1. FORMULÁRIO DE INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Cap. 4 Distribuições Importantes
Distribuição Binomial de parâmetros n e p, X∩Bin(n, p)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
−
.c,0
,...,2,1,0se,)1(
)(
c
nkpp
k
n
kXP
knk
Teorema 4.2
Se X é uma v.a com distribuição Binomial de parâmetros n e p então E[X]=np e var(X)=npq
Teorema 4.3
Se X1,X2,...,Xk são variáveis aleatórias independentes com Xi ∩Bin(ni, p), i=1, 2,...,k,
então, ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∩ ∑∑ ==
k
i
i
k
i
i pnX
11
,Bin .
Distribuição de Poisson de parâmetros λ, X∩P(λ)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
==
−
.c.,0
,...2,1,0se,
!)(
c
x
x
e
xXP
x
λλ
e λ>0.
Teorema 4.4
Se X é uma v.a com distribuição de Poisson de parâmetros λ então E[X]= λ e var(X)= λ
Teorema 4.5
Se X1,X2,...,Xk são variáveis aleatórias independentes com Xi ∩P(λi), i=1, 2,...,k,
então, ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ∩ ∑∑ ==
k
i
i
k
i
i PX
11
.
Teorema 4.6
A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson, quando n→∞ e
p→0, mantendo-se λ=np constante. Em geral, quando n> 20 e p<0,05.
Teorema 4.8
Seja X uma v.a. com distribuição normal de valor médio µ e desvio padrão σ. Então
a v.a. Z=
σ
µ−X
tem distribuição normal standard, isto é, Z=
σ
µ−X
∩N(0,1).
Aproximação da distribuição binomial à distribuição normal
Se X∩Bin(n,p) com n→∞ e 0,1<p<0.9 então X∩& N(np, npq ).
Aproximação da distribuição de Poisson à distribuição normal
Se X∩P(λ) com λ→∞ então X∩& N(λ, λ ).