ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO I – PROBABILIDADES
1.4 – Álgebra dos acontecimentos
União de acontecimentos:
Intersecção de acon...
ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO II – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
2.2 – Função de distribuição
Propriedades da função de distribuição:
1...
ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO III – DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADE
3.1 – Distribuições Discretas
Distribuição Uniform...
ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO IV – DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM
Estatísticas importantes:
; Sn - total
4.6 - Teorema do limite...
Caso 4: e são desconhecidas, mas diferentes e
com e
Onde é o maior inteiro contido em:
4.8.3.5 – Distribuição do quociente...
ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO VI – ENSAIOS DE HIPÓTESES
6.4 – Etapas de um teste de hipóteses
1. Formulação da hipótese nula (...
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  1. 1. ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO I – PROBABILIDADES 1.4 – Álgebra dos acontecimentos União de acontecimentos: Intersecção de acontecimentos: Acontecimentos complementares: Acontecimentos incompatíveis: Propriedades dos acontecimentos 1) Associatividade: 2) Comutatividade: 3) Distributividade: 4) Leis de De Morgan: ; 1.5 – Conceitos de Probabilidade Abordagem clássica de Probabilidade a = número de casos (resultados) favoráveis b = número de casos (resultados) desfavoráveis 1.6 – Análise combinatória Permutações simples (sem repetição): Permutações completas (com repetição): Permutações – n.º de elementos que se podem formar com n elementos Arranjos simples (sem repetição): Arranjos completos (com repetição): Arranjos – n.º de sequências que se podem formar com p dos n elementos Combinações simples (sem repetição): Combinações completas (com repetição): Combinações – n.º de agrupamentos que se podem formar com p dos n elementos, considerando-se distintos dois agrupamentos quando diferem entre si na natureza dos elementos que deles façam parte. 1.7 – Medida de Probabilidade e Axiomática de Kolmogorov A1 – A2 – A3 – Em acontecimentos incompatíveis: 1 – ; 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 1.8 – Acontecimentos independentes - Se A e B são mutuamente exclusivos, A e B são dependentes - Se A e B são independentes, A e B não são mutuamente exclusivos - Dois acontecimentos não podem ser simultaneamente independentes e mutuamente exclusivos Para 3 acontecimentos A, B e C: 1) 2) 3) 4) Se uma destas proposições não for satisfeita, os acontecimentos não são independentes Acontecimentos dependentes 1.9 – Probabilidade condicionada 1.10 – Teorema da Soma Se A e B forem mutuamente exclusivos: Se A e B forem compatíveis: 1.11 – Probabilidade da Intersecção Teorema do Produto para Acont. Dependentes Para 3 acontecimentos: Para n acontecimentos: Teorema do Produto para Acont. Independentes Para n acontecimentos: 1.12 – Teorema da Probabilidade Total Sejam acontecimentos que formam S. Seja, B, tal que : 1.13 – Teorema de Bayes Para 2 acontecimentos, tem-se:
  2. 2. ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO II – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 2.2 – Função de distribuição Propriedades da função de distribuição: 1) 2) 3) 4) É uma função contínua à direita 5) 6) 2.3 – Variáveis Aleatórias Discretas Propriedades da função de probabilidade: 1) 2) Caso n finito, Caso n infinito, 2.4 – Variáveis Aleatórias Contínuas Propriedades da função densidade de probabilidade: 1) 2) 3) 4) Observações: 1) 2) 3) 2.5 – Valor Esperado de V.A. Propriedades do valor esperado: (X, Y são duas v.a. e K uma constante real) 1) E(K) = K 2) E(K.X) = K.E(X) 3) E(X±Y) = E(X) ± E(Y) 4) E(X,Y) = E(X).E(Y), se X e Y forem independentes 2.6 – Variância de V.A. Propriedades da variância (X, Y são duas v.a. e K uma constante real) 1) V(K) = 0 2) V(K.X) = K 2 .V(X) 3) V(X ± Y) = V(X) + V(Y), se X e Y forem independentes 4) V(X) = E(X 2 )-E 2 (X) 5) Se X é uma v.a. tal que E(X) = µ e V(X) = σ 2 , então a v.a. tem E(W) = 0 e V(W) = 1 Desvio padrão: Observações:
