1) O conjunto solução da desigualdade log(x + 2) ≥ 3 − x2 entre -√3 e √3. No intervalo [0,1[, o supremo é 1 e o ínfimo não existe. 2) Pela indução, un é sempre maior que 1 e crescente, portanto convergente. O limite é 2. 3) As derivadas de cos(1/x) quando x→0 e de arcsen(x3/2) são 0.

1. Instituto Superior Tecnico
Departamento de Matematica
1o TESTE DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Vers~ao A
MEAero
1o Sem. 2013/14 09/11/2013 Durac~ao: 1h30m
1. (2,0 val.)
(i) Seja A R o conjunto soluc~ao da seguinte desigualdade:
log(x + 2)
3 x2
0 :
Mostre que A =
2;
[
p
3
1;
.
p
3
(ii) Indique, caso existam em R, ou justi

2. que que n~ao existem, o supremo, n

3. mo,
maximo e mnimo de A [0;+1[.
2. (2 val.) Considere a sucess~ao de

4. nida por recorr^encia por u1 = 1=3; un+1 = 2+un
3 ; n 2
N: Use o metodo de induc~ao para mostrar que un 1, 8n 2 N. Mostre que un e
crescente e justi

5. que que un e convergente. Determine lim un.
3. (2,0 val) Calcule a derivada das func~oes de

6. nidas pelas seguintes express~oes:
cos(1=x)
p
5 +
x
e arcsen(x3=2) :
4. (3,0 val.) Calcule os seguintes limites (caso existam em R):
lim
x!+1
(1 cos(1=x)) (1 + sen(ex)) e lim
x!0
1
x
2
1
sen(2x) :
5. (4,0 val.) Determine os intervalos de monotonia, extremos, concavidades, in
ex~oes e
assmptotas da func~ao f : R ! R de

7. nida por f(x) = 2 arctan(x 1) x. Esboce o
seu gra

8. co.
6. (5,5 val.) Considere a func~ao g : R ! R de

9. nida por
g(x) =
e2x ex
x
; x6= 0 ; e g(0) = 3 :
(i) Mostre que g e contnua em x = 0.
(ii) Mostre que g e diferenciavel em x = 0 e g0(0) = 3=2.
(iii) Seja h : R ! R uma func~ao diferenciavel tal que h0(3) = 2=3. Determine
(h g)0(0).
(iv) Mostre que limx!1 g(x) = +1 = limx!+1 g(x).
(v) Prove que g tem mnimo absoluto.
7. (1,5 val.)
Seja f : R ! R uma func~ao crescente e majorada. Prove que existe e e

10. nito o limite
de f quando x ! +1. Sugest~ao: comece por usar o Axioma do Supremo.