1.2)
λ u = λ (a, b) = (λa, λb) (1.3)
Observe que em (1.2) o mesmo s´ımbolo “+” representa duas opera¸cões dis-
tintas: o “+” que comparece entre os pares ordenados é a adi¸cão em R2
que estamos definindo, por outro lado, o “+” que comparece mais á direita
− dentro dos parentesis − é a “velha” e conhecida opera¸cão de adi¸cão entre
números reais. Observa¸cão análoga vale em (1.3).
16

Esta é a primeira etapa em nossa constru¸cão. A segunda etapa con-
siste em mostrar que estas opera¸cões, assim definidas, satisfazem a todas as
exigências listadas na defini¸cão de espa¸co vetorial. Senão, vejamos:
A1) u + v = (a, b) + (c, d)
= (a + c, b + d) (defini¸cão de adi¸cão)
= (c + a, d + b) (comutatividade nos reais)
= (c, d) + (a, b) (defini¸cão de adi¸cão)
= v + u
A2) (u + v) + w = (a, b) + (c, d) + (e, f)
= (a + c, b + d) + (e, f) (defini¸cão de adi¸cão)
= (a + c) + e, (b + d) + f (defini¸cão de adi¸cão)
= a + (c + e), b + (d + f) (associatividade nos reais)
= (a, b) + (c + e, d + f) (defini¸cão de adi¸cão)
= (a, b) + (c, d) + (e, f) (defini¸cão de adi¸cão)
= u + (v + w)
A3) ∃ 0 = (0, 0) ∈ R2 : ∀ u = (a, b) ∈ R2, se verifica,
u + 0 = (a, b) + (0, 0)
= (a + 0, b + 0) (adi¸cão)
= (a, b) (elemento neutro nos reais)
= u
A4) ∀ u = (a, b) ∈ R2, ∃ − u = (−a, −b) ∈ R2 :
u + (−u) = (a, b) + (−a, −b)
= a + (−a), b + (−b) (adi¸cão)
= (0, 0) (oposto aditivo nos reais)
= 0
M1) λ ( µ u ) = λ ( µ (a, b) )
= λ ( µa, µb ) (defini¸cão de multiplica¸cão)
= λ ( µa, µb )
= λ(µa), λ(µb) (defini¸cão de multiplica¸cão)
= (λµ)a, (λµ)b (associatividade nos reais)
= (λµ) (a, b ) (defini¸cão de multiplica¸cão)
= (λµ) u
17

M2) (λ + µ) u = (λ + µ) (a, b)
= (λ + µ) a, (λ + µ) b (defini¸cão de multiplica¸cão)
= ( λa + µa, λb + µb ) (distributividade nos reais)
= (λa, λb) + (µa, µb) (defini¸cão de adi¸cão)
= λ (a, b) + µ (a, b) (defini¸cão de multiplica¸cão)
= λ u + µ u
M3) λ(u + v) = λ (a, b) + (c, d)
= λ (a + c, b + d) (defini¸cão de adi¸cão)
= λ (a + c, b + d)
= λ(a + c), λ(b + d) (defini¸cão de multiplica¸cão)
= ( λa + λc, λb + λd ) (distributividade nos reais)
= ( λa, λb ) + ( λc, λd ) (defini¸cão de adi¸cão)
= λ(a, b) + λ(c, d) (defini¸cão de multiplica¸cão)
= λu + λv
M4) 1 u = 1 (a, b)
= ( 1 a, 1 b ) (defini¸cão de multiplica¸cão)
= (a, b) (elemento neutro nos reais)
= u
Nota¸cão: ( R2, +, · ) = R2 é o espa¸co vetorial R2.
Nota: Somente agora, após termos provado que a adi¸cão definida em
(1.2) satisfaz as exigências A1), . . . , A4), e que a multiplica¸cão, definida em
(1.3) satisfaz as exigências M1), . . . , M4) é que podemos chamar os pontos
(a, b), do plano, de vetores.
De outro modo: somente agora os pontos (a, b) do plano cartesiano fazem
parte de uma estrutura de espa¸co vetorial, isto é, deixaram de ser “meros
pontos” e adquiriram o status de vetores.
18

O que é um vetor em matemática?
Conjuntos × Estruturas
O entendimento do que seja um vetor inicia-se com a distin¸cão entre
conjunto e estrutura.
Em matemática são frequentes conjuntos munidos de uma ou mais opera-
¸cões, que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais opera¸cões
e respectivas propriedades constituem aquilo que denominamos estruturas
algébricas. Um espa¸co vetorial é um exemplo de estrutura algébrica.
Para nos auxiliar em nosso objetivo (deixar claro a diferen¸ca entre con-
junto e estrutura) vamos recorrer a uma analogia: Suponhamos um conjunto
M cujos elementos são materiais de constru¸cão, assim:
M = {tijolo, cimento, seixo, pedra, areia, . . .}
“sobre” este conjunto podemos construir diversas estruturas, por exemplo:
M
− Edif´ıcio
− Casa
− Ponte
Conjunto
Estruturas
Não devemos confundir o conjunto M com a “estrutura” edif´ıcio, por
exemplo.
Entendemos que esta mesma distin¸cão deve ser feita entre conjuntos e
estruturas na matemática.
Vejamos um exemplo retirado da matemática. Considere o conjunto de
pontos R2 = (x, y): x, y ∈ R , cuja versão geométrica é vista a seguir:
R2
0
r(x, y)
sobre este conjunto podemos construir, por exemplo, três estruturas, assim:
19

- Espa¸co vetorial:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
λ(a, b) = (λa, λb)
- Números C:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
- Números H:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac ∓ bd, |a|d + b|c|)
R2
0
q(x, y)
Assim o número de estruturas que podemos construir sobre um mesmo
conjunto estará limitado apenas por nossa criatividade∗.
A Identidade de um Elemento
Uma outra distin¸cão que se faz necessária é quanto a natureza (identi-
dade) de um elemento.
Perguntamos: afinal de contas o par ordenado (3, 2) é um vetor ou um
número complexo?
Respondemos: o par ordenado (3, 2), por si só, não é nem uma coisa
nem outra, é apenas um elemento do conjunto R2. Agora dependendo do
contexto em que nos situamos, este elemento pode ser um vetor, um número
complexo, ou ainda um número hipercomplexo.
Se, por exemplo, o par ordenado (3, 2) estiver inserido na estrutura de
espa¸co vetorial − primeira das alternativas na figura anterior − ele será
um vetor, se estiver sendo manipulado na estrutura números complexos −
segunda das alternativas na figura anterior − ele será um número com-
plexo, e se estiver sendo manipulado dentro da estrutura “Hipercomplexa”
− terceira das alternativas na figura anterior − ele será um número hiper-
complexo.
Portanto, enfatizamos, é a estrutura que confere “dignidade” (identi-
dade) a um elemento.
É a estrutura (“jogo”) quem vai determinar o que um elemento (s´ımbolo)
seja.
Vejamos mais duas analogias:
1a ) Suponhamos que desejamos jogar xadrez mas não dispomos das pe¸cas,
apenas do tabuleiro. Não há o menor problema: podemos substituir as pe¸cas
por cereais. Por exemplo, um caro¸co de feijão fará o papel de rei, os peões
serão substituidos por grãos de arroz, as torres por caro¸cos de milho, etc.
∗
C : Números complexos. Os números Hipercomplexos é um novo sistema numérico
que construimos sobre o R2
, é também uma generaliza¸cão dos números reais.
Na abscissa do produto, tomamos − se a c ≥ 0, tomamos + caso contrário. Ver [10]
20

feijão → Rei
arroz → peões
milho → torres
...
...
...
Observe mais uma vez que é a estrutura que confere a “dignidade” (iden-
tidade) de um elemento: um mero caro¸co de feijão de repente vê-se pro-
movido a “rei”, ao participar da estrutura xadrez.
2a ) Como mais um exemplo da “metamorfose” conferida pela estrutura,
o Brasil está empestado de ratazanas (bandidos) que, ao ingressarem na
estrutura pol´ıtica, tornam-se “vossa excelência”:
Assim como um mero caro¸co de feijão torna-se um “rei” ao ingressar
na estrutura xadrez, bandidos tornam-se “vossa excelência” ao ingressar na
estrutura pol´ıtica brasileira.
21

Uma cr´ıtica à defini¸cão de Espa¸co Vetorial em livros didáticos
Em fun¸cão do exposto anteriormente desejamos fazer uma breve exegese
sobre a defini¸cão de espa¸cos vetoriais constante na literatura matemática.
Uma defini¸cão padrão nos livros didáticos é:
Um espa¸co vetorial E é um conjunto, cujos elementos são chamados ve-
tores, no qual estão definidas duas opera¸cões: a adi¸cão, que a cada par de
vetores u, v ∈ E faz corresponder um novo vetor u+v ∈ E, chamado a soma
de u e v, e a multiplica¸cão por um número real, que a cada número α ∈ R e a
cada vetor v ∈ E faz corresponder um vetor α·v, ou αv, chamado o produto
de α por v. Essas opera¸cões devem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e
u, v, w ∈ E, as condi¸cões abaixo, chamadas os axiomas de espa¸co vetorial:
comutatividade: u + v = v + u;
associatividade: (u + v) + w = u + (v + w) e (αβ)v = α(βv);
vetor nulo: existe um vetor 0 ∈ E, chamado vetor nulo, ou vetor zero,
tal que v + 0 = 0 + v = v para todo v ∈ E;
inverso aditivo: para cada vetor v ∈ E existe um vetor −v ∈ E,
chamado o inverso aditivo, ou o simétrico de v, tal que −v+v = v+(−v) = 0;
distributividade: (α + β)v = αv + βv e α(u + v) = αu + αv;
multiplica¸cão por 1: 1 · v = v.
Então, vejamos alguns poucos comentários sobre esta defini¸cão padrão:
Primeiro que um espa¸co vetorial não é um conjunto. Segundo, não conhe¸co
nenhum conjunto “cujos elementos são chamados vetores ”. O leitor conhece
algum? − O que vem depois na defini¸cão anterior não muda em nada.
A verdadeira natureza de um espa¸co vetorial é a de uma estrutura − tanto
é que é conhecido como uma estrutura algébrica −, por exemplo, assim:
V
R
V × V
R × E
V
V
+
·
V = (V, +, ·)
(aqui temos escalares)
(aqui temos meros elementos)
Estrutura
Espa¸co Vetorial
(aqui temos vetores)
Não existe nenhum conjunto “cujos elementos são chamados vetores ”
posto que em qualquer conjunto temos meros elementos, agora ao constru-
irmos uma estrutura de espa¸co vetorial sobre um tal conjunto então seus
elementos adquirem o status de vetores.
22