  3. 3. ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO III – DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADE 3.1 – Distribuições Discretas Distribuição Uniforme: Distribuição de Bernoulli: Distribuição Binomial: Aditividade nas Distribuições Binomiais Observação: Distribuição de Poisson: Aditividade nas distribuições de Poisson A distribuição Binomial converge para a distribuição de Poisson, quando e , mantendo-se 3.2 – Distribuições contínuas Distribuição Normal: Aditividade na Distribuição Normal Corolário 1: Se são v.a. independentes em que , então Corolário 2: Se , então , onde Aproximação da distribuição Binomial à distribuição Normal (quando ) Ou seja, Aproximação da distribuição Poisson à distribuição Normal (quando ) Ou seja,
  4. 4. ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO IV – DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM Estatísticas importantes: ; Sn - total 4.6 - Teorema do limite central Corolário 1 (teorema de De Moivre e Laplace) 4.7 – Distribuições Amostrais Teóricas Se a população não tem uma distribuição Normal ou a sua distribuição é desconhecida: Se : Se for uma grande amostra, : 4.8 – Distribuições amostrais mais importantes 4.8.1 – População Bernoulli (proporção) Estatísticas importantes Amostras de pequena dimensão, : Amostras de grande dimensão, : 4.8.2 – População Bernoulli (duas proporção) Para duas populações de Bernoulli onde são extraídas duas amostras independentes de grande dimensão, Para : 4.8.3 – População Normal 4.8.3.1 – Distribuição da Média amostral quando σ 2 é conhecida 4.8.3.2 – Distribuição da variância amostral 4.8.3.3 – Distribuição da média amostral quando σ 2 é desconhecida 4.8.3.4 – Distribuição da diferença entre médias amostrais Duas amostras independentes de duas populações normais Caso 1: e são conhecidas Caso 2: e são desconhecidas, mas Caso 3: e são desconhecidas, mas diferentes e com e
  5. 5. Caso 4: e são desconhecidas, mas diferentes e com e Onde é o maior inteiro contido em: 4.8.3.5 – Distribuição do quociente entre variâncias amostrais Duas amostras independentes e de duas populações normais ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO V – ESTIMAÇÃO 5.2 – Estimação Pontual 1) Se → 2) Se → 3) Se → 5.3 – Estimação por Intervalos Intervalo de confiança (para ) Grau ou coeficiente de confiança Parâmetros (população) (desconhecidos) Estatísticas (amostra) (conhecidos) µ σ θ τ t Consultar a tabela do formulário disponível na Intranet (página 5) para determinar qual o IC consoante os parâmetros a estimar, o tipo de população, a dimensão da amostra, se se conhece σ ou não e a distribuição amostral 5.3.7 – Dimensão da amostra Estimação da média, supondo uma amostra aleatória simples com reposição 5.3.8 – Dimensão da amostra Estimação da proporção, supondo uma amostra aleatória simples com reposição (média amostral subtraindo a média da população)
  6. 6. ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO VI – ENSAIOS DE HIPÓTESES 6.4 – Etapas de um teste de hipóteses 1. Formulação da hipótese nula ( ) e da sua alternativa ( ) 2. Especificar o nível de significância ( ) desejado e os valores críticos associados 3. Escolher o teste estatístico apropriado para testar (em função da natureza dos dados) 4. Determinar a região de rejeição de , em função das etapas anteriores 5. Calcular o valor do teste a partir dos dados amostrais e tomar uma decisão. Se este valor se situar na zona de rejeição de , esta é rejeitada. Se se situar na zona de não rejeição, não podemos rejeitar Consultar a tabela do formulário disponível na Intranet (página 5) para determinar qual o teste a utilizar consoante os parâmetros a estimar, o tipo de população, a dimensão da amostra, se se conhece σ ou não e a distribuição amostral 6.5 – Teste do Qui-Quadrado (variáveis qualitativas) Var. Y Var. X (Tabela de frequências observadas) Margens da tabela de contingência: Construção da tabela de frequências esperadas: Hipótese de independência: 6.7 – Análise da Variância – ANOVA Média amostral das observações da população i SQT – soma de quadrados total SQD – soma de quadrados dentro das amostras SQE – soma de quadrados entre amostras Estatística-teste:

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