Assim como um mero caro¸co de feijão torna-se um rei ao participar da
estrutura xadrez − ou qualquer bandido torna-se “vossa excelência”, ao
ingressar na estrutura pol´ıtica brasileira − objetos de naturezas diversas
tornam-se vetores ao participarem da estrutura espa¸co vetorial. Por exem-
plo, são vetores:
(3, 2) ,
Ponto do R2
1 0 0
1 0 3
,
Matriz
p(x) = 2 + 3 x − x2 ,
Polinômio
00110100
Código binário
Exemplo 2: O espa¸co vetorial R3.
Para a constru¸cão do nosso segundo exemplo de espa¸co vetorial tomare-
mos como conjunto V o conjunto de ternos ordenados de números reais:
R3
= (x, y, z): x, y, z ∈ R
cuja versão geométrica é vista a seguir:
Y
Z
X
(x, y, z)
Tomemos dois elementos u = (a, b, c) e v = (d, e, f) em R3 e um escalar
(número) λ em R e vamos definir a soma de ternos ordenados e a multi-
plica¸cão por escalar do seguinte modo:
u + v = (a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f)
λ u = λ (a, b, c) = (λa, λb, λc)
Estas duas defini¸cões conferem aos pontos do espa¸co R3 o status de vetores,
conforme pode ser provado de modo análogo ao que foi feito no exemplo
anterior.
Apenas informamos que aqui o vetor nulo passa a ser 0 = (0, 0, 0) e o
oposto do vetor u = (a, b, c) é o vetor −u = (−a, −b, −c).
Exemplo 3: O espa¸co vetorial Rn.
Os dois exemplos anteriores podem ser generalizados ao “hiperespa¸co”
Rn, que é o conjunto de n−uplas,
Rn
= (x1 , x2 , . . . , xn ): xi ∈ R
23

cuja versão geométrica infelizmente por uma limita¸cão de “hardware” (cére-
bro) não podemos visualizar quando n > 3.
Dados dois pontos u = (x1 , x2 , . . . , xn ) e v = (y1 , y2 , . . . , yn ) neste
conjunto, definimos igualdade, assim:
(x1 , x2 , . . . , xn ) = (y1 , y2 , . . . , yn ) ⇔ x1 = y1 , x2 = y2 , . . . , xn = yn
Adi¸cão entre pontos e multiplica¸cão por escalar (número real), assim:
u + v = (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
λu = (λ x1 , λ x2 , . . . , λ xn )
Estas opera¸cões conferem aos pontos do “hiperespa¸co” o status de vetores,
como pode facilmente ser provado.
Apenas informamos que aqui o vetor nulo passa a ser 0 = (0, 0, . . . , 0)
e o oposto do vetor u = (x1 , x2 , . . . , xn ) é o vetor −u = (−x1 , −x2 , . . . , −xn ).
O exemplo dado anteriormente possui uma importante generaliza¸cão dada
a seguir.
Exemplo 4: O espa¸co vetorial Kn.
Vamos generalizar ainda mais o exemplo anterior. Seja K um corpo
arbitrário. A nota¸cão Kn é amiúde utilizada para denotar o conjunto de
todas as n-uplas de elementos de K:
Kn
= (x1 , x2 , . . . , xn ): xi ∈ K
Dados dois pontos u = (x1 , x2 , . . . , xn ) e v = (y1 , y2 , . . . , yn ) neste con-
junto podemos tornar Kn um espa¸co vetorial sobre K com as seguintes
defini¸cões:
(x1 , x2 , . . . , xn ) = (y1 , y2 , . . . , yn ) ⇔ x1 = y1 , x2 = y2 , . . . , xn = yn
Adi¸cão entre pontos e multiplica¸cão por escalar, assim:
u + v = (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
λu = (λ x1 , λ x2 , . . . , λ xn )
Estas opera¸cões são ditas “ponto a ponto” e conferem aos pontos do
“hiperespa¸co” o status de vetores. Por exemplo, o vetor nulo em Kn é uma
n-upla de zeros,
0 = (0, 0, . . . , 0)
e o oposto do vetor u = (x1 , x2 , . . . , xn ) é o vetor −u = (−x1 , −x2 , . . . , −xn ).
Das exigências (axiomas) para espa¸co vetorial vamos provar A2 e M3 (as
outras são demonstradas de forma análoga). Então:
24

A2) (u + v) + w = u + (v + w) (Associativa)
Suponha que u = ( xi ), v = ( yi ) e w = ( zi ). A demonstra¸cão será feita
mostrando que as entradas (coordenadas nas n-uplas) correspondentes em
cada lado de A2 são iguais.
Com efeito, a entrada i de u+v é xi +yi , então a entrada i de (u+v)+w
é (xi + yi ) + zi . Por outro lado, a entrada i de v + w é yi + zi e assim a
entrada i de u+(v +w) é xi +(yi +zi ). Porém, para escalares em K (corpo)
temos
(xi + yi ) + zi = xi + (yi + zi )
Portanto (u + v) + w e u + (v + w) possuem entradas i iguais, logo, pela
defini¸cão de igualdade de n-uplas, temos que (u + v) + w = u + (v + w).
M3) λ ( u + v ) = λ u + λ v (Distributiva)
A entrada i de u+v é xi +yi, então λ (xi +yi ) é a entrada i de λ ( u+v ).
Por outro lado, as entradas i de λ u e λ v são respectivamente λ xi e λ yi .
Porém, para escalares em K temos
λ (xi + yi ) = λ xi + λ yi
Assim λ ( u + v ) e λ u + λ v possuem entradas i iguais, logo, pela defini¸cão
de igualdade de n-uplas, temos que λ ( u + v ) = λ u + λ v.
Publica¸cão Eletrônica, 2016; 514 p. ISBN: 978-85-63979-08-7
ebah
https://goo.gl/8YVCPB
slideshare
https://goo.gl/Ah5m0g
scribd
https://goo.gl/mkl0PG
25

Exemplo 5: Espa¸co de Códigos
Agora daremos um importante exemplo de espa¸co vetorial cujo corpo de
escalares não é R.
Códigos que contêm tanto caracteres alfabéticos como numéricos são
necessários quando microcomputadores se comunicam com dispositivos como
fax ou um terminal de v´ıdeo, ou ainda para transformar os caracteres de um
teclado em linguagem de computador. Esses códigos são chamados códigos
alfanuméricos.
O código alfanumérico mais comumente usado em sistemas de microcom-
putador é o
AMERICAN STANDARD Code for Information Interchange
(Código Americano Padrão para Troca de Informa¸cões)
Uma listagem parcial do código ASCII é mostrada na tabela a seguir
Caracter ASCII Caracter ASCII
< 00111100
> 00111110
! 00100001
11100100
# 00100011
$ 00100100
% 00100101
& 00100110
( 00101000
) 00101001
∗ 00101010
[ 01011011
] 01011101
+ 00101011
− 00101101
/ 00101111
0 00110000
1 00110001
2 00110010
3 00110011
4 00110100
5 00110101
6 00110110
7 00110111
8 00111000
9 00111001
A 01000001
B 01000010
C 01000011
D 00100100
E 01000101
F 01000110
G 01000111
H 01001000
I 01001001
J 01001010
K 01001011
L 01001100
M 01001101
N 01001110
O 01001111
P 01010000
Q 01010001
R 01010010
S 01010011
T 01010100
U 01010101
V 01010110
W 01010111
X 01011000
Y 01011001
Z 01011010
− TABELA ASCII
26

A seguir vemos o diagrama de blocos de uma calculadora.
Teclado
Entrada
Display
Saida
+ 0 −
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Codificador
ր
00110001
00101011
00110010
CPU
ր
00110011
Decodificador
Na figura estamos simulando a soma 1+2 = 3. Ao digitarmos no teclado
1+2 existe um circuito codificador que codifica estas informa¸cões em binário
de acordo com a TABELA ASCII vista anteriormente, ou seja,
1 ↔ 00110001 ; + ↔ 00101011 ; 2 ↔ 00110010
Estas sequências binárias (códigos) são entregues à CPU (unidade central
de processamento) que executa a soma pedida, o resultado é colocado na
entrada de um circuito decodificador que decodifica, ainda de acordo com
a TABELA ASCII, a sequência binária em sua entrada e na saida (display)
temos o resultado na base decimal.
Defini¸cão 1 (Código). Um código binário é um conjunto de vetores binários
(de mesmo comprimento) chamados vetores de código. O processo de con-
versão de uma mensagem em vetores de código é chamado codifica¸cão, e o
processo inverso é chamado decodifica¸cão.
A transmissão de dados codificados − via ondas eletromagnéticas, pode
ser − está sujeita a várias fontes de erros, desde erros de digita¸cão até
interferências eletromagnéticas; os poss´ıveis erros são chamados de ru´ıdos.
A teoria dos códigos corretores de erro é um campo de pesquisa muito
ativo atualmente, com aplica¸cões em diversas áreas tais como: matemática,
engenharia, computa¸cão e estat´ıstica.
Sinal Sinal
Novo
Informa¸cão
de
Fonte
Codifica¸cão Canal
Ru´ıdo
Decodifica¸cão Destinatário
27

Nosso objetivo agora será construir uma fam´ılia (cole¸cão) de espa¸cos
vetoriais os quais são bastante utilizados no projeto de códigos binários
para transmissão de dados entre computadores, inclusive.
Sequências binárias de qualquer tamanho podem ser obtidas tomando-se
o produto cartesiano do conjunto (com dois s´ımbolos):
0 1Z2 = { 0, 1 }
Por exemplo:
Z2
2
= { 0, 1 } × { 0, 1 } = { 00, 10, 01, 11 }
Ou ainda:
Z3
2
= { 0, 1 } × { 0, 1 } × { 0, 1 }
= { 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111 }
Como o leitor certamente já se deu conta, via produto cartesiano pode-
mos obter sequências binárias de qualquer tamanho.
O número de sequências binárias no conjunto Zn
2
é 2n.
Observe que os códigos (sequências) do teclado de um computador (Tabela
ASCII) pertencem todos ao conjunto Z8
2
, neste conjunto podemos codificar
até 28 = 256 caracteres.
Opera¸cões em Z2
Inicialmente vamos construir uma estrutura de corpo sobre o conjunto Z2 .
Nesse conjunto vamos definir duas opera¸cões: a uma delas chamaremos de
adi¸cão e a outra chamaremos de multiplica¸cão − dadas nas seguintes tábuas:
+ 0 1
0
1
0 1
1 0
· 0 1
0
1
0 0
0 1
A isto se acrescenta que todo s´ımbolo
é ambivalente e até mesmo polivalente,
no sentido de que ele pode significar
uma pluralidade de realidades diversas e
mesmo contraditórias.
(Léon Bonaventure)
É fácil, não obstante trabalhoso, provar que o sistema algébrico resul-
tante Z2 = (Z2 , +, ·) é um corpo. (p. 420)
28

Desde já enfatizamos que no presente contexto 0 e 1 não são números
naturais, isto é, números do conjunto
N = { 0, 1, 2, 3, . . . }
De fato, como dissemos anteriormente, o que confere a identidade de um
elemento é a estrutura (“jogo”) do qual ele faz parte.
Embora os s´ımbolos 0 e 1 sejam os mesmos do conjunto dos números
naturais no entanto como números são distintos daqueles. Observe:
N = ( { 0, 1, 2, 3, . . . }, +, · )
− Nesta estrutura 0 e 1 são
números naturais.
Z2 = ({ 0, 1 }, +, ·)
− Nesta estrutura 0 e 1 são
números, mas não naturais.
Pois bem, retomando a estrutura Z2 acima definida, o elemento neutro da
adi¸cão é 0. O simétrico (oposto) de cada elemento encontramos na própria
tabela de adi¸cão. Veja:
0 + 0 = 0 ⇒ −0 = 0 e 1 + 1 = 0 ⇒ −1 = 1
Isto é, o oposto aditivo de cada elemento é o próprio.
Ademais, o leitor não se escandalize com a opera¸cão 1 + 1 = 0, posto
que, se servir de consolo, mesmo na f´ısica − supostamente mais aderente à
realidade − nem sempre 1 + 1 = 2. Por exemplo, se adicionarmos duas ve-
locidades iguais a 1, na f´ısica de Galileu teremos 1+1 = 2, já na de Einstein
teremos 1 + 1 = 2. (Ver p. 77)
Aceder à ciência é rejuvenescer espiri-
tualmente, é aceitar uma brusca muta¸cão
que contradiz o passado.
(Gaston Bachelard)
O mundo é construido como uma es-
trutura matemática, e não material.
(Werner Heisenberg)
A isto se acrescenta que todo s´ımbolo é ambivalente e até mesmo
polivalente, no sentido de que ele pode significar uma pluralidade de rea-
lidades diversas e mesmo contraditórias. (Léon Bonaventure)
29

Os espa¸cos vetoriais Zn
2
Tendo em conta o exemplo 4 (p. 24) resulta que, para cada n ≥ 1, os
sistemas Zn
2
são espa¸cos vetorias com as opera¸cões “ponto a ponto”. Por-
tanto, no presente contexto uma sequência binária (código) adquire status
de vetor. Observe que não cabe − não tem sentido − para estes vetores os
atributos (simultâneos) de módulo, dire¸cão e sentido.
Por exemplo, veja alguns exemplos de adi¸cão:
Z2
2
10
01
11+ :
Z3
2
101
011
110+ :
Z4
2
1010
1010
0000+ :
feitas com o aux´ılio da tábua de adi¸cão para Z2 . (p. 28)
Veja alguns exemplos de multiplica¸cão por escalar:
Z2
2
u → 10
λ → 1
10λ u →
Z3
2
u → 101
λ → 0
000λ u →
Z4
2
u → 1010
λ → 1
1010λ u →
feitas com o aux´ılio da tábua de multiplica¸cão para Z2 .
O elemento neutro da adi¸cão em Zn
2
é a “sequência nula”, 0 = 00 . . . 0,
com n entradas. Ademais, observe que todo elemento em Zn
2
possui oposto
aditivo no caso “ele próprio”. Isto se deve a que, na tábua da adi¸cão em Z2
temos que 0 + 0 = 0 e 1 + 1 = 0.
Apenas a t´ıtulo de informa¸cão, a quem interessar possa, no livro Funda-
mentos dos Números (p. 25) criamos uma estrutura na qual as sequências
binárias infinitas tornam-se números; digo, novos modelos para os naturais,
inteiros, etc. Por exemplo, veja os “inteiros azuis”:
Z
−1−2−3−4−5 0 1 2 3 4 5. . . . . .
Z
0
1
0
1
1
1
1
1
...
0
0
1
1
1
1
1
1
...
1
0
1
1
1
1
1
1
...
0
1
1
1
1
1
1
1
...
1
1
1
1
1
1
1
1
...
0
0
0
0
0
0
0
0
...
1
0
0
0
0
0
0
0
...
0
1
0
0
0
0
0
0
...
1
1
0
0
0
0
0
0
...
0
0
1
0
0
0
0
0
...
1
0
1
0
0
0
0
0
...
. . . . . .
30

Uma fórmula para gerar os códigos em Zn
2
É um prazer puro da alma espalhar pelo mundo o fruto de seus es-
tudos e medita¸cões, ainda sem outra remunera¸cão que a consciência de
fazer bem. (José Bonifácio)
Já não conto mais o número de fórmulas que deduzi (e/ou demonstrei)
na matemática, confesso que, pela fórmula a seguir, tenho um carinho todo
especial∗.
xij =



1, se i−1
2
j−1 é ´ımpar;
0, se i−1
2
j−1 é par.
(1.4)
Esta fórmula nos permite gerar os códigos binários, onde: xij é o j−ésimo
bit do código i de Zn
2
. ⌊ x ⌋ é o maior inteiro que não supera x.
Fixado n fazemos
i = 1, 2, . . . , 2n
e j = 1, 2, . . . , n
Por exemplo, para n = 2, temos: i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2. Então
i = 1, j = 1 ⇒ 1−1
21−1 = 0 ⇒ x11 = 0
i = 1, j = 2 ⇒ 1−1
22−1 = 0 ⇒ x12 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i = 2, j = 1 ⇒ 2−1
2
1−1 = 1 ⇒ x11 = 1
i = 2, j = 2 ⇒ 2−1
22−1 = 0 ⇒ x12 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i = 3, j = 1 ⇒ 3−1
21−1 = 2 ⇒ x11 = 0
i = 3, j = 2 ⇒ 3−1
22−1 = 1 ⇒ x12 = 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i = 4, j = 1 ⇒ 4−1
21−1 = 3 ⇒ x11 = 1
i = 4, j = 2 ⇒ 4−1
22−1 = 1 ⇒ x12 = 1
Sendo assim, temos:
Z2
2
= { 00
i = 1
, 10
i = 2
, 01
i = 3
, 11
i = 4
}
∗
Precisamente pelos detalhes técnicos envolvidos em sua dedu¸cão e demonstra¸cão.
31

Exemplo 6: O espa¸co vetorial Pn (R).
Para a constru¸cão do nosso próximo exemplo de espa¸co vetorial tomare-
mos como conjunto V o conjunto,
Pn (R) = a0 + a1 x + a2 x2
+ · · · + an xn
: ai ∈ R
dos polinômios com coeficientes reais de grau ≤ n (n é um inteiro não-
negativo).
Para conferir aos elementos deste conjunto o status de vetores, tomemos
dois elementos arbitrários
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2
+ · · · + an xn
q(x) = b0 + b1 x + b2 x2
+ · · · + bn xn
e vamos definir duas opera¸cões:
p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2
+ · · · + (an + bn )xn
Tomemos para o corpo de escalares os números reais, vamos definir,
λ p(x) = λ b0 + (λ b1 ) x + (λ b2 ) x2
+ · · · + (λ bn ) xn
Pode ser mostrado que todas as exigências sobre as opera¸cões de adi¸cão e
multiplica¸cão por escalar são satisfeitas; portanto Pn (R) é o espa¸co vetorial
dos polinômios (de grau ≤ n) com coeficientes reais.
O vetor nulo deste espa¸co é dado por,
0(x) = 0 + 0x + 0x2
+ · · · + 0xn
O oposto aditivo do vetor p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn é o vetor,
−p(x) = (−a0 ) + (−a1 ) x + (−a2 ) x2
+ · · · + (−an ) xn
Isto se deve a que, p + (−p) = 0, veja:
p + (−p) (x) = a0 + (−a0 ) + a1 + (−a1 ) x + · · · + an + (−an ) xn
= 0 + 0x + 0x2
+ · · · + 0xn
= 0(x)
Exemplo 7: O espa¸co vetorial Mm×n(R).
Sobre o conjunto Mm×n(R), das matrizes de ordem m × n, com entradas
reais podemos construir um espa¸co vetorial tomando como corpo K = R
e as opera¸cões usuais de adi¸cão de matrizes e multiplica¸cão de matriz por
escalar. (p. 424 e p. 425)
No caso particular das matrizes de ordem 2 × 3, por exemplo, o vetor
nulo é dado por:
0 =
0 0 0
0 0 0
32

Para um vetor arbitrário,
u =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
seu oposto aditivo é dado por,
−u =
−a11 −a12 −a13
−a21 −a22 −a23
Para provar esta assertiva basta ter em conta que,
u + (−u) =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
+
−a11 −a12 −a13
−a21 −a22 −a23
Ou ainda,
u + (−u) =
a11 − a11 a12 − a12 a13 − a13
a21 − a21 a22 − a22 a23 − a23
=
0 0 0
0 0 0
= 0
Exemplo 8: Espa¸cos Funcionais. Consideremos o conjunto,
F = { f : R → R }
das fun¸cões reais definidas em toda a reta. O nosso objetivo será construir
sobre este conjunto um espa¸co vetorial:
F = F, +, · (1.5)
Dados dois elementos∗ f e g em F, vamos definir a adi¸cão f + g como sendo
a fun¸cão dada pela seguinte “ lei ” (regra):
(f + g)(x) = f(x) + g(x) (1.6)
Esta adi¸cão é conhecida como adi¸cão ponto a ponto e existe uma inter-
preta¸cão geométrica para a mesma. Por exemplo, consideremos as fun¸cões
dadas por f(x) = x2 e g(x) = x + 1; pela defini¸cão de adi¸cão em F, temos:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = ( x2
) + (x + 1) = x2
+ x + 1
Geometricamente, tudo se passa assim:
∗
Para o que se segue será importante que o leitor tenha em mente a distin¸cão entre
os s´ımbolos f e f(x); o primeiro se refere à própria fun¸cão, o segundo se refere ao valor
numérico que a fun¸cão assume no ponto x (imagem de x pela fun¸cão f).
33

0
R
R
r
r
x
f(x)
g(x)
f
g
0 R
R
r
x
f(x)+g(x)
f+g
Pois bem, dados um escalar λ ∈ R e uma fun¸cão f ∈ F, vamos definir
a multiplica¸cão por escalar, λ f, como sendo a fun¸cão dada pela seguinte
regra:
(λ f)(x) = λ f(x) (1.7)
Como na adi¸cão, existe uma interpreta¸cão geométrica para o produto de um
escalar por uma fun¸cão. Tomemos, por exemplo, f e g como anteriormente,
e o escalar λ = 1
2, a seguir vemos as multiplica¸cões por escalar 1
2 f e 1
2 g :
0
R
R
r
r
x
f
1
2
f
0 R
R
r
r
x
g
1
2
g
Para conferir o status de vetor a uma fun¸cão só nos resta agora mostrar
que todas as exigências para espa¸co vetorial são satisfeitas pelas opera¸cões
definidas acima.
Antes, recordamos o que significa dizer que duas fun¸cões (ou aplica¸cões)
são iguais:
Defini¸cão 2 (Igualdade entre aplica¸cões). Dizemos que as aplica¸cões
f : A −→ B
x −→ f(x)
e
g: C −→ D
x −→ g(x)
são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) = g(x) para todo x ∈ A.
34

Para duas fun¸cões no conjunto F escrevemos,
f : R −→ R
x −→ f(x)
e
g: R −→ R
x −→ g(x)
De sorte que, por exemplo,
f + g = g + f ⇔ (f + g)(x) = (g + f)(x), ∀ x ∈ R.
Então,
A1) (f + g)(x) = f(x) + g(x) (defini¸cão de adi¸cão)
= g(x) + f(x) (comutatividade nos reais)
= (g + f)(x) (defini¸cão de adi¸cão)
⇓
f + g = g + f
A2) (f + g) + h (x) = ( f + g )(x) + h(x) (defini¸cão de adi¸cão)
= f(x) + g(x) + h(x) (defini¸cão de adi¸cão)
= f(x) + g(x) + h(x) (associatividade nos reais)
= f(x) + ( g + h )(x) (defini¸cão de adi¸cão)
= f + ( g + h ) (x) (defini¸cão de adi¸cão)
⇓
(f + g) + h = f + (g + h)
O nosso candidato natural a vetor nulo, 0, é a fun¸cão nula, assim
definida:
0: R −→ R
x −→ 0
É a fun¸cão que associa a todo número real, no dom´ınio, o número 0, no
contradom´ınio, isto é,
0(x) = 0, ∀ x ∈ R
e cujo gráfico coincide com o eixo ox, veja:
0
R
R
35

Posto isto, temos,
A3) (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) (defini¸cão de adi¸cão)
= f(x) + 0 (defini¸cão de fun¸cão nula)
= f(x) (elemento neutro nos reais)
⇓
f + 0 = f
− Dada qualquer fun¸cão f ∈ F, vamos definir como −f a fun¸cão cujos
valores são os opostos (negativos) dos valores de f, isto é,
(−f)(x) = −f(x)
Vamos agora mostrar que f + (−f) = 0. De fato, temos que,
A4) f + (−f) (x) = f(x) + (−f)(x) (defini¸cão de adi¸cão)
= f(x) + − f(x) (defini¸cão de fun¸cão oposta)
= 0 (oposto nos reais)
⇓
f + (−f) = 0
Existe uma interpreta¸cão geometrica para a oposta, −f, de uma fun¸cão
f; o seu gráfico é simétrico − em rela¸cão ao eixo x − ao gráfico de f; por
exemplo, para as fun¸cões f e g que vêm nos acompanhando, temos:
R
R
f
−f
x
r
r
f(x)
−f(x)
f+(−f)= 0 g+(−g)= 0
R
R
r
r
x
g
−g
g(x)
−g(x)
M1) λ ( µ f ) (x) = λ ( µf)(x) (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar)
= λ µ f(x) (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar)
= (λ µ)f(x) (associatividade nos reais)
= (λ µ)f (x) (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar)
⇓
λ (µ f) = (λ µ)f
36

M2) (λ + µ) f (x) = (λ + µ)f(x) (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar)
= λ f(x) + µ f(x) (distributividade nos reais)
= (λ f)(x) + (µ f)(x) (multiplica¸cão por escalar)
= (λ f + µ f)(x) (defini¸cão de adi¸cão)
⇓
(λ + µ) f = λ f + µ f
M3) λ (f + g) (x) = λ (f + g)(x) (multiplica¸cão por escalar)
= λ f(x) + g(x) (defini¸cão de adi¸cão)
= λ f(x) + λ g(x) (distributividade nos reais)
= (λ f + λ g)(x) (defini¸cão de adi¸cão)
⇓
λ (f + g) = λ f + λ g
M4) (1 f)(x) = 1 f(x) (multiplica¸cão por escalar)
= f(x) (elemento neutro nos reais)
⇓
1 f = f
• Observe que somente agora − e dentro do presente contexto − uma
fun¸cão adquire o status de vetor. Este vetor não tem módulo, não tem
dire¸cão, não tem sentido.
Nota: Podemos considerar ao invés do conjunto,
F = { f : R → R }
o conjunto,
F = { f : X → R } (1.8)
onde X é um conjunto não-vazio qualquer, e ainda aqui, como anterior-
mente, obtemos um espa¸co vetorial: F(X, R).
Matemática: Esta “ciência vazia” que − espantosamente − se
aplica a todas as contingências fenomenológicas, apesar de ser um puro
formalismo reflexivo.
37

Um exemplo patológico
Importante: Na defini¸cão de espa¸co vetorial fizemos referência a uma opera¸cão,
+ : V × V −→ V
a qual foi chamada de adi¸c~ao e cujo s´ımbolo adotado foi o usual: +. A
escolha para este nome (adi¸cão) e para este s´ımbolo ( + ) é meramente uma
questão de conveniência; a princ´ıpio esta opera¸cão pode não ter nada a ver
com a “adi¸cão usual” , o que realmente importa é que a mesma satisfa¸ca a
todas as exigências para a estrutura espa¸co vetorial. Para contextualizar a
que estamos nos referindo meditemos sobre os dois exemplos a seguir.
Exemplo 9: Consideremos o seguinte subconjunto V = { x ∈ R: x > 0 }
dos reais, cuja versão geometrica é vista a seguir:
0 1 2 3
R+
∗
O nosso objetivo agora será conferir aos elementos deste conjunto o status
de vetores.
O nosso intuito estará fadado ao fracasso se definirmos a adi¸cão como
sendo a usual, não obstante este conjunto ser fechado para esta opera¸cão.
Este insucesso se deverá a que não conseguiremos um elemento neutro para
a referida opera¸cão (já que o 0 foi excluido do conjunto V ); e nem um oposto
para cada u ∈ V .
Observamos que este conjunto é fechado para a multiplica¸cão. Vamos
definir as duas seguintes opera¸cões:



u + v = u v, ∀ u, v ∈ V
λ · u = uλ, ∀ u ∈ V e ∀ λ ∈ R.
Ou seja, a nossa opera¸cão candidata a adi¸cão vetorial nada mais é que a
multiplica¸cão numérica usual e a nossa opera¸cão candidata a multiplica¸cão
por escalar nada mais é que a exponencia¸cão numérica.
Nesta nossa adi¸cão esdrúxula observe que:
1 + 1 = 1 · 1 ⇒ 1 + 1 = 1
2 +
1
2
= 2 ·
1
2
⇒ 2 +
1
2
= 1
Nesta nossa multiplica¸cão esdrúxula observe que:
2 · 1 = 12 ⇒ 2 · 1 = 1
1
2 · 2 = 2
1
2 ⇒ 1
2 · 2 =
√
2
2 · 1
2 = 1
2
2
⇒ 2 · 1
2 = 1
4
38

Será que funciona? Vejamos:
A1) u + v = u v (defini¸cão de adi¸cão)
= v u (comutatividade da multiplica¸cão em R)
= v + u (defini¸cão de adi¸cão)
A2) (u + v) + w = (u v) + w (defini¸cão de adi¸cão)
= (u v) w (defini¸cão de adi¸cão)
= u (v w) (associatividade em R)
= u (v + w) (defini¸cão de adi¸cão)
= u + (v + w) (defini¸cão de adi¸cão)
A3) Devemos agora exibir um elemento neutro para a nossa adi¸cão; ou
ainda, devemos exibir 0 ∈ V satisfazendo 0 + u = u, ∀ u ∈ V . Sendo assim
devemos ter
0 + u = 0 u = u = 1 u ⇒ 0 u = 1 u
Esta igualdade nos sugere tomar como candidato a vetor nulo 0 = 1, e de
fato funciona, como é fácil constatar.
A4) Para todo elemento u de V devemos exibir um outro elemento de V ,
denotado por −u, detentor da seguinte propriedade:
u + (−u) = 0
Sendo assim, temos:
u + (−u) = u (−u) = 0 = 1 ⇒ u (−u) = 1
Esta última equa¸cão nos sugere tomar −u = u−1 = 1
u, e de fato funciona,
como é fácil constatar. Observe que,
−1 = 1−1
⇒ −1 = 1 (1.9)
Interregno cultural:
Uma observa¸cão trivial, no entanto pertinente, é que o sinal “−”, acima,
não significa “negativo”, significa apenas oposto (aditivo).
Por oportuno, em matemática um vetor não possui “negativo”. Com
efeito, o conceito de negativo em um conjunto é definido em fun¸cão de uma
rela¸cão de ordem∗, num espa¸co vetorial não contamos com uma tal rela¸cão.
∗
Positivo é maior que zero e negativo é menor que zero.
39

Observemos, novamente, a exigência A4) na defini¸cão de espa¸co vetorial:
“A4) Para todo elemento u de V existe um outro elemento de V , denotado
por −u, detentor da seguinte propriedade:
u + (−u) = 0 ” (Elemento oposto)
Duas observa¸cões: ( i ) −u é apenas, e tão somente, uma nota¸cão ( ii ) o
que é essencial é que aqui temos a defini¸cão (caracteriza¸cão) do que seja o
elemento −u, o oposto de u; é aquele que quando adicionado com u repro-
duz o elemento neutro da “adi¸cão”. É isto o que importa, o que existe de
essencial, não a nota¸cão (s´ımbolo) adotada para o elemento oposto.
Não haveria nenhuma mudan¸ca estrutural se tivessemos enunciado a
exigência A4) do seguinte modo:
“A4) Para todo elemento u de V existe um outro elemento de V , denotado
por ¯u, detentor da seguinte propriedade:
u + ¯u = 0 ” (Elemento oposto)
Neste caso a igualdade (1.9) (p. 39) se tornaria,
¯1 =
1
1
⇒ ¯1 = 1
Um raciocinio análogo se aplica ao caso do vetor nulo 0.
Em um contexto correlato a este observamos que nos números inteiros
o sinal “−” tem dois significados distintos. Quando aparece em, por exem-
plo, −3, este sinal significa tomar o oposto; ou ainda, podemos dizer que
se trata de uma opera¸cão unária; ao passo que este mesmo sinal em, por
exemplo, 2 − 3, tem um significado distinto do primeiro, aqui temos uma
opera¸cão binária (diferen¸ca entre dois inteiros).
Continuando:
M1) λ (µ u) = λ ( uµ ) (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar)
= ( uµ )λ (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar)
= u(µ λ) (potência nos reais)
= (µ λ)u (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar)
M2) (λ + µ) u = uλ+µ (defini¸cão de multiplica¸cão por escalar)
= uλ · uµ (potência nos reais)
= λ u · µ u (multiplica¸cão por escalar)
= λ u + µ u (defini¸cão de adi¸cão)
40

M3) λ (u + v) = λ (u v) (defini¸cão de adi¸cão)
= (u v)λ (multiplica¸cão por escalar)
= uλ · vλ (potência nos reais)
= λ u · µ u (multiplica¸cão por escalar)
= λ u + µ u (defini¸cão de adi¸cão)
M4) 1 u = u1 (multiplica¸cão por escalar)
= u (potência nos reais)
Interregno cultural: Fa¸camos uma pequena exegese sobre a (leg´ıtima)
igualdade:
1
2
· 2 = 2
1
2
=
√
2
Esta igualdade bizarra nos dá razão quando afirmamos que a identidade de
um elemento é conferida pela estrutura em que ele está inserido. Com efeito,
na multiplica¸cão acima o primeiro fator, 1
2, é um número real (no caso um
escalar), ao passo que o segundo, 2, não é mais um número real, mas sim
um vetor.
Deixamos ao leitor a incumbência de justificar as seguintes igualdades:
−1 + (−2) =
1
2
= −1 · (−2)
Observe que o −1 à esquerda é um vetor enquanto o mesmo −1 à direita
não é mais um vetor, mas sim um escalar. O que confere a identidade de
um elemento é a regra (opera¸cão) com a qual ele está sendo manipulado.
O próximo exemplo de espa¸co vetorial é a generaliza¸cão do exemplo
anterior para duas “dimensões”.
Exemplo 10: Consideremos o conjunto V = { (x, y) ∈ R2 : x, y > 0 }, cuja
versão geométrica é vista a seguir:
1
2
3
0 1 2 3
R+
∗
R+
∗
r0=(1, 1)
41

com as opera¸cãoes de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar definidas assim:
(a, b) + (c, d) = ( a c, b d )
λ (a, b) = ( aλ , bλ )
Deixamos ao leitor a incumbência de provar que V é um espa¸co vetorial.
1.2.1 Produto de Vetores
Uma pergunta pertinente seria: Existem produtos de vetores?
Um produto em um espa¸co vetorial V seria, segundo a defini¸cão 55 (p. 419),
qualquer aplica¸cão
· : V × V → V
(u, v) → u·v
Sendo assim estamos livres para definir produto de vetores em muitos (qui¸cá
em todos) espa¸cos vetoriais, por exemplo
( I ) Em Rn, um produto poderia ser:
(x1 , x2 , . . . , xn ) · (y1 , y2 , . . . , yn ) → (x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn )
( II ) Em Zn
2
, um produto poderia ser:
x1 x2 . . . xn · y1 y2 . . . yn → (x1 y1 )(x2 y2 ) . . . (xn yn )
( III) No espa¸co F das fun¸cões reais podemos definir o produto f · g de
dois vetores f e g assim:
(f · g)(x) → f(x) · g(x)
Deste modo podemos considerar que existem sim produto de vetores. A
questão, não apenas no presente contexto − como também em muitos outros
na matemática − não é se existe ou não um produto (ou outra opera¸cão
qualquer) mas sim se o produto definido vai resultar “interessante” do ponto
de vista algébrico (estrutural) ou de aplica¸cões.
Por exemplo, no espa¸co vetorial R2, o produto definido acima, isto é:
(a, b) · (c, d) → (ac, bd)
resultaria desinteressante sob os dois aspectos referidos; não obstante, pode-
mos definir sobre este espa¸co um outro produto, qual seja∗:
(a, b) · (c, d) → (ac − bd, ad + bc)
∗
Esta multiplica¸cão, juntamente com a adi¸cão usual, resulta na estrutura conhecida
como números complexos (p. 20). Observe que não estamos “misturando” as estruturas,
estamos afirmando que esse produto poderia ser acrescido à estrutura de espa¸co vetorial.
42

Este, ao contrário do produto anterior, já resulta bem interessante sob qual-
quer dos critérios mencionados. Por exemplo, o espa¸co vetorial R2 “enrique-
cido” com esse produto nos permitiria gerar as belas figuras conhecidas como
fractais, como as vistas a seguir:
1.2.2 Primeiras Propriedades num Espa¸co Vetorial
Os iniciantes não estão preparados
para o verdadeiro rigor matemático; só
veriam nisso vãs e fastidiosas sutilezas,
perder´ıamos nosso tempo se quiséssemos,
cedo demais, torná-los mais exigentes.
(Poincaré)
Observe que algumas proposi¸cões matemáticas, até mesmo nos inteiros
(para não falar nos reais), tais como
0 x = 0 ou 2 · (−1) = −2 ou − 3 + 2 = −1
tidas por muitos como “óbvias”, não têm nada de triviais, a bem da ver-
dade a maioria das pessoas com esse sentimento foram apenas condicionadas
(adestradas) a pensar assim. Por exemplo, você saberia demonstrar as igual-
dades acima a partir das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão nos inteiros?
Lembre-se: “O acaso pode fazer com que uma opinião seja verdadeira,
mas nem por isso ela deixa de ser uma opinião, isto é, uma cren¸ca e não
um saber.” (Simone Manon)
43

Pois bem, em matemática prova-se algumas proposi¸cões “intuitivamente
óbvias” tais como: 0 x = 0 ou, o que é “pior” , 1 > 0.
Perguntamos: afinal de contas o que deve ser provado e o que não deve
ser provado, em uma dada teoria?
Esta pergunta fica fácil de responder no caso das teorias desenvolvi-
das axiomaticamente, como é o caso dos espa¸cos vetoriais. Respondemos:
assumimos, axiomaticamente, que todo espa¸co vetorial; digo, todos os ve-
tores, satisfazem as oito propriedades A1), . . . , A4); M1), . . . , M4) listadas
na defini¸cão de espa¸co vetorial (p. 14); qualquer afirmativa sobre vetores,
por mais “óbvia” que seja e que não consta naquela lista, deve ser provada,
como por exemplo, as listadas a seguir.
Seja V um espa¸co vetorial com escalares em R. As propriedades provadas
a seguir são consequências da defini¸cão de espa¸co vetorial. (p. 12)
P1 ) Para todo λ ∈ R, temos
λ 0 = 0
Prova:
λ 0 = λ 0 + 0 [ Exigência A3) ]
= λ 0 + [ λ 0 + − (λ 0) ] [ Exigência A4) ]
= (λ 0 + λ 0) + − (λ 0) [ Exigência A2) ]
= λ ( 0 + 0) + − (λ 0) [ Exigência M3) ]
= λ 0 + − (λ 0) [ Exigência A3) ]
= 0 [ Exigência A4) ]
P2 ) Para todo u ∈ V , temos
0 u = 0
Note a diferen¸ca entre esta propriedade e a anterior. Em P1 provamos que
qualquer escalar (número) multiplicado pelo vetor nulo resulta no vetor nulo;
em P2 devemos provar que o número 0 multiplicado por qualquer vetor deve
resultar no vetor nulo.
Prova:
0 u = (0 + 0) u [ Neutro em R ]
0 u = 0 u + 0 u [ Exigência M2) ]
−(0 u) + 0 u = −(0 u) + (0 u + 0 u) [ Somando o oposto de 0 u ]
0 = − (0 u) + 0 u + 0 u [ Exigências A3) e A2) ]
0 = 0 + 0 u [ Exigência A4) ]
0 = 0 u [ Exigência A3) ]
44

P3 ) Para λ ∈ R e u ∈ V , temos
Se λ u = 0, então λ = 0 ou u = 0. (1.10)
Na prova desta simples proposi¸cão temos a oportunidade de ilustrar
várias das técnicas de demonstra¸cões matemáticas vistas no cap´ıtulo para
consultas (último). Vamos prová-la utilizando três técnicas distintas:
1a ) Prova: Utilizaremos a técnica de demonstra¸cão (T − 3) (p. 436):
H =⇒ T ⇐⇒ H ∧ ¯T =⇒ f
Destacando a hipótese e a tese em nossa proposi¸cão, temos:
H : λ u = 0, T : λ = 0 ou u = 0.
Sendo assim, temos:
H ∧ ¯T : λ u = 0 ∧ ( λ = 0 e u = 0 ) (1.11)
Se λ = 0 então existe o número real não-nulo λ−1. Sendo assim vamos
multiplicar λ u = 0 por λ−1, obtendo:
λ−1
( λ u ) = λ−1
0
Aplicando a exigência M1) (p. 13) e a propriedade P1 chegamos a,
( λ−1
λ ) u = 0
Ou ainda,
1 u = 0
Aplicando agora a exigência M4), temos: u = 0. Invocando a hipótese
(1.11), exibimos o seguinte absurdo:
u = 0 e u = 0.
2a ) Prova: Utilizaremos a técnica de demonstra¸cão (T − 4): (p. 436)
H1 ∧ H2 =⇒ T ⇐⇒ H1 ∧ ¯T =⇒ ¯H2
Para utilizar esta técnica vamos provar a contrapositiva∗ da proposi¸cão
(1.10), isto é, vamos provar:
Se λ = 0
H1
e u = 0
H2
então λ u = 0
T
.
∗
Técnica (T − 1) (p. 435).
45

Sendo assim, temos, H1 ∧ ¯T : λ = 0 e λ u = 0.
Se λ = 0 então existe o número real não-nulo λ−1. Sendo assim vamos
multiplicar λ u = 0 por λ−1, obtendo:
λ−1
( λ u ) = λ−1
0
Aplicando a exigência M1) (p. 13) e a propriedade P1 chegamos a,
( λ−1
λ ) u = 0
Ou ainda,
1 u = 0
Aplicando agora a exigência M4), temos: u = 0.
3a ) Prova: Utilizaremos a técnica de demonstra¸cão (T − 7): (p. 439)
H =⇒ T1 ∨ T2 ⇐⇒ H ∧ ¯T1 =⇒ T2
Inicialmente vamos reescrever a proposi¸cão da seguinte forma:
H : λ u = 0 ⇒



T1 : λ = 0
ou
T2 : u = 0
Temos,
H ∧ ¯T1 : λ u = 0 e λ = 0.
Sendo assim existe o número real λ−1, multiplicando λ u = 0 por λ−1,
obtemos
λ−1
( λ u ) = λ−1
0 ⇒ ( λ−1
· λ )u = 0 ⇒ 1 u = 0 ⇒ u = 0
Interregno cultural: Na próxima proposi¸cão deveremos provar as
seguintes igualdades,
(−λ) u = −(λ u) = λ (−u) (1.12)
Em um espa¸co vetorial arbitrário isto não chega a ser tão óbvio quanto à
primeira vista poderia parecer a um leitor desatento. Com efeito, à esquerda
o sinal “−” se refere ao oposto de um escalar no corpo R; no centro o sinal
“−” se refere ao oposto do produto do escalar λ pelo vetor u em V e, na
direita, o sinal “−” se refere ao oposto de um vetor no espa¸co arbitrário
V . Tendo em conta que a defini¸cão de oposto está amarrado (conexo) à
opera¸cão de “adi¸cão” em V (como também em R), conforme defini¸cão de
oposto em A4) (p. 13), é fácil concluir que o primeiro “−” não tem nada a
ver com os outros dois e, portanto, as igualdades (1.12) nada têm de triviais.
46

Por exemplo, tomemos, no espa¸co vetorial do exemplo 9 (p. 38), λ = 2 e
u = 3, neste caso as igualdades (1.12), se traduzem assim:
(−2) 3 = −(2 · 3) = 2 (−3)
ou ainda,
(−2) 3 = −( 32
) = 2 ·
1
3
O que não chega a ser tão “evidente” quanto a rela¸cão homóloga nos reais.
P4 ) Para λ ∈ R e todo u ∈ V , temos
(−λ) u = −(λ u) = λ (−u)
Prova:
(−λ) u + λ u = (−λ) + λ u [ Exigência M2) ]
= 0 u [ Defini¸cão de oposto em R ]
= 0 [ Propriedade P2 ]
⇓
−(λ u) + [ (−λ) u + λ u ] = −(λ u) + 0 [ Somando −(λ u) ]
−(λ u) + [ λ u + (−λ) u ] = −(λ u) [ Exigências A1) e A3) ]
[ −(λ u) + λ u ] + (−λ) u = −(λ u) [ Exigência A2) ]
(−λ) u = −(λ u) [ Exigências A4) e A3) ]
Por outro lado,
λ (−u) + λ u = λ (−u + u) [ Exigência M3) ]
= λ 0 [ Exigência A4) ]
= 0 [ Propriedade P1 ]
⇓
−(λ u) + [ λ (−u) + λ u ] = −(λ u) + 0 [ Somando −(λ u) ]
−(λ u) + [ λ u + λ (−u) ] = −(λ u) [ Exigências A1) e A3) ]
[ −(λ u) + λ u ] + λ (−u) = −(λ u) [ Exigência A2) ]
λ (−u) = −(λ u) [ Exigências A4) e A3) ]
Corolário 1. Em todo espa¸co vetorial V , temos: (−1) u = −u.
Prova: Substituindo λ = 1, na propriedade anterior temos:
(−λ) u = −(λ u)
(−1) u = −(1 u)
= −u
47

Nota: Na estrutura dos números Hipercomplexos (p. 20) temos −1·u = −u.
Por exemplo, tome u = (0, 1) e −1 = (−1, 0).
Diferen¸ca entre vetores: Em um espa¸co vetorial V define-se diferen¸ca
entre dois vetores u e v assim:
u − v = u + (−v)
P5 ) Quaisquer que sejam λ, µ ∈ R e u ∈ V , temos
(λ − µ) u = λ u − µ u
Prova:
(λ − µ) u = λ + (−µ) u [ Diferen¸ca em R ]
= λ u + (−µ) u [ Exigência M2) ]
= λ u + − (µ u) [ Propriedade P4 ]
= λ u − µ u [ Diferen¸ca em V ]
P6 ) Quaisquer que sejam λ ∈ R, u e v em V , temos
λ (u − v) = λ u − λ v
Prova: Análoga à anterior (exerc´ıcio).
P7 ) O vetor nulo de um espa¸co vetorial é único.
Ou seja, existe um único vetor 0 que satisfaz a exigência A3). (p. 12)
Prova: Com efeito, suponhamos que ¯0 seja um outro vetor satisfazendo
aquela exigência. Então,
0 + ¯0 = 0 [ ¯0 é vetor nulo ]
¯0 + 0 = ¯0 [ 0 é vetor nulo ]
⇓
0 = ¯0 [ Comutatividade da adi¸cão ]
48

P8 ) Para cada vetor u de um espa¸co vetorial V existe um único vetor −u,
oposto de u.
Prova: Suponhamos que ¯u seja um outro vetor oposto de u; então, pela
defini¸cão de oposto podemos escrever u + ¯u = 0.
−u = −u + 0 [ Exigência A3) ]
= −u + (u + ¯u) [ ¯u é oposto de u ]
= (−u + u) + ¯u [ Exigência A2) ]
= 0 + ¯u [ −u é oposto de u ]
= ¯u [ Exigência A3) ]
P9 ) Se u, v e w ∈ V e u + v = u + w, então v = w (Num espa¸co vetorial
vale a lei do cancelamento na adi¸cão).
Prova:
(−u) + (u + v) = (−u) + (u + w) [ Somando (−u) à hipótese ]
(−u + u) + v = (−u + u) + w [ Exigência A2) ]
0 + v = 0 + w [ Exigência A4) ]
v = w [ Exigência A3) ]
P10 ) Se u, w ∈ V , então existe um único vetor v tal que u + v = w.
Prova: Inicialmente observemos que w+(−u) satisfaz a equa¸cão dada. Com
efeito,
u + w + (−u) = u + (−u) + w
= u + (−u) + w
= 0 + w = w
Suponhamos agora que existam dois vetores, ¯v e v′, satisfazendo a equa¸cão
dada. Logo,
u + ¯v = w
u + v′ = w
⇒ u + ¯v = u + v′
pela lei do cancelamento da adi¸cão resulta ¯v = u′.
49

1.2.3 Exerc´ıcios
1) Seja V = (x, y): x, y ∈ R o conjunto de pares ordenados de números
reais, tome dois elementos neste conjunto, u = (a, b) e v = (c, d), e considere
as seguintes opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar:
u + v = ( a + b, c + d ), λ u = ( λ a, |λ| b )
( a ) Para u = (2, −1), v = (4, 3) e λ = −1, calcule u + v, λ u e λ v.
( b ) Perguntamos se V é um espa¸co vetorial.
2) Seja V = (x, y, z): x, y, z ∈ R o conjunto de ternos ordenados de
números reais, tome dois elementos neste conjunto, u = (a, b, c) e v =
(d, e, f), e considere as seguintes opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por
escalar:
u + v = ( a + d + 1, b + e + 1, c + f + 1 ), λ u = ( λ a, λ b, λ c )
( a ) Para u = (1, 1, 1), v = (−1, 0, 1) e λ = 2, calcule u + v, λ u e λ v.
( b ) Quem seria, 0, o candidato a vetor nulo?
( c ) Quem seria, −u, o oposto de u?
( d ) Perguntamos se V é um espa¸co vetorial.
3) No exemplo 9, p. 38, se incluirmos o 0 no conjunto V ainda assim teremos
um espa¸co vetorial?
4) Ainda com respeito ao espa¸co vetorial do exemplo 9, considerando que
todos os vetores são positivos, isto é, V = { x ∈ R: x > 0 }, perguntamos se
faz sentido a seguinte adi¸cão: −1 + (−2), caso sim, qual o seu valor?
5) Considere o exemplo 10, p. 41; dados os vetores u = (2, 1), v = (1, 2) e
w = −(2, 1); encontre o seguinte vetor: 2 u + (−1 v) + w.
6) Considere no espa¸co vetorial R3 os vetores u = (1, 1, 1), v = (−1, −1, 1)
e w = (1, −1, −1).
( a ) Localize-os geometricamente.
( b ) Calcule o vetor 3 u − 2 v + 1
2 w.
( c ) Resolva a equa¸cão 2 u + 1
3 x = w − v.
7) No espa¸co vetorial M2×3 (R), considere os vetores:
u =
1 0 0
1 0 0
, v =
0 2 1
1 1 1
, w =
2 −6 −3
−1 −3 −3
( a ) Calcule o vetor 2u − 3v − w.
( b ) Existem λ, µ ∈ R tais que w = λ u + µ v ?
50

8) Considere o espa¸co vetorial F, onde,
F = f : [ −1, 1 ] → R
com as opera¸cões usuais (ponto a ponto) − ver p. 33. Neste espa¸co considere
os vetores f, g e h dados assim:
f(x) = |x|, g(x) = x e h(x) = x2
( a ) Fa¸ca um esbo¸co geometrico destes vetores (plote seus gráficos).
( b ) Esboce o gráfico dos vetores −f, −g e −h.
( c ) Esboce o gráfico dos vetores f + g e f + h.
( d ) Encontre o vetor 2f + 3g − h.
9) No espa¸co vetorial P3 (R) considere os vetores f, g e h dados assim:
f(x) = x − 1, g(x) = 3x2
− 2x + 1 e h(x) = x3
− 1
( a ) Calcule o vetor 2f − 3g + 2h.
( b ) Calcule o vetor f · g + 2h.
( c ) Existem λ, µ ∈ R tais que h = λ f + µ g ?
( d ) Existem λ, µ ∈ R tais que h = λ ( f · g ) + µ f ?
10) Mostre que, num espa¸co arbitrário, −(−u) = u.
11) Sejam s1 , s2 , . . . , sn s´ımbolos e seja K um corpo qualquer. Seja V o
conjunto das expressões do tipo abaixo
λ1 s1 + λ2 s2 + · · · + λn sn
onde λi ∈ K. Definimos a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar em V por
(λ1 s1 + · · · + λn sn ) + (γ1 s1 + · · · + γn sn ) = (λ1 + γ1 ) s1 + · · · + (λn + γn ) sn
µ (λ1 s1 + λ2 s2 + · · · + λn sn ) = µ λ1 s1 + µ λ2 s2 + · · · + µ λn sn
Mostre que V é um espa¸co vetorial sobre K com as opera¸cões acima.
12) Mostre que no espa¸co de códigos Z2
2
as opera¸cões de adi¸cão e subtra¸cão
coincidem, isto é
u − v = u + (−v) = u + v, ∀ u, v ∈ Z2
2
13) Prove que a equa¸cão (1.4) (p. 31) efetivamente gera os vetores do espa¸co
de códigos Zn
2
.
14) Fixado arbitrariamente um número primo p considere o seguinte sub-
conjunto Zp dos inteiros dado por
Zp = { 0, 1, 2, . . . , p − 1 }
51

Tomemos dois elementos arbitrários x e y em Zp e vamos definir sobre
este conjunto duas opera¸cões; a uma delas chamaremos de adi¸cão e a outra
chamaremos de multiplica¸cão, assim definidas:
x + y = resto da divisão de x + y por p;
x · y = resto da divisão de x · y por p.
Em Álgebra Moderna (ver por exemplo [11]) prova-se que o sistema algébrico
Zp = (Zp , +, ·) é um corpo (quando p é um número primo). Então, pelo
exemplo 4 (p. 24) resulta que Zn
p
são espa¸cos vetoriais.
Construa as tábuas das opera¸cões em Z3 . Encontre o conjunto Z2
3
. No
espa¸co Z2
3
encontre as seguintes somas de vetores:
( a ) 11+ 22 ( b ) 10+ 01 ( c ) 21+ 12 ( d ) 11− 22 ( e ) 10− 01.
Neste mesmo espa¸co execute as seguintes opera¸cões:
( a ) 2 · 22 ( b ) 2 [ −(01) ] ( c ) 2 [ −(10) ] ( d ) 2 [ 11 − 22 ]
( e ) 2 [ −(11) + 22 ].
15) Mostre que a fórmula para gerar os códigos binários também pode ser
escrita assim: (eq. (1.4), p. 31)
xij =



1, se
i−1
2
j−1 é ´ımpar;
0, se
i−1
2
j−1 é par.
Estamos assumindo que
m
n
=



m!
n! (m − n)!
, se m ≥ n;
0 , se m < n.
16) A conhecida fórmula da análise combinatória n
r = n !
r! (n−r)! nos fornece
o número de combina¸cões dos n elementos de um conjunto A, tomados r a
r. Mas esta fórmula não nos fornece as tais combina¸cões.
Prove que a fórmula (1.4) serve a esse propósito. (p. 31)
Sugestão: Para n = 4, por exemplo, considere A = { a1 , a2 , a3 , a4 }, disponha
os elementos de Z4
2
segundo uma tabela (matriz) de 4 linhas por 24 colunas
− cada coluna correspondendo a um elemento do conjunto. Convencione
que onde ocorre 1 o elemento entra na combina¸cão e que onde ocorre 0, não
entra. A prova deverá ser feita para n arbitrário.
52

1.2.4 Subespa¸cos Vetoriais
Defini¸cão 3 (Subespa¸co vetorial). Sejam V um espa¸co vetorial e U ⊂ V
um subconjunto não vazio de V . O subconjunto U é um subespa¸co vetorial
de V se U é um espa¸co vetorial em rela¸cão à adi¸cão e à multiplica¸cão por
escalar definidas em V .
Para mostrar que U é um subespa¸co vetorial de V devemos, a princ´ıpio,
verificar as oito exigências de espa¸co vetorial relativas à adi¸cão e à multi-
plica¸cão por escalar (quadro amarelo, p. 14). Entretanto, como U é sub-
conjunto de V , e sendo V − por hipótese − um espa¸co vetorial, resulta que
não há necessidade da verifica¸cão de certas exigências em U. Por exemplo,
a exigência A1) diz que u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V . Ora, se a comutativi-
dade da adi¸cão vale para todos os elementos de V em particular também
vale para todos os elementos de U. O mesmo raciocinio podemos aplicar a
outras exigências para espa¸co vetorial.
A proposi¸cão seguinte facilita bastante quando devemos mostrar que
dado subconjunto é um subespa¸co vetorial.
Proposi¸cão 1 (Subespa¸co Vetorial). Seja V um espa¸co vetorial. Um sub-
conjunto U ⊂ V , não vazio, é um subespa¸co vetorial de V se, e somente se,
é fechado para as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar de V ; ou
seja, se
I ) Para quaisquer u, v ∈ U, tem-se: u + v ∈ U;
II ) Para quaisquer λ ∈ R, u ∈ U, tem-se: λ u ∈ U.
Prova: (⇒) H : U ⊂ V é subespa¸co vetorial de V ;
T : U é fechado para as opera¸cões de espa¸co vetorial.
Se U é um subespa¸co, então obviamente as condi¸cões I ) e II ) são satis-
feitas. Reciprocamente,
(⇐) H : U é fechado para as opera¸cões de espa¸co vetorial;
T : U ⊂ V é subespa¸co vetorial de V .
Suponha que as condi¸cões I ) e II ) são satisfeitas para U. Vamos
mostrar que as oito exigências de espa¸co vetorial também são satisfeitas
em U. De fato, tomemos u ∈ U. Pela condi¸cão II ), λ u ∈ U para todo
λ ∈ R; sendo assim, tomemos λ = 0, logo 0 u ∈ U, ou seja, 0 ∈ U. Tomando
agora λ = −1, segue que (−1) u = −u ∈ U.
As demais exigências A1), A2), M1), M2), M3) e M4) de espa¸co vetorial
são verificadas em U pelo fato de U ser um subconjunto não-vazio de V .
Observe, por II ) acima, que se U é um subespa¸co de V então U deve
necessáriamente conter o vetor nulo 0 de V . Com efeito, tomando λ = 0 ∈ R
e u ∈ U arbitrário, resulta 0 u = 0 ∈ U. Podemos registrar este achado na
forma de uma proposi¸cão.
53

Proposi¸cão 2. Todo subespa¸co U de um espa¸co vetorial V deve conter o
vetor 0 de V . Assim um subconjunto U que não contenha o vetor 0 não é
um subespa¸co.
Nota: Todo espa¸co vetorial V admite pelo ao menos dois subespa¸cos:
{ 0 }, chamado subespa¸co nulo, e o próprio espa¸co vetorial V . Esses dois
subespa¸cos são conhecidos como subespa¸cos triviais.
Exemplos:
1) Consideremos o espa¸co vetorial R2 e o subconjunto,
U = { (x, y) ∈ R2
: x + y = 0 }
dos pontos cuja soma das coordenadas é nula. Vamos mostrar que U é um
subespa¸co de R2.
Prova: De fato, de acordo com a Proposi¸cão 1 devemos inicialmente
mostrar que U = ∅; mas isto é fácil porquanto 0 = (0, 0) ∈ U, uma vez que:
0 = (0, 0)
↓ ↓
x + y = 0
Para provar a condi¸cão, I ), isto é, que U é fechado para a opera¸cão de
adi¸cão, tomemos dois elementos arbitrários em U: u = (a, b) e v = (c, d).
Devemos provar que
u + v = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ∈ U
para isto é suficiente mostrar que:
(a + c) + (b + d) = 0 (1.13)
A nosso favor contamos com a hipótese de que u = (a, b) e v = (c, d) estão
em U, o que se traduz nas seguintes equa¸cões:
a + b = 0
c + d = 0
somando-as obtemos,
(a + b) + (c + d) = 0 ⇒ (a + c) + (b + d) = 0
o que prova (1.13). Agora só nos resta mostrar que U é também fechado para
a multiplica¸cão por escalar. Para isto, pela condi¸cão II )(da Proposi¸cão
1), devemos fixar λ ∈ R e u = (a, b) ∈ U arbitráriamente, e mostrar que
λ u = (λ a, λ b) ∈ U, para isto é suficiente mostrar que:
(λ a) + (λ b) = 0 (1.14)
54

A nosso favor contamos com a hipótese de que u = (a, b) está em U, o que
se traduz na seguinte equa¸cão:
a + b = 0
multiplicando esta equa¸cão por λ, obtemos
λ (a + b) = 0 ⇒ (λ a) + (λ b) = 0
o que prova (1.14).
Os vetores em U são os pontos (x, y), do plano, cujas coordenadas satis-
fazem a equa¸cão x + y = 0, ou ainda, y = −x. São os pontos da bissetriz
dos quadrantes ´ımpares. Podemos visualizar geometricamente o subespa¸co
U deste exemplo, assim:
1
2
3
−1−2 0 1 2 3
x
y
U
x+y = 0
Nota: Para que U ⊂ V seja um subespa¸co é uma condi¸cão necessária,
mas não suficiente, que 0 ∈ U. Em outras palavras: o vetor nulo obrigato-
riamente está em todo subespa¸co. Ou ainda, se 0 ∈ U já podemos descarta
U como subespa¸co. Entretanto, se o vetor nulo está em U, isto por si só
não é suficiente para garantir que U seja um espa¸co vetorial. No exemplo
seguinte mostramos um contraexemplo,
2) Consideremos o espa¸co vetorial R2 e o subconjunto,
U = { (x, y) ∈ R2
: y = |x| }
dos pontos cuja ordenada é o valor absoluto da abscissa.
Inicialmente observamos que 0 = (0, 0) ∈ U uma vez que:
0 = (0, 0) y = |0|
55

− Para mostrar que um dado U ⊂ V é um subespa¸co de V devemos mostrar
que o mesmo satisfaz as condi¸cões I ) e II ) da Proposi¸cão 1; agora para
mostrar que que U não é um subespa¸co a´ı fica mais fácil, basta exibir um
contra-exemplo. Digo, basta exibir dois pontos u e v em U, cuja soma u + v
não pertence a U; ou ainda, basta exibir um ponto u em U e um escalar
λ ∈ R de modo que o produto λ u ∈ U.
No caso em questão tomemos u = (−1, 1) e v = (2, 2) pontos de U,
temos que,
u + v = (−1, 1) + (2, 2) = (−1 + 2, 1 + 2)
= (1, 3) ∈ U (devido a que 3 = |1| )
Alternativamente, poderiamos ter provado que U não é um subespa¸co
vetorial de R2 tomando, por exemplo, u = (−1, 1) ∈ U e λ = −1 ∈ R. De
fato,
λ u = −1 (−1, 1) = (−1 · (−1), −1 · 1)
= (1, −1) ∈ U (devido a que −1 = |1| )
Geometricamente tudo se passa assim:
1
2
3
−1
−1−2 0 1 2 3
x
y
t
t
t
t
u
v
λ u ∈ U
u + v ∈ U
U U
3) R2 não é um subespa¸co de R3 , pois R2 não é um subconjunto de R3.
4) Seja V um espa¸co vetorial. Seja u um vetor arbitrariamente fixado
em V . Vamos mostrar que o conjunto,
U = { λ u: λ ∈ R }
dos múltiplos escalares de u, é um subespa¸co vetorial de V .
Prova: Antes de mais nada observe que no conjunto U acima temos in-
finitos elementos; digo, a cada número real corresponde um elemento neste
conjunto, assim:
56

0 1 2 3−3 −2 −1
R
· · ·· · ·
s
λ
λ u ∈ U
↔
I ) Inicialmente vamos mostrar que U é fechado para a adi¸cão. Para
tanto tomemos dois elementos arbitrários v e w em U e mostremos que
v + w ∈ U.
Se v e w estão em U então, pela defini¸cão de U, existem dois escalares
µ e ν em R tais que:
v = µ u e w = ν u
logo,
v + w = µ u + ν u
Como, por hipótese, u está em V que é um espa¸co vetorial, segue que pode-
mos aplicar o axioma M2) (p. 13) para concluir que v + w = (µ + ν) u. Como
µ + ν ∈ R segue que v + w ∈ U.
II ) Agora mostremos que U é fechado para a multiplica¸cão por escalar.
Para tanto fixemos, arbitrariamente, um ponto v em U e um escalar λ em R
e mostremos que λ v ∈ U. Com efeito, como v está em U, existe um escalar
µ em R tal que: v = µ u; logo,
λ v = λ (µ u)
Como, por hipótese, u está em V que é um espa¸co vetorial, segue que pode-
mos aplicar o axioma M1) para concluir que λ v = (λ µ) u. Como λ µ ∈ R
segue que λ v ∈ U.
O subespa¸co,
U = { λ u: λ ∈ R }
pode ser apelidado de “a reta que passa pela origem e contém u”. Este
poss´ıvel apelido se deve a que nos espa¸cos vetoriais V = R2 e V = R3 é
precisamente isto que acontece. Para contextualizar vejamos dois exemplos:
1o ) Fixemos V = R2 e u = (2, 1). Sendo assim, temos:
U = { λ (2, 1): λ ∈ R } = { (2λ, λ): λ ∈ R }
Por exemplo,
λ = −1 ⇒ λ u = (2 · (−1), −1) = (−2, −1)
λ = −1
2 ⇒ λ u = (2 · −1
2 , −1
2) = (−1, −1
2)
λ = 0 ⇒ λ u = (2 · 0, 0) = (0, 0)
λ = 1
2 ⇒ λ u = (2 · 1
2, 1
2) = (1, 1
2)
λ = 1 ⇒ λ u = (2 · 1, 1) = (2, 1)
57

Geometricamente, temos,
t
t
t
t
t
U
u
−1 u
− 1
2
u
1
2
3
−1−2−3 0 1 2 3
x
y
2o ) Fixemos V = R3 e u = (1, 2, 1). Sendo assim, temos:
U = { λ (1, 2, 1): λ ∈ R } = { (λ, 2λ, λ): λ ∈ R }
Por exemplo,
λ = −1 ⇒ λ u = (−1, 2 · (−1), −1) = (−1, −2, −1)
λ = −1
2 ⇒ λ u = (−1
2, 2 · −1
2 , −1
2) = (−1
2, −1, −1
2)
λ = 0 ⇒ λ u = (0, 2 · 0, 0) = (0, 0, 0)
λ = 1
2 ⇒ λ u = (1
2, 2 · 1
2, 1
2) = (1
2 , 1, 1
2 )
λ = 1 ⇒ λ u = (1, 2 · 1, 1) = (1, 2, 1)
Geometricamente, temos,
x
y
z
u U
−1 u
5) Sejam o espa¸co vetorial V = M2×2(R) das matrizes de ordem 2 × 2,
com entradas reais; ou ainda,
V =
a b
c d
: a, b, c, d ∈ R
58

e,
U =
a b
0 0
: a, b ∈ R
isto é, U é o conjunto das matrizes quadradas, de ordem 2, cujos elementos
da segunda linha são nulos. Vamos provar que U é um subespa¸co vetorial
de V .
Prova: Com efeito, fixemos u, v ∈ U arbitrários, assim:
u =
a b
0 0
, v =
c d
0 0
.
Então,
u + v =
a b
0 0
+
c d
0 0
=
a + c b + d
0 0
∈ U.
Agora tomemos λ ∈ R arbitrário, então
λ u = λ
a b
0 0
=
λ a λ b
λ 0 λ 0
=
λ a λ b
0 0
∈ U.
Portanto, U é subespa¸co vetorial de M2×2(R).
6) Considere o espa¸co vetorial F de fun¸cões (p. 33). Considere, ademais o
conjunto
Up = f ∈ F: f(−x) = f(x), para todo x ∈ R
das fun¸cões, f : R → R pares, e o conjunto
UI = f ∈ F: f(−x) = −f(x), para todo x ∈ R
das fun¸cões, f : R → R ´ımpares.
Afirmamos que Up e UI são, ambos, subespa¸cos vetoriais de F.
Faremos a prova para Up e deixaremos a outra como exerc´ıcio. Com
efeito, fixemos g, h ∈ Up e provemos que g +h ainda é uma fun¸cão par. Isto
é, devemos mostrar que,
(g + h)(−x) = (g + h)(x), ∀ x ∈ R
A nosso favor contamos com a hipótese de que g e h são fun¸cões pares, logo
g(−x) = g(x), ∀ x ∈ R
h(−x) = h(x), ∀ x ∈ R
somando estas duas equa¸cões obtemos,
g(−x) + h(−x) = g(x) + h(x), ∀ x ∈ R
59

Agora aplicamos a defini¸cão de adi¸cão (eq. (1.6), p. 33) em ambos os membros
desta equa¸cão para obter,
(g + h)(−x) = (g + h)(x), ∀ x ∈ R.
Agora seja λ ∈ R um escalar arbitrariamente fixado. Provemos que λ g é
uma fun¸cão par, isto é, que
(λ g)(−x) = (λ g)(x), ∀ x ∈ R
Com efeito, sendo g, por hipótese, uma fun¸cão par, temos
g(−x) = g(x), ∀ x ∈ R
multiplicando esta equa¸cão por λ, obtemos:
λ g(−x) = λ g(x), ∀ x ∈ R
Agora aplicamos a defini¸cão de multiplica¸cão por escalar (eq. (1.7), p. 34) em
ambos os membros desta equa¸cão para obter,
(λ g)(−x) = (λ g)(x), ∀ x ∈ R.
7) O conjunto C(X, R) das fun¸cões reais cont´ınuas, com dom´ınio no
conjunto X, é um subespa¸co do espa¸co F(X, R) (ver eq. (1.8), p. 37). De fato,
sabe-se do Cálculo que a soma de fun¸cões cont´ınuas é ainda uma fun¸cão
cont´ınua e o mesmo acontece com a multiplica¸cão de uma fun¸cão cont´ınua
por um escalar.
8) O espa¸co Pn ( R ) é, por sua vez, um subespa¸co de C(X, R), porquanto
um polinômio,
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2
+ · · · + an xn
pode ser visto como uma fun¸cão cont´ınua e, ademais, a soma de dois polinômios
é um polinômio e o produto de um número real por um polinômio é um
polinômio.
Podemos escrever,
Pn ( R ) ⊂ C(X, R) ⊂ F(X, R)
9) Um outro exemplo de subespa¸co é o de todos os polinômios que se
anulam no 0. Com efeito, se p e q são dois de tais polinômios, então a soma
p + q e o múltiplo por escalar λ p também se anulam em 0 pois,
( p + q )(0) = p(0) + q(0) = 0 + 0 = 0;
(λ p)(0) = λ p(0) = λ 0 = 0.
10) Considere o seguinte conjunto de códigos:
Z3
2
= { 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111 }
O subconjunto U = { 000, 110, 011, 101 } é um subespa¸co de Z3
2
. Prove isto.
60

Interse¸cão de subespa¸cos
No exemplo 4) vimos que o conjunto,
U = { λ u: λ ∈ R }
é um subespa¸co. Fazendo u variar obtemos uma fam´ılia de subespa¸cos. Ape-
nas para ilustrar consideremos, novamente, V = R2. Observe, graficamente,
alguns membros da fam´ılia,
t
u=(2, 1)
u=(2, 1
2
)
u=(1, 2)u=(−1,
√
3
3
)
1
2
3
−1−2−3 1 2 3
x
y
Observe que a interse¸cão de todos estes subespa¸cos é a “origem”: { 0 },
que, por sua vez, é também um subespa¸co.
Esta observa¸cão pode ser generalizada dizendo-se que a interse¸cão de
qualquer fam´ılia (cole¸cão) de subespa¸cos continua sendo um subespa¸co.
Mais formalmente,
11) Seja V um espa¸co vetorial e L um conjunto de ´ındices. Se, para
cada µ ∈ L, Uµ é um subespa¸co vetorial de V , então a interse¸cão
µ∈L
Uµ = U
é ainda um subespa¸co vetorial de V .
Apenas por curiosidade, o conjunto de´ındices L, da fam´ılia de subespa¸cos
plotada anteriormente, pode ser considerado como os reais, digo, L = R
onde o ´ındice que fixa cada subespa¸co é a inclina¸cão (tangente) da reta, por
exemplo,
61

t
µ= 1
2
µ= 1
4
µ=2µ=−
√
3
3
1
2
3
−1−2−3 1 2 3
x
y
Neste caso, temos
µ∈R
Uµ = { 0}
1.2.5 Soma de Subespa¸cos
Sejam U e V dois subespa¸cos vetoriais de um espa¸co vetorial W.
Defini¸cão 4 (Soma de subespa¸cos). Indicaremos por U + V e chamaremos
de soma de U com V o seguinte subconjunto de W:
U + V = { u + v: u ∈ U e v ∈ V }
Observe que um vetor w pertence a U + V se, e somente se, ele puder
ser escrito na forma de uma soma w = u + v, com u ∈ U e v ∈ V .
Exemplos:
a ) U + { 0} = U. De fato, tomando V = { 0}, na defini¸cão de soma, temos
U + { 0} = { u + v: u ∈ U e v ∈ { 0} }
= { u + 0: u ∈ U }
= { u: u ∈ U } = U
b ) U ⊂ U + V . De fato, seja u ∈ U um elemento arbitrário, queremos
provar que,
u ∈ U + V = { u + v: u ∈ U e v ∈ V },
como, por hipótese, V é um subespa¸co temos que 0 ∈ V , logo, tomando
v = 0, temos que u pode ser escrito como,
u = u + 0, com u ∈ U e 0 ∈ V
62

portanto, desta forma, todo elemento de U tem livre acesso ao conjunto
U + V .
De modo análogo provamos que V ⊂ U + V .
Proposi¸cão 3. Se U e V são subespa¸cos vetoriais de W, então U + V é
também um subespa¸co vetorial de W.
Prova: Como U e V são subespa¸cos segue-se que 0 ∈ U e 0 ∈ V ; como,
0 + 0 = 0
↓ ↓
U V
isto significa que conseguimos escrever o vetor nulo como soma de dois ele-
mentos, um de U e outro de V , portanto 0 ∈ U + V .
Agora, sejam w1 e w2 dois elementos arbitrários de U + V , desejamos
mostrar que w1 +w2 ∈ U +V . Com efeito, pelo fato de w1 e w2 estarem em
U + V isto implica em que estes dois elementos podem ser escritos assim:
w1 = u1 + v1
↓ ↓
U V
e w2 = u2 + v2
↓ ↓
U V
para algum u1 ∈ U e para algum v1 ∈ V , bem como para algum u2 ∈ U e
para algum v2 ∈ V . Sendo assim, temos
w1 + w2 = (u1 + v1 ) + (u2 + v2 )
↓ ↓
U V
↓ ↓
U V
Como u1 , v1 , u2 , v2 são vetores em W, podemos aplicar as propriedades
comutativa e associativa, assim:
w1 + w2 = (u1 + u2 ) + (v1 + v2 )
↓ ↓
U U
↓ ↓
V V
Como, por hipótese, U e V são subespa¸cos segue-se que (u1 + u2 ) ∈ U e
(v1 + v2 ) ∈ V , isto é,
w1 + w2 = (u1 + u2 ) + (v1 + v2 )
↓
U
↓
V
Resumindo, mostramos que w1 + w2 pode ser escrito como soma de dois
elementos, um de U e outro de V , portanto, w1 + w2 ∈ U + V .
Finalmente, seja w ∈ U + V , um elemento arbitrário e λ ∈ R também
arbitrariamente fixado. Devemos mostrar que λ w ∈ U + V .
Como, por hipótese, w ∈ U + V então podemos escrever,
w = u + v
↓ ↓
U V
63

